Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Униполярная индукция как источник генерации электрических полей и токов в плазмосферах вращающихся намагниченных планет . 21
1.1 Модель планетарного генератора. Постановка задачи, общее решение исходных уравнений 21
1.2 Дифференциально вращающаяся плазменная оболочка при наличии слоя с низкой проводимостью 27
1.3 Плазменное течение со скачком угловой скорости 40
1.4 Действие планетарного генератора в условиях, соответствующих нижним слоям ионосферы Земли 55
1.5 Выводы к первой главе 63
Глава 2. Самосогласованная модель плазменной оболочки вращающегося намагниченного шара 66
2.1 Система уравнений, описывающих плазменную оболочку вращающегося намагниченного шара с учетом неоднородности и анизотропии проводимости оболочки 66
2.2 Стационарные осесимметричные конфигурации слабоионизированной плазмы в поле вращающегося намагниченного шара в приближении сильно анизотропной однородной проводимости 73
2.3 Простейшее симметричное решение в приближении сильной анизотропии проводимости 82
2.4 Выводы ко второй главе 95
Глава 3. Учет неоднородности проводимости в самосогласованных моделях плазменной оболочки, вращающейся совместно с намагниченным центральным телом 97
3.1 Эффекты униполярной индукции в нетвердотельно вращающемся неоднородном плазменном слое при учете вязкости 97
3.2 Конфигурации плазмы в поле вращающегося намагниченного шара при отсутствии вязкости среды 115
3.3 Выводы к третьей главе 125
Глава 4. Применение рассмотренных модельных задач к условиям, соответствующим нижним слоям плазмосферы Земли 128
Заключение 142
Литература 144
- Дифференциально вращающаяся плазменная оболочка при наличии слоя с низкой проводимостью
- Действие планетарного генератора в условиях, соответствующих нижним слоям ионосферы Земли
- Стационарные осесимметричные конфигурации слабоионизированной плазмы в поле вращающегося намагниченного шара в приближении сильно анизотропной однородной проводимости
- Конфигурации плазмы в поле вращающегося намагниченного шара при отсутствии вязкости среды
Дифференциально вращающаяся плазменная оболочка при наличии слоя с низкой проводимостью
Далее будет рассмотрен ряд электродинамических задач, поставленных в модели планетарного генератора, изложенной в разделе 1.1, которые направлены на исследование эффектов, связанных с униполярной индукцией, в различных условиях. При постановке этих задач будут учитываться особенности строения реальных плазмосфер вращающихся намагниченных планет. В качестве простейшей модели рассмотрим структуру плазменной оболочки, в которой неоднородность проводимости учитывается в виде двух слоев: слоя толщины h с проводимостью Ta=cotist вращающегося твердотельно совместно с шаром, - атмосферой, и дифференциально вращающегося бесконечного плазмосферного слоя с проводимостью ap=const, расположенного выше атмосферы. Граница раздела слоев должна быть сферической вследствие того, что проводимость не зависит от полярного угла. Будем считать, что центральное тело вращается твердотельно с угловой скоростью ( и имеет постоянную проводимость ст0, радиус шара - R.
Для удобства введем безразмерное расстояние х таким образом, чтобы радиус шара равнялся единице: x=r/R. Кроме этого, введем безразмерные коэффициенты: толщина атмосферы h=h/R, Ra ]+k, отношение проводимостей атмосферы и шара gQ=сг / 7ь; отношение проводимостей атмосферы и плазмосферы gp=aJop. Распределение скоростей в атмосфере реальной планеты должно определяться в основном вязким трением, поэтому положим, что атмосфера твердотельно вращается вместе с шаром, то есть при \ x Ra ша(х,0) = й о. (1.2.1) Течение yp(.Y,0) при x Ra зададим следующим образом. Из набора решений (1.1.4) ограничимся для дальнейшего анализа функцией, отвечающей 1-3 при Cz=0, которое не содержит особенностей, имеет простой вид и удовлетворяет естественному условию четности по полярному углу 0, следующей из симметрии задачи. Радиальную часть решения легко найти из уравнения (Ы.5) для случая однородной проводимости.
Заметим, что нет никаких оснований считать O0 U\J, так как экспериментальные данные свидетельствуют о том, что в плазменных оболочках Земли и других планет возможно супервращение, то есть движение верхних слоев плазмосферы с большей скоростью по отношению к нижним. Профили й)р(х,0) для разных случаев отношения угловых скоростей соо и П0 представлены на Рис. 1.2.1. В данной модели дифференциальность течения задается параметром
Поставленная задача определения электрического потенциала, соответствующего рассматриваемому распределению угловой скорости, была решена точно описанным выше способом. Однако вид выражения для полей и токов оказался достаточно сложным. Введем следующие упрощающие предположения, позволяющие записать результаты аналитических вычислений в обозримом виде: 1) атмосфера является тонкослойной и обладает малой проводимостью А«1, g0«l, g?«\; (1.2.5) 2) проводимость плазмосферы много больше проводимости шара gP«go\ (1.2.6) 3) gQ«h. (1.2.7) зо Если рассматривать плазменную оболочку Земли в рамках двухслойной модели, то условия (1.2.5-1.2.7) можно считать следующими из экспериментальных данных. Условие (1.2.7) имеет, кроме этого, еще одно обоснование. При анализе результатов численного расчета оказывается, что при go h поведение двухслойной системы мало отличается от поведения соответствующей однослойной системы, в которой атмосферный промежуток отсутствует [23]. Поэтому, для исследования особенностей, связанных с атмосферным слоем, необходимо, чтобы он был толстым в смысле (1.2.7).
Поверхностный заряд возникает из-за различия свойств среды по разные стороны от границы раздела: различие проводимостей" шара и плазмосферы обуславливает вклад в поверхностный заряд от свободного решения, наличие скачка производной угловой скорости вращения приводит к разрыву и униполярной части Ег. На границе х=\ заряд обусловлен целиком скачком проводимости, на границе x=Ra заряд возникает также и из-за разрыва производной о), который она терпит при x=Ra. Результат расчета в случае go h при А=0.01 построен на рисунке 1.2,2. Рисунок 1.2.2. Нормированная плотность поверхностного заряда, gp«go, s \, оказывается порядка поверхностного заряда в однослойной модели, когда Л=0. В то же время, в однослойном случае на поверхности шара образуется заряд много меньший, чем отдельно взятые заряды поверхностей раздела в двухслойной оболочке (в силу А«1).
Заметим, что предельный переход при /г—»0 необходимо проводить с учетом членов порядка g h, которые были опущены при получении приведенных формул из точного решения в предположении (1.2.8).
Поверхностный заряд p$Ra} на верхней границе атмосферы обращается в ноль при =0Р, этот угол соответствует касанию токовой петли верхней границы атмосферы; на нижней границе соответствующий угол 0=0о- В приближении (1.2.8) эти характерные углы равны и не зависят от параметров: 0, 00=51.1. (1.2.10) Если не учитывать условия (1.2.8), то Вр и во будут зависеть от h и при Л— 0 переходят в 0 =47.6.
На рисунках 1.2.3 и 1.2.4 представлены примеры картин линий электрического поля и плотности тока во внутренней части шара, в атмосфере и в приграничной области плазмосферы.
Здесь и далее будем называть областью генерации ту область плазменной оболочки, где потенциал существенно отличается от второго слагаемого в (1.1.9), так как токи проводимости порождают только "вынужденная" униполярная часть потенциала (первое слагаемое в (1.1.9)) и свободное решение. "Вынужденный" униполярный потенциал (и свободное решение) обусловлен "вынужденной" составляющей co\(x, S ) течения сор(х,0), таким образом, ясно, что область генерации совпадает с областью "вынужденной" (неуниполярной) дифференциальности течения.
Действие планетарного генератора в условиях, соответствующих нижним слоям ионосферы Земли
В этом разделе рассматривается модель планетарного генератора, постановка которой осуществляется в соответствии, насколько это возможно в рамках обсуждаемого подхода, условиям в ионосфере Земли. В частности, используется приближение резкого изменения проводимости на ионосферных высотах. Основной целью данного раздела, помимо представления решения еще одной электродинамической задачи, является демонстрация достаточной эффективности действия планетарного генератора в земных условиях.
Проводимость плазмосферы Земли8 становится анизотропной на высотах порядка 100 км, причем продольная проводимость сг-л дальше меняется незначительно вплоть до высот порядка 400 км, а поперечная проводимость oj_ и проводимость Холла о# экспоненциально убывают [30,55]. Направление протекания тока в случае анизотропии проводимости должно определяться направлением, которому соответствует наибольшая проводимость. В земной плазмосфере на высотах /г 100 км щ»{с±, 7{/} [55], однако в данной системе протекание тока вдоль линии магнитного поля невозможно в силу симметрии задачи: токовая петля верхней полусферы должна замкнуться в экваториальной области. Замыкание петли, в основном, должно осуществляться за счет rL и о ,. В соответствие с этим можно предположить, что модель ионосферы с изотропной проводимостью, экспоненциально спадающей с высотой подобно ох и оя, должна качественно отражать основные закономерности в генерации полей и токов в реальной анизотропной системе.
Легко видеть, что o{R+h2)«o{R+h{), поэтому в третьем слое можно считать проводимость равной нулю. Отметим, что нулевая проводимость означает, помимо отсутствия тока проводимости в третьем слое, что плазменное течение в этом слое не оказывает никакого влияния на процесс генерации тока в системе9. В этом смысле конкретный вид течения в третьем слое не играет большой роли10.
Действуя по вышеизложенной схеме можно найти "свободное" решение для потенциала (с учетом различия приведенных высот в слоях), электрическое поле и ток проводимости. На рисунке 1.4.2 представлена токовая структура, соответствующая условиям (1.4.2). Область плазмосферы на рисунке для наглядности растянута вдоль г в 30 раз, так что rHloCpaxawac R-h30-(r-R) при r R. В нижнем правом углу рисунка показана та же токовая структура с сохранением пропорций.
Токовая система при всех возможных значениях параметров представляет собой одиночную токовую петлю, которая локализована преимущественно в слое толщиной порядка нескольких приведенных высот Н2 вблизи границы r=RJrhu то есть в области высокой проводимости. Выраженная локализация обусловлена резким спадом проводимости при удалении от границы r=R+hu причем в данном случае (рисунок 1,4.2), в силу того, что Н2 Н\, густота линий тока ниже границы раздела слоев оказывается выше. Отметим, что градиент "вынужденной" составляющей co\(r,Q) течения и, соответственно, значение плотности тока пропорциональны величине y:/(h2-h\). В предположениях (1.3.1) и (1.4.1) можно получить оценку циркулирующего в системе тока /( и полного тока /о, ответвляющегося в "северное" полушарие шара.
Заметим, что величина / зависит от профиля проводимости в виде интеграла от а(г) с некоторым весом. Вследствие этого ясно, что оценка величины циркулирующего в системе тока не сильно зависит от выбора вида модельного профиля проводимости, аппроксимирующего экспериментальные данные, и от выбора положения границы hi. Вследствие низкой проводимости приповерхностного слоя атмосферного промежутка лишь малая часть тока ответвляется внутрь шара: h«t\. Значение суммарного тока через шар определяется, в первую очередь, проводимостью приповерхностного слоя атмосферы вследствие того, что выходное напряжение планетарного генератора приложено, в основном, к этому промежутку, как к участку глобального электрического контура с наибольшим сопротивлением. В условиях, соответствующих земным, Л/= 8.1-Ю25 Гс-см3, = /2 = 7.3-10-5 с 1, откуда, используя (1.4.2), из выражений (1.4.3) можно получить оценки тока: /Г1А; /, Ы05А. (1.4.4) Полное электрическое поле можно разложить на две составляющие: Е = Ев + "г, где Ев - униполярное поле (1), соответствующее обращению в ноль тока проводимости.
Вычисление величин полей Ев и Eeur, генерируемых в рассматриваемой системе в области локализации токовой петли на средних широтах, дает: Евг-Евэ-Ю4 В/см, -2-1 О 8 В/см, 0-5-10"6 В/см. Результаты ракетных измерений позволяют сделать вывод о существовании в ионосфере Земли на средних широтах полей EL и Яц в среднем порядка 10 3 В/см и 10"5 В/см [30] соответственно. Можно считать, не претендуя на детальное соответствие эксперимента с расчетами, что эти данные не противоречат полученным оценкам униполярного поля. Соотношение Еа" г« Ес"г& соответствует локализации петли вблизи границы r=R+h\. С другой стороны, Есигп EcurQ«EB, то есть, возмущение униполярного Конвективные токи J =. pV релятивистки слабы, поэтому мы исключаем их из рассмотрения. поля вследствие дифференциальности течения оказывается слабым. В то же время, №Г обеспечивает значительный ток проводимости (1.4.4).
Стационарные осесимметричные конфигурации слабоионизированной плазмы в поле вращающегося намагниченного шара в приближении сильно анизотропной однородной проводимости
Параметр %, который в дальнейшем будет называться параметром вязкости среды, пропорционален коэффициенту гидродинамической вязкости, и определяет отношение работы силы вязкости за один период вращения к энергии магнитного поля в оболочке. Формально параметр х может быть выражен через известный из теории МГД-генераторов энергии [7, 8] параметр взаимодействия S, магнитное число Рейнольдса и число Рейнольдса Re, полученное из соображений размерности: Параметр взаимодействия S имеет смысл отношения объемной силы со стороны магнитного поля к кинетическому давлению газа.
Рассматриваемый подход во многих, аспектах близок к методу уравнения Греда-Шафранова [27] и может считаться его обобщением на случай вязкой плазмы в гравитационном поле (в соответствующей симметрии).
В рассматриваемой модели проводимости оказалось, что не равная нулю составляющая ур и связанные с ней возмущения магнитного поля появляются только при учете в плазменном течении гидродинамической вязкости. Это обстоятельство подчеркивает важность самосогласованного описания процессов в плазменной оболочке, учитывающего действие как электродинамических, так и магнитогидродинамических сил.
Также предположим, что величина /, или, другими словами, В является малым возмущением: квадратичные по / члены, а также Л (//rsin) в уравнении (2.2.8), можно опустить. Другими словами, предполагается, что собственное магнитное поле центрального тела слабо возмущается плазменной оболочкой. Соответствующие условия применимости будут обсуждаться позднее.
Решение во многом определяется видом произвольных функций. Далее будет зафиксирован вид этих функций, и, в этом смысле, будет рассмотрено частное решение линеаризованной задачи. Для простоты предположим, что С1(ФН) является постоянной, значение которой выберем с учетом условий при г, стремящемся к бесконечности.
Этот параметр определяет характерный размер плазменного слоя Sh=r(/s, в котором вращение отлично от твердотельного и в котором сосредоточены азимутальный току и возмущения плотности среды и магнитного поля14.
Конкретный вид решения определяется заданием граничных условий. При этом ясно, что можно выделить два класса решений, характеризующихся симметрией ]9 относительно 0=л/2, то есть относительно экватора: симметричные, когда для построения решения используются гармоники только с нечетными п, и антисимметричные, когда используются гармоники только с четными «. Каждый класс при заданном виде невозмущенного магнитного потока Ф// характеризуется определенной симметрией физических величин. Рассмотрим свойства симметрии системы (2.2.14)-(2.2.18) для рассматриваемого случая выбора произвольных функций (2.2.19), (2.2.20). Вид симметрии j9 относительно экватора независимо от вида Фи совпадает с видом симметрии распределения угловой скорости со и возмущения магнитного потока Ф\. В то же время, симметрия относительно экватора распределения составляющей плотности р и величины / определяется видом невозмущенного магнитного потока: в случае симметрии j9 и Фц относительно экватора, функция р симметрична, а/антисимметрична.
Отметим важное обстоятельство, следующее из условий симметрии. При рассмотрении симметричных распределений j9 и Ф даже при использовании подходящих граничных условий нетвердотельное вращение с симметричными распределениями угловой скорости и плотности р возможны только в случае антисимметричного относительно экватора распределения /, то есть, азимутальная составляющая магнитного поля В в этом случае должна быть антисимметрична. При этом оказывается необходимым либо накладывать условие 5 =0 в экваториальной плоскости, либо вводить замыкающий токовую систему сторонний ток, не описываемый в рамках магнитогидродинамики, например, в экваториальной плоскости [15]: 0-„t)f=-V -V . (2.2.27) или по-другому, подходящим образом выбрав функцию /(Ф;/). В разделе 2.2 второй главы диссертации была рассмотрена осесимметричная задача о стационарных конфигурациях плазменной оболочки с однородной анизотропной проводимостью вокруг вращающегося намагниченного шара.
Конфигурации плазмы в поле вращающегося намагниченного шара при отсутствии вязкости среды
В рассмотренных во второй главе и разделе 3.1 третьей главы моделях плазменной оболочки существенную роль играла вязкость среды. В частности в выражения (2.2.26) и (3.1.10) для безразмерных коэффициентов неоднородности решения непосредственно входил коэффициент вязкости. При этом в рассмотренных приближениях возмущения магнитного поля и ток проводимости исчезали при отсутствии вязкости плазменного течения.
В этом разделе будут рассмотрены конфигурации плазмы вокруг вращающегося намагниченного шара при отсутствии вязкости среды. Такая задача важна, например, применительно к плазмосферам планет на значительных высотах, когда вязкость не существенна, а плазма сильно ионизирована.
В рассмотренных выше моделях учет отличия электрического поля от униполярного при записи уравнения (2.1.7) оказывался не принципиальным. В отсутствие вязкости ситуация иная, в случае неоднородности эффективной проводимости Каулинга (то есть, магнитного числа Рейнольдса Re,u) это отличие может определять степень дифференциальности распределения угловой скорости вращения со.
Во второй главе в предположении слабой ионизированности среды для нахождения уравнения (2.1.13), определяющего распределение плотности, использовалось условие равенства смешанных производных давления. В рассматриваемом случае сильно ионизованной замагниченной плазмы это условие не выполняется. Однако можно считать, что уравнение для плотности среды не связано с другими уравнениями системы, потому что плотность среды р не входит явно в остальные уравнения. С другой стороны, в противоположность случаю слабоионизированной плазмы, компоненты тензора проводимости в рассматриваемом случае достаточно больших высот, когда плотность плазмы во многом или целиком определяется описываемыми в модели процессами, должны, вообще говоря, считаться функциями р. С учетом этих замечаний, в данной модели для простоты не будем рассматривать плотность плазмы, а компоненты тензора проводимости считать известными функциями координат, подразумевая при этом, что они связаны с не обсуждаемом в задаче реализующимся распределением плотности плазмы..
Принципиальную трудность при решении системы уравнений представляет уравнение (3.2.7). Однако легко видеть, что правая часть этого уравнения представляет собой малую величину не ниже третьего порядка малости по /. Поэтому ясно, что в рассматриваемых условиях угловая скорость вращения приблизительно постоянна на магнитной поверхности. Малые отклонения угловой скорости от распределения о)=а)(Ф) важны при определении азимутальной части магнитного поля, как следует из (3.2.7).
Вопрос о правильном задании функции TL(r,Q) является ключевым при анализе системы уравнений. В качестве простого примера рассмотрим случай, когда магнитное число Рейнольдса, подобно /, является функцией Ф: Rew=ReM(0), (3.2.9) или, другими словами, если поперечная проводимость постоянна на силовой линии магнитного поля. При этом вместо (3.2.7), выбросив в выражении для Y отношение ст± /o-j ПО сравнению с /2, считая его очень малым в соответствие с (3.2.1), будем иметь уравнение.
Таким образом, будем рассматривать класс симметричных по со относительно плоскости 0=я/2 решений, при этом естественным образом определяется функция 7(Ф) в виде (3.2.12), а угловая скорость вращения также оказывается функцией магнитного потока. Физический смысл этого результата (3.2.13) состоит в том, что угловая скорость вращения среды постоянна на магнитной силовой линии, а вращение среды в одной магнитной поверхности происходит независимо от вращения в других. В этом отношении эта система существенно отличается от задачи, рассмотренной в разделе 3.1, в которой взаимодействие между слоями было принципиальным для генерации тока и возмущений магнитного поля.
