Содержание к диссертации
СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 9
ЧАСТЬ 1. ВЕРОЯТНОСТНО-ОПЕРАТОРНОЕ 41
ОПИСАНИЕ ОДНОМЕРНЫХ И ДВУМЕРНЫХ ХАОТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ
ГЛАВА 1. ИССЛЕДОВАНИЕ ТРАНСФЕР-ОПЕРАТОРОВ БАЗОВЫХ ЭНДОМОРФИЗМОВ 41
Введение 41
1.1. Одномерные хаотические отображения: принимаемые терминология и определения 48
1.1.1. Эндоморфизмы как хаотические динамические системы 48
1.1.2. Свойства итеративной функции, определяющие хаотичность одномерного отображения 52
1.1.3. Хаотические отображения с точными решениями 55
1.1.4. Оператор Перрона-Фробениуса 56
1.1.5. Основные свойства марковских операторов и операторов Перрона-Фробениуса 60
1.1.6. Спектральные характеристики оператора. Сопряженный оператор Купмана 62
1.2. Представление решения спектральной задачи для оператора Перрона-Фробениуса через производящие функции (банаховы и гильбертовы пространства) 64
1.2.1. Некоторые общие характеристики симметричных кусочно-линейных хаотических отображений с полными ветвями 64
1.2.2. Операторы Перрона-Фробениуса для кусочно-линейных отображений с различным числом ветвей 66
1.2.3. Общее определение производящей функции для полиномиальных собственных функций трансфер-оператора 78
1.2.4. Производящая функция для системы полиномов Бернулли как архив полиномиальных собственных функций трансфер-оператора для сдвигов Бернулли 78
1.2.5. Производящие функции собственных функций трансфер-операторов симметричных кусочно-линейных отображений 81
1.3. Формулы Эйлера-Маклорена в теории детерминированного хаоса 90
1.3.1. Символический вывод обобщений формулы Эйлера-Маклорена 90
1.3.2. Оценка скорости перемешивания на основе формулы Эйлера-Маклорена 95
1.3.3. Формула Эйлера-Маклорена и собственные функции оператора Купмана 100
1.4. Аналитический расчет автокорреляционной функции орбит и корреляционных функций наблюдаемых 102
1.4.1. Автокорреляционные функции орбит симметричных отображений 102
1.4.2. Корреляционные функции наблюдаемых 106
1.4.3. Метод неопределенных коэффициентов для определения
конечного числа собственных функций эволюционного оператора 108
Заключение 112
ГЛАВА 2. СОПРЯЖЕННЫЕ ХАОТИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 116
Введение 116
2.1. Периодические функции как сопрягающие изоморфизмы 122
2.2. Полиномы Чебышева первого рода как хаотические отображения 130
2.2.1. Сопряжение полиномов Чебышева с кусочно-линейными отображениями 13 0
2.2.2. Связь с (логистическим) отображением Упама-фон Неймана 132
2.2.3. Кубическое хаотическое отображение и его применение к моделированию процесса инвестиций 133
2.2.4. Оценка скорости установления инвариантного распределения 134
2.3. Определение инвариантной плотности сопряженного отображения на основе точного траекторного решения 136
2.4. Отображения, генерирующие хаос для непрерывной области изменения параметра 137
2.4.1. Сопряжение на основе эллиптического синуса Якоби 138
2.4.2. Сопряжение на основе эллиптического косинуса Якоби 142
2.4.3. Сопряжение на основе эллиптической функции dr\(x,k) 146
2.5. Хаотические отображения бесконечной прямой 149
2.5.1. Хаотические отображения с инвариантной мерой в форме распределения Коши 149
2.5.2. Хаотические отображения с инвариантной мерой в форме распределения гиперболического косинуса
2.5.3. Хаотические отображения с инвариантной мерой в форме распределения F-распределения
2.5.4. Хаотические генераторы "биологических ритмов" 154
2.6. Итеративная схема с мгновенными переключениями "хаос-порядок", "порядок-хаосм (искусственная перемежаемость)
2.7. Оператор Перрона-Фробениуса для сопряженных хаотических отображений. Спектральная задача
