Введение к работе
Актуальность работы Разработка математических моделей в области статистической радиофизики и вероятностного описания хаотических динамических систем в приложении к конкретным естественно-научным областям имеет важное значение для углубления и взаимного обогащения различных компонент знания, полученных на основе комплексного научного подхода, сочетающего теоретические исследования, физические и компьютерные эксперименты. В диссертации разработан комплекс математических моделей хаотических и стохастических процессов и структур, изучаемых в современной статистической радиофизике и электронике, статистической оптике и статистической экологии, в рамках теории марковских случайных процессов
Отличительной особенностью всех предлагаемых моделей является возможность получения их аналитических решений Речь идет именно о решаемых моделях, и это качество, на наш взгляд, делает их в эпоху компьютерных вычислений и экспериментов1 особенно привлекательными в качестве "опорных точек", полезных (а порой и просто незаменимых) при верификации усложненных (решаемых численно) математических моделей, в том числе хаотических и стохастических моделей нерегулярных процессов и случайно-неоднородных структур, являющихся предметом изучения в данной работе
"История неоднократно демонстрировала вечную ценность простых и изящных моделей , позволяющих понять основные черты явления, делать предсказания, определить направление поиска методов, пригодных в более реалистических ситуациях, думать о физических явлениях на языке математических объектов. Аналитические решения обладают к тому же универсальностью и заведомо свободны от рассмотрения проблем, связанных с преодолением особенностей множества машинных чисел, являющего собой (в отличие от континуума чисел действительной оси) множество меры нуль Основная опасность, проистекающая из особенностей машинной арифметики, -это появление в машинной модели качеств, не свойственных реальному объекту. Например, один из "подводных камней", возникающих при дискретизации задач хаотической динамики, связан с решением задач на собственные значения для линейных эволюционных операторов, ассоциированных с хаотическими системами. Эти операторы не являются самосопряженными; несамосопряженность - атрибут диссипативных, необратимых процессов Здесь при численных расчетах реально возникновение машин-
' Как известно, с 70-х голов XX столетия в математическом моделировании развивается мощная ветвь в форме вычислительного эксперимента Так, включая в 1999 г в число 30 особенно важных и интересных проблем физики и астрофизики на пороге XXI в научное направление «Нелинейная физика. Турбулентность. Солитоны. Хаос. Странные аттракторы», Нобелевский лауреат 2003 г по физике академик В Л Гинзбург отмечал " Внимание к нелинейной физике все усиливается и усиливается В значительной мере ">то связано с тем, что применение современной вычислительной техники позволяет анализировать задачи, об исследовании которых раньше можно было только мечтать" (В Л Гинзбург Какие проблемы физики и астрофизики представляются сейчас особенно важными и интересными // УФН Т 169 №4 С 419-441) Сложившуюся ситуацию даже квалифицируют как "научную революцию, связанную с попечением новой технологии научных исследований" (Г Г Малинецкий Хаос Структуры. Вычислительный эксперимент - М Эдиториал УРСС, 2000 С 3)
ГМ Заславский. Стохастичность динамических систем - М. Наука, 1984 С 45
ных "фантомов" - несуществующих собственных значений3 Поэтому наличие "оази-сов" точных решений в таких ситуациях особенно актуально 4
В части 1 работы развиваются аналитические методы синтеза одномерных и двумерных хаотических отображений, исследуются спектральные характеристики линейных операторов Перрона-Фробениуса и соответствующие асимптотические и корреляционные свойства решений хаотических разностных уравнений, демонстрируется конкретные приложения огображсний в модельном аспекте Интерес к подобного рода исследованиям подогревается тем обстоятельством, что хаотические модели нашли и продолжают находить принципиальные применения в разнообразных отраслях знания - в физике (от механики до космологии), химии, информационных технологиях, биофизике, климатологии, экологии, экономике, финансовой математике, демографии5 Особую роль среди них занимают одномерные и двумерные отображения, теоретико-методологическая ценность которых в контексте нелинейной науки была подтверждена неоднократно Например, теоретически важным моментом является генезис отображений при установлении связи между дифференциальными уравнениями и отображениями с помощью метода сечений Пуанкаре Традиционное прикладное значение одномерных и двумерных отображений определяется их использованием в качестве датчиков псевдослучайных чисел в имитационном моделировании Актуально их использование и в разнообразных схемах кодирования и обработки информации 6 Одновременно по-прежнему представляет большой интерес расширение круга хаотических отображений в качестве как реальных, так и потенциальных модельных уравнений в различных сферах знания
