Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Суперпозиция пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации . 14
1.1. Общая характеристика пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации 14
1.2. Суперпозиция двух несоосных пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации с одноименным топологическим зарядом 17
1.3. Суперпозиция двух несоосных пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации с разноименными топологическими зарядами 22
Глава 2. Параметрическое взаимодействие двух несоосных пучков, содержащих винтовые дислокации 39
2.1. Трехчастотное взаимодействие в средах с квадратичной нелинейностью 39
2.2 Параметрическое взаимодействие двух смещенных одноименных дислокаций при фазовом синхронизме 43
2.3. Параметрическое взаимодействие двух смещенных одноименных дислокаций при фазовой расстройке 48
2.4. Параметрическое взаимодействие двух смещенных пучков, содержащих разноименные дислокации 50
Глава 3. Динамика винтовых дислокаций при неколлинеарном параметрическом взаимодействии 62
3.1. Неколлинеарное параметрическое взаимодействие одноименных дислокаций при отсутствии начального смещения 62
3.2. Неколлинеарное параметрическое взаимодействие одноименных дислокаций при начальном смещении центров пучков 65
3.3. Неколлинеарное параметрическое взаимодействие разноименных дислокаций при сносе энергии 67
Глава 4. Параметрическая генерация фазовых дислокаций наклонными гауссовыми пучками при сносе энергии 73
4.1. Генерация фазовых дислокаций несоосными гауссовыми пучками при неколлинеарном взаимодействии 73
4.2. Взаимодействие несмещенных наклонных гауссовых пучков при сносе энергии 75
4.3. Взаимодействие смещенных наклонных гауссовых пучков 78
4.4. Свободное распространение сгенерированных оптических дислокаций 79
Приложение А. Численное решение задачи трехчастотного взаимодействия с применением прозрачных граничных условий 88
- Суперпозиция двух несоосных пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации с одноименным топологическим зарядом
- Параметрическое взаимодействие двух смещенных одноименных дислокаций при фазовом синхронизме
- Неколлинеарное параметрическое взаимодействие одноименных дислокаций при начальном смещении центров пучков
- Взаимодействие несмещенных наклонных гауссовых пучков при сносе энергии
Введение к работе
Вихревая структура присуща многим волновым явлениям. В последние десятилетия внимание исследователей, работающих в области лазерной физики, когерентной и нелинейной оптики, привлекли необычные свойства вортексов - электромагнитных полей с винтовой формой волнового фронта. В основополагающей работе, написанной Наем и Берри в 1974 году [1], впервые рассмотрены фазовые дислокации, близкие по топологической структуре некоторым типам дефектов в кристаллах. Затем было опубликовано большое число работ, в которых исследованы основные свойства вортексов, их распространение и взаимодействие [2-25]. Так как вортексы представляют собой фазовые сингулярности, то они являются одним из основных объектов исследований в сингулярной оптике.
Существуют три типа дислокаций в монохроматических волнах: во-первых, линейная дислокация, называемая также краевой, во-вторых, винтовая фазовая дислокация и, в-третьих, смешанная дислокация, представляющая собой комбинацию первых двух. Линейная дислокация представляет собой линию в поперечном сечении пучка, при пересечении которой фаза совершает скачок на т. В некоторых модах лазерного излучения линейные дислокации видны как темные окружности.
В отличие от линейной, винтовая дислокация является точечной фазовой сингулярностью, в центре которой интенсивность волны стремится к нулю, а фаза неопределенна. В окрестности дислокации фаза закручивается винтовым образом: при обходе вокруг центра по замкнутому контуру происходит набег на величину, кратную 2 я. Для характеристики дислокаций вводят так называемый топологический заряд т. Его модуль равен величине кругового набега фазы, деленной на 2к. Положительный знак топологического заряда соответствует закрученным вправо фазам, а отрицательный - закрученным влево. Следует отметить, что дислокации с единичным зарядом т = ±1 устойчивы по
отношению к малым возмущениям волнового фронта. Вортексы с большим зарядом могут распасться на несколько единичных дислокаций с сохранением суммарного топологического заряда [4].
Так как пучок, содержащий винтовую дислокацию, имеет ненулевую азимутальную компоненту вектора Поинтинга, то пучок с такой дислокацией называют оптическим вихрем [16].
Фазовый фронт пучка, несущего вортекс, становится многолистной поверхностью - геликоидом [5]. Подобная структура наблюдается в кристаллической решетке, имеющей дефект типа винтовой дислокации, поэтому вышеупомянутый термин применяют и в сингулярной оптике.
