Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модель образования пылевых частиц при облучении графита 8
1.1. Постановка задачи 8
1.2. Математическая модель дробления на основе гипотезы масштабного подобия 13
1.3. Аналогия модели дробления с фрактальной геометрией 17
1.4. Дополнительные предположения модели 21
1.5. Обсуждение результатов 24
Глава 2. Неустойчивость нагретого поверхностного слоя 28
2.1. Постановка задачи 28
2.2. Вычисление инкримента неустойчивости 29
Глава 3. Модель образования трещин на вольфраме вследствие остаточных пластических напряжений после облучения 38
3.1. Постановка задачи 38
3.2. Математическая модель пластической деформации 40
3.3. Условия образования трещин на вольфраме
3.3.1. Первое условие 42
3.3.2. Второе условие 46
3.3.3. Третье условие -47
3.4. Сравнение теоретических условий образования трещин с экспериментальными результатами
3.5. Вычисление глубины трещин на вольфраме 58
3.6. Направление трещин 60
Глава 4. Развитие трещин на хрупко-вязких материалах 64
4.1. Постановка задачи 64
4.2. Решение вспомогательной задачи
4.2.1. Постановка математической задачи 67
4.2.2. Асимптотика 69
4.2.3. Корректировка постановки задачи 71
4.2.4. Самоподобие решения 74
4.2.5. Сила вдоль ребра 75
4.2.6. Сила по нормали к поверхности .79
4.2.7. Сила по оси у 84
Заключение 88
Литература
- Аналогия модели дробления с фрактальной геометрией
- Дополнительные предположения модели
- Вычисление инкримента неустойчивости
- Решение вспомогательной задачи
Введение к работе
Актуальность работы
Проблема механической устойчивости конструкционных материалов возникала во многих областях науки и техники. Для каждого приложения специфичны свои требования к устойчивости (работа при высоких/низких температурах, многократные пластические деформации, устойчивость к трению и так далее). В процессе развития установок для удержания и нагрева плазмы с целью реализации управляемого термоядерного синтеза мощность потока энергии на стенки установки выросла настолько, что главными механизмами, ограничивающими срок службы материалов стенки, стали механические процессы разрушения [1]. Главным ориентиром по мощности плазменной нагрузки сейчас является проект ITER [2] с прогнозируемым коэффициентом теплового воздействия при импульсных явлениях более 10 МДж м~2 с-1'2. Кроме механической устойчивости, от материала стенки и дивертора термоядерной установки требуются химическая стойкость к контакту с водородом при высокой температуре, малая нейтронная активация, высокая теплопроводность, малое распыление. Поэтому в данный момент основными твердыми материалами, предлагаемыми в таком качестве, являются графит, вольфрам и материалы на их основе (композитные материалы и сплавы). Они не относятся к классическим конструкционным материалам. При атмосферном давлении графит во время нагрева остается хрупким до температур более 2000С. Вольфрам имеет высокую для конструкционных металлов температуру перехода из хрупкого состояния в вязкое (~ 300С). Опускание температуры ниже этой величины при высоких градиентах температуры может приводить к механическому разрушению. Кроме того, температура выше температуры рекристаллизации (для вольфрама ~ 1600С) приводит к ухудшению механических свойств. В таких жестких условиях именно хрупкое разрушение ограничивает срок службы материала стенок.
Хрупкое разрушение материала было обнаружено на установке ГОЛ-3 в ИЯФ СО РАН при облучении графита [3]. Графит в этих экспериментах под воздействием мощного плазменного потока рассыпался на мелкие частицы. Позже хрупкое разрушение при плазменной нагрузке было экспериментально обнаружено в виде образования сети трещин на поверхности вольфрама. В данный момент это явление стало популярной темой для исследований [4]. Механическая устойчивость материалов к плазменным нагрузкам изучалась во множестве работ. Аналитическим оценкам и численным расчетам механических повреждений при плазменных нагрузках посвящены работы [5, 6]. Но при типичных параметрах импульсной плазменной нагрузки на материалы в термоядерных уста-
новках есть малые параметры (например, отношение толщины нагретой области к остальным характерным размерам, отношение времени прохождения звуковой волны через нагретую область к времени облучения и так далее), позволяющие аналитически решать задачу, учитывающую одновременно упругость, пластичность и хрупкость материала. Прозрачность аналитической модели позволяет существенно продвинуться в понимании процессов, происходящих в материале при импульсной плазменной нагрузке.
Механические напряжения, в результате которых происходит это хрупкое разрушение, возникают в результате теплового расширения при сильно неоднородном нагреве. Механические повреждения, образующиеся в результате таких напряжений, имеют ряд особенностей, отличающих их от классических случаев приложения механических напряжений к материалам, рассматриваемых в теории сопротивления материалов. Первая особенность: механические напряжения при тепловой нагрузке возникают без приложения поверхностных сил. В уравнении механического равновесия появляется член, выражающийся через градиент температуры. Это отличие существенно изменяет математические расчеты и их результаты. Вторая особенность: механические напряжения при тепловой нагрузке возникают синхронно с повышением температуры. Стандартные механические испытания и расчеты производятся при постоянном распределении температуры. Существенная зависимость от температуры не только численных параметров материала, но и его качественного поведения при приложении механического напряжения (хрупко-вязкий переход металлов) требует дополнительного анализа.
Таким образом, создание аналитической модели хрупкого разрушения материалов при мощной плазменной нагрузке является актуальным и востребованным для проектирования термоядерного реактора.
Цель диссертации
Работа посвящена исследованию механизмов и свойств хрупкого механического разрушения материалов при мощной плазменной нагрузке и формулировке моделей дробления хрупких материалов на пылевые частицы и образования трещин на материалах с хрупко-вязким переходом.
Основной причиной хрупкого разрушения являются механические напряжения, возникающие при плазменной нагрузке в материале из-за теплового расширения. Графит, являясь хрупким материалом, имеет только упругие механические напряжения. Поэтому для описания образования пылевых частиц при облучении графита требуется создать модель дробления материала вследствие упругих напряжений.
Для объяснения образования трещин на поверхности вольфрама и
вольфрамовых сплавов стационарных упругих напряжений недостаточно. Поэтому целью работы является проверка возможности образования таких трещин вследствие неустойчивости упругих напряжений.
Другой возможной причиной образования трещин являются пластические напряжения. Для проверки этой гипотезы требуется создание модели, учитывающей следующие явления: распространение тепла в материале, тепловое расширение, упругость, пластичность и хрупкость материала.
Личный вклад автора
Все результаты диссертации получены либо лично автором, либо при его решающем участии. Автор активно участвовал в постановке задач диссертации в рамках предложенного ему направления работы. Кроме того, автор участвовал в экспериментах по лазерной симуляции мощной плазменной нагрузки на вольфрам в установке PSI-2 в исследовательском центре в Юлихе (Германия). Полученные в ходе этих экспериментов данные стали материалом для сравнения с теоретическими результатами.
Научная новизна
До выполнения данной работы теория хрупкого разрушения материалов при мощной плазменной нагрузке была представлена аналитическими оценками [5] и множеством численных расчетов [6, 7].
Новые результаты по образованию трещин на вольфраме получены благодаря использованию точных аналитических методов расчета механических напряжений в материале, вызванных расширением при тепловой нагрузке. Для упрощения формул и доведения их до возможности прямого применения к результатам, получаемым на экспериментальных установках, активно использовались малые параметры, характерные для теории сопротивления материалов и условий мощной плазменной нагрузки:
малость деформации;
малое отношение толщины нагретой области к размерам нагреваемой поверхности;
малое время установления механического равновесия по сравнению с характерным временем облучения.
Использование аналитических методов с упрощенными благодаря малым параметрам формулами позволило сделать процедуру вычисления механических напряжений (упругое, пластическое и полное) простой и прозрачной. При этом точность используемых базовых физических мо-
делей отдельных физических явлений не уступает соответствующим моделям, лежащим в основе численных кодов.
Максимальный известный измеренный диапазон размеров пылевых частиц, в котором было произведено измерение распределения по размеру, составляет 4 порядка. Показательное распределение приводит к тому, что значение функции распределения на концах этого интервала отличается более чем на 10 порядков [8]. Это делает численный расчет образования таких частиц очень затратным по требуемой вычислительной мощности. Именно поэтому вычисление распределения образующихся при мощной плазменной нагрузке графитовых частиц по размеру было произведено аналитически. Для этого использовались соображения размерности и самоподобия дробления. Благодаря аналитическому подходу впервые удалось связать геометрию дробления материала на частицы с их распределением по размеру. Найдена связь использовавшегося метода с фрактальной геометрией.
Научное и практическое значение результатов
В попытках реализации управляемого термоядерного синтеза строятся все более мощные плазменные установки. Вместе с мощностью нагрева плазмы растет и плотность потока мощности на стенки плазменных установок. Кроме постоянной нагрузки, в плазменных установках появились еще и импульсные события, приводящие к многократному росту потока мощности на короткий промежуток времени. На данный момент проблема принятия потоков плазмы из термоядерного реактора остается нерешенной.
В работе теоретически получены условия механического разрушения материалов под мощной плазменной нагрузкой, а также некоторые геометрические характеристики получающихся в результате механического разрушения пылевых частиц и трещин. Полученная теоретическая процедура вычисления механических напряжений (упругих, пластических и полных) позволяет количественно анализировать процесс разрушения материалов с точки зрения механизмов, приводящих к механическим повреждениям. Такой анализ позволяет количественно предсказывать, какие свойства материалов необходимы для лучшей устойчивости к мощным потокам плазмы.
