Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Генераторы хаоса с активным элементом на основе биполярного транзистора 16
1.1. Схема генератора на основе активного элемента и пассивного четырехполюсника 19
1.2. Модели биполярного транзистора 23
1.3. Модель генератора с биполярным транзистором в качестве активного элемента и линейным четырехполюсником в цепи обратной связи 27
1.4. Емкостная трехточка. Динамика модели с кусочно-линейной характеристикой транзистора 30
1.4.1. Математическая модель 30
1.4.2. Типичные динамические режимы и бифуркационные процессы 31
1.4.3. Представление генератора в виде структуры «активный элемент - четырехполюсник» 35
1.4.4. Формирование спектра мощности колебаний в трехточечной схеме 37
1.5. Емкостная трехточка. Модель с экспоненциальной характеристикой транзистора 43
1.5.1. Математическая модель 43
1.5.2. Типичные динамические режимы и бифуркационные процессы 43
1.6. Схемотехническое моделирование трехточечной схемы 45
1.7. Выводы 51
Глава 2. Хаотические генераторы с заданным спектром 53
2.1. Система с 2.5 степенями свободы 53
2.1.1. Математическая модель 53
2.1.2. Типичные динамические режимы и бифуркационные процессы 54
2.1.3. Формирование спектра мощности колебаний генератора с 2.5 степенями свободы 57
2.2. Схемотехническое моделирование генератора с 2.5 степенями свободы 71
2.3. Однотранзисторный генератор хаоса с 5.5 степенями свободы 78
2.3.1. Математическая модель 78
2.3.2. Типичные динамические режимы 81
2.3.3. Представление генератора в виде структуры «активный элемент - четырехполюсник» 81
2.3.4. Формирование спектра мощности колебаний генератора с 5.5 степенями свободы 86
2.3.5. Повышение энергетической эффективности генератора 90
2.4. Выводы 96
Глава 3. Разделение хаотических сигналов 97
3.1. Постановка задачи 101
3.2. Принцип разделения 102
3.3. Компьютерное моделирование и его результаты 111
3.4. Пороговый эффект и его природа 119
3.5. Выводы 122
Глава 4. Модифицированные методы разделения сигналов 123
4.1. Обобщение формулировки задачи 123
4.2. Многоветочный алгоритм 126
4.3. Разделение сигналов в режиме реального времени 131
4.4. Разделение т сигналов 133
4.5. Выводы 135
Заключение 138
Приложение. Программный комплекс «Хаотическая динамика 3.0» 139
Список литературы 144
- Модель генератора с биполярным транзистором в качестве активного элемента и линейным четырехполюсником в цепи обратной связи
- Типичные динамические режимы и бифуркационные процессы
- Принцип разделения
- Многоветочный алгоритм
Введение к работе
Динамический хаос (ДХ) - сложное непериодическое движение, порождаемое нелинейными системами [1-28]. Такой тип движения может возникать в отсутствии внешнего шума и полностью определяется свойствами детерминированной динамической системы. В течение последних 40 лет, с момента открытия динамического хаоса интерес к нему в научной среде не ослабевает. На протяжении этого времени это явление активно исследовалось различными научными группами.
В многочисленных теоретических и экспериментальных работах было показано, что явление ДХ может быть широко использовано в различных областях науки и техники, в частности путем создания новых технологий на его основе.
Одним из перспективных направлений использования ДХ является применение его в коммуникационных технологиях [29-57]. Он обладает рядом свойств [45, 50, 51, 58], которые могут быть полезны при передаче и обработке информации. Например, использование ДХ дает возможность получения сложных колебаний с помощью простых по структуре устройств, при этом в одном устройстве можно реализовать большое количество различных хаотических мод; управления хаотическими режимами путем малых изменений параметров системы; увеличения скорости модуляции по отношению к модуляции регулярных сигналов за счет чувствительности хаотической системы к внешним возмущениям. Хаотические сигналы обладают большой информационной емкостью и позволяют использовать разнообразные методы ввода информационного сигнала в хаотический; повысить уровень конфиденциальности при передаче сообщений. Важной особенностью хаотических систем является возможность самосинхронизации передатчика и приемника. Наконец, в системах связи на хаотических сигналах можно реализовать нетрадиционные методы мультиплексирования и демультиплексирования [59-62].
Важнейшей частью системы передачи информации на основе динамического хаоса является генератор хаотических колебаний. Для обеспечения эффективной работы системы связи генератор хаоса должен обладать определенными характеристиками. Например, генерируемый сигнал должен иметь равномерный спектр мощности в нужной полосе частот. Поэтому создание генераторов хаоса с заданными спектральными характеристиками, а также с возможностью управления этими характеристиками является актуальной задачей, определяющей возможность практической реализации коммуникационных систем на основе динамического хаоса.
