Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Соотношение ортогональности для собственных типов волн волноведушей системы, заполненной электронным потоком 17
I.I.Физическое обоснование метода анализа 17
1.2.Исходные уравнения . 18
І.3.ВБГВОД соотношения ортогональности 19
1.4.Анализ соотношения ортогональности 27
ГЛАВА 2. Некоторые частные случаи определения собственных типов волн волноведущих систем с электронным потоком 32
2.1.Собственные типы волн двумерной волноведушей системы, заполненной электронным потоком 32
2.2. Использование теории возбуждения волноводов Л.А.Вайнштейна для анализа электронных волн 39
2.3.Уравнения возбуждения для пустых волноводов в случае кратных волновых чисел 46
2.4. Уравнения возбуждения для периодических замед ляющих систем на границах полос прозрачности 57
ГЛАВА З. Уравнения возбуждения для собственных типов волн волноведущей системы, заполненной электронным потоком 65
3.1.Вывод уравнений возбуждения 66
3.2. Закон сохранения энергии в волноведущей системес электронным потоком и сторонними токами 72
3.3.0 направлении распространения электронных волн 78
ГЛАВА 4. Использование соотношения ортогональности и уравнений возбуждения для электронных волн при решении конкретных задач 83
4.1.Определение амплитуд волн в линейной трехволновой теории ЛЕВ 83
4.2.Отражение волн от границы электронного потока в двумерном волноводе 90
4.3. Исследование особенностей взаимодействия типа "О" вблизи границ полос прозрачности замедляю щих систем 98
4.3.1.Определение полей электронных волн и вывод дис персионного уравнения 101
4.3.2.Исследование дисперсионного уравнения 107
4.3.3.Анализ усиления 124
4.3.4.Условия полного подавления входного сигнала 137
Заключение 145
Список работ соискателя 150
Литература 152
Приложение
- Использование теории возбуждения волноводов Л.А.Вайнштейна для анализа электронных волн
- Уравнения возбуждения для периодических замед ляющих систем на границах полос прозрачности
- Закон сохранения энергии в волноведущей системес электронным потоком и сторонними токами
- Исследование особенностей взаимодействия типа "О" вблизи границ полос прозрачности замедляю щих систем
Введение к работе
Самосогласованное исследование взаимодействия протяженных электронных потоков с высокочастотными полями волноведущих систем является одной из основных задач электроники СВЧ, так как указанный тип взаимодействия лежит в основе работы ряда приборов: ламп бегущей и обратной волны, ускорителей заряженных .частиц и т.п. Этим определяется неослабевающий интерес к исследованию свойств волн в волноведущих структурах с электронным потоком, или, как их иногда называют в литературе, электронных волн [1,2].
Работы, посвященные данной проблеме, можно условно разде-;-лить на две группы в соответствии с методами, используемыми при решении задачи. К первой группе отнесем те, в которых указанная задача решается электродинамическими методами с использованием уравнений Максвелла или их следствий. В работах второй группы реальная волноведущая система заменяется эквивалентной длинной линией с сосредоточенными параметрами, что позволяет назвать данный подход методом эквивалентных схем. Электронный поток при этом учитывается с помощью вносимой комплексной проводимости.
К работам первой группы относятся прежде всего те, в которых используется метод частичных областей: пространство взаимодействия разбивается на ряд областей, решение уравнений Максвелла для которых известно, причем для области, занятой электронным потоком, уравнения Максвелла дополняются линеаризованным уравнением движения электронного потока, а затем поля "сшиваются" на границах частичных областей. Отметим, что иногда вместо "сшивания" полей используют "сшивание" эквивалентных проводимостей. Данный метод решения приводит к необходимости конкретизации типа волноведушей системы: так в [3,4] исследованы электронные волны в гребенчатой структуре, в [5] - электронные волны в спиральной замедляющей системе.
К несомненным достоинствам данного подхода следует отнести то, что он позволяет учесть взаимодействие электронного потока со всеми собственными типами волн пустой волноведушей системы и со всеми пространственными гармониками, если речь идет о периодической структуре. Кроме того, для конкретной анализируемой волноведущей системы можно получить в явном виде выражения для параметров, характеризующих данную систему, вычисление которых при иных методах исследования вызывает определенные трудности. В [4], например, получено выражение для коэффициента депрессии, учитывающего влияние стенок замедляющей системы на плазменную частоту.
Однако следует помнить, что при данном подходе трудности решения задачи электроники усугубляются необходимостью строгого электродинамического описания собственно волноведушей системы, вследствие чего получаемые результаты зачастую являются труднообозримыми. Дисперсионное уравнение, определяющее постоянные распространения волн в исследуемой системе при наличии электронного потока, получается в виде равенства нулю бесконечномерного определителя [3], либо, что эквивалентно, трансцендентным [5], а это требует для дальнейшего анализа применения вычислительной техники, или введения ряда ограничений, существенно снижающих общность результатов. Кроме того, необходимость конкретизации вида замедляющей системы не позволяет определить, какие из полученных результатов присущи исследуемому типу взаимодействия, а какие характерны только для данной замедляющей системы.