2.8. Автокорреляционные функции траекторий сопряженных отображений 179
2.8.1. Общие представления для автокорреляционных функций орбит и корреляционных функций наблюдаемых 179
2.8.2. Условия генерации отображениями дискретного белого шума 182
2.8.3. Примеры хаотических генераторов дискретного квазибелого шума 185
2.9. Об источниках многозначности решения обратной задачи для оператора Перрона-Фробениуса 187
2.10. Дробно-линейное отображение с нулевым показателем Ляпунова 190
Заключение 194
ГЛАВА 3. ОТОБРАЖЕНИЕ ГАУССА: ЭВОЛЮЦИОРШЫЕ И ВЕРОЯТНОСТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ 199
Введение 199
3.1. Случайные величины в задаче Гаусса и законы их преобразования 206
3.2. Отображение Гаусса как хаотическая динамическая система 211
3.3. Циклы и апериодические траектории отображения Гаусса 220
3.4. Показатель Ляпунова для отображения Гаусса 225
3.5. Отображение Гаусса и парадоксы машинной арифметики 228
3.6. Оператор Перрона-Фробеииуса отображения Гаусса и проблема расцепления корреляций 237
3.6.1. Линейные операторы, ассоциированные с отображением Гаусса 237
3.6.2. Полиномиальное представление инвариантного распределения отображения Гаусса 241
3.6.3. Оценки для скорости релаксации и расцепление корреляций в динамической системе Гаусса 244
3.7. Хаотические отображения, связанные с именем Гаусса 252
3.7.1. Базовый эндоморфизм для отображения Гаусса 254
3.7.2. Сопряженное хаотическое отображение на положительной полуоси 257
3.7.4, Хаотические отображения на основе лемнискатных функций Гаусса 261
3.7.5. Многовариантность отображений с мерой Гаусса 267
3.8. Асимптотическое распределение коэффициентов непрерывных дробей: вероятностные и прикладные аспекты 271
3.8.1. Расчеты совместных распределений коэффициентов цепной дроби: одно-, двух- и трехмерное распределения 271
3.8.2. Распределение коэффициентов непрерывной дроби: общий случай 278
3.8.3. Отображение Гаусса в космологических моделях 281
Заключение 283
ГЛАВА 4. ХАОТИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ РЕНЬИ: ИЕРАРХИЯ И СПЕКТРАЛЬНВЫЕ СВОЙСТВА ТРАНСФЕР-ОПЕРАТОРОВ 287
Введение 287
4.1. Генезис Ф-отображения. «Золотое сечение» и детерминированный хаос 290
4.2. Хаотические кусочно-линейные отображения с трехступенчатой инвариантной плотностью 296
4.3. Выявление структуры собственных чисел и собственных функций оператора Перрона-Фробениуса для Ф-отображения
4,3.1. Двумерное инвариантное функциональное подпространство для эволюционного оператора Ф-отображения 308
4.3.2. Четырехмерное инвариантное функциональное подпространство для эволюционного оператора Ф-отображеиия 315
4.3.3. Собственные функции и собственные числа модифицированного оператора Перрона-Фробениуса (шестимерное инвариантное подпространство) 320
4.3.4. Общее решение методом неопределенных коэффициентов 327
4.4.Базовый эндоморфизм для Ф-отображения. Спектральные свойства трансфер-оператора 333
4.4.1. Построение сопряженного кусочно-линейного хаотического отображения с равномерным
инвариантным распределением 334
4.4.2. Уравнение и оператор Перрона-Фробениуса
для базового отображения 340
4.4.3. Собственные функции и собственные числа оператора Перрона-Фробениуса базового отображения 342
4.4.5. Автокорреляционная функция орбит базового отображения 348
Заключение 352
ГЛАВА 5. ДВУМЕРНЫЕ НЕДИССИПАТИВНЫЕ ХАОТИЧЕСКИЕ ОТОБРАЖЕНИЯ 356
Введение 356
5.1. Трактовка классического отображение пекаря как авторегрессионой системы первого порядка 359
5.2. "Инверсное" отображение пекаря 365
5.3. Обобщенное G-адическое отображение пекаря 367
5.4. О распределении G-ичных разрядов случайного числа 370