В последние годы был проведен ряд работ по созданию генераторов ДХ с заданным спектром. В частности, были предложены кольцевые генераторы хаоса [63, 64], для которых разработана теория формирования спектра хаотического сигнала, а также однотранзисторный полосовой генератор хаоса [65], для которого продемонстрирована возможность управления полосой хаотического спектра. Однако в кольцевых системах, как правило, используются нелинейные элементы со сложной характеристикой, имеющей падающий участок, а также буферные каскады между элементами цепи. Это увеличивает число элементов в схеме и усложняет саму схему генератора, что затрудняет практическую реализацию таких схем в СВЧ диапазоне. В случае одно-транзисторного полосового генератора хаоса нет полной ясности в том, какие механизмы отвечают за формирование спектра.
Для успешной разработки генераторов хаоса с заданным спектром необходимо понять, как происходит формирование спектра мощности сигнала в генераторе, какими параметрами системы определяется форма спектра и какие условия должны выполняться, для того, чтобы сигнал на выходе генератора имел спектр мощности максимально приближенный к желаемой форме.
Представляется целесообразным начать исследования с простейших генераторов - генераторов на основе одного транзистора и минимального числа элементов, при котором в генераторе может возникать хаос (как известно это возможно в генераторе с 1.5 степенями свободы), изучить процесс фор мирования спектра в таком генераторе, после чего усложнять систему, добавляя в нее новые элементы, чтобы создать условия для формирования более сложных спектров.
Не менее важной задачей при реализации коммуникационной системы является реализация многопользовательского доступа, и, связанная с ней задача разделения суммы хаотических сигналов на отдельные компоненты при передаче их по каналу связи в присутствии внешних помех.
Хотя для современных систем связи разработан ряд методов разделения сигналов, проблема разделения сигналов остается актуальной и есть основания полагать, что использование хаотических сигналов в качестве несущей позволит разработать новые подходы к ее решению.
Целью диссертационной работы является исследование двух проблем, возникающих при разработке средств связи на основе хаотических сигналов: создание генераторов хаотических колебаний с заданными спектральными свойствами на основе транзисторов и разработка новых подходов к проблеме разделения хаотических сигналов.
Актуальность работы обусловлена тем, что разработка методов построения генераторов хаоса с заданными спектральными свойствами и создание самих этих генераторов, а также разработка методов мультиплексирования и демультиплексирования хаотических сигналов, является необходимым этапом для практической реализации систем передачи информации на основе динамического хаоса.
Основные задачи, решаемые в работе:
- разработка и исследование моделей транзисторных генераторов хаоса с заданным спектром мощности;
- разработка метода разделения хаотических сигналов в присутствии внешнего шума;
Научная новизна заключается в следующем:
- предложен метод построения однотранзисторных генераторов хаоса со спектром, близким к заданному;
- на основе разработанного метода предложена модель хаотического генератора с 2.5 степенями свободы;
- изучены возможности формирования спектра в моделях трех генераторов хаоса: а) в емкостной трехтонке; б) в генераторе с 2.5 степенями свободы; в) в полосовом генераторе с 5.5 степенями свободы;
- предложен метод повышения энергетической эффективности генератора с 5.5 степенями свободы;
- разработан метод разделения т хаотических сигналов на основе итерирования хаотических отображений в режиме обратного времени;
- обнаружен и исследован пороговый эффект качества разделения сигналов, обусловленный информационным содержанием сигналов;
- предложен метод разделения хаотических сигналов в режиме реального времени;
- установлена зависимость уровня шума, начиная с которого возможно разделение сигналов, от числа источников;
Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью результатов математического моделирования с результатами физических экспериментов, а также сравнением с известными из литературы данными.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Метод построения однотранзисторных генераторов хаоса со спектром близким к заданному и модель генератора хаоса с 2.5 степенями свободы, построенная на основании предложенного метода;
2. Методика формирования заданного спектра в модели генератора с 5.5 степенями свободы и повышения его энергетической эффективности;
3. Методы разделения хаотических сигналов на основе итерирования обратных отображений;
4. Алгоритм разделения хаотических сигналов в режиме реального времени.
Научно-практическое значение. Предложенные и проанализированные в диссертационной работе подходы к построению генераторов хаоса позволяют управлять спектральными характеристиками сигналов генераторов и создают основу для их практической реализации. Разработанные методы разделения хаотических сигналов могут послужить основой для разработки систем мультиплексирования и демультиплексирования в системах связи на основе динамического хаоса.
Апробация работы, публикации, внедрение и использование: материалы диссертационной работы были представлены на международном симпозиуме по нелинейной динамике и ее приложениям NOLTA 98 (Швейцария, 1998), на Европейской междисциплинарной школе по нелинейной динамике сигналов и систем EURO ATTRACTOR 2000 (Варшава, Польша, 2000), на международном симпозиуме по цепям и системам ISCAS 2000 (Женева, Швейцария, 2000), на международной конференции по управлению колебаниями и хаосом СОС2000 (Санкт-Петербург, Россия, 2000), на 9-й международной конференции по нелинейной динамике электронных систем NDES 2001 (Нидерланды, 2001), на международной конференции по прикладной нелинейной динамике (Фессалоники, Греция, 2001), на международном симпозиуме NOLTA 2001 (Япония, 2001), на 8-м международном семинаре по нелинейной динамике и сложным системам NDCS 2001 (Минск, Белоруссия, 2001), на Всероссийской научной школе «Нелинейные волны -2002» (Нижний Новгород, Россия, 2002), на 10-й международной конференции по нелинейной динамике электронных систем NDES 2002 (Измир, Турция, 2002), на 1-й международной конференции по цепям и системам для коммуникаций (Санкт-Петербург, Россия, 2002), на международном семинаре по синхронизации хаотических и стохастических колебаний SYNCHRO 2002 (Саратов, Россия, 2002), на всероссийской научной конференции-семинаре «Сверхширокополосные сигналы в радиолокации и акустике» СРСА 2003 (Муром, Россия, 2003), на международном симпозиуме по сигналам, цепям и системам SCS 2003 (Яссы, Румыния, 2003).
