Явления переноса в полупроводниковых пленках Кулиев Бахшали Имамкули оглы

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. РЕШЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ПЛЕНКАХ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИЗОТРОПНЫМ ЗАКОНОМ ДИСПЕРСИИ 18

1.1. Кинетическое уравнение и граничные условия 30

1.2. Решение кинетического уравнения в пленках с различными поверхностями.. 34

1.3. Общий вид тензоров проводимости 39

ГЛАВА II. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЖОСА В ПЛЕНКАХ С ПАРАБОЛИЧЕСКИМ ЗАКОНОМ ДИСПЕРСИИ 46

2.1. Кинетические эффекты в толстых пленках в слабом магнитном поле 48

2.2. Кинетические эффекты в пленках в сильном магнитном поле 53

2.3. Тонкие пленки в слабом магнитном поле... 56

2.4. Зондгеймеровские осцилляции кинетических эффектов 62

2.5. Гальвано- и термомагнитные явления в тонких в пленках с шероховатыми поверхностями 74

2.6. Термомагнитные эффекты в размерно кванто ванной пленке 81

ГЛАВА III. ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА В ПЛЕНКАХ С ИЗОТРОПНОЙ ЗОНОЙ... 88

3.1. Отрицательное магнитосопротивление в пленках с произвольным изотропным законом дисперсии и при полном вырождении электронного газа . 90

3.2. Кинетические эффекты в толстых пленках с кейновским законом дисперсии.. 101

3,3. Кинетические эффекты в пленках с кейновским законом дисперсии в сильном магнитном поле.. 106

3.4, Кинетические эффекты в тонких пленках с кейновским законом дисперсии в слабом магнитном поле

3.5. Влияние размерного квантования на кинетические эффекты в пленках с кейновским

законом дисперсии 115

3.6. Обсуждение результатов и сравнение с экспериментом. 122

ГЛАВА ІV.ЯВЛЕНИЯ ПЕРЖОСА В ПЛЕНКАХ С АНИЗОТРОПНЫМ ЗАКОНОМ ДИСПЕРСИИ. 127

4.1. Решение кинетического уравнения в приближении тензора времени релаксации 129

4.2. Кинетические эффекты в пленках УІ-51 134

4.3. Влияние шероховатости поверхности на кинетические эффекты в пленках 139

ГЛАВА V. ВЛИЯНИЕ ИЗГИБА ЗОН НА РАЗМЕРНЫЕ ЭФФЕКТЫ В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ПЛЕНКАХ 149

5.1. Общий вид кинетических тензоров в пленках с изгибом зон 151

5.2. Кинетические эффекты в пленках с вырожденным электронным газом при изгибе вверх 155

5.3. Проводимость пленок с невырожденным электронным газом с изгибом вверх 159

5.4. Влияние изгиба зон на размерные эффекты в пленках пп-Ьі . 162

ГЛАВА. VI. УВЛЕЧЕНИЕ ЭЛЕКТРОНОВ ФОНОНАМ В ПОЛУПРОВОДНИКО ВЫХ ПЛЕНКАХ 169

6.1. Учет неравновесности фононов 171

6.2. Термомагнитный тензор увлечения 177

6.3. Термомагнитные эффекты увлечения в пределе толстых пленок 180

6.4. Термомагнитные эффекты в тонких пленках в слабом магнитном поле. 185

6.5. Случай средних толщин. Сравнение с экспериментом. 188

ВЫВОДЫ 195

ЛИТЕРАТУРА 203

• Кинетическое уравнение и граничные условия
• Кинетические эффекты в толстых пленках в слабом магнитном поле
• Отрицательное магнитосопротивление в пленках с произвольным изотропным законом дисперсии и при полном вырождении электронного газа
• Решение кинетического уравнения в приближении тензора времени релаксации
• Общий вид кинетических тензоров в пленках с изгибом зон

Введение к работе

Актуальность темы: В настоящее время физика тонких пленок и двумерных систем занимает одно из ведущих мест в физики твердого тела. Ограниченные образцы находят широкое применение в технике в связи с требованием микроминиатюризации приборов на основе полупроводников и других материалов.

Интенсивное исследование проводящих пленок и двумерных систем связано не только требованиями техники, а также представляет самостоятельный научный интерес. В таких образцах наблюдаются принципиально новые физические явления, не имеющие место в массивных образцах, исследование которых дает ценную информацию о зонных параметрах, о механизме взаимодействия элементарных возбуждений, о процессе релаксации в объеме и на поверхности и т.д. Более того, исследование тонких пленок, выявляя в них новые явления, а также широкий диапозон изменения рабочих параметров, открывает еще больше перспектив для их технического применения. Следовательно, в условиях размерных эффектов имеется возможность управлять свойствами полупроводников в более широком диапозоне.

Исследование электронных явлений переноса в полупроводниковых пленках в этом отношении занимает особое место. Они являются удобными объектами для наблюдения размерных эффектов и в первую очередь квантовых, для реализации которых требуется малая эффективная масса и низкая концентрация носителей тока. Эти условия могут быть выполнены именно в полупроводниках типа соединений АВ , халькогениды свинца и др.

К настоящему времени достигнута реальная возможность получения тонких однородных полупроводниковых пленок и в связи с этим проводятся интенсивные экспериментальные исследования электронных явлений переноса в них. Наблюдаются такие явления, объяснение которых не укладывается в рамках существующей теории, которая развивалась, в основном, в предположении массивного образца, или же, на основе модельных представлений, не учитывающих конкретную структуру энергетических зон, характера объемного и поверхностного рассеяния, различные внешние условия и т.д. Это,в свою очередь,затрудняет интерпретации имеющихся экспериментальных результатов и пониманию ряда явлений, наблюдаемых в пленках полупроводников.

Поэтому электронную теорию явлений переноса следует развивать при произвольном соотношении между размером образца и другими параметрами движения носителей тока (длина свободного пробега по импульсу, радиус циклотронной орбиты, длина волны де - Бройля носителей тока и др.), когда размерные эффекты становятся существенными иногда даже определяющими. При этом особенно следует обратить внимание на следующие направления, нуждающиеся в более подробной разработке: учет нестандартности зоны проводимости, учет энергетической зависимости и возможной анизотропии времени объемной релаксации, учет поверхностных состояний, учет конкретного характера поверхностного рассеяния и учет неравновестности фононов (эффект увлечения электронов фононами). Диссертационная работа посвящена решению этих задач.

Цель работы. Выяснение влияния структуры энергетических зон, характера объемного и поверхностного рассеяния, изгиба зон и неравновесности фононов на электронные явления переноса в полупроводниках в условиях классического и квантового размерных эффектов.

Для достижения этой цели решались следующие задачи:

Построение теории электронных явлений переноса в тонких пленках с произвольным изотропным спектром при наличии магнитного поля, перпендикулярного поверхности, и электрического поля и градиента температуры в плоскости пленки.

Исследование влияния непараболичности зоны проводимости на кинетические эффекты в полупроводниковых пленках с кейновским законом дисперсии.

Решение кинетического уравнения в полупроводниковых пленках с анизотропным законом дисперсии с учетом анизотропии объемного рассеяния и выяснение влияния анизотропии на размерные эффекты.

Выявление роли изгиба зон на размерные эффекты.

Построение последовательной теории термомагнитных эффектов в полупроводниковых пленках с учетом эффекта фононного увлечения.

Учет конкретных поверхностных неоднородноетей при расчете кинетических эффектов.

Теория явлений переноса в размерно квантованной пленке.

Научная новизна работы заключается в следующем. Построена последовательная теория электронных явлений переноса в пленках с произвольным изотропным законом диспер- сш при наличии магнитного поля, перпендикулярного поверхности, и электрического поля и градиента температуры в плоскости пленки с учетом различия поверхностей. Предсказана возможность отрицательного магнитосопротивления в пленках с изотропной зоной при полном вырождении электронного газа. Установлена существенная концентрационная зависимость термомагнитных эффектов в пленках с кейновским законом дисперсии и, тем самым, возможный метод управления свойствами полупроводников с изменением концентрации.

Разработана теория явлений переноса в пленках с анизотропным спектром с учетом анизотропии объемного рассеяния и анализировано влияние анизотропии спектра и рассеяния на характер размерных эффектов. Показано, что анизотропия объемного рассеяния существенно меняет характер зондгеймеровских осцилляции кинетических коэффициентов. Также показано, что в анизотропных пленках в слабом магнитном поле возможен размерный эффект Холла, отсутствующий в изотропном случае.

Исследовано влияние изгиба зон на поверхностное рассеяние и установлено, что изгиб вверх уменьшает интенсивность поверхностного рассеяния.

Построена последовательная теория термомагнитных эффектов в плешсах с учетом увлечения электронов фононами и выявлено существенное влияние эффекта увлечения на толщинную и температурную зависимости термомагнитных эффектов.

Исследовано поведение кинетических коэффициентов в условиях размерного квантования и установлено, что термоэдс осциллирует о толщиной пленки.

Практическая ценность. Результаты, полученные в работе, могут быть использованы при интерпретации экспериментов по исследованию толщинной, концентрационной, температурной зависимостей, а также поведения в магнитном поле кинетических характеристик пленок таких полупроводников, как соединения а/, соединения халькогенидов свинца, германия, кремния и другие, имеющие как непараболическую, так и анизотропную зону проводимости. Такие исследования, совместно с экспериментом, с одной стороны, помогут уточнить ряд зонных парметров и характеристик взаимодействия элементарных возбуждений. С другой стороны,предсказанные новые явления открывают новые возможности управления рабочими параметрами приборов на основе полупроводников.

Основные защищаемые положения.

В пленках с изотропной зоной и при полном вырождении электронного газа магнитосопротивление отлично от нуля и в некоторой области толщин пленок оно отрицательно.

Коэффициент Нернста-Эттингсгаузена (НЭ) Q в пленках с кейновским законом дисперсии более существенно зависит от концентрации электронов проводимости: при рассеянии электронов в объеме на оптических фононах и ионах примеси Q с уменьшением концентрации уменьшается до нуля, меняя свой знак, становится отрицательным. Такое поведение Q может иметь место и с изменением толщины пленки.

3. Отношение термоэдс пленки с кейновским законом диспер сии к термоэдс массивного образца при рассеянии электронов на акустических фононах в объеме с ростом концентрации растет и в пределе сильной нестандартности такой рост становится более существенным.

В толстых пленках w- 5і в слабом магнитном поле в отличии от изотропных пленок размерная часть постоянной Холла отлична от нуля.

Изгиб зоны существенно меняет интенсивность поверхностного рассеяния в размерных эффектах и при сильных изгибах размерные эффекты вовсе отсутствуют.

Учет угловой и энергетической зависимости параметра зеркальности меняет толщинную и температурную зависимости размерных эффектов, а также в анизотропных пленках приводит к тому, что электроны отдельных долин, различным образом ориентированных относительно поверхности пленки, имеют разные параметры зеркальности.

Термоэдс пленки с кейновским законом дисперсии в условиях квантового размерного эффекта осциллирует с толщиной. При этом период и амплитуда осцилляции зависят от концентрации электронов, а также амплитуда осцилляции сильно растет при переходе к бесщелевому состоянию.

Учет эффекта фонного увлечения меняет температурную и толщинную зависимости термомагнитных коэффициентов: температурная зависимость термоэдс и эффекта НЭ становится немонотонной, а их толщинные зависимости более сильными, чем в отсутствии эффекта увлечения.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на И Всесоюзном совещании по теории полупроводников (Тбилиси, 1978), на Республиканском симпозиуме по физическим свойствам сложных полупроводников (Баку, 1978), на ІУ Республиканской межвузовской конференции по физике (Баку, 1978), на X Всесоюзном совещании по теории полупроводников (Новоси- .- II - бирск, 1980), на Всесоюзной конференции по физике полупроводников (Баку, 1982), на XI Всесоюзном совещании по теории полупроводников (Ужгород, 1983), на научных семинарах кафедры физики твердого тела АГУ им.С.М.Кирова, на семинарах теоретичес-отделов института физики АН Азерб.ССР.

Публикации: По содержанию диссертации опубликовано 27 работ.

Объем и структура диссертации: Диссертация состоит из введения, шести глав, выводов и списка цитируемой литературы, включающего 160 наименований. Она содержит 218 страниц машинописного текста, 15 рисунков.

В введении приводится обоснование актуальности темы,сформулированы решаемые в диссертации задачи и дана общая характеристика работы.

Первая глава посвящена анализу граничных условий и решению кинетического уравнения для электронов проводимости в пленках с различными поверхностями и произвольной сферически-симметричной зоной. Подробно исследованы граничные условия интегрального вида и приведены критерии, при которых можно использовать простые граничные условия Фукса с параметром зеркальности р . Получено общее решение кинетического уравнения для электронов в пленке с различными поверхностями, характеризуемыми параметрами зеркальностей р₄ и p_z , зависящими от энергии и угла падения к поверхности пленки при наличии магнитного поля, перпендикулярного поверхности, и электрического поля и градиента температуры в плоскости пленки. Найдены общие выражения тензоров проводимости, связывающих плотность тока и потока энергии с электрическим полем и градиентом тем- пературы.

Во второй главе изучаются размерные эффекты в пленках со стандартной зоной. Здесь рассмотрены различные предельные случаи по толщине пленки и величине магнитного поля при вычислении кинетических коэффициентов, анализируется влияние характера поверхностного рассеяния на зондгеймеровские осцилляции. Учтено влияние зависимости параметра зеркальности от угла падения и энергии электрона на явления переноса в пленках с шероховатыми поверхностями. Исследуется также роль размерного квантования в термомагнитных эффектах. При этом рассматриваются пленки как с вырожденным, так и с невырожденным электронным газом. Детально анализировано поведение кинетических коэффициентов в зависимости от толщины пленки и величины магнитного поля. Показано, что знак коэффициента Нернста-Эттингсгаузена как в сильных, так и в слабых магнитных полях, определяется не только объемным механизмом рассеяния, но и поверхностным рассеянием; в некоторой области толщин пленки, независимо от объемного механизма рассеяния, Q может стать отрицательным.

Выявлено что, в отличие от массивных образцов, коэффициент НЭ в тонких пленках не равен нулю, если даже время релаксации не зависит от энергии носителей тока. В пленках с невырожденным электронным газом изучено влияние поверхностного рассеяния на температурную зависимость кинетических коэффициентов, а также изучено влияние частичной зеркальности на зондгеймеровские осцилляции.

Исследовано поведение гальвано- и термомагнитных эффектов в пленках с шероховатыми поверхностями. Показано, что учет угловой и энергетической зависимостей параметра диффузности при- - ІЗ - водит к иной толщинной и температурной зависимостям кинетических коэффициентов.

Построена теория явлений переноса в полупроводниковых пленках в условиях размерного квантования при наличии магнитного поля, перпендикулярного поверхности, и градиента температуры в плоскости пленки. Получены выражения кинетических тензоров, исходя из метода кинетического уравнения, когда магнитное поле является неквантующим и в плоскости пленки движения электрона квазиклассическое и можно применять кинетическое уравнение Больцмана. Подробно анализированы толщинные зависимости термоэдс oL . Показано, что термоэдс о в магнитном поле является оспиллирующей функцией толщины пленки. Найден период этих осцилляции как функция концентрации электронного газа.

В третьей главе изложены результаты исследования электронных явлений переноса в полупроводниковых пленках с нестандартной зоной проводимости. На основе общих выражений, полученных в первой главе, для пленок с произвольной сферически-симметричной зоной получены выражения кинетических коэффициентов и анализировано влияние степени непараболичности на них в двухзонном приближении Кейна.

Установлено, что в пленках с изотропной зоной и полностью вырожденным электронным газом, в отличие от массивного образца, магнитосопротивление отлично от нуля и в зависимости от толщины пленки может стать отрицательным.

Показано, что учет нестандартности приводит к существенным изменениям кинетических эффектов и, в первую очередь, термомагнитных коэффициентов. Так, коэффициент Нернста-Эттинтсгау-зена с концентрацией может меняться вплоть до смены знака, а отношение термоэдс пленки к термоэдс массивного образца растет в несколько раз.

Исследовано влияние размерного квантования на кинетические эффекты в магнитном поле, перпендикулярном плоскости пленки. Получены общие выражения гальвано- и термомагнитных тензоров при произвольном значении неквантующего магнитного поля. Анализированы толщинные зависимости кинетических коэффициентов в различных ситуациях по величине магнитного поля и по вырождению.

Показано, что термоэдс пленки с вырожденным электронным газом в классически сильном магнитном поле осциллирует с толщиной пленки, подобно пленке со стандартной зоной. При этом период осцилляции определяется концентрацией носителей тока и не зависит от степени непараболичности, а амплитуда сильно растет по мере увеличения нестандартности зоны.

Проведено сравнение полученных результатов с имеющимися экспериментами на пленках халькогенидов свинца.

Четвертая глава посвящена исследованию классических размерных эффектов в полупроводниковых пленках с анизотропным многодолинным спектром. Построена теория кинетических эффектов с учетом анизотропии эффективных масс и объемного рассеяния. Получены общие выражения для кинетических тензоров в пленке с различными поверхностями, описываемыми параметрами зеркальности р₄ и Ь_г , зависящими от энергии и утла падения электрона на поверхности пленки. Объемное рассяение учтено в приближении тензора времени релаксации.

Изучено влияние анизотропии спектра и объемного рассеяния на характер решения кинетического уравнения. Предполагает- ся, что изоэнергетическая поверхность является эллипсоидальной. Показано, что при произвольной ориентации осей эллипсоида учет анизотропии объемного рассеяния существенно меняет характер осцилляции кинетических коэффициентов. Так например, в этом случае зондгеймеровские осцилляции кинетических коэффициентов начинаются с некоторого порогового значения магнитного поля, определяемого анизотропией времени релаксации.

Получены конкретные выражения кинетических тензоров для пленок n-3i . Анализированы поведения кинетических эффектов в зависимости от толщины пленки и величины магнитного поля. Показано, что учет анизотропия спектра и рассеяния по-разному проявляется на размерных и объемных частях эффектов, что может быть использовано для определения анизотропии времени релаксации.Установлено, что в области слабых магнитных полей и в пределе толстых пленок размерная часть постоянной Холла отлична от нуля, тогда как в пленке с изотропным спектром и рассеянием она равна нулю.

Решено кинетическое уравнение в анизотропных пленках с учетом шероховатости поверхности и исследовано влияние угловой и энергетической зависимостей параметра диффузности на кинетические эффекты на примере пленок п- Ы . Показано, что электроны разных долин, различным образом ориентированных по отношению к поверхности пленки, обладают разными параметрами зеркальности, т. е. характер рассеяния на поверхностных дефектах зависит от ориентации осей эллипсоидов.

В пятой главе исследовано влияние изгиба зон на интенсивность поверхностного рассеяния в пленках с параболическим изотропным спектром, а также в пленках электронного кремния с учетом анизотропии объемного рассеяния. Получены общие выражения кинетических тензоров при произвольном изгибе зон. Проведен анализ влияния изгиба на роль поверхностного рассеяния в кинетических эффектах и показано, что при произвольных предположениях относительно величины и характера изгиба можно оценить его влияние на поверхностное рассеяние. Так, при изгибе вверх интенсивность поверхностного рассеяния уменьшается, а при изгибе вниз она увеличивается.

Получены конкретные выражения кинетических эффектов в пленках с определенной зависимостью поверхностного потенциала от координат. Установлено, что в пленках с вырожденным электронным газом учет изгиба вверх приводит к перенормировке параметра диффузности ив зависимости от величины изгиба на поверхности пленки параметр диффузности заметно меняется, а именно, с ростом величины изгиба параметр диффузности уменьшается и при сильных изгибах, порядка энергии Ферми, он обращается в нуль.

Показано, что изгиб зон влияет и на толщинные зависимости кинетических эффектов. Например, в тонких пленках изгиб вверх приводит к тому, что проводимость от толщины зависит линейно, тогда как без изгиба эта зависимость имеет вид C^-d гпА.

Исследовано влияние изгиба зон на размерные эффекты в пленках с анизотропным спектром. Для пленок vl- 5 і получены общие выражения кинетических коэффициентов при произвольном значении магнитного поля, перпендикулярного поверхности.

В последней, шестой главе излагаются результаты исследования влияния эффекта фононного увлечения на размерные эффекты в пленках. Здесь приводится решение кинетического уравнения электронов и фононов с учетом электрон-фононного увлечения в пленках со стандартной зоной при произвольной толщине пленки и произвольном значении магнитного поля.

Найдены общие выражения термомагнитного тензора в предположении различия поверхностей пленки как по отношению электронного рассеяния, так и по отношению рассеяния фононов. Рассмотрены различные пределы по толщине пленки относительно электронной и фононной длины свободного пробега и по величине магнитного поля.

Проведен анализ зависимости термомагнитных эффектов увлечения от толщины пленки, температуры и магнитного поля. Показано, что температурная и толщинная зависимости термоэдс и коэффициента Нернста-Эттигсгаузена пленки отличаются от соответствующих зависимостей в массивном образце: термоэдс увлечения с температурой меняется немонотонно, при некоторой температуре термоэдс имеет максимум. Коэффициент Нернста-Эттингсгаузена также с температурой меняется немонотонно и при этом дважды меняет свой знак.

Проведено сравнение температурной зависимости термоэдс с экспериментом, проведенным на невырожденных пленках германия.

Исследование толщинной зависимости термомагнитных эффектов показало, что учет увлечения электронов фононами приводит к более сильным зависимостям от толщины, чем без учета эффекта фононного увлечения. Также выявлено, что в формировании эффектов увлечения в пленках основным является рассеяние фононов на поверхности.

В конце диссертации приводятся основные выводы работы.

Г Л А В A I.

РЕШЕНИЕ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИИ В ПЛЕНКАХ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ИЗОТРОПНЫМ ЗАКОНОМ ДИСПЕРСИИ.

Физика поверхности и связанные с ней эффекты являются одной из актуальных проблем физики твердого тела. Наличие поверхности играет существенную роль особенно в образцах ограниченных размеров и, в первую очередь, в тонких пленках. Широкое применение тонких пленок в современной технике, а также наблюдение новых физических эффектов, связанных с ограниченностью размера образца в последние годы привели к их интенсивному исследованию [I-9J .

Область применения тонкопленочных полупроводниковых приборов и интегральных схем весьма обширна. В частности, они используются в микроэлектронике, радиотехнике, вычислительное технике, а также в качестве активных и пассивных элементов микросхем, элементов магнитной памяти ЭВМ, датчиков магнитного поля и др.

Тонкие пленки находят также большие применения как светофильтры в ультрафиолетовой области [ioj , лавинные диоды, свето-диоды и другие СВЧ приборы [ II] .

Возросший интерес к исследованию тонких пленок вызван не только техническим спросом, предъявляющим требования компактности приборов на основе полупроводников. В пленках наблюдаются качественно новые физические явления, отсутствующие в массивных образцах, такие как осцилляции кинетических коэффициентов, аномальный скин-эффект и др. Исследование этих явлений может дать дополнительные сведения об основных физических свойствах крис- талла: о структуре энергетической зоны, о механизмах объемного и поверхностного рассеяния носителей тока и т.д.

Исследование различных физических явлений в тонких пленках, выявляя новые их свойства, открывает еще больше перспектив для их применения в современном приборостроении. В этом отношении большой интерес представляют электронные явления переноса в полупроводниковых пленках и к настоящему времени исследование кинетических эффектов в ограниченных образцах занимает одно из основных мест в физике твердого тела.

Понятие "тонкая пленка" означает, что ее толщина сравнима с параметрами размерности длины, характеризующие движение носителей тока в данном материале. В зависимости от того с каким параметром сравнивается толщина пленки, наблюдается тот или иной размерный эффект. Однако по характеру явления, возникающие вследствие ограниченности размера образца, их можно разделить на две группы: классические и квантовые размерные эффекты.Классические размерные эффекты наблюдаются в образцах,в которых хотя бы один из размеров становится соизмерим с такими параметрами,как длина свободного пробега по импульсу, длина остывания, длина по междолинному рассеянию и т.д. Квантовые размерные эффекты проявляются в очень тонких пленках, когда ее толщина становится порядка и меньше длины де-бройлевской волны носителей заряда [12,13,9J .

Квантовые размерные эффекты могут наблюдаться также в тонких проволоках и даже в массивном полупроводнике при сильном изгибе зон. При этом у поверхности образца может образоваться глубокая потенциальная яма с шириной порядка длины де-бройлевской волны и движение заряда в такой яме, подобно в тонкой пленке, будет частично квантованным [l4J .

В условиях, как классического, так и квантового размерных - 20 -эффектов, в ограниченных образцах наблюдается целый ряд новых явлений при изучении электронных явлений переноса. Поскольку данная диссертационная работа посвящена теоретическому исследованию электронных явлений переноса в полупроводниковых пленках, то для того, чтобы сформулировать решаемые в ней задачи, проследим за основными этапами развития теории кинетических эффектов в тонких пленках и отметим те моменты,которые нуждаются в дальнейшей разработке.

Отдельные вопросы физики тонких пленок и,в частности,теории кинетических эффектов отражены в обзорах и монографиях [1-9,15, I6,I7j. Первая работа по классическому размерному эффекту была опубликована И.Стоуном [18], которая показала,что удельное сопротивление металлических пластин больше,чем массивных образцов. Качественное объяснение этого эффекта было предложено Томсоном [l9J. Томсон предположил, что длина свободного пробега электронов проводимости ограничивается поверхностями пленки, вследствие чего эффективное сопротивление растет. Таким образом,когда толщина пленки становится меньше длины свободного пробега носителей тока,рассеяние последних на поверхностных неоднородностях стано-новится существенным и преобладает над объемным. Последовательная теория этого эффекта,основанная на решении кинетического уравнения Больцмана,была разработана Фуксом [ 20J для металлических пленок со сферической поверхностью Ферми и при постоянном времени релаксации. Рассеяние электронов на поверхности пленки при этом учитывалось с помощью граничных условий, налагаемых на функцию распределения. Эти граничные условия содержали единственный параметр -р - отражательную способность поверхности или параметр зеркальности поверхностей пленки.Значение параметра р =1 соответствовало зеркальному отражению электронов,а р =0 их диффузно- - 21 -му рассеянию поверхностью.Поэтому естественно Ь интерпретировать как вероятность зеркального отражения электронов от поверхности. Параметр р , при этом подбирается так, чтобы добиться лучшего согласия с экспериментом. Теория Фукса затем была обобщена на случай наличия магнитного поля, перпендикулярного поверхности, Зондгеймером [2IJ. Решая кинетическое уравнение Больцмана для пленок со сферической поверхностью Ферми и описывая поверхностное рассеяние парметром Фукса, он получил компактное выражение для тензора проводимости. Анализируя полученные выражения, Зондгеймер впервые показал,что проводимость тонких металлических пленок является периодической функцией параметра 6= ~ ,где oL -толщина пленки, Z_H - радиус циклотронной орбиты. Природа этих осцилляции была объяснена Чемберсом [б] на основе динамики движения электрона в пленке в магнитном поле, перпендикулярном поверхности.

Осцилляции Зондгеймера в пленках с произвольной формой поверхности Ферми подробно исследовались Гуревичем [22 J и впервые им была высказана идея использовать эти осцилляции для изучения формы поверхности Ферми. Экспериментально существование оспилля-ционных эффектов в пленках металлов было доказано в работах[23,24].

В дальнейшем теория Фукса была распространена и на случай присутствия градиента температуры. Так, в работе [25J была построена теория термомагнитных эффектов в тонких пленках и анализировано влияние поверхностного рассеяния на термомагнитные коэффициенты.Канер построил более общую теорию гальвано и термомагнитных эффектов при произвольном направлении магнитного поля в предположении о диффузном характере рассеяния на поверхности [26J . Он получил общие выражения кинетических тензоров и рассмотрел частные случаи по величине и направлению магнитного поля. Теории термоэлектрических и термомагнитных явлений посвящены также рабо- - 22 -ты [27-36J . В этих работах, в частности, исследовались осцилляции термомагнитных коэффициентов [32,35J . В отмеченных выше работах^ основном,рассматривались пленки с диффузно рассеивающими поверхностшли и две поверхности пленки считались одинаковыми. Однако технология получения тонких пленок такова, что трудно получить пленки с одинаковыми поверхностями. Лукас [37/учел различия поверхностей с помощью введения двух параметров зеркальностей Р_У, p_z и вычислил проводимость металлической пленки без магнитного поля. Учет различия поверхностей при вычислении гальвано- и тер-момагнитных эффектов,насколько нам известно, не проводился.

Таким образом, дальнейшее развитие теории Фукса должно учесть, как произвольный характер зеркальности, так и различия поверхностей пленки. Кроме того, в теории Фукса рассматривались пленки металла со сферической поферхностыо Ферми, в то время как известно, полупроводниковые материалы и другие проводники имеют сложную энергетическую зону. Разработка теории размерных эффектов с злетом конкретной структуры энергетических зон необходима еще и потому, что развитие экспериментальной техники дает возможность провести эксперименты на полупроводниковых пленках с конкретными зонными структурами и результаты таких экспериментов нуждаются в сравнении с теоретическими расчетами. Такие расчеты в пленках с анизотропным законом дисперсии были проведены в [38-43] . Подробная теория размерных эффектов в полупроводниковых и полуметаллических пленках с многодолинной зоной была развита в работе Горкун и Рашба [ 44]. Затем в работах Горкун и других [45-47J детально анализировано влияние анизотропии спектра и междолинного рассеяния на размерные эффекты. Подобная задача для полуметаллической пленки с многодолинным спектром рассматривалась также в работе [48J и для очень тонких пленок полупроводника в [49J. Такие полупроводники,как соединения А В^ и халькогениды свинца, имеют существенно непараболическую зону и интенсивно исследуются [15,50-60] , и анализ размерных эффектов в них должен проводиться с учетом непараболичности.Учет непарабо-личности в таких полупроводниках при вычислении кинетических коэффициентов поможет объяснить ряд аномальных поведений,наблюдаемых на пленках халькогенидов свинца. Так,в работах [51,52J были обнаружены значительные изменения термомагнитных коэффициентов с концентрацией электронов вырожденных пленках уі~ P&Se, . Коэффициент Нернста-Эттингсгаузена при этом менялся вплоть до смены знака, термоэдс увеличивалась в два-три раза.В работе [5з] проводились измерения кинетических коэффициентов в пленках П-Р&/& и обнаружены также ряд аномалий в температурной и толщинной зависимостях как гальваномагнитных, так и термомагнитных свойствах. Особенно следует отметить наблюдаемое на эксперименте отрицательное магнитосопротивление на одном из пяти исследуемых образцов. Как отмечено авторама, это явление пока не имеет объяснения.Отметим, что пленки этих полупроводников интенсивно исследуются экспериментально [54-59J .

Кроме нестандартности и анизотропии энергетического спектра в поведении кинетических эффектов в пленках определенную роль играют механизмы рассеяния в объеме полупроводника. Поэтому при разработке теории размерных эффектов необходимо учитывать и тот факт,что время релаксации в полупроводниках с изотропным законом дисперсии по-разному зависит от энергии для разных механизмов рассеяния, а также в случае анизотропного спектра следует учесть, что объемное рассеяние является анизотропным. Анизотропия рассеяния в массивных полупроводниках исследовалась в работах Са-мойловича с сотрудниками [6I-65J. В этих работах было показано, - 24 -что в общем случае объемное рассеяние может быть описано тензором времени релаксации. Так, в полупроводниках &е и О і в отсутствии магнитного поля рассеяние описывается диагональным тензором с двумя компонентами. В теории размерных эффектов объемное рассеяние учитывалось обычно введением постоянного скалярного времени релаксации.

Поверхность твердого тела играет не только роль возможного дополнительного механизма рассеяния, вызывая ограничения длины свободного пробега. Наличие поверхности приводит и к другим эффектам, связанным с существующими поверхностными состояниями.Эти состояния являются следствием, с одной стороны, обрыва периодичности потенциала решетки,и, с другой стороны, влияния окружающей среды.Таким образом, на поверхности могут накапливаться положительные или отрицательные заряды и вследствие этого в некотором слое под поверхностью образуется область пространственного заряда. Электростатическое поле,вызванное пространственным зарядом, приводит к изгибу дна зоны проводимости и потолка валентной зоны. Изгиб зон происходит на глубине порядка длины экранирования Дебая и определяется концентрацией носителей тока в объеме f 66] .

Из-за большой концентрации электронов проводимости в металлах происходит сильное экранирование и толщина слоя,где происходит изгиб зон, оказывается порядка межатомных расстояний.Поэтому металлическую пленку с хорошей степенью точности можно моделировать прямоугольной потенциальной ямой.В полупроводниковых пленках из-за малости концентрации носителей тока длина экранирования становится большой и поэтому возникает необходимость учета изгиба зон в этом случае.

Влияние изгиба зон на проводимость полубесконечного полупроводника впервые исследовалась Шриффером [67J. Решая кинетичес- - 25 -кое уравнение с учетом диффузного рассеяния на поверхности полупроводника со сферической зоной и при постоянном времени релаксации он получил выражение для поверхностной подвижности и показал, что изгиб зоны приводит к уменьшению подвижности. Затем Амит [б8] применил теорию Шриффера на случай полупроводниковой пленки в магнитном поле, перпендикулярном ее поверхности. Б |67J и [б8] на основе модели поверхностного потенциала, линейно зависящего от координат, были получены аналитические выражения для проводимости. Более последовательный подход требует решения кинетического уравнения совместно с уравнением Пуассона при заданной плотности поверхностных зарядов. Такая попытка была сделана в работах [69-73j .

В работах /49,74-76] исследовались гальваномагнитные явления в полупроводниковых пленках с учетом конкретной структуры энергетической зоны. В частности, в [49 J анализировалось влияние изгиба на гальваномагнитные эффекты в очень тонкой пленке из многодолинного полупроводника.

Влияние изгиба зон на термоэдс в невырожденных пленках при сильном изгибе рассматривалось в [ 77J. Различные эффекты, связанные с изгибом, рассматривались также в работах [l6,78j .Штекер и Сандомирский [79J показали, что изгиб зон у поверхности может привести и к осцилляционным эффектам. Они получили выражения для тензора проводимости в магнитном поле, перпендикулярном поверхности при изгибе вниз, являющиеся периодическими функциями некоторого параметра, зависящего от величины изгиба на поверхности.

Почти во всех работах, где исследовались размерные эффекты с учетом изгиба зон время релаксации считалось постоянным, а зона считалась сферической. Кроме того, в этих работах изучались, - 26 -в основном, гальваномагнитные явления, а поверхностное рассеяние считалось диффузным.

Как известно [во] , в области низких температур термомагнитные эффекты в полупроводниках определяются преимущественно увлечением носителей тока фононами. С другой стороны, при достаточно низких температурах длина свободного пробега носителей тока и фононов может оказаться достаточно большой и тогда приходится учитывать поверхностное рассеяние в эффекте фононного увлечения. Возможность влияния границ кристалла на неравновесность фононов и связанных с ней эффектов была отмечена в работах [80,61, в] . В частности,автор работы [81J указывал на то, что при низких температурах доминирующим механизмом рассеяния для фононов должно быть их рассеяние на поверхности образца. Однако для объяснения существующего экспериментального факта - немонотонной температурной зависимости термоэдс в пленках Ge [82] необходимо было решить кинетическое уравнение и для фононов с соответствующими граничными условиями. Решению такой задачи в отдельных случаях посвящены работы [3I,32,83,84j . В работах [31,32]. исследовалось влияние неравновесности фононов на осцилляции термомагнитных коэффициентов и показано, что учет эффекта увлечения приводит к сильному росту амплитуд этих осцилляции.

Характер рассеяния фононов на поверхностях пленок в имеющихся работах считался обычно диффузным и поверхности при этом предполагались одинаковыми. Однако, как правило, поверхности пленок контактируют с различными веществами с резко отличающимися упругими свойствами и поэтому рассеяние фононов на поверхности должно описываться отличными от нуля параметрами зеркальности, различными для каждой поверхности. Таким образом, более последовательная теория, основанная на решении кинетического - уравнения для электронов и фононов в пленке должна учитывать произвольный характер отражения и различия поверхностей по отношению как к электронам, так и к фононам. Как уже было отмечено, в пленках могут наблюдаться и квантовые размерные эффекты, притом наиболее благоприятными для этого материалами являются полупроводники и полуметаллы.. Размерное квантование теоретически было предсказано Лифшицем и Косевичем [85, 86J . Сандомирский подробно исследовал условия размерного квантования в полупроводниковых и полуметаллических пленках [87,89] . Оценки Сандомирского |87j показали,что в тонких пленках этих материалов размерное квантование должно наблюдаться при толщинах порядка сто и тысяч ангстремов, тогда как внормальных металлах для этого требуются толщины в несколько атомных слоев. Б работах Сандомирского [87] также была получена формула для ширины запрещенной зоны как функции толщины пленки, показывающая, что с уменьшением толщины ширина запрещенной зоны должна расти. Кроме того, в случае полуметаллических пленок с уменьшением толщины возможен переход полуметалл-полупроводник. Влияние размерного квантования на проводимость полупроводников исследовалось в работе [б] . Исследование кинетических эффектов термодинамических свойств и других поведений размерно квантованных пленок изложено в обзорных работах [3,4J , а также в работах Кулика J90,9l] . На состояние электрона в размерно-квантованной пленке оказывает заметное влияние взаимодействие электрона с неидеальной поверхностью пленки. Такая задача подробно исследована в работах Чаплина [92,93J , Чаплика и Энтина [94,95J , а также в работах Баскина и Энтина [96,97] .

В этих работах исследовано влияние поверхности на энергетический спектр электронов, на кинетические свойства и другие характеристики. В частности показано, что учет неидеальности по- - 28 -верхности может привести к изменению толщинной зависимости проводимости тонких пленок.

Теория явления переноса в тонких пленках должна учитывать также особенности объемного рассеяния, связанные с квантованием спектра носителей тока [91, 98J . При этом время релаксации объемного рассеяния может оказаться немонотонной функцией толщины пленки. Например, в [91] показано, что при рассеянии на дельтаобраз-ном потенциале, время релаксации является пилообразной функцией толщины пленки. Наблюдаемые в тонких пленках осцилляционные явления связаны как раз с поведением плотности состояния и вероятности рассеяния с толщиной. Однако, в формировании размерных эффектов основная роль принадлежит поверхности и главная задача теории является как последовательно учитывать сам факт наличия поверхности и все последствия, связанные с ней.

Как было уже отмечено, роль поверхностного рассеяния впервые была учтена с помощью граничных условий Фукса [ 20 J, введением феноменологического параметра зеркальности. Этот параметр определяет отражательную способность поверхности в среднем и поэтому не может дать информацию о деталях ее неоднородностей.Следовательно, теория размерных эффектов должна развиваться в направлении, учитывающем рассеяние на конкретных дефектах поверхности. Были различные попытки обоснования граничных условий Фукса исходя из представлений теории рассеяния [14,99-101] . Последовательный учет взаимодействия носителей тока с поверхностными неодно-родностями исследовался в работах [92-97,102] . Развитая в этих работах теория затем была применена Фальковским [103J на случай шероховатой поверхности при вычислении проводимости металлических пленок.

Более строгая теория, основанная в общем случае на кванто- механическом рассмотрении была разработана Окуловьм и Устиновым

104-106J . В этих работах получены интегральные граничные условия, удовлетворяющие требования обращения в нуль суммарного потока через границу образца. При выполнении определенных условий интегральные граничные условия сводятся к фуксовским. Возможные ситуации, когда можно воспользоваться обычными граничными условиями Фукса и другие вопросы поверхностного рассеяния, подробно изложены в обзорной статье Окулова и Устинова [I07J. Следует отметить также работы [I08-II5J , в которых исследованы граничные условия, а также рассеяние на конкретных дефектах поверхности пленки. Так, в работе Васько [Ю9] получены граничные условия на неидеальной поверхности с учетом переворота спина электрона и рассчитан параметр Фукса как функция энергии и угла падения электрона на поверхность, при рассеянии на короткодействующем потенциале. Кроме того, поверхности пленки, как уже установлено экспериментально /116-120J , являются неодинаковыми.

В общем случае свести интегральные граничные условия к фуксовским не удается. Здесь ситуация, как отмечено в [ 107J , аналогична возможности введения транспортного времени релаксации в массивных образцах: при выполнении определенных условий, налагаемых на неравновесную функцию распределения и вероятности рассеяния можно воспользоваться обычными граничными условиями Фукса с параметром зеркальности, зависящим от энергии и угла падения носителей тока на поверхность образца.

Таким образом задача теории размерных эффектов сводится к решению кинетического уравнения Больцмана с граничными условиями, учитывающими рассеяние носителей тока на различных поверхностных неоднородностях.

Данная глава посвящена решению кинетического уравнения. - ЗО -

Больцмана в полупроводниковых пленках с произвольным изотропным законом дисперсии в магнитном поле, перпендикулярном поверхности, и электрическим полем и градиентом температуры в плоскости пленки с учетом различия поверхностей.

Анализируются граничные условия интегрального вида и возможности когда они переходят в граничные условия Фукса. Найдено общее решение кинетического уравнения для пленок с различными поверхностями, описываемыми параметрами зеркальностей Р/ и / , зависящими, в общем случае, от энергии и угла падения на поверхности в произвольном (неквантующем) магнитном поле и при произвольной толщине пленки.

Получены выражения гальвано- и термомагнитных тензоров, связывающих плотности тока и потока энергии с электрическим полем и градиентом температуры, при любой степени вырождения электронного газа и произвольной сферически-симметричной зоной.

I.I. Кинетическое уравнение и граничные условия Как уже отмечалось, анализ электронных явлений переноса в ограниченных образцах можно провести на основе решения кинетического уравнения Больцмана для неравновесной функции распределения f(X,Ъ уt) где Ъ ~ тг zrhr -скорость электрона, Уп -его эффективная масса, К. -волновой вектор, -энергия, F -действующая на него сила, я -постоянная Планка, деленная на X7t, а 1[т]-интеграл столкновений, имеющий для конкретных объемных механизмов рассеяния, следующий вид _{1111=1, {^(тши-шы^кщ-кЩ (1.2)} где W(&jK) представляет собой вероятность перехода электрона из состояния К в К' за единицу времени вследствии рассеяния на дефектах.

Когда размеры образца намного больше длины свободного пробега, то число носителей тока, взаимодействующих с поверхностью, намного меньше общего числа носителей, поэтому I/ т7 определяется рассеянием на различных дефектах в объеме образца. Если размеры образца порядка длины свободного пробега носителей тока, то взаимодействие последних с поверхностью становится существенным и это, вообще говоря, нужно учитывать в интеграле столкновения. Предполагая независимость рассеяния носителей в объеме и на поверхности, правую часть (I.I) можно представить в виде iM-LLthhlfl (1.3) ^гД^е Ioli J ^и ІЛ Ч ~е^сть интегралы столкновения, определяемые объемным и поверхностным рассеянием, соответственно. Известно, что при выполнении определенных условий можно ввести транспортное время релаксации для объемного рассеяния Tt), т.е. Го Ш можно представить в виде где т₄~Т~1о -неравновесная часть функции распределения.

Что касается I_s/f./> то его тоже в принципе можно записать через вероятность рассеяния на различных поверхностных дефектах и выразить через время релаксации поверхностного рассеяния, когда это возможно. Однако, как уже отмечалось, более удобным является учет поверхностного рассеяния с помощью граничных условий, налагаемых на функцию распределения на поверхности пленки.

Таким образом, можно решать (I.I) с правой частью I[fJ-I₀[f], а поверхностное рассеяние учитывать с помощью граничных условий, налагаемых на функцию распределения.

Впервые граничные условия к кинетическому уравнению были записаны Фуксом /20J с помощью введения параметра зеркальности

Р , имеющим следующий смысл: параметр зеркальности р показывает, что Р -ая часть электронов,падающих на поверхность, отражается зеркально,следовательно, і-р -ая часть рассеивается поверхностью диффузно или Р - есть вероятность того,что электрон от поверхности отразится зеркально.

Если ось % направить по нормали к поверхности пленки толщиной си и начало координат выбрать так, что пленка будет занимать область 0+%<с/ » то граничные условия Фукса будут иметь вид {+«>,%) -- р{-(о,-ъ*) * a-p)fo, z=o _(i>5)

Здесь предполагается, что диффузно отраженная часть электронов описывается равновесной функцией распределения, а функции ^⁺ и f относятся к электронагл с2^>0 и ЪК0,соответственно.

Граничные условия (1.5) являются феноменологическими и поэтому необходимо сформулировать их, исходя из основных представлений теории отражения и рассеяния электронов на поверхности кристалла.

Эта задача была решена в ряде работ и подробно изложена в обзоре I107/ . Ниже приведем граничные условия интегрального вида, полученные в [Ю7/ и более подробно остановимся на тех ситуациях, когда они переходят в граничные условия Фукса.

Исходя из требования обращения в нуль суммарного потока через границу образца, можно связать функцию распределения от- раженных от поверхности Л-А электронов f(d,K~)c функцией распределения падающих на данную поверхность электронов f(d,ty и вероятностью поверхностного рассеяния следующим интегральным соотношением [l07j где fr іWf₀ K*)J к," - есть вероятность перехода при единичном акте рассеяния на дефектах поверхности из К состояния в элемент dк~ .Рассеяние считается упругим, так что vJ(k.^_}K )~ $[(1С7)-(^К+)]» Из (1.6) с учетом упругости рассеяния получается следующее соотношение ^ р??Г »J(K7,ї<+) = ftj^t*''^{І?П (І,7)}

Представим функцию распределения в виде Т* То* Т< »^гД^е d - неравновесная часть функции f(^_;/c) . Подсгпавляя это разложение в (1.6), учитывая соотношение (1.7), получим граничные условия ДЛЯ % J (, К)

Теперь предположим, что в силу специального вида вероятности рассеяния выполняется условие / j к; wc к-, кґ) 4(J, /?/; = о

С учетом этого граничные условия для ^_ч сводятся к фуксов-ским,если ввести параметр зеркальности в виде ^{р = /} іі ^ ^{7 w {/tr **} (I'8)}

Другой случай, когда можно воспользоваться граничным условием Фукса, связан с видом неравновесной функции распределения. Пусть f/ имеет вид где вектор tf параллелен обобщенной силе в плоскости пленки. Подставляя (1.9) в граничные условия для /, и вынося (AJi*) из под интеграла, получим f_t(J,Kf) (к?, Ч) к% Если учесть, что І^Г.у^ГЩ- -j^ где Мір - проекция К на вектор f-f , окончательно получим граничное условие Фукса с параметром зеркальности р- у--i$Jitr»/(K-,K₄+)l<- |fУ Сх-ю)

Отметим, что введение параметра диффузности (f-P) с помощью (1.10) аналогично введению транспортного времени релаксации для объемного рассеяния.

Как видно из (1.8) и (1.10) параметр зеркальности в общем случае является функцией энергии и утла падения электрона на поверхность. Таким образом, в этом приближении классическая теория явлений переноса в пленках сводится к решению кинетического урав- нения (I.I) с правой частью Llt]~I₀Lt]=~ 7f^7\* с помощью граничных условий (1.5),.в которые входит параметр зеркальности р , в общем случае, зависящий как от энергии, так и от угла падения электрона на поверхность пленки.

1.2. Решение кинетического уравнения в пленках с различными поверхностями

Рассмотрим пленку толщиной d в магнитном поле, перпендикулярном поверхности, электрическое поле и градиент температуры приложены в плоскости пленки, ось направлена по нормали к поверхности пленки.

Неравновесную функцию распределения представим в виде т= -(ъ) (Ъ-Х) (їді) где f₀ -равновесная функция распределения, а X -неизвестная функция, характеризующая отклонения системы от равновесия, которая зависит от скорости электрона Ъ и координаты

Подставляя (І.ІІ) в (I.I) для X функции получим следующее уравнение ^Ь* Э ⁺ ~^с '* ^** ~Т " ^Х (I.I2) где Х₀⁼ -еЕо —т⁷" ^>рг ^" -обобщенная сила, М -химический потенциал*

В общем случае время релаксации X зависит как от величины, так и от направления волнового вектора /С , Однако в этой главе и последующих двух главах будут рассматриваться пленки с изотропным спектром и поэтому рассеяние тоже будем считать изотропным, т.е. положим, что X зависит только от модуля \К.[ или от энергии электрона с (.К) Зависимость времени релаксации, соответствующая объемным механизмам рассеяния, как известно/і2І|,для проводников с произвольным изотропным законом дисперсии имеет вид

ТСЄ)-А-с(Т)(Ш)^' (І.ІЗ)

Здесь Jl₀v-почти не зависящий от К множитель, разный для разных механизмов рассеяния, характеризуемых параметром рассеяния X , принимающий значения: X =0 для рассеяния на акустических фононах и точечных дефектах; Т =1 для рассеяния на оптических фононах при высоких температурах; X =2 для рассеяния на ионах примеси. Выражения Jf_or(Т) для различных значений параметра рассеяния *С приведены в][і2І/,

Уравнение (I.I2) нужно дополнить граничными условиями, учитывающими рассеяние на поверхностных дефектах. В первом парагра-фе было показано, что если неравновесная функция распределения имеет вид (ІДІ), то можно воспользоваться обычными граничными условиями Фукса с параметрами зеркальности, зависящими от энергии и угла падения электрона на поверхность пленки. Если ввести параметры зеркальности Pj и / для каждой поверхности, то можно показать, что граничные условия для функции Х^ имеют вид [1227 (I.I4) Уравнение (I.I2) и граничные условия (I.I4) дают возможность найти функцию Х^ , через которую выражаются плотность тока и потока энергии. Для решения уравнения (I.I2) введем новую комплексную функцию "П - Xjg + tXu Тогда уравнение (I.I2) примет вид:

Граничные условия (І.І4) при этом приобретают вид

Ч ⁺(о,b_z) = Р< ТСО'-Ъ*) > z - - 37 -Общее решение уравнения (I.I5) находится легко

У^їтяіо ⁺ се"-"*-*;, _ч<0 сі.") где С~ -постоянные интегрирования.

Для нахождения С" воспользуемся граничными условиями (І.І6) и составим следующую систему уравнений ^{і+іЧо-^*РЛ-гъЪ*ctbje '. 1}

Т^Ъ + '^ЩтЬЪ+с+С-ЫеЪ-''] (I.I8)

Произведем во втором уравнении замену ^ ~**~<%? и после некото-рых группировок получим _{-/- -t±ld _} (I.I9) (1.20)

Отсюда для ? окончательно имеем где

Ч,1~ J-P.O. ₀-гЦЫ<* ^u'²¹^

У- Aft е"*^ - 38 -После подстановки С в (I.I7) получим следующее общее реше> Z(<-LJ) + і » Г тест-су/ I і - L₀t 7774'-^ Є '* ]>**«> (1,22) ± ± С помощью этих выражений можно определить Х_^ И Ху и тем самым вычислить плотности тока и потока энергии. Поскольку функции XJ являются функциями , то плотность тока и потока энергии также окажутся функциями , и поэтому надо их усреднить по толщине пленки, чтобы получить измеряемые на опыте величины.

Легко увидеть, что в рассматриваемой геометрии задача усреднения плотности тока и потока энергии сводится к усреднению функции Х.^ . Применяя формулу усреднения к функциям ХоС получим: -V'vib(«-?)ьъ*)-м« %S] ^ - 39 -где - d(/-і))) * О- Є*р (+№$)) ^є*

На основе приведенного решения можно получить общие выра. жения для плотностей юка и потока энергии.

1.3. Общий вид тензоров проводимости По определению плотности тока и потока энергии имеют следующий вид /Г ^J (1.25) или подставляя выражения неравновесной функции распределения и переходя к интегралу, получим ^ю^^иф^тю^ ₍₁.₂₆₎

Усредняя (І.2Б) по толщине пленки и используя выражения (1.24), а также воспользуясь связью[121] U = Z^y. > - Z Д, v_fT »^r* = TfyE_Ji -ZХу V/Г (1.27) получим следующие выражения для гальвано- и термомагнитных тензоров

Т ) ^lc~^L J t'/C (1.28) _xKMt+rt

1- 11-г+{Р-и₄Ъ) JLT-z У ///)// и введены обозначения 5 = S(4-с J) ^ S- ^р~ > P= - j ~t ⁼^f_& -угол между осью и волновым вектором /С Здесь символ усреднения < > имеет смысл ^У (1.30)

7L -концентрация. Эта формула усреднения удобна тем, что среднее значение постоянной величины равно самой себе.

Отметим, что в отсутствии градиента температуры аналогичная задача решалась в работе [I23J позже нас /I22JI

Выражения (1.28) получены в присутствии произвольного (неквантующего) магнитного поля при наличии градиента температуры в плоскости пленки произвольной толщины. Изоэнергетическая поверхность при этом считается сферической, а зависимость энергии от волнового вектора произвольной.

Сравнение формул (1.28) с соответствующими формулами для массивного образца[121] показывает, что они отличаются наличием под интегралом по энергии функций а)_с- ^ , характери- зующих влияние размера на кинетические эффекты. Функции 7)іц в свою очередь выражаются через единственный интеграл I . Таким образом, вся информация о роли поверхностного рассеяния содержится в функции I , которая является функцией параметров зер-кальностей поверхности пленки. Если поверхностное рассеяние отсутствует, то Pj =1 к Pi =1 и интеграл I обращается в нуль. Тогда из (1.29) видно, что ^ік =1 и выражения кинетических тензоров переходят в соответствующие выражения для массив-ного образца [121./.

Отметим, что переход выражения (1.28) к соответствующим выражениям в массивном образце можно произвести и с помощью формул (1.29), совершая предельный переход при d-**^. При этом t>ii< - I и опять мы получим известные выражения кинетических тензоров массивного образца.

Таким образом, переход к массивному образцу можно осуществить двумя путями: либо в выражениях кинетических тензоров перейти к пределу при d -*- «*=», либо в этих выражениях положить Рл =1 и ^ =1» Первый случай понятен по своему смыслу, что касается второго, то по определению Р =1 соответствует зеркальному отражению электрона от данной поверхности и, следовательно, такое отражение происходит без потери импульса, параллельного плоскости пленки.

В общем случае, когда Pi < I и толщина пленки сравнима с длиной свободного пробега электронов, поверхностное рассеяние становится существенным и необходимо его учитывать при вычислении кинетических эффектов. Как отмечалось выше, поверхностное рассеяние в кинетических тензорах отражено появлением в их выражениях интеграла Г(Р*,Рі)» Поэтому анализ роли поверхностного рассеяния нужно начинать с анализа l(Pi,Pz) *

I(Pj>Pl/ зависит не только от Р/ и Р^ , но и от толщины пленки, величины магнитного поля и энергии электронов. Отметим, что 1(01 >Р*) удается представить в виде ряда по интегрально«-показа« тельным функциям: і ^t (і.зі)

Действительно, учитывая, что Р₄ < I и Рл.< I, то lP,P,e^ZS'l

Тогда подинтетральный множитель в I можно представить еле- дующим образом (1.33) Подставляя (1.33) в выражение і и интегрируя полученный результат,('считая Pi = Co*s-6)₉ окончательно получим -KJP-/-PPJL [E_s(«»'<)b)-_s((M-4)s)] _(Ie3/o

Представление интеграла J /при /J- = Сог>ь{) в виде (1,34) удобно тем, что он выражен через известные функции Е<и№) и применение асимптотики и таблиц значений E^fe) дает возможность исследовать влияние поверхностного рассеяния на кинетические эффекты при различных ситуациях по толщине пленки и величине магнитного поля. Однако, как уже отмечалось, параметры зеркальностей являются произвольными функциями энергии электрона и угла падения электрона на поверхность пленки» Поэтому окончательный анализ требует знания зависимости Р^ от энергии и угла падения электрона на поверхность, закона дисперсии и зависимости времени объемной релаксации от энергии. Таким образом, для проведения конкретного расчета нужно выбрать модель пленки* В следующих главах рассматриваются различные модели относительно энергетического спектра и характера поверхностного рассеяния. В частности, во второй главе излагаются результаты расчета кинетических коэффициентов в пленках со стандартной зоной с учетом поверхностного рассеяния как с помощью постоянного параметра Фукса, так и на основе конкретного вида параметра зеркальности, зависящего от энергии и угла падения электрона при рассеянии на поверхностных шероховатостях и точечных дефектах поверхности.

Если параметры зеркальностей постоянны, то интегрирование выражения 1 можно выполнить в некоторых случаях, налагая ограничения на толщину пленки и величину магнитного поля. Рассмотрим один из практически интересных случаев, когда /5/ » I, В этом случае интегрально-показательная функция имеет следующую асимптотику

Г /S) — ^а (1.35) С учетом (1.35) для получается следующее выражение ^М (1.36)

Подставляя (1.36) в выражения для функций А/с ,входящих в кинетические тензоры, получим (1.37) Тогда выражения для самих кинетических тензоров могут быть приведены к следующему виду fifC-fcK⁴- _ST \<УП (i+J^X)*S f ** ^/^Г<г . _(I#38) где О _t-^ , 6-^ -компоненты соответствующих тензоров в массивном образце.

Эти выражения справедливы в пределе толстых пленок при произвольном магнитном поле и в области сильных магнитных полей при практически произвольной толщине пленки. Более подробно обсуждение этих критериев будет изложено в следующей главе и поэтому здесь на них не останавливаемся.

В предельных случаях слабого и сильного магнитного поля формулы (1.38) приобретают простой вид . Так, в области слабого магнитного поля можно разлагать по малому параметру v «. I и ограничиться слагаемым до V включительно. Ниже приведем только результат для размерной части тензора 0^ : (1,39)

Отсюда видно, что при известном законе дисперсии и заданном механизме объемной релаксации угловые скобки берутся от извест-ных функций и интегрирование по энергии может быть доведено до конца, В частности, в пленках с параболическим законом дисперсии интегрирование в (1.39) сводится к однопараметрическим интегралам Ферми, а в случае кейновских полупроводников в двухзонном приближении оно сводится к двухпараметрическим интегралам Ферми

В сильных магнитных полях малым параметром является \) и разложение по этому параметру дает _{(Г -} ^ine _{// 3)/} ^L _{і- ъ} (1.40) Аналогичные выражения получаются и для остальных тензоров. И в этом случае угловые скобки сводятся к интегралам Ферми: одно-параметрическим в параболическом случае, двухпараметрическим в двухзонном приближении Кейна.

На основе полученных здесь выражений для кинетических тензоров можно рассмотреть различные кинетические явления и анализировать влияние ограниченности размера образца в различных ситуациях по толщине пленки и величине магнитного поля. Следующие две главы посвящены этим вопросам в пленках с изотропным законом дисперсии.

Кинетическое уравнение и граничные условия

Как уже отмечалось, анализ электронных явлений переноса в ограниченных образцах можно провести на основе решения кинетического уравнения Больцмана для неравновесной функции распределения f(X,Ъ уt)

где Ъ тг zrhr -скорость электрона, Уп -его эффективная масса, К. -ВОЛНОВОЙ вектор, -энергия, F -действующая на него сила, я -постоянная Планка, деленная на X7t, а 1[т]-интеграл столкновений, имеющий для конкретных объемных механизмов рассеяния, следующий вид где W(&jK) представляет собой вероятность перехода электрона из состояния К в К за единицу времени вследствии рассеяния на дефектах.

Когда размеры образца намного больше длины свободного пробега, то число носителей тока, взаимодействующих с поверхностью, намного меньше общего числа носителей, поэтому I/ т7 определяется рассеянием на различных дефектах в объеме образца. Если размеры образца порядка длины свободного пробега носителей тока, то взаимодействие последних с поверхностью становится существенным и это, вообще говоря, нужно учитывать в интеграле столкновения. Предполагая независимость рассеяния носителей в объеме и на поверхности, правую часть (I.I) можно представить в виде где Ioli J и ІЛ Ч есть интегралы столкновения, определяемые объемным и поверхностным рассеянием, соответственно. Известно, что при выполнении определенных условий можно ввести транспортное время релаксации для объемного рассеяния Tt), т.е. Го Ш можно представить в виде где т4 Т 1о -неравновесная часть функции распределения.

Что касается Is/f./ то его тоже в принципе можно записать через вероятность рассеяния на различных поверхностных дефектах и выразить через время релаксации поверхностного рассеяния, когда это возможно. Однако, как уже отмечалось, более удобным является учет поверхностного рассеяния с помощью граничных условий, налагаемых на функцию распределения на поверхности.

Таким образом, можно решать (I.I) с правой частью I[fJ-I0[f], а поверхностное рассеяние учитывать с помощью граничных условий, налагаемых на функцию распределения.

Впервые граничные условия к кинетическому уравнению были записаны Фуксом /20J с помощью введения параметра зеркальности Р , имеющим следующий смысл: параметр зеркальности р показывает, что Р -ая часть электронов,падающих на поверхность, отражается зеркально,следовательно, і-р -ая часть рассеивается поверхностью диффузно или Р - есть вероятность того,что электрон от поверхности отразится зеркально.

Кинетические эффекты в толстых пленках в слабом магнитном поле

Зная выражения кинетических тензоров, можно вычислить измеряемые на опыте величины, такие как магнитосопротивление Р , постоянная Холла R , термоэдс в магнитном поле о( , коэффициент Нернста-Эттингсгаузена Q и электронная часть коэффициента теплопроводности ЭС . В начале этого параграфа приведем общие выражения основных кинетических коэффициентов через компоненты тензоров проводимости [I2IJ: магнитосопротивление электронная часть теплопроводности в магнитном поле

В первой главе мы видели, что выражения кинетических тензоров, входящие в (2.1)-(2.5), отличаются от таковых в массивном образце наличием функции Ъ . Функции % с к » в свою очередь, выражаются через единственный интеграл 1(Р ДХ характеризующий интенсивность поверхностного рассеяния. Таким образом, вся информация о роли поверхностного рассеяния содержится в поведении функции I(Pf,Px) .

Для анализа конкретных ситуаций по толщине пленки и величине магнитного поля удобно использовать представление интеграла I(Pf P J через интегрально-показательную функцию, приведенное в первой главе. Действительно, с помощью известных асимптотик при больших значениях параметра 5 = 6 0 -Ї У) и разложении при малых его значениях, можно получить аналитические выражения кинетических эффектов. Свойства интегрально-показательноифункции хорошо изложены в [124,125] .

Из выражения интеграла I(Pi ,Н.) видно, что он является функцией комплексного аргумента 2 =%(/-i ) , в который входят два безразмерных параметра о - у и \) . Первый из них характеризует толщинную зависимость, а второй определяется напряженностью магнитного поля и характеризует влияние магнитного поля на размерные эффекты. Как будет видно из дальнейшего, аналитическому рассмотрению поддаются два предела:/.5(» I и/$/« I, охватывающие практически интересные случаи по толщине пленки и величине магнитного поля.

На основе этих выражений можно получить зависимости измеряемых кинетических эффектов от толщины пленки и величины магнитного поля.

Легко видеть, что в рассмотренном случае ( Г I) размерная часть кинетических тензоров является малой добавкой к их массивным выражениям. Учитывая этот факт из (2,1)-(2.6) можно получить следующие выражения для кинетических коэффициентов при произ-вольной статистике электронного газа

Отрицательное магнитосопротивление в пленках с произвольным изотропным законом дисперсии и при полном вырождении электронного газа

Как отмечалось выше, в условиях классического размерного эффекта, когда толщина пленки порядка длины свободного пробега носителей тока по импульсу, наблюдается ряд новых явлений, не имеющих место в массивных образцах. Наиболее интересные из них, такие как осцилляции сопротивления в неквантующем, перпендикулярном поверхности пленки магнитном поле, осцилляции других кинетических эффектов, немонотонная зависимость эффекта Нернста-Эттингсгаузена от толщины пленки и другие обсуждались во второй главе.

В настоящем параграфе речь пойдет еще об одной особенности кинетических СВОЙСТВ пленок, а именно, в пленках с произвольным изотропным спектром носителей заряда и при полном вырождении, магнитосопротивление отлично от нуля и, более того, оно в определенной области толщин отрицательно. Отметим, что в массивных образцах, где поверхностное рассеяние не играет роли при полном вырождении носителей, магнитосопротивление для изотропного спектра отсутствует. Это известный факт и связан с тем, что в проводниках с изотропным спектром при полном вырождении холловский угол, определяемый отношением / : одинаков для всех носите лей тока на поверхности Ферми. В тонких пленках, когда преобладает поверхностное рассеяние, отношение упгмтепеь определяется эффективным временем релаксации Т, == JE(. , имеющим спектр значений от ГсГ до f и чем меньше S » тем шире этотинтервал. Поэтому в пленках магнитосопротивление отлично от нуля, даже при полном вырождении электронного газа. Ниже, на основе аналитических выражений и численного расчета будет показано,что при выполнении определенных условий, налагаемых на толщины пленок, магнитосопротивление не только отлично от нуля, оно отрицательно и по величине может достичь более десяти процентов.

Для простоты рассмотрим пленку с толщиной с диффузно рассеивающей поверхностью. Магнитное поле направим перпендикулярно поверхности, а электрическое поле в плоскости пленки.Закон дисперсии будем считать произвольным, но изотропным.

Решение кинетического уравнения и общие выражения кинетических тензоров в рассматриваемой ситуации подробно изложены в первой главе. В пленках с полностью вырожденным электронным газом на основе результатов первой главы можно получить следующее выражение для сопротивления в магнитном поле.

Решение кинетического уравнения в приближении тензора времени релаксацииF

Рассмотрим пленку с много долинным анизотропным спектром с толщиной d- в магнитном поле И . Электрическое поле Е и градиент температуры VT приложены в плоскости пленки.

В общем случае зависимость энергии С от волнового вектора представим з виде где Witt -компоненты тензора обратной эффективной массы на дне зоны проводимости,6(8 )-произвольная функция энергии.

Не нарушая общности, одну из осей эллипсоида можно направить параллельно плоскости пленки. Пусть это будет ось I, а ось 3 составляет угол О с нормалью поверхности пленки.

Составим кинетическое уравнение для электрона в данной долине в выбранной системе координат. Если неравновесную функцию искать в обычной форме

Общий вид кинетических тензоров в пленках с изгибом зон

Рассмотрим пленку с толщиной cL , помещенную в магнитное поле, перпендикулярное плоскости пленки. Градиент температуры и электрическое поле параллельны плоскости пленки.

Неравновесную функцию распределения ищем в форме где X удовлетворяет следующему уравнению.

Как видно, это уравнение отличается от соответствующего для пленки без изгиба первым слагаемым, связанным с изгибом зон, Кроме того, Э" в уравнении (5.2) теперь определяется из соотношения (5.3) с энергетическим параметром - , имеющим смысл энергии движения электрона в направлении Z , U(Z) представляет собой потенциальную энергию электрона и характеризует изгиб зоны у поверхности, вызванный поверхностными зарядами.

Для решения уравнения (5.2) удобно перейти к переменной , имеющей смысл времени движения поперек пленки. Тогда решение уравнения (5.2) с граничными условиями для "Х приобретает видного движения электрона в пленке, а %{ и Zz в случае изгиба вверх являются точками поворота и определяются из уравнения, а в случае изгиба вниз =0, -есть корень уравнения % = U(z) в области г и и 2 = с при г - иъ ,где #6 -значение потенциала на поверхности пленки.

Для вычисления кинетических тензоров нужно воспользоваться выражением плотности тока и потока энергии, усредненных по толщине пленки. Результат такого усреднения для плотности тока сводится к выражению.