Операторный подход занимает в последнее время одно из центральных мест в исследовании хаотических отображений Качественно он означает переформулировку изначально нелинейной задачи в линейную задачу посредством введения и изучения спектральных свойств линейных операторов - Перрона - Фробениуса (или, еще в одной терминологии, трансфер-операторов) и связанных с ним линейных операторов действующих в соответствующих функциональных пространствах Потребность в операторном подходе возникла уже при первых попытках оценить скорость установления равновесных состояний и расцепления корреляций в хаотических динамических систе-
КИ Бабенко Основы численного анализа - М Наука, 1986 Гл 9
Естественно, резкое противопоставление моделей реализуемых в ходе компьютерною эксперимента и при аналитическом решении, лишено смысла, ибо в любом случае наличие множества разнообразных (и тем более, различающихся по области применимости) моделей одного и того же явления полезно для выявления наиболее оптимальных из них, выстраивания своеобразных иерархий моделей, отличающихся новыми физическими результатами и возможностями прикладного использования Нередко вычислительный эксперимент становится стимулятором плодотворных идей при создании качественно новых аналитических моделей Так, в конце 60-х годов XX века круг точно решаемых физически важных задач значительно расширился за счет построения большого количество нелинейных интегрируемых систем, точными аналитическими решениями которых являются сояитоны Выдвинута идея (К И Бабенко) доказательных вычислений на ЭВМ - "целенаправленных вычислений, комбинируемых с аналитическими исследованиями, которые приводят к строгому установлению новых фактов (теорем)".
Многочисленные примеры модельного применения хаотических отображений можно найти в научной периодике В систематизированном виде они представлены в книгах- Лихтснберг А, Либерман М Регулярная и стохастическая динамика - М Мир, 1984, Неймарк Ю И , Ланда П С Стохастические и хаотические колебания -М Наука, 1987, Шустер Г Детерминированный хаос Введение-М Мир 1988; Короновский А.А, Трубецков ДИ Нелинейная динамика в действии Саратов ГосУНЦ "Колледж, 2002, Малинецкий Г Г, Потапов А Б Современные проблемы нелинейной динамики ~М Эдито-риал УРСС, 2000; Пу Т Нелинейная экономическая динамика - Ижевск, РХД, 2000, Кузнецов С П Динамический хаос Курс лекций -М Физматяит, 2001
6 Дмитриев А С , Панас А И Динамический хаос новые носители информации для систем связи - М Физматпит, 2002
мах (задача Гаусса) Особый интерес вызывают те отображения и ассоциированные с ними линейные операторы, для которых данная задача может быть решена точно Именно такой класс операторов (и "порождающих" их отображений) выделяется и изучается в диссертации.7
Исследование особенностей оператора Перрона-Фробениуса позволило установить соответствие между свойствами эргодических динамических систем и марковских стохастических процессов 8 Свойство марковости для перемешивающих хаотических отображений проявляется, в частности, в "забывании" начальных условий (подобным же свойством обладают простые эргодические марковские цепи): эволюционные уравнения подобных отображений при любом начальном распределении имеют асимптотическое решение в форме инвариантного распределения, т е, другими словами, они в вероятностном формате нечувствительны к начальным условиям Подобная стохастическая устойчивость позволяет аппроксимировать (согласно идее С Улама) хаотическую динамику одномерных отображений марковской цепью с конечным числом состояний при специальном определении (с учетом вида отображения) переходных вероятностей
В части 2 диссертации представлена "стохастическая" составляющая работы, посвященная аналитическому решению задач статистического моделирования случайно неоднородных структур и случайных квазипериодических процессов (в частности, применительно к статистической термо- и автоэмиссионной электронике, статистической оптике и статистической экологии) на базе теории марковских случайных процессов.