Другим вариантом электродинамического подхода можно считать использование при построении самосогласованного решения уравнений возбуждения Л.А.Вайнштейна[б,7] , являющихся следствием уравнений Максвелла. При этом искомые поля представляются суммой собственных типов волн пустой волноведушей системы, которые считаются известными.
В работе [I]построена линейная теория электронных волн в бесконечно протяженных "гладких" замедляющих системах. Показано, что неизвестное волновое число электронных волн П. является стационарным функционалом от функцийY(x,ij), учитывающих распределение переменной составляющей плотности тока в поперечном сечении замедляющей системы. В разложении искомых полей по собственным волнам пустой замедляющей системы выделено резонансное слагаемое, соответствующее собственной волне, синхронной с электронным потоком, все остальные слагаемые включены в поле пространственного заряда и описаны с помощью коэффициента депрессии. При этом дисперсионное уравнение становится алгебраическим четвертого порядка, причем корень, соответствующий несинхронной в рассматриваемом случае встречной волне поля, легко отщепляется. Приведено детальное исследование кубического уравнения, определяющего постоянные распространения трех остальных электронных волн. Определены области изменения параметров, характеризующих электронный поток, в которых возможны нарастающие в продольном направлении решения. Кроме того, на основе использования строгих трансцендентных-дисперсионных уравнений, полученных в других работах, определен явный вид коэффициента депрессии для гребенчатых и спиральных замедляющих систем. В [2] результаты работы [і] обобщены на случай периодических волноведущих структур при условии, что рабочая частота лежит вдали от границ полос прозрачности.
В работах [8,9] сделана попытка использовать указанный подход для анализа особенностей взаимодействия типа "О" вблизи границ полос прозрачности замедляющей системы. Более подробно об этих работах будет сказано ниже.
В работах [10,11,12] , посвященных исследованию электронных волн в аксиально - симметричном нерегулярном волноводе, использовано разложение искомых полей в каждом поперечном сечении в ряд по собственным волнам Е0- типа цилиндрического волновода, что позволяет считать неизвестными собственные типы волн исследуемой волноведущей системы. При этом задача сводится вариационным методом к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, которая исследуется методом возмущений. Как частный случай нерегулярных рассмотрены периодические волноводы с электронным потоком, для которых в [10] показано, что резонанс типа волна -- пучок, то есть выполнение условий синхронизма между волнами волноведушей системы и волнами пространственного заряда, может приводить к появлению нарастающих по длине (ЛБВ) или во времени (ЛОВ) решений. В [II] приведены результаты численного анализа дисперсионного уравнения для конкретной геометрии волновода.
Характерным для обоих вариантов электродинамического подхода является следующее. При получении дисперсионного уравнения волноведущая система и электронный поток считаются бесконечно протяженными. Таким образом, корни дисперсионного уравнения определяют постоянные распространения волн, которые могут существовать в анализируемой системе. Методика вывода дисперсионного уравнения, трансцендентного или алгебраического, достаточно хорошо разработана. В частности, в [4] исследованы случаи, когда трансцендентное уравнение преобразуется в алгебраическое. Исследованы условия, при которых дисперсионное уравнение имеет комплексные корни, приводящие к нарастающим в продольном направлении решениям. Показано, что при синхронизме медленной волны пространственного заряда с прямой волной поля возникает конвективная неустойчивость, то есть возможно усиление, при синхронизме медленной волны пространственного заряда с встречной волной поля возникает абсолютная неустойчивость, то есть возможна генерация.
Иначе обстоит дело с методикой определения амплитуд электронных волн. В значительной части работ данный вопрос вообще не рассматривается, а усиление определяется на единицу длины пространства взаимодействия по мнимой части соответствующего корня дисперсионного уравнения. Либо, как это сделано в [8,9] , на концах пространства взаимодействия задается коэффициент отражения, причем неясно, как определить его численное значение в конкретных случаях. Исключение, пожалуй, составляет линейная трехволновая теория ЛЕВ и ЛОВ. Предложенная в [13] модель, в которой волна синхронного с электронным потоком типа набегает из пустого волновода на границу электронного потока, позволяет в данном случае определить амплитуды трех учитываемых при анализе волн. Результатом использования данной модели являются следующие очевидные с физической точки зрения граничные условия [14] : равенство нулю переменных составляющих плотности тока и скорости в электронном потоке на левой границе пространства взаимодействия при отсутствии предварительной модуляции, а также равенство полей набегающей слева волны и суммы электронных волн на той же границе пространства взаимодействия. Указанных условий три - именно это и позволило в трехволновой теории получить выражения для амплитуд электронных волн.
