Содержание к диссертации
Введение
1 Мультифрактальный анализ на основе вейвлет-преобразования 24
1.1 Анализ сингулярностей с помощью вейвлетов 24
1.2 Метод максимумов модулей вейвлет-преобразования 28
1.3 Тестирование метода мультифрактального анализа 36
1.4 Выводы по первой главе 46
2 Мультифрактальный анализ хаотической динамики взаимодействующих систем 63
2.1 Постановка задачи 64
2.2 Синхронизация хаоса в динамике связанных систем Ресслера . 66
2.3 Синхронизация хаоса в динамике связанных систем Лоренца . 75
2.4 Взаимодействующие нефроны 78
2.5 Стохастическая синхронизация 82
2.6 Выводы по второй главе 84
3 Мультифрактальный анализ динамики артериального давления крови 102
3.1 Постановка задачи 102
3.2 Эксперименты и результаты 105
3.2.1 Первая серия экспериментов (тестовая) 105
3.2.2 Вторая серия экспериментов (эффекты, обусловленные стрессорным воздействием) 108
3.3 Выводы по третьей главе 113
Заключение 122
Литература
- Метод максимумов модулей вейвлет-преобразования
- Синхронизация хаоса в динамике связанных систем Ресслера
- Стохастическая синхронизация
- Первая серия экспериментов (тестовая)
Введение к работе
Теория фракталов и мультифракталов в настоящее время широко используется для описания свойств самоподобия и сложного скейлинга, наблюдаемых в самых разных физических ситуациях [1-15]. Мультифрактальный подход изначально был предложен для статистического анализа особенностей скейлинга сингулярных мер [16-21] и с успехом применялся в разных областях науки - при изучении агрегационных свойств клеточных элементов крови в биологии и диффузионного роста кластеров, для характеристики разрушения материалов в физике металлов, в теории развитой гидродинамической турбулентности, при исследовании несоразмерных структур и квазикристаллов в физике твердого тела, для анализа структуры молекул ДНК, в задачах об одномерных случайных блужданиях и при исследовании броуновского движения, для описания инвариантной вероятностной меры странных аттракторов и т.д. [4,18,22-34]. Самые разные объекты природы могут быть отнесены к специальному классу "мультифракталов", и, пожалуй, довольно сложно найти область науки, где бы мы не встретились с представителями этого класса [35].
К числу фракталов относят геометрические объекты (линии, поверхности, пространственные тела), которые имеют сильно изрезанную форму и демон-
стрируют некоторую повторяемость в широком диапазоне масштабов [36]. Повторяемость может быть полной (в этом случае говорят о регулярных фракталах), либо может наблюдаться некоторый элемент случайности (такие фракталы называют случайными). Структура случайных фракталов на малых масштабах не является точно идентичной всему объекту, но их статистические характеристики совпадают.
Для количественного описания фракталов достаточно одной величины -фрактальной размерности или параметра, описывающего сохраняемость статистических характеристик при изменении масштаба. Мультифракталы - это более сложные объекты, для полного описания которых требуется не одна, а целый спектр фрактальных размерностей (возможно даже бесконечный). Фактически, мультифрактальный подход означает, что изучаемый объект каким-то образом можно разделить на вложенные фрагменты (подмножества), для каждого из которых наблюдаются свои свойства самоподобия [37].
Количественное описание мультифракталов осуществляется в терминах "спектра сингулярностей" f(a). Смысл этой функции состоит в следующем [38-40]. Предположим, что задана мера /х на некотором множестве, например, задано распределение заряда или массы. Если это множество покрывать сферами радиуса б, то мера, попадающая в каждую такую сферу, зависит от радиуса по степенному закону вида:
Me) ~ eai, (1)
где ai - называется "экспонентой сингулярности", а индекс і означает номер
элемента покрытия. Экспонента сингулярности в точке Хо имеет вид
где ВХо(е) - сфера радиуса є с центром в точке хо. Чем меньше значение аі, тем более сингулярной является мера /if. Предел at = 0 соответствует распределению меры, подобному функции Дирака, и означает, что заряд или масса распределены не равномерно, а сосредоточены вблизи одной точки [41, 42]. Спектр сингулярностей f{a) характеризует зависимость числа элементов покрытия Na (для которых cti равно некоторому конкретному значению а) от величины с.
Na(e) ~ Є-'К (3)
По смыслу величина / соответствует размерности Хаусдорфа. В случае равномерного распределения меры на фрактальном множестве (классическим примером является Канторово множество) сц = a = const, и спектр сингулярностей представляет собой единственную точку на плоскости (о;,/). При неравномерном распределении меры функция f(a) имеет более сложный ("колоколообразный") вид.
Вышесказанное можно проиллюстрировать на примере Канторова множества. Процедура его построения состоит в следующем: отрезок [0,1] делится на 3 равные части, после чего средняя часть выбрасывается. Затем те же операции проводятся с двумя оставшимися частями и т.д. На некотором шаге п данной процедуры мы получим 2П равных отрезков, каждый длиной 3_п.