По теме диссертационной работы опубликована 21 печатная работа [66-86] (2 тезисов докладов, 11 докладов на конференциях, 1 препринт, 7 статей в отечественных и зарубежных журналах).
Структура и объем работы: диссертационная работа состоит из введения, 4 глав, заключения, 1 приложения и списка цитированной литературы. Содержит 156 страниц текста, 68 рисунков. Список цитированной литературы содержит 137 наименований.
Краткое содержание диссертационной работы
Во введении обоснована актуальность работы, сформулированы цели и задачи исследований, изложены положения, выносимые на защиту и краткое содержание работы.
Первая глава посвящена генераторам хаоса с биполярным транзистором в качестве активного элемента. Дается обзор известных генераторов и результатов исследований по проблеме формирования заданного спектра мощности в генераторах хаоса. В разделе 1.1 приводятся сведения из теории автогенераторов, облегчающие дальнейшую работу с материалом.
В разделе 1.2 обсуждаются различные модели биполярных транзисторов и условия применимости той или иной модели для описания электрических схем на основе транзистора.
В разделе 1.3 описывается модель генератора с биполярным транзистором в качестве активного элемента и линейным четырехполюсником в цепи обратной связи.
Представление генератора в виде совокупности активного четырехполюсника (транзистора) и пассивного четырехполюсника позволяет формировать хаотический сигнал, спектр которого определяется амплитудно-частотной характеристикой петли обратной связи.
Раздел 1.4 посвящен исследованию динамики модели трехточечной схемы генератора с кусочно-линейной характеристикой транзистора и его спектральных характеристик.
Исследованы бифуркационные явления в модели трехточечной схемы генератора.
Продемонстрировано существование зависимости между спектром мощности хаотического сигнала на выходе трехточки и модулем комплексной функции пропускания цепи.
Показано, что гладкость огибающей спектра можно регулировать путем выбора режимов с различными показателями Ляпунова, при этом гладкость спектра растет с увеличением показателя Ляпунова. Для выбора хаотического режима используется двухпараметрическая диаграмма показателей Ляпунова.
Сформулированы требования, выполнение которых необходимо для формирования спектра нужного вида в транзисторном генераторе хаоса:
1. Структура генератора должна включать в себя активный четырехполюсник (транзистор) и пассивный четырехполюсник, замкнутые в цепь обратной связи.
2. В генераторе должны возбуждаться хаотические колебания на основе разрушения одночастотного или двухчастотного регулярного автоколебательного режима.
3. Система фильтров в цепи обратной связи должна быть подобрана таким образом, чтобы амплитудно-частотная характеристика разомкнутой цепи (модуль комплексной передаточной функции петли обратной связи) совпадала с желаемой формой огибающей спектра.
4. Для корректировки изрезанности огибающей спектра необходимо обеспечить возможность изменения номиналов компонент для выбора режима с большим показателем Ляпунова.
Раздел 1.5 посвящен исследованию влияния формы вольт-амперной характеристики (ВАХ) биполярного транзистора на динамические режимы генератора хаоса. Для этого рассмотрены динамические режимы и бифуркационные явления в трехточечной схеме, в которой ВАХ транзистора описывается экспоненциальной функцией. Проведено сравнение результатов компьютерного моделирования режимов генератора для случаев кусочно-линейной и экспоненциальной характеристик транзистора.
В разделе 1.6 приводятся результаты моделирования трехточечной схемы генератора с помощью пакета схемотехнического моделирования «Advanced Design System 2002» (разработчик Agilent Technologies). Показано соответствие типичных режимов, полученных при численном интегрировании системы уравнений, описывающих динамику генератора и схемотехническом моделировании.
Глава 2 посвящена вопросам применения принципов, изложенных в главе 1, для построения моделей генераторов с заданным спектром мощности сигнала.
Анализ спектральных характеристик хаотических режимов трехточечной схемы показывает, что в ней могут быть получены хаотические колебания с относительно равномерной спектральной плотностью мощности в некотором диапазоне частот. Колебательные режимы обладают высокой чувствительностью к изменению параметров, но при этом варьирование параметров не позволяет обеспечить разнообразие видов формируемых спектров. Отмеченные спектральные особенности динамического хаоса в трехточечной схеме типичны не только для нее, но и для других хаотических систем с полутора степенями свободы.
Таким образом, для получения возможности формирования спектра мощности необходимо повышать размерность источников хаоса.
В разделе 2.1 вводится модель генератора с 2.5 степенями свободы.
