Введение к работе
...r.f.-.S
1**^ ' і Актуальность темы. Одним из наиболее интенсивно развивавшихся направлений современной теории волн является исследование сложной хаотической динамики волновых полей. Эти задачи являются первоочередными при анализе и конструировании распределенных автогенераторов радио СВЧ и оптического диапазонов С ЛОВ шумотроны, генераторы на джозефсоновских переходах, лазеры и т.д. ), при изучении природы турбулентности и управлении этим процессом в плазме. Эти проблемы также важны для решения многих задач нелинейной оптики, волновой акустики и т.д. Сейчас исследователи практически во всех областях радиофизики, физики плазмы и многих других разделов науки столкнулись с проблемами сложного и несоизмеримого поведения полей и они представляти исключитель-- ную важность. Так, например, исследование плазменной турбулентности играет важную роль для решения проблемы управляемого термоядерного синтеза. Хаотические неупорядоченные процессы сильно сказываются на свойства сверхпроводящих пленок. Явления связанные с хаотическим поведением волновых полей являются настолько привлекательными насколько и сложными.
Последние пять - семь, лет дали очень много для понимания хаотической динамики нелинейных полей. Казавшиеся разрозненными отдельные точные решения, компьютерные и лабораторные эксперименты начали складываться в некую общую теорию, подобно тому, как это было с теорией, стохастических или сосредоточенных автогенераторов. Основные черты этой теории таковы: 1) как л в классической теории нелинейных колебании, выработались некоторые общие, универсальные модели, допускающие исследования основных феноменов нелинейной динамики полей, независимо от их физической природы. Такими универсальными системами стали нелинейные уравнения Шредингера, Sin-Гордона, Кортевега-де Вриза Гинзбурга-Ландау и т. д. ; 2) возникли асимптотические методы, являющиеся в той или иной степени обобщением методов усреднения в классической теории колебаний С методы Ван-дер-Поля, Крылова-Боголюбова и др.3; 3) выработался новый подход к компьютерному эксперименту, заключающийся в такой постановке
задач численного моделирования, решая которые давало возможность сформулировать строгий результат.
Следует отметить, что несмотря на эти успехи, в общей постановке задачи, связанные- с хаотической динамикой волновых полей остается чрезвычайно сложными и для своего решения требуют комплексного аналитического, компьютерного и лабораторного исследования. Учитывая сложность этой задачи на данном этапе развития теории хаотического поведения многомерных полей, в первую очередь следует сосредоточиться на анализе немногих наиболее типичных моделей. Причем следует иметь в виду, что построение конструктивной теории пространственно-временного хаоса существенно упрощается, если в неравновесной среде удается выделить элементарные солитонные или подобные им решения Ш. В этом случае динамику волнового поля можно рассматривать как динамику ансамбля взаимодействующих стабильных структур.
Таким образом, среди наиболее принципиальных феноменов нелинейных волновых полей следует выделить рождение и устойчивость солитонов и подобные им устойчивых локализованных решений нелинейного поля. Обнаружение и исследование сложного взаимодействия подобных структур, в особенности стохастизации их динамики при взаимодействии друг с другом и с внешними полями несомненно позволят продвинуться дальше в понимании природы хаотического поведения волновых сред. Однако, практически все известные нам в этой области результаты С за редким исключением 3 относятся к одномерным нелинейным полям. Двумерные и трехмерные солитонные решения в нелинейных полях , как правило , нестабильны .В то же время, для большинства приложений радиофизики, радиоэлектроники, теории турбулентности и других областей С сверхпроводящие пленки во внешних полях, синтезированные антенные решетки, турбулентные пограничные слои и т. д.) наиболее важными являются исследования двумерных к трехмерных полей и сред. Отсюда, следовательно, можно сделать вывод, что решения задачи нахождения многомерных модельных нелинейных уравнений , допускающих локализованные решения , являющейся одной из целей настоящей диссертации, приобретает важное и фундаментальное значение на данном этапе развития теории хаотического поведения многомерных полей . Для решения этой
проблемы мы сосредоточили внимания на анализе немногих наиболее типичных моделей. Подобными моделями является уравнения Свифта-Хоэнборга и Гинзбурга-Ландау.
Отметим, что элементарные состояния волнового поля, которые были найдены и изучены в данной работе обладает рядом общих свойств, представлявщие интерес в первуо очередь. Главное, чем отличается эти решения это то, что они существует независимо от граничных и начальных условий. Зти особенности напоминает свойства автогенераторов ( поэтому такие решения часто называет автоструктурами ). В радиофизике часто использует то, что з линейном приближении в резонаторе условие нарастания справедливо только для резонансных частот, а все остальные колебания быстро затухает. Это позволяет свести задачу к рассмотрение конечного числа мод, для которых выполняется условия резонанса. Действуя аналогичным образом, можно облегчить анализ хаотического поведения волновых сред. При этом существенными оказывается и другие свойства автоструктур в волновых полях - эти структуры является локализованными в пространстве образованиями , которые устойчивы к слабым возмущениям и изменениям параметров среды. Именно наличие такого запаса "прочности" (стабильности) позволяет рассматривать возникновения хаотической динамики в бесконечной среде не как разрушение структур , а как хаотизацио динамики отдельных структур при столкновениях или под воздействием внешнего С регулярного ) воздействия. Локализованность элементарных решений позволяет провести обобщение некоторых приближенных методов классической теории колебаний, применить их для исследования динамики структур и получить систему дифференциальных уравнений з полных производных типа уравнений Ньстсна для частиц во внешнем - поле. Задача динамики ансамбля взаимо-действусаих элементарных решений, которая тесно связана с хаотическим поведением нелинейных полей, в этом случае можно существенно упростить и свести к конечномерной С точнее, размерность хаотического множества равно числу элементарных возбуждений в среде).
Основными целями работы явились:
1. - Поиск нелинейных уравнений, описывавших градиентные
-4-.
неравновесные двумерные и трехмерные системы, в которых возможны самозарождения регулярных я локализованных структур.
-
- Изучение стабильности и мультистабильности регулярных пространственных образований, механизма отбора той или иной решетки, движения дефектов . Исследование устойчивости локализованных структур, возможности существования ансамблей локализованных образований. Определение простейших "элементарных" возбуждений многомерных неравновесных сред. Исследование взаимодействия таких образований.
-
- Определение консервативных систем, в которых возможны образования локализованных состояний нелинейного поля. Изучение локализованных структур таких полей.
-
- Изучение взаимодействия локализованных образований гашльтоновских полей. Обнаружение пространственно-временного беспорядка в таких системах как результат стохастической динамики ансамбля локализованных образований. Определение характеристики такого хаоса.
-
- Разработка и реализация на параллельном ЭВМ ЕС-1037-ЕС-2706 численных методов и комплекса программ для исследования нелинейных распределенных сред в многомерной геометрии.
Научная новизна работы.
Предложены модели двумерных и трехмерных градиентных нелинейных сред, в которых существуют регулярные структуры. Исследованы мультистабильность и устойчивость таких структур. Рассмотрены движения дефектов в регулярной решетке. Показано, что решетка без дефектов соответствует глобальному минимуму функционала свободной энергии.
Найдены модели двумерных и трехмерных градиентных и консервативных нелинейных сред, в которых существуют локализованные структуры. Численно показано их устойчивость относительно слабого возмущения. Исследован механизм взаимодействия таких элементарных структур, получены уравнения движения для взаимодействия пары локализованных структур. Показано, что стохастизация возникает даже при одном рассеянии. . Предложен модель "физического" бильярда .
Разработаны и реализованы эффективные численные методы моделирования неравновесных систем на векторных профессорах.
Практическая ценность работы: Результаты проведенных в диссертации исследований могут быть использованы при построении общей картины пространственно-временного беспорядка (турбулентности), позволяет оценить характеристики такого режима и понять как он возникает. . Предложенный механизм хаотической динамики структур допускает включения в рассмотрения , произвольное количество локализованных структур. Полученные законы взаимодействия позволяют значительно упростить численное моделирование неравновесных сред и делает возможным получения аналитических результатов. Работа подтверждает эффективность метода описания слабой турбулентности как хаотической динамики .ансамбля стабильных локализованных структур.
Предложенные в работе методы моделирования многомерных систем на многопроцессорных параллельных комплексах ЕС-1037-ЕС-2706, допускавшие полную векторизацию вычислений, является вкладом в численное исследование стохастической динамики нелинейных сред .
Апробация результатов Материалы диссертации докладывались на
VII Всесоюзной иколе по нелинейным волнам / Горький, 1987/;
VIII Всесоюзной школе по нелинейным волнам / Горький, 1989/;
IV Международной конференции по нелинейным и турбулентным процессам в физике / Киев, 1989/;
Международной конференции "Динамические дни" / Берлин, 1991 /;
а также на научных семинарах ИКИ АН СССР, НСК АН СССР. По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведен в конце автореферата.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, приложения, заключения, библиографии из 86
- б -
наименований, 40 иллюстраций . Общий объем диссертации составляет 135 страниц.