Предположим теперь, что на Канторовом множестве задано равномерное распределение меры /і (например, массы), и для покрытия множества рассма-
триваются 2П элементов (окружностей) размера е = 3~п. Мера, попадающая в каждый из этих элементов, будет равна /і(Вхі(є)) = 2~п, где через Вхі(є) обозначена окружность с центром в точке Хі и диаметром б. Согласно формуле (1), экспонента сингулярности с^, определяемая наклоном зависимости In ц(.Вхі(є)) от In є, принимает значение а.{ = In 2/In 3. (В пределе е —> 0 это значение экспоненты соответствует каждой точке Канторова множества). В рассматриваемом примере размерность Хаусдорфа йн = a = In 2/In 3, а спектр сингулярностей /(а) состоит из одной точки (/(а) = du = ot) [43].
Если мера распределена неравномерно, спектр сингулярностей усложняется. Для иллюстрации проанализируем случай биномиального распределения [38]: предположим, что отрезок [0,1] вновь делится на 3 равные части; средняя часть выбрасывается, но теперь мы приписываем разные весовые коэффициенты р\ и р2 = (1 — Рі) Ф V\ Двум оставшимся интервалам [0,1/3] и [2/3,1]. Если вначале (п = 0) мы примем для всего интервала [0,1] Цо = 1, то на первом шаге процедуры построения Канторова множества двум отрезкам соответствуют меры \х\ = ріДо и //2 = (1 — Pi)Но- При последующих шагах будем использовать те же самые весовые коэффициенты р\ и р2, осуществляя деление на части каждого из отрезков.
Покрывая полученное фрактальное множество окружностями радиуса б = 3-п, рассмотрим крайний левый и крайний правый отрезки. Для первого из них (содержащего точку xq = 0) мера, попадающая в окружность Во диаметра б, равна/х(Во) = РіДо = Pi- Поэтому, согласно (2), а(0) = lnpi/ 1п(1/3). Аналогично, для крайнего правого отрезка, содержащего точку хо = 1, можно записать а(1) = 1пр2/1п(1/3). Поскольку изначально р\ ^ Р2, т0 и
а(0) Ф Q;(l).. Соответственно, спектр сингулярностей f(a) уже не будет состоять только из одной точки.
На практике, вычислить функцию f{cx) на основе формулы (3) весьма проблематично из-за очень медленной сходимости при є —» 0. Кроме того, значения оцениваемых характеристик могут заметно варьироваться для разных выбранных точек. Поэтому в теории мультифракталов предпочитают использовать специальный подход, основанный на расчете обобщенных фрактальных размерностей как "глобальных" характеристик, зная которые, можно вычислить спектр сингулярностей f(a).
В рамках данного подхода вводятся в рассмотрение так называемые "частичные функции" (или "обобщенные статистические суммы") [43-45]:
N(e) г=1
где N(e) - число элементов покрытия фрактального множества (например, сфер), [іі - мера, попадающая в сферу с номером г, q G R. Обычно наблюдается степенная зависимость Z(q, є) от размера элемента покрытия:
Z(q,e) ~бтМ (5)
где значения r(q) называются скейлинговыми экспонентами; они связаны с обобщенными фрактальными размерностями следующим образом [41]:
D т(д)
' (9-І) ()
Для простых фракталов (монофракталов) Dq = const, для мультифракталь-ных объектов Dq меняется с ростом q (рис. 1).
10.0
10.0
a)
б)
Рис. 1. Скейлинговые экспоненты и обобщенные фрактальные размерности монофрактального объекта (пунктир) и мультифрактала (сплошная линия).
$
Метод расчета спектра сингулярностей на основе скейлинговых экспонент r(q) является более устойчивым и надежным чем по определению (3). Для нахождения функций f(a) можно воспользоваться преобразованием Лежандра:
f(a) = qa- r{q) (7)
В последней формуле a = dr/dq, то есть знание спектра скейлинговых экспонент позволяет сразу же определить искомую функцию f(a). Мультифрак-тальный анализ часто называют "мультифрактальным формализмом", подразумевая подход, в рамках которого спектр сингулярностей /(а) рассматривается как преобразование Лежандра спектра r(q). Как отмечено в работах [17,18,46], существует глубокая аналогия между мультифрактальным формализмом и статистической термодинамикой. Переменные q и r{q) играют ту же роль, что и величина, обратная температуре, и свободная энергия в термодинамике, а преобразование Лежандра указывает на то, что вместо энергии и энтропии рассматриваются а и f(a) [47,48]. Ряд строгих математических результатов, относящихся к мультифрактальному формализму, был получен в рамках теории динамических систем. В последние годы данный подход приобретает большую популярность в различных экспериментальных исследованиях.