Данный генератор получается из емкостной трехточечной схемы путем последовательного включения в цепь обратной связи дополнительного RLC звена, являющегося фильтром низких частот второго порядка. Этот дополнительный элемент дает возможность расширить набор форм амплитудно-частотных характеристик, по сравнению с обычной емкостной трехтонкой.
Проведено исследование динамических режимов и бифуркационных явлений, характерных для этой системы.
Показано, что в генераторе с 2.5 степенями свободы можно получить спектр мощности, близкий по форме к амплитудно-частотной характеристике цепи обратной связи системы, что подтверждает возможность синтеза генераторов хаоса с заданным спектром, в рамках реализуемых амплитудно-частотных характеристик цепи обратной связи.
В разделе 2.2 приводятся результаты схемотехнического моделирования генератора с 2.5 степенями свободы в пакете ADS. Показано, что результаты схемотехнического моделирования находятся в соответствии с результатами, полученными при численном моделировании.
Раздел 2.3 посвящен однотранзисторному генератору хаоса с 5.5 степенями свободы.
Исследованы динамические режимы, имеющие место в генераторе.
Показана возможность управления формой спектра в таком генераторе. В частности, возможность формирования спектра в заданной полосе частот, с различной формой огибающей и степенью изрезанности спектра.
В ходе экспериментальных исследований генератора на микрополосках, моделью которого является генератор с 5.5 степенями свободы, выяснилось, что он имеет низкую энергетическую эффективность. Представление генератора в виде структуры «активный элемент - четырехполюсник» показало, что частотно-избирательная система не входит в основное кольцо обратной связи, а является ответвлением цепи и «откачивает» лишь часть энергии генерируемых хаотических колебаний.
Анализ спектральных характеристик генератора, полученных в разных точках схемы, показал, что в исходной модели генератора энергетическая эффективность была невысока из-за того, что полоса пропускания частотно-избирательной системы находилась в области низкой спектральной мощности сигнала в цепи обратной связи. Это позволило выработать рекомендации по увеличению энергетической эффективности генератора.
Третья глава посвящена проблеме разделения суммы хаотических сигналов на отдельные компоненты в присутствии внешнего шума.
Дается обзор существующих методов разделения регулярных сигналов: разделение по частоте, разделение по времени, кодовое разделение, «слепые» методы разделения сигналов, здесь же описывается разделение хаотических сигналов при помощи хаотической синхронизации.
В разделе 3.1 обсуждается общая постановка задачи разделения суммы хаотических сигналов.
В разделе 3.2 предлагается метод разделения суммы двух хаотических сигналов на основе итерирования хаотических отображений в обратном времени. Метод основан на сжимающих свойствах обратных отображений.
Показано, что метод характеризуется экспоненциальной сходимостью, и обеспечивает эффективное разделение хаотических сигналов не только при отсутствии шума, но и при наличии аддитивного гауссовского шума на пути суммарного сигнала к наблюдателю.
Далее приводятся результаты компьютерного моделирования процесса разделения сигналов в отсутствии шума и при наличии внешнего шума в канале связи.
Показано, что предложенный метод разделения хаотических сигналов позволяет эффективно разделять два хаотических сигнала при отношении сигнал/шум в канале связи 63 дБ. Проводится сравнение эффективности предлагаемого метода с методом, основанным на использовании явления хаотической синхронизации.
В разделе 3.4 обсуждается пороговый эффект, возникающий при разделении сигналов и состоящий в невозможности разделения хаотических сигналов при уровне внешнего шума, превышающем некоторое пороговое значение. Показано, что это явление обусловлено информационными свойствами передаваемых сигналов. Приведена теоретическая оценка предельного порогового значения отношения сигнал/шум в канале С/Швх = 20 дБ, которая может служить мерой эффективности методов разделения хаотических сигналов.
Хотя эффективность метода разделения хаотических сигналов, предложенного в главе 3, значительно превосходит эффективность разделения сигналов методом хаотической синхронизации, качество разделения далеко от теоретического предела. Анализ показывает, что эта ситуация обусловлена тем, что алгоритм разделения хаотических сигналов является одношаговым -решение о выборе ветви принимается на каждом шаге итерирования обратного отображения в отдельности. При этом не учитываются результаты, полученные для других точек интервала разделения сигналов, и вероятность ошибки резко возрастает по мере увеличения уровня шума. Для того чтобы увеличить устойчивость метода по отношению к внешнему шуму, предлагается использовать многошаговый метод. Этому посвящена глава 4.
В разделе 4.1 обобщается постановка задачи, как задачи оптимизации оценки разделенных сигналов на интервале времени разделения.
В разделе 4.2 предлагается многошаговый (многоветочный) алгоритм разделения сигналов. Согласно этому алгоритму, при обратном итерировании хаотического отображения на каждом шаге сохраняются несколько ветвей (оценок разделяемых сигналов), из которых, впоследствии, выбирается лучшая. Проведено компьютерное моделирование, которое показывает, что разделение двух хаотических сигналов возможно при отношении С/Швх до -25...30 дБ.
Раздел 4.3 посвящен описанию метода разделения хаотических сигналов в режиме реального времени.