В общем случае, однако, в волноведушей системе с электрон - 9 -ным потоком может существовать бесконечное число волн, а граничных условий по-прежнему три. Следовательно, определение амплитуд электронных волн в произвольном случае невозможно без детального исследования свойств данных волн.
Обратимся теперь к работам, основанным на замене реальной волноведущей системы эквивалентной длинной линией с сосредоточенными параметрами. Физической предпосылкой решения электронной части задачи является то, что для многих используемых в практике замедляющих систем, таких, например, как цепочка связанных резонаторов, в пространстве взаимодействия могут быть выделены области, в которых электронный поток испытывает воздействие высокочастотных полей - области группирования, и области, в которых продольная составляющая электрического поля практически равна нулю - области дрейфа [І5І. Это позволяет при определении переменной составляющей тока в электронном пучке воспользоваться каскадной теорией группирования, разработанной применительно к приборам клистронного типа. Таким образом, преимуществом рассматриваемого подхода является учет взаимодействия электронного потока со всеми пространственными гармониками поля периодической замедляющей системы. В [16] получено дисперсионное уравнение и доказано существование нарастающего корня для частот, лежащих в середине полосы прозрачности. Ряд работ посвящен исследованию взаимодействия на частотах, близких к граничным. В [17,18] , например, получено и проанализировано дисперсионное уравнение, справедливое в указанном случае.
Необходимо отметить, что при данном методе анализа всегда остается открытым вопрос о соответствии эквивалентной схемы с сосредоточенными параметрами реальной замедляющей системе. В каждом конкретном случае необходимо сравнение дисперсионных кривых, полученных экспериментально, с рассчитанными с помощью эквивалентной схемы, что затрудняет использование данной методики. К тому же не всегда удается подобрать параметры эквивалентной схемы так, чтобы дисперсионные кривые совпадали в широкой полосе частот. Так авторы [19] отмечают, что подбором параметров им удалось добиться совпадения дисперсионных кривых эквивалентной схемы и реальной электродинамической структуры на граничных частотах, однако при этом наблюдалось расхождение дисперсионных кривых в середине полосы прозрачности.
Как и в случае электродинамического подхода, нельзя считать удовлетворительной методику определения амплитуд электронных волн: элемент связи в эквивалентной схеме заменяется обычно входным генератором, кроме того, вводятся входной и выходной импедансы, характеризующие согласование элементов связи с вол-новедущей системой. При анализе величины импеданса считаются заданными, однако вопрос об определении их численного значения в конкретных случаях является достаточно сложным.
Остановимся более подробно на работах, посвященных анализу взаимодействия типа "О" вблизи границ полос прозрачности волно-ведущей системы. В работах [3,4,20] на основе исследования взаимодействия электронного потока с полями гребенчатой замедляющей системы теоретически показана возможность внеполосного усиления. В [4] точное дисперсионное уравнение сведено введением малого параметра к алгебраическому уравнению четвертой степени. Там же отмечается, что групповая скорость волны пустой замедляющей системы на границе полосы прозрачности обращается в нуль: rPcLp» , поэтому необходимо учитывать следующую производную
Алгебраическое дисперсионное уравнение четвертой степени получено и при использовании метода эквивалентных схем в [l9,2l] , [22,23]. Проведено детальное исследование дисперсионного урав - II нения, определено смещение критических частот вследствие заполнения замедляющей системы электронным потоком, определены условия существования внеполосного усиления. В [23] проанализированы замедляющие системы с отрицательной (цепочка связанных резонаторов) и положительной (гребенчатая структура) дисперсией, причем, как следует из анализа, особенности взаимодействия определяются не типом дисперсии, а характером границы - длинноволновая или коротковолновая.
В работах [8,9] и [24,25,26] предпринята попытка выявить общие закономерности взаимодействия типа "О" вблизи границ полос прозрачности, использовав теорию возбуждения волноводов Л.А.Вайнштейна, то есть сделана попытка построить четырехволно-вую теорию аналогично тому, как строится трехволновая теория для частот, лежащих в середине полосы прозрачности. В [9] отмечается, что вблизи границы полосы прозрачности поля встречной волны пустой замедляющей системы, так же, как и поля прямой волны, содержат синхронную с электронным потоком пространственную гармонику. Однако используемый автором параметр малости введен эмпирически, а не получен в результате анализа (традиционное сопротивление связиR E0/2P ,Р- поток мощности, обращающееся в бесконечность на границе полосы прозрачности, дополнено сомножителем bLtA0D\ , где ft- постоянная распространения,!) - период замедляющей системы, так что величинаRo\suinJ)\ остается конечной на границе полосы, однако из приведенного анализа не следует, что именно данное произведение характеризует взаимодействие электронного потока одновременно с двумя синхронными гармониками поля). В [8] граничные условия для определения амплитуд электронных волн задаются с помощью коэффициентов отражения на концах пространства взаимодействия, однако вопрос об определении численных значений коэффициентов отражения не обсуждается.