Необходимо отметить, что фракталы в природе существуют не только в виде сингулярных мер, но и как сингулярные функции, и для многих практических целей (в частности, в задачах анализа сигналов) наибольшую ценность представляет именно наличие строгого математического подхода к анализу мультискейлинговой структуры процессов различной природы [49]. Очень
многие сигналы, которые приходится анализировать на практике, могут быть рассмотрены в качестве представителей специального класса "мультифрак-тальных процессов" [19,50-55]. Если простые (или монофрактальные) сигналы (например, 1//-шум) являются однородными в том смысле, что их скейлинговые свойства остаются неизменными в любом частотном диапазоне, то мультифрактальные процессы допускают разложение на подмножества (участки) с различными локальными свойствами скейлинга [56]. Соответственно, для количественного описания данных объектов требуется большое число характеристик.
Было предпринято несколько попыток обобщить концепцию мультифрак-талов на случай функциональных зависимостей (сигналов). В 1985 году в работе [54] для статистического анализа сингулярностей был предложен метод структурных функций, который на протяжении последних лет достаточно часто использовался разными исследователями (возможно наиболее широкое распространение метод структурных функций приобрел в задачах исследования сильно развитой турбулентности). В 1991 году в работе группы Арнеодо [44] был предложен более совершенный метод "модулей максимумов вейвлет-преобразования'^ММВП)1, имеющий ряд существенных преимуществ (исследование более широкого класса сингулярностей - не только самих сигналов, но и их производных; меньшая погрешность вычисления и т.д.). Техника ММВП на сегодняшний день является наиболее эффективным методом статистического анализа сингулярностей и может успешно применяться при исследованиях структуры сильно неоднородных (нестационарных) про-
1В зарубежной литературе используется сокращение WTMM ("wavelet trnsform modulus maxima")
цессов различной природы.
Метод ММВП базируется на вейвлет-анализе, который называют математическим "микроскопом" из-за способности сохранять хорошее разрешение на разных масштабах. Привлекательность данного подхода состоит в том, что с его помощью можно анализировать как сингулярные меры, так и сингулярные функции; кроме того, он является более универсальным аппаратом для исследования мультискейлинговых свойств объектов по сравнению с ранее разработанными алгоритмами, например, методом структурных функций [57].
Метод ММВП часто интерпретируют как обобщение классических методов покрытия множества сферами, кубиками и т.п. с той лишь разницей, что вместо вышеупомянутых элементов покрытия используются вейвлеты. Поскольку базисные функции вейвлет-преобразования являются хорошо локализованными (солитоноподобными), они представляют собой эффективный математический аппарат для анализа принципиально неоднородных (нестационарных) процессов. Детали метода ММВП обсуждаются в первой главе настоящей работы. Отметим, что переход от изучения сингулярных мер к сингулярным функциям (или сигналам) сопровождается сменой используемых обозначений: вместо спектра сингулярностей f(oi) рассматривается функция D(h), имеющая приблизительно тот же смысл, где h называют экс-понентой Хелдера или локальной экспонентой Херста (по смыслу она аналогична a), a D(ho) представляет собой фрактальную размерность подмножества анализируемых данных, которое характеризуется локальной экспонентой ho.
Математическое определение экспоненты Херста Н звучит следующим образом [38]: Если д(х) есть функция, инвариантная по отношению к аффинным преобразованиям, то Ухо Є R, 3# G R такое, что VA > 0:
д(х0 + Аж) - д(х0) ^ Хн(д(х0 + х) - д(х0)). (8)
Если д представляет собой случайный процесс, равенство будет выполняться только при фиксированных значениях Л и xq. В случае Н < 1 функция д{х) является не дифференцируемой и, по аналогии с экспонентой сингулярности а, чем меньше Н, тем более сингулярна д{х).
При исследовании мультифрактальных объектов локальные скейлинговые свойства отличаются для разных подмножеств анализируемых данных, поэтому говорят о локальных экспонентах Херста (экспонентах Хелдера) h(xo), которые вводятся путем незначительного изменения определения Н (8):
| д(х0 -hi)- дЫ |- С№ (9)
и характеризуют локальное сингулярное поведение объекта исследования. Как отмечается в [56], мультифрактальный подход для сигналов потенциально способен характеризовать широкий класс процессов, являющихся более сложными по сравнению с процессами, для описания которых достаточно одного числа (единственного значения фрактальной размерности либо одной скейлинговой характеристики, описывающей, например, частотную зависимость спектральной плотности мощности).
Базирующийся на вейвлет-преобразовании мультифрактальный анализ можно интерпретировать как новый взгляд на проблему исследования структуры сигналов. В задачах статистической радиофизики традиционно боль-
шое внимание уделяется спектрально-корреляционному анализу. Однако классические методы расчета корреляционных функций или спектра мощности применимы лишь в случае стационарных процессов и требуют большой длительности сигналов для получения надежных оценок закона спада корреляций или частотной зависимости функции спектральной плотности. В отличие от классических подходов, метод ММВП позволяет проводить корреляционный анализ по коротким и нестационарным сигналам, что позволяет рассматривать данный метод в качестве инструмента исследования структуры реальных процессов, полученных в экспериментах. Причем этот инструмент является достаточно универсальным и может применяться вне зависимости от свойства стационарности или природы сигнала; с его помощью могут с равным успехом анализироваться как процессы, регистрируемые в радиофизических экспериментах, так и медико-биологические данные (представляющие пожалуй, пример наиболее сложных по своей структуре сигналов).