В разделе 4.4 задача обобщается на случай произвольного числа источников, и приводятся результаты моделирования процесса разделения сигналов в случае 2-6 пар передатчиков и приемников. Показано, что добавление каждого нового источника ужесточает требования на отношение сигнал/шум в канале (С/Швх) в среднем на 6.. .7 дБ.
В заключении диссертационной работы обсуждаются основные результаты, полученные в работе.
Модель генератора с биполярным транзистором в качестве активного элемента и линейным четырехполюсником в цепи обратной связи
Рассмотрим автогенератор, в котором роль активного нелинейного четырехполюсника играет биполярный транзистор. В качестве пассивного четырехполюсника можно использовать любой линейный четырехполюсник, в котором могут быть реализованы условия возникновения и существования автоколебаний. Это общая модель автогенератора на транзисторе. Генератор как цепь с ОС описывается характеристическим уравнением 1-Ну(р)-Нос(р)=0. (1.15) Здесь RBX и Rmix - входное и выходное сопротивления транзистора; ZK -комплексное сопротивление контура, /вх - напряжение на входе транзистора, UK - напряжение на сопротивлении ZK, S - крутизна ВАХ транзистора.
В режиме самовозбуждения рабочая точка транзистора находится на линейном участке ВАХ, и, следовательно, крутизна S является постоянной величиной. Все трехточечные схемы являются частными случаями генератора вида «транзистор - четырехполюсник» [ 104].
При описанном выше представлении структуры автогенератора на транзисторе видно, что он имеет много общего с кольцевыми генераторами [63, 64]. Различие между кольцевыми системами и транзисторным автогенератором состоит в том, что в транзисторном генераторе используется активный четырехполюсник, характеристика которого не имеет падающего участка, а также отсутствуют буферные каскады между активным элементом и каждым из пассивных элементов. Для кольцевых систем была показана возможность управлением огибающей спектра хаотических колебаний за счет задания формы АЧХ совокупности пассивных элементов в цепи ОС. Можно ожидать, что и в транзисторных генераторах, структура которых имеет вид «транзистор - четырехполюсник, замкнутые в цепь обратной связи» возможно формирование спектра хаотических колебаний, путем подбора последовательности элементов, образующих четырехполюсник в цепи ОС.
Для численного моделирования динамических процессов в работе использован специально разработанный программный комплекс «Хаотическая динамика 3.0» (см. Приложение). Все временные реализации сигналов, фазовые портреты, спектры мощности и бифуркационные диаграммы, представленные в работе, получены с помощью этого пакета. Для интегрирования дифференциальных уравнений в нем используется метод Рунге-Кутта 4-го порядка с фиксированным шагом.
При выполнении условий баланса амплитуд и фаз в трехточечной схеме реализуются периодические колебания с частотой /с, определяемой выраже -32 нием (1.24). Кроме того, установлено [106, 107], что в пространстве управляющих параметров этой системы существуют широкие зоны параметров, которым соответствуют хаотические режимы генератора.
Для анализа динамики схемы емкостной трехточки выбран следующий набор параметров: V 2 В, V l В, L =30 мкГн, RL=40 Ом, і?=400 Ом, RBE=200 Ом, /?=300. Далее в разделе 1.4 эти параметры остаются фиксированными, будут меняться только параметры С\,С2.
В качестве наблюдаемой переменной выбрано напряжение база-эмиттер VBE (напряжение на выходе пассивного четырехполюсника в цепи ОС).
Развитие динамических режимов в автоколебательной системе с ростом значения емкости конденсатора С і показано на бифуркационной диаграмме (рис. 1.9) при значении параметра С2=16.432 нФ. Из рисунка видно, что при значениях параметра Сі=0...0.7 нФ в системе реализуются периодические колебания периода 1. При значении Сі«0.7 нФ возникает бифуркация удвоения периода за которой следует каскад бифуркаций удвоения периода приводящий к хаосу. Зона хаоса простирается от Сі 0.9 нФ до Сі«24.1 нФ перемежаясь широкими окнами периодичности при Ci«3.3...6.7 нФ, Сі«13.7...16.2нФ. На рис. 1.10 представлены фазовые портреты, фрагменты реализации и спектры мощности для двух типичных режимов генератора: периодического (а, в, д) - при значениях параметров Сі=6 нФ, С2-16.432 нФ и хаотического (б, г, е) - при значениях параметров С]=7.6 нФ, С2=16.432 нФ.
Подробному исследованию динамики емкостной трехточки и характерных для нее бифуркационных явлений посвящены работы [106, 107]. Однако в этих работах не рассматривались спектральные свойства системы, которые для нас представляют наибольший интерес.
Зафиксируем значение параметра L и построим двухпараметрическую диаграмму старшего показателя Ляпунова в плоскости параметров С\, С2 (рис. 1.13). Вариациям значений показателя Ляпунова соответствуют различные цвета на диаграмме. Далее в работе для простоты будем называть старший показатель Ляпунова просто показателем Ляпунова.
Выберем два режима, незначительно отличающихся по значениям параметров, но имеющих различные значения показателя Ляпунова. Первый режим: Сі=13 нФ, С2=9.7 нФ. Для него показатель Ляпунова равен Д=0.05. АЧХ и ФЧХ петли ОС, а также соответствующий спектр мощности приведены на рис. 1.14. Второй режим: С,=15 нФ, С2=9.7 нФ. При таких параметрах показатель Ляпунова равен Я=0.13. На рис. 1.15 показаны АЧХ, ФЧХ петли ОС и спектр мощности сигнала для этого режима.
Типичные динамические режимы и бифуркационные процессы
Последовательность смены динамических режимов в системе при уменьшении величины сопротивления i?3 следующая. Сначала автоколебания жестким образом теряют устойчивость и рождается двухтактный цикл. Затем этот цикл претерпевает несколько бифуркаций удвоения периода, после чего происходит переход к хаосу. И, таким образом, возникает первое окно хаоса при изменении R3. Далее с уменьшением значения параметра хаос сменяется устойчивым циклом периода шесть. После этого при движении по параметру чередуются окна регулярного и хаотического поведения системы. На рис. 2.4 приведена бифуркационная диаграмма при изменении параметра R3 для модели с экспоненциальной характеристикой транзистора. Как видно из рисунка последовательность смены динамических режимов для этой модели аналогична случаю модели с кусочно-линейной характеристикой.
Согласно высказанному ранее предположению огибающая спектра мощности в транзисторных генераторах определяется модулем КПФ петли ОС, т.е. АЧХ четырехполюсника, составленного из транзистора и пассивного четырехполюсника. Проверим, подтвердится ли это предположение в случае генератора с 2.5 степенями свободы.
Для поиска хаотических режимов и выбора среди них режимов с наиболее гладким спектром воспользуемся двухпараметрической диаграммой показателей Ляпунова. Диаграмма показателей Ляпунова в плоскости (Сь С2) приведена на рис. 2.9. Как видно из диаграммы, произошло увеличение зон хаотических режимов по сравнению с трехточечной схемой. Еще одна диаграмма (по параметрам С3 и i?3) показана на рис. 2.10.
С введением в систему дополнительных элементов увеличилось число возможных параметров управления. Следовательно, в такой системе можно ожидать большого разнообразия форм спектра мощности.
Как видно из рисунков, соответствие спектра мощности сигнала системы с 2.5 степенями свободы форме АЧХ цепи выражено лучше, чем в случае емкостной трехточки.
Эта тенденция показывает, что увеличение числа степеней свободы системы позволяет добиваться не только более сложной формы АЧХ, но и наиболее точного соответствия формы огибающей спектра мощности форме АЧХ цепи, а значит, получать спектр с заданными характеристиками.
Таким образом, на примере системы с 2.5 степенями свободы, подтверждается возможность построения транзисторных генераторов с заданной огибающей спектра мощности.
Отметим, что в отличие от кольцевых систем, в генераторах на транзисторе невозможно управлять коэффициентом усиления, поскольку значение коэффициента усиления фиксировано и является характеристикой конкретного биполярного транзистора. Таким образом, в транзисторном генераторе могут варьироваться только параметры пассивного четырехполюсника, т.е. частотные характеристики цепи. Дальнейшие исследования по формированию заданного спектра мощности в генераторе с 2.5 степенями свободы проводились путем схемотехнического моделирования генератора. Для моделирования использован пакет Advanced Design System. На рис. 2.13 приведена реализация схемы генератора в пакете ADS. При моделировании использованы следующие номинальные значения компонентов схемы VE=2 В, F==7 В, L =30 мкГн, L3 =30 мкГн, Я ==40 Ом, Д==400 Ом. В качестве активного элемента выбран транзистор Q2N2222A фирмы National (/3=256, /s=14.34-10" А). Значения емкостей Сь С2, С3 и сопротивления /?3 варьировались для получения различных динамических режимов в системе. Рис. 2.14 демонстрирует результаты симулирования работы системы с 2.5 степенями свободы в среде ADS при значениях параметров С\=7307 нФ, Сг=16.432 нФ, Сз=2.9 нФ, R =l Ом. Нарис. 2.15-2.17 приведены реализации и спектры мощности для нескольких динамических режимов генератора.
Бифуркационная диаграмма по параметру R3 показана на рис. 2.18. Из рисунка видно, что, при уменьшении величины сопротивления Яз происходит переход от автоколебательного режима к хаосу через каскад из нескольких бифуркаций удвоения периода. Затем хаос сменяется устойчивым циклом периода 3. При дальнейшем уменьшении параметра происходит чередование зон регулярных и хаотических режимов.
Анализ представленных рисунков показывает, что результаты схемотехнического моделирования в целом соответствуют результатам, полученным ранее при математическом моделировании.
Принцип разделения
Для получения колебаний с полосовым спектром в работе [65] был пред ложен генератор с 5.5 степенями свободы.. Генератор состоит из трехточечной схемы, в которую введена дополнительная ЧИС. ЧИС состоит из цепочки параллельно-последовательных RLCCQ звеньев, в совокупности представляющей полосно-пропускающий фильтр. В качестве ЧИС может быть использована система, отличная от приведенной здесь.
В той же работе [65] было показано существование связи между спектром мощности сигнала и формой АЧХ ЧИС этого генератора. В данном разделе генератор с 5.5 степенями свободы рассматривается с точки зрения представления в виде «активный элемент - четырехполюсник». Анализируется механизм формирования спектра мощности. Исследуется возможность управления изрезанностью огибающей спектра мощности и повышения энергетической эффективности генератора.
В работе [65] показано, что генератор, образованный трехточечной схемой с дополнительно введенной в нее ЧИС, может демонстрировать хаотическое поведение, даже в тех случаях, когда схема без ЧИС находится в режиме генерации регулярных колебаний, т.е. именно введение ЧИС создает в генераторе условия, для возникновения хаотических колебаний. Показано, также, наличие связи между характеристикой ЧИС и спектром хаотических колебаний и продемонстрирована возможность управления полосой генерации путем варьирования полосы прозрачности ЧИС.
В качестве иллюстрации типичного динамического режима генератора на рис. 2.20 представлена реализация, двумерная проекция фазового портрета и спектр сигнала на выходе последнего звена ЧИС при следующих значениях параметров: V l В, V 2 В, Li=L=30 мкГн, С0=0.5 нФ, С,= 18 нФ, С2= 1.5 нФ, С =1 нФ, #5=200 Ом, #=400 Ом, RL=40 Ом, #=40 Ом, /?=300. При таких значениях параметров рабочий диапазон частот генератора 0.7.. .2.2 МГц.
В качестве анализируемой переменной, используется безразмерное значение тока в последнем звене ЧИС UIIQ, где /0= VTIRBE Далее в разделе 2.3 при моделировании генератора с 5.5 степенями свободы значения параметров Vc 7 В, VE=2 В, #В=200 Ом, #=400 Ом, #L=40 Ом, Д=300 фиксированы.
Представим генератор с 5.5 степенями свободы в виде структуры «транзистор - четырехполюсник» (рис. 2.21). При таком представлении видно, что основное кольцо ОС образует структура, состоящая из транзистора и П-образного четырехполюсника, и представляющая собой ни что иное, как емкостную трехточку. ЧИС не входит в основное кольцо ОС, а является ответвлением цепи и «откачивает» часть энергии (рис. 2.22 ). Хотя ЧИС не входит в основную петлю ОС в ряде случаев появление хаотической динамики в системе обусловлено именно наличием этого элемента. На рис. 2.23а показан спектр мощности емкостной трехточки при значениях параметров Vc—7 В, VE=2 В, ,=30 мкГн, С,= 4 нФ, С2= 1.5 нФ, RBr=200 Ом, #=400 Ом, Я/=40 Ом, /К300. На рис. 2.236, 2.23в приведены спектры мощности сигнала на выходе четырехполюсника в основной цепи обратной связи и на выходе последнего звена ЧИС системы с 5.5 степенями свободы соответственно.
Исследуем влияние различных параметров системы на форму ее спектра мощности и степень его изрезанности. Поскольку нас интересует возможность получения полосовых колебаний, будем рассматривать в качестве выходного сигнал на выходе последнего звена ЧИС. Возможными параметрами управления спектром мощности являются значения сопротивлений, емкостей и индуктивностей системы. Предварительный анализ показал, что небольшие изменения в значении индуктивности слабо влияют на форму АЧХ системы в полосе ее пропускания. Ввиду этого зафиксируем значение индуктивности и рассмотрим влияние сопротивлений и емкостей ЧИС на форму ее АЧХ. В нашем случае ЧИС представляет собой полосовой фильтр. Емкости С и С() определяют нижнюю и верхнюю границы полосы пропускания. При фиксированном значении С нижняя граница остается постоянной, а верхняя граница меняется в зависимости от значения С0. При этом С0 определяет ширину полосы пропускания ЧИС. Таким образом, первый параметр управления - С0, регулирующий ширину спектра. На рис. 2.24а-2.24в представлены амплитудно-частотные характеристики ЧИС при L]=L=30 мкГн, С =1 нФ, С=18 нФ, С2= 1.5 нФ, Я=60 Ом и различных значениях параметра С0.
Ширину полосы генерации можно охарактеризовать с помощью относительной ширины полосы - отношения ширины спектра по уровню 15 дБ к центральной частоте, выраженного в процентах.
Проанализируем влияние параметров Сь С2, определяющих характер колебаний в автономной трехточечной схеме, на формирование спектральной характеристики генератора. Для поиска хаотических режимов воспользуемся двухпараметрической диаграммой показателей Ляпунова. На рис. 2.26 представлена диаграмма по параметрам Сг Сг, при 1 =/,=30 мкГн, С=\ нФ, С0=0.5 нФ, R=60 Ом. Вариациям значений показателя Ляпунова соответствуют различные цвета.
Расчеты показывают, что чем больше значение показателя Ляпунова, тем ближе огибающая спектра к огибающей АЧХ ЧИС. Так, в случае Сі—4 нФ, Ст=1.5 нФ значение показателя Ляпунова Я=0.07, а в случае Сі=18 нФ, С2=Т.5 нФ Я=0.12. На рис. 2.25е и 2.25и приведены спектры сигнала, соответствующие этим двум случаям. Видно, что при большем значении показателя Ляпунова наблюдается спектр, обладающий меньшей степенью изрезанности.
Таким образом, возможность управления изрезанностью спектра связана с изменением показателя Ляпунова системы. В свою очередь, управлять значением показателя Ляпунова можно путем выбора величин параметров Сь С2. Режимы с наибольшим показателем Ляпунова обеспечивают получение хаотических колебаний с наименьшей степенью изрезанности спектра мощности, по отношению к АЧХ ЧИС.
Многоветочный алгоритм
Будем искать среди всех возможных траекторий с заданными начальными условиямиy\(N), y2(N) траекторию, минимизирующую метрику (4.4). Для поиска минимума метрики (4.4) применим обратное итерирование уравнений динамических систем и построение дерева возможных траекторий на интервале (1,7V), проходящих в момент времени N через известную оценку y\(N),y2(N). Решением задачи будет пара траекторий у\,у2, минимизирующая метрику (4.4) на множестве всех допустимых траекторий. Общее число траекторий, которое образуется на фрагменте длиной N при итерировании в обратном времени из единственного начального условия, равно 4Л. Ясно, что осуществлять непосредственный поиск оптимальной траектории путем перебора всех траекторий при / 10 практически невозможно, поэтому поступим следующим образом. При итерировании отображений будем ограничивать число ветвей на каждом шаге процесса, оставляя не более М, в некотором смысле "оптимальных" ветвей.
Пусть в (ТУ - к)-й момент времени имеется М пар оценок (y\U\N - к), y2{l (TV- к)), /= 1, ..., М. Они соответствуют Мфрагментам траекторий, стартующих в момент времени ТУ и доведенных до момента времени (TV - к). Для каждой из этих траекторий рассчитываем значение метрики: /4 = f,[u{N-j) u{i\N-j)i . (4.5) 7 = 0 На следующем к + 1-м шаге итерирования число возможных ветвей в случае логистических отображений учетверяется: (уі(,)/(/У- к— 1), У2( ) ?(У- к - 1)), /, q = 1, 2. Из этих 4М ветвей отбираем М«лучших». Отбор лучших ветвей проводим по критерию минимизации метрики на временном интервале (TV — к— 1, TV). Процедуру повторяем для моментов времени (TV- к— 2), (TV- к).
В результате получаем Мтраекторий для всего интервала времени (1, TV) с уже рассчитанной метрикой для каждого из М вариантов, из которых и выбираем лучший.
Описанная процедура требует некоторого уточнения. Поскольку обратные отображения являются сжимающими, часть полученных ветвей будет собираться в пучки (кластеры). Ясно, что после попадания нескольких траекторий в один кластер при дальнейшем итерировании уравнений (3.4) эти траектории практически не будут различаться. Поэтому для дальнейших итераций достаточно оставить только одну из них. А именно ту траекторию из кластера, которой соответствует минимальное значение метрики на участке (TV, TV-1, ..., N-k). Из всего пучка траекторий, сходящихся в кластер, именно эта траектория обеспечивает минимальное значение метрики на всем интервале времени (1, TV). Остальные траектории выбираем из других кластеров, причем так, что из одного кластера остается не более одной траектории.
В результате применения уточненной процедуры N раз снова получаем не более чем Мтраекторий на интервале времени (\,N)c уже рассчитанными значениями метрики. Ту траекторию, которой соответствует минимальное значение метрики, принимаем за решение.
Результаты расчетов по разделению хаотических сигналов при помощи многоветочного алгоритма для М= 16 приведены на рис. 4.1 (кривые 2). Они показывают, что хаотические сигналы удается разделить при уровне шума примерно 30 дБ, что на 35 дБ лучше, чем при помощи алгоритма с единственной ветвью.
Число оставляемых ветвей М может меняться в широких пределах. Априорно можно предположить, что увеличение М до некоторого значения будет существенно влиять на качество решения, затем наступит некоторое «насыщение», и дальнейшее увеличение числа ветвей практически не будет сказываться на результатах. С вычислительной точки зрения выгодно иметь как можно меньше ветвей при сохранении качества решения.
Для проверки этого предположения и выяснения количественных закономерностей проведены расчеты по разделению сигналов при использовании от 1 до 64 ветвей. Расчеты проводили для одних и тех же реализаций длиной 10 и при одинаковом внешнем шуме. Результаты расчетов в виде зависимостей С/ШВЬХ и К2 = тот уровня внешнего шума приведены на рис. 4.2. Из рис. 4.2а видно, что если для одноветочного метода эффективное разделение сигналов (С/Швых С/Швх) начинается на уровне 63 дБ, то для двух- и четырехветочного методов - уже при 44 дБ и 38 дБ соответственно, для 8- и 16-веточного при 34 и 30 дБ, а для 32- и 64-веточных - при 27 дБ. Таким образом, уровень шума, при котором еще возможно эффективное разделение сигнала, растет с увеличением числа ветвей до тех пор, пока число ветвей не достигнет 32. Затем наступает насыщение, и дальнейшее увеличение числа ветвей не имеет смысла.
