Введение к работе
Диссертация посвящена аналитическому исследованию слабо нелинейных волновых процессов электромагнитной и акустической природы в градиентных волноводных каналах. В ней с единых позиций теории нелинейных локализованных волновых процессов разработаны асимптотические методы и получено аналитическое описание нелинейной динамики электромагнитных и акустических волн, модулированных по амплитуде и частоте и распространяющихся в градиентных волноводных каналах с продольной неоднородностью.
Актуальность темы
Нелинейные явления сопровождают многие физические процессы,
исследуемые в оптике, акустике, гидродинамике, физике плазмы и других
областях физики. Абстрагируясь от специфических, определяемых
физическими механизмами свойств процессов в каждой из перечисленных
областей, оказывается возможным установить общие законы и
закономерности проявлений нелинейности независимо от их физического
содержания. Это позволяет считать теорию нелинейных волновых
процессов самостоятельной физической дисциплиной, довольно
разветвлённой и динамично развивающейся. Подтверждением её широчайших возможностей служит то обстоятельство, что методы и результаты теории нелинейных волн с успехом применяются в других областях знания, причём не только в естественных науках, но и экономических и гуманитарных.
Существенное место в теории нелинейных волн занимают слабо нелинейные волновые процессы, и возрастающий интерес к ним стимулируется практическими потребностями оптоэлектроники, волоконной оптики и нелинейной акустики. С физической точки зрения
слабо нелинейные процессы выделяются условием, что амплитуды волнового поля достаточно велики, так что нельзя пренебрегать эффектами нелинейности, однако их можно рассматривать в качестве дополнительных на фоне линейного волнового процесса. Влияние слабой нелинейности имеет следствием изменение качественного характера волнового процесса по сравнению с линейным случаем. Аналитическое описание слабой нелинейности требует разработки специальных асимптотических методов решения модельных уравнений.
В работе излагаются результаты исследований по аналитическим методам описания слабо нелинейных локализованных волновых процессов. Всесторонне исследован целый ряд задач, каждая из которых представляет научный интерес сама по себе и решение каждой из которых весьма актуально для соответствующих разделов нелинейной оптики или нелинейной акустики. Вместе с тем, фундаментальная общность свойств слабо нелинейных волновых процессов и системность применённых к их описанию аналитических методов органично объединяют рассмотренные задачи в рамках единой темы исследования и делают полученные результаты весьма актуальными для общей теории нелинейных волн.
Цели и задачи работы
Основными целями работы являются :
1. представление аналитического описания слабо нелинейной
динамики коротких электромагнитных и акустических импульсов,
модулированных по амплитуде и частоте, в градиентных волноводных
каналах с учётом их продольной неоднородности и возможной кривизны ;
2. установление теоретической реализуемости солитонного режима
распространения волнового поля в градиентном волноводном канале с
продольной неоднородностью и выяснение, какие ограничения для этого должны быть наложены на характеристики продольной неоднородности;
-
осуществление аналитического описания влияния продольной неоднородности градиентного волноводного канала на амплитуду, форму, ширину и скорость солитонного импульса в процессе его распространения;
-
разработка асимптотических методов исследования влияния нелинейных и дисперсионных эффектов высших порядков на характеристики солитонных импульсов в различных режимах;
5. представление аналитического описания процесса
распространения светлых и тёмных солитонных импульсов с длиной
волны несущей, близкой к длине волны нулевой дисперсии;
6. установление применимости нелинейного волнового уравнения с
кубичной нелинейностью для моделирования слабо нелинейной динамики
короткого акустического импульса.
Аналитическое описание слабо нелинейной динамики электромагнитных и акустических импульсов в неоднородных волноводных структурах достигается путём вывода и всестороннего анализа ряда модельных задач:
1. Асимптотическое решение нелинейного волнового уравнения применительно к описанию динамики короткого оптического импульса в градиентных оптических волокнах или планарных структурах с продольной неоднородностью. Нелинейность процесса предполагается слабой, порядок величины амплитуды импульса принимается в качестве малого параметра асимптотического решения. В ходе асимптотического решения происходит естественное выделение линейной компоненты волнового процесса, описание модовой структуры импульса и вывод уравнения для огибающей, учитывающего продольную неоднородность градиентного оптического волновода.
-
Асимптотическое решение нелинейного волнового уравнения для аналитического описания слабо нелинейной динамики короткого импульса с линейной частотной модуляцией несущей. Как показано в работе, решение требует принципиально различных методов в зависимости от соотношения ширины спектра и глубины линейной частотной модуляции.
-
Исследование локальной и глобальной разрешимости задачи Коши для нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами в классе быстро убывающих функций. Формулировка на основе результатов этого исследования условий, которые достаточно наложить на продольную неоднородность волноводного канала и выполнение которых гарантирует сохранение локализованного характера импульса.
-
Установление применимости нелинейного волнового уравнения с кубичной нелинейностью к описанию слабо нелинейной динамики акустического импульса, осуществление с этой целью аналитического вывода нелинейного волнового уравнения из системы гидродинамических уравнений Эйлера. В процессе этого вывода оказывается возможным выяснить, при каких значениях показателя адиабаты среда является фокусирующей или дефокусирующей для акустического излучения.
-
Асимптотическое решение нелинейного уравнения Шредингера с переменными коэффициентами для малой и плавной продольной неоднородности, а также на малых расстояниях при произвольной продольной неоднородности.
-
Асимптотическое решение возмущённого нелинейного уравнения Шредингера с дополнительными членами, характеризующими дисперсионные и нелинейные эффекты высших порядков, при различных соотношениях между коэффициентами и протяжённостью трассы.
-
Асимптотическое решение возмущённого уравнения Шредингера применительно к импульсам с длиной волны несущей в окрестности
длины волны нулевой дисперсии, аналитическое описание возникающих в процессе распространения таких импульсов связанных состояний солитонов. Решение задачи требует принципиально различающихся подходов в зависимости от величины отстройки длины волны несущей от длины волны нулевой дисперсии.
Научная новизна
Принципиально новой является сформированная в работе концепция, предполагающая моделирование электромагнитных и акустических слабо нелинейных волновых процессов посредством нелинейного волнового уравнения с квадратичной зависимостью показателя преломления среды от амплитуды волнового поля. И если для моделирования электромагнитных процессов введение нелинейности в систему уравнений Максвелла является уже хорошо известной процедурой, то редукция системы гидродинамических уравнений Эйлера к нелинейному волновому уравнению представляет собой результат настоящей работы. Дополнительная важность этого результата обусловлена тем обстоятельством, что полученное для коэффициента при нелинейном члене волнового уравнения явное аналитическое выражение позволяет связать фокусирующие или дефокусирующие свойства среды с показателем адиабаты.
Отличительной новой особенностью моделирования слабо нелинейных волновых процессов является введение в рассмотрение продольной неоднородности градиентного волноводного канала и пространственной изогнутости его оси. Предложенный асимптотический метод решения нелинейного волнового уравнения позволяет аналитически описать совместное действие таких факторов как слабая нелинейность процесса, слабая продольная неоднородность волноводного канала и
короткая продолжительность импульса посредством единого малого параметра. Для огибающей импульса выведено обобщённое нелинейное уравнение Шредингера, его коэффициенты зависят от характеристик моды распространения и поперечной неоднородности волноводного канала и являются функциями от продольной координаты. Решением этого уравнения и реализуется описание влияния продольной неоднородности на параметры слабо нелинейного импульса в градиентном волноводе.
При рассмотрении коротких импульсов с линейной частотной модуляцией несущей впервые отмечена необходимость классификации импульсов по глубине модуляции. Импульсы, у которых глубина линейной частотной модуляции много меньше ширины спектра, и импульсы, глубина модуляции которых соизмерима с шириной спектра, составляют два класса с существенно различной динамикой в градиентном волноводном канале с продольной неоднородностью. Для обоих режимов в работе сформулированы и реализованы методы аналитического описания и указаны отличительные особенности распространения импульсов.
Исследование эволюции огибающей импульса на базе обобщённого нелинейного уравнения Шредингера с коэффициентами, зависящими от продольной координаты и выражающимися через характеристики поперечной неоднородности волноводного канала, представляет собой существенный элемент новизны проведённой работы. Впервые исследована локальная и глобальная разрешимость задачи Коши для этого уравнения в классе быстро убывающих функций. Решение уравнения для огибающей осуществляется различными асимптотическими методами, что позволяет описывать динамику импульса либо на произвольных расстояниях при дополнительных предположениях о малости продольной неоднородности и дисперсионных и нелинейных эффектов высших порядков, либо без ограничений на эти характеристики, но лишь на малых
расстояниях вдоль трассы распространения. Принципиально новым результатом является также и установление существования двух качественно различающихся режимов распространения импульсов с длиной волны несущей в окрестности длины волны нулевой дисперсии. Один из них реализуется тогда, когда отстройка длины волны несущей от длины волны нулевой дисперсии превосходит некоторую характерную величину, другой имеет место в непосредственной окрестности длины волны нулевой дисперсии.
Достоверность результатов
Полученные результаты носят теоретический характер. Их обоснованность и достоверность обеспечиваются адекватностью математических моделей, использованием обоснованных асимптотических методов и определённостью границ их применимости. При предельных переходах к более простым и изученным ситуациям (волноводный канал без продольной неоднородности, импульс без линейной частотной модуляции и т.п.) получаются результаты, согласующиеся с имеющимися в научной литературе. Вывод о том, что показатель адиабаты, равный 3/2, разделяет среды, фокусирующие и дефокусирующие акустическое излучение, находится в согласии с результатами других авторов, полученными при изучении системы уравнений Навье-Стокса методами теории дифференциальных уравнений в частных производных и функционального анализа.
Научная и практическая значимость
Научная значимость работы определяется новизной рассмотренных задач, оригинальностью методов их решения, системной общностью аналитического описания волновых процессов различной физической
природы в градиентных волноводных каналах с продольной неоднородностью. Работа вносит значительный вклад в развитие важного научного направления, связанного с анализом нелинейной волновой динамики в волноводных структурах. Практическая значимость обусловлена тем, что разработанные методы позволяют достаточно полно учитывать влияние продольной неоднородности волноводного канала на процесс распространения импульса. Эти методы могут использоваться при разработке методики оценки продольной неоднородности градиентного оптического волокна, а также для задания допусков на неоднородность, обеспечивающих надёжную передачу информационных сообщений по солитонным волоконнооптическим линиям.
Положения, выносимые на защиту
-
Локализация слабо нелинейного волнового процесса в среде, характеризующейся двумя масштабами неоднородности в направлении распространения и перпендикулярно к нему, обеспечивается качественно различающимися механизмами. Само образование волноводного канала и осевое сосредоточение волнового поля в нём являются следствием сильной поперечной неоднородности среды. Нелинейность процесса проявляется в динамике огибающей, и в первую очередь, в образовании солитона огибающей. Параметры солитона изменяются в процессе распространения импульса под влиянием слабой продольной неоднородности и изогнутости волноводного канала.
-
Слабо нелинейный режим распространения короткого импульса в градиентном волноводе адекватно моделируется нелинейным волновым уравнением и может быть асимптотически охарактеризован посредством единого малого параметра. Этим параметром определяется порядок величины амплитуды импульса, а квадратом этого параметра
характеризуется продольная неоднородность волноводного канала и его кривизна.
-
Динамика слабо нелинейного короткого импульса в градиентной волноводной структуре со слабой продольной неоднородностью характеризуется тремя масштабами. Высокочастотное заполнение модулируется огибающей, эволюция которой, в свою очередь, двухмасштабна. Соотношения между фазами высокочастотного заполнения и огибающей различаются для различных распространяющихся мод. Распространение огибающей вдоль волновода происходит со скоростью, отличающейся от фазовой скорости высокочастотного заполнения, и сопровождается медленными вариациями амплитуды, ширины и формы.
-
Моды слабо нелинейного режима распространения в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью имеют линейные аналоги, которые, в свою очередь, взаимно однозначно соответствуют высокочастотным модам.
-
Динамика огибающей слабо нелинейного импульса в градиентном волноводе со слабой продольной неоднородностью удовлетворяет возмущенному нелинейному уравнению Шредингера с коэффициентами, зависящими от продольной координаты. Для достаточно широкого и практически значимого класса продольных неоднородностей волноводного канала существует интервал, на котором гарантированно сохраняется сосредоточенный характер импульса. При определенных ограничениях на продольную неоднородность такая сосредоточенность сохраняется на произвольно больших расстояниях вдоль волноводного канала.
-
Влияние дисперсии и слабой нелинейности высших порядков на огибающую короткого импульса может быть взаимно скомпенсировано,
что позволяет минимизировать искажения формы импульса в процессе его распространения. Этот эффект аналогичен образованию солитонов огибающей в результате совместного действия нелинейности и дисперсии в главном порядке.
-
Распространение излучения с длиной волны, близкой к длине волны нулевой дисперсии, инициирует образование связанных нелинейных структур. Качественный состав и динамика этих структур определяются величиной отстройки длины волны высокочастотного заполнения импульса от длины волны нулевой дисперсии. Если отстройка превышает установленную величину, то образуется связанное состояние из светлых и тёмных солитонов огибающей. В непосредственной же окрестности длины волны нулевой дисперсии формируется особая нелинейная структура - солитон на пьедестале.
-
Слабо нелинейная динамика импульса с линейной частотной модуляцией высокочастотного заполнения существенно различается в зависимости от того, является ли глубина модуляции много меньшей ширины спектра или эти две величины соизмеримы. На этой основе производится классификация импульсов на чирпированные и сильно чирпированные. Динамика огибающей сильно чирпированного импульса оказывает влияние на распределение волнового поля в поперечном сечении волноводного канала. И в том и в другом случае коэффициент модуляции может задаваться лишь в определенных соотношениях с параметрами поперечной и продольной неоднородности волноводного канала.
-
Система гидродинамических уравнений Эйлера, применённая к описанию слабо нелинейного процесса распространения короткого акустического импульса в градиентном волноводном слое с продольной неоднородностью, редуцируется к нелинейному волновому уравнению
с кубичной нелинейностью. Значение показателя адиабаты у — —
разделяет среды на фокусирующие (у > —) и дефокусирующие (у < —) акустическое излучение.
Апробация работы
Результаты исследований по теме диссертации представлялись на всесоюзных, всероссийских и международных научных конференциях :
-
Всесоюзная научная конференция "Волновые и вибрационные процессы в машиностроении". -Горький, 1989.
-
Волны и дифракция - 90. X Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн. - Винница, 1990.
-
I European Fluid Mechanics Conference. - Cambridge, 1991.
-
X Topical Meeting on Gradient-Index Optical Systems. - Santiago de Compostela, 1992.
-
International Conference "Gradient-Index Optics in Science and Engineering". -Kazimierz-Dolny, 1995.
-
International Conference on Nonlinear Dynamics, Chaotic and Complex Systems. -Zakopane, 1995.
-
Итоговый семинар по физике и астрономии победителей конкурса грантов 1997 года для молодых ученых Санкт-Петербурга. - СПб., Физико-технический институт им. А.Ф.Иоффе, 1998.
-
International Conference "Optical Pulse and Beam Propagation". - San Jose, 1999.
-
International Conference "Materials and Devices for Photonic Circuits", SPIE's 44th Annual Meeting. - Denver, 1999.
-
International Conference "Optical Pulse and Beam Propagation - II". - San Jose, 2000.
-
Международная конференция "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы". - Уфа, 2000.
-
X International Conference "Laser Optics". - St.Petersburg, 2000.
-
Региональная VI конференция по распространению радиоволн. - Санкт-Петербург, 2000.
-
Applied Nonlinear Dynamics. From Semiconductors to Information Technologies. -Thessaloniki, 2001.
-
Региональная VII конференция по распространению радиоволн. - Санкт-Петербург, 2001.
-
Asia-Pacific Optical and Wireless Communications Conference. - Beijing, 2001.
-
XXVII General Assembly of the International Union of Radio Science. - Maastricht, 2002.
-
Региональная VIII конференция по распространению радиоволн. - Санкт-Петербург, 2002.
-
XI International Conference "Laser Optics". - St.Petersburg, 2003.
-
Региональная X конференция по распространению радиоволн. - Санкт-Петербург, 2004
-
Conference MSS-04, Institute of Space Research. - Moscow, 2004.
-
XII International Conference "Laser Optics". - St.Petersburg, 2006.
-
Региональная XII конференция по распространению радиоволн. - Санкт-Петербург, 2006.
-
18і International Symposium on Nonlinear Acoustics. - Stockholm, 2008.
Отдельные разделы диссертации докладывались на научных семинарах кафедры радиофизики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета, кафедры радиофизики радиофизического факультета Санкт-Петербургского государственного политехнического университета, на городских семинарах по дифракции и распространению волн в Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова.
Часть результатов, представленных в диссертации, получена в рамках исследований, поддержанных грантами Российского фонда фундаментальных исследований.
Публикации
Все представленные в диссертации результаты опубликованы в ведущих научных изданиях. Основное содержание диссертации изложено в 49 публикациях, в том числе в монографии "Нелинейные локализованные волновые процессы", опубликованной в соавторстве с И.А.Молотковым и С.А.Вакуленко, издание осуществлено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований. Все изложенные в диссертации результаты получены при личном участии автора. В совместных работах автор активно участвовал в разработке концепции, математической постановке задачи, в её аналитическом и численном решении.
Структура и объем диссертации
Диссертация состоит из введения, пяти глав, в составе которых 28 параграфов, заключения, приложений и списка цитируемой литературы из 277 наименований. Общий объём диссертации - 313 страниц.