В [27,28] отмечено, что в выражениях для полей появляется неопределенность, возникающая в результате того, что уравнения возбуждения Л.А.Вайнштейна содержат в знаменателе обращающуюся в нуль на критических частотах норму; там же показано, что поля на критических частотах остаются конечными. В [24,25,26] неопределенность устраняется введением комбинационных сопротивлений связи, которые являются линейными комбинациями из сопротивлений связи синхронных с электронным потоком гармоник поля и входят в дисперсионное уравнение. Однако использование комбинационных сопротивлений связи вряд ли является оправданным, так как в середине полосы пропускания электронный поток может находиться в синхронизме только с одной гармоникой поля либо прямой, либо встречной волны, и для описания взаимодействия вполне достаточно традиционного сопротивления связи, а вблизи границ полос прозрачности, как будет показано ниже, амплитуды гармоник прямой и встречной волн связаны вполне определенными соотношениями, и нет смысла вводить в рассмотрение два комбинационных сопротивления.
Естественным продолжением исследования особенностей взаимодействия типа "О" вблизи границ полос прозрачности явился бы анализ условий подавления входного сигнала и распространение методики определения параметров замедляющих систем с помощью электронного зонда на частоты, близкие к граничным. Однако в перечисленных работах анализ условий подавления вблизи границ полос прозрачности отсутствует, и это лишний раз указывает на то, что трудности в определении амплитуд электронных волн носят принципиальный характер.
Анализ литературы показывает, что далеко не все задачи о взаимодействии протяженных электронных пучков с высокочастотными полями волноведущих систем могут быть решены в рамках традиционных представлений: расчет коэффициента усиления, условий по - ІЗ -давления входного сигнала и т.п. требует определения амплитуд электронных волн, а для этого необходимо детальное исследование свойств собственных типов волн волноведущих систем, заполненных электронным потоком.
Учитывая сказанное, цель настоящей работы можно сформулировать следующим образом:
I. Детальное исследование свойств собственных типов волн волноведущих систем с электронным потоком, в частности, доказательство соотношения ортогональности для электронных волн и выяснение его физического смысла.
2.Распространение теории возбуждения пустых волноводов Л.А. Вайнштейна, необходимой для расчета продольных постоянных распространения и полей электронных волн, на случай кратных волновых чисел пустой волноведушей системы.
3.Вывод уравнений возбуждения электронных волн сторонними источниками, позволяющих по заданным токам, создаваемым элементами связи волноведущей системы с внешними электродинамическими цепями, определять амплитуды электронных волн. 4.Использование полученных соотношения ортогональности и уравнений возбуждения при решении конкретных физических задач, в частности, исследование на их основе особенностей взаимодействия типа"0" вблизи границ полос прозрачности замедляющих систем.
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и четырех приложений. Она изложена на 124 страницах машинописного текста, содержит 23 рисунка на 25 листах, список работ соискателя, список использованной литературы и 4 приложения на 16 стр. В первой главе приведено физическое обоснование метода анализа, получено соотношение ортогональности и выражение для нормы электронных волн. Проведено сравнение выражения для нормы с энергетическими характеристиками, позволяющее выяснить физический смысл нормы.
Во второй главе рассмотрены методы отыскания постоянных распространения, полей и нормы собственных типов волн волноведущих систем, заполненных электронным потоком, На примере волновода с простой геометрией проверена справедливость соотношения ортогональности. Рассмотрены возможности определения полей электронных волн с использованием теории возбуждения волноводов, развитой Л.А.Вайнштейном. Отмечены случаи, когда полнота системы собственных функций пустой волноведущей структуры нарушается, что приводит к невозможности непосредственного использования уравнений возбуждения Л.А.Вайнштейна. Получены модифицированные уравнения возбуждения, работоспособные в данном случае.
Третья глава посвящена проблеме определения амплитуд электронных волн. Выведенные на основании соотношения ортогональности уравнения возбуждения позволяют определять независимо друг от друга амплитуды электронных волн по заданным значениям сторонних токов на элементах связи. Рассмотрены энергетические со отношения для волноведущей системы с элементами связи и электронным потоком. ч
В четвертой главе работоспособность общих соотношений продемонстрирована на примере решения конкретных задач электроники СВЧ. Для линейной трехволновой теории ЛБВ получены более простые по сравнению с общепринятыми выражения для амплитуд электронных волн, приводящие к результатам, совпадающим с известными. Решена задача об отражении электромагнитной волны от границы электронного потока в двумерном гладком волноводе. Исследованы особенности взаимодействия типа "О" вблизи границ полос прозрачности замедляющих систем.
