Содержание к диссертации
Введение
1. Связанные квадратичные отображения (мульти-стабильность и бассейны притяжения) 27
2. Решетки неавтономных бистабильных осцилля торов (дискретное моделирование и исследование динамики) 77
3. Динамические модели автоколебательных систем с запаздыванием (восстановление по вре менным рядам) 134
4. Связанные системы с запаздыванием (методы восстановления нелинейных динамических моделей и их приложение к системам передачи ин формации) 188
5. Диагностика синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой в модельных автоколебательных системах и реальных системах с запаздыванием 247
6. Построение моделей с запаздыванием для системы регуляции кровяного давления и исследование синхронизации ритмов сердечно-сосудистой системы 293
Заключение 347
Список литературы 354
Благодарности
- Связанные квадратичные отображения (мульти-стабильность и бассейны притяжения)
- Решетки неавтономных бистабильных осцилля торов (дискретное моделирование и исследование динамики)
- Динамические модели автоколебательных систем с запаздыванием (восстановление по вре менным рядам)
- Связанные системы с запаздыванием (методы восстановления нелинейных динамических моделей и их приложение к системам передачи ин формации)
Введение к работе
Исследование динамики систем, имеющих развитую пространственную структуру, является актуальной задачей, современной радиофизики. Актуальность изучения; пространственно-развитых систем обусловлена их чрезвычайно^ широким распространением; в природе и, технике. Под такими системами? будем-понимать в.работе объекты, состоящие1 из;большого числа взаимодействующих между собой элементов (цепочки и решетки осцилляторов; и автогенераторов, кристаллические решетки, нейронные сети), и: системы с запаздывающей обратной: связью. Построение и исследование моделей пространственно-развитых систем опирается на основные достижения* теории? нелинейных колебаний и волн [1—8]; и предполагает привлечение современных методов нелинейной динамикш [9-21]. Ключевая! роль отводится при? этом радиофизическим объектам, традиционно использующимся в качестве полигона для изучения сложных колебательно-волновых явлений. Исследования комплексов связанных радиофизических элементов [Анищенко* B.C., Рабинович М.И.], распределенных автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью [Кислов В.Я., Залогин Н.Н., Мясин Е.А.], системы электронный пучок — обратная электромагнитная волна [Трубецков Д.И., Безручко Б.П., Кузнецов СП.], кольцевых генераторов [Дмитриев A.G., Кислов В.Я.] позволили разобраться во многих фундаментальных проблемах нелинейной динамики.
Для описания динамики пространственно-развитых систем, состоящих из большого числа элементов, используются различные модели, отличаю-щиесягвыбором дискретного или непрерывного представления времени, пространства и локального состояния. Наиболее широко привлекаемые модели— ансамбли связанных обыкновенных дифференциальных уравнений [Гапонов-FpexoB А.В:, Афраймович B.C., Некоркин В.И:, ОсипоВ'Г.В., .Шалфеев ВЩ., Астахов В^В., Белых В.Н., Волков Е.И., Казанцев В.Б., Понома-
ренко В.П.], решетки связанных отображений [Канеко К., Капрал Р.", Кузнецов A.IT., Кузнецов СП., Пиковский А.С., Дмитриев А.С., Некоркин В.И., Майстренко Ю.Л.] и клеточные автоматы [фон Нейман Д., Малинецкий Г.Г.]. Пространственные свойства в таких системах проявляются в наличии' решений, при которых мгновенные состояния разных элементов ансамбля отличны друг от друга. Эту особенность пространственно-развитых систем из* сосредоточенных элементов можне рассматривать в,ряде случаев как аналог пространственных мод ограниченной распределенной системы. Характерной особенностью многоэлементных колебательных систем является мультиста-бильность, перекликающаяся с пространственной*многомодовостью. Именно-принципиальная, многомодовость, когда возможные варианты движений многочисленны, а бассейны притяжения нескольких сосуществующих в фазовом пространстве аттракторов образуют сложную и даже фрактальную структуру, является типичным свойством пространственно-развитых нелинейных систем.
Во многих случаях наиболее эффективными моделями ансамблей связанных систем оказываются решетки связанных отображений, использующие дискретное описание времени и пространства и непрерывную переменную состояния. Выбор базового отображения и вида связи вносит свою специфику в поведение моделей, но феномен мультистабильности в динамике многоэлементных систем всегда является определяющим. Использование хорошо изученных отображений для моделирования цепочек и решеток из базовых элементов со сложной динамикой позволяет продвинуться в понимании нелинейных явлений в связанных системах, классифицировать и исследовать их колебательные состояния. Следуя естественной логике «от простого к сложному», мультистабильность в связанных системах исследуется в работе сначала на примере связанных квадратичных отображений, как с постоянными, так и с изменяющимися во времени параметрами. В последнем случае наибольший интерес представляет исследование связанных систем при изме-
нении их параметров в интервале, содержащем бифуркационные значения. Эта задача до настоящего времени остается мало изученной. Вместе с тем, актуальность ее изучения определяется фундаментальной значимостью явлений, возникающих при бифуркационных переходах в системах с быстро меняющимся параметром в присутствии шумов. Речь идет, в первую очередь, о явлении спонтанного нарушения симметрии постбифуркационных состояний системы [Кравцов Ю.А., Бутковский О.Я.], которое имеет место в разных областях естествознания и тесно связано с возникновением пространственной и временной упорядоченности в химических и биохимических процессах.
Дальнейшее усложнение модели ансамбля связанных систем ведется в работе как по линии использования более сложных моделей для базовых элементов, так и путем пространственного развития модели через увеличение количества элементов и усложнение способа связи между ними. Наличие собственной нетривиальной динамики отдельных элементов пространственно-развитой системы наряду со свойствами и архитектурой межэлементных взаимодействий определяет пространственно-временное поведение системы в целом. Особый интерес при этом представляет исследование таких явлений, как синхронизация колебаний, формирование структур, регуляризация и хаотизация колебаний в ансамбле, пространственно-временной хаос и управление им. В силу большого разнообразия многоэлементных систем ряд важных вопросов их поведения остается нерассмотренным или недостаточно изученным. К ним, в частности, относятся многие аспекты поведения решеток связанных отображений, базовый элемент которых обладает мультиста-бильностью и имеет несколько управляющих параметров. Учет в моделях мультистабильности элементов обогащает динамику пространственно-развитой системы в целом и приводит к появлению новых видов мультиста-бильных состояний. Представляет интерес изучение бифуркационных механизмов образования мультистабильности в решетке неавтономных осцилляторов, моделируемых многопараметрическими мультимодальными отобра-
жениями, исследование пространственно-временных структур, изучение влияния шума и неидентичности элементов на вид пространственного распределения и управление пространственно-временных хаосом. Мультиста-бильность типична для нелинейных колебательных систем различной природы и ее учет при моделировании'динамики отдельных элементов ансамбля связанных систем расширяет степень общности результатов исследования.
Для описания пространственно-развитых систем, характеризуемых наличием запаздывающей обратной связи, обычно* используются бесконечномерные модели в виде дифференциальных уравнений с запаздывающим- аргументом [Икеда К., Гласе Л., Маккей М.К., Кащенко С.А., Ланда П.С.]. Такие модели являются бесконечномерными, поскольку требуют задания непрерывного множества начальных значений динамической переменной на отрезке времени, равном времени задержки. В пространственно-развитых радиофизических системах запаздывание обусловлено тем, что сигналы распространяются с конечной скоростью и им требуется время на преодоление расстояний. Исследованию динамики автоколебательных систем с запаздыванием, как теоретическому, так и экспериментальному, уделено достаточно много внимания. Изучение нелинейных динамических моделей различных генераторов с запаздывающей обратной связью (ЛБВ-генераторов, генераторов на основе пролетных клистронов, радиотехнических кольцевых генераторов с фильтрами низких частот) позволило существенно продвинуться в понимании сложной динамики многих практически важных радиоэлектронных устройств. Значительно менее изученной является задача восстановления модельных дифференциальных уравнений систем с запаздыванием по временным рядам наблюдаемых величин. Решение этой проблемы позволило бы не только предсказать поведение ряда практически важных устройств и систем с запаздыванием при изменении параметров, но и оценить адекватность заложенных в модели представлений об объекте, осуществить классификацию систем и режимов их функционирования, определить значения па-
раметров, недоступных непосредственному измерению в эксперименте. Вызывает также интерес использование систем с запаздывающей обратной связью в системах передачи информации. Разработка коммуникационных систем, использующих хаотические сигналы, представляет собой активно развиваемое в последние годы направление радиофизики [Дмитриев А.С., Панас А.И., Старков CO., Хаслер М.]. Способность даже простых систем с запаздыванием первого порядка генерировать широкополосные хаотические колебания очень высокой размерности привлекает к ним внимание как к потенциальным элементам, которые могут быть использованы в системах скрытой передачи информации. Однако, вопрос о маскирующих свойствах сигналов систем с запаздыванием остается открытым и требует тщательного исследования.
На настоящем этапе развития нелинейной динамики весьма актуален вопрос о синхронизации сложных движений вообще и в пространственно-развитых системах в частности. Изучение синхронизации находится в центре внимания многих исследователей. Вместе с тем, проблема диагностики синхронизации автоколебаний по экспериментальным временным рядам, особенно при короткой длине ряда и высоком уровне шума, требует дальнейшего изучения. Например, проблематично проведение анализа синхронизованное колебательных процессов по экспериментальным данным, представляющим собой суперпозицию нескольких сигналов. Кроме того, взаимодействующие системы могут обладать сложным набором собственных ритмов, что типично для многих физиологических систем. Большой интерес вызывает исследование синхронизации колебательных процессов в таких жизненно важных физиологических системах, как сердечно-сосудистая и респираторная системы. Информация о синхронизованности ритмов этих систем может оказаться полезной при медицинской диагностике их состояния.
Современная тенденция направленности многих научных исследований на изучение систем живой природы обуславливает актуальность использова-
ния аппарата нелинейной динамики для описания колебательных процессов в физиологических системах. При этом имеются основания для привлечения в качестве базовых моделей дифференциальных уравнений с запаздыванием. Наличие запаздывающей обратной связи во многих физиологических автогенераторах обусловлено конечной скоростью распространения нервных импульсов и конечным временем, их обработки со стороны управляющих систем. В работе предлагаются и исследуются модели с запаздыванием для описания системы медленной регуляции кровяного давления. Построение и исследование моделей позволяет лучше понять особенности функционирования и взаимодействия элементов сердечно-сосудистой системы.
Таким образом, тематика диссертационной работы, затрагивает сферы фундаментальных вопросов радиофизики, нелинейной динамики и теории колебаний и является актуальной.
Цель диссертационной работы состоит в моделировании пространственно-развитых систем, включая исследование пространственно-временных структур и мультистабильности в решетках связанных отображений, разработку новых методов восстановления по временным рядам модельных дифференциальных уравнений систем с запаздыванием, разработку новых методов диагностики синхронизации автоколебаний по экспериментальным временным рядам и их применение к реальным пространственно-развитым системам.
Для достижения цели решались следующие основные задачи:
исследование мультистабильных состояний и бассейнов их притяжения в системе связанных элементов, как с постоянными, так и с изменяющимися параметрами;
исследование пространственно-временной динамики и управление пространственно-временным хаосом в решетках неавтономных бис-
табильных осцилляторов, моделируемых мультимодальными отображениями;
разработка новых эффективных методов построения по хаотическим временным рядам нелинейных динамических моделей для широкого класса автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью, включая системы высокого порядка с запаздыванием, системы с несколькими временами задержки, неавтономные и связанные системы с запаздыванием;
разработка методики выделения скрытого сигнала сообщения в системах передачи информации, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием;
разработка новых методов детектирования синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по многомерным и одномерным временным рядам и их применение для исследования внешней синхронизации в экспериментальных системах с запаздыванием;
исследование на модельных и экспериментальных данных синхронизации между основными колебательными процессами в сердечнососудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающих обратных связей.
Научная новизна работы заключается в следующем:
обнаружено и исследовано существование устойчивых несинфазных колебательных состояний в области сильной связи двух идентичных систем, демонстрирующих удвоения периода при изменении управляющего параметра;
впервые показано, что в системе двух связанных одинаковых элементов с изменяющимися во времени параметрами в зависимости от ве-
личины коэффициента связи может наблюдаться запаздывание бифуркаций не только несинфазных, но и синфазных состояний;
проведено управление пространственно-временным хаосом в цепочке неавтономных бистабильных осцилляторов, моделируемых мульти-модальными отображениями;
выявлены характерные особенности расположения экстремумов во временных реализациях систем с запаздывающей обратной связью;
предложены новые методы реконструкции модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для различных классов автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью по их хаотическим временным рядам;
впервые продемонстрирована возможность восстановления кольцевых автоколебательных систем с запаздыванием по временным рядам динамических переменных, измеренных в различных точках кольцевой системы;
исследована возможность определения по временному ряду порядка модельного уравнения системы с запаздыванием;
впервые предложены методы восстановления по временным рядам модельных уравнений неавтономных и связанных систем с запаздыванием;
разработана методика выделения информационного сигнала в системах связи с нелинейным подмешиванием при различных конфигурациях передатчика, построенного на основе системы с запаздыванием с неизвестными параметрами;
предложены оригинальные, основанные на непрерывном вейвлетном преобразовании сигналов, методы диагностики по экспериментальным временным рядам наличия или отсутствия синхронизации автоколебаний внешним воздействием с модулированной частотой;
- обнаружено существование синхронизации между дыханием и медленными автоколебаниями кровяного давления человека при различных режимах дыхания.
Практическая значимость работы. Результаты исследования бифур
кационных переходов в связанных системах с изменяющимися параметрами
могут быть использованы для управления бифуркационными процессами и
для достижения заданного постбифуркационного состояния системы в усло
виях воздействия шума. Для целей обработки информации могут оказаться
полезными результаты исследований мультистабильности и динамического
'» копирования в решетках бистабильных элементов. Автоколебательные сис-
темы с запаздыванием очень широко распространены не только в радиофизике и электронике, но и в нелинейной оптике, биофизике, физиологии и многих других научных дисциплинах. Предложенные в диссертационной работе методы определения их параметров по экспериментальным временным рядам представляют интерес для широкого круга исследователей. Результаты по исследованию систем скрытой передачи информации, построенных на основе систем с запаздыванием, позволяют выработать рекомендации для повышения степени защиты конфиденциальной информации. Предложенные методы диагностики синхронизации автоколебаний представляют практический интерес при исследовании синхронизации колебательных процессов в реальных системах по экспериментальным, сильно зашумленным временным рядам. Анализ синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы оказывается полезен при диагностике ее состояния и контроле эффективности лечения. Подготовленный программный продукт («Программа расчета суммарного процента фазовой синхронизации между ритмами сердечнососудистой системы человека», свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2005610960) передан в Саратовский НИИ кардиоло-гии и Нижегородскую государственную медицинскую академию, в которых он используется для медицинской диагностики.
Результаты работы используются в учебном процессе на факультете нелинейных процессов и факультете нано- и биомедицинских технологий Саратовского государственного университета.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту
В системе связанных элементов с изменяющимися во времени параметрами с уменьшением скорости изменения управляющего параметра в области мультистабильности уменьшается вероятность установления состояний, соответствующих видам колебаний, возникающим в результате более поздних бифуркаций.
Метод последовательной стабилизации движений элементов позволяет осуществить управление пространственно-временным хаосом в цепочке связанных бистабильных осцилляторов, моделируемой связанными мультимодальными отображениями. Величина управляющего воздействия, необходимого для перевода цепочки из режима пространственно-временного хаоса в области бистабильности в пространственно однородный режим, может быть существенно уменьшена, если на начальном этапе управления воздействовать на систему малым шумом.
Предложенные методы восстановления по хаотическим временным рядам модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием, основанные на статистическом анализе временных интервалов между экстремумами временного ряда системы с запаздыванием и проецировании ее бесконечномерного фазового пространства в подпространства малой размерности, обеспечивают высокое качество реконструкции различных классов систем с запаздывающей обратной связью, включая системы с запаздыванием высокого порядка, системы с несколькими временами задержки, неавтономные и связанные системы с запаздыванием.
Разработанная методика выделения скрытого сигнала сообщения в системах связи, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием, основанная на
реконструкции передающей системы- с запаздыванием по временному ряду передаваемого сигнала,, обеспечивает высокое качество восстановления информационного сигнала при различных конфигурациях передатчика, параметры которого априорно неизвестны.
Анализ разности между мгновенными фазами автоколебаний;.вычисленными в моменты времени, сдвинутыми друг относительно друга на некоторую постоянную величину, позволяет определить наличие синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой по одномерным временным рядам.
Медленные колебания кровяного;давления человека с собственной частотой около 0.1 Гц могут быть синхронизованы с дыханием. Предложенная для их описания модель, имеющая вид неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, демонстрирует явления захвата частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в эксперименте. Показатели синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах в Саратовском филиале ИРЭ РАН, СГУ, Саратовском НИИ кардиологии, университете г. Потсдама (Германия), федеральном политехническим институте г. Лозанны (Швейцария), а также на следующих российских и международных научных конференциях: международной школе по нелинейным явлениям (ISNS) (Нижний Новгород, 1995); International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos. Applications in Physics, Biology and Medicine (ICND) (Саратов, 1996); International Specialist Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems (NDES) (Москва, 1997; Budapest, Hungary, 1998; Delft, The Netherlands, 2001); International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications (NOLTA)-(Crans-Montana, Switzerland, 1998; Dresden, Germany, 2000); международной школе «Хаотические
автоколебания и образование структур» (ХАОС) (Саратов, 1998, 2001, 2004); International School "Synchronization: Theory and Application" (Yalta, Ukraine, 2002); International Conference "European Dynamics Days" (Palma de Mallorca, Spain, 2003); Workshop on Detecting and Processing Regularities in High Throughput Biological Data (Piscataway, USA, 2005), школе-семинаре «Динамический хаос и его приложения» (Звенигород, 2007).
Материалы работы использовались при выполнении ряда НИР и научных проектов, поддержанных грантами РФФИ (№96-02-16755', 99-02-17735, 00-02-17441, 01-02-06038, 03-02-17593, 07-02-00589), CRDF (REC-006) шГМ-TAS (93-2492, 03-55-920).
По теме диссертации опубликовано 85 научных работ, включая 35 статей в рецензируемых журналах, 24 статьи в сборниках и трудах конференций, 26 тезисов докладов. Список основных публикаций приведен в конце диссертационной работы.
Достоверность научных выводов подтверждается согласованностью результатов аналитического исследования, численного моделирования и физического эксперимента между собой, а также с результатами других авторов.
Личный вклад автора заключается в выборе направления исследований, в формулировке и постановке основных задач диссертации, определении методов и подходов к их решению, проведении большей части численных расчетов и некоторых экспериментальных исследований, в проведении теоретического анализа и интерпретации полученных результатов. Исследование связанных квадратичных отображений проводилось совместно с Без-ручко Б.П., Селезневым Е.П и Ивановым Р.Н. Построение моделей и исследование систем с запаздыванием выполнено на паритетных началах с Поно-маренко В.И. Методы диагностики синхронизации автоколебаний предложены в соавторстве с Храмовым А.Е., Короновским А.А. и Пономаренко В.И.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Она содержит 389 страниц, включая 140 рисунков, 3 таблицы, 311 наименований цитируемой литературы и 47 наименований работ по теме диссертации.
Краткое содержание работы. Первая глава посвящена исследованию дискретной модели пространственно-развитой системы, состоящей в простейшем случае из двух связанных между собой элементов. Изучение муль-тистабильности колебательных состояний и бассейнов их притяжения в системе двух симметрично связанных нелинейных элементов, демонстрирующих при изменении управляющего параметра переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, проведено на примере двух связанных квадратичных отображений. В отличие от известных ранее* работ, система связанных квадратичных отображений исследована в более широкой области изменения параметра связи. Сначала рассмотрен случай, когда значения параметров обеих подсистем постоянны. Исследовано существование несинфазных режимов колебаний при сильной связи подсистем. Проведено сравнение результатов исследования мультистабильности колебательных состояний, в том числе хаотических, и их бассейнов притяжения, полученных при численном исследовании модельной системы с дискретным временем, с результатами экспериментального исследования системы двух периодически возбуждаемых iJL-диод цепей, связанных через резистор и функционирующих в непрерывном времени. Затем рассмотрен случай, когда параметр нелинейности системы связанных квадратичных отображений зависит от времени по кусочно-линейному закону, причем его изменение происходит в интервале, содержащем бифуркационные значения, то есть, рассмотрена система с динамическими бифуркациями. Исследовано явление нарушения равенства вероятностей постбифуркационных состояний связанной системы с изменяющимися во времени параметрами. Проведено исследование вероятности установления и бассейнов притяжения конечных состояний связанной
I системы в зависимости от скорости изменения управляющего параметра. Ис-
следовано влияние шума на выбор конечного состояния,связанной системы с динамическими бифуркациями.
Во второй главе изучается динамика пространственно-развитых систем, состоящих из. большого числа, взаимодействующих элементов. В качестве моделей таких систем исследуются решетки связанных отображений, сконструированные из многопараметрических мультимодальных отображений, описывающих в широкой области параметров динамику диссипативных нелинейных осцилляторов, возбуждаемых периодической-внешней силой: Отображения, используемые в качестве базовых элементов решеток, демонстри-рует мультистабильность, а их параметры представляют собой типичные характеристики неавтономных осцилляторов. Исследование различных моделей ансамбля связанных систем начинается в главе с рассмотрения одномерной решетки (цепочки) неавтономных мультистабильных осцилляторов. В области параметров, в которой элементы цепочки обладают бистабильно-стью, исследована зависимость пространственных режимов от величины коэффициента связи и способа задания начальных условий. С целью учета влияния шума и неидентичности элементов на динамику системы проведены исследования одномерных решеток при добавлении внешнего шума и модуляции одного из управляющих параметров. Осуществлено управление пространственно-временным хаосом в цепочке неавтономных мультистабильных осцилляторов. Стабилизация неустойчивых однородных состояний цепочки проведена в режиме развитого пространственно-временного хаоса для двух типичных случаев: при значениях параметров, соответствующих отсутствию гистерезиса и связанной с ним бистабильности в элементах цепочки и
. при наличии бистабильности одиночных элементов, при которой в них сосу-
ществуют два хаотических аттрактора. Дальнейшее усложнение модели ансамбля связанных мультистабильных элементов проводится в главе путем пространственного развития модели через увеличение количества элементов
и усложнение способа связи.между ними. Проведено исследование пространственно-временных структур в двумерных и трехмерных решетках неавтономных бистабильных осцилляторов, моделируемых мультимодальными точечными отображениями. Исследовано явление динамического копирования в трехмерных решетках при случайных и различных регулярных начальных пространственных распределениях динамической переменной.
В', третьей главе рассматриваются пространственно-развитые системы, описываемые бесконечномерными моделями в виде дифференциальных уравнений-с запаздывающим аргументом. Исследованы особенности расположения экстремумов во временных реализациях автоколебательных систем с запаздыванием. Основное внимание уделяется в главе разработке новых методов восстановления по хаотическим временным рядам модельных уравнений автоколебательных систем с запаздыванием. Предложены оригинальные методы реконструкции дифференциальных уравнений с запаздыванием для различных классов автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью. Методы позволяют восстановить время запаздывания, параметры инерционных элементов и вид нелинейной функции. Для оценки качества восстановления модельного уравнения использованы различные количественные критерии. Разработанные методы применены для восстановления эталонных дифференциальных уравнений с запаздыванием по их коротким, сильно зашумленным временным рядам и для построения по экспериментальным временным рядам модельных уравнений различных радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью. Проведено восстановление по хаотическим временным рядам модельных и экспериментальных автоколебательных систем второго и третьего порядка с запаздыванием, включая реальные радиотехнические генераторы с запаздывающей обратной связью с различным числом инерционных элементов. Предложена методика определения по временному ряду априорно неизвестного порядка системы с запаздыванием. Исследовано влияние ограниченной полосы пропускания из-
мерительного канала, характерной при.экспериментальных исследованиях, на качество реконструкции систем с запаздыванием по временным рядам. Исследована возможность восстановления кольцевых автоколебательных систем с запаздыванием по временным рядам различных наблюдаемых динамических переменных, полученным из.различных точек системы. Разработан метод восстановления по хаотическим временным рядам модельных уравнений систем'с запаздыванием, характеризуемых наличием двух различных времен1 задержки. Работоспособность метода продемонстрирована на примере модельных хаотических временных рядов дифференциального уравнения с двумя временами запаздывания, а также на примере экспериментальных временных* рядов радиотехнического'генератора с двумя-временам и запаздывания. Предложен метод оценки времени задержки и порядка модельного уравнения для автоколебательных систем с запаздыванием, находящихся в периодическом режиме колебаний.
В четвертой главе исследуются пространственно-развитые системы, моделируемые связанными дифференциальными уравнениями с запаздыванием. Построение нелинейных динамических моделей связанных бесконечномерных систем с запаздыванием представляет собой следующий шаг в направлении увеличения сложности пространственно-развитых систем. Впервые решается задача реконструкции модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием для связанных автоколебательных систем с запаздыванием по их хаотическим временным рядам. Предложен метод, позволяющий восстановить параметры связанных систем с запаздыванием, а также установить наличие некоторых видов линейной связи между системами, определить априорно неизвестный тип связи, величину связи и ее направление по хаотическим временным рядам при достаточно высоких уровнях шума. Показано, что методика работоспособна в широком диапазоне изменения коэффициентов связи между системами при различных способах связи систем между собой. Эффективность метода продемонстрирована на примере хаотических
временных рядов связанных уравнений Маккея-Гласса, в том числе для случая, когда системы неидентичны, отличаются способом воздействия друг на друга и находятся под действием шума. Метод успешно применен также для восстановления» связанных радиотехнических генераторов с запаздывающей обратной связью по экспериментальным временным рядам напряжения на входе их линий задержки. Предложен метод восстановления по временным рядам нелинейных динамических моделей систем с запаздывающей обратной связью, находящихся под внешним воздействием. Рассмотрены различные способы, внесения внешнего воздействия в систему с запаздыванием. Метод позволяет реконструировать неавтономные системы с запаздыванием даже в случаях, когда способ внесения внешнего воздействия в систему априорно неизвестен. В этом случае, процедура реконструкции позволяет дополнительно установить, каким именно образом осуществлено воздействие на систему. Метод протестирован при наличии шума. Его эффективность продемонстрирована на примерах коротких временных рядов при различных видах внешнего воздействия. Рассмотрены различные способы кодирования и извлечения информации в системах связи, использующих нелинейное подмешивание информационного сигнала в хаотический сигнал системы с запаздыванием. Разработана новая методика выделения скрытого сигнала сообщения в таких системах связи. Методика основана на реконструкции модельного уравнения передающей системы с запаздыванием по временному ряду передаваемого сигнала. Хорошее качество восстановления скрытого сообщения продемонстрировано на различных численных примерах при передаче частотно-модулированного гармонического сигнала, подмешанного в хаотический сигнал системы Маккея-Гласса для различных конфигураций передающей системы, и в экспериментальной радиофизической системе при передаче гармонического сигнала, подмешанного в хаотический сигнал генератора с запаздывающей обратной связью с неизвестными параметрами. Предложен метод определения параметров одномодового полупроводникового лазера с
оптической обратной связью, описываемого уравнениями Ланга-Кобаяши. В основе метода лежит хаотическая синхронизация двух однонаправленно связанных лазеров. Предложен способ начальной оценки времени запаздывания в цепи обратной связи лазера. Эффективность метода продемонстрирована численно на примере двух однонаправленно связанных систем Ланга-Кобаяши.
В пятой главе разрабатываются новые методы диагностики синхронизации автоколебаний по экспериментальным временным рядам и рассматривается их применение к исследованию внешней синхронизации в модельных радиофизических системах и реальных пространственно-развитых автоколебательных системах, характеризуемых наличием запаздывающей обратной связи. Предложен метод, позволяющий диагностировать по временным рядам автогенератора и внешнего воздействия наличие синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся частотой. Метод основан на непрерывном вейвлетном преобразовании сигналов и позволяет отличить внешнюю синхронизацию автоколебаний от случая просачивания внешнего сигнала в наблюдаемый сигнал, под которым понимается линейное перемешивание сигналов без изменения частоты автоколебаний. Показано, что случаи синхронизации генератора внешним сигналом и просачивания можно различить, анализируя в вейвлетном спектре мощности динамику временных масштабов, соответствующих основной частоте и ее гармоникам, и исследуя динамику разностей фаз неавтономного автогенератора и внешнего воздействия. Метод протестирован на временных рядах модельной автоколебательной системы и применен для исследования по экспериментальным многомерным временным рядам синхронизации автоколебаний кровяного давления с собственной частотой около 0.1 Гц дыханием в сердечно-сосудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающей обратной связи в системе регуляции кровяного давления. Предложен новый метод диагностики синхронизации автоколебаний внешним сигналом с изменяющейся
частотой по одномерным временным рядам. Метод основан на анализе разности между мгновенными фазами автоколебаний, вычисленными в моменты времени, сдвинутыми друг относительно друга на некоторую постоянную величину. Метод применен к экспериментальным временным рядам колебаний напряжения на выходе радиотехнического генератора с запаздывающей обратной связью, возбуждаемого внешним сигналом с частотой, монотонно изменяющейся по нелинейному закону. Рассмотрены случаи внешнего воздействия с малой и большой амплитудой. С помощью предложенного метода на основе анализа только экспериментальных временных рядов сердцебиения человека исследована синхронизация медленных автоколебаний кровяного давления с собственной частотой около 0.1 Гц дыханием с линейно увеличивающейся частотой.
Шестая глава посвящена построению и исследованию нелинейных моделей с запаздывающей обратной связью для описания системы медленной регуляции кровяного давления и исследованию на модельных и экспериментальных данных синхронизации между основными колебательными процессами в сердечно-сосудистой системе человека, характеризуемой наличием запаздывающих обратных связей. Исследована возможность восстановления параметров модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием, описывающих медленные автоколебания кровяного давления с собственной частотой около 0.1 Гц, по экспериментальным временным рядам артериального давления. Предложена новая модель системы медленной регуляции кровяного давления, учитывающая влияние дыхания. Модель имеет вид неавтономной системы с запаздывающей обратной связью, в которой в качестве внешнего воздействия выступает сигнал дыхания. Параметры модели имеют физиологическую интерпретацию и могут быть оценены из эксперимента. Исследована синхронизация автоколебаний модельной системы внешним сигналом. Показано, что при гармоническом внешнем воздействии с линейно изменяющейся1 частотой предложенная модель демонстрирует явления захва-
та частот и фаз медленных колебаний кровяного давления и дыхания, качественно подобные наблюдающимся в натурном эксперименте. Проведено исследование синхронизации между основными ритмами сердечно-сосудистой системы человека на основе анализа как многоканальных экспериментальных данных (записей электрокардиограмм, дыхания и пульсограмм), так и одноканальных данных в виде временных рядов сердцебиения. Исследования проведены при различных режимах дыхания испытуемых: произвольном, с постоянной частотой и с линейно изменяющейся частотой. Продемонстрировано существование у здоровых людей областей синхронизации между дыханием и основным сердечным ритмом и между дыханием и колебаниями кровяного давления с собственной частотой вблизи 0.1 Гц. Исследована зависимость качества синхронизации от положения тела человека и величины вариабельности сердечного ритма. С помощью различных методов (полосовой фильтрации с последующим преобразованием Гильберта, эмпирической декомпозиции мод и вейвлетного преобразования) продемонстрирована возможность определения из временных рядов сердцебиения (последовательности R-R интервалов) мгновенных фаз и мгновенных частот основных колебательных процессов сердечно-сосудистой системы— основного сердечного ритма, дыхания и медленных колебаний кровяного давления. Показано, что результаты исследования синхронизации между основными ритмами сердечно-сосудистой системы здоровых людей по одномерным временным рядам сердцебиения качественно совпадают с результатами, полученными при исследовании синхронизации по многоканальным данным. Исследована синхронизация колебательных процессов с частотой 0.1 Гц, выделенных из рядов R-R интервалов и пульсограмм, у пациентов с ишемической болезнью сердца и у здоровых людей. Показано, что показатели синхронизации между ритмами сердечно-сосудистой системы могут быть использованы для диагностики ее состояния.
В заключении сформулированы основные результаты и выводы работы.
Связанные квадратичные отображения (мульти-стабильность и бассейны притяжения)
Пространственно-развитые системы, состоящие из связанных между собой элементов, можно представить разделенными на части, каждая из которых есть система, сосредоточенная в своей точке пространства. Для описания динамики таких колебательных систем используются различные модели, от личающиеся выбором дискретного или непрерывного представления времени, пространства и локального состояниям Наиболее широко привлекаемые модели — ансамбли связанных обыкновенных дифференциальных уравне ний [22-37], решетки связанных отображений [38-62] и клеточные автоматы [63-66]. Характерной особенностью пространственно-развитых колебательных систем является мультистабильность, когда возможные варианты движений многочисленны, а бассейны притяжения нескольких сосуществующих в фазовом пространстве аттракторов образуют сложную и даже фрактальную структуру.
Во многих случаях наиболее эффективными моделями ансамблей связанных систем оказываются решетки связанных отображений, использующие дискретное описание времени и пространства и непрерывную переменную состояния. Для описания локальной динамики элементов решеток используются различные отображения, например, логистическое отображение, отображение окружности, кусочно-линейные отображения (сдвига, треугольное и т.д.). Если состояние ячеек характеризуются двумя локальными переменными, то при построении решеток связанных отображений используют двумерные отображения, такие как отображение Энона, Лози и др. Выбор базового отображения и вида связи вносит свою специфику в поведение моделей, но феномен мультистабильности в динамике многоэлементных систем всегда является определяющим. Существует также много различных способов связи элементов решетки между собой. Связь может быть локальной, когда динамика отдельного элемента определяется состоянием только соседних элементов, или нелокальной, когда динамика элемента решетки зависит и от состояния далеко расположенных элементов. Кроме того, связь, может быть симметричной И несимметричной.
Требуя меньших вычислительных затрат, чем модели с непрерывным временем, решетки связанных отображений качественно отражают широкий круг нелинейных явлений в пространственно развитых системах. Использование хорошо изученных отображений для моделирования цепочек и решеток из базовых элементов- со сложной динамикой позволяет существенно продвинуться в понимании нелинейных явлений в связанных системах, классифицировать и исследовать их колебательные состояния. Следуя естественной логике «от простого к сложному», мультистабильность в связанных системах исследуется в работе сначала на примере двух связанных квадратичных отображений, как с постоянными, так и с изменяющимися во времени параметрами.
Система двух симметрично связанных идентичных объектов, каждый из которых демонстрирует при изменении управляющего параметра переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода, является одним из эталонных объектов нелинейной динамики. Для ее описания широко используются дискретные модели в виде связанных одномерных унимодальных отображений с квадратичными максимумами. Это простые, достаточно универсальные модели, описывающие на качественном уровне нелинейное поведение широкого класса связанных систем. Показано, что связанные идентичные отображения демонстрируют многие нелинейные явления, присущие связанным системам, включая мультистабильность, синхронизацию, хаос и гиперхаос, захват частоты, перемежаемость, кризисы хаотических аттракторов [67—98]. В них может наблюдаться переход к хаосу как через последовательность бифуркаций удвоения периода, так и через последовательность бифуркаций Хопфа [67-72] . Пространство параметров системы имеет сложное устройство с самоподобной структурой [73-75], универсальность которой может быть объяснена с помощью ренормгруппового анализа [75— 78]. Многообразие мультистабильных состояний связанных отображений очень велико [78-84]. Разобраться в них и путях их формирования помогает исследование бассейнов притяжения аттракторов системы [85-88]. Обнаруженные при исследовании отображений особенности сложной динамики связанных систем хорошо согласуются с результатами экспериментальных исследований на различных связанных между собой реальных объектах [69, 79-82, 87, 88]. Связанные отображения весьма популярны в связи с изучением актуальных проблем разрушения хаотической синхронизации и перехода от синхронного хаотического поведения к несинхронному [89-92]. С их помощью удалось объяснить бифуркационные механизмы потери устойчивости синхронного хаотического режима, вызывающие пузырение ("bubbling") аттракторов и изрешечивание ("riddling") бассейнов [93-98].
Несмотря на большое количество работ, посвященных исследованию системы двух симметрично связанных отображений, задача изучения многообразия вариантов взаимной синхронизации подсистем и иерархии устойчивых видов колебаний требует дополнительного изучения. Целесообразность такого рассмотрения определяется тем, что разветвленность иерархической схемы и разнообразие вариантов мультистабильных колебаний столь велики, что приводят иногда к неверным выводам об особенностях динамики системы, например, выделению в качестве универсального «7-зонового» варианта эволюции колебательных режимов при изменении параметра связи [99]. Это говорит об актуальности задачи подробного описания общей картины сложной динамики популярной эталонной системы на основе определенных принципов. В данной главе на примере двух связанных квадратичных отображений нами приведена классификация видов колебаний и исследована их эволюция и эволюция их бассейнов притяжения при изменении параметров. Все мыслимые варианты симметричной связи между отображениями с квадратичными максимумами могут быть представлены комбинацией двух основных видов: диссипативного и инерционного [75, 78]. Несмотря,на ряд характерных особенностей, присущих каждому из этих типов связи, степень общности колебательных эффектов в системах с этими типами связи достаточно велика, что позволяет рассмотреть лишь один из них. Исследование поведения системы двух связанных отображений проведено в главе на примере диссипа-тивной связи. Она способствует выравниванию мгновенных состояний подсистем, а при равенстве мгновенных состояний не влияет на их динамику.
Решетки неавтономных бистабильных осцилля торов (дискретное моделирование и исследование динамики)
Система связанных квадратичных отображений является простейшей моделью связанных осцилляторов при их синфазном возбуждении в области фейгенбаумовского поведения. Область применимости такой модели ограничена сверху по амплитуде воздействия и снизу по частоте воздействия. Это связано с тем, что квадратичное отображение лишь качественно отражает изменение колебательных состояний отдельного осциллятора вблизи его линейной резонансной частоты при вариации одного управляющего параметра, в качестве которого обычно выступает амплитуда внешнего воздействия. Оно не в состоянии описать динамику базового элемента при изменении двух и более управляющих параметров и не отражает динамику при частотах воздействия вдалеке от линейной резонансной частоты. В частности, оно не может описать такие присущие нелинейным осцилляторам явления, как добавление периода, гистерезис и эволюцию субгармонических колебательных режимов. Использование при построении решеток связанных отображений базовых отображений с несколькими управляющими параметрами, демонстрирующих бистабильность и мультистабильность, позволяет получить более полное отражение пространственно-временной динамики системы связанных осцилляторов в более широкой области изменения нескольких параметров. Мультистабильность типична для нелинейных колебательных систем различной природы и ее учет при моделировании динамики отдельных элементов ансамбля связанных систем расширяет степень общности результатов исследования.
Сложная пространственно-временная динамика решеток связанных кубических отображений, моделирующих бистабильность базовых элементов, исследовалась в работах [43, 62]. В прикладном плане такие решетки могут быть использованы при создании устройств хранения и обработки информации [62]. Сопоставление динамики решеток связанных кубических отображений, характеризуемых дискетным временем, с динамикой решеток биста-бильных элементов с непрерывным временем, описываемых дифференциальными уравнениями [28, 111-114], свидетельствует о том, что они имеют много общих качественных особенностей.
Во второй главе работы исследуются решетки симметрично связанных отображений, сконструированные из многопараметрических мультимодаль-ных отображений [312], описывающих в широкой области параметров динамику диссипативных осцилляторов с асимметричной нелинейностью типа «мягкая пружина», возбуждаемых периодической внешней силой. Отображения, используемые в качестве базовых элементов решеток, демонстрируют мультистабильность, а их параметры имеют ясный физический смысл. Базовые отображения построены с использованием эмпирического подхода по временным реализациям тока в неавтономном колебательном контуре с диодом, являющемся одним из эталонных объектов при экспериментальном исследовании динамического хаоса и широко используемом во многих радиофизических устройствах, таких как параметрические генераторы, перестраиваемые фильтры, умножители и делители частоты. Таким образом, исследуемые в главе модели многоэлементных пространственно-развитых систем более приближены к реальным системам, чем, например, решетки связанных кубических отображений и могут дать более точное описание нелинейной динамики ансамблей связанных неавтономных мультистабильных осцилляторов.
Отображение (2.1) было получено в [312] в предположении импульсного возбуждения, сопровождающегося внесением в систему большой диссипации, и оно хорошо качественно описывает поведение нелинейного осциллятора в области субгармонических колебаний. В частности, оно хорошо качественно описывает динамику i L-диод цепи, возбуждаемой импульсами тока прямой для диода полярности, в области субрезонансов. Помимо перехода к хаосу через удвоения периода отображение (2.1) отражает такие нелинейные феномены, как гистерезис, бистабильность и мультистабиль-ность, и демонстрирует типичные для неавтономных диссипативных нелинейных осцилляторов конфигурации бифуркационных линий. Например, оно отражает существование двух устойчивых колебательных режимов в области гистерезиса при нелинейном резонансе, что присуще нелинейным осцилля-торным системам с различными видами потенциальной функции. На рис. 2.1(a) изображен график отображения (2.1) для случая биста-бильности, когда в системе имеются две устойчивые неподвижные точки. В зависимости от выбора начального условия аттракторами являются различные режимы периода 1, временные реализации которых представлены на рис. 2.1(6) и (в). Похожий характер колебаний демонстрирует, например, колебательный контур с диодом, возбуждаемый импульсами тока прямой для диода полярности. Временные реализации тока в такой системе имеют вид последовательности цугов затухающих собственных колебаний. Заметим, что фазы начальных колебаний в цугах практически одинаковы. Это связано с тем, что инжекция неосновных носителей заряда в базу диода приводит к увеличению активной проводимости в эквивалентной схеме диода и резкому увеличению потерь энергии в системе. Такая ситуация соответствует тому, что за время воздействия система «забывает» о скорости изменения переменной в момент прихода импульса, и колебания в каждом цуге начинаются при нулевой скорости. Аналогичный характер колебаний может быть реализован на примере механического маятника, воздействие на который осуществляется с помощью неупругого удара с массивным телом, а период собственных колебаний маятника изменяется в моменты воздействия пропорционально начальному отклонению от положения равновесия, например, с помощью зажима, регулирующего длину рабочей части пружины (как это делается для убыстрения или замедления хода часов).
Динамические модели автоколебательных систем с запаздыванием (восстановление по вре менным рядам)
Пространственно-развитые системы, характеризуемые наличием запаздывающей обратной связи, обычно описываются бесконечномерными моделями в виде дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом. Дифференциальные уравнения с запаздыванием используются для моделирования систем, поведение которых определяется не только текущим состоянием, но и состояниями в предыдущие моменты времени. Такие модели являются бесконечномерными, поскольку требуют задания непрерывного множества начальных значений динамической переменной на отрезке времени, равном времени задержки.
Системы с запаздыванием широко распространены в природе и технике [131]. Например, в динамике популяций запаздывание связано с тем, что особи участвуют в репродукции лишь после периода взросления [132], а в пространственно-развитых радиофизических и оптических системах оно определяется тем, что сигналы распространяются с конечной скоростью и им требуется время на преодоление расстояний [133—146]. К классу систем с запаздыванием относятся, например, и ставшие эталонными уравнение Икеды [147], моделирующее пассивный оптический резонатор, уравнения Ланга-Кобаяши [148], описывающие полупроводниковые лазеры с оптической обратной связью, уравнение Маккея-Гласса [149], моделирующее процесс выработки организмом красных кровяных клеток, и многие другие модели, используемые для описания различных процессов в живых организмах, от метаболизма глюкозы до распространения инфекционных заболеваний [150]. К уравнениям с запаздыванием сводится также математическое описание многих физиологических процессов, обусловленных управлением со стороны центральной нервной системы [151], включая процессы дыхания [152, 153] и регуляции кровяного давления [154].
Исследованию динамики автоколебательных систем с запаздыванием, как теоретическому, так и экспериментальному, посвящено достаточно много работ [131—155]. Изучение нелинейных динамических моделей различных генераторов с запаздывающей обратной связью (генераторов на основе лампы бегущей волны, лампы обратной волны, пролетных клистронов, радиотехнических кольцевых генераторов с фильтрами низких частот) позволило существенно продвинуться в понимании сложной динамики многих практически важных радиоэлектронных устройств.
Значительно менее изученной является задача восстановления модельных дифференциальных уравнений с запаздыванием по временным рядам наблюдаемых величин. Решение этой проблемы позволило бы не только предсказать поведение ряда практически важных устройств и систем при изменении параметров, но и оценить адекватность заложенных в модели представлений об объекте, осуществить классификацию систем и режимов их функционирования, определить значения параметров, недоступных непосредственному измерению в эксперименте.
В достаточно общем случае системы с запаздывающей обратной связью описываются уравнением следующего вида sy,\t) + sn_lxiH-l\t) + - + elx(t) = F(x(t)tx(tl)t...,x(tk))t (3.1) где x(f) — состояние системы в момент времени /, x(l,) (t) производная по времени порядка п, гх,...,тк — времена запаздывания, є1,...,єп — параметры, характеризующие инерционные свойства системы, F— некоторая функция. Для однозначного определения поведения системы (3.1) необходимо задать начальные условия на непрерывном временном отрезке [—ц, 0]. Таким образом, система обладает бесконечно большим числом степеней свободы. В зависимости от параметров она демонстрирует иерархию различных движений и даже уравнения с запаздыванием первого порядка могут демонстрировать хаотические колебания, которым в фазовом пространстве соответствуют аттракторы очень высокой размерности [156]. Перечисленные обстоятельства осложняют решение задачи реконструкции системы по временному ряду, вынуждая разрабатывать специальные приемы. Большинство из них основано на проецировании бесконечномерного фазового пространства системы с запаздыванием в подпространства малой размерности. При этом используются такие критерии качества реконструкции системы с запаздыванием, как минимальная ошибка прогноза построенной модели [157-160], минимальная величина информационной энтропии [161] или различные меры сложности спроецированного временного ряда [162-168]. Известны также методы восстановления параметров систем с запаздыванием, основанные на применении регрессионного анализа [169-172], метода множественной стрельбы [173], а также на построении корреляционной функции [174, 175].
В третьей главе мы предлагаем оригинальную методику определения времени запаздывания, основанную на статистическом анализе временных интервалов между экстремумами временного ряда, и разрабатываем на ее основе методы реконструкции систем с запаздывающей обратной связью по их хаотическим временным рядам для широкого класса систем с запаздыванием, включая системы с запаздыванием высокого порядка и с несколькими временами задержки, а также предлагаем методы восстановления кольцевых систем с запаздыванием по временным рядам различных наблюдаемых динамических переменных, полученным из различных точек системы [316, 317, 321, 322, 325, 328, 331, 332, 335, 337, 341, 351, 352, 354, 358].
Статистический анализ временных интервалов, разделяющих экстремумы во временных реализациях различных модельных и реальных систем с запаздыванием, позволяет выделить следующие общие закономерности. При наличии инерционности в системе зависимость числа N пар экстремумов хаотической временной реализации, удаленных друг от друга на время т, от величины г, имеет четкий минимум при времени, соответствующем времени запаздывания системы, рис. 3.1(a). Поясним эту качественную особенность графика N(f) на примере одного из наиболее широко используемых дифференциальных уравнений с запаздыванием Slx(t) = -x(t) + f(x(t-rl)). (3.2)
В общем случае уравнение (3.2) является математической моделью колебательной системы, представляемой кольцом из трех идеализированных элементов: нелинейного, инерционного и задержки, рис. 3.2. При наличии инерционности (є\ 0), что соответствует реальным ситуациям, экстремумы во временной реализации x(t) близки к квадратичным, а следовательно, в экстремальных точках x(t) = 0, x(t) = О. Действительно, условие x(t) = x(t) = О может выполняться в точке, которая либо является точкой перегиба или точкой экстремума, отличного от квадратичного, либо принадлежит временному интервалу, на котором динамическая переменная не меняется, а реализации этих условий препятствует инерционность. Можно показать, что в этом случае во временной реализации практически отсутствуют экстремумы, удаленные друг от друга на время запаздывания ту.
Связанные системы с запаздыванием (методы восстановления нелинейных динамических моделей и их приложение к системам передачи ин формации)
Задача восстановления нелинейных динамических моделей автоколебательных систем с запаздывающей обратной связью по их хаотическим временным рядам привлекает к себе в последние годы определенное внимание [157-173]. Однако проблема реконструкции модельных уравнений связанных систем с запаздыванием и определение связи между ними по временным рядам до сих пор остается практически не исследованной. Вместе с тем, ситуация, когда системы с запаздыванием взаимодействуют между собой, является типичной в ряде практически важных задач. Например, применение связанных систем с запаздыванием, демонстрирующих хаотическую динамику очень высокой размерности, является перспективным в системах скрытой передачи информации [176, 182], в том числе на основе лазеров с оптической обратной связью [183-185]. Кроме того, связанные дифференциальные уравнения с запаздыванием используются при описании динамики взаимодействующих популяций [132, 150] и при моделировании процессов в сердечнососудистой системе человека [186, 187]. Построение нелинейных динамических моделей связанных систем с запаздыванием представляет собой следующий шаг в направлении увеличения сложности пространственно-развитых систем. Системы с задержкой, описываемые бесконечномерными моделями в виде дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, получают дополнительное пространственное развитие за счет связи между собой и конструирования на их основе ансамблей связанных систем.
Конечно, многообразие возможных способов связи систем с запаздыванием между собой очень велико. Мы ограничиваемся в данном разделе рассмотрением лишь трех выше выделенных способов линейной связи, для которых предлагаем метод восстановления двух взаимодействующих систем с запаздыванием Х\ и Х2 и определения по временным рядам коэффициентов их связи. Проведем сначала восстановление системы Х\, то есть, определим параметры гь S\, к2 и найдем функцию/].
Для восстановления по наблюдаемой реализации xi(t) времени задержки г і воспользуемся методом, предложенным в разделе 3.2, в котором было показано, что во временной реализации систем с запаздыванием вида (4.1) практически отсутствуют экстремумы, удаленные друг от друга на Т\. В соответствии с предложенной нами методикой, для нахождения г і нужно выделить экстремумы в исходной реализации, а затем для различных значений времени т определить число N пар экстремумов во временной реализации, удаленных друг от друга на т, и построить зависимость N(f). Эта зависимость будет иметь четкий минимум при времени, соответствующем времени запаздывания системы. Нами обнаружено, что этот метод определения времени задержки может быть успешно применен и в том случае, если на систему с запаздыванием Х\ действует система Х2, при условии, что это воздействие не приводит к появлению большого числа дополнительных экстремумов во временной реализации колебаний системы Х\.
Для определения параметра Е\ И функции f\ системы Х\, а также коэффициента связи к2, мы предлагаем метод, использующий временные реализации обеих наблюдаемых переменных Х](/) и x2(t). Предположим сначала, что нам известен способ воздействия Х2 на Х\, то есть, известна структура уравнения, описывающего динамику системы с запаздыванием Х\. В качестве примера рассмотрим случай, описываемый уравнением (4.2), при котором переменная системы Х2 вводится в кольцо обратной связи системы Х\ перед элементом, обеспечивающим задержку (точка I на рис. 4.1). Запишем уравнение (4.2) для системы Х\ в виде ВД (0 + i (0 = fi ( i (t - г,) + к2х2 (/ - г,)). (4.5) Из уравнения (4.5) следует, что если построить на плоскости множество точек с координатами ( ( - ) + 2 2(/-7 ), ,(/) + ,(/)), то оно воспроизведет функцию f\. Поскольку заранее величины Є\ и к2 неизвестны, будем строить зависимости єх{(/) + х,(/) от xl(t-zl) + kx2(t-rl) для различных значений є и к, добиваясь однозначной зависимости на плоскости {xl(t zl) + kx2(tl),sxl(t) + xl(t) j, которая возможна лишь при s=S\, к=к2. В качестве количественного критерия однозначности при таком поиске є і и к2 будем использовать минимальную длину линии Ь(є,к), соединяющей точки на этой плоскости, упорядоченные по величине абсциссы. Минимум Lm\n{s, к) будет наблюдаться при є-s \, к=к2, а построенная при этих значениях зависимость sxxx(t) + xx(t) от xx(t - тх) + k2x2(t - тх) воспроизведет нелинейную функцию, которую при необходимости можно аппроксимировать. Предлагаемый подход использует все точки временных рядов, что позволяет по коротким реализациям восстанавливать параметры и нелинейную функцию. Аналогичным образом можно восстановить нелинейную функцию /j и параметры Є\ и к2 системы Х\, описываемой уравнением (4.3) или (4.4), строя, соответственно, зависимости sxx(t) + xx(t) от хх {t - г,) + кх2(t) и sxx(t) + xx(t) — kx2(t) от xx(t-rx) для различных значений є и к. Если нам известно, что связь систем с запаздыванием вида (4.1) осуществлена одним из трех выделенных нами линейных способов, но неизвестно, каким именно, то есть, мы не знаем, в какой именно точке, I, II или III, осуществляется воздействие Х2 на Х\, нужно провести реконструкцию каждого из трех модельных уравнений (4.2)-(4.4) системы Х\ и определить для каждого из них Lmm(s, к). Однозначность восстановленной нелинейной функции может наблюдаться только при правильном выборе модельного уравнения, вид которого определяет пространство вложения, в которое траектория движения системы с запаздыванием проецируется из ее бесконечномерного фазового пространства. Следовательно, правильному выбору модели будет соответствовать наиболее низкое из трех полученных значений Lm-m(s, к). Таким образом, метод позволяет не только восстановить по временным рядам параметры связанных системы с запаздыванием, но и определить вид модельного уравнения.
