Введение к работе
Зо Зведений дается общая характеристика проблемы квантового хаоса, указывается цель работн, обсуждается зе актуальность, теоретическая и практическая значимость, перспективность проводимых исследований. Дается и краткое содержание по главам. Приводятся основино положення, вшосише не. защиту з сведения об апробации.
Первая глава диссертации поезицена псстроегла квазякласск-ческой нестационарное теории возмущений для квантовых динамических систем, стохастических в хлассичееком пределе. Метод основал на с -числовом проектировании операторов и операторных функций на базис когерентных состояний. Для нелинейных нестадточарных гамиль-тонканов достаточно произвольного вида в кзазикласскеском прэдч-ле получено замкнутее с -числовое уравнение .ъля наблюдаемых средних е когерентных состояниях (2), проведен анал/з гремел яріше -
нишстл разложений по fi при наличка нелинейности (3). Результаты теории испольадзаны б 4 при рассмотрении квазиклассической теории во^ущенйй для нелинейного резонанса в когерентных состояниях, который образуется при взаимодействии иелинэйного квактсво-го осцилллтора с внеаігим периодическим во времени полем. Поскольку неі'шіеС.гіосгь осциллятора предполагается малой, то в резонанс .захватывается большее члзло уровней о В ** і . В классическом пределе гакой ?ип движения называется нелинейным резонансом (ИР), характеризующийся параметрами: шириной но действию (расстоянием мех-ду сспг.ратрисакк) и частотой фазевнх колебаний в окрестности резонанса. В Н определены квантовые поправки в HP в когерентных состояниях и времена применимости квазиклаоеичоского рассмотрения, которые оказывается порядка 7 Тн <*< 1/\Гъ Основными результатами первой глазы язляются установление экспоненциального закона рома ьо времени кэантовых поправок для физических средних в квантовых системах, стохастических в классическом пределе, и определение для таких систем "квантовоа границу стогастичности" (области параметров квантового хаоса) - области характерных параметров, лри г.оторьх движение квантовой системы на конечных временах близко к стохастическому движению соответствующей классической Системы. С отой целью в 5 рассмотрена динамика квантового нелинейного осциллятора,, -возбуждаемого периодической последовательностью о -имьульсоз. Такал система содержит бесконечное число взаимодействующих НРоа, и в классическом пределе при условии их сильного взаимодействия (перекрытии): К > Кс ( К - параметр сто-хаотичности, Кс - граница глобального хасса) происходит переход к хаосу в основной области фазового пространства. В квазиклассическом приближении получены квантовые отображения для средних в когерентных состояниях (5), провидено дополнительное усреднение по начальной їлатрице плотности и показано, что времена применимости классического рассмотрения прц условии стохасткзацик движения в классическом пределе ограничены логарифмически малыш временами *
отохастичности в классическом пределе, хезое - наличие времени применшости классического россмотренил цдя квантовой циьаідики системы.
Вторая глаьа. В связи с логарифмически палым временами при
менимости квазиклассичеекого рассмотрения, ьо второй главе разли
вается теори КНР (который является обобщением на квантовий слу
чай понятия КР) л теория взаимодействия йіРов. В связи с этим в
2 вводится удобное для последующего анализа квантового хаоса
квантовомеханическое представление "угол-действие", которое при
п -О соответствует рассмотрению задачи в переменных "угол-дей
ствие". Используя это представление, в ?3 получено укороченное
уравшкие типа Шрелдягера для описания динамически* и спектраль
ных свойств изолированного КНР и двух взаимодействующих КНРов -
простейшей динамической квантовой системы, обладающей при %-0
свойством стохастгчности. Тнкие уравнения получены в 3 для неде
ли квантового нелинейного осциллятора, возбуждаемого внешним ре
гулярным во времени полем, содержащим одну и две частоты. Показа
но (3), что условием применимости укороченных уравнений являет
ся приближение умэрекнеЛ келинейности, что и оправдывает примине-
яио метода для анализа квантового хаоса в каазиклассичзской об
ласти (ридбергоБСКие состояьия). В ': вводится гамильтониан изо
лированного КНР. и проводится подробный анализ его динамических
и спектральных характеристик. Показано, что КНР характеризуется
эффективной шириной %t - (4/7/) УЦ\It и частотой фазовых
колебания в окрестности резонанса 1Ч - V2VX (имезощих классические аналоги в области ^Гб-^1 і V,Y - Зезрззмз^ные параметры возмущения: к нелинейности). Наличие у КНР хорошо определенной граюшы ( 'bt ) позволило в дальнейшем рассматривать его как элементарную ячейку обра&озашя квантового хаоса. Частота И<^ ("УЇ7) в случае КНР фактичапки яплчетск сбобданием частоты Раби cj^ (~ V) на случай захвата в резонанс большого числа (~o"t ) уровней. В 5 на основе представления "угол-действие" развит метод ренормировки при построении квазиэнергетгаеских функций и спектра ква-зганергий двух взаимодействующих КНРов при условии относительно слабого их взаимодействия: К < Кс С К. - параметр Чирякова перекрытия НРов; Кс - критическое значение параметра К ). Процедура ренормировки позволила свести задачу о згаьмодейотвии КНРов к исследованию свойств ренормированного гамильтониана С5) к по-
луїить ряд интересных а важных результатов. Сбікая картгаа процес- . са взаимодействия КНРов ял языке явазизкергетическкх функций выглядит следующим образом. Воздействие яа нелинейную квантовую систему внешнего резонансного возмущения приводит іс образованию КНРов различных порядков с Матье-подобнкм спектром ісвазизнйрий, расположенных мевду перзичныш резонансами, что б конечном итоге приводит к ре.чормировав.40* картина расположения квазизкергегичсс-ких фуякииЛ в виде "клювов" на диаграмме (n}L ; п - "цен'і?р тяжесть квазиэнергетической фушат.и, L - ее среднеквадратичная ширина] . Каждому неразрушенному КНР Ш -го порядка соответствует свой га -й клюз на диаграмме (h,L ). Показано, что в общем случае ренормировка имеет конечное число шагов за спет существенной квактовости резенансов високого порядка. Пслучени условие K<it
когда КНРы перекрываются, ко параметр квазилласскчности мал ( S'H < 50), затухание ко.зреляшоїши): функций практически отсутствует, и движение является существенно квантовим. Частотний спектр в рзїкме кватогст'о хаоса близок к непрерывасму слоктру стохастического движения; эволюция волнового пакета практически не зависит от начального заселения. Анализ квантовой диффузии покази -bert, чтс в области квантового хаоса дш:амика сродней энергии системы на конечных времена--: хороко согласуется с классической диффузией. Времэна соответствия классической и каагаовсй диффугшм могут превышать зрэ.л-i распл;шания пакета до всей доступной области фазового пространства.
Третья глава посвящена теоретическому анализу нелинейной квантовой сиетєш, з которое КНР и взаимодействие КНРсв могут быть реализованы в области глубокой кэазкклаосихц, что, согласно результатам второй глави, позволяет реализовать в эток: случае движение, б/оізкое к стохастическому даижзнию классикеско'і системы. Б качестве физического объекта исследования рассмотрены электроны, находящиеся над поверхностью ге;шя в постоянном пркжимающем и перпендикулярно поляризованном к поверхности резонансном. СБЧ полях. В этом случае движение электрона с пнзргией < I эЗ (энергии проникновения элеирона за поверхность гелия) представляет собой нелинейные колебания вблизи логерхпестк. Система является элективно одномерной, к представляет собой обобщенна (за счет вхллчения прижимающего поля) модели, предложенной ранзэа[1] . Проведенный а 2,3 классігческий п квактозомеханическйй (на основе результатов второй глава) анализ показывает, что в случаэ отсутствия прляимяютего ноля условие. КЕазиклассичности ( S" "- і ) взаимодействующих КЯРов % области заселения ридбэргогских состояний (,Г\~ 40) фактически не выполняется. Приведены оценки, показывающие, что путем изменения величины прихиглакцего поля можно варьировать число уровней, захваченных в каявдый из ИІГов, что позволяет изучать в такой системе переходной режим от квантовой динамики взаимодействия КІІРов к дбїкузняю, близкому к классическому хаосу с і'^'і.
^етвестая глава посвяшена изучений динамики корреляционных функций в области сильного взаимодействия КНРоб. В качестве исходных вибраны модели ноллнейного квантового осциллятора и квантового ротатора, возбужцаемих периодической последовательностью 'ь -имкульсов. Одкии из преимуществ ьабранных сисїєм является
- И -
бесконечное число взаимодействующих первичних КНРов, что приводит к максимально разьстолу хаосу. Кроме того, в таких системах квантовые коррьлядаоннье эффекты проявляются в наиболее явьом видз, поскольку на них не накладываются классические остаточные корреляции, связанные с конечной областью фазового п;зостранства но действию у. со срааниталыю больной областью устойчивой компоненты іжйкєівд i,KRK в случае двух взаякоцеаствующпх КН?ов). Б й-1 анализ гопеденкя квантовых коррзляиионных функций на временах Х»Т% проведен в бааисе когерэнтных состояний (для юдели квлл-нейно:го кзактового осциллятора).. Рассмотрен продельный переход точні,:* квантовых выражений а области квантового хаоса к класси-чеокслу пределу. Палучя.чя аналитические оценки, г/оказывагщке, чго экспоненциальный характер затухания квантовых корреляций ка временах. Т
Пятая глава посвящена анализу процесса диффузии энергии в система с бесконечным числом взаимодействующих КНРов (модель кван-
тового ротатора) в г.редстазлеьии Вигкера. Такой подход имзгт ряд оуцественных преинуадзтв при статистическом оаисаігаи движенья в области параметров квантового .хаоса. В 2 рассмотрено nppcdpaao-вание Вейля произвольного оператораj залаяного в представлении "уюл-дойстьие", ввсдонного во второй главо. Используя результаты 2, в 3 полугенс- дяокретяоз отображение .для функции йигнора для модели ротатора з представлений "/гол-действие". Пол&зано, что переход к классическому пределу соответствует эволюция функция Лиувилля с уравнениями движения, соответствующими стандартному отображению Чирикова. В 4 получены квантовые отображения, описывавдие эволвдж квантовой одстемп и являющиеся обобщением "классической модели квантовой отохастичности" [?Л . Показано, что отличив в поведении во времени квантовых, корреляциояны:; функция от классических обусловлено двумя факторами: І) дискретностыз фазового пространств.', по действию в квантовом случае; 2) наличием в квантовых отображениях дополнительного (по сравнению с класси-чоским случаем) квазт случайног'о процессч. Показано, что в квази-класенческой области СХ. »i ) порвый фактор является определяющим при анализе, процесса квантовой дкффузьи анергии. В 5 дополнительно рассмотрел вопрос о влиянии дискрзтяоеги фазового пространства на поведение фазовых корреляционных функций. Показано, что дискретность фазового пространства призодит к усилению корре-ляционных аффектов. В 6 изучена динамика квактошх траекторий г> квазиклассической области, и построена функция расирэделения вре--мол замыкания траекторий. Используя формализм квантовых траекторий , описаны как явление КОД с определением характерных времен процесса, совпадающих с полученным? разеэ [2,з]из свойств локализации квазкэнэргетических функций, так и квантовый резонанс -квадратичный рост во времени (** Сг ) средней энергии системы. Развитый .в этой главе подход к изучению динамики системы б оолас-' ти параметров кешітовот,о хаоса фактически язлаэ\;ея вариантом квазиклассического приближения в случае, когда в классическом проделе имеет место стсхастизецйя движения. При таком подходе в ка-чзстве исходного выбираются не классический траектории двгсгеьля, а траектории, учигаваидае дискретность квантового фазового ирост-ранства по действию, что позволяет описать такое зажьое свойство системы как КОД.
В шестой гладе рассмотрены условия возюткновения хаоса в ло-
- ТЗ -
лукласеичэской гашш/гсновой отсгеме, состоящей им ансамбля много уровнегта атомов, ззакмодействухздих с собственным полем излучения (которое рассматривается з классическом одномогрвом прибл;їже-нки) и с внешним когерентным пслем. Такое рассмотрение приводит к аффективному классическому гамильтониану с нелинейным взаимодействием атомов с полом, что позволяет проводить анализ условий возникноеєния хаоса в рамках классической теории взаимодействия НРов. В 2,3 ікадученн основные уравнения для описания ансамбля многоуровневых атомов, взаимодействующих с полем излучения к с внешним когерентным полем, изучается возможность стохастического возбуждения атомной потс^стеш з область высокой кащих уровьей. Показано, что в ружкме сильного взаимодействии НГоь в основной обпасти фазового пространства (Л*Лу~1 ; Л - константа взаимодействия атомов с полем излучения) происходи установление кваск-стагиокарнсй функшш распределения заселенности уровней; при этом эффективное возбуждение васоколежащвх уровней происходит в области гараметров стохастической неустойчивости одновременно о генерацией в система самосогласованного поля излучения с характерными амплитудами, превышающими амплитуду внешнего поля. Показано также, что наличие внешнего резонансного поля, действующего одновременно на нескольких переходах, увеличивает скорость развития локальной неустойчивости и приводит к росту энергии атомной под-систеш. Кьазистадионарпая функция распределения устанавливается в этом случае зьатательпо сыстрэо (по сравненкв со случаем воздействия внешнего поля, рэзспансного одному переуоду), и происходит существеипоа зозбуздошю выспкололсащюс уровней. Б 4-6 для ансамбля двухуровневых атомоз показано, что возможно существенное шяигояав порога ( Л к?/* О огохастизация движения в основной области фазового пространства. Это достигается в определенной области параметров ( G- ~ ^с ~ Л ) за счет отстройки Д частоты внешнего поля от частоты перехода в двухуровневом атоме ( С -резонансная частота Рабп, о)с - кооперативная частота). В этом случае в системе выделяются КРы, сильное взаимодействие которых реатизу&тся в области параметров, реальных для яа^таденив. явления стохастичности в условиях эксперимента.
Седьмая глава госвящена исследованию роли HP и взаимодействия НРоь при описании структурных переходов ооразмзрносчь-яесо-размерность-хаос в одномерных дискретных квантовых системах с, кон-
курирующим взаимодействием. Анализ проводится как з оатасе когерентных состояний (одюузельных и xojuiqktvbkhx) , так и в рамках самосогласованного описания проотраяствег.ш;.х структур и спектра малых колебаний ч когерентних состояниях и в приближении самосогласованных 4/ононов при отличней от нуля температуре. В качестве модели для проведеная аналитических и численных расчетов использована дискретная кванговая модель Фринкэля-Коиторовой. В этом случае в квазинласслчбской области квантовые, отображения, описывающие возможные пространственные структуры, имеют вид стандартного отображения'с учетом порэнормировки параметра стохастичносаи [(_ за счет квантозн:с и температурах флуктуации. И в этом случае, однако, анализ возможных пространственных структур удобно проводить, используя понятия HP и взаимодействия НРов. Основное внимание уделено ис ело до Баню свойств хаотических пространственных структур и соотзіггствующего им частотного спектра малых колебаний. Фактически рассмотрений подход представляет процедуру квазикласскческогс кгактоваягл в длскр&шых моделях классических равновесных структур, состоящих из регулярних и случайных участков солктоннсго типа, и является обобщением квазиклассического квантования континуальных решений солитонаого типа. В 2 приваде-іш характерные параметри, возникающие при рассмотрении система .в континуальном приближении. В 3 в квазиклассическом приближения развит метод квантовзьия пространственных структур в когерентных состояниях при Т= О . Получены замкнутые уравнения для определения положения равновесия атомов структуры и спектра малых колебаний. В 4 решения полученных уравнений анализируется методом нелинейной динамики в приближении изолированного IIP (что оказывается эквивалентном континуальному приближению) в одпоузелъкых когерентных состояниях. Показано, что эффектом квантовости является эффективное уменьшение потенциала взаимодействия атомов с полем. Рассмотрание структур я коллективных когерентных состояниях позволило получить крятерюі разрушения соразмерной фазы за счет квантовых флучтуапчй, который в приближении изолированного HP совпадает о результатом континуального подхода. В 6 рассматриваются самосогласованные структуры в когерентних состояниях при условии сильного взаимодействия НРов, иогда эффекты дискретности существенны. ТансЯ подход позволяет определить характерные свойства хаотических пространственных структур и спектра малых колебаний атомов в таких структурах. В "? рассмотрены самссогласованіке хно-
тические структуры в дискретной цепочке с учетом квантовости и конечно? температуры, состоящие из областей с солитонной составлявшей и соразмерной фазой. Характерной особенностью спектра малых колебаний *^s хаотических структур является (как к в случае когерентных состояний, 6) наличие щели и разрывный хзрактер га-внскмости ^s тина "дьявольской лестницы". Показано, что с увеличением температури (параметра квантовости) разрушение случайной солитонной структуры, связанное с "размягчением" спектра малых колебаний, происходит локально-собственней вектор низкочастотного колебания, определяющий щель в спектре, локализован в области разрушающегося солитона. Обсудцаются преимущества методов нелинейной динамики, использующих понятие HP при изучении пространственного хьоса в дискретных квантовых системах с конкурирующим взаимодействием.
В Заключении сформулированы основные результаты диссертации, указаны возможные приложения и дальнейшие пути развития теоретических исследований.