Анализ какого-либо объекта или процесса в чисто детерминированной постановке не является исчерпывающим. Формирование распределенных радиофизических и оптических систем сопряжено с трудностями преодоления влияния различного рода случайных, принципиально неуправляемых физических и технологических факторов, которые приводят к структурным и функциональным особенностям подобных систем, которые, к тому же, могут эксплуатироваться при наличии внешних изменяющихся факторов (например, температуры, радиационной обстановки и т.п). Поэтому когда всякого рода нерегулярности и шумы играют деструктивную роль , актуальными в
7 Первые аналитические результаты по расчету собственных функций и собственных чисел оператора Перрона-Фробениуса и его спектральному разложению были получены для симметричных кусочно-линейных отображений (М Ddrflc, И Р Пригожян (1 Pngogine), I Antoiuou, D Dnebe, P Gaspard, H H Hasegava, G Nicous, W С Saphir, S Sucanecki, S Tasaki, D MacKeman, R F Fox, Ю А. Куперин) Общие свойства трансфер-операторов изучаются в работах A Lasota, М С Mackey, D Ruelle, D Н Mayer, V Baladi, S Isota, M losrfescu, M Л Бланка
я Бланк М Л Устойчивость и локализация в хаотической динамике - М МЦНМО, 2001, Iosifescu М , Kraaikamp С Metrical Theory of Continued Fractions Kluwer Boston, Inc. 2002. 9 В то же время траектории хаотической динамической системы демонстрируют чувствительность к начальным условиям, которая "примиряя" случайность и детерминизм, делает принципиально невозможной постановку задач прогноза для этих систем Решение задачи Коши для таких систем теоретически существует, т е хаос в детерминированных системах возникает благодаря (не вопреки') существованию решения задачи Коти
10УламС Нерешенные математические задачи -М Наука, 1964, Бланк МЛ Цит соч Для полноты картины следует добавить, что случайность в нелинейных системах может иметь серьезные качественные последствия и приводить к новым, играющим конструктивную роль эффетам, которые не может предусмотреть детерминированная постановка задачи Подобного рода эффекты весьма разнообразны (см , например Маланин В В , Полосков И Случайные процессы в нелинейных динамических системах Аналитические и численные методы исследования - М -Ижевск' РХД, 2001), к индуї/ированньш шумом переходам относят, в частности, стохастический резонанс и стохастическую синхронизацию (см Анищенхо В С , Астахов В В , Вадивасова Т Є , Нейман АБ , Стрелкова Г И, Ши-манский - Гайер Л Нелинейные эффекты в хаотических и стохастических системах - М -Ижевск Институт компьютерных технологий, 2003)
теоретическом плане оказываются постановка и нахождение решения ряда взаимосвязанных задач (как прямых, так я обратных), позволяющих связать флуктуационные характеристики выходных (рабочих, наблюдаемых) параметров структуры (среды) с флуктуационными характеристиками «первичных» параметров Такую цель преследовали модельные исследования, отвечающие предмету статистической радиофизики, которые проводились в диссертации.
Цели и задачи исследования. Основная цель - построение и исследование хаотических и стохастических моделей, допускающих аналитические решения, в приложениях к нерегулярным процессам и структурам Конкретными задачами, рассматриваемыми в диссертации в рамках реализации этой цели и одновременно определяющими объекты исследования, являются"
построение и развитие аналитических методов исследования асимптотических и корреляционных свойств решений разностных уравнений (систем разностных уравнений) первого порядка со случайными начальными условиями, построение и развитие методов нахождения собственных чисел и собственных функций оператора Перрона-Фробениуса для одномерных кусочно-линейных хаотических отображений, соотнесение спектральных свойств этого оператора с характером протекания релаксационных процессов и расцепления корреляций в одномерных динамических системах;
установление и изучение закономерностей анализа и синтеза одномерных и двумерных хаотических отображений (числовых генераторов хаотических последовательностей) с задаваемыми (в том числе, и с перестраивыми) динамическими, вероятностными и корреляционными свойствами на основе изучения генезиса отдельных отображений, решения функциональных уравнений; топологической сопряженности отображений, оптимизация методов расчета важных прикладных характеристик хаотических отображений (инвариантных плотностей, показателей Ляпунова, корреляционных функций траекторий и наблюдаемых), построение новых хаотических моделей,
создание универсальных одномерных, двумерных и трехмерных стохастических моделей квазирегулярных процессов и структур, применимых, в частности, для решения прямых и обратных задач диапюстики одномерных квазипериодических структур (транспарантов), оптики случайно-неоднородных рассеивающих сред, диагностики нерегулярных структур автоэмиссионных поверхностей, для решения задач анализа эмиссионных и флуктуашюнных особенностей физических явлений, определяющих автоэмиссионные процессы в источниках электронов (в том числе, на основе современных наноструктур), прогноза надежностных характеристик атвоэмиттеров;
исследование возможностей применения марковских моделей для решения задач статистической экологии.
Научная новшна работы
1 Введено понятие производящей функции для собственных функций трансфер-операторов хаотических отображений, определен вид производящих функций для собственных полиномиальных функций оператора Перрона-Фробениуса одномерных кусочно-линейных хаотических отображений с одинаковым (по абсолютной величине) тангенсом углом наклона линейных составляющих, каждая из которых полностью переводит подынтервал своего задания на единичный интервал, в гом числе полученных посредством суперпозиции и инверсией отдельных отображений Символическим методом получено обобщение формулы Эйлера - Маклорена для разложения на единичном отрезке целых аналитических функций по комбинированной системе неортогональных полиномов Бернулли и Эйлера Данное разложение соотнесено с решением
задачи на собственные значения для оператора Купмана (сопряженного оператору Пер-рона-Фробениуса) в оснащенном гильбертовом пространстве.
2 Построены новые хаотические отображения, сопряженные различным кусочно-линейным отображениям с равномерным инвариантным распределением Эти отображения несут определенную смысловую нагрузку, отражая некоторые определенче-ские моменты детерминированного хаоса. Получены элегантные формулы для аналитического расчета автокорреляционной функции орбит и корреляционных функций наблюдаемых сопряженных отображений. Доказано, что дробно-линейное отображение с действительными параметрами при некоторых их комбинациях является эргодическим с нулевым показателем Ляпунова и с инвариантной плотностью в форме закона Коши
3. Впервые непосредственно на основе общей связи совместных, маргинальных и условных распределений (последние являются вырожденными) аналитически рассчитаны асимптотические многомерные совместные законы распределения коэффициентов разложения в непрерывную дробь случайного иррационального числа, распределенного но инвариантному закону отображения Гаусса - фундаментального одномерного отображения нелинейной динамики и теории чисел.
4 Исследован генезис одного из частных случаев малоизученного кусочно-линейного отображения Реньи, дс„+1 = fixn modi, - Ф-отображения с иррациональным коэффициентом в виде одного из чисел Фидия. Определены коэффициенты отображения Реньи, при которых оно имеет кусочно-постоянную инвариантную плотность в форме трех ступенек (в отличие от двухступенчатого распределения для Ф-отображения) Определена структура собственных чисел и собственных кусочно-полиномиальных функций трансфер-оператора Ф-отображения и его базового эндоморфизма.
5. Двумерное отображение пекаря (в различных модификациях) сведено к виду авторегрессионного фильтра первого порядка, в котором роль возмущающего воздействия играют разряды начального значения xQ, найдены точные решения для обеих компонент отображения Обоснованы методы построения двумерных недиссипативных отображений, заданных на фиксированных областях усложненной формы (отличной от единичного квадрата), в том числе в виде криволинейных трапеций, элементов круга и тп.
-
В рамках модельных предположений теории восстановления дано единое статистическое описание профилей возмущения различных типов как атрибутов разнообразных квазипериодических структур, применяемых в устройствах оптики, радиофизики, рентгенооптики, электроники, ускорительной техники, выделяемых в биофизических объектах
-
На основе анализа статистических свойств матричных автоэмиссионных рельефов, формируемых на базе современных материалов (углеродные нанотрубки) и технологий, предложено статистическое описание рельефов в форме системы ориентированных "острий" некоторой выбранной фиксированной формы, местоположение и геометрические параметры которых являются случайными Получено обобщение модели для трехмерного случая, соотносимого с моделью случайно-неоднородной рассеивающей среды с неоднородностями в форме рассеивателями различной (фиксированной) формы со случайными положением и ориентацией в пространстве, случайными геометрическими параметрами.
8 Исследовано влияние различных модельных предположений относительно
характера эмиссионных процессов (бесконечность и конечность процесса эмиссии
(старение катода), наличие отказовых состояний, характер случайной смены эмиссион
ных состояний и т п) на решение системы уравнений Колмогорова для дискретных
марковских процессов и вероятностных характеристик, вычисляемых на основе данно-
го решения, - корреляционных функций и винеровских спектров числа эмиссионных центров в структуре катода и эмиссионного тока
9 Впервые аналитические методы статистической радиофизики применены к моделированию задачи о накоплении организмом чужеродных агентов (в виде химических средств защиты растений и иных веществ)
Научно-прикладные аспекты работы
В диссертационной работе представлена совокупность достаточно конструктивных и универсальных марковских аналитических моделей, имеющих научное, прикладное и методологическое значение при решении современных задач хаотической динамики, статистической радиофизики и электроники, статистической оптики, статистической экологии Ниже сформулированы направления и рекомендации по использованию полученных результатов.
1. Разработан эффектный метод "архивного" (компактного) представления спектральных характеристик (собственных чисел и собственных функций) трансфер-операторов одномерных хаотических отображений в форме их производящей функции Названные характеристики "извлекаются" посредством действия соответствующего оператора на производящую функцию.
2 Развитые подходы к построению топологически сопряженных отображений позволяют получить многочисленные хаотические отображения, отличающихся (в рамках каждой иерархической "ниши" - эргодические, перемешивающие или точные эндоморфизмы) фазовыми пространствами, вероятностными законами, корреляционными свойствами (например, со свойствами дискретного белого шума), а также демонстрирующие хаос в некоторой области изменения параметра, сочетающие "управляющие" и "антиуправляющие" свойства (переходы от хаоса к порядку и обратно) Эти отображения могут использоваться как хаотические генераторы псевдослучайных последовательностей при моделировании задач, относящихся к различным естественно-научным областям Даны рекомендации по решению обратной задачи для оператора Перрона-Фробениуса (нахождения итеративной функции по заданному инвариантному распределению).
3. Результаты аналитического расчета асимптотических распределений коэффициентов непрерывной дроби существенно дополняют вероятностное описание длин "казнеровских эпох" в космологических однородных анизотропных моделях эволюции Вселенной вблизи особой точки решения уравнений Эйнштейна, а также определяют общий алгоритм моделирования случайного числа в форме непрерывной дроби
-
Доказана возможность "перестройки" отображения Реньи посредством вариации его параметра, это приводит к изменению вероятностной инвариантной плотности отображения Данное свойство позволяет включать отображение в число перспективных для моделирования процессов с кусочно-постоянными плотностями и в схеме хао-тизации информационных сообщений
-
Построение новых одномерных и двумерных отображений, а также исследование их асимптотического поведения актуально для выбора эффективных схем хаотической криптографии, основанных на перемешивающих свойствах этих отображений Предложенные новые двумерные сохраняющие фиксированную площадь отображения являются хаотическим генераторами равномерного распределения точек в областях с усложненными (прямолинейными или криволинейными) границами
-
Построенные статистические модели одномерных, двумерных и трехмерных случайно-неоднородных структур и сред, устанавливающие связи между вероятностными свойствами микро- и макрохарактеристик модели, являются необходимый звеном
при решении обратных задач по идентификации и прогнозированию параметров моделируемых структур с использованием неразрушающих диагностик
7 Найдены связи между эмиссионными, флуктуационными и надежностными характеристиками автоэмиттерных систем, на основании чего показана возможность прогнозирования надежностных параметров катодов по эмиссионно-флуктуационным характеристиками (значениям среднего тока и автокорреляционной функции флуктуации) Получены эффективные итеративные алгоритмы для моделирования диффузионных процессов, протекающих в материале катода, на основе линейных авторегрессионных уравнений первого порядка
8. Аналитическая модель накопления чужеродных веществ, отражающая стохас-тичность процесса контактов организма теплокровных с вредными агентами, рассчитана на прогнозирующие расчеты при различных характеристиках каналов удержания и вывода этих веществ из организма.
9 Результаты работ по статистическому моделированию случайно-неоднородных структур и сред использованы в разработках ИРЭ РАН (г. Москва), ОКБ завода "Тантал" (г. Саратов), НПО "Агроприбор" (г Саратов), в/ч 61459 (подтверждается актами об использовании и внедрении результатов).
Личный вклад. Общая концепция диссертации, ее структура, уровень понимания рассматриваемых в ней проблем, сформулированные основные результаты и выводы работы, положения, выносимые на защиту, отражают конкретный творческий вклад автора и исключительно его точку зрения на рассматриваемую проблематику. В совместных работах автор принимал активное участие ab avo usque ad mala - в постановке задач, разработке методик аналитических расчетов, интерпретации, систематизации и обобщения полученных результатов, информационном обеспечении исследований, отборе материала и написании публикаций, а также представлял результаты исследований на научных конференциях
Достоверность результатов диссертации В работе представлены результаты, полученные сугубо аналитическими методами В пользу их корректности свидетельствуют- совпадение аналитических решений, найденных различными способами; непосредственная проверка путем подстановки решений в уравнения, служащие определениями для изучаемых характеристик (например, в уравнепия для инвариантных вероятностных плотностей, собственных чисел и собственных функций линейных операторов и т д); возможность сведения общих результатов к "тестовым" задачам; сопоставление с данными, полученными другими авторами иными методами или в рамках иных трактовок (например, при сравнении нюансов вероятностной и метрической интерпретаций); организация специальных сравнительных численных расчетов (показателей Ляпунова и графических демонстраций сходимости итерационных процессов); выбор базовых предположений при построении стохастических моделей случайных процессов (структур) на основе предварительного изучения качественно-количественных свойств физического явления, которые должны быть отражены в модели; анализа экспериментальных данных; качественное совпадение результатов (автокорреляционных функций и спектров флуктуации моделируемых параметров) с экспериментальными данными
Апробация работы Основные результаты диссертационной работы представлялись как на Всероссийских (Всесоюзных), так и на Международных конференциях В число этих конференций входят:
Всесоюзные научные сессии, посвященные Дню радно (Москва, 1980, 1982-1984, 1987, 1989, 1991);
Всероссийские (Всесоюзные) межвузовские научные конференции с международным участием "Электроника СВЧ" (Ростов-на-Дону, 1976, Минск, 1983), International University Conference "Electronics and Radiophysics of Ultra-High Frequencies" (Санкт-Петербург, 1999), "Contemporary Problems of Microwave Electronics and Radiophysics" (Саратов, 2001),
10-й Всесоюзный симпозиум по дифракции и распространению волн (Винница, 1990), 3-й Всесоюзный научно-технический семинар "Применение лазеров в науке и технике" (Иркутск, 1990), Всесоюзное координационное совещание "Низкочастотные шумы в полупроводниковых приборах и устройствах (Черноголовка, 1991), научно-технические конференции с международным участием "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (Саратов, 1996, 1998 и 2000),
2-я международная конференция "Фундаментальные проблемы физики" (Саратов, 2000),
The SP1E International Symposium on Biomedical Optics (San Jose, California, USA, 2000), The SPIE International Symposium on Optics and Optoelectronic Inspection and Control Techniques, Applications and Instruments (Beijing, Chma, 2000); SPIE's tat Symposium "Photonics West I Biomedical Optics (BiOS 2004, 2005)" Conf. on Complex Dynamics, Fluctuations, Chaos and Fractals in Biomedical Photonics San Jose, California, USA, 2004, 2005),
The IEEE International Vacuum Microelectronic Conferences (IVMC'95, Portland, Oregon, USA, IVMC96, St-Petersburg, Russia; IVMC97, Kyongju, Korea; IVMC'98 Asheville, North Carolina, USA, IVMC99, Darmstadt, Germany - Wroclaw, Poland); The Material Research Society Spring Meeting^ (Symposium C- Material Issues in Vacuum Microelectronics II San Francisco, California, USA),
The IEEE International Vacuum Electron Sources Conferences (IVESC'98, Tsukuba, Japan, IVESC2000, Orlando, Florida, USA, IVESC02, Saratov, Russia),
The International Schools on Chaotic Oscillations and Pattern Formation (CPAOS'94, CHAOS'98, CHAOS*200l, Саратов), The International Conference on Nonlinear Dynamics and Chaos Applications m Physics, Biology and Medicine (ICND*96, Saratov, Russia); International Conference on Stochastic and Chaotic Dynamics in the Lakes (Amblistde, England, August 16-20,1999),
rhe International Conference "Control of Oscillations and Chaos" (St -Petersburg, 2000), The International Conference "Physics and Control" (St -Petersburg, 2003) и др
Материалы работы обсуждались на научных семинарах различных кафедр физического и механико-математического факультетов Саратовского государственного университета и в Саратовском отделении Института радиотехники и электроники РАН
Положения и результаты, выносимые на защиту
-
Производящие функции полиномиальных собственных функций операторов Перрона-Фробениуса для определенных на единичном сегменте кусочно-линейных хаотических отображений с полными ветвями и одинаковым (по абсолютной величине) тангенсом углом наклона, а также их инверсий и композиций являются линейными комбинациями производящих функций для неортогональных полиномов Бернулли и Эйлера аютветствующих аргументов
-
Новые хаотические отображения, построенные методом топологического сопряжения с базисными эндоморфизмами, метод расчета автокорреляционных функций траекторий сопряженных отображений и наблюдаемых, связанных с этими траетория-ми.
-
Результаты аналитического расчета многомерных асимптотических распределений коэффициентов непрерывной дроби, аппроксимирующей случайное число, проведенные на основе формальных связей между совместными, маргинальными и условными распределениями, допускают наглядную метрическую интерпретацию 12 совместные распределения m последовательных коэффициентов определяются мерой Гаусса интервала, границами которого являются точки разрыва m-кратной композиции Гауссова отображения. Эти распределения соотносятся с зависимыми случайными величинами, но, во-первых, являются инвариантными относительно произвольного сдвига вдоль ряда коэффициентов и, во-вторых, могут быть обобщены на неупорядоченные последовательное коэффициентов цепной дроби
Речь идет о мере множества чисел, разложения которых в цепные дроби обладают заданным свойством (в данном случае, обладать фиксированными коэффициентами на некотором интервале (см Хинчин А Я Цепные дроби - М Наука, 1978, losifescu М , Kraaikamp С Metrical Theory of Continued Fractions Kluwer Boston, Inc 2002)
-
Для отображения Репьи х,^ =/?*„ modi (1 <2 - вещественный параметр) существуют три значения параметра, при которых это отображение обладает инвариантной плотностью в форме трехступенчатой (кусочно-постоянной) функции. Число Фидия Ф = (л/5+1)/2 - единственное значение параметра этого (Ф-) отображения, дающее инвариантное распределение в форме двух ступенек Собственные числа оператора Перрона-Фробепиуса являются знакопеременными отрицательными степенями числа Фидия. Собственные функции оператора Перрона-Фробениуса (как по мере Лебега, так и по инвариантной мере) являются кусочно - полиномиальными функциями, терпящими разрыв (первого рода) в точке золотого сечения Ф"1 единичного отрезка (для Ф-отображения) или в точке 1/(1+Ф~2) (для сопряженного базового эндоморфизма) Процесс спада корреляций для базового эндоморфизма определяется двумя собственными числами оператора, отвечающими кусочно-линейным собственным функциям
-
Методика построения недиссипативных двумерных отображений для целей имитационного моделирования и хаотической криптографии
-
Статистические модели одномерных квазипериодических структур с характеристиками в форме "квазшхериода" и профиля "возмущения" разнообразной природы, позволяющие отразить влияние случайного разброса в геометрии (в рамках единого "образующего" профиля) на характеристики (автокорреляционная функция, винеров-ский спектр), которые могут быть идентифипировапы при бесконтактной диагностике качества таких структур
-
Статистические модели рельефов автоэмиссионных структур и случайно-неоднородных рассеивающих сред в форме композиции идентичных образующих (цилиндров, полуэллипсоидов вращения, полусфер и т д), испытывающих случайные вариации геометрических размеров и случайные отклонения от строгой матричной (или регулярной, однородной) структуры Модели определяют связь между автокорреляционными функциями и винеровскими спектрами случайного поля высот рельефа (трехмерной случайно неоднородной среды) с вероятностными чистовыми характеристиками параметров образующих.
-
Ряд физических флуктуационпых явлений, свойственных полевым эмиттерам на основе микро- и наноструктур (включая углеродные нанотрубки), - бистабильные и мультистабильные флуктуации эмиссии, процессы деградации эмиттеров - допускают представление в рамках спектрально-корреляционного анализа марковских моделей случайных процессов, выявляя зависимость статистических характеристик (корреляционных функций и частотных и частотно-временных спектров) структурных элементов катода и тока эмиссии от микропараметров моделей, проясняя тем самым природу флуктуационных процессов и способствуя решению задач прогноза надежности эмит-терных систем
-
Предложенная математическая модель контактов организма с вредными агентами предсказывает наличие стационарного уровня накопления чужеродных веществ организмом и, таким образом, качественно правильно описывает реально существующий процесс кумуляции вредных агентов и может быть использована при различных вариациях параметров модели для прогнозирования уровня накопленної о вещества
Публикации По теме диссертации опубликовано около 140 научных работ, включая 5 монографических изданий и 80 полноформатных статей (из них' 14 - в журналах, рекомендованных ВАК, 20 - в международных изданиях)
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из общего введения, 9 глав, общего заключения и списка цитируемой литературы из 855 наименований (библиография дается отдельно по каждой главе) Общий объем диссертации - 690 страницы, она иллюстрируется 67 рисунками и содержит 7 таблиц
!1