В приложениях приведено доказательство некоторых соотноше - 15 ний, используемых в основном тексте.
Результаты, приведенные в диссертации, доложены и обсуждались на Всесоюзной научной сессии НТО радиотехники, электроники и связи им. А.С.Попова (г. Москва,1974), 34 Всесоюзной научной сессии НТО радиотехники, электроники и связи им. А.С.Попо-ва (г.Москва,1979), 3 зимней школе - семинаре инженеров по электронике СВЧ (г. Саратов,1974), семинаре "Проблемы электроники СВЧ" в Московском институте электронного машиностроения (г. Москва, 1975), 8 Межвузовской конференции по электронике СВЧ (г. Ростов-на-Дону, 1976).
Основные результаты диссертации опубликованы в II печатных работах, список которых приведен на стр.150.
На защиту выносятся:
I. Доказательство того факта, что в линейном приближении собственные типы волн волноведущих систем, заполненных электронным потоком, биортогональны, что является математическим отражением их независимости.
2.Методика определения амплитуд электронных волн, позволяющая с помощью уравнений возбуждения вычислять независимо друг от друга амплитуды электронных волн по заданным значениям сторонних токов, создаваемых элементами связи волноведушей системы с внешними электродинамическими цепями.
3.Уравнения возбуждения волноводов, работоспособные в случае кратного вырождения волновых чисел, в частности, на границах полос прозрачности замедляющих систем, позволяющие расширить область применимости теории возбуждения волноводов, используемой при решении практических задач радиофизики сверхвысоких частот.
4.Основанное на электродинамическом подходе описание взаимодействия типа "О" вблизи границ полос прозрачности замедляющих систем, содержащее вывод и исследование дисперсионного уравнения, расчет коэффициента усиления в зависимости от пара1 метров дисперсионного уравнения-, анализ условий подавления входного сигнала.
Использование теории возбуждения волноводов Л.А.Вайнштейна для анализа электронных волн
Для того, чтобы избежать конкретизации типа волноведущей системы, целесообразно воспользоваться разложением собственных функций волноведущей структуры с электронным потоком по собственным типам волн пустого волновода, используя при этом теорию возбуждения волноводов, развитую Л.А.Вайнштейном [б]. Следует оговориться, что такой подход не является новым, на его основе построена трехволновая теория ламп бегущей и обратной волны. Однако целью предшествующих работ было получение дисперсионного уравнения, определяющего продольные постоянные распространения электронных волн, целью же настоящего раздела является разработка методики определения полей и норм собственных типов волн вол новедущей структуры с электронным потоком. Рассмотрим однородную волноведущую систему, заполненную электронным потоком. Ограничения, наложенные на свойства электронного потока, приведены в первой главе. Кроме того, будем считать, что постоянная составляющая плотности пространственного заряда распределена равномерно по сечению пучка S1, то есть где Последнее ограничение может быть снято, если воспользоваться методикой, предложенной в [7], но анализ при этом становится более громоздким. В соответствии с [б] поля в волноведущей системе с электронным потоком можно представить в виде: где Е Н - поля прямых и встречных собственных волн пустого волновода, а коэффициенты разложения С. определяются уравнениями Переменная составляющая плотности тока в электронном пучке J Л удовлетворяет уравнению: ; Соотношения /2.16/,/2.17/,/2.19/ образуют исходную систему уравнений. Преобразуем её, используя связь между полями прямых и встречных волн пустого волновода, а также новые коэффициенты разложения:
Так как правая часть равенства /2.24/ зависит не только от продольной координаты н , но и от поперечных координат, целесообразно переменную составляющую плотности тока представить в виде: Полагая, что все переменные величины зависят от координаты Z в - матрица-столбец из коэффициентов вк. Дисперсионное уравнение, определяющее постоянные распространения собственных типов волн волноведушей системы с электронным потоком Г , получается из условия существования нетривиального решения однородной системы уравнений /2.30/: Дисперсионное уравнение /2.32/ имеет в общем случае бесконечное число корней, являясь трансцендентным. Однако в ряде частных случаев оно преобразуется в более простое алгебраическое уравнение. Рассмотрим, например, гладкую волноведушую систему с идеально проводящими стенками, полностью заполненную электронным потоком. В данном случае $=Ъ , и, как показано в Приложении Поэтому бесконечная система уравнений /2.29/ распадается на отдельные уравнения вида: а дисперсионное уравнение становится алгебраическим: Из соотношений /2.21/,/2.28/ получаем, что выражения для компонент полей электронных волн в данном случае имеют вид: Используя соотношения /2.36/, нетрудно определить норму собственных типов волн заполненного электронным потоком волновода: Отметим, что если в соотношения /2.35/ - /2.37/ подставить выражения для постоянных распространения и собственных полей двумерного волновода /2.9/,/2.10/, получим соотношения, совпадающие с /2.4/,/2.5/,/2.8/. Переписав для удобства дисперсионное уравнение /2.35/ в форме: и продифференцировав его по Г , получаем условие существования кратного корня: Сравнивая /2.39/ с /2.37/, убеждаемся, что норма соответствующе го типа волны волноведущей системы с электронным потоком обращается в нуль, если дисперсионное уравнение имеет кратный корень. Следует отметить здесь ещё одно важное свойство собственных функций волноведущих систем с электронным потоком.
Если дисперсионное уравнение в соответствии с /2.У8/ записать в виде: то частная производная от дисперсионной функции - -- с точностью до постоянного множителя і fisNbсовпадает с нормой соответствующего типа волны. Данное свойство, доказанное-здесь для гладких волноведущих систем с идеально проводящими стенками, заполненных электронным потоком, является, видимо, аналогом теоремы Фостера [34] и позволяет по дисперсионному уравнению определять норму, не прибегая к прямому вычислению с помощью соотношений Рассмотрим еще один частный случай определения собственных полей заполненной электронным потоком волноведущей системы с помощью уравнений возбуждения Л.А.Вайнштейна. Будем считать, что постоянная скорость электронного потока V0 близка к фазовой скорости одной из собственных волн пустой однородной замедляющей системы. Интересными с точки зрения приложений являются те электронные волны, которые получаются из синхронной с электронным потоком волны пустой волноведущей системы. Из физических соображений ясно, что слагаемые, соответствующие синхронной волне (пусть для определенности это будет волна нулевого типа) в суммах, стоящих в правых частях /2.16/, значительно превосходят все остальные. Поэтому будем считать, что выражения для полей электронных волн, получающихся из синхронной с потоком волны пустой системы, можно записать в виде:
Уравнения возбуждения для периодических замед ляющих систем на границах полос прозрачности
При выводе данных уравнений не будет использовано представление о присоединенных функциях, уравнения будут получены с помощью предельного перехода непосредственно из уравнений возбуждения Л.А.Вайнштейна. Такой способ получения уравнений возбуждения обладает большей наглядностью, кроме того, как будет показано ниже, промежуточные результаты могут быть полезны при численном анализе. Запишем в качестве исходных уравнения возбуждения Л.А.Вайнштейна и выражения для компонент полей, считая для простоты, что магнитные токи отсутствуют: В Приложении 2.6 показано, что на границах полос прозрачности поля прямой и встречной волн данного типа совпадают, то есть где гЦ- постоянная распространения нулевой гармоники данного типа волны; w - период исследуемой замедляющей системы. Очевидно, что значения постоянных распространения на границах полос прозрачности являются кратными, причем кратность равна двум. Действительно, если (Ц 0 , то HTL_==0=rls, еслигі у-, то іг_ч= і » а так как ДДЯ периодических волноведущих структур вол-новые числа определяются с точностью до слагаемого —— , то и в данном случае волновые числа являются кратными (постоянная распространения -1-ой гармоники встречной волны совпадает с 1Ц= —: \С = Рьт" =Т ) У461011 соотношений /2.81/ из /2.80/ следует, что на границах полос прозрачности норма обращается в нуль и уравнения возбуждения в форме /2.78/ теряют смысл. Именно это приводит к невозможности использования уравнений /2.78/ для численного анализа в непосредственной близости от границ полос прозрачности. Однако нетрудно заметить, что коэффициенты разложения Cs и C_s стремятся к бесконечности приг1- 0, , имея разные знаки, поэтому в выражениях для полей /2.79/ возникает неопределенность типа бесконечность минус бесконечность.
Следовательно, целесообразным представляется преобразование уравнений возбуждения /2.78/ и выражений для полей /2.79/ к виду, допускающему предельный пе ся граничной для нулевого типа волны, что не снижает общности результатов). Отметим, что введенные соотношениями /2.82/ поляЕіо, "to будут ортогональны ко всем остальным типам волн, так как они явля-ются линейными комбинациями полей Е+о, Н+0. Следовательно, все уравнения возбуждения, кроме тех, которые соответствуют нулевому типу волны, сохранят форму /2.78/. Аналогичный результат был получен выше (см., например, /2;65/,/2.74а/). Выражения для полей /2.79/ приобретают вид: Получим уравнения для С+0. Складывая уравнения /2.78а/ и /2.786/ и учитывая соотношения /2.83/,/2.84/, получаем: Вычитая /2.786/ из /2.78а/, имеем: где С помощью выражений для вновь введенных полей /2.82а,б/ нетруд Л/ но убедиться в том, что величинаМ0удовлетворяет соотношению: то есть Н0 является квадратичной формой, аналогичной норме, но составленной из полей Ev , Я+ . Из соотношения /2.86/ видно, что л "о -о -о при rt0- ri0 для N0 получаем неопределенность типа нуль деленный на нуль. Уравнения /2.85/ эквивалентны исходным , но в них можно вы-полнить предельный переход пригів- гіо. Обозначив индексом нуль вверху предельные значения входящих в уравнения величин, получаем уравнения возбуждения, справедливые на границах полос прозрачности: Л-о _!_ f ч С (в г! t /2.886/ Выясним смысл входящих в полученные уравнения величин. Очевидно, что то есть kj0 , Hl0 - поля собственной волны нулевого типа на границах полосы прозрачности. Используя правило Лопиталя [38], нетрудно показать, что то есть Е_1 , Н_ - поля присоединенной волны, соответствующей двукратному волновому числу rto=ft,o. Величина W с точностью до постоянного множителя совпадает с производной от нормы М0по постоянной распространения: в чем нетрудно убедиться, воспользовавшись правилом Лопиталя. Таким образом, в уравнения возбуждения, справедливые на границах полос прозрачности, вместо одной из собственных волн входит присоединенная волна Ej , Н. , а вместо нормы N0 - квадратичная форма, аналогичная норме, составленная из полей собственной и присоединенной волн.
Следует отметить, что уравнения /2.85/, полученные в качестве промежуточных, имеют и самостоятельное значение: их удобно использовать для численного анализа вблизи границ полос прозрачности, так как все входящие в /2.85/ величи-ны имеют конечный предел при fL = ri0 , поскольку кратность корня равна двум. Для того, чтобы можно было сравнить полученные уравнения возбуждения с уравнениями возбуждения для попутных кратных волн /2.716,в/, преобразуем уравнения /2.88/. В силу соотношений /2.89/ имеем: Л0) л ч -о ,
Закон сохранения энергии в волноведущей системес электронным потоком и сторонними токами
Для выяснения особенностей возбуждения электронных волн запишем закон сохранения энергии для полных полей,удовлетворяющих уравнениям /3.1/,/3.2/. Следует оговориться, что энергетические соотношения, которые будут получены ниже, справедливы с точностью до квадратов переменных величин, так как при их выводе используется линеаризованное уравнение движения электронного потока. Из неоднородных уравнений Максвелла /3.1а,б/ нетрудно получить: Считая, что потери энергии в волноведущей системе отсутствуют, выделим в последнем равенстве действительную часть: Первое и второе слагаемые в правой части /3.15/ соответствуют мощности взаимодействия сторонних токов с переменными полями. Третье слагаемое необходимо преобразовать к дивергенции от некоторой величины аналогично тому, как это было сделано в первой главе при выводе соотношения ортогональности. Умножив уравнение Соотношение /3.16/ проинтегрируем по объёму волновода V , ограниченному двумя поперечными сечениями ЬА (z -2 ) и р С а) » счи" тая, что все источники заключены в выбранном объёме V . Воспользовавшись теоремой Остроградского-Гауееа, получим: При выводе соотношения /3.17/ предполагалось, что стенки волно-ведущей системы являются беспотерными, то есть поток активной мощности в стенки отсутствует, именно поэтому в левой части /3.17/ нет интеграла по боковой поверхности волноведущей системы, ограничивающей объём V . Используем в равенстве /3.17/ разложение полей Е. , И , а также переменных составляющих скорости и плотности тока V и е в ряд по собственным функциям заполненной волноведущей системы /3.3/,/3.4/,/3,76/,/3;9/. Получаем: В правой части /3.18/ стоит сумма по всем типам волн средней за период высокочастотных колебаний энергии взаимодействия сторон -них источников с полями собственных типов волн. В левую часть /3;18/ кроме собственных потоков мощности электронных волн, соответствующих слагаемым при K=S , входят перекрестные потоки мощности (слагаемые при К $) .
Преобразуем левую часть равенства /3.18/, для чего выделим в отдельную сумму слагаемые при K=s , а оставшиеся слагаемые сгруппируем попарно: слагаемое с номером т.п. и слагаемое с номером am . Тогда имеем: где е - суммарный поток электромагнитной и кинетической мощности, переносимый S-ой собственной волной, определяемый равенством /І.І6/. Воспользовавшись выражением для перекрестных потоков мощности /і.15/, получаем: Дальнейшие преобразования закона сохранения энергии /3.19/ проведем для однородных волноведущих систем. Для них в первой главе доказаны следующие соотношения: %0 , еслиІтГс О ;?sf0 , еслиГг Гс,;3 0 , если1тА=0 /3.20/ В силу данных соотношений, а также учитывая тот факт, что коэффициенты разложения Сь определяются из уравнений возбуждения независимо друг от друга, поскольку уравнения возбуждения не связаны, соотношения /3.19/ приводят к более простым равенствам: 1.Г«=$еГъ - волны с действительными постоянными распространения. Отметим, что в зависимости от того, распространяется волна данного типа в положительном или отрицательном направлении оси"2 , С =0 либо 0 2.)=0. Соотношение /3.21/ означает, что суммарный поток электромагнитной и кинетической мощности, уносимый 5-ой волной, равен мощности взаимодействия полей данной волны со сторонними источниками. 2. Волны с комплексными постоянными распространения. В первой главе показано, что для беспотерных волноведущих систем с электронным потоком комплексные волновые числа появляются парами комплексно-сопряженных, то есть для любого [\ с 1тГь 0 найдется корень дисперсионного уравнения Гг такой, что П Гс, Тогда из соотношения /3.19/ имеем:
Исследование особенностей взаимодействия типа "О" вблизи границ полос прозрачности замедляю щих систем
Специфической особенностью взаимодействия типа "0" в непосредственной близости от границ полос прозрачности замедляющих систем является то, что фазовые скорости гармоник прямой и встречной волн почти одинаковы - на границах полос прозрачности прямая и встречная волны, как известно, становятся неразличимы ми. Следовательно, электронный поток должен эффективно взаимодействовать как с прямой, так и со встречной волнами пустой замедляющей системы. Действительно, из рис.4.4, на котором качественно изображена дисперсионная характеристика замедляющей системы с положительной дисперсией, видно, что если скорость электронного потока VQ близка к VoA , то поток находится в синхронизме одновременно с нулевой гармоникой прямой волны и -1-ой гармоникой встречной. Если же\тс\У , то поток находится в синхронизме с 1-ой гармоникой прямой и -1-ой гармоникой встречной волны. В зависимости от того, с которой из волн пучок взаимодействует эффективнее, реализуется режим усиления прямой волны - режим типа ЛЕВ, либо режим самовозбуждения на встречной волне - режим типа ЛОВ. В частности, для коротковолновой границы полосы прозрачнос-ти при V0 U следует ожидать возникновения режима типа ЛЕВ, а при % VJp - возникновения генерации. Вблизи длинноволновой грани-цы картина будет обратной: при1 "0 - режим типа ЛЕВ, приТ Цг - режим типа ЛОВ (в обоих случаях под понимается значение фазовой скорости синхронной с потоком гармоники поля прямой волны на границе полосы прозрачности). Таким образом, взаимодействие в указанном диапазоне частот является четырехволновым. другой специфической особенностью является то, что в полосе непропускания и прямая, и встречная волны пустой замедляющей системы становятся реактивно затухающими и имеют нулевой поток активной электромагнитной мощности. В то же время существование внеполосного усиления подтверждено экспериментально . Это означает, что появление распространяющихся волн связано с внесением в замедляющую систему электронного потока. Из сказанного следует, что модель Л.А.Вайнштейна [13\, ис- . пользуемая для определения амплитуд электронных волн в трехвол новой теории ЛБВ, оказывается неприменимой, если частота сигнала близка к частоте, соответствующей границе полосы прозрачности, действительно, в разделе 4.2 на примере двумерного волновода показано, что при приближении частоты к критической для подводящего волновода амплитуды электронных волн уменьшаются, обращаясь в нуль на критической частоте. .Аналогичный результат для произвольной волноведущей системы получен в [43].
Учитывая сказанное, для определения амплитуд электронных волн следует воспользоваться уравнениями возбуждения, полученными в третьей главе, а поля электронных волн представить в виде разложения по собственным волнам пустой замедляющей системы. Таким образом будет исключена необходимость конкретизации типа замедляющей системы, а построенная теория будет аналогом линейной трехволновой теории ЛБВ, работоспособным в окрестности границ полос прозрачности. Будем полагать для определенности, что постоянная скорость электронного пучка VTQ близка к фазовой скорости одной из гармоник нулевого типа волны пустой замедляющей системы, а постоянная составляющая плотности тока невелика. Тогда в разложениях /2.20/,/2.21/ все несинхронные слагаемые будут много меньше синхронных, соответствующих прямой и встречной волнам нулевого типа. Поэтому, отбрасывая несинхронные слагаемые, имеем: где И0- постоянная распространения низшей гармоники волны нулевого типа пустой замедляющей системы; ЕЦ,Н0а- электрическое и магнитное поля Ц-ой пространственной гармоники для пустой замедляющей системы; ЇІДі А соответствующие величины для заполненной электронным потоком структуры; L - пространственный период замедляющей системы. Отметим, что в соотношении /4.30а/ поле пространственного заряда учитывается слагаемым, соответствующим полю пространственного заряда бесконечно широкого электронного потока, что в общем случае не совсем корректно. Более корректно учесть влияние полей пространственного зарядаможно с помощью методики, предложенной в [?], однако выкладки при этом становятся громоздкими. Коэффициенты разложения С+ в соответствии с \б\ определяются уравнениями возбуждения:
