Содержание к диссертации
Введение
1 Анализ нестационарных многочастотных режимов колебаний на основе непрерывного вейвлет-преобразования 34
1.1 Теоретические основы непрерывного вейвлет-преобразования 34
1.1.1 Базисные функции 34
1.1.2 Построение базиса вейвлет-преобразования 41
1.1.3 Непрерывное вейвлет-преобразование 43
1.1.4 Идентификация мгновенных частот и амплитуд колебательных процессов 50
1.1.5 Сопоставление с оконным спектральным анализом 54
1.1.6 Сопоставление с распределением Вигнера-Вилля 59
1.2 Примеры применения 60
1.2.1 Анализ тестовых сигналов 60
1.2.2 Анализ экспериментальных данных 66
1.3 Ограничения непрерывного вейвлет-преобразования 73
1.3.1 Краевые эффекты 73
1.3.2 Интерференция 75
1.4 Мера когерентности на основе непрерывного вейвлет-преобразования 80
1.5 Двойной вейвлет-анализ 82
1.5.1 Предварительные замечания 82
1.5.2 Предлагаемый метод 84
1.5.3 Примеры применения 90
1.6 Выводы по 1-й главе 99
2 Корреляционный анализ сигналов на основе метода мультифрактального формализма 100
2.1 Предварительные замечания 100
2.2 Мультифрактальный формализм: от сингулярных мер к сингулярным функциям 104
2.2.1 Фрактальная размерность 104
2.2.2 Фрактальные меры 106
2.2.3 Фрактальные функции 113
2.3 Мультифрактальный анализ на основе вейвлет-преобразования 117
2.3.1 Вейвлет-анализ сингулярных функций 117
2.3.2 Метод максимумов модулей вейвлет-преобразования 119
2.4 Примеры применения мультифрактального анализа: эффекты потери мультифрактальности 130
2.4.1 Хаотическая динамика взаимодействующих систем 131
2.4.2 Стохастическая синхронизация 154
2.4.3 Мультифрактальный анализ динамики артериального давления крови 159
2.5 Возможности и ограничения мультифрактального анализа 163
2.6 Анализ корреляционных свойств по сигналам малой длительности 169
2.7 Выводы по 2-й главе 176
3 Идентификация сигналов типа последовательности одиночных импульсов на фоне шума с помощью вейвлетов 178
3.1 Постановка задачи 179
3.2 Методы идентификации импульсных сигналов -. 184
3.2.1 Амплитудное детектирование 186
3.2.2 Анализ главных компонент 191
3.2.3 Кратномасштабный вейвлет-анализ 195
3.2.4 Сравнительный анализ методов идентификации 204
3.3 Влияние шума на эффективность методов идентификации 210
3.4 Предлагаемая методика уменьшения ошибки идентификации 220
3.5 Параметрический метод анализа с адаптивной фильтрацией 225
3.6 Выводы по 3-й главе 234
4 Анализ сложных режимов колебаний в условиях ограниченной информации о порождающей их динамической системе 237
4.1 Анализ точечных процессов, отражающих динамику колебательных систем 237
4.1.1 Предварительные замечания 237
4.1.2 Случай отсутствия собственной динамики 239
4.1.3 Случай наличия собственной динамики 270
4.2 Детектирование информационных сигналов на основе реконструкции динамических систем и дискретного вейвлет-преобразования 284
4.2.1 Применение хаотических автоколебаний в качестве несущих сигналов в системах защищенной передачи информации 284
4.2.2 Выделение информационных сообщений из хаотического несущего сигнала на основе реконструкции динамических систем 288
4.2.3 Дифференцирование сигналов с применением дискретных вейвлетов 299
4.2.4 Детектирование информационных сигналов с использованием дискретных вейвлетов 302
4.3 Выводы по 4-й главе 308
Заключение 310
Приложение: Вейвлет-анализ динамики нефронов 313
Список литературы 335
- Идентификация мгновенных частот и амплитуд колебательных процессов
- Мультифрактальный анализ динамики артериального давления крови
- Предлагаемая методика уменьшения ошибки идентификации
- Применение хаотических автоколебаний в качестве несущих сигналов в системах защищенной передачи информации
Введение к работе
Терминология "вейвлетов" (от англ. wavelet, что в дословном переводе означает "маленькая волна") сформировалась в восьмидесятых годах двадцатого века [1,2]. Первоначально данный математический аппарат [3-14] был предложен в качестве альтернативы классическому спектральному анализу, основанному на преобразовании Фурье. Возникновение теории вейвлетов считается одним из важнейших событий в математике за последние десятилетия, поскольку это, пожалуй, единственная новая математическая концепция, которая сразу же после ее появления стала восприниматься в качестве инструмента прикладных исследований практически во всех естественных науках и многих областях техники. В настоящее время вейвлеты широко используются при решении задач анализа и синтеза различных сигналов, для обработки изображений, для сжатия больших объемов информации и цифровой фильтрации, для распознавания образов, при изучении сильно развитой турбулентности, при решении некоторых дифференциальных уравнений и т.п. [15-35]. Применения вейвлетов известны в радиофизике, нелинейной динамике, акустике, оптике, физике твердого тела, сейсмологии, динамике жидкостей, биологии и медицине, экономике и т.д. [36-49]. Причем, этот список можно еще долго продолжать.
Интерес к новому направлению с момента его появления был очень большим. Согласно исследованиям, предпринятым в монографии [7], начиная с 90-х годов количество научных работ по изучению физических явлений с помощью вейвлетов демонстрирует монотонный рост. Число ссылок на источники в сети Интернет, в которых упоминается термин "вейвлет", уже достигло нескольких миллионов. Основной областью применения данного математического аппарата в естествознании является обработка нестационарных (во времени) или неоднородных (в пространстве) случайных процессов. Именно поэтому вейвлет-анализ представляет значительный интерес для радиофизики, так как большинство классических методов цифровой обработ-
ки сигналов применимы лишь к процессам с постоянными во времени (или пространстве) характеристиками.
По аналогии с преобразованием Фурье, вейвлет-преобразование сигнала - x(t) состоит в его разложении по некоторому базису. Отличие заключается в том, что в качестве базисной выбирается "солитоноподобная", хорошо локализованная и по времени, и по частоте функция ф(), обладающая рядом характерных признаков; базис формируется путем ее перемасштабирования и сдвигов вдоль временной оси. Использование локализованных функций позволяет проводить анализ процессов, характеристики которых меняются во времени, и обеспечивает двумерную развертку сигнала x(t), при которой время и частота воспринимаются как независимые переменные [12].
Само возникновение теории вейвлетов не является неожиданным событием и связано с реальными потребностями экспериментальных исследований. В его сегодняшнем виде вейвлет-анализ в значительной степени представляет собой синтез многих существовавших ранее идей и методов. Так, быстрые алгоритмы вейвлет-преобразования используют известную в радиофизике и радиотехнике идеологию субполосного кодирования [50-52]. Часть идей была заимствована из физики (когерентные состояния [53]) и математики (например, изучение интегральных операторов Зигмунда-Кальдерона [54], которые сейчас используются при вейвлет-анализе операторных выражений, помогающем решать некоторые уравнения в физике).
Важность использования в прикладных задачах базисных функций, отличных от гармонических, обсуждалась на протяжении длительного времени. Еще в 1910 году А. Хаар предложил первую ортонормированную систему функций с компактным носителем - базис Хаара [55], который до сих пор является составной частью современной теории вейвлетов, хотя и имеет ряд недостатков, прежде всего, негладкость функций. В качестве примера также можно привести высказывание Л.И. Мандельштама, который в 20-х годах прошлого века отмечал, что "физическое значение разложегшя Фурье в большой мере связано с резонансными свойствами линейных систем с постоянными параметрами; при переходе к линейным системам с переменными параметрами разложение Фурье перестает быть целесообразным, и место функций cos и sin долоіспьь занять другие функции? (из работы [56]). Следующий шаг сделал Д. Габор в 1946 году [57], когда была
сформулирована идея "атомов" Габора - неортогонального базиса, построенного с использованием смещенных относительно друг друга функций Гаусса. Сам термин "вейвлет" был предложен Н. Рикером в 1940 году и относился к сейсмологии [58]. А. Гроссман и Ж. Морле в 80-х годах наделили этот термин новым смыслом, продемонстрировав возможность анализа произвольных сигналов с помощью единственной функции - материнского вейвлета i/j(t), осуществляя ее перемасштабирования и смещения [2]. Дальнейшее построение современной теории вейвлетов, "индуцированное" исследованиями А. Гроссмана и Ж. Морле, связано с именами И. Мейера [4, 5], И. Добе-ши [3], С. Малла [6] и многих других. В 1988 году И. Добеши предложила самый распространенный набор дискретных вейвлет-преобразований (вей-влеты Добеши с компактным носителем), которые являются более гладкими по сравнению с функцией Хаара. Важным шагом стала разработка теории кратномасштабного анализа в работах И. Мейера и С. Малла, предполагающей последовательное "огрубление" содержащейся в данных информации и возможность детального исследования структуры сигналов на разных масштабах наблюдения.
Вейвлет-анализ традиционно называют методом "математического микроскопа" из-за его способности сохранять хорошее разрешение в широком диапазоне масштабов [4]. Перемасштабирование базисной функции ip(t) характеризует увеличение данного "микроскопа", смещением достигается фиксация точки фокусировки и, наконец, выбором ф{Ь) определяются оптические качества (по аналогии с выбором разрешения объектива).
К настоящему времени теория вейвлетов уже в основном разработана (фактически, создание ее ключевых положений было завершено за несколько лет в конце 80-х - начале 90-х годов). Вместе с тем до сих пор не существует точного определения, что же такое "вейвлет"? В значительной степени это связано с разнообразием задач, при решении которых используются локализованные функции tp(t), и разнообразием требований, которые предъявляются к этим функциям в зависимости от специфики той или иной задачи. Так, в частности, существуют неортогональные, ортогональные и биортого-нальные вейвлеты. Функции ф(і) могут быть симметричными и несимметричными, иметь компактный носитель или нет., Ряд функций задан в аналитической форме, другие - в виде коэффициентов матриц. Тем не менее,
даже при таком разнообразии для всех используемых вейвлетов характерно наличие частотно-временной локализации, нулевого среднего значения и т.д. [3,6].
Существует дискретное вейвлет-преобразование (ДВП) и непрерывное вейвлет-преобразование (НВП). В отличие от преобразования Фурье, ДВП -это не просто дискретизация формул НВП. Различия между данными подходами являются более глубокими, фактически их можно рассматривать как два разных метода анализа структуры сигналов. Непрерывное вейвлет-преобразование использует в качестве ip(t) функции, имеющие аналитическую форму записи и являющиеся бесконечно дифференцируемыми; многие вейвлеты, рассматриваемые в рамках НВП, представляют собой производные функции Гаусса, промодулированные гауссианом гармонические функции и т.п. Вследствие этого для них характерен экспоненциальный спад на бесконечности, и базис, построенный на основе таких вейвлетов, не является строго ортонормированным. Часто для системы функций разложения в рамках НВП характерна "приближенная" ортогональность, когда, пользуясь терминологией работы [12], ее можно считать "почти базисом". Данная особенность означает, что НВП является избыточным, и значения коэффициентов вейвлет-преобразования оказываются сильно коррелированными. Заметим, что избыточность может быть и полезным свойством, позволяющим получать более наглядную и ясную интерпретацию результатов анализа структуры сигналов в виде картин "скелетонов" или "хребтов" поверхности вейвлет-коэффициентов (подробнее эти вопросы будут рассмотрены в первой главе диссертационной работы). Информацию, которую можно извлечь из непрерывного вейвлет-преобразования, например, об изменении характерных частот ритмических процессов и их взаимодействии, легче анализировать, и она интуитивно понятнее для специалистов с базовым радиофизическим образованием. Например, при использовании комплексных функций ф{) НВП позволяет изучать динамику таких характеристик, как мгновенные частоты, мгновенные амплитуды и мгновенные фазы ритмических процессов, идентифицируемых в структуре анализируемого сигнала. Такая возможность делает НВП крайне привлекательным инструментом исследования, применимым при решении многих радиофизических задач.
Дискретное вейвлет-преобразование имеет существенные отличия. Оно
может оперировать с неортогональными базисными функциями (в этом случае говорят о так называемых фреймах). Однако это отдельный случай, в какой-то степени занимающий промежуточное положение между НВП и "настоящим" дискретным вейвлет-преобразованием. Фреймы используются на практике, если нужны представления, близкие к НВП (можно провести некоторую аналогию с непрерывно-дискретным преобразованием Фурье [59]). Избыточность, к которой приводят фреймы, особенно важна в задачах синтеза (восстановления сигнала по его вейвлет-коэффициентам). Эта избыточность позволяет восстанавливать сигнал со сравнительно высокой точностью даже в том случае, если вейвлет-коэффициенты вычислены с низкой точностью [3]. Тем не менее, практическое значение фреймов не настолько велико, как "истинного" дискретного вейвлет-преобразования, оперирующего с ортонормированными базисами, что позволяет осуществлять более точное представление сигнала и значительно упрощает его восстановление по набору вейвлет-коэффициентов. Существенно отличаются и формулы обращения для НВП и ДВП. Строго говоря, в дискретном случае не существует формулы обратного преобразования, аналогичной формуле обращения для непрерывного преобразования, и процедура восстановления сигнала по его вейвлет-коэффициентам проводится с помощью специальных приемов (причем значительно более простых с точки зрения численного алгоритма, чем вычисление обратного НВП). В отличие от непрерывного преобразования, вейвлеты, использующиеся в рамках ДВП, не имеют аналитической формы записи (за исключением функции Хаара). Они задаются в виде таблицы численных коэффициентов, полученных путем решения некоторых уравнений. На практике в рамках ДВП конкретная форма функций 4J){t) в явном виде не рассматривается, записываются только наборы чисел, с помощью которых задается тот или иной вейвлет. При проведении анализа структуры сигналов это приводит к различным операциям с матрицами. Базис в таком случае строится на основе итерационного алгоритма, предусматривающего изменение масштаба и смещение единственной функции. Детальное описание принципиальных различий ДВП и НВП приводится в монографии [7].
Некоторое неудобство (или необычность) работы с ДВП компенсируется многими полезными свойствами данного преобразования. Во-первых,
ДВП допускает возможность реализации быстрого (пирамидального) алгоритма преобразования, идея которого была заимствована из схем субполосной фильтрации. Двухканальные схемы субполосной фильтрации [50] предусматривают свертку последовательности дискретных отсчетов с двумя фильтрами - высокочастотным и низкочастотным, после чего две полученные последовательности прореживаются (оставляются лишь четные или нечетные компоненты). Аналогичным образом осуществляется разложение сигнала в рамках ДВП, и набор численных коэффициентов используемого базисного вейвлета в этом случае фактически представляет собой один из фильтров. Возможность реализации быстрой процедуры преобразования важна для многих приложений, например, для кодирования и передачи информации, сжатия данных. В качестве примеров можно отметить, что ДВП является основой формата представления графической информации JPEG, формата видео MPEG4, активно применяется в компьютерной графике для редактирования трехмерных изображений и т.д. [37]. Существование алгоритмов быстрого преобразования важно также и в задачах обработки экспериментальных данных (особенно, если речь идет о больших объемах информации).
Во-вторых, важным свойством вейвлет-преобразования является наличие инвариантности относительно смещения (shift invariance) [7]. Это означает, что если осуществить сдвиг вдоль сигнала на некоторое расстояние, то вейвлет-коэффициенты также сместятся, и путем их переиндексации можно установить взаимосвязь с коэффициентами до сдвига. Данное свойство легко проиллюстрировать на примере НВП, поскольку для ДВП зависимости между индексами коэффициентов на разных масштабах при смещениях вдоль сигнала выглядят намного сложнее. Однако быстродействие алгоритма ДВП является более важным чем некоторые сложности переиндексации - появляется возможность решать в реальном времени задачи, связанные с определением задержек при распространении сигналов. Отметим, например, что ДВП является замечательным инструментом для радиолокации. С одной стороны, этот метод позволяет легко определять задержку во времени, которая требуется, чтобы приемное устройство зафиксировало отраженный от объекта сигнал (по своим потенциальным возможностям ДВП значительно превосходит корреляционный анализ, традиционно использо-
вавшийся для решения аналогичных задач). С другой стороны, возможность распознавания образов на основе вейвлет-преобразования позволяет решать задачи идентификации объектов (более гибкие алгоритмы распознавания могут быть построены путем сочетания вейвлет-анализа и нейросетевых методов) .
Помимо того, что функции ip(t), используемые в рамках ДВП, не могут быть представлены в аналитической форме, многие из них являются нерегулярными (например, широко используемые вейвлеты Добеши малого порядка, имеющие узкую область задания). На практике при выборе вей-влета учитывают такие его свойства, как регулярность, число нулевых моментов, число вейвлет-коэффициентов, превышающих некоторое пороговое значение. Большое количество нулевых моментов ip(t) позволяет осуществлять более эффективное сжатие данных, так как вейвлет-коэффициенты на малых масштабах стремятся к нулю в тех точках, где функция является гладкой, и в этом случае их можно отбросить без существенной потери информации. С другой стороны, за это приходится расплачиваться увеличением области задания вейвлета и, как следствие, снижением быстродействия вычислений. Поэтому выбор базисной функции и вида преобразования должен осуществляться, исходя из специфики решаемой задачи. В частности, ДВП преимущественно используется при решении задач кодирования сигналов, компьютерной графики, распознавания образов. НВП в большей степени применяется в научных исследованиях для анализа структуры сложных сигналов.
Не углубляясь в детали конкретного вида преобразования и выбора базиса, рассмотрим более подробно два научных направления, относящиеся к радиофизике, где в полной мере проявились возможности вейвлет-анализа.
Направление 1: Исследование структуры нестационарных процессов. Очень многие процессы в окружающем нас мире являются нестационарными и демонстрируют изменения во времени своих статистических свойств. В числе примеров можно упомянуть переходные процессы в радиофизических устройствах, нестационарные волны в океане, атмосферную и гидродинамическую турбулентность, нестационарные физиологические и геофизические сигналы и т.д. Важно отметить, что в экспериментальных исследованиях проводится анализ не всего случайного процесса, а его от-
дельно взятой реализации (выборочной функции). Насколько эта реализация является типичной, и можно ли путем ее анализа делать выводы о статистическом ансамбле - получить ответы на эти вопросы в общем случае нельзя. Как известно, при наличии свойства эргодичности анализ отдельно взятой реализации в статистическом смысле эквивалентен рассмотрению совокупности реализаций, и операция усреднения по ансамблю может быть заменена усреднением по времени. Но при работе с экспериментальными данными доказать наличие эргодичности (или даже просто обосновать, что свойство эргодичности является разумным допущением) почти невозможно. В связи с этим, говоря о нестационарности, мы будем подразумевать существование зависимости характеристик отдельно взятой реализации от выбора начала отсчета времени. Классические вероятностные и спектральные методы анализа структуры сигналов [60,61] являются инструментами исследования стационарных случайных процессов; их применение для обработки нестационарных данных приводит к различным проблемам интерпретации полученных результатов. В частности, обнаружение двух пиков в спектре мощности с некратными частотами может соответствовать принципиально разным случаям: одновременному присутствию двух независимых ритмов колебаний в динамике изучаемой системы или переключению частоты, при котором в каждый момент времени.существует только один ритмический процесс.
На протяжении длительного времени стандартным подходом к исследованию экспериментальных данных (особенно для случайных процессов в физиологии, метеорологии и т.д.) являлась идеология анализа систем с медленно-меняющимися параметрами: считалось, что можно ввести в рассмотрение небольшие промежутки времени, в течение которых свойства сигнала меняются незначительно, и его можно рассматривать как выборочную функцию стационарного процесса, применяя классический аппарат методов статистической обработки. Такой подход может применяться на практике, если нестационарность ассоциируется с низкочастотной областью спектра по отношению к динамике, представляющей интерес для исследователя, и анализируемый сигнал можно представить в виде суммы или произведения выборочной функции стационарного случайного процесса и детерминированной функции, описывающей изменения во времени среднего значения
или дисперсии. Медленная нестационарность (низкочастотный тренд) может быть устранена путем фильтрации или на основе других специальных приемов [59].
Если же свойства выборочной функции случайного процесса успевают существенно поменяться даже на сравнительно коротких участках времени, то возникает потребность переходить от классических методов анализа временных рядов к специальным методикам. Ценность вейвлет-анализа состоит в его универсальности: данный метод может применяться независимо от того, является ли процесс стационарным или нет. Отметим, что эффективных методов анализа структуры нестационарных случайных процессов существует немного. В числе известных и популярных подходов наряду с вейвлетами можно упомянуть метод аналитического сигнала, использующий преобразование Гильберта [62], и метод анализа флуктуации относительно тренда (АФТ, в зарубежной литературе используется название detrended fluctuation analysis) [63-66].
Первый из этих подходов позволяет ввести понятия мгновенной частоты, мгновенной амплитуды и мгновенной фазы колебаний для узкополосного случайного процесса; с его помощью можно исследовать изменения во времени этих характеристик. Метод аналитического сигнала может успешно применяться при решении задач изучения взаимосвязи процессов (например, при рассмотрении явления синхронизации в нестационарной динамике автоколебательных систем). АФТ является новым методом исследования эффектов длительных корреляций, применимым как к стационарным случайным процессам, так и к нестационарным. Центральная идея этого подхода состоит в переходе от анализируемого сигнала к одномерным "случайным блужданиям" [63]. Данный переход осуществляется путем специального суммирования значений временного ряда, предварительно приведенного к нулевому среднему уровню. Затем анализируются отклонения "случайных блужданий" от локального тренда в зависимости от масштаба наблюдения. Вычисляемые в рамках метода АФТ величины связаны с характеристиками, описывающими спад корреляционной функции и частотную зависимость функции спектральной плотности мощности [64, 65]. Поэтому с помощью данного подхода можно проводить спектрально-корреляционный анализ, не ограничиваясь только стационарными случайными процессами. Более того,
в настоящее время АФТ рассматривается в качестве альтернативы классическому корреляционному анализу, поскольку этот метод позволяет точнее оценивать скейлинговые характеристики в области длительных корреляций.
Однако по своим потенциальным возможностям вейвлет-анализ превосходит оба упомянутых подхода. Как и метод аналитического сигнала, он позволяет вычислять мгновенную частоту, мгновенную амплитуду и мгновенную фазу ритмических компонент нестационарных процессов, не ограничиваясь при этом узкополосными сигналами. Взаимосвязь мгновенных фаз, введенных с помощью метода аналитического сигнала и на основе вейвлетов, обсуждается, в частности, в работе [67]. При изучении явления синхронизации в динамике систем с несколькими временными масштабами использование вейвлетов целесообразнее метода аналитического сигнала, так как вейвлет-преобразование представляет собой инструмент многомасштабного анализа, позволяющий одновременно анализировать особенности структуры сигналов в разных диапазонах масштабов наблюдения. С точки зрения изучения корреляционных свойств случайных процессов, основанный на вейвлет-преобразовании мультифрактальный формализм [68] обладает не только теми же возможностями, что и техника АФТ, но еще и рядом преимуществ. Для метода АФТ требуется, во-первых, большая длительность временного ряда; во-вторых, АФТ менее эффективен при анализе корреляций на малых временных интервалах.
Вейвлет-анализ демонстрирует свои преимущества и по сравнению с другими подходами, которые могут применяться для исследования процессов с меняющимися во времени характеристиками, например, оконным спектральным анализом и распределением Вигнера-Вилля [6]. Более детальное сопоставление этих методов будет проведено в первой главе диссертации, поэтому пока кратко отметим лишь принципиальные отличия. Чтобы обеспечить хорошую временную локализацию, отслеживая изменения структуры нестационарных процессов, важно извлекать высокочастотную информацию из относительно малых участков анализируемого сигнала, а низкочастотную - из сравнительно больших. Вейвлет-анализ такую возможность предоставляет, поскольку обладает подвижным частотно-временным окном, которое является широким на низких частотах и узким - на высоких. Оконный спектральный анализ оперирует с фиксированным размером оконной функ-
ции и не обеспечивает по-настоящему локализованный анализ структуры сигналов [12]. Что касается распределения Вигнера-Вилля, то этот подход может превосходить вейвлет-преобразование по частотно-временному разрешению, но одновременно приводит к крайне нежелательным явлениям -наличию интерференции, из-за которых данный метод теряет привлекательность. Специальные приемы усреднения, позволяющие избавляться от интерференции, ухудшают частотно-временное разрешение, в результате чего никаких явных преимуществ у распределения Вигнера-Вилля по сравнению с вейвлетами уже не будет [3].
Направление 2: Распознавание различных форм сигналов. Распознавание (или идентификация) различных форм сигналов представляет собой еще одно научное направление, в рамках которого применение вейвле-тов позволяет решать целый комплекс проблем. Например, они помогают проводить очистку экспериментальных данных от шумов и случайных искажений. В сигналах натурных экспериментов часто встречаются изолированные особенности (отдельные выбросы, ступеньки и т.п.), которые могут быть связаны как с самой исследуемой динамикой, так и со сбоями аппаратуры или влиянием каких-то внешних факторов. Фильтры, построенные на основе Фурье-преобразования, неэффективны для устранения изолированных особенностей, поскольку информация о сбойных точках содержится во всех коэффициентах преобразования. Фильтрация на основе вейвлетов является более гибкой: существует возможность в автоматическом режиме выявить расположение той или иной особенности (в ее окрестности резко возрастают коэффициенты вейвлет-преобразования на малых масштабах), идентифицировать характер этой особенности по асимптотическому поведению коэффициентов преобразования и удалить эту особенность из сигнала (или ее скорректировать). Цифровая фильтрация на основе вейвлетов позволяет проводить качественную очистку зашумленных сигналов на этапе предварительной обработки экспериментальных данных.
Широкая область применения вейвлетов связана с распознаванием близких по форме сигналов на фоне шума. Примером может служить распознавание речи, когда на основе вейвлетов решается задача идентификации отдельных звуков или слов голосового сообщения, полученного при наличии сильных помех.
Отметим, что методы анализа структуры сигналов, основанные на вейвлет-преобразовании, могут применяться независимо от природы процесса; они с равным успехом могут быть использованы как в исследованиях радиофизических систем (задачи радиолокации, радиометрии и т.д.), так и при анализе сложной динамики объектов живой природы. Биологические системы часто демонстрируют сложное нерегулярное поведение, характеристики которого непрерывно меняются во времени. Привлечение для анализа соответствующей динамики классических вероятностных и спектральных методов означает априорное предположение о том, что рассматриваемые процессы можно приближенно считать эргодическими, а справедливость этого допущения довольно сложно обосновать, если живой организм демонстрирует процесс адаптации к изменению внешних условий функционирования. Зачастую возникают проблемы с интерпретацией результатов анализа биологических данных, которые выявляют ограничения классических подходов к анализу случайных процессов и определяют важность разработки новых, более эффективных инструментов анализа структуры сигналов. Развитие техники привело в настоящее время к высочайшему уровню экспериментальных исследований, когда сигналы биологических систем можно измерять на микроскопическом уровне отдельных клеток и внутриклеточной динамики. В то же время анализ таких сигналов зачастую ограничивается простой статистической обработкой экспериментальных данных. Создание более точных инструментов исследования сигналов, позволяющих выявить детали их сложной структуры, является в этой связи очень актуальной задачей: под высокоточные эксперименты, выполняемые в настоящее время в биологии, нужны соответствующие методы анализа. Биологические приложения физических подходов обогащают и саму физику. В частности, разработанные специальные методы, для которых нестационарность динамики не является препятствием, не только существенно расширяют возможности экспериментальных исследований, но и в значительной степени определяют дальнейший прогресс в развитии теории анализа структуры сигналов. Одним из примеров служит алгоритм АФТ. Метод, который начинает восприниматься как альтернатива классическому корреляционному анализу и позволяет устранить некоторые недостатки автокорреляционной функции, изначально был предложен как способ диагностики сердечно-сосудистой патологии [63]. По-
путно отметим, что и базовая модель теории колебаний, генератор Ван дер Поля, первоначально была предложена как попытка моделирования динамики сердца. То, что современные биологические исследования невозможны без самого широкого использования физических методов (и, в том числе, радиофизических), отмечают многие ученые; можно, в частности, упомянуть высказывание Нобелевского лауреата В.Л. Гинзбурга о том, что "биологическая и околобиологическая тематика долоісна и будет занимать в физических институтах, на физических факультетах и на страницах физических журналов все большее место. Нуоіспо это понимать и активно этому содействовать" [69].
Таким образом, вейвлеты представляют собой мощный инструмент анализа, применимый к коротким, зашумленным и нестационарным случайным процессам. Поскольку такие процессы довольно часто регистрируются в натурных экспериментах, изучение возможностей этого инструмента и развитие методов, базирующихся на вейвлет-преобразовании, является актуальной задачей исследования структуры сигналов. Несмотря на значительные успехи теории вейвлетов и ее многочисленные применения в решении большого числа задач, в настоящее время активно используется лишь часть ее потенциальных возможностей. Многие, весьма интересные разработки теоретиков только начинают находить свое применение. До сих пор остается ряд открытых вопросов, относящихся к определению существующих ограничений вейвлет-анализа. Как и любой другой метод цифровой обработки сигналов, вейвлеты имеют как свои преимущества, так и определенные недостатки, и было бы неправильно идеализировать этот математический аппарат. Известно, например, что за возможность проведения локализованного спектрального анализа, позволяющего осуществлять расчеты мгновенного спектра по очень малым участкам сигнала, приходится "расплачиваться" ухудшением спектрального разрешения [7].
Актуальность работы определяется важностью проблемы выявления границ применимости теории вейвлетов и развития новых эффективных методов анализа структуры сигналов, основанных на вейвлет-преобразовании.
Очень часто многие исследователи ограничиваются противопоставлением вейвлет-анализа и других подходов (например, классического спектрального анализа, основанного на преобразовании Фурье). В ряде практических
задач такое противопоставление оправдано, если, например, речь идет только об изучении эволюционной динамики мгновенных частот и амплитуд. Тем не менее значительный интерес вызывают комбинированные подходы, базирующиеся на сочетании вейвлетов с другими методами анализа структуры сигналов. Подобное сочетание позволяет эффективнее решать самые разные задачи - от распознавания образов (при совместном использовании вейвлетов и нейронных сетей) и количественного описания сложности нестационарных процессов до улучшения характеристик систем связи.
Детальные исследования структуры нестационарных процессов приводят к необходимости модификаций методов обработки временных рядов, которые позволили бы получать более полную информацию об анализируемых процессах. Такие модификации представляют несомненный интерес при изучении эффектов взаимодействия ритмов колебаний в условиях нестационарных многочастотных режимов динамики, например, при выявлении синхронизации колебаний (если захват мгновенных частот или фаз колебательных процессов происходит лишь на сравнительно небольших отрезках времени) или модуляции колебаний. Для многих сигналов в природе типична нестационарность, приводящая к тому, что характеристики модуляции не являются постоянными и могут демонстрировать существенные изменения во времени. Как следствие, возникает необходимость рассмотрения нестационарных модулированных колебаний, которое должно базироваться на локальном спектральном анализе и вычислении меняющихся во времени характеристик (например, индексов модуляции или частот ритмов колебаний, осуществляющих модуляцию).
Наряду со случаем нестационарных процессов хорошо известны и другие ограничения классических методов анализа структуры сигналов, например, проблема исследования длительных корреляций в динамике нелинейных систем, если ограниченный объем выборки препятствует проведению оценок закономерностей спада автокорреляционной функции на больших временах. Упомянутый метод АФТ является хорошей альтернативой классическому корреляционному анализу, но и он оказывается малопригоден, если речь идет о сигналах малой длительности (здесь и далее, говоря о малой длительности, мы будем подразумевать, что она является малой с точки зрения проведения оценок необходимых характеристик в рамках заданной точно-
сти). В связи с этим развитие специальных подходов, способных устранить отмеченные недостатки существующих методов анализа длительных корреляций, является актуальной задачей, имеющей как теоретическое, так и практическое значение.
Как уже отмечалось, вейвлет-анализ является эффективным способом идентификации сигналов, например, распознавания речи. Кроме того, во многих приложениях возникает очень близкая, по сути, задача - потребность изучать сигналы, характеризующие динамику ансамбля некоторых элементов, и извлекать из этих сигналов информацию о динамике отдельных элементов. Такие задачи могут возникать, например, в активной радиолокации при отслеживании движения группы объектов и измерении меняющегося со временем расстояния до них. Сходная ситуация характерна для пассивной радиолокации, когда проводится регистрация собственного радиоизлучения от нескольких объектов, и радиометрии. Помимо радиофизических систем, задача выделения сигнала отдельного элемента из коллективной динамики малого ансамбля возникает при изучении процессов кодирования информации в нейронных сетях. При осуществлении внеклеточной записи электрического потенциала микроэлектрод фиксирует потенциалы действия (спайки) не только одной клетки, вблизи которой он находится, но и соседних нейронов, расположенных в некоторой локальной области. В результате регистрируемый потенциал представляет собой суммарную электрическую активность группы клеток и содержит значительный уровень шума разной природы. Чтобы проводить исследование генерируемого нейронами информационного кода на основе экспериментальных данных, вначале требуется в автоматическом режиме отсортировать спайки, установив, какой клеткой генерируется тот или иной потенциал действия. Во всех отмеченных задачах возникают похожие проблемы - нужно идентифицировать сигнал отдельного элемента некоторого ансамбля и сделать это в условиях наличия шума большой интенсивности (как в радиолокации, так и в динамике групп нейронов уровень шума может быть сопоставим с амплитудой сигнала). Применение вейвлетов для эффективного решения данных задач либо в рамках отдельного алгоритма идентификации, либо в сочетании с другими методами распознавания образов является еще одним актуальным направлением теории анализа структуры сигналов.
Вейвлет-анализ обладает рядом полезных свойств. Одним из них является возможность проводить численное дифференцирование зашумленных сигналов путем перехода в пространство вейвлет-коэффициентов. Особенностью этого подхода является то, что производная от сигнала может быть заменена производной анализирующей функции ip(t), заданной в аналитической форме. Это свойство позволяет эффективно решать задачи синтеза. Совместное использование вейвлетов и техники реконструкции динамических систем представляет собой новое направление, позволяющее разрабатывать эффективные методы оценок параметров автоколебательных режимов, что открывает широкие перспективы решения задач передачи информации с применением хаотических несущих сигналов.
Сформулированный выше круг проблем определяет цель диссертационной работы, которая состоит в развитии и применении специальных методов анализа структуры сигналов, основанных на вейвлет-преобразовании и позволяющих решать задачи исследования сложной динамики колебательных систем в условиях нестационарности, наличия флуктуации, ограниченного объема выборки и ограниченной информации о режиме функционирования.
Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:
Выявить возможности и ограничения спектрального анализа многочастотных колебательных процессов на основе непрерывного вейвлет-преобразования в условиях нестационарности.
Разработать методики анализа структуры сигналов на основе непрерывного вейвлет-преобразования для изучения эффектов взаимодействия ритмов колебаний нестационарных многочастотных режимов динамики, в частности, позволяющие выявлять эффекты синхронизации колебаний, возникающие на сравнительно небольших участках времени, и модуляции колебаний с меняющимися во времени характеристиками.
Выявить возможности и ограничения метода мультифрактального анализа, основанного на непрерывном вейвлет-преобразовании, при исследовании структуры случайных и детерминированных процессов с несколькими различными типами сингулярностей.
Установить типичные изменения мультифрактальной динамики по-
следовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре, обусловленные эффектом фазовой синхронизации взаимодействующих автоколебательных систем, функционирующих в режиме динамического хаоса.
Выявить возможности мультифрактального формализма, основанного на непрерывном вейвлет-преобразовании, как метода корреляционного анализа в условиях ограниченного объема выборки.
Разработать новые эффективные методики идентификации сигналов типа последовательности одиночных импульсов на фоне шума большой интенсивности, использующие вейвлет-преобразование.
Изучить возможности использования вейвлетов при решении задач исследования динамики на входе пороговых систем по выходному точечному процессу, провести сопоставление с другими методами анализа структуры сигналов.
Разработать новый способ детектирования сигналов в системе связи, использующей хаотические несущие сигналы, с применением дискретного вейв лет-преобразов ания.
Научная новизна диссертационной работы состоит в следующем:
1. Предложена мера когерентности на основе непрерывного вейвлет-
преобразования, позволяющая характеризовать изменения во времени вза
имной динамики двух нестационарных колебательных процессов в выбран
ной полосе частот.
Предложен модифицированный метод исследования структуры сигналов - двойной вейвлет-анализ, позволяющий изучать эффекты амплитудной и частотной модуляции колебаний с меняющимися во времени характеристиками.
Проведены исследования ошибки идентификации мгновенных частот многочастотных колебательных процессов, базирующейся на непрерывном вейвлет-преобразовании, в зависимости от степени нестационарности и спектрального разрешения.
Впервые установлено, что фазовая синхронизация колебаний сопровождается характерными изменениями структуры последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре, включающими уменьшение степени мультифрактальности и численных значений показателей Гельдера, характеризующих локальную регулярность данных последовательностей.
Установлено наличие общих закономерностей изменения спектра син-гулярностей для случаев хаотической синхронизации автоколебательных систем и стохастической синхронизации переключений в динамике передемпфированного бистабильного осциллятора с внешним воздействием.
Впервые показано, что метод мультифрактального анализа, базирующийся на вейвлет-преобразовании, является эффективным способом исследования корреляционных свойств случайных и детерминированных процессов в случаях, когда малый объем выборки ограничивает надежность проведения оценок на основе стандартного корреляционного анализа.
Выявлены условия, при которых применение вейвлетов позволяет решать задачу идентификации сигналов типа последовательности одиночных импульсов более качественно по сравнению со стандартным алгоритмом анализа главных компонент.
Предложена методика уменьшения ошибки идентификации сигналов типа последовательности одиночных импульсов, базирующаяся на сочетании вейвлет-анализа и анализа главных компонент.
Разработан параметрический метод идентификации импульсных сигналов на основе вейвлет-преобразования, позволяющий снизить ошибку идентификации до значения, близкого к теоретическому минимуму. _^
Выявлены возможности и ограничения использования вейвлетов при анализе динамики пороговых систем с внешним воздействием; показано, что в отсутствие собственной динамики таких систем более эффективное решение задачи идентификации режима хаотических автоколебаний на входе может осуществляться на основе расчета старшего показателя Ляпунова.
Разработан новый способ детектирования информационных сигналов в системе защищенной передачи информации, использующей принцип модуляции параметров генератора хаоса и хаотические несущие сигналы, который основан на совместном применении реконструкции динамических систем и дискретного вейвлет-преобразования.
Научно-практическое значение результатов работы:
В ходе проведенных исследований был разработан (или модифицирован)
ряд специальных методов анализа структуры сигналов, которые позволяют
изучать особенности сложной динамики колебательных систем различной
природы - радиофизических, оптических, биофизических и т.д. В частности: предложен двойной вейвлет-анализ, позволивший обнаружить ряд но-
вых эффектов в сложной динамике биологических систем и предложить новый подход к изучению динамики внутриклеточных процессов (путем его применения совместно с техникой интерференционной микроскопии) ;
предложена методика корреляционного анализа, имеющая преимущества по сравнению с классическим подходом в ситуации, когда ограниченная длительность сигнала не обеспечивает возможность проведения достоверных расчетов автокорреляционной функции;
предложены методики автоматической идентификации импульсных сигналов при наличии помех, позволяющие повысить надежность распознавания спайков нейронных ансамблей при анализе внеклеточных электрических сигналов как необходимого этапа решения задач исследования процессов кодирования информации в нейронных сетях;
предложен новый принцип детектирования информационных сообщений, передаваемых в хаотическом несущем сигнале для обеспечения защиты системы многоканальной передачи информации от несанкционированного доступа.
Результаты проведенных исследований используются в учебном процессе на физическом факультете Саратовского государственного университета при чтении спецкурса "Анализ временных рядов" и в рамках лабораторных работ специализированного практикума "Методы анализа сложных сигналов". Часть результатов включена в учебное пособие для студентов физического факультета.
Запатентовано устройство многоканальной конфиденциальной передачи информации, использующее новый принцип детектирования информационных сигналов.
Достоверность научных выводов работы основывается на соответствии результатов численных экспериментов и теоретических исследований, на соответствии с результатами, которые в ряде случаев можно получить другими методами, на устойчивости применяемых методов анализа структуры сигналов к малым изменениям численной схемы, а также на согласованности с существующими теоретическими представлениями.
Основные положения и результаты, выносимые на защиту:
1. Для исследования сигналов с нестационарной многотональной модуляцией целесообразно применение метода двойного вейвлет-анализа, в
рамках которого временные зависимости мгновенных частот и мгновенных амплитуд колебаний, идентифицируемые после однократного вейвлет-преобразования, рассматриваются в качестве анализируемых сигналов для повторного вейвлет-преобразования. Он позволяет получать информацию об изменениях во времени характеристик модуляции при условии, что разность частот модулирующего и модулируемого колебательных процессов превышает спектральное разрешение выбранного вейвлета.
Мультифрактальный анализ, базирующийся на непрерывном вейвлет-преобразовании, позволяет изучать корреляционные свойства случайных и детерминированных процессов в ситуации, когда длительность сигнала является недостаточной для проведения оценок закономерностей спада автокорреляционной функции с требуемой точностью. В отличие от классического корреляционного анализа, мультифрактальный формализм обеспечивает возможность рассматривать в несколько раз меньший объем выборки для достижения заданной точности и применим для обработки нестационарных данных.
Комбинированный алгоритм автоматического распознавания форм сигналов типа одиночного импульса, предусматривающий совместное применение вейвлет-анализа и метода анализа главных компонент, при наличии помех эффективнее использования этих методов по отдельности с точки зрения погрешности разделения близких по форме импульсов. Дополнительное снижение ошибки автоматической идентификации соответствующих сигналов обеспечивается включением процедуры предварительной фильтрации с подстройкой характеристик фильтра под индивидуальные особенности формы импульсов в качестве составной части вейвлетного метода их распознавания.
Использование техники реконструкции динамических систем совместно с дискретным вейвлет-преобразованием в системе защищенной передачи информации, использующей принцип модуляции параметров генератора хаотических колебаний и хаотические несущие сигналы, позволяет осуществлять детектирование нескольких информационных сообщений, одновременно передаваемых в одном несущем сигнале. Наличие только одного генератора хаотических колебаний, расположенного в передающем устройстве, устраняет проблему неидентичности генераторов приемника и передатчика,
являющейся одной из ключевых для систем защищенной передачи информации, реализующих процедуру детектирования на основе эффекта синхронизации колебаний.
Предложена методика оценки степени когерентности, основанная на непрерывном вейвлет-преобразовании и позволяющая изучать взаимную динамику колебательных процессов в условиях нестационарности мгновенных частот колебаний.
Установлено, что структурные изменения хаотических сигналов, связанные с фазовой синхронизацией, приводят к изменениям спектра сингу-лярностей, вычисленного по последовательностям времен возврата в секущую Пуанкаре, и могут быть диагностированы на основе мультифракталь-ного анализа. Они включают уменьшение значений показателей Гельдера и уменьшение степени мультифрактальности.
Показано наличие общих закономерностей в изменении спектра син-гулярностей при фазовой синхронизации хаоса в динамике взаимодействующих автоколебательных систем и при стохастической синхронизации переключений в динамике передемпфированного бистабильного осциллятора с внешним воздействием.
Совокупность сформулированных положений, методов и результатов следует классифицировать как решение крупной научной проблемы, состоящей в развитии новых методов анализа структуры нестационарных, коротких и зашумленных сигналов.
Апробация работы и публикации. Основные материалы диссертации были доложены на научных конференциях: «Stochaos: Stochastic and Chaotic Dynamics in the Lakes» (Англия, Амблесиде, 1999), «Control of Oscillations and Chaos» (COC'2000, Санкт-Петербург, 2000), «Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations» (SYNCHRO-2002, Саратов, 2002), «Physics and Control» (PHYSCON, Санкт-Петербург, 2003, 2005), «INTAS-Workshop: Synchronization of Biological Oscillators» (Германия, Потсдам, 2004), «Хаотические автоколебания и образование структур» (ХАОС, Саратов, 1998, 2001, 2004, 2007), «Complex Dynamics and Fluctuations in Biomedical Photonics» (Сан-Хосе, США, 2004, 2006, 2007, 2008, 2009), «First International Work-Conference on the Interplay between Natural and Artificial Computation» (IWINAC 2005, Испания, Лас Пальмас, 2005), «Forum of
Federation of European Neurosciences Societies» (FENS, Швейцария, Вилларс, 2008), «XXV Dynamics Days Europe 2005» (Германия, Берлин, 2005), «1st BioSim Conference» (Испания, Пальма де Майорка, 2005). «Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ» (Саратов, 2001), ежегодной всероссийской научной школе-семинаре «Методы компьютерной диагностики в биологии и медицине - 2008» (Саратов, 2008).
Результаты неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета, научно-образовательного центра REC-006 «Нелинейная динамика" и биофизика» (Саратовский государственный университет), центра динамики сложных систем Потсдамского университета (Германия, Потсдам), центра биофизики и сложных систем Датского технического университета (Люнгбю, Дания), группы статистической физики и нелинейной динамики Гумбольтского университета (Германия, Берлин), лаборатории нейродина-мики университета Комплютенсе (Испания, Мадрид).
Материалы диссертации использовались при чтении спецкурса "Анализ временных рядов" студентам кафедры радиофизики и нелинейной динамики СГУ, при подготовке учебного пособия для спецпрактикума: А.Н. Павлов, "Методы анализа сложных сигналов", Саратов: Научная книга, 2008, 120 стр.
Часть результатов обсуждалась в 3-х диссертационных работах на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук, выполненных под руководством соискателя аспирантами А.Р. Зиганшиным (2005), Д.В. Думским (2005) и А.Н. Тупицыным (2009).
По теме диссертации опубликовано 62 работы (без учета тезисов докладов): 2 главы в монографиях, 1 патент и 59 статей, включая 46 статей в журналах (из них 30 статей в журналах, рекомендованных ВАК РФ для опубликования результатов докторских диссертаций) и 13 статей в сборниках трудов международных конференций.
Результаты работы использованы при выполнении грантов: Министерства образования и науки РФ «Ведущие учебно-научные коллективы России» (2003-2006), Совета по грантам Президента РФ «Ведущие научно-педагогические коллективы России НШ-4319.2006.2» (2005-2007), Королевского общества Лондона (1997-1999), Intas 01-2061 (2002-2005), CRDF и Министерства образования и науки РФ «Научно-образовательный центр
"Нелинейная динамика и биофизика" (НОЦ REC-006)» (2000-2007), РФФИ №04-02-16769, госконтрактов с ФЦНТП № 02.512.11.2111, № 02.442.11.7244, № 02.442.11.7181, а также индивидуальных грантов фондов Intas (YSF 99-4050, 1998) и CRDF (Y1-P-06-06, 2003-2006), гранта Президента России для молодых ученых (МК-2512.2004.2, 2004-2005), гранта совместной программы DAAD и Министерства образования и науки РФ "Михаил Ломоносов" (2008).
Личный вклад автора. Во всех работах автор участвовал в постановке задач, принимал активное участие в проведении численных исследований и интерпретации результатов. В работах, выполненных в соавторстве, соискателю принадлежит ведущая роль в разработке и применении методов анализа структуры сигналов на основе вейвлет-преобразования, а также в объяснении и интерпретации рассматриваемых процессов и явлений (за исключением публикаций, посвященных биологическим приложениям). В публикациях, носящих характер приложений специальных методов анализа структуры сигналов к исследованиям сложной динамики биологических систем, соискатель осуществлял разработку методов анализа и проводил численные исследования. Результаты по мультифрактальному анализу, идентификации импульсных сигналов и исследованию структуры точечных процессов были частично получены совместно с аспирантами А.Р. Зиганшиным и Д.В. Думским, которые защитили диссертации под руководством соискателя, а также аспирантом А.Н. Тупицыным, представившим к защите диссертацию, также выполненную под руководством соискателя. Результаты решения прикладных задач были получены совместно со специалистами из 10 университетов и научных центров Европы и Америки, которые осуществляли постановку биологических приложений методов анализа структуры сигналов, проводили натурные эксперименты и контролировали корректность сделанных выводов по соответствующим задачам, а также с коллективом кафедры биофизики МГУ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, приложения и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 367 страниц, в том числе 122 страницы рисунков. Список литературы содержит 329 наименований.
Во введении обосновывается актуальность работы, определяются це-
ли исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна и научно-практическое значение полученных результатов, формулируются основные положения и результаты, выносимые на защиту.
Первая глава посвящена проведению анализа нестационарных многочастотных колебательных режимов на основе непрерывного вейвлет-преобразования.
В разделе 1.1 обсуждаются теоретические основы непрерывного вейвлет-преобразования, рассматриваются особенности используемых солитонопо-добных функций, их характерные признаки. Описывается процедура построения базиса и осуществления непрерывного вейвлет-преобразования. Отдельное внимание уделяется проблеме нормировки в целях корректной оценки энергий и амплитуд колебательных процессов. Обсуждаются варианты визуализации результатов преобразования в виде так называемых "скелетонов" и "хребтов" поверхности вейвлет-коэффициентов. Проводится сопоставление непрерывного вейвлет-преобразования и других методов анализа нестационарных процессов (оконный спектральный анализ, распределение Вигнера-Вилля).
В разделе 1.2 приводятся примеры применения непрерывного вейвлет-преобразования. Рассматриваются случаи переключения частоты и "чирп"-сигналы - процессы с монотонным изменением частоты. Обсуждается возможность применения вейвлетов для описания сложной структуры сигналов биологического происхождения при наличии нескольких независимых временных масштабов.
Идентификация мгновенных частот и амплитуд колебательных процессов
Вейвлет Морле используется в большинстве исследований, целью которых является идентификация мгновенных частот или амплитуд ритмов колебаний, поскольку он обладает хорошей локализацией. Частотно-временное разрешение функции (1.13) регулируется параметром /о _ его уменьшение улучшает частотное разрешение за счет ухудшения временного разрешения и наоборот. Кроме того, спектральный анализ на основе вейвлета Морле (по сравнению с применением других функций) ближе к классическому оконному спектральному анализу, использующему преобразование Фурье. Заметим, что на самом деле различия с оконным спектральным анализом все равно являются довольногсущественными, поскольку в рамках вейвлет-анализа величина окна зависит от масштаба наблюдения, тогда как классический подход оперирует с постоянным окном. Подробнее эти вопросы обсуждаются в разделе 1.1.5.
Существует взаимосвязь между временным масштабом а вейвлета Морле и соответствующей частотой спектра Фурье, которую можно записать в следующем виде: Если OJO = 2"7г/о 1) то / /о/а. Взаимосвязь между f и а для ряда других базисных функций рассматривается в [8,13]. На практике нормировка базисной функции является довольно часто применяемой процедурой. Например, в случае МНАТ-вейвлета нормировку можно осуществить, предварительно оценив энергию по формуле: функцию 4J)(t) в формуле (1.11) нужно разделить на значение (Зу/тг/4)1 2. В результате получим нормированный МНАТ-вейвлет: m=w {l2)e "2- (1-17) Для многих приложений наличие такой нормировки не является принципиальным, и могут применяться обе формулы (1.11) и (1.17). В последнем случае только необходимо учесть, что изменится константа С-ф, которая равна 7Г для функции (1.11) и 4у/7г/3 для функции (1.17). Значительно чаще используется первая формула, а если возникает необходимость вычисления энергетических характеристик, то проводятся дополнительные корректировки величины энергии. После выбора "материнского вейвлета" tp(t) на его основе формируется базис. Поскольку ip(t) является локализованной во времени, то для того, чтобы анализировать с ее помощью различные участки сигнала х (), требуется предусмотреть процедуру сдвигов функции вдоль оси t, которые позволили бы сместиться в эти участки. С другой стороны, для проведения локализованного анализа структуры сигнала в широком диапазоне масштабов необходимо также предусмотреть процедуру перемасштабирования (рис. 1.2). Как следствие, с помощью функции ift(t) строится двупараметрическое семейство вейвлетов где а Є R, а ф 0 - масштабный коэффициент (он определяет сжатие или растяжение функции), Ь Є R - параметр сдвига, с помощью которого вей-влет перемещается вдоль анализируемого сигнала x(t). Множитель 1/у/а осуществляет нормировку энергии каждой функции фа,ь{і) таким образом, чтобы H a.& lh — 11 ( )ІІ2- Напомним, что норма вычисляется по формуле: где " " означает комплексное сопряжение. При работе с временными рядами наиболее естественно проводить дискретизацию параметров а и b (она осуществляется для всех типов преобразования, но различным образом). В рамках ДВП шаг по параметру а является переменным: малым на высоких частотах и большим на низких. Это достигается путем задания значений a = aJ0, где ао 0 - фиксированный параметр, а j - целые числа. Поскольку ширина вейвлета на каждом масштабе пропорциональна а, параметр сдвига выбирается равным b = kboaJQ: где значение bo 0 также фиксируется, а, к - целое число. В результате таких ограничений семейство вейвлетов выглядит следующим образом: При произвольном выборе ао и bo функции ipjtk не обеспечивают ор-тонормированность базиса. В этом случае при полном базисе дискретное вейвлет-преобразование будет давать избыточную информацию (по аналогии с непрерывным преобразованием). Как уже отмечалось во введении, избыточность может быть полезным свойством, позволяющим получать более ясные и наглядные результаты. Это, в частности, относится к задачам анализа таких характеристик, как мгновенные амплитуды и частоты колебаний, вычисление которых легко реализуется с помощью вейвлетов даже в случае нестационарных многочастотных режимов колебаний. Однако в ряде приложений необходимо иметь дело с ортонормированными базисами (например, в задачах сжатия и последующего восстановления сигнала). Ортонормированные базисы образуются при специальном выборе параметров ао5 bo и функции ф. Например, для вейвлетов Хаара можно выбрать йо = 2, bo = 1, получив семейство ортонормированных функций В рамках данной диссертационной работы будут использоваться как непрерывное, так и дискретное преобразования. Результаты первых двух глав полностью базируются на использовании НВП, на котором мы сейчас остановимся более детально. Особенности дискретного преобразования будут рассмотрены позднее при решении конкретных задач, в которых будет применяться этот математический аппарат.
Мультифрактальный анализ динамики артериального давления крови
Вместо поверхности Е(а, Ь) удобно рассматривать E(f, Ь), то есть осуществлять переход к частотному представлению энергетического спектра. В последнем случае производная в (1.31) вычисляется по /. Если исключить из рассмотрения точки, соответствующие очень малым значениям W(a, b)\, которые на практике могут быть связаны с зашумленностью сигнала, погрешностями вычислений и т.д. (порог задается с учетом особенностей анализируемого сигнала и уровня шума), то полученные хребты, изображенные в виде линий на плоскости ab, соответствуют мгновенным частотам ритмов колебаний, присутствующих в анализируемом сигнале (рис. 1.6а,б).
Это очень удобный и наглядный способ анализа нестационарной многочастотной динамики, обеспечивающий возможность отслеживать временную эволюцию каждого ритма колебаний, представляющего интерес для исследователя. В частности, построение хребтов позволяет анализировать эффекты взаимной подстройки мгновенных частот при синхронизации взаимодействующих автоколебательных систем, характеризовать воздействие одной системы на другую и т.д. Поскольку каждая точка хребта ассоциируется с локальным энергетическим спектром, нахождение мгновенных частот колебательных процессов одновременно обеспечивает и определение мгновенных амплитуд этих процессов (рис. І.бв).
Известны и другие способы определения мгновенных частот и амплитуд колебаний; с этой целью традиционно применяется метод аналитического сигнала, использующий преобразование Гильберта. Последнее имеет четкую физическую интерпретацию для узкополосных процессов (в случае многочастотных колебаний его применимость менее очевидна). Если сигнал представляет собой суперпозицию колебательных процессов, частоты которых значительно отличаются, и путем фильтрации эти процессы удается разделить, то в этом случае преобразование Гильберта может с успехом применяться для фильтрованных данных. В рамках вейвлет-анализа такая фильтрация осуществляется автоматически, поскольку используемые базисные функции являются локализованными в частотной области. Это позволяет выделять каждый ритм колебаний по отдельности и изучать его мгновенные характеристики, игнорируя другие ритмические процессы. Известны исследования, в рамках которых проводилось сопоставление мгновенных характеристик, вычисленных с помощью преобразования Гильберта (фильтрованного процесса) и вейвлет-преобразования; при этом получались приближенно соответствующие друг другу результаты. В частности, в работе [67] сравниваются мгновенные фазы, вычисленные на основе преобразования Гильберта и вейвлет-преобразования с базисной функцией Морле, и показывается, что они примерно равны.
Одним из наиболее важных моментов при сопоставлении вейвлетов и преобразования Фурье является различная частотно-временная локализация. Преобразование Фурье оперирует с бесконечными во времени функциями sin и cos, и для того, чтобы получить спектральную информацию на выбранной частоте, необходимо вычислить интеграл в диапазоне (—со, со). Это означает, что необходимо располагать и прошлой и будущей временной информацией. Кроме того, преобразование Фурье не учитывает то обстоятельство, что частота может меняться во времени; оно не позволяет отличить сигнал, представляющий собой сумму гармонических функций с разными частотами, от сигнала, демонстрирующего "переключение" частоты - рис. 1.7а. Использование локализованных функций в рамках вейвлет-анализа эту проблему решает (рис. 1.76).
Вейвлеты могут быть рассмотрены в качестве оконных функций, имеющих свою ширину во временной (at) и в частотной (сг/) областях - рис. 1.8. Ширина определяется как стандартное отклонение (квадратный корень из дисперсии) функций \фа,ь(1)\ и а,б(/), где ipa,b{f) Фурье-образ вейвлета. Частотно-временное разрешение вейвлет-преобразования можно охарактеризовать прямоугольником на плоскости tf со сторонами at и а/. Его иногда называют прямоугольником Гейзенберга, отражающим известный принцип неопределенности, который характеризует минимальную площадь частотно-временного окна. В случае вейвлет-преобразования она не может быть меньше 1/47Г.
Существование принципа неопределенности означает, что при анализе сигналов невозможно одновременно улучшить и частотное, и временное разрешение: уменьшение ширины вейвлета во временной области сопровождается увеличением ширины спектральных пиков, как это было показано на рис. 1.4. Иными словами, улучшение временного разрешения (возможность ограничиваться меньшими участками сигналов) приводит к ухудшению частотного разрешения (более "размытым" спектральным пикам). Наоборот, стремление получить узкие линии в спектре неизбежно будет сопровождаться необходимостью рассматривать более длительные фрагменты анализируемого процесса. Это приводит к тому, что частотно-временное окно вейвлет-преобразования является подвижным: прямоугольник Гейзенберга сужается по частоте и расширяется по времени на низких частотах, расширяется по частоте и сужается по времени на высоких частотах (рис. 1.8).
Данное свойство вейвлет-преобразования является очень важным. Поскольку частота сигнала обратно пропорциональна его продолжительности (периоду колебаний), то для получения высокочастотной информации с хорошей точностью требуется извлекать ее из сравнительно малых временных интервалов, тогда как для извлечения низкочастной спектральной информации необходимо рассматривать более длительные участки. Отметим, что и в классическом спектральном анализе, основанном на преобразовании Фурье, информация может извлекаться из отдельных фрагментов сигнала (при использовании оконных функций), поэтому целесообразно рассмотреть отличие вейвлет-преобразования от оконного преобразования Фурье. Интуитивно представляется, что у этих методов есть нечто общее - вейвлет Морле является гармонической функцией, промодулированной по амплитуде функцией Гаусса. Предположим, что мы проводим оконный спектральный анализ на основе преобразования Фурье, также выбрав в качестве временного окна гауссиан. Будут ли при этом результаты совпадать с результатами вейвлет-анализа? Использование оконной функции во временной области приведет к ограничению спектрального разрешения в области частот и появлению прямоугольника Гейзенберга на плоскости tf (рис. 1.9).
Предлагаемая методика уменьшения ошибки идентификации
Данное обстоятельство приводит к необходимости более тщательно исследовать вопросы применимости данного математического аппарата при изучении структуры медленных ритмов с быстро меняющимися во времени характеристиками. Ограничения возможностей анализа параллельных чир-пов определяются тремя основными факторами: скоростью изменения мгновенных частот (которая характеризуется параметром к), разностью между ними (А/) и спектральным разрешением выбранной базисной функции. При малых значениях параметра к ошибка идентификации ритмических процессов уменьшается с ростом А/, а при больших - увеличивается. Знание соответствующих ограничений непрерывного вейвлет-преобразования позволяет оценивать корректность результатов анализа сигналов, регистрируемых в экспериментах, и правильно интерпретировать такие результаты.
При исследовании явления синхронизации колебаний в динамике взаимодействующих автоколебательных систем одним из способов изучения связанности процессов в частотной области является расчет функции когерентности 7(/)) которая представляет собой нормированную взаимную спектральную плотность и принимает значения в диапазоне 72(/) Є [0; 1]. В формуле (1.34) Sxx(f) и Syy(f) - спектральные плотности (спектры мощности) анализируемых сигналов x(t) и y(t), Sxy(f) - взаимная спектральная плотность. Характеристика 7(/) является аналогом коэффициента корреляции в области частот; она отражает степень линейной взаимосвязи гармонических составляющих анализируемых процессов. Если 7(/) равна единице на некоторой частоте, то это означает полное совпадение гармонических составляющих на этой частоте. Равенство нулю соответствует полному отсутствию взаимосвязи. На практике именно функция когерентности, а не взаимная спектральная плотность используется для изучения эффекта синхронизации автоколебательных систем.
Как и другие подходы, использующие преобразование Фурье, расчет 7(/) предполагает стационарность процессов x(t) и y(t), что далеко не всегда наблюдается в природе. Если эффекты захвата частот проявляются лишь на отдельных участках экспериментальной записи, а сами частоты демонстрируют существенные вариации во времени, характерные для переходных процессов, то применение формулы (1-34) становится проблематичным: попытки использования классических методов анализа структуры сигналов для обработки нестационарных данных приводят к многочисленным проблемам интерпретации полученных результатов.
Для изучения нестационарной многочастотной динамики взаимодействующих автоколебательных систем в диссертационной работе предлагается мера когерентности, основанная на вейвлет-преобразовании. Идея данного подхода проиллюстрирована в работе [284] и состоит в следующем. Пусть Exx(f,t) и Eyy(f,t) - плотности энергии коэффициентов вейвлет-преобразования сигналов x(t) и y{t)} a Exy(f,t) - взаимная плотность энергии Exy(f,i) = Wxx{f,t)W y{f,t). Предположим также, что в некотором диапазоне частот А каждый из процессов x(t) и у it) демонстрирует наличие характерного ритма колебаний, и требуется проанализировать синхронность мгновенных частот соответствующих ритмов. Совпадение частот соответствует равенству Гд = 1 для функции
Введенная мера когерентности является функцией времени, которая позволяет отслеживать эволюцию взаимной динамики процессов x(t) и y(t) в выбранном диапазоне частот А. По аналогии с (1.34), Гд Є [0; 1]. Чем более синхронны ритмы колебаний в этом диапазоне, тем ближе Гд к своему максимальному значению.
Наряду с введенной величиной Гд, фактически представляющей собой характеристику локальных нормированных взаимных энергетических спектров, могут применяться и другие способы анализа эффектов синхронизации в нестационарной динамике автоколебательных систем, использующие процедуру вейвлет-преобразования. К их числу можно отнести вычисление длительности участков захвата частот и фаз. Такие подходы также применялись в рамках проводившихся исследований [288,312]. В отличие от простого вычисления разности частот особенностью меры когерентности (1.35) является учет энергетических характеристик колебательных процессов. Абсолютное значение разности мгновенных частот, рассматриваемое в качестве критерия когерентности колебаний, должно сопоставляться, во-первых, с частотами колебаний и, во-вторых, со спектральным разрешением вейвлета на данных частотах. В случае расчета нормированных взаимных спектров мы получаем удобную характеристику степени когерентности, при определении которой зависимость спектрального разрешения от выбранного частотного диапазона влияет на вычисляемый взаимный энергетический спектр.
Введенная мера когерентности тестировалась на различных примерах нестационарной динамики (переходные процессы в динамике автоколебательных систем). Простая иллюстрация приведена на рисунке 1.22. Наибольший интерес функция (1.35) представляет для исследования эффектов синхронизации в динамике биологических систем, где типично наличие нестационарности и переходных процессов, обусловленных адаптацией объектов живой природы к постоянно меняющимся внешним условиям функционирования. Соответствующий пример приводится в приложении.
Применение хаотических автоколебаний в качестве несущих сигналов в системах защищенной передачи информации
Применяя метод двойного вейвлет-анализа к сигналам (1.42) и (1.43), можно четко идентифицировать два независимых ритма колебаний, которые ассоциируются с частотами и и Q, вычислить мгновенную амплитуду (рисунок 1.23) и частоту (рисунок 1.24) быстрого ритма и, рассматривая эти временные зависимости как исходные сигналы для еще одного вейвлет-преобразования, оценить характеристики модуляции. После проведения этих расчетов был выявлен ряд особенностей данного метода.
Вейвлет-анализ обладает эффектом усреднения, который возникает из-за того, что свойства сигнала в данный момент времени изучаются внутри окна конечной ширины, определяемого базисной функцией. Частота модуляции оценивается правильно, но индексы модуляции, полученные из вейвлет-анализа Ма и Mf, оказываются примерно вдвое меньше их истинных значений та и га/ (из-за усреднения зависимостей мгновенных частот и амплитуд внутри окна). Обнаружено, что для амплитудной модуляции (рисунок 1.236) отношение Ма/та не зависит ни от гаа, ни от Ао, являясь постоянной величиной. При рассмотрении ЧМ-сигналов, отношение М//т/ также является постоянным (с точностью до погрешности вычислений). Более того, соответствующие отношения Ма/та и М//т/ практически совпадают, то есть АМ-и ЧМ-сигналы приводят к одинаковому эффекту усреднения. Это означает, что эффекты усреднения оказываются непринципиальными, и всегда можно определить истинный индекс модуляции, умножив результаты двойного вейвлет-аналнза на постоянный множитель (он составляет примерно 2.2 при выбранном значении параметра fo — 1 вейвлета Морле).
В случае только амплитудной модуляции (1-42) метод может показывать "ложные" эффекты слабой частотной модуляции, которая имеет, по крайней мере, в 5 раз меньший индекс, чем истинная амплитудная модуляция (рис. 1.23в). По аналогии, может возникать эффект ложных амплитудных изменений в случае только частотной модуляции (1.43), который примерно в 10 раз меньше истинной модуляции (рис. 1.24в). Следовательно, получив результаты анализа экспериментальных данных, необходимо проверить, являются ли посчитанные характеристики сопоставимыми с возможными ложными эффектами. Дополнительные исследования на более сложных примерах подтвердили, что данные ложные эффекты сохраняют приблизительно тот же порядок.
Результаты двойного вейвлет-анализа достаточно устойчивы к аддитивным флуктуациям, если их интенсивность существенно меньше амплитуды сигнала. Добавление шума различной статистики к процессу x{t) не оказывает принципиального влияния на вычисляемые характеристики. В проводимых тестах осуществлялось добавление 1//-шума, моделирующего медленную нестационарность (низкочастотный тренд), и белого шума интенсивности Ю-1. Все вычисленные характеристики при этом практически совпадали с результатами, представленными на рисунках 1.23 и 1.24.
Хаотические автоколебания. Для иллюстрации работы метода в случае более сложной динамики была рассмотрена модель генератора с инерционной нелинейностью (генератора Анищенко-Астахова) [81,82]:
Варьируя значения управляющих параметров 1,к,дв системе уравнений (1.44), можно получить множество различных режимов, включая хаотическую динамику. В частности, одним из них является автономный режим, характеризующийся медленными колебаниями для переменной z и быстрой динамикой для переменных х и у (рис. 1.25). Чтобы проиллюстрировать эффективность метода на примере сложной динамики, был выбран режим переходного хаоса (/ = 2.90328, д = 0.012505, к = 0.00005). В этом случае временная зависимость быстрой переменной модели (1.44) демонстрирует следующий эффект: амплитуда и частота сигнала x(t) меняются во времени с периодом медленной переменной z(t). Временная зависимость мгновенной частоты быстрого ритма, извлеченная из сигнала z(t), позволяет определить частоту и индекс модуляции. В данном случае индекс частотной модуляции принимает значение примерно 1.0. Исследование мгновенной амплитуды быстрого ритма методом двойного вейвлет-анализа дает значение индекса амплитудной модуляции примерно 0.95. Частоты модуляции практически совпадают с мгновенной частотой медленного ритма (рис. 1.26), а полученные значения индекса модуляции соответствуют ожидаемым величинам, которые можно приблизительно оценить из сигнала x(t). Таким образом, предложенный метод позволяет корректно оценивать характеристики модуляции в случае хаотической динамики. Отметим, что добавление медленной нестационарности к анализируемому сигналу и аддитивного белого шума интенсивности Ю-1 по-прежнему не оказывает существенного влияния на вычисляемые величины.
Анализ экспериментальных данных. Одним из приложений двойного вейвлет-анализа является методика исследования внутриклеточных процессов, предложенная в рамках работ, проводимых совместно с научными коллективами МГУ (Москва) и Датского технического университета (Люнгбю) [269,295,304]. Известно, что нейронная активность включает многообразие регуляторных процессов, которые возникают на разных временных масштабах, как на поверхности клеточной мембраны, так и в цитоплазме. Информация о взаимодействии этих процессов может способствовать более глубокому пониманию механизмов регуляции, которые присутствуют в динамике клеток.
