Проблемы дисперсии, сингулярной кинематики, общей теории нормальных волн и обратноволновых явлений Бырдин Василий Михайлович

Введение к работе

1.1. Актуальность диссертационной темы. В современной механике и электродинамике весьма актуальны исследования волновых и колебательных процессов разнообразных физико-технических систем: волноводов, слоистонеоднородных сред, протяжённых тел и конструкций, других направляющих и динамических структур. В теоретическом анализе и техническом применении таких систем принципиальное значение имеют процессы и явления, изучаемые в радиофизике, акустике, оптике, гидродинамике, электронике и в ряде др. областей. В большинстве случаев эти процессы являются существенно диспергирующими. Проблемы дисперсии весьма важны и актуальны также и в таких новых молодых отраслях науки, как фотоника, нанотехнология, квантовая и спинволновая электроника и во вновь возродившейся обратноволновой физике. Базовое свойство обратных волн - это противоположность векторов их фазовой и групповой (или энергетической) скоростей. В обратных волнах реализуется наивысшая, отрицательная дисперсия *1.

Во вводной части диссертации дан междисциплинарный обзор классических и современных, второй половины 20-го и нового веков, работ, связанных с такого рода волновыми и динамическими задачами. Обзор представлен в двух частях по диспергирующим и обратноволновым процессам. На рубеже 20/21-го веков наблюдался значительный подъём числа работ и публикаций, включая СМИ и ЦТВ, по обратноволновой радиофизике, оптике и акустике «отрицательных» сред (метаматериалов, обладающих модами с отрицательной фазовой скоростью, т. е. обратными волнами). Сегодня эта проблематика весьма интенсивно изучается в ряде мировых центров. В частности, статья российского учёного В.Г. Веселаго (УФН, 1967г, где обобщён ряд эффектов и гипотез) стала широко известной и цитируемой в мире уже в течение 2 десятков лет (scientific.ru). В целом, начиная с 40 гг., в раскрытие уникальной, фундаментальной физики обратных волн важный вклад внесли советские и российские учёные. Это В.М. Агранович, С.Е. Банков, А.В. Вашковский, В.Г. Веселаго, Ю.В. Гуляев, В.И. Зубков, В.В. Климов, Д.П. Коузов, И.Я. Кучеров, В.Н. Кисель, А.Н. Лагарьков, Э.Г. Локк, Г.Д. Малюжинец, Л.И. Мандельштам, С.А. Никитов, В.Е. Пафомов, Д.В. Сивухин, Р.А. Силин, А.Д. Шатров, В.В. Шевченко, В.И. Щеглов и другие авторы.

Общие и междисциплинарные проблемы теории колебаний и волн развиты в фундаментальных, классических трудах Бреховских Л. М., Гинзбурга В. Л., Горелика Г. С., Завадского В. Ю., Малюжинца Г. Д., Мандельштама Л. И., Миллера М.А., Рытова С.М., Фока В.А., Харкевича А.А. И также в работах наших современников, Альшица В. И., Волошинова В. Б., Гуляева Ю. В., Зайцева Б.Д., Зильберглейта А.С., Израиловича М.Я., Копилевича Ю.И., Коузова Д.П., Кучерова И.Я., Никитова С. А., Свешникова А.Г., Трубецкова Д.И.

1.2. Общность проблематики волновых процессов и дисперсионные уравнения и функции

Задачи и структуры, исследуемые в диссертации. Волновая проблематика в современной акустике и радиофизике, как и в других физико- технических науках, весьма многообразна (см., например, ² и др.). В частности, только в Институте машиноведения РАН несколько отделов занято виброакустикой машин, динамикой и волновой тематикой.

В)

А)

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ^ \ \ \ \ \

\ \ h N

\ \ \ \ ^ \ \ \ \ \ ^ \ \ \ \ \ ^ \ \ \ \ \

\ \ \ \ \ \\ \ ⁴^ \ N \ \ \ \ \ \ \ W \ \ \ \ \ \ \ \

\ \ \ \ \ W \ ^ \ \ \ \ \ \ \ \ \ W

\ V \ ^ \ \ \ \

Рис. 1.1. Типичные актуальные структуры механики и электродинамики. А) Стержень в сосуде (мониторинг; Р - падающая волна). В) Диагностика слоистых сред нормальными волнами. С) Цилиндрические и другие криволинейные профили и волноводы.