Актуальность работы определяется важностью проблемы выявления потенциальных возможностей и существующих ограничений метода муль-тифрактального анализа при решении задачи анализа структуры сигналов нелинейных систем. Базирующийся на вейвлет-преобразовании мультифрак-тальный анализ является новым, очень перспективным инструментом исследования структуры неоднородных и нестационарных процессов. Потребовалось менее 10 лет, чтобы данный подход (метод максимумов модулей вейвлет-преобразования) завоевал мировое признание и стал одним из популярных методов анализа нестационарных данных. После публикации в 1999 году в
журнале "Nature" работы по мультифрактальному описанию сердечного ритма [56] и серии статей в журналах "Physical Review Letters" и "Physica А" [58-62] мультифрактальный анализ стал широко применяться для обработки медико-биологических процессов. За последние несколько лет наличие муль-тифрактальной структуры было обнаружено и численно охарактеризовано в динамике очень многих систем различной природы. Некоторые исследователи считают [57], что метод ММВП является, возможно, наиболее мощным в настоящее время инструментом статистического описания неоднородных и нестационарных процессов сложной структуры. Однако, несмотря на значительное число публикаций в ведущих международных журналах, возможности техники мультифрактального анализа на сегодняшний день детально не исследованы. Как правило, большинство известных работ ограничивается констатацией факта наличия мультискейлинговой структуры в той или иной ситуации и расчетами спектра сингулярностей. Лишь по отдельным научным направлениям были проведены более глубокие исследования (например, мультифрактальный анализ явления сильно развитой турбулентности) либо получен ряд строгих теоретических результатов (в рамках теории динамических систем). Известные в настоящее время научные работы зачастую рассматривают либо очень простые примеры мультифракталов (где возможно проведение строгого математического анализа, т.е. получение аналитических результатов), либо очень сложные (сильно нестационарные и неоднородные процессы, такие как сердечный ритм). В последнем случае проведение исследований возможно только численно (на компьютере), но в силу сложности сигналов и отсутствия а-приорной информации о режиме динамике анализи-
руемой системы нельзя проконтролировать достоверность результатов и оце-
нить погрешность вычисления характеристик мультифрактального анализа. С этой точки зрения, для выявления возможностей и ограничений данного метода представляется целесообразным проведение мультифрактального анализа хаотической и стохастической динамики нелинейных систем, т.е. исследование моделей нелинейной теории колебаний, при котором характерные изменения спектра сингулярностей можно сопоставить с какими-то изменениями режима динамики рассматриваемых нелинейных систем. Поскольку многие процессы в природе относятся к классу "мультифракталов", то есть мультифрактальность можно рассматривать как достаточно общее явление, исследование этого явления и возможность его количественного описания представляет интерес уже само по себе. Кроме того, такое исследование имеет и практическую ценность с точки зрения изучения возможностей нового инструмента анализа структуры сигналов, применимого при решении очень широкого круга задач. К настоящему времени, за редким исключением, практически не исследованы эффекты потери мультифрактальности (переходы от мульти- к монофрактальной структуре). Мало изучено влияние флуктуации в нелинейных системах со сложной динамикой на скейлинговые характеристики режимов колебаний (в этом направлении можно, пожалуй, отметить лишь работу по мультифрактальному описанию явления стохастического резонанса [63]). Не исследованы изменения скейлинговых характеристик при синхронизации хаоса в динамике связанных автоколебательных систем. Хотя наличие сложного скейлинга в процессах медико-биологического происхождения было установлено, остается открытым вопрос о том, как различные
воздействия на живые системы и изменение привычных условий функционирования влияют на особенности мультискейлинговой структуры их процессов. В целях ответа на эти и ряд других вопросов в рамках настоящей диссертационной работы предполагается сочетание исследования модельных систем с обработкой экспериментальных данных. На сравнительно простых моделях теории нелинейных колебаний планируется выявлять эффекты изменения структуры сигналов. С помощью экспериментальных данных предполагается анализировать, насколько те или иные эффекты, наблюдаемые в модельных системах, типичны на практике.
Цель диссертационной работы заключается в выявлении возможностей и ограничений мультифрактального анализа при исследовании неоднородных процессов, изучении особенностей мультифрактального описания хаотической и стохастической динамики нелинейных систем, включая эффекты потери мультифрактальности, а также в применении техники мультифрактального анализа в исследованиях сложных режимов колебаний биологических систем.
Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:
Определить возможности и ограничения метода мультифрактального анализа, основанного на вейвлет-преобразовании, при исследовании структуры процессов, содержащих несколько различных типов сингулярного поведения.
Выявить типичные изменения мультифрактальной динамики взаимодействующих автоколебательных систем, функционирующих в режиме ди-
намического хаоса, к которым приводит эффект фазовой синхронизации.