Отдельной проблемой является идентификация оптических вихрей. Образование винтовых дислокаций на волновом фронте пучка является чисто фазовым эффектом. Хотя дислокации и соответствует область с минимумом амплитуды, не любой минимум говорит о наличии топологических особенностей. Приборы, измеряющие только интенсивность и, в частности, человеческий глаз, не могут дать заключение о наличии фазовой дислокации. Поэтому единственным способом, обеспечивающим надежную идентификацию оптических вихрей, является использование интерферометрической информации [24-26]. При этом обычно на исследуемый пучок накладывается наклонная опорная волна со сферической или плоской фазовой поверхностью. В результате суперпозиции образуется система интерференционных полос. Например, обе волны имеют плоский волной фронт, то все полосы параллельны друг другу. Если пучок имеет сложную фазовую структуру, но не содержит особенностей, то интерференционные линии перестают быть параллельными прямыми, но не пересекаются друг с другом. Если же фазовый фронт имеет спиралевидную форму, то в центре винтовой дислокации две соседние линии на интерферограмме сливаются в одну, образуются характерные «вилки». На интерференционных эффектах оптических вихрей основано и их использование в различных интерферометрах, при этом такая система обладает большей
чувствительностью к фазовым сдвигам между пучками [27]. Также винтовые фазовые дислокации, применяют для коллимации лазерных пучков [28].
Оптические вихри являются устойчивыми к действию дифракции [6]: при расплывании пучка вортекс сохраняется, так как нулевой провал в амплитудном профиле не замывается. Благодаря такой устойчивости их можно использовать для хранения, передачи и обработки информации. В ряде работ созданы полностью оптические волноводы на основе оптических вихрей» то есть, осуществлено управление света светом [20-21]. Такие устойчивые структуры были использованы также в экспериментах для захвата микрочастиц, в частности, полых стеклянных шариков размерами в десятки и сотни микрон, плавающих в воде [22-23].
Большой интерес вызывает генерация солитонов при захвате пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации. Такие солитоны имеют угловой момент [29-49]. Были исследованы свойства вортекс-солитонов в средах с квадратичной нелинейностью [29-34], с кубичной нелинейностью как фокусирующего, так и дефокусирующего типа [35-45], при наличии нелинейностей разных порядков [46], в фоторефрактивных средах [47]. Было проанализировано их формирование, устойчивость, взаимодействие [48] и управление ими с помощью слабого когерентного пучка [49]. Показано, что вортекс-солитон в квадратично-нелинейной среде благодаря модуляционной неустойчивости по азимутальной координате может распасться на несколько обычных, невихревых квадратичных солитонов [31-33]. Однако слабая добавочная кубичная нелинейность может устранять модуляционную нестабильность квадратичных вихревых солитонов [34].
Важной проблемой является разработка методов генерация пучков с оптическими вихрями [40-74]. В одних случаях фазовые дислокации могут появляться непроизвольно [6], в частности, при отражении когерентного излучения от шероховатой поверхности или при его прохождении через неоднородную среду, в том числе через атмосферу [1, 6-7, 50-52], При этом количество дислокаций напрямую связано с флуктуациями показателя
преломления воздуха. Были предложены и нашли практическую реализацию методы диагностики турбулентных состояний атмосферы на основе регистрации и подсчета числа дислокаций [51-52].
С другой стороны стоит задача получения мощных лазерных пучков, содержащих фазовые вихри с заданными свойствами. При этом возможно два варианта: формирование дислокаций внутри лазерных резонаторов или изменение топологии лазерного излучения после выхода из резонатора. В первом случае возбуждается мода с винтовой формой волнового фронта. Эксперименты подобного рода проведены, в частности, в [53-56].
Второй вариант реализуется при пропускании одномодового лазерного излучения через оптически неоднородные объекты. Наиболее распространен метод голографии: при этом когерентное излучение пропускают через синтезированную голограмму оптического вихря, предварительно специально рассчитанную на компьютере [58-62]. Также вместо голограммы можно применять феррит-гранатовые магнитные пленки с полосовой доменной структурой [63]. Другим распространенным способом является использование специальной маски переменной оптической толщины; при этом сдвиг фаз меняется пропорционально азимутальной полярной координате [64-66]. Кроме того, дислокации могут появляться при дифракции Фраунгофера на линзе небольшой апертуры [67], интерференции двух гауссовых пучков [68] или нескольких плоских волн [68-69], дифракции на кругах Эйри [70], при прохождении излучения через волновод [71-72], гауссову линзу [73], одноосный кристалл [74] и жидкие кристаллы [75].
Распространение вихрей различного вида исследовано в свободном пространстве [16,76-100], в волноводах [101-102], в квадратично-нелинейных средах [103-116], в кубично-нелинейных средах [117-124], при рассеянии Манделыптама-Бриллюэна [125], в фоторефрактивных средах [126-127], в фотонных кристаллах [128-130], в анизотропных средах [131-134].
Неочевидные результаты возникают при линейной суперпозиции оптических вихрей. Если существует несколько дислокаций, то при обходе
вокруг них суммарный набег фазы будет равен арифметической сумме набегов от всех дислокаций. Однако, суперпозиция пучков, содержащих дислокации не всегда приводит к сохранению суммарного топологического заряда; большую роль здесь играет форма пучков. Так, в [76] показано, что при взаимодействии двух несоосных гауссовых пучков, несущих равные топологические заряды, возникает либо одна, либо три дислокации, две из которых имеют противоположные знаки зарядов. В связи с этим в диссертации разрабатывается детальная теория суперпозиции дислокаций в зависимости от их топологических зарядов, смещения центров, отношения амплитуд и разности фаз.
Более сложные эффекты возникают при нелинейном взаимодействии оптических вихрей. При распространении таких пучков в нелинейных средах происходит рождение и аннигиляция пар дислокаций противоположного заряда, миграция дислокаций по сечению пучка. Показано, что в квадратично-нелинейных средах на удвоенной частоте возникает вихрь удвоенного топологического заряда [109]. Картина взаимодействия существенно усложняется при неколлинеарном нелинейном взаимодействии из-за сноса энергии [ПО]. В случае взаимодействия нескольких различных оптических вихрей на разных частотах происходит образование многовихревых пучков сложной структуры [112-114].
Несмотря на все вышеперечисленное теория генерации и взаимодействия пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации, нуждается в дальнейшей разработке. Так, представляется целесообразным построить детальную теорию взаимодействия двух оптических вихрей одноименного и разноименного топологического заряда в зависимости от отношения их амплитуд, сдвиг фаз и смещения центров пучков, частным случаем которой будут результаты, полученные в [76]. Полученные результаты позволят описать динамику взаимодействия двух оптических вихрей, в частности, при параметрическом взаимодействии, в результате которого появляется сложные структуры, содержащие несколько дислокаций.
Данная работа была выполнена для решения задач генерации и взаимодействия оптических вихрей. Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка цитируемой литературы, включающего 161 наименование. Общий объем работы составляет 113 страниц, включающих 38 рисунков.
Цель работы.
Целью настоящей работы является разработка аналитической теории и проведение численного моделирования взаимодействия параметрически связанных пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации с одинаковыми или противоположными топологическими зарядами. В соответствии с этим решались следующие задачи:
анализ линейной суперпозиции двух несоосных вортексов, имеющих разные амплитуды и фазы,
описание динамики коллинеарного и неколлинеарного взаимодействия параметрически связанных оптических вихрей,
: анализ влияния сноса энергии на динамику возбуждения оптических вихрей,
нахождение траекторий дислокаций при переключении вортексов,
определение границ областей параметров, при которых возникает то или иное число дислокаций.
Структура диссертации.
В первой главе исследуется суперпозиция двух пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации. Центры пучков смещены, амплитуды различны, между пучками существует сдвиг фаз. Рассматриваются случаи дислокаций с одноименными и разноименными топологическими зарядами. В суммарном поле ищутся координаты дислокаций из условия нулевой амплитуды в их центре. Найдено, что при взаимодействии одноименных дислокаций могут существовать либо одна, либо три дислокации суммарным единичным положительным топологическим зарядом; а при взаимодействии разноименных дислокаций - либо две, либо четыре с суммарным нулевым топологическим
зарядом. Находятся области существования заданного числа дислокаций. Строятся зависимости координат дислокаций от коэффициента отношения амплитуд, сдвига фаз и смещения центров пучков. При взаимодействии двух одноименных дислокаций на поперечной плоскости суммарного пучка возникающие дислокации располагаются на окружностях, а при взаимодействии разноименных дислокаций - на гиперболах. Для наиболее характерных случаев приводятся распределения амплитуды и интерферограммы суммарного поля.
Во второй главе изучается динамика коллинеарного параметрического взаимодействия двух пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации, в поле мощной низкочастотной накачки. Центры пучков смещены, между пучками существует начальный фазовый сдвиг. В результате параметрического взаимодействия происходит суперпозиция начальных профилей пучков, причем отношение их амплитуд и фазовый сдвиг меняется в зависимости от пройденного расстояния. Путем использования уравнений для координат дислокаций, найденных в предыдущей главе, находятся траектории дислокаций. Результаты сравниваются с численным решением полных уравнений трехчастотного взаимодействия. Исследуется условия образования и аннигиляции пар дислокаций на сечении пучка. Рассматриваются случаи одноименных и разноименных зарядов дислокаций.
Третья глава посвящена неколлинеарному параметрическому взаимодействию пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации. При этом в среде существует снос энергии пучков на второй и третьей частотах в противоположные стороны. Находятся траектории дислокаций в приближении малого угла сноса и малого отклонения центров пучков. Показано, что при взаимодействии одноименных дислокаций происходит колебание их центров с амплитудой, пропорциональной углу сноса энергии. При взаимодействии разноименных дислокаций периодически происходит отклонение центров дислокаций на периферию пучка.
В четвертой главе описывается возможность генерации дислокаций при неколлинеарном параметрическом взаимодействии несоосных гауссовых пучков. Благодаря тому, что пучки наклонены друг относительно друга и их центры смещены, при их взаимодействии появляются точки с нулевой амплитудой, фаза вокруг которых имеет сложную структуру. Находятся координаты возникающих дислокаций. С помощью численного моделирования показано, что полученные дислокации сохраняются после прохождения сквозь мягкую диафрагму при дальнейшем распространении в линейной среде.
В Приложении А описывается численная схема, применяемая в данной задаче.
В Приложении Б приводится алгоритм, использованный в численных расчетах для поиска координат дислокаций.
В заключении сформулированы основные положения и выводы диссертационной работы.
Научная новизна работы заключается в следующем.
-Впервые проведена полная классификация различных случаев суперпозиции двух разнесенных винтовых фазовых дислокаций с одинаковыми или разными зарядами.
-Найдены области существования заданного числа дислокаций. На границах областей, положение которых определяется соотношением амплитуд, разностью фаз и расстоянием между исходными вортексами, рождается или аннигилирует пара разноименных дислокаций.
-Впервые развита теория параметрического взаимодействия и переключения одноименных вортексом в процессе распространения волн в квадратично нелинейной среде, как при выполнении фазового синхронизма, так и при его нарушении.
-Разработан оригинальный метод построения траекторий винтовых фазовых дислокаций и определения по их типу областей существования заданного числа вортексов.
-Впервые представлена динамика параметрического переключения разноименных вортексов, когда на промежуточном этапе возникают дополнительно два других разноименных вортекса.
- Впервые развита аналитическая модель, описывающее влияние сноса и неколлинеарности пучков на динамику образования и миграции дислокаций в поперечном сечении пучка
Достоверность результатов диссертации обеспечена корректностью постановок задач, использование обоснованных методов расчетов, а также хорошим совпадением аналитических результатов с численным моделированием.
Научная и практическая значимость работы:
На основании развитой теории показана принципиальная возможность генерации заданного числа фазовых дислокаций с указанием их координат. Найдены области параметров трех волн, при которых параметрическое переключения вортексов идет по выбранному сценарию. Разработан оригинальный метод построения траекторий дислокаций в 3-х мерном пространстве. Полученные результаты могут быть использованы в других областях оптики и волновой физики.
Апробация работы.
Материалы диссертации докладывались на VII, VIII и IX Всероссийских школах-семинарах "Физика и применение микроволн" (Московская область, 1999, 2001, 2003 гг.), VII и IX Всероссийских школах-семинарах "Волновые явления в неоднородных средах" (Московская область, 2000, 2004 гг.), II Международной конференции «Современные направления в вычислительной физике» (Дубна, 2000 г.), Научной молодежной школе "Оптика-2000" (Санкт-Петербург 2000 г.), II и III Международных конференциях молодых ученых и специалистов "Оптика-2001" и "Оптика-2003" (Санкт-Петербург 2001, 2003 гг.), V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна, 2002 г.), Симпозиуме по лазерной физике (Братислава, Словакия, 2002 г.), Международной конференции "Квантовая электроника 2002", (Москва,
г.), Международной конференции "Нелинейно направляемые волны и их применение" (Стреза, Италия, 2002 г), Международной конференции "Лазерная физика и применение лазеров", (Минск, Белоруссия, 2003 г.), Второй международной конференции по лазерной оптике для молодых ученых (Санкт-Петербург 2003 г), XI конференции по лазерной оптике (Санкт-Петербург
г), Международной конференции по нелинейной и лазерной оптике (Санкт-Петербург 2005 г). Материал диссертации докладывался и обсуждался на семинарах кафедры радиофизики физического факультета МГУ.
Основные результаты диссертации изложены в статьях [138-144] и тезисах докладов [145-161].
Суперпозиция двух несоосных пучков, содержащих винтовые фазовые дислокации с одноименным топологическим зарядом
Проанализируем полученные выражения. Уравнение (1.9) показывает зависимость координаты х дислокаций от сдвига центров пучков х0, отношения амплитуд р и фазового сдвига р. Уравнение (1.10) и (1.11) описывают положение дислокаций на поперечной плоскости. Уравнение (1.11) является обычным уравнением окружности, но в отличие от (1.10) оно дает лишние решения. Численные решения уравнений (1.10) и (1.11) для некоторых значений параметров приведены на рис. 1.3 - 1.5.
На рис. 1.3 изображены зависимости координат дислокаций от смещения центров дислокаций х0. В случаях, когда рфл при малых дг0 существует только одна дислокация. Затем возникает еще пара дислокаций, когда х0 превышает некоторое минимальное значение смещения х0шіа, различное для разных значений фазового сдвига р и отношения амплитуд р. При р = п, независимо от смещения х0, всегда существуют три дислокации. Таким образом, имеются области параметров, в которых существует одна или три дислокации. В случае, когда х0 велико, пучки слабо влияют друг на друга, и две из координат дислокаций близки к центрам пучков (х0,0) и (- ,0), что можно наблюдать на вышеупомянутом рисунке. На рис. 1.4 приведены зависимости координат дислокаций от сдвига фазы р между пучками. Можно наблюдать, что области с тремя дислокациями существуют вблизи р = я. Координаты JC симметричны относительно точки = я, координаты у - антисимметричны, что вытекает непосредственно из формул (1.9) и (1.10). На рис. 1.5. приведены зависимости координат от коэффициента отношения амплитуд /7. Из симметрии начальной задачи пучки можно поменять местами, тогда происходит замена /7-» — , х- -х. Точка /7 = 1, в н которой амплитуды пучков равны, является центром симметрии графиков в логарифмическом масштабе: координаты х антисимметричны, у симметричны. Области с тремя дислокациями существуют вблизи точки равных амплитуд р = 1. На рис. 1.6 изображены численно рассчитанные распределения амплитуд и интерферограммы для различных значений параметров. Центры положительных дислокаций обозначены знаками "+", отрицательных - "-". В случаях, когда существуют три дислокации, две крайних имеют положительный топологический заряд, а центральная — отрицательный. С увеличением х0 крайние дислокации приближаются к центрам пучков, вокруг них существует область с достаточно большой амплитудой. Этот факт можно объяснить тем, что из-за большого смещения пучков их влияние друг на друга невелико, в окрестности центров пучков распределение амплитуды напоминает независимую дислокацию. Третья дислокация имеет отрицательный заряд, она возникает из-за интерференции периферийных частей пучков. В связи с этим амплитуда вблизи нее невелика, центр дислокации может отстоять достаточно далеко от начала координат. На некоторых рисунках (д, п) дислокация не попала в рассматриваемую область. Рассмотрим положение дислокаций на поперечной плоскости. Из (1.11) следует, что координата х возникающей дислокации ограничена величиной x0/\sin p\, дислокации появляются на окружности с радиусом jc0/sin и центром (0,x0ctgg)). Окружности всегда проходят через точки (х0 0) и (- 0,0), что соответствует случаям /7 = 0 и /7-х», то есть когда амплитуда одного из пучков стремится к нулю и дислокация соответствует центру другого пучка. На рис. 1.7 изображены данные окружности. Положение окружности не зависит от отношения амплитуд /?, с его изменением меняется только положение дислокации на самой окружности. Величина х0 влияет только на размер окружностей, если на нее отнормировать координаты хи .то окружности для различных х0 совпадут. Единственным параметром, влияющих на положение окружности в отнормированных координатах является сдвиг фаз (р. Когда ъхл р = 0 окружность вырождается в прямую у = 0. В некоторых частных случаях уравнения (1.9) и (1.11) можно упростить. Так, при сдвиге фаз р = — и р = — , то есть m%q = 0 уравнения приобретают вид Зависимость координат дислокаций от х0 в данном случае приведена на рис 1.3 (д, е). Существует значение х0т1а=0.5, разделяющее области с одной и тремя дислокациями. При отсутствии фазового сдвига 7 = 0, со$ р = 1, уравнения имеют вид х-х0 tk(2xx0 0.5\afi), у = 0. В данном случае х0аіл=і/ І2 (рис. 1.3 (а - г)). Если пучки взаимодействуют в противофазе, р = л, cos? = -i, то уравнения приобретают вид х = х0 cth(2xx0-Q.5lnfi), у = 0. При этом всегда существуют три дислокации, независимо от величины х0 (рис. 1.3 (ж, з)). Исследуем более подробно области параметров, в которых существует одна либо три дислокации. Для этого рассмотрим зависимость координат от коэффициента отношения амплитуд (рис. 1.5). Дислокации появляются вблизи значения /3 = 1 в тот момент, когда зависимость х = х(/3) искажается настолько, что становится неоднозначной. Граничный случай, когда появляется пара дислокаций, соответствует вертикальному участку кривой х = х{{3). Уравнение (1.9) было продифференцировано по х и приравнено нулю. Полученное выражение решалось совместно с (1.9). В результате после несложных преобразований получаются уравнения для определения границ областей с тремя дислокациями: где хь - координата, в которой кривая х = х{р) вертикальна. Путем изменения хь на плоскости (Д cos p) получаются кривые, ограничивающие домены с тремя дислокациями. Решение (1.12) представлено на рис. 1.8 для различных значений лг0. Кривые изломанны в точке fi = 1, где значения cos р максимальны, значения кривых в точках /? и — совпадают. Из выражения (1.13) следует, что существует критическое значение смещения центров пучков х0сг=\/42, начиная с которого в окрестности /3 = 1 всегда существуют три дислокации, не зависимо от сдвига фаз между пучками (р.
Параметрическое взаимодействие двух смещенных одноименных дислокаций при фазовом синхронизме
Следует заметить, что cos y меняет знак в точках /? = 0 и /?-»а . Следовательно, при х0 0.5 существует область значений рй, когда при любом z имеется только одна дислокация. Для х0 = 0.5 это соответствует единственному значению 0=0, когда в точках, где /7 = 1 кривая x = x(z) вертикальна. Пространственные траектории дислокаций находятся из уравнений (1.9 1.11). Для этого в них подставляются значения /? = /?(z) и p = p(z) из (2.11), затем из (1.9-1.11) находятся координаты х и у дислокаций. Для проверки нашей аналитической модели было проведено численное моделирование полных уравнений трехчастотного взаимодействия (2.2). Использовались следующие коэффициенты: /),=0.0025, D2 =0.0017, ІХ, = 0.001, ,=0.4, /2=0.6, На рис. 2.2 приведены координаты дислокаций пучка второй частоты, посчитанных согласно аналитической модели (сплошные кривые) и в результате численного моделирования (пунктирные линии). Координаты дислокаций на пучке третьей частоты подчиняются аналогичным зависимостям. На левой колонке изображена зависимость координаты х дислокации от пройденного расстояния z, на средней -координаты у, на правой — перемещение координат в поперечной плоскости. Видно неплохое совпадение результатов аналитической модели и численного счета. При данных параметрах длина перекачки ь «4.05, зависимости приведены до z = Lp, далее согласно аналитической модели процесс должен периодически повторяться. Однако в реальности влияние дифракции будет все более искажать профили пучков и координаты дислокаций, посчитанные в результате численного моделирования полных уравнений будут все сильнее отличаться от аналитических. На рис. 2.2 (а - в) приведены координаты для случая х0 = 0.5 и рй = 0. При этом cos = 0 при любых z, всегда существует одна дислокация. Кривая в пространстве параметров касается кривой, ограничивающей область с тремя параметрами в точках fi = 1, что соответствует вертикальному участку кривой х = x(z). На рис. 2.2 (г - е) показан случай х0=0.5 и (pQ=njA, при этом при перемещении дислокации от точки x = xQ) у = 0 до = - „, у = 0 происходит через рождение и аннигиляцию пары дислокаций, а обратно - путем простого перемещения. На рис. 2.2 (ж - п) х0 =0.1, в этом случае при любом р0 существуют участки с тремя дислокациями. На поперечной плоскости дислокации лежат на окружностях, за исключением случая р0 = л[2, когда согласно аналитической модели дислокации должны лежать на прямой у = 0. Однако при численном счете существует ветвь, значительно удаленная от у = 0. На рис. 2.3 приведены распределения амплитуды и интерферограммы в различных сечениях по z для случая д:0 = 0.7, pQ = о. Вначале дислокация находится в точке х = 0.7, у = 0, дислокация симметрично окружена областью с большой интенсивностью. Затем, незадолго до точки z = 0.9 рождается пара дислокаций противоположного топологического заряда. Дислокация с отрицательным топологическим зарядом мигрирует к начальной дислокации и около точки г = 1.4 происходит их аннигиляция. В результате остается одна дислокация с положительным топологическим зарядом в точке х = -0.7, у = 0, вокруг центра дислокации симметричная область с большой интенсивностью.
Рассмотрим теперь случай фазовой расстройки, (Ак Ф 0). При этом разность фаз р между пучками уже не постоянна, но меняется вдоль координаты распространения z, как следует из (2.4). Поэтому пространственная динамика винтовых дислокаций становится более сложной по сравнению со случаем фазового синхронизма. Комплексный коэффициент отношения амплитуд при этом имеет следующий вид:
Исходя из вида (2.12) можно сделать вывод, что координаты дислокаций будут меняться периодически с периодом Lp=—, с ростом ДА: период уменьшается. На рис. 2.4 приведены зависимости действительных коэффициентов отношения амплитуд и фазовых сдвигов от пройденного расстояния для различных параметров. Зависимость действительного отношения амплитуд fi приведена на рис. 2.4 (а), она не зависит от начального сдвига фаз рй. При нулевом А к она переходит в выражение (2.11) и стремиться к бесконечности при z = L /2, при ненулевом А к в точке z = Lp!2 имеется максимум, величина которого с ростом А к убывает. Зависимости косинуса сдвига фаз для различных начальных р0 приведены на рис. 2.4 (б, в), они также периодичны с периодом Lp = —, в некоторых точках существуют разрывы.
На рис. 2.5 изображена динамика процесса взаимодействия оптических вихрей на плоскости параметров (р, cos ), где также изображен домен, в котором существуют 3 дислокации. При пересечении кривыми границ домена происходит рождение или аннигиляция пары дислокаций.
Траектории дислокаций находятся подстановкой модуля и фазы величины (2,12) в выражения (1.9-1.11) и численным решением соответствующих уравнений по аналогии с предыдущим пунктом. Полученные координаты сравниваются с результатами численного моделирования полных уравнений трехчастотного взаимодействия (2.2) (рис. 2.6). Аналогично описанному в предыдущем пункте случаю фазового синхронизма в зависимости от параметров координаты дислокации могут как совершать плавное перемещение, так и перемещаться через рождение и аннигиляцию пар дислокаций. Амплитудные профили при этом качественно совпадают со случаем фазового синхронизма. Траектории на поперечном сечении имеют достаточно сложный вид, благодаря тому, что фазовый сдвиг между пучками меняется в зависимости от пройденного расстояния. Тем самым, дислокация не только движется по описанной в предыдущей главе окружности, но и при этом меняется и сама окружность, и при некоторых параметрах может вырождаться в прямую.
Неколлинеарное параметрическое взаимодействие одноименных дислокаций при начальном смещении центров пучков
Координаты х дислокаций для каждого значения z имеют два возможных значения, каждому из которых соответствует счетное множество дислокаций, отстоящих друг от друга на одинаковые промежутки по координате у. Однако только центральные дислокации находятся вблизи сечения пучка, где интенсивность значительна, поэтому именно они представляют интерес для исследования.
Из (4.8) и (4.9) следует, что существует минимальное значение максимальной амплитуды, вносимой с третьей частоты на вторую, необходимой для образования дислокаций: Полученные выражения для координат дислокаций (4.8) и (4.9) были сравнены с результатом решения полных уравнений трехчастотного взаимодействия. Был произведен численный расчет со следующими параметрами: 0 = 0.1, 0=0, =0.4, r2=0.6, r3=1 Ех=\, Я2 =0.0775, ,=0.01, то есть волны второй и третьей частот не согласованы, /?„ =0.1, исследовался случай слабой дифракции ,= 0.0025, D2 =0.0017, 3 =0.001, коэффициенты наклона были а, = 0.3, ау = -03. На рис. 4.1 приведен результат сравнения центральной пары координат, полученных при численном счете и по формулам (4,8) и (4.9), видно неплохое совпадение. На рис. 4.2 приведены амплитудный профиль пучка второй частоты и интерферограмма, на которых отмечены центры дислокаций.
Для проверки выражения (4.10), означающего наличие минимального значения коэффициента согласования амплитуд для генерации дислокаций был проведен ряд численных экспериментов с различными величинами амплитуд пучка третьей частоты Еъ и соответственно различных коэффициентов согласования амплитуд fiQ. Сравнивалась разность координат дислокаций в точке Г0г = кII, которая по формуле (4.8) должна иметь вид:
На рис. 4.3 приведено сравнение выражения (4.11) с результатами численного моделирования. Видно качественное совпадение численного эксперимента с предсказанием аналитической модели, хотя количественные характеристики несколько различаются. Так, не удалось получить генерацию дислокаций при р0 0.075, хотя при данных параметрах из (4.10) следует, что /?mm =0.038. Данное различие обуславливается тем, что решение (4.11) является приближенным для малой величины коэффициента сноса и не учитывает дифракции. В случае, если аху0 ауха, формулы (4.13) представляют собой набор дислокаций, лежащих на одной прямой, отстоящих друг от друга на одинаковое расстояние и перемещающихся в зависимости от пройденного расстояния z. В точках, где ctgT0z меняет знак решения нет, в окрестностях этих точек происходит перескок с одной ветви решения на другую. Было проведено численное моделирование полных уравнений трехчастотного взаимодействия и сравнено с результатами выражений (4.13). Использовались следующие параметры: (9 = 0, 0=0, =0.4, /2- 6» Уз-1» j =1} я2 =0.0775, Еъ =0.1, то есть волны второй и третьей частот согласованы, /30=1, исследовался случай слабой дифракции 1),= 0.0025, D2 =0.0017, D3 = 0.001, коэффициенты наклона ах = 1, ау = 0, пучки были смещены только по координате », х0 = 0, 0=1. На рис. 4.4 показано сравнение результатов численного моделирования с решением 4.13), видно хорошее совпадение. На рис. 4.5 приведены амплитудный профиль пучка второй частоты и интерферограмма. Для анализа генерации дислокаций при параметрическом взаимодействии смещенных наклонных гауссовых пучков при сносе энергии было произведено численное моделирование полных уравнений трехчастотного взаимодействия. Использовались параметры моделирования: р0 -0, ух =0.4, у2 =0.6, уъ =1, Et =1, Е2 =0.0775, Еъ =0.1, то есть волны второй и третьей частот согласованы, /3 = 1, исследовался случай слабой дифракции D 0.0025, D2 =0.0017, D3=0-001» коэффициенты наклона ax=l, ау=0, пучки были смещены только по координате у, х0=0, j0=l. Менялось значение коэффициента сноса О, На рис. 4.6 показаны координаты х центральной координаты при различных значениях в в окрестности точки перескока траекторий.
Взаимодействие несмещенных наклонных гауссовых пучков при сносе энергии
Для ее решения была построена симметричная разностная схема с расщеплением по физическим параметрам. Решение искалось в области на равномерной сетке с шагами hx hy и h2 по соответствующим координатам. На слое z = 0 значение искомых функций Aj задано начальным условием (П 2). Используя эти данные находятся значения Aj на следующем слое z-hz, далее значения А} на каждом последующем слое z-ihz находятся с использованием значений предыдущего слоя z = (i-1) hz. При этом нахождение А} на новом слое проходит в три этапа: на первых двух решаются линейные части уравнений (П 1) по направлениям х и у, на третьем - нелинейная часть. Фактически решается новая задача, не совпадающая с первоначальной, но возникающая при этом ошибка порядка o(hz), а количество вычислений для каждой точки сетки конечно и не зависит от общего числа точек [136]. Напишем симметричную разностную схему для решения линейной задачи, сначала с производными по х, затем по у. Для всех трех функций А} вычисления производятся независимо. В каждой точке последнего найденного слоя (x,y,z) обозначим Производные в (П 1) заменим их разностной аппроксимацией, для поперечных производных возьмем их полусумму, в результате получим: Данное соотношение связывает три соседних точки на искомом слое. Для однозначного решения необходимы дополнительные условия на краях расчетной области. Применим метод прозрачных границ чтобы избежать отражения [137], для этого функцию А} представим там в виде бегущей волны. Например, на правой границе при x = Lx А єхр(їкх), где к - поперечная составляющая волнового вектора. Волна с такой амплитудой проходит через границу расчетной области без отражения. Положим A = A Qxp(ikh). Тогда можно найти простые соотношения для функций на краях области: После проведенных вычислений решается нелинейная часть системы (П 1), используя в качестве исходных данных найденные А. Для этого используется метод прямой итерации. Запишем систему уравнений, подставляя в нелинейной части вместо значений функций А} их полусумму на найденном и искомом слоях: При этом из левой части находится значение s + \ итерации, а в правую, нелинейной, подставляется значение s итерации. В качестве нулевой итерации берутся исходные значения функций Aj. Выполнение итераций прекращается, когда для всех j выполняется следующее условие: где е 10"10 - точность решения нелинейной части. В случае, если заданная точность не достигается за определенное количество итераций, необходимо уменьшить шаг сетки hz. При численном расчете взаимодействия пучков, содержащих оптические вихри, встает задача нахождения центров этих вихрей. Для этого в данной работе был создан специальный алгоритм, который и использовался в программе численного моделирования параметрического взаимодействия таких пучков. Пусть имеется массив данных комплексной амплитуды А(х,у) пучка в области G = {(х,_у) 0 х Lx,0 у Lyj на равномерной сетке с шагами hx и hy, обозначим для краткости A(ihx,jhy) = Аи. Необходимо установить количество дислокаций в этом пучке и найти их координаты. Для этого используется главный признак дислокации: скачок фазы при обходе вокруг центра дислокации. Вначале производится грубый поиск дислокаций. При этом вся область делится на квадраты 3x3 точки и проверяется наличие дислокации в каждом квадрате. Для этого находится фаза рк комплексной амплитуды во всех боковых точках квадрата, к = 1,...8. Поскольку фаза определена только в области (0,2л-), то производится сшивка. Например, фаза непрерывно не очень быстро возрастает с ростом к и в какой-то точке ее значение превысит 2я. Тогда» в случае небольшого прироста значения фазы по сравнению с предыдущим, найденная нами величина рк, лежащая в интервале (0,2л1) окажется близка к 0. В таком случае, к величине рк необходимо добавить 2я-. Если же фаза уменьшается, то рк будет немного меньше 2п, от рк необходимо вычесть 2я-. В обоих случаях между соседними точками происходит резкий скачок фазы. Будем считать, что если выполняется условие то к фазе рм необходимо добавить или вычесть 2п. Величина 0 г 2я характеризует, какой скачок фазы внутри области {0,2л) считать признаком того, что фаза вышла из интервала (0,2л-), в численных расчетах бралось значение =3л72.
Проверяя последовательно все 8 пар соседних точек, находится суммарный скачок фазы pz при обходе вокруг квадрата. Если q z Ф 0, то будем считать, что внутри квадрата находится дислокация с топологическим зарядом m = q zl2n, приближенно ее координаты соответствуют центру квадрата, при этом ошибка составляет шаги сетки hx и hy.
В каждом случае обнаружения дислокации производится точное определение ее координат. Для этого используется метод наименьших квадратов. Поскольку устойчивыми являются только дислокации единичного топологического заряда, для аппроксимации поля вблизи дислокации и нахождения неизвестных параметров используется следующая форма:
