Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ обратных задач прочности тонкостенных конструкций и методов их решений 15
1.1. Общая постановка задачи 15
1.2. Обзор класса обратных задач
1.2.1. Общая характеристика обратных задач 16
1.2.2. Обратные задачи прочности тонкостенных конструкций 18
1.2.3. Обратные задачи прочности летательных аппаратов 20
1.3. Обзор методов решения обратных задач 21
1.3.1. Метод наименьших квадратов Гаусса 21
1.3.2. Метод псевдообратной матрицы Мура-Пенроуза 23
1.3.3. Метод регуляризации Тихонова 25
1.3.4. Метод опіимальнои фильтрации Калмана-Бьюси 27
1.3.5. Метод опіимальнои линейной филырации Винера
1.4. О пользе сопряженных систем 34
1.5. Выводы главы 1 39
Глава 2. Математическая модель задачи восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций 40
2.1. Общая характеристика подхода 40
2.2. Математическая модель Ю.Г. Одинокова 43
2.3. Математическая постановка задачи 48
2.4. Уравнения сопряженного состояния
2.4.1. Вывод формул для вычисления элементов матрицы С , ,--.
2.4.2. Вывод формул для вычисления элементов матрицы [A j-) --,
2.4.3. Вывод формул для вычисления производных
2.4.4. Вывод формул для вычисления производных
2.4.5. Алгоритм вычисления элементов матрицы
2.5. Вычисление градиентов целевого функционала 63
2.5.1. Вывод формул для вычисления элементов матрицы С а 5
2.5.2. Вывод формул для вычисления элементов матрицы
2.5.3. Вывод формул для вычисления ірадиентов
2.5.4. Вывод формул для вычисления градиентов
2.6. Алгоритм решения задачи 73
2.2. Выбор начального приближения параметров 77
Выводы главы 2 78
Глава 3. Экспериментальные исследования разработанной методики решения задачи восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций 79
3.1. Обзор компьютерных систем для математических и инженерных расче гов 79
3.2. Восстановление модулей упругости ребер квадратного кессона с осевым нагружением на противоположные ребра 85
3.3. Восстановление модулей сдвига панелей обшивки четырехпоясного квадратного кессона, нагруженного крутящим моментом 92
3.4. Восстановление модулей упругости ребер слабоконического кессона, нагруженного изгибающей силой 98
Выводы главы 3 103
Заключение 104
Список литературы
- Обратные задачи прочности тонкостенных конструкций
- Метод опіимальнои линейной филырации Винера
- Уравнения сопряженного состояния
- Восстановление модулей сдвига панелей обшивки четырехпоясного квадратного кессона, нагруженного крутящим моментом
Введение к работе
Актуальность проблемы. В области прочности летательных аппаратов в настоящее время по-прежнему остаются актуальными вопросы, связанные с определением диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций. Эти диаграммы могут быть известны, но получены в результате испытания образцов на простые виды нагрузок. Прочностные же свойства материалов элементов реальных тонкостенных конструкций могут отличаться от свойств образцов, вследствие того, что элементы реальных тонкостенных конструкций как с точки зрения закрепления, так и нагружения, работают в более сложных условиях. Кроме того, имеющиеся диаграммы могут быть несколько «идеализированными» (без упрочнения, с линейным упрочнением и
ДР-)-
Таким образом,. возникает вопрос о разработке методики построения диаграмм деформироваїшя не для образцов, а для элементов реальных авиаконструкций.
Указанная задача относится к классу обратных задач. Одним из эффективных методов решения обратных задач является градиентный метод с привлечением уравнений сопряженного состояния.
Цель работы. Целью данной работы является разработка расчетно-экспериментального метода, алгоритмов и программного обеспечения для анализа свойств и оценивания состояния тонкостенных каркасированных конструкций.
Задачи работы. 1. Разработка алгоритма решения обратных задач прочности тонкостенных конструкций в экстремальной постановке.
Разработка программного обеспечения в специализированных системах компьютерной математики для решения обратных задач прочности тонкостенных конструкций.
Апробация разработанных алгоритма и программного обеспечения при решении прикладных задач с реальными исходными данными.
Методы исследования. При выполнении разработки применены: математическая теория вариационного исчисления, метод наименьших
2 квадратов, метод неопределенных множителей Лагранжа, градиентный метод для минимизации функционала качества, метод интегрирующих матриц для численного решения системы дифференциальных уравнений, метод редукционных коэффициентов В.Н. Беляева для решения прямых задач прочности в нелинейной постановке. В качестве математической модели была выбрана система дифференциальных уравнений равновесия тонкостенной конструкции типа крыла, фюзеляжа Ю.Г. Одинокова.
Научная новизна. Развитие экстремальных методов решения обратных задач прочности тонкостенных конструкций. Создание алгоритмов и программного обеспечения для решения задачи восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций с различным видом нагружения.
Положения, выносимые на защиту. В диссертации выносятся на защиту следующие основные положения:
Метод и алгоритм решения задачи восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций в экстремальной постановке.
Функционал цели, обеспечивающий минимум квадрата невязки осевых деформаций (теоретических и экспериментальных), а также выполнение условия равновесия каждого ребра и прилегающих к нему панелей обшивки.
Применение вспомогательной системы линейных уравнений, сопряженной к исходным нелинейным уравнениям равновесия, упрощающее поиск градиента целевого функционала.
Использование различных компьютерных систем для решения поставленной задачи.
Практическая ценность. Предлагаемая методика может быть использована для уточнения физико-механических параметров конструкции по данным натурного прочностного эксперимента. Для решения задачи создано программное обеспечение в специализированных системах компьютерной математики: Matlab, Mathcad. На его базе может быть создан комплекс
программ для восстановления диаграмм деформирования материалов элементов тонкостенных конструкций.
Апробация работы. Основные пункты диссертационной работы докладывались на IX Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (Нижний Новгород, 2006 г.), в КГТУ им. А.Н. Туполева на XIII и XIV Туполевских чтениях (Казань, 2005 и 2006 г.г.), в НГТУ на VII Всероссийской научно-технической конференции (Новосибирск, 2006 г.), на VIII Королевских чтениях (Самара, 2005 г.).
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 6 научных работ, в том числе 2 статьи и 4 тезиса докладов.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложений, списка литературы. Материал изложен на 150 страницах, включая 5 таблиц, 20 рисунков и список литературы из 103 наименований.
Обратные задачи прочности тонкостенных конструкций
При моделировании задач прочности ЛА, можно выделить три класса решаемых задач [47]. Обозначим их. Процессы деформирования, происходящие с некоторой конструкцией, в общем виде можно описать следующим образом: LV=Q, (1.2.3.1) где Q - пространство элементов q, представляющих собой нагрузку в самом общем смысле; V — пространство элементов v, представляющие собой перемещения и деформации конструкции, т.е. параметров, определяющих напряженно-деформированное состояние (НДС) конструкции;
L - оператор, переводящий одно пространство параметров в другое; представляет собой, по сути, математическую модель конструкции, которая включает в себя параметры физико-механических характеристик: модули упругости, сдвига, коэффициенты Пуассона, жесткости на изгиб и кручение, размеры конструктивных элементов и т.д.
Каждая из трех величин L, V, Q может входить в уравнение (1.2.3.1) как в качестве величины известной, так и определяться из него. При этом имеется в виду, что любые две из трех величин известны, определению подлежит лишь одна из трех. В связи с этим мыслимы три варианта постановок задач прочности:
1. Известна нагрузка Q и параметры конструкции L. Необходимо определить параметры НДС конструкции V. Задача относится к классу прямых задач.
2. Известна нагрузка Q и известно, например, из эксперимента, НДС конструкции V. Задача состоит в определении (уточнении) параметров L, характеризующих конструкцию. Данная задача относится к классу обратных. 3. Известны параметры конструкции L и известно НДС конструкции V. Необходимо найти нагрузку Q, которая и определяет заданное НДС конструкции. Эта задача также является обратной.
Обратные задачи прочности можно рассматривать как задачи управления. Например, задача об определении жесткостей балки по известным нескольким первым формам и частотам поперечных колебаний может быть решена как задача управления. Изменяя определенным образом величины жесткостей по длине балки, мы соответственно влияем на формы и частоты ее колебаний. Необходимо подобрать такое распределение жесткостей конструкции, которое лучше всего, в пределах определенного допуска, соответствовало бы заданным формам и частотам колебаний. Эта и другие обратные задачи прочности могут рассматриваться как задачи управления, причем управления напряженно-деформированным состоянием конструкции.
Изложим на примере решения СЛАУ метод наименьших квадратов (МНК) Гаусса. Рассмотрим систему т линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) относительно п неизвестных, причем т п и rang(v4]/) rang(v4), т.е. переопределенную СЛАУ: Ау=/, (1.3.1.1) где А - матрица тхп, у - искомый вектор-столбец их 1,/- заданная правая часть, вектор-столбец тх 1. Такая СЛАУ не имеет решения, т.е. нет такого у, для которого справедливо \\Ау-/\\ = 0, (1.3.1.2) т.е. невязка равна нулю. В МНК Гаусса вместо (1.3 Л .2) вводится условие Ду-/ = тіп. (1.3.1.3) Определение. Псевдорешением СЛАУ (1.3.1.1) называется решение у, удовлетворяющее условию (1.3.1.3), т.е. минимизирующее невязку \Ау - /. Таким образом, в МНК условие равенства нулю невязки заменяется на условие ее минимума, а вместо точного решения у рассматривается псевдорешение у. Заметим, что если \Ау-/ = 0, то псевдорешение у совпадает с точным решением у, т.е. псевдорешение обобщает понятие точного решения.
Метод опіимальнои линейной филырации Винера
Будем предполагать, что продольные силовые элементы с присоединенной обшивкой работают на нормальные напряжения при нелинейной зависимости между напряжениями и деформациями, которая представляется в следующем виде: ст,= -Л Е К.-М , (2.3.1) где Kt - константа, характеризующая упругие свойства материала при работе на растяжение-сжатие (модуль упругости I рода); a = (al,a2,---,OLn) - вектор управляющих параметров, задающий семейство зависимостей Е от/ , а є IIа — допустимое множество.
Для обшивки также примем нелинейную зависимость между напряжениями и деформациями x,=Gry„ G, = ,-у;\ G = (GvG2,...,Gm), G = G(f,$). Здесь К, - константа, характеризующая упругие свойства материала при работе на сдвиг (модуль упругости II рода);р = (р,,Р2,...,рш) - вектор управляющих параметров, задающий семейство зависимостей G от f, Р є t/p - допустимое множество, m - количество панелей обшивки в сечении.
Предполагаем, что при малом усилии материал не деформируется, т.е. ведет себя как абсолютно твердое тело. Формулы (2.3.1) и (2.3.2) справедливы, когда //= 0 и у; 0 . На параметры аир накладываются ограничения, исходя из реального хода диаграмм деформирования материалов в осях а-є и т-у. Функционал цели Да, р, j), минимум которого необходимо достичь за счет выбора управляющих параметров а и Р, зададим в виде: j(a,p,/) = i j(/;-./;)Vz + \q\dz, (2.3.3) 1 k=\ 0 A = l о где rk = const 0 - параметры штрафа; Чк =Fk\Ek{fk\fi) +K,Gk -Kk+lGk+]+Pk; JG = сДр\/)- семейство зависимостей модуля сдвига от управляющих параметров и экспериментально найденных перемещений; Здесь величины fL и их производные, помеченные волной, предполагаются известными из эксперимента, т.е. заданными величинами при минимизации функционала цели.
Функционал цели, минимум которого необходимо достичь за счет выбора управляющих параметров, обеспечивает минимум квадрата невязки осевых деформаций (теоретических и экспериментальных), а также выполнение условия равновесия каждого ребра и прилегающих к нему панелей обшивки.
В качестве уравнений состояния возьмем уравнения Ю.Г. Одинокова. Математическая модель, описывающая поведение тонкостенной каркасированной оболочки под влиянием произвольной внешней нагрузки имеет вид: -(C(a,/ )) + (p,/)=0, 0 z l; С(а,/)=/ /, z = /; (2.3.4) / = 0, z = 0.
Здесь / = (/],/2,—»/и) _ вектор перемещений продольных силовых элементов (стрингеров, полок лонжеронов), /7 - количество продольных силовых элементов, С(а./ ) - вектор-функция от z с координатами по контуру оболочки: C(a,/),- = ), (ex //)//, f/= L. dz A($f) — вектор-функция от z с координатами по контуру оболочки: 4(з,Л=Е%(Р,/)-Л+ (Э,/); к=\ aik - коэффициент, характеризующий работу обшивки на сдвиг; d = (dl,d2,...,dr!) - вектор внешних сил. Итак, задачу оптимального управления для нашего случая формулируем следующим образом: Дано: 1) геометрия конструкции, прочностные характеристики материалов ребер жесткости и панелей обшивки; 2) внешняя нагрузка, прикладываемая к конструкции; 3) перемещения и деформации ребер, полученные в ходе эксперимента. Требуется минимизировать функционал J(a ,f) = \±j{fl-f:Jdz + \±rklgk2dz - JJ min к=\ о 1 =1 о при условии, что а, р, { удовлетворяют уравнениям состояния: -(С(а,Я) +Л(р,/) = 0, 0 z /; C(a,f )-P = 0, z = l; / = 0, z = 0. 2.4 Уравнения сопряженного состояния Поставленную задачу условной минимизации можно решить с помощью метода неопределенных множителей Лагранжа [14] с последующим применением необходимых условий стационарности. Составим функцию (функционал) Лагранжа: / 4Л х,рд)=./(Ла,р)+ Ц(с(./ )Д )+(4/)Д)+( Д)] -( д._/ , о где X = X(z) = (X](z),X2(z),...,Xr!(z)) - вектор множителей Лагранжа. Исходная задача минимизации эквивалентна (сводится к) задаче разыскания стационарного значения функции Лагранжа. Введем в рассмотрение оператор А , сопряженный к А, тогда уравнения сопряженного состояния примут вид: - (Cf, X z) + (A f J + F = 0, О z I; С;,А/:+ф = 0, z = /; X = О, z = 0. где C f - диагональная матрица с г-м диагональным элементом, равным: (C )/=Jp;.-l /) + //J; A f — матрица с (JJ)-M элементом, равным
Уравнения сопряженного состояния
Среди разработчиков программных продуктов под Windows в России особой популярностью пользуется среда быстрой разработки приложений Delphi. Эта популярность завоевана прежде всего ее простотой, легкостью в изучении и использовании. Delphi предоставляет программисту широкие возможности создания интерфейса пользователя, а также большой набор стандартных компонентов, с помощью которых можно создавать приложения достаточно высокого уровня сложности. Однако, следует отметить некоторую ограниченность Delphi для создания приложений, где необходимы математические расчеты, связанные, например, с вычислением обратной матрицы, решением систем линейных алгебраических, систем дифференциальных уравнений и т.д. Это связано с тем, что Delphi не имеет встроенных функций для решения перечисленных и многих других задач. Поэтому, используя Delphi, можно быстро построить сложный и красивый интерфейс, однако при этом можно много времени потратить на написание и отладку модулей, выполняющих непосредственно расчеты. В настоящее время существует большое количество специализированных программных комплексов для автоматизации математических и инженерно-технических расчетов.
В нашем случае для разработки более эффективно использование специализированных систем, таких как Mathcad, MatLab, Mathematica, Maple, MuPAD, Derive и др.
Особое место в этом ряду занимает Mathcad, являющийся интегрированной системой решения математических, инженерно-технических и научных задач. Он имеет огромный набор функций. Предельно прост в освоении, даже для людей, далеких от программирования. Это связано с тем, что проведение расчетов в среде MathCad не требует написания программы в общепринятом смысле. Требуется лишь определить необходимые переменные, их граничные значения и далее - формулы для расчетов. Причем эти формулы в документе MathCad выглядят в привычном для математика или инженера виде.
Mathcad содержит текстовый и формульный редактор, вычислитель, средства научной и деловой графики, а также огромную базу справочной информации, как математической, так и инженерной, оформленной в виде встроенного в Mathcad справочника, справочной системы, основанной на технологии Mathcad Calculation Server, комплекта электронных книг и обычных «бумажных» книг, в том числе и на русском языке (см. http://\vw\v.exDonenta.ru/son/Mathcad/mathcad book.asp4). Текстовый редактор служит для ввода и редактирования текстов. Тексты являются комментариями, и входящие в них математические выражения не выполняются. Текст может состоять из слов, математических символов, выражений и формул. Формульный процессор обеспечивает естественный «многоэтажный» набор формул в привычной математической нотации (деление, умножение, квадратный корень, интеграл, сумма и т.д.). Последняя версия Mathcad полностью поддерживает буквы кириллицы в комментариях, формулах и на графиках.
Вычислитель обеспечивает вычисление по сложным математическим формулам, имеет большой набор встроенных математических функций, позволяет вычислять ряды, суммы, произведения, интегралы, производные, работать с комплексными числами, решать линейные и нелинейные уравнения, а также дифференциальные уравнения и системы, проводить минимизацию и максимизацию функций, выполнять векторные и матричные операции, статистический анализ и т.д. Можно легко менять разрядность и базу чисел (двоичная, восьмеричная, десятеричная и шестнадцатеричная), а также погрешность итерационных методов. Автоматически ведётся контроль размерностей и пересчёт в разных системах измерения (СИ, СГС, англо-американская, а также пользовательская).
В Mathcad встроены средства символьной математики, позволяющие решать задачи через компьютерные аналитические преобразования.
Графический процессор служит для создания графиков и диаграмм. Он сочетает простоту общения с пользователем с большими возможностями средств деловой и научной графики. Графика ориентирована на решение типичных математических задач. Возможно быстрое изменение вида и размера графиков, наложение на них текстовых надписей и перемещение их в любое место документа.
Mathcad является универсальной системой, т.е. может использоваться в любой области науки и техники — везде, где применяются математические методы. Запись команд в системе Mathcad па языке, очень близком к стандартному языку математических расчётов, упрощает постановку и решение задач.
Восстановление модулей сдвига панелей обшивки четырехпоясного квадратного кессона, нагруженного крутящим моментом
Пусть имеется слабоконический кессон, один конец которого жестко закреплен, а к другому приложена поперечная нагрузка Оу = 2697 Н (рис. 3.4.1). Продольный набор кессона выполнен из прессованных профилей марки Д16Т: лонжероны - ПР101-41, стрингеры - ПР100-4, обшивка - из листа Д16Т толщиной 2 мм. Ребра жесткости пронумерованы от 0 до 13 по часовой стрелке. Номера некоторых ребер указаны на рисунке жирным шрифтом. Ребра 0, 6, 7, 13 являются лонжеронами, остальные стрингерами. Габаритные размеры кессона на рисунке указаны в миллиметрах.
Пусть имеются экспериментальные значения деформаций и перемещений ребер, полученные для определенного уровня изгибающей силы. Требуется восстановить истинные значения модулей упругости материала ребер данного кессона.
Численно была решена прямая задача, где для материала ребер задавалась диаграмма деформирования с несколько заниженным (на 10%) модулем упругости и пределом пропорциональности, т.е., имитировалась потеря прочности материала. При решении прямой задачи задавались диаграммы деформирования следующего вида (рис. 3.4.2 а, б).
В результате решения прямой задачи были получены деформации и перемещения конструкции, значения которых в сечении 2 практически совпадают с данными эксперимента [58]. Эти значения нами были использованы в качестве исходных данных (результат эксперимента) при решении обратной задачи. Начальное приближение параметра а подбиралось по обычной, взятой из справочника диаграмме деформирования материала. а, кг/кв.см т, кг/кв.см
Решая обратную задачу для данной конструкции, мы столкнулись с тем, что градиентный метод обеспечивал очень плохую сходимость: функционал цели не опускался ниже 10 . Мы связываем данный факт с «овражистостью» функционала цели. Поэтому пришлось усложнить алгоритмы, вводя антиовражные приемы. Таким образом, проведя 36 итераций, нам удалось снизить функционал цели до 4,58-10 8. Алгоритм «антиовражного» метода приведен в приложении П.З. Результаты решения для ребер 1 (сжатая зона) и 13 (растянутая зона) приведены в таблице 3.4.1 и нарис. 3.4.3 и 3.4.4.
В приведенной таблице сечение 0 соответствует закрепленному концу кессона, сечение 10 — свободному. Экспериментальные деформации, рассчитаны при решении прямой задачи; деформации теоретические и параметр a - обратной. По таблице построены соответствующие диаграммы (рис. 3.4.3, 3.4.4). Таблица 3.4.1 Восстановленные значения теоретических деформаций и параметра а для ребер 1 и Номер сечения Деформации Параметр а экспериментальные теоретические ребро 1 ребро 13 ребро 1 ребро 13 ребро 1 ребро 13
Пунктирными линиями указаны диаграммы, заложенные при решении прямой задачи, сплошными - полученные в результате решения обратной. На обоих рисунках обе линии достаточно близки, что доказывает работоспособность описанной методики.
Проведен анализ различных компьютерных систем для математических и инженерных расчетов. На его основе был сделан выбор в пользу двух систем: Mathcad и Matlab. Основное преимущество Mathcad в том, что запись команд в системе Mathcad на языке, очень близком к стандартному языку математических расчётов, упрощает постановку и решение задач. Однако для организации сложных алгоритмов следует отдать предпочтение системе Matlab, которая является высокоэффективным средством для решения широкого спектра вычислительных задач и моделирования сложных процессов. В системе Mathcad была решена задача восстановления модулей упругости ребер квадратного кессона с осевой нагрузкой на два противоположных ребра и задача восстановление модулей сдвига панелей обшивки четырехпоясного квадратного кессона, нагруженного крутящим моментом. В обоих случаях погрешность решения - одного порядка с погрешностью исходных данных. В системе Matlab была решена задача восстановления модулей упругости ребер слабоконического кессона, нагруженного изгибающей силой. В данном случае градиентный метод давал медленную сходимость и пришлось реализовать эвристический овражный метод.