3. Изучить особенности мультифрактального описания сложных режимов колебаний биологических систем и определить типичные изменения мульти-фрактальной динамики сердечного ритма, обусловленные стрессорным воздействием.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Фазовая синхронизация хаоса в динамике связанных автоколебательных
систем сопровождается изменениями структуры последовательностей времен
возврата в секущую Пуанкаре, включающими:
уменьшение степени мультифрактальности (вплоть до перехода к монофрактальной динамике);
уменьшение Хелдеровских экспонент, характеризующее усиление антикорреляций;
устранение различий между спектрами сингулярностей режимов динамики каждой системы.
Указанные изменения проявляются одновременно или в различных сочетаниях в динамике систем с несколькими характерными временными масштабами.
2. Обусловленные стрессорным воздействием изменения динамики
сердечно-сосудистой системы могут рассматриваться как эффект уменьше
ния (потери) мультифрактальности и/или уменьшения корреляций в струк
туре последовательностей временных интервалов между сердечными сокра
щениями. Спектр сингулярностей мультифрактального анализа может слу-
жить индикатором отклика организма на внешнее воздействие, применимым в условиях сильно нестационарной динамики.
Достоверность научных выводов работы подтверждается использованием алгоритмов численного моделирования стохастической динамики, базирующихся на классических результатах теории случайных процессов, соответствием результатов, полученных разными методами, а также их воспроизводимостью. Результаты численных и экспериментальных исследований соответствуют теоретическим предпосылкам и результатам исследований, проводимых по смежным задачам.
Научная новизна работы состоит в следующем:
Выявлены ограничения техники мультифрактального анализа при исследовании неоднородных процессов. Показано, что различные типы сингуляр-ностей, присутствующие в анализируемом сигнале, могут быть идентифицированы, если они относятся к разным масштабам наблюдения.
Впервые показано, что фазовая синхронизация хаоса может быть рассмотрена как эффект потери мультифрактальности в структуре последовательностей времен возврата в секущую плоскость. Сформулированы общие закономерности мультифрактального описания синхронизации хаоса в динамике систем с одним и несколькими временными масштабами.
Впервые показано, что стрессорное воздействие на организм может приводить к потере мультифрактальности в динамике сердечно-сосудистой системы. Выявлены типичные изменения корреляций в последовательностях временных интервалов между сердечными сокращениями.
Научно - практическое значение результатов работы.
Результаты, полученные в рамках настоящей работы, свидетельствуют о том, что мультифрактальный анализ представляет собой эффективный инструмент исследования, который может быть полезен при выявлении особенностей структуры сложных режимов колебаний в задачах нелинейной динамики и теории случайных процессов.
Рассмотренный ранее эффект потери мультифрактальности в режиме стохастической синхронизации переключений бистабильной системы обобщен на случай фазовой синхронизации хаотической динамики взаимодействующих автоколебательных систем.
Результаты по мультифрактальному описанию динамики артериального кровяного давления позволяют предложить количественный критерий отклика организма на внешнее воздействие. В отличие от классических методов анализа, данный критерий применим в условиях сильной нестационарности режимов колебаний в динамике биологических систем.
Результаты, полученные при рассмотрении различных моделей, могут быть использованы в учебном процессе. Часть результатов работы уже используется при чтении лекций студентам кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета в рамках спецкурса "Анализ временных рядов."
Апробация работы и публикации.
Основные материалы диссертации были доложены на следующих научных конференциях: "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ" (Саратов, 2001), международной школе-конференции "Chaos" (Саратов, 2001), Всероссийской научной конференции студентов-радиофизиков
(Санкт-Петербург, 2001), конференциях "Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations (SYNCHRO-2002)" (Саратов, 2002), "Нелинейные дни в Саратове для молодых-2003" (Саратов, 2003), "Complex Dynamics, Fluctuations, Chaos, and Fractals in Biomedical Photonics" (Сан-Хосе, США, 2004).
Результаты неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета, рабочей группы нелинейной динамики Гумбольдтского университета (под руководством проф. В.Эбелинга), рабочей группы "Хаос" Датского технического университета (под руководством проф. Э.Мозекильде).
По теме диссертации опубликовано и принято к печати 12 работ в центральной и зарубежной печати (7 статей и 5 тезисов докладов), которые включены в общий список литературы под номерами [108-119]
Структура и объем диссертации.
Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав, заключения и списка цитированной литературы. В ней содержится 83 страницы текста, 40 рисунков, библиография из 120 наименований на 16 страницах. Общий объем диссертации 139 страниц.
Во введении обосновывается актуальность работы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов, формируются положения, выносимые на защиту, и дается краткий обзор содержания работы.
Первая глава диссертации посвящена обсуждению особенностей метода мультифрактального анализа, основанного на вейвлет-преобразовании, выявлению его возможностей и ограничений.
В разделе 1.1 обсуждается проблема исследования сингулярностей с помощью вейвлет-преобразования. Вводятся основные понятия мультифракталь-ного анализа — спектр сингулярностей и экспоненты Хелдера.
Метод максимумов модулей вейвлет-преобразования
Алгоритм ММВП предполагает исследование нерегулярного поведения функции д(х) в два этапа. На первом шаге осуществляется вейвлет-преобразование по формуле (1.7), где в качестве д(х) обычно выбирают функцию распределения некоторого сигнала. В результате преобразования (1.7) получается поверхность в 3-мерном пространстве (рис. 1.2а). Наиболее важная информация о ней содержится в "скелетоне" (линиях локальных экстремумов поверхности коэффициентов Т \д)(х,а), поиск которых проводится на каждом масштабе а - (рис. 1.26)
Выбор базисной функции (в данном случае, выбор параметра га) как правило определяется тем, какую информацию необходимо извлечь из д{х). С одной стороны, увеличение га позволяет проигнорировать крупномасштабные полиномиальные составляющие (устранить тренд) и анализировать мелкомасштабные вариации данной функции [73]. С другой стороны, многократное дифференцирование приводит к увеличению числа линий локальных экстремумов вейвлет-коэффициентов и появлению "ложных" линий (этот эффект будет рассмотрен позднее). Как отмечается в [73], вейвлет-преобразование устроено таким образом, что Тф[д](хо,а) является регулярной функцией даже при нерегулярной д(х). Вся информация о возможной особенности д{х) (включая ее локализацию XQ И показатель h(xo)) заключена в асимптотическом поведении коэффициентов Тф[д](хо, а) при малых а. Если коэффициенты на малых масштабах расходятся, то д имеет особенность в XQ, и экспонен -29 та Хелдера может быть определена путем представления зависимости (1.8) в двойном логарифмическом масштабе и вычисления наклона \пТ-ф[д](хо,а) от In а. Если коэффициенты Тф[д](хо,а) близки к нулю в окрестности XQ на малых масштабах, то д является регулярной в этой точке. Важное обстоятельство при расчете Хелдеровских экспонент состоит в том, что искомые характеристики не зависят от выбора базисных функций вейвлет-преобразования, что позволяет говорить о том, что анализ локальной регулярности в некотором смысле универсален [38].
Выделением "скелетона" заканчивается первый шаг алгоритма ММВП. Теоретически, анализ выделенных линий локальных экстремумов (или локальных максимумов модулей вейвлет - преобразования) позволяет вычислять Хелдоровские экспоненты, то есть анализировать сингулярности функции д(х). Однако такой подход является неточным - при увеличении масштаба сказывается влияние соседних нерегулярностей, что приводит к различным ошибкам. В теории мультифракталов предпочитают проводить расчеты на основе так называемых частичных функций [44,45], позволяющих получать более надежные оценки вычисляемых характеристик. Поэтому второй шаг метода ММВП состоит в построении специальных функций Z(q,a), называемых частичными функциями, по формуле: Z(q,a) = J2 І Тф\д]іхі{р) а) Г (1Л0) ІеЦа) где L(a) - множество всех линий (I) максимумов модулей вейвлет-коэффициентов, существующих на масштабе a; xi(a) характеризует расположение на этом масштабе максимума, относящегося к линии I. Определение -30 (1.10) не подходит для отрицательных значений q, поскольку возможна ситуация, когда Т [#](#/(а), а) = 0. В связи с этим на практике используется другая формула: то есть выбирается максимальное значение модуля коэффициентов вейвлет-преобразования вдоль каждой линии на масштабах, меньших заданного значения а. Согласно [38], выполняется следующая зависимость: Z{q,a) aT(q\ (1.12) где величину r(q), определяемую для некоторого значения q путем вычисления наклона In Z(q, а) от In а, называют скейлинговой экспонентой. Вариация степеней q при построении частичных функций (1.11) позволяет получить линейную зависимость r(q) = qH — 1 для монофрактальных объектов (Н = dr/dq = const) и нелинейную зависимость r(q) = qh — D{h) с большим числом Хелдеровских экспонент h(q) = dr/dq = const в случае мультифрак-талов.
Синхронизация хаоса в динамике связанных систем Ресслера
Рассмотрим систему двух связанных моделей Ресслера в которой параметры А, В и fi определяют режим динамики каждой подсистемы, 7 - параметр связи, и\ = щ + д и u)2 = OJQ — 5 представляют собой базовые частоты и 5 - расстройка между ними. В настоящей диссертационной работе работе расчеты проводились при следующих значениях параметров: А = 0.15, В = 0.2, 7 = 0.02, /І = 6.8, UQ = 1.0. Бифуркационный анализ модели (2.1) был проведен в статье [94]. Для дальнейших исследований нам нужно рассмотреть некоторые особенности бифуркационной диаграммы этой модели на плоскости параметров ( 5,/І) (рис. 2.1). Система уравнений (2.1) имеет множество периодических и хаотических решений, относящихся к различным семействам атракторов. В настоящей работе рассматриваются семейства аттракторов имеющих наибольшие бассейны притяжения и соответствующих синфазной и противофазной синхронизации хаоса. В первом случае исчезают фазовые различия между Х\ и хч при и\ = а 2 (соответствующие периодические режимы обозначены как 2гСо, где г = 1,2,3,..., и 2г обозначает период цикла). Во втором случае разность фаз для субгармоник принимает значение 2л" (аттракторы обозначены как 2гС\).