5.5. Общий метод построения двумерных хаотических отображений с равномерной инвариантной плотностью 373
5.6. Примеры новых нсдиссипативных отображений на плоскости 378
5.6.1. Хаотическое отображение симплексной области 378
5.6.2. Хаотическое отображение области, ограниченной экспонентой 382
5.6.3. Хаотическое отображение кольца 383
Заключение 386
ЧАСТЬ 2. СТАТИСТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СЛУЧАЙНО НЕОДНОРОДНЫХ СТРУКТУР И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 390
ГЛАВА 6. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНО НЕОДНОРОДНЫХ СТРУКТУР (СРЕД) И КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ 393
Введение 393
6.1. Квазипериод структуры как случайная функция. Статистические модели и характеристики 399
6 Л Л.Основные модельные предположения и расчет статистических характеристик квазипнреиода 399
6,1.2.Статистические характеристики случайного векторного процесса с кусочно-постоянными компонентами 412
6.2. Статистические характеристики и диагностика профиля возмущения квазипериодической структуры 416
6.2.1. Обобщенное статистическое представление профиля возмущения квази пери одической структуры 416
6.2.2. Статистические характеристики профиля возмущения квазипериодической структуры 420
6.2.3. Анализ винеровского спектра профиля возмущения квазипериодической структуры 424
6.2.4. Диагностика качества квазипериодических транспарантов
методами когерентной Фурье-оптики 428
6.3. Некоторые специальные применения моделей квазипериодического возмущения 432
6.3.1. Моделирование рельефов оптических поверхностей 432
6.3.2. Моделирование структурных параметров при вытяжке волоконных световодов 436
Заключение 438
ГЛАВА 7. СТАТИСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СЛУЧАЙНО НЕОДНОРОДНЫХ РЕЛЬЕФОВ И РАССЕИВАЮЩИХ СРЕД 440
Введение 440
7.1. Статистический характер автоэмиссионных рельефов на основе нитевидных кристаллов 448
7.2. Статистический характер автоэмиссионных рельефов на основе ориентированных углеродных нанотрубок 450
7.3. Статистическая модель автоэмиссионных рельефов 452
7.4. Вероятностные характеристики случайно-неоднородной среды 459
7.5. Статистические характеристики случайно-неоднородной среды, образованной шарообразными рассеивателями 463
7.6. Винеровский спектр случай но неоднородной среды с "импульсными" рассеивателями 464
7.7. Статистические характеристики излучения в среде с "импульсными" рассеивателями 467
7.8. Статистическая модель случайно неоднородной среды с цилиндрическими рассеивателями 473
Заключение 477
ГЛАВА 8. СТОХАСТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ 481
ЭЛЕКТРОННОЙ ЭМИССИИ
Введение 481
8.1. Основные физико-математические модельные предположения 487
8.2. Статистическая модель бистабильных флуктуации полевой эмиссии 490
8.3. Смена эмиссионных состояний полевой эмиссии как марковский процесс рождения и гибели 499
8.4. Марковская модель работы катода в отсутствие кооперативных эффектов 509
8.5. Оценка надежности катодной системы
в рамках марковских моделей 516
8.6. Нестационарная марковская модель дробового шума 521
8.6.1. О некоторых обобщениях формулы Шоттки для дробового шума 521
8.6.2. Прерванный марковский процесс чистого размножения (процесс гибели с инверсной нумерацией состояний) в моделировании катода с ограниченным эмиссионным ресурсом 524
8.6.3. Связь статистических характеристик эмиссии с функцией надежности катода 529
8.6.4. Асимптотическое описание надежностных характеристик катода 535
8.6.5. Марковская модель отклика эмиссионной системы 541
8.7. Мультистабильные флуктуации полевой эмиссии как стационарный процесс восстановления 542
8.8. Авторегрессионные уравнения, моделирующие процессы диффузии в термоэлектронных и полевых катодах 545
8.8.1. О конструктивном задании случайных величин 545
8.8.2. Авторегрессионное уравнение для стандартного винеровского процесса 548
8.8.3. Авторегрессиошюе уравнение для броуновского моста 550
8.8.4. Авторегрессионные уравнения для процессов, основанных на стандартном броуновском движении 556
Заключение 558
ГЛАВА 9. ВЕРОЯТНОСТНЫЕ МОДЕЛИ КУМУЛЯЦИИ ЧУЖЕРОДНЫХ ВЕЩЕСТВ В ОРГАНИЗМЕ
Введение 564
9.1. Дифференциальное уравнение и импульсная переходная функция моделируемой системы 564
9.2. Статистика поступления доз чужеродного агента в организм человека 574
9.2.1. Воздействие агентов как импульсный процесс 574
9.2.2. Модель процесса поступления чужеродных агентов на базе одного управляющего пуассоновского потока 576
9.2.3. Модель процесса поступления чужеродных агентов на базе двух управляющих пуассоновских потоков 584
9.3. Статистика накопления чужеродных агентов в организме 587
9.3.1. Соотношения для моментов 587
9.3.2. Вероятностное описание процесса накопления чужеродных агентов, поступающих в организм с "бесконечной" скоростью 589
9.3.3. Вероятностное описание процесса накопления чужеродных агентов с "конечной" скоростью инъекции в рамках двухкомпонентной марковской модели 598
9.4. Верификация математической модели 601
9.4.1. Случайные факторы, влияющие на поступление пестицидов в организм 601
9.4.2. Данные о кумуляции пестицидов в организме 604
Заключение 606
ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ 609
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
Введение к работе
В диссертации представлены математические модели флуктуационных процессов и нерегулярных структур, изучаемых в статистической радиофизике и электронике, статистической оптике и статистической экологии, а также проведено теоретическое исследование разностных уравнений первого и второго порядков (одномерных и двумерных отображений) как базовых моделей хаотической динамики. Отличительной особенностью всех предлагаемых моделей является возможность получения их аналитических решений, находимых на методологической базе теории марковских случайных процессов. Речь идет именно о решаемых моделях, и это качество, на наш взгляд, делает их в эпоху компьютерных вычислений и экспериментов особенно привлекательными в качестве "опорных точек", полезных (а порой и просто незаменимых) при верификации усложненных математических моделей, решаемых численно, в том числе хаотических и стохастических моделей нерегулярных процессов и случайно-неоднородных структур, являющихся предметом изучения в данной работе.
Как отмечал один из основоположников хаотической динамики Д. Рю-эль, "в принципе, физическая теория, безусловно, только выигрывает, когда соответствие между физическими и математическими величинами, кото рое она порождает, является, более точным, а диапазон явлений, которая она описывает, более обширным. Но на практике также важна решаемость математики, поэтому если у физиков есть альтернатива, то обычно используют теорию более простую и удобную, а не более запутанную и, в действительности, менее точную" [ВЗ].
Действительно, как однажды выразился Г.М. Заславский, "история неоднократно демонстрировала вечную ценность простых и изящных моделей" [В4]: математические модели, обладающие аналитически достижимыми точными решениями, всегда признавались в математической физике в качестве «эталонов» и критериев математической красоты, поскольку в максимальной степени четко "дают возможность понять основные черты явления и указывают направление поиска методов, пригодных в более сложных и более реалистических ситуациях" [В5].
Кроме того, аналитический подход обладает, по крайней мере, еще тремя замечательными свойствами (они в полной мере реализуются и в наших построениях):
аналитическое решение универсально; а именно: "очень многие математические модели, лишившись физической и технической оболочки, приобретают ... способность количественного описания различных по своей физической природе процессов или по техническому назначению объектов" [Вб];
"когда создается удачная модель физического явления, т.е. модель, которая позволяет делать точные вычисления и предсказания, то сама математическая структура модели открывает новые стороны этого явления";
аналитическое решение заведомо свободно от рассмотрения проблем, связанных с преодолением особенностей множества машинных чисел, являющего собой (в отличие от континуума чисел действительной оси) множество меры нуль.2
Основная опасность, проистекающая из особенностей машинной арифметики, - это появление в машинной модели качеств, не свойственных реальному объекту. В случае хаотических динамических систем цифровые шумы приводят к "теневым" траекториям, поведение которых может в корне отличаться от хода действительных орбит (например, в силу неточного представления (в машинном "исполнении") начального значения вместо теоретического цикла может возникнуть машинная "апериодическая" траектория). Подобное положение служит дополнительным обоснованием того, почему численные расчеты в хаотической динамике целесообразно вести исключительно на статистической основе с вариацией начальных условий и усреднением по множеству траекторий (при наличии перемешивающих свойств динамической системы). Один из самых опасных "подводных камней", возникающих при дискретизации задач хаотической динамики, связан с решением задач на собственные значения для линейных эволюционных операторов, ассоциированных с хаотическими (перемешивающими) системами. Эти операторы не являются самосопряженными; несамосопряженность - атрибут диссипативных, необратимых процессов. Здесь при численных расчетах реально возникновение машинных "фантомов" — несуществующих собственных значений [В10]. Поэтому наличие "оазисов" точных решений в таких ситуациях особенно актуально.
Естественно, резкое противопоставление моделей, реализуемых в ходе компьютерного эксперимента и при аналитическом решении, лишено смысла, ибо в любом случае наличие множества разнообразных (и тем более, различающихся по области применимости) моделей одного и того же явления полезно для выявления наиболее оптимальных из них, выстраивания своеобразных иерархий моделей, отличающихся новыми физическими результатами и возможностями прикладного использования.3 Нередко вычислительный
эксперимент становится стимулятором плодотворных идей при создании качественно новых аналитических моделей.4 Выдвинута и реализуется идея (К.И. Бабенко) доказательных вычислений на ЭВМ - "целенаправленных вычислений, комбинируемых с аналитическими исследованиями, которые приводят к строгому установлению новых фактов (теорем)" [В10, с. 595].
Значимость и "работоспособность" конкретных моделей, представленных в работе, будет охарактеризована ниже в процессе их более детального рассмотрения. Сейчас же отметим дополнительные общие моменты, характерные для данной работы.
Хаотические модели нашли принципиальные применения в физике (от механики до космологии), химии, информационных технологиях, биофизике, климатологии, экологии, экономике и финансовой математике, демографии [В 12-18].Особую роль среди них занимают одномерные и двумерные отображения, теоретико-методологическая ценность которых была подтверждена неоднократно: "их анализ оказывается полезным и важным, проливая свет на многие феномены, встречающиеся в более сложных ситуациях" [В19,с.25]
Приведем в этой связи три примера "на все времена", убедительно иллюстрирующее это утверждение:
1) открытие на базе одномерных отображений развитого сценария перехода от регулярного режима к хаотическому через бесконечный каскад бифуркаций удвоения периода (М. Фейгенбаум, [В20]), сопровождавшееся обнаружением некоторых универсальных и скейлинговых закономерностей этого перехода и привнесением в исследовательскую технологию нелинейной динамки метода ренормализационной группы; реальность этого сценария была впоследствии подтверждена при наблюдении разнообразных физико-химических явлений и процессов;
2) описание хаотической осцилляции метрики пространства-времени (в рамках однородной анизотропной космологической модели вблизи особенности) на основе одномерного хаотического отображения Гаусса (В.А. Белинский, Е.М. Лифшиц, И.М. Лифшиц, Я.Г. Синай, И.М. Халатников, К.М. Ханин,Л.Н. Щур[В21]);
3) обоснование фундаментальной теоретической концепции (И.Р. Пригожий с соавторами [В22]) относительно определяющей роли хаоса в возникновении "стрелы времени" (т.е. необратимости времени как несоответствия между наблюдаемой необратимостью физических процессов и обратимым характером уравнений движения) с привлечением в качестве базового объекта теории одномерного диадического отображения (сдвига Бернулли).
Традиционное прикладное значение одномерных и двумерных отображений определяется их использованием в качестве датчиков псевдослучайных чисел (и, таким образом, они являются "сердцем" метода статистических испытаний - метода Монте-Карло). Сегодня актуально их использование и в разнообразных схемах кодирования и обработки информации [В23]. В контексте нелинейной науки теоретически важным моментом является генезис отображений при установлении связи между дифференциальными уравнениями и отображениями с помощью метода сечений Пуанкаре. Одновременно по-прежнему представляет большой интерес расширение круга хаотических отображений в качестве как реальных, так и потенциальных модельных уравнений в различных сферах знания. Закономерности построения новых отображений, исследование их свойств и примеры конкретного использования в модельном аспекте отражены в данной работе.
В последнее время центральное место в исследовании хаотических отображений занимает операторный подход. Качественно он означает переформулировку (это важный методологический момент) изначально нелиней-ной задачи в линейную задачу посредством введения и изучения спектральных свойств линейных операторов - Перрона - Фробениуса (или, еще в одной терминологии, трансфер-операторов, трансфер-операторов Рюэля-Майера) и связанных с ним операторов (оператора Купмана и сопряженного к нему оператора). Потребность в операторном подходе возникла уже при первых попытках оценить скорость установления равновесных состояний и
расцепления корреляций в хаотических динамических системах. Следует отметить, что оператор Перрона-Фробениуса для необратимых перемешивающих отображений не является самосопряженным оператором, поэтому численное решение задачи на собственные значения для него является достаточно сложным. В этой связи особый интерес вызывают отображения и ассоциированные с ними линейные операторы, для которых данная задача может быть решена точно. Именно такой класс операторов выделяется и изучается в диссертации.5
Изучение особенностей оператора Перрона-Фробениуса позволило установить соответствие между свойствами эргодических динамических систем и марковских стохастических процессов [В25]. Свойство марковости для перемешивающих хаотических отображений проявляется, в частности, в "забывании" начальных условий (подобным же свойством обладают простые эргодические марковские цепи6): эволюционные уравнения подобных отображений при любом начальном распределении имеют асимптотическое решение в форме инвариантного распределения, т.е., другими словами, они не-чувствительны к начальным условиям. Подобная стохастическая устойчивость позволяет аппроксимировать (следуя идее С. Улама) хаотическую динамику марковской цепью с конечным числом состояний при специальном определении (с учетом вида отображения) переходных вероятностей [В25,26]. Правда, пользуясь при описании отображений понятиями марковских процессов, необходимо учитывать тот факт (он явно заложен в вывод выражения для оператора Перрона-Фробениуса), что в данном случае услов ные вероятности являются вырожденными, поскольку динамический процесс описывается сугубо детерминированным уравнением.
При моделировании собственно случайных (стохастических) процессов, как правило, используются не только марковские цепи, но и более сложные по структуре марковские модели. Применение марковских моделей для нахождения точных решений задач статистического моделирования случайно неоднородных структур и случайных квазипериодических процессов (в частности, применительно к статистической термо- и автоэмиссионной электронике, статистической оптике и статистической экологии) - вторая основная ("стохастическая") составляющая данной работы.
Не нужно особенно объяснять, почему анализ какого-либо объекта или процесса в чисто детерминированной постановке не является исчерпывающим. Формирование распределенных радиофизических и оптических систем сопряжено с трудностями преодоления влияния различного рода случайных, принципиально неуправляемых физических и технологических факторов, которые приводят к структурным и функциональным особенностям подобных систем. Когда нерегулярности и шумы играют деструктивную роль, актуальными в теоретическом плане оказываются постановка и решение ряда взаимосвязанных задач по анализу и определению путей минимизации влияния этих отклонений на физические свойства соответствующих структур, а в практическом плане актуальной оказывается разработка конструкций, малочувствительных (в другой терминологии - устойчивых, «робастных») по выходным параметрам к случайным вариациям структурных и режимных параметров, а также случайным изменениям внешних эксплуатационных факторов (например, температуры, радиационной обстановки и т.п.).
Теоретическое моделирование физических процессов в физических системах, связанное с учетом флуктуационного характера их структурных параметров, может подразумевать решение целого спектра взаимосвязанных задач, к которым относятся: анализ и минимизация влияния (в рамках различных статистических предположений) разброса конкретных физических и геометрических параметров на характер протекания соответствующих процессов (в том числе в специальных случаях функционального использования шумовых свойств); установление и оптимизация связи между статистиками
«первичных» и выходных параметров рассматриваемого устройства; построение теории воспроизводимости отдельного функционального элемента и прибора в целом при массовом производстве; установление обоснованных допусков на отклонения «первичных» параметров различных функциональных элементов; выработка рекомендаций по оптимизации технологий и конструкции; диагностирование качества отдельных функциональных элементов с целью определения степени их отклонения от «эталона» (причем, на возможно более ранней стадии их изготовления) и т.д.
Названные задачи могут принадлежать к классам как прямых, так и обратных задач. С прямыми задачами ассоциируется процесс нахождения решения модельных уравнений, позволяющий выразить флуктуации выходных (рабочих) параметров структуры через флуктуации «первичных» параметров, другими словами, проанализировать влияние «первичных» параметров на «рабочие». С обратными задачами соотносится математически гораздо более сложная проблема определения (синтеза) статистических характеристик структуры (среды) по наблюдаемым (или желаемым) характеристикам процессов, реализованных в данной структуре.
Обрисованная выше тематика представлена в диссертационной работе в рамках построения марковских моделей квазирегулярных процессов и структур. Этапы этой работы в целом соответствуют схеме, предложенной акад. А.Н. Тихоновым [В26]: 1) изучение качественно-количественных свойств физического явления, которые должны быть отражены в модели; 2) построение математической модели (запись качественной модели в математических терминах); 3) исследование (аналитическое и численное) математических задач, определяемых моделью; 4) верификация моделей на основе сопоставления с данными экспериментов; 5) использование апробированной модели для целей прогнозирования; накопление новых данных об изучаемом явлении.
Для полноты картины следует добавить, что случайность в нелинейных системах может иметь серьезные качественные последствия и приводить к новым, играющим конструктивную роль эффектам, которые не может предусмотреть детерминированная постановка задачи. Подобного рода эффекты
весьма разнообразны [В27]; к индуцированным шумом переходам относят, в частности, стохастический резонанс и стохастическую синхронизацию [В28]. В целом, как видится автору, совокупность представленных в диссертационной работе аналитических моделей для решения современных задач хаотической динамики, статистической радиофизики и электроники, статистической оптики, статистической экологии формирует определенный конструктивный вклад в развитие теории хаотических и стохастических процессов.
Цели и задачи исследования достаточно однозначно прорисованы выше: это построение и исследование хаотических и стохастических моделей, допускающих аналитические решения, в приложениях к нерегулярным процессам и структурам. Конкретными задачами, рассматриваемыми в диссертации в рамках реализации этой цели и одновременно определяющими объекты исследования, являются:
- построение обобщающих аналитических методов исследования спектральных свойств операторов Перрона-Фробениуса для ряда одномерных кусочно-линейных хаотических отображений; выявление конкретной роли собственных функций и собственных чисел данного оператора на характер расцепления корреляций (вид автокорреляционных функции траекторий отображений) и на характер протекания релаксационных процессов в одномерных динамических системах;
- изучение закономерностей анализа и синтеза одномерных и двумерных хаотических отображений (числовых генераторов хаотических последовательностей) с заданными (в том числе, и с перестраивыми) динамическими, вероятностными и корреляционными свойствами на основе изучения генезиса отдельных отображений, решения функциональных уравнений; топологической сопряженности отображений; оптимизация методов расчета важных прикладных характеристик хаотических отображений (инвариантных плотностей, показателей Ляпунова, автокорреляционных функций); построение новых хаотических моделей;
- создание обобщающих одномерных, двумерных и трехмерных стохастических моделей квазирегулярных процессов и структур, применимых в частности для решения прямых и обратных задач оптики случайно неоднородных рассеивающих сред, диагностики нерегулярной структуры автоэмиссионных поверхностей и анализа флуктуационных особенностей физических явлений, определяющих автоэмиссионные процессы, протекающие в источниках электронов на основе современных наноструктур;
- исследование возможностей применения марковских моделей для решения задач статистической экологии.