Некоторые, характерные примеры из этой проблематики представлены на рис. 1.1 и 1.2. А в целом в данной диссертационной работе анализируются такого рода актуальные системы, слоистые, анизотропные, неоднородные, распределённые и др., вообще говоря, весьма сложные структуры. Эти конкретные, простые и сложные задачи обобщаются единым подходом, на основе которого формулируются общие теоретические положения для определённых классов задач и для диспергирующих процессов в целом. Достигнутая общность теории и методов - один из основных результатов работы. Подобно математической физике, где унифицирован формализм дифференциальных уравнений для различных физико-технических отраслей, общая проблематика диспергирующих процессов любой природы и типа, определяется единством математического аппарата.

Указанное единство теории волн заложено, во-первых, в инвариантном представлении гармонических мод и нестационарных возмущений любой физической природы:

a exp i (к r - wt) или f(r, t) = L_ka {F(k, w) exp i (к r - wt)}; (11)

где r - пространственная координата или вектор, к - волновое число или вектор, L_kw - интегральные преобразования, типа Фурье, другие символы общеприняты. А, во-вторых, унификация теории заключена в математическом анализе абстрактного, общего закона дисперсии, как неявной или трансцендентной (а также и алгебраической) функции: A(k,w) = 0 или к_п(ю) (см. ниже). Что вполне подобно анализу отвлечённых, абстрактных функцийу(х) в математике.

Последующая детерминация волновой природы (оптические, звуковые, радио-, изгибные, спиновые и т.д. процессы) возникает в краевых задачах и в энергетических расчётах. Проблемы же волновой кинематики, как во многом и краевые задачи, по существу, во многом универсальны (см. ниже). Эта «идеология общности», идущая со времён Джона Рэлея (с 1870-ых гг.), вошла в традиции советской и мировой науки и, в частности, отражена в трудах Л.И. Мандельштама и А.М. Прохорова:

...«Общность колебательных процессов, их разнообразие и специфика играют существенную роль в раскрытии <...> связей между весьма разнородными явлениями» ... «В физических и технических науках нет такой области, в которой бы колебания не играли той или иной роли. А ряд отраслей всецело базируются на них», это оптика, акустика, радиотехника.

- Л.И. Мандельштам, 1935г, (подчёркнуто мною, ВБ). «В общей физике особо выделяют учение о колебаниях и волнах. Что обусловлено общностью законов, определяющих процессы разной физической природы, и общностью их методов исследования. Здесь механические, акустические, электрические и оптические колебания рассматриваются с единых позиций». - А.М. Прохоров.

1983/98 гг.

Актуальные, простые и сложные структуры и волновые системы.

Одними из простейших моделей динамических систем с наиболее сильной, отрицательной дисперсией, влекущей образование обратных волн, являются двояко нагруженный стержень или пластина и электроцепочка фильтров низких частот - рис. 1.2. Эти простые уникальные системы, известные в науке более века (Горак Лэмб, 1904, Макс Борн, 1912), востребованы и поныне и не только в
методическом плане, но и как эффективные модели ряда современных, актуальных, довольно сложных структур.

Примеры же весьма сложных, механических и электродинамических систем, исследуемых отчасти аналитически или только численно, представлены на рис. 1.1 и ниже и в диссертации. Среди них отметим плоскослоистые (произвольного пакета) структуры, цилиндр в жидкости, трёхслойный волновод и

др.

а) ё) W _Т

—К

V77777777777777777Z/777777777

Рис. 1.2. Простые модели сильно диспергирующих обратноволновых систем:

а) изгибно колеблющаяся (W), нагруженная пластина или стержень (T - сжимающая сила; K- упругая реакция, равномерная, винклеровская и т.п.);

б) бицепочка L_k C_k-фильтров.

Постановка задачи и единый подход в общей теории диспергирующих волн. Пусть дана волновая диспегирующая система. Тогда рассчитывается закон дисперсии, табулируемый численно в вычислительной механике и электродинамике, или задаваемый аналитически, дисперсионным уравнением или функцией:

A(k,w) = 0, F = A/А, k_n = k_n (w), п = 0,1,2,.... (1.2)

Так что трансформанта F(k,w) определяет амплитуды нормальных (собственных и/или волноводных) мод a_n через (1.1), A(k,w) - целая функция (или многозначная, как и A(k,w) - в случае поверхностных и вытекающих волн). А корни дисперсионного уравнения (ДУ) и возможные точки ветвления задают дисперсионные зависимости, функции и кривые k_n(w). В случае численных моделей имеем те же соотношения и кривые, но без вывода A(k,w) и k_n(w) в функциональном виде. А, в общем - всё это законы дисперсии.