Рисунок 2.1 иллюстрирует бифуркационные линии на плоскости параметров (5,ц): l3+i(j = О,1) — линии касательной бифуркации циклов 2lCj\ 1 . - границы перехода к хаосу через каскад бифуркаций удвоения периода для циклов 2 Cj. Ниже линий Ц периодические аттракторы синфазных и несинфазных семейств демонстрируют последовательные удвоения периода (для упрощения бифуркационной диаграммы детали перехода к хаосу не рассматриваются). В результате появляются хаотические режимы CAQ И СА\. На кривой L\ режим СА\ претерпевает кризис и становится "хаотическим седлом". Увеличение параметра /І ведет к слиянию хаотического аттрактора CAQ с седловым режимом СА\ на линии Lm. Полученный в результате слияния аттрактор обозначен СА-. Он характеризуется двумя положительными Ля-пуновскими показателями. Кривая 1 обозначает границу области синхронизации. Справа от этой кривой наблюдаются квазипериодические колебания 4Т2 и несинхронная хаотическая динамика CAt. Далее будет рассмотрено, как переходы от синхронной хаотической динамики (CAj) к несинхронной хаотической динамике (CAt) (направление А на рис. 2.1) и от хаоса (CAj) к гиперхаосу (CA-z) (по направлению В) отражаются в структуре времен возврата в секущую Пуанкаре.
Вначале рассмотрим переход от синхронного хаотического аттрактора CAQ (ИЛИ СА\) К несинхронному аттрактору CAt, в частности рассмотрим формы спектров сингулярностей D(h), соответствующие последовательностям времен возврата в секущую плоскость x i — 0 (рис. 2.2в). Можно увидеть два хорошо заметных отличия:
Значения экспонент Хелдера /г(0), относящиеся к максимуму спектра сингулярностей (q = 0), не совпадают для двух аттракторов; ширина спектра сингулярностей для несинхронного режима CAt намного больше чем ДЛЯ CAQ.
Это означает, что переход от CAQ К CAt может быть описан как переход от монофрактальной (или моноскейлинговой) структуры последовательности времен возврата, характеризующейся практически линейной зависимостью r{q) и почти постоянным значением h(q), (рис. 2.2г, черные кружочки) к мультифрактальной (мультискейлинговой) структуре, которая требует большого количества Хелдеровских экспонент для ее описания. Таким образом, в рассмотренном примере синхронизация хаоса может интерпретироваться как эффект потери мультифрактальности в хаотической динамике. В данном случае лучше говорить о почти монофрактальной структуре для CAQ, потому что очень сложно (а иногда и невозможно) вычислить спектр сингулярностей, состоящий из одной точки
Стохастическая синхронизация
Для иллюстрации общих закономерностей мультифрактального описания эффектов синхронизации хаоса в связанных автоколебательных системах и индуцированной шумом упорядоченности динамики в нелинейных системах рассмотрим хорошо известный эффект стохастического резонанса [107].
Недавно в работе [63] была предпринята попытка его мультифрактального описания. В рамках данной диссертационной работы основные результаты статьи [63] были воспроизведены (в целях сопоставления несколько отличающихся алгоритмов вычисления спектров сингулярностей - используемого в настоящей диссертационной работе и в статье [63]). Эти результаты состоят в следующем. Рассмотрим модель передемпфированного бистабильного осциллятора, которая описывается стохастическим дифференциальным уравнением следующего вида: где - нормально распределенный -коррелированный процесс (белый шум), / - интенсивность шума, А - амплитуда внешнего периодического воздействия (которая является малой величиной, то есть в отсутствие шума система не демонстрирует переключений между двумя состояниями). При исследовании эффекта стохастического резонанса часто выделяют две ситуации: когда амплитуда периодического сигнала очень мала по сравнению с потенциальным барьером и когда амплитуда А сопоставима с барьером. В последнем случае динамика бистабильной системы демонстрирует высокую степень когерентности между процессом переключения и входным сигналом, которую можно описать в терминах стохастической синхронизации [107]. Согласно выводам статьи [63], которые были подтверждены нашими расчетами, при достаточно большой амплитуде периодического сигнала эффект стохастического резонанса сопровождается потерей мультифрактальности в динамике модели (2.6). Изменения параметра / существенно меняет структуру спектра сингулярностей: при "оптимальном" уровне шума (соответствующем резонансу) последовательность времен возврата в одно из бистабильных состояний имеет четкую монофрактальную структуру (рис. 2.16а), тогда как при удалении от этого значения спектр сингулярностей соответствует муль-тифрактальному объекту (рис. 2.166). Таким образом режим стохастической синхронизации сопровождается потерей мультифрактальности в динамике передемпфированого бистабильного осциллятора с внешним воздействием (здесь прослеживается сходство с мультифрактальным описанием синхронизации хаоса в модели связанных систем Ресслера). В случае слабого периодического сигнала полной потери мультифрактальности не происходит, однако ширина спектра сингулярностей существенно уменьшается при "оптимальном" уровне шума.
В данной главе диссертационной работы изучалась возможность мульти-фрактального описания явления синхронизации в двух связанных системах с хаотической динамикой и было проанализировано, как переходы между различными типами синхронной и несинхронной динамики отражаются в структуре последовательностей времен возврата. Основные результаты состоят в следующем.
Фазовая синхронизация в связанных системах Ресслера сопровождается значительными изменениями последовательностей времен возврата, включая: -уменьшение степени мультифрактальности; -уменьшение гладкости последовательностей времен возврата, которое характеризуется уменьшением значений Хелдеровских экспонент; -сближением динамики взаимодействующих подсистем.
Первая серия экспериментов (тестовая)
Эксперимент был выполнен на 18 белых крысах массой 250-300 грамм (10 самцов и 8 самок). Каждой крысе был вживлен внутриартериальный полиэтиленовый катетер для прямого измерения давления крови. Артериальное давление крови записывалось у свободно двигающихся крыс в течении - 109 минут в состоянии покоя, затем в течении 15 минут в состоянии стресса и в течении 60 минут на следующий день после стресса (процесс восстановления). В наших экспериментах использовалась модель эмоционального стресса, вызванного обездвиживанием животного. Сигнал регистрировался при помощи комплекса PowerLab; частота дискретизации составляла 500Гц.
В ходе предварительной обработки данных из сигнала артериального давления выбирались наиболее "чистые" фрагменты на каждом этапе эксперимента (фрагменты длительностью около 10 минут без переходных процессов, различных сбоев и артефактов). Как и ранее был осуществлен переход от исходных данных (рис. 3.1а) к так называемому точечному процессу -последовательности временных интервалов между локальными максимумами сигнала артериального давления (рис. 3.16). Для повышения точности определения максимумов, проводилась интерполяция сигнала артериального давления с помощью сплайнов. Выделенные последовательности временных интервалов аналогичны R-R интервалам электрокардиограммы сердца. Далее эти последовательности анализировались для выявления индуцированных стрессом изменений мультифрактальной структуры.
В результате проведенного исследования были обнаружены четкие различия в стрессорных реакциях самцов и самок крыс. Как правило, самцы демонстрируют значительно более сильные изменения спектра сингулярно-стей D(h) при стрессе относительно состояния покоя. На рисунках 3.4 и 3.5 изображены результаты для двух крыс (самец и самка). Это, возможно, наиболее показательные и в то же время довольно типичные результаты реакции на стресс. Как видно из рис. 3.3, численные значения экспонент Хелдера h(q) сигнала кровяного давления самца уменьшаются при стрессе. Уменьшение данных экспонент свидетельствует об изменении корреляций: процесс становится менее "гладким". Изменение скейлинговых характеристик может быть описано разницей в значениях h при q = 0, соответствующих максимумам спектров D(h). Поскольку фрактальная размерность D близка к 1 при q = 0, необходимо знать только Хелдеровские экспоненты h(q), чтобы количественно охарактеризовать положение спектра сингулярностей а также степень мультифрактальности. (Для этой цели по аналогии с предыдущими главами можно ввести меру мультифрактальности Д/,, которая является диапазоном значений h(q)). Следует отметить, что наблюдается уменьшение величины Ah на рис. 3.4 помимо изменения корреляционных свойств. В состоянии покоя: Ah 0.5; во время стресса Ah 0.3. Другими словами, спектр сингулярностей D{h) становится более узким при стрессе, хотя анализируемые данные по-прежнему остаются мультифрактальным процессом.
Для самок наблюдалась другая реакция. Согласно рис. 3.5, не наблюдается ни заметных изменений Л(#), ни уменьшения степени мультифрактальности. Оцениваемые характеристики метода ММВП остаются практически постоянными на протяжении всего эксперимента. Таким образом можно говорить о том, что динамика кровяного давления самок белых крыс демонстрирует слабую реакцию на стрессорное воздействие (по крайней мере с точки зрения мультифрактального описания).
Рассмотрим еще несколько примеров. На рисунках 3.6 и 3.7 показаны основные характеристики мультифрактального формализма для других самок и самцов крыс. На этих рисунках представлены спектры сингулярностей
D(h) и спектры Хелдеровских экспонент h(q) для каждой стадии экспериментов, включая процессы восстановления (переходы от стресса к обычному состоянию). Можно видеть, что отмеченные выше эффекты являются качественно очень похожими. Самцы снова демонстрируют более сильные изменения характеристик мультифрактальной структуры при стрессе, а самки почти не реагируют на стрессорные воздействия. Спектры сингулярностей, соответствующие процессу восстановления, во всех примерах очень похожи на исходный спектр D(h), который наблюдался до стресса.