В предположении аналитичности функции A(k,w) (дисперсионной функции - ДФ, термин Дж. Уизема, 1977, и в отличие от также дисперсионных функций k^w)) и при некоторых других «лёгких» условиях (см. ниже в п. 1.6 Классы задач), удаётся сформулировать новые и весьма общие свойства, эффекты и закономерности диспергирующих волн, нормальных, поверхностных и объёмных, и особенно обратноволновых мод, что наиболее актуально и результативно. Кинематика гармонических или нестационарных процессов (1.1) будет определяться волновым фактором exp i(k x - wt) (аналогично общепринятому «временному фактору» exp iwt). А энергетика - решением краевых задач, конкретных или в обобщённой постановке. Достигнутая универсальность позволяет анализировать именно общие вопросы физической теории и кинематики, как регулярной, так и сингулярной. Сингулярной - в областях особых точек, критических частот и параметров. Второй смысл сингулярности в особенности по существу обратных волн, и математической, и физической - это особенные, уникальные волны.

Соискателем предложен и развит асимптотический метод анализа корней дисперсионных уравнений, ветвей дисперсионных функций и кривых зависимости к_п(ю), основанный на теореме о неявных функциях, подготовительной теореме Вейерштрасса, условиях аналитичности Коши-Римана и на др. положениях матанализа. В плане приоритетов по данному методу (по неявным функциям), необходимо отметить в механике В.И. Кейлис-Борока, 1952г, в электродинамике П.Е. Краснушкина и Е.Н. Фёдорова, 1972, в акустике соискателя, 1974. Развитие метода и аппроксимация дисперсии - новые оригинальные результаты только соискателя. Метод оказался эффективным и универсальным в ряде проблем теории диспергирующих волн и обратноволновых процессов и привёл к существенным, новым и общим, физическим результатам. Новые положения об обратноволновых процессах - более трети данной работы, получены на базе первых двух частей диссертации, по анализу дисперсии и по кинематике нормальных волн. Общая проблематика физической теории диспергирующих волн (как некоторый, определённый аналог разделам математической физике) ставится впервые соискателем.

1.3. Цели диссертационной работы

1. Развить и обобщить метод анализа дисперсионных уравнений и функций.

2. Изучить особые, кратные точки дисперсии и сингулярные области.

3. Разработать аппроксимацию дисперсионных кривых, численных законов дисперсии.

На основе этих, математических результатов решить ряд волновых задач радиофизики и механики (в широком смысле, краевых задач и задач на собственные моды). Исследовать общие вопросы физической теории и кинематики диспергирующих волн, нормальных, поверхностных, а также объёмных.

4. Исследовать затухание бегущих волн и зависимость их фазовых и дисперсионных характеристик от потерь в динамической системе.

5. Провести анализ дисперсионных зависимостей и кривых и спектральных распределений.

6. Сформулировать условия излучения, установить обратноволновые спектры, рассмотреть корректность волновых задач и др. общетеоретические вопросы.

На основе этих физических и математических положений, исследовать наиболее сильно, отрицательно диспергирующие, обратные волны.

7. В обзорном плане изучить и обобщить известную феноменологию (свойств, явлений и эффектов) обратных волн в целом и дать её классификацию. Сформулировать обратноволновую концепцию.

8. Теоретически исследовать конкретные эффекты, процессы, явления и свойства обратных волн:

их кинематические свойства;

дифракционные явления;

динамические процессы (нестационарные и радиационные явления).

В конкретных приложениях, доведённых до численных расчётов и сравнения с экспериментальными данными, проиллюстрировать корректность,

конструктивность и эффективность общих, физических, методических и общетеоретических положений диссертационной работы:

а) на нормальных и поверхностных модах в плоскослоистых, диэлектрических или упругих системах,

б) в оптике холестерического жидкого кристалла (ХЖК),

в) на лэмбовских волнах в твёрдой пластине,

г) в электродинамике киральных сред,

д) в трёхслойной системе (пластина в жидкости) - модель уровнемера,

е) в нагруженных механических структурах,

ж) на нормальных модах однородных волноводов произвольного сечения. 10. Сформулировать метатеоретическую проблематику физической теории

колебаний и волн и дать анализ её элементов.

Необходимо подчеркнуть, что в физических и прикладных работах всё ещё недостаточно внимания уделяется проблемам принципов и условий излучения и корректности волновых задач. На что указывают ряд теоретиков: Касаткин Б.А., Коузов Д.П., Купрадзе В.Д., Рущицкий Я.Я., Шевченко В.В. и другие. Хотя элементы обратноволновой динамики были давно известны уникальностью приходящих волн³ (или обратных), ещё с 1940/50-ых гг., со времён эффективных СВЧ-приборов и знаменитых Лекций Мандельштама. Ведь суть условий излучения - это определение спектров уходящих (прямых) мод и отдельных, довольно редких, обратных.

1.4. Научная новизна данной работы в следующем.

2. Предложен, развит и обобщён метод анализа и расчёта корней дисперсионных уравнений (ДУ), дисперсионных функций и кривых, включая и численно табулированные зависимости и кривые. Метод основан на теории неявных функций, элементах дифференциальной геометрии и комплексного анализа.

3. Исследована кратность корней ДУ и многозначность дисперсионных функций и кривых. Дан анализ регулярным дисперсионным зависимостям и сингулярным областям с кратными ветвлениями. В том числе двукратным (по k, а также и по ю), нулевым (при k = 0), 4-кратным, бидвукратным (пересечения кривых) и областям перегиба кривой. Наиболее типична нулевая двукратная сингулярность с весьма простой и сколь угодно точной квазипараболой:

k (ю) = Va (ю) U а_п (ю - ю_п)¹² + Ь_п(ю - ю_п)³'² + 0 ((ю - ю_п)^5/2). (1.3)

Причём не только на критической частоте отсечки ю_п, но и в локальных системах (k_L0m_L - рис. 1.3) извилистой кривой, и для любого трансцендентного, сколь угодно сложного, функционального ДУ или виртуального (предлагаемый термин), численно табулированного, соотношения {'с(ю), ю}.

4. Предложен метод аппроксимации извилистой трансцендентной кривой, произвольной сложности (рис. 1.3а), на базе трёх асимптот, описывающих отдельную извилину через квазипрямую, в точке перегиба, и две квазипараболы (1.3) с противоположными вершинами (рис. 1.3б, см. также гл. 10).
   

Дана обобщённая постановка и получены решения ряда проблем кинематики и общей теории волн, инвариантных их физической природе. Волновой формализм и дисперсионные уравнения механики и электродинамики столь же универсальны, как и дифференциальные уравнения и методы математической физики. Во многом идентичны и краевые задачи, а в ряде разделов буквально совпадают.

Сформулированы принцип реальных потерь и модификация принципа предельного поглощения для слоистых и произвольной сложности структур. Через групповую скорость U установлена простая связь и эквивалентность диссипативных принципов излучения с тремя другими, основными принципами

Рис. 1.3. а) Три характерных участка для аппроксимации дисперсионной кривой к (а), 1*, 2*, 3* (3-я кривая в дБ; K=k/ko - нормировка), и локальные оси системы KiOrni для отдельной извилины (ср. с рис. б). Тонкая кривая 1* поверхностной волны; жирная - нормальной. (Выпуклости преувеличены)

3, и прямой 2. При в>90 - зигзаговидная кривая ОВ-моды в целом.

Рис. 1.3. б) Трёхэлементная аппроксимация и асимптотика отдельной извилины дисперсионной кривой k(m) в 1- ом приближении - двумя параболами, 1 и

с принципом причинности, предельной амплитуды и энергетическим:

а= 8/U, 1/U = dk/dm; U= U_e; 5І0. (1.4)

Здесь 8, U и U_e - предельное поглощение и групповая и энергетическая скорости; см. также (1.5). В общем виде сформулированы условия излучения для окрестностей критических частот (т.е. для сингулярных областей). Для одного класса плоскослоистых сред установлено наличие только уходящих волн (и отсутствие обратных). Установлены условия излучения для ряда прикладных задач.

Определена корректность волновых задач в смысле затухания волн и сингулярной полноты, в кратных точках и их окрестностях. Введены структурные коэффициенты поглощения 2-го рода С_К (1.5) (1-го рода были известны ранее, В.Ф. Взятышев, 1970, и другие). В корректных моделях и

задачах С_К > 0. Поставлена и анализируется метатеоретическая проблема физической теории волн.

Получена весьма простая, точная и общая формула для анализа и расчёта коэффициента затухания бегущей диспергирующей волны:

а = ₌₁ Ск Sk + 0(S³); Sk - потери. (1.5)

Причём для любой волноведущей системы, где потери задаются мнимыми добавками её параметров. Эта формула оказалась весьма эффективной как в проблемах затухания волн и условий излучения, так и корректности задач. (Ранее близкий к (1.5) результат был получен С.А. Рыбаком, 1966)

Дано простое математическое описание и физическая трактовка известных явлений селективности и аномальности затухания диспергирующих волн (по (1.5); рис. 1.4). Установлено, что влияние диссипативных потерь на кинематику и фазовые параметры волны значительно лишь в окрестностях кратных точек, критических частот (см. ниже таблицу 2.1).

Рис. 1.4. Характерный вид кривых коэффициента затухания бегущих волн: а) прямой и б) обратной. (акр, а_Р, а_п - критические частоты).

5. Рассмотрена полная сводка известных явлений и свойств обратных волн (ОВ) (их базовое свойство - отрицательная фазовая скорость, её противоположность групповой и энергетической). Во всей обратноволновой (ОВ-) феноменологии выделено 4-е класса, это: дифракционные эффекты; кинематические свойства; динамические процессы и нелинейные явления.

6. Установлены новые и сформулированы общие ОВ-явления и свойства в механике и электродинамике:

7. наиболее типичные, квадратичные законы дисперсии и извилистые, в одну

извилину, кривые (рис. 1.5; 2-ой тип - квазипарабола нулевой ОВ-моды);

5. узкие или ограниченные частотные спектры и материальные диапазоны;

6. спектральная низкочастотность ОВ-мод, как правило, (например, мод Лэмба в

пластине - табл. 3.1, ниже);

7. повышенное, ярко выраженное селективное затухание (рис. 1.4);

8. антизеркальное отражение разноименных волн в многомодовых средах и вол-
   

Рис. 1.6. Антизеркальное отражение и отрицательное преломление в ОВ-системах на границе раздела структур С1 и С2. 1 - луч падающей моды; 2 и 3 - разноимённые лучи, 4 - одноимённый зеркальный; 5 - преломленный одноимённый.

9. фокусировка при разноимённом отражении выпуклых фронтов; квазифокусировка, пятно размыто, рис. 1.7;

10. биинверсия диаграммы направленности и, вообще, волновых полей при преломлении и отражении, см. ортогональное преломление - рис. 1.8, 2.46;

новодных системах (см. рис. 1.6);

Рис. 1.5. Наиболее типичные дисперсионные кривые обратной волны: волнового числа к, фазовой V и групповой U скоростей. C_ln - сингулярная частота, перегиба и максимума; сор и O_n - критические частоты, нижняя и верхняя; штрих-пунктир - кривые смежной прямой волны.

11. элементы разноимённой антидифракции (рис. 1.7, 1.8, 2.3, 2.4);

12. смещение и обужение лучей, пучков и диаграммы направленности;
    

13. инверсия радиационных эффектов, Маха, переходного, тормозного, Парселла- Смита и др. (гипотезы);

14. триплет, трёхволновой цуг с головным фронтом на частоте перегиба ю_т (максимума групповой скорости, минимума затухания и фазы Эйри; рис. 1.4б,

1.5);

15. частотное и пространственное расщепление и селекция ОВ-импульсов при разноимённом отражении, излучении-приёме и, вообще, при дифракции (при преломлении - В.М. Агранович, 2006);

    Рис. 1.7. Фокусировка отражённой разноимённой моды, с фокальным пятном Ф. (стрелки - лучи потока мощности; Х, Z - оси координат; Х = 0 - экран, плоскость отражения.)

    16. доминирование головной волны (на а>_т), особенно в дальней зоне (рис. 2.6);

    17. смещение критических частот и обужение спектра при отражении, преломлении и дифракции;

    18. инверсия волнового синхронизма при нелинейном взаимодействии;

    19. генерация второй гармоники при сверхфокусировке (гипотеза).

    Рис. 1.8. Биинверсия диаграммы направленности преломленной моды при ортогональном преломлении, F^ F_i ^ F₁₁ . (J - источник; J_m - мнимый источник; C₁ и C₂ - пограничные волноведущие структуры; F = F_j , F_ii = F_jm .)

    Выполнен асимптотический анализ и аппроксимация дисперсионных кривых. Изучен спектр и распределение волновых чисел в комплексной плоскости, их движение с вариациями частоты в сингулярных областях - в окрестностях критических частот. (Чему соответствует явление «отсечки», преобразования волн). Поставлена проблема полноты дисперсионного спектра в целом и в точках кратных ветвлений, в особенности.

    Из новых основных результатов избраны и наиболее значимые положения.

    1.5. Основные положения, выносимые на защиту
    

    19. 1. Развитие метода анализа, асимптоты и аппроксимация дисперсионных функций и кривых волноведущих структур, произвольной сложности. Метод особенно эффективен в случае обратноволновых мод, описываемых, как правило, одной извилиной или квазипараболой.

        2. Исследование физического, скоростного механизма затухания бегущих волн. Эффективная асимптота для коэффициента затухания волны, с обратной пропорциональностью групповой скорости. Анализ явлений селективности и аномальности затухания. Зависимость кинематики и энергетики волны от потерь.

        3. Разработка общей единой теории диспергирующих волн различной природы и типа в волноведущих структурах произвольной сложности.

        4. Исследование обратных волн. Классификация их феноменологии: 1) дифракционные эффекты; 2) кинематические свойства; 3) динамические явления и 4) нелинейные процессы.

        Ряд новых явлений, приоритетных и обобщённых между механикой и электродинамикой; из них наиболее существенны следующие:

        20. антизеркальное отражение;

        21. фокусировка при отражении выпуклых фронтов;

        22. элементы разноимённой антидифракции; биинверсия, смещение волновых

        полей, пучков и диаграмм направленности;

        23. трёхволновой цуг и доминанта головного сингулярного фронта;

        24. типичные, извилистые и квазиквадратичные законы дисперсии и кривые;

        25. узкие и ограниченные спектры существования по частоте и другим

        параметрам волноведущих структур;

        26. повышенное селективное затухание;

        27. инверсия волнового синхронизма при нелинейном взаимодействии волн и

        генерация второй гармоники в области сверхфокусировки.

        1.6. Научная и практическая значимость работы

        Слоистые структуры в радиофизике, оптике, гидроакустике и механике. Исследование дисперсионного уравнения для плоскослоистых областей необходимо при проектировании и моделировании диэлектрических покрытий, механических композитов и др. материалов. Эти плоскослоистые однородные среды описываются рекуррентным дисперсионным уравнением (Бреховских Л.М., 1956), преобразованным к общему виду:

        D(Y) = О, Y = Yl,-, Ym), Yk = ^jv²-o*, v = ^d_l / C₁, с = M₁; ⁽¹.⁶⁾

        где h_K = d_K /d₁, d_K - толщина к-го слоя; с_К - скорость звука (или сдвиговых SH- волн - автор, 2006) или электромагнитных в среде слоя, с_К =C/V(e_K /U_k), С - скорость света в вакууме, s_K и /_К - диэлектрическая и магнитная проницаемости. Рекуррентная компактность для любого числа слоев за счёт входного импеданса:

        Z^K) = Zk (Z^k-1) - iZ_KtgY_K )) Zk - i Z^k-1) tgY_K )^, к = l,2,...,m; (¹.?)

        Z_k - импеданс плоской волны в среде.

        Для данных плоскослоистых систем доказано:

        1) спектры нормальных и поверхностных волн представлены только уходящими волнами; ОВ-моды не возможны;

        1. выведено выражение для структурных коэффициентов затухания С_К в (1.5); доказано, что С_К >0, модели корректны;

        2. единство теории нормальных, поверхностных и вытекающих волн в плоскослоистых структурах данного класса в радиофизике, оптике, акустике и механике (Х#-колебания).

        ОВ-моды пластин, стержней и оболочек. Динамика и спектры механических колебаний и волн в элементах машин, приборов и сооружений - актуальная область науки, не вполне разработанная даже в простейшей низкочастотной постановке. И это, кроме радиоэлектроники машин. Тем более не изучены обратноволновые колебания.

        Профили, металлические, пластмасса и т.д. Разного рода профили, уголковый, тавровый, швеллер, квадрат и др., как конструктивные элементы, весьма распространены на практике, но слабо изучены в динамическом плане. В любом из них, безусловно, имеются целые спектры обратноволновых колебаний. Из них наиболее типична 1-я мода (после 0-ой, от нуля частот).

        1-я мода спектра продольных колебаний и волн в упругих распределённых структурах, как правило, является обратной.

        Её дисперсионная кривая на рис. 1.5. Примеры: 5^₁⁰-мода Лэмба в пластинах, р₁-мода Похгаммера в круглых стержнях и т.п.. (Напомним, что нулевые S₀ и р₀ - это юнговские низкочастотные (НЧ) волны, а антисимметричные а₀ ир_1/0- это изгибные НЧ волны).

        Среди анти- и а-симметричных волн (а_К - в свободных пластинах и рл_К - в цилиндрах, соотв., к = 0,1,2,..., j=1,2,3,...) также бесконечные ОВ-спектры. Примеры: лэмбовские а_К [35], похгаммеровские р J _к , в пьезоструктурах (Шульга

        Н.А., 2003), изгибные крестообразного профиля (Вешев В.А. и др., 1999) и т.п. Двухслойный цилиндр (Н.А. Шульга, др. авторы, соискатель) обобщает тонкую оболочку. Изучены обратные моды трубопроводов и струй (А.Д. Лапин, 1973, соискатель, 2008).

        Электродинамика и механика метаматериалов и периодических структур. Проблема новых материалов с заданными свойствами весьма актуальна как в механике, так и в радиоэлектронике. В радиофизике решается проблема стэлс, радио-невидимости объектов, в гидроакустике - бесшумности. На базе обратноволновых технологий возможно решение этих современных задач. О чём свидетельствует значительный рост публикаций (сотни в год) вплоть до открытой мировой печати и СМИ (см. п. В.3 в дисс.). В этом плане автором решены отдельные задачи о периодических структурах, моделирующих новые, обратноволновые или метаматериалы. Изучены цепочки (моделирующие ряд систем), электромагнитные волны в киральных средах и оптические в жидких кристаллах.

        Ультразвуковой уровнемер - рис. 1.1а.

        - Дисперсионные уравнения. Здесь возникает ряд дисперсионных уравнений (ДУ), решаемых обычно численными методами. Например, ДУ для s- мод, u(±y) exp i(k x-wt), пластины в сосуде, включающее в себя и классическое ур-е нормальных волн Лэмба (D_s ):

        Dss =Ds-k_T⁴ctg(p₀d)p₀/рво=0, Ds =4k²p_Tctg(frh)+(2k²-k_T²)²ctg(p_LН)ф_ь. (1.8)

        Также и D_s = 0; в_К = V(k_K²— к ²), к₀ =т/С₀ - в жидкости. Волны Лэмба не столь уж сложны, но весьма типичны и исследуются уже более 100 лет, вплоть до наших дней (Ворович И.И., Устинов Ю.А.// ДАН, 1999, №3, и др. авторы).

        ДУ нормальных продольных мод круглого стержня в широком сосуде (d^-ac) с жидкостью:

        D_yc = D_p + iv⁴p₀/р у₀ =0; v=k_Tа, а=ка, у₀ =@₀а, )²=g²v²-a². (1.9) Здесь D_p = J₀()) J_j(O) (2a²—v²)²/a +4 J₀(a) J₁(J)a²y-2J₁(a) J)²у/а, D_p = 0 - классическое ур-е нормальных мод Похгаммера (1876г); g =C_t /C_l=V((1—2 ))/(2- 2))); a - радиус стержня, a = v -а ; J₀ и J₁ - функции Бесселя, ) - коэффициент Пуассона, C_t = V(G/p) и C_l - скорости сдвиговых и продольных волн твёрдого тела.

        Дисперсионные уравнения Рэлея-Лэмба и Похгаммера-Кри имеют 2- и 4- ёхкратные нулевые корни (изученные автором [10]). А (1.8а) имеет уже 10- тикратные нулевые корни. Соответствующие им сингулярная кинематика, асимптоты и присоединённые моды-колебания таковы:

        а=А1 v - w , w = vkp/10 ; P10 exp -imt, P_w =0^ Ъ_к X^k. (1.10)

        Это именно резонансные колебания протяжённых тел, а не бегущие волны. Рассмотрены также другие квазирезонансные процессы.

        - Краевая задача и модификация метода факторизации ВХФ. Задача об уровнемере трансцендентно сложна, ранее ([393] в дисс.) была решена лишь в упрощённой постановке методом факторизации Винера-Хопфа-Фока. После модификации метода, автором была решена задача в исходной постановке, рис. 1 а. Причём на основе этой модификации возможны решения других подобных задач: стержень в сосуде; импульсация по стенке бака. Кроме того, метод применим для родственных смешанных задач механики и электродинамики, с граничными условиями, испытывающими скачёк - рис. 1.1 В.

        Анализ и расчёт дисперсионных зависимостей и кривых. В теории колебаний и волн общеизвестна трансцендентность анализа дисперсии, расчёта соответствующих, дисперсионных или характеристических ур-й, A(u;z) = 0. Большинство современных задач механики и электродинамики столь сложны, что их можно охарактеризовать, как «запредельные», трансцендентальные задачи, с виртуальными ДУ, подлежащие лишь численному расчёту. Автором предложен метод анализа, аппроксимации и асимптотического расчёта такого рода сложных дисперсионных соотношений и кривых - см. выше п-1.4.

        по перспективам научных и технических внедрений ОВ-эффектов. Однако явно чрезмерная концентрация работ на суперлинзе и забвение других проблем не объяснима организационно и не адекватна содержательно (о чём заявлялось и другими авторами). Таким образом, хотя обратноволновая проблематика в науке и сильно перекошена, в целом её значимость очевидна: здесь весьма интересны сами ОВ-явления, отчасти «перевернувшие» традиционные положения физической теории волн.

        Изучение корректности и метатеоретический анализ волновых задач направлены, во-первых, на адекватность теоретических моделей и расчётов реальным процессам, а, во-вторых, на точность и верность расчётов (в отношении к возможным, техническим и методическим ошибкам). Анализ затухания позволит учитывать различные виды потерь в системе, поглощение в средах, микро-рассеяние, излучение вовне, комплексность граничных импедансов и др.

        Метод анализа трансцендентных соотношений и кривых применим также и в исследованиях колебательных систем, характеристических уравнений на собственные частоты и др. неявных зависимостей.

        Впервые в теории волн достигнут общий унифицированный анализ диспергирующих волн различной природы и типа, аналогичный общности уравнений математической физики.

        Классы волновых задач, рассматриваемых в диссертации, определяются требованиями, налагаемыми на дисперсионную функцию (ДФ) Л(к, w), т.е., на левую часть дисперсионного ур-я Л = 0. Сначала это только её дифференцируемость, вернее, аналитичность. Затем - и это будет 1-й подкласс систем, ещё и вещественность ДФ на вещественном множестве переменных к и w (волнового числа и частоты) и др. параметров системы, как независимых переменных. Затем (2-й подкласс - для нулевых кратных корней) - ещё и чётность по к, (а также, возможно и по w). И т.д., другие дополнительные условия. Кроме того, выделяется класс слоистых областей, в т.ч. плоские структуры, однородный, трёхслойный и другие волноводы. Под перечисленные требования подпадает также и класс алгебраических дисперсионных уравнений, явные решения которых зачастую довольно громоздки и требуют дополнительного анализа. Им адекватны безграничные диспергирующие среды, поверхностные волны, одно- и двумерные простые системы (нами изучены кристаллооптика ХЖК, нагруженные упругие и периодические структуры, (см. рис. 1.9 выше, 1.1, 10.4 и др. в дисс.). Дисперсия конкретных систем, исследованных в диссертации, в основном частотная. Однако метод, очевидно, применим и к пространственной дисперсии, когда Л = Л( w, к₁, к₂, к₃).

        В работе выделяются два класса задач в диссипативном смысле: идеальные и диссипативные системы и среды. Класс диссипативных структур (поглощение, рассеяние и др.) предполагает задание потерь мнимыми частями физических параметров, как независимых переменных, входящих в закон дисперсии.

        Методическая значимость работы. В методическом плане в диссертации предложены и развиты следующие положения. Метод анализа, расчёта и аппроксимации дисперсионных соотношений (уравнений, функций, зависимостей и кривых). Метод анализа и расчёта затухания и учёта потерь. Обратноволновая методика, включая классификацию, нескольких гипотез и ОВ- концепцию, способы решения некоторых краевых задач, геометролучевой подход. Модификация принципов излучения, корректность и др. метатеоретические новшества.

        1. Достоверность и обоснованность полученных результатов достигнута корректной постановкой задач, строгостью предпринятого физико- математи-ческого анализа, тщательностью расчётов и метатеоретическим подходом. Результаты подтверждаются физическими представлениями о волновых процессах и принципами теоретической и математической физики, экспериментальными данными и результатами других авторов, полученными в нашей стране, за рубежом и коллегами смежных отраслей. А также апробацией работы и публикациями соискателя.

        Методы анализа базируются на устоявшихся физических представлениях о волновых процессах и фундаментальных принципах. На теории волн в идеальных и диссипативных системах, на принципе причинности, законах сохранения и на принципах излучения, энергетическом, предельного поглощения и других. На асимптотическом методе и на разработанных в диссертации способах анализа законов дисперсии, регулярных и сингулярных корней, их ветвей и трансцендентных функций. На разработанном методе аппроксимации дисперсионных зависимостей и кривых. В основе нашего метода лежат теорема о неявных функциях, подготовительная теорема Вейерштрасса, условия аналитичности Коши-Римана, асимптотические разложения и др. положения математического анализа.

        Похожие диссертации на Проблемы дисперсии, сингулярной кинематики, общей теории нормальных волн и обратноволновых явлений

        Теория динамических явлений в распределенной системе электронный поток с тепловым разбросом по скоростям-электромагнитная волна и ее применение к анализу СВЧ приборовБессуднова, Надежда Олеговна

        

        Нелинейные поляризационные явления при взаимодействии неколлинеарных световых волн с газовой средой Курбатов Александр Александрович

        

        Пространственно-временные структуры электромагнитных волн в диспергирующих средах в явлениях самовоздействия, электромагнитно индуцированной прозрачности, трансформационной оптикиЖарова, Нина Аркадьевна

        

        Анализ корней дисперсионных уравнений и общие вопросы теории волн в слоистых, волноводных структурах и дисперсионных средахБырдин, Василий Михайлович

        

        Линейная теория возбуждения волн в волноведущих системах с электронным потокомАркадакский, Сергей Сергеевич

        Электродинамическая теория собственных волн периодического диафрагмированного круглого волноводаКатенев, Сергей Константинович

        Метод интегрального лучевого приближения в теории электромагнитных волн и его приложения в астрономии и геодезииПрокопов, Александр Васильевич

        Эффект пространственно-группового резанснса в теории многократного рассеяния волн в дискретных случайно неоднородных средахШляпин, Владислав Викторович

        Возбуждение и распростанение акустико-гравитационных волн (актуальные вопросы теории)Савина, Ольга Николаевна

        Некоторые вопросы теории взаимодействия МГД-волн в неоднородной и неравновесной плазмеБелянцев, Алексей Евгеньевич