Положения, выносимые на защиту
На защиту выносятся следующие положения:
1. Степенное распределение пылевых частиц, образовавшихся в результате хрупкого разрушения, аналитически полученное на основе гипотезы масштабного подобия дробления. Показатель распределе-
ния пылевых частиц, больших толщины разрушенного слоя, в интервале от —3 до —2, для меньших - от —4 до —3, в предположении регулярности формы частиц для пылинок. Наилучшее соответствие экспериментальных данных с касательными упаковками шаров.
-
Инкремент неустойчивости пластины с нагретым поверхностным слоем. Отсутствие этой неустойчивости в технически значимых для первой стенки и дивертора термоядерных установок случаях.
-
Аналитическая модель, описывающая пластические деформации материала с хрупко-вязким переходом при нагретом приповерхностном слое. Условия образования трещин при импульсной тепловой нагрузке. Зависимости глубины трещин от мощности поверхностного нагрева. Совпадение теоретических результатов с экспериментальными данными.
-
Постановка математической задачи, необходимой для расчета развития трещин на материалах с хрупко-вязким переходом. Решение стационарной задачи теории упругости для четверти пространства с однородными вдоль ребра силами.
Апробация результатов работы
Работы, положенные в основу диссертации, неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах в ведущих отечественных и зарубежных центрах, таких как ИЯФ СО РАН (г. Новосибирск), исследовательский центр Юлих (г. Юлих, Германия). Кроме того работы докладывались на международных конференциях:
8th International Conference on Open Magnetic Systems for Plasma Confinement (Novosibirsk, Russia, July 5-9, 2010);
European Physical Society 38th Conference on Plasma Physics (Strasbourg, France, 27th June - 1st July, 2011);
2nd International Workshop on Plasma Material Interaction Facilities for Fusion Research (Julich, Germany, September 19 - 21, 2011);
4th International Workshop on Plasma Material Interaction Facilities for Fusion Research (Oak-Ridge, USA, September 9 - 13, 2013).
Объем и структура работы
Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и одного приложения. Текст диссертации содержит 112 страниц, 21 рисунок и 2 таблицы. Список литературы состоит из 60 работ.
Аналогия модели дробления с фрактальной геометрией
Сначала сформулируем задачу математически. Пылевые частицы, появившиеся в результате хрупкого разрушения, являются фрагментами твердого тела [40]. Для того, чтобы получить их, нужно разделить это тело на фрагменты согласно какому-то закону. В предположении масштабного подобия этот закон должен не зависеть от размеров фрагментов. Будем мысленно удалять эти фрагменты из тела в порядке уменьшения их размеров и нумеровать их индексом п. Функция распределения фрагментов по размеру не будет зависеть от формы начального тела только для фрагментов, размеры которых много меньше размеров начального тела. Поэтому в дальнейшем мы будем предполагать, что п 1.
Подчеркиваем, что указанный способ нумерования фрагментов никак не связан с порядком образования фрагментов при реальном дроблении тела. Любые последующие дробления фрагментов на более мелкие куски автоматически учитываются представляемой моделью, так как предполагается нумерация фрагментов после окончания всех дроблений.
Обозначим объем тела, оставшегося от исходного после удаления тг-ого фрагмента, Vn и площадь его поверхности Sn. Величины Vn, Sn и характерный размер п-ого фрагмента гп можно связать рекуррентными выражениями Vn = К-1 - сгті (3) Sn = 5„_! + c2rl, (4) где Сі и С2 — коэффициенты, зависящие от формы удаляемых фрагментов. Благодаря предположению масштабного подобия эти коэффициенты не зависят от размеров удаляемого фрагмента и его номера. Коэффициент с\ положителен, так как при удалении фрагмента объем остающегося тела всегда уменьшается. Коэффициент с% может быть как положительным, так и отрицательным.
Для того, чтобы замкнуть рекуррентную схему, необходимо выразить размер следующего удаляемого фрагмента гп+\ через объем и площадь поверхности остающегося тела (Vn и Sn). После удаления большого числа фрагментов размер удаляемых частей станет много меньше размеров исходного тела. При этом локальная структура остатка не будет больше зависеть от формы исходного тела, а будет определяться только формой удаляемых фрагментов. При росте п локальная структура тела будет оставаться самоподобной, так как способ построения одинаков на любом масштабе. Разница будет только в размерах этих элементов. Из гипотезы масштабного подобия следует, что размер удаляемого фрагмента будет пропорционален размеру этих элементов. Линейный размер этих элементов может быть определен как отношение его объема к площади поверхности. При таком способе определения результат не зависит от количества элементов структуры, так как и объем и площадь поверхности растут линейно с количеством этих элементов. Таким образом, мы получаем требуемое выражение: rn+i = c3Vn/Sn, (5) где сз — положительный коэффициент, зависящий от формы удаляемых фрагментов.
В дальнейшем удобно анализировать последовательность qn = S /V вместо последовательностей Vn, Зп и гп. Рекуррентное выражение для qn, найденное из (3). (4) и (5), не содержит других переменных: п _ п (l + c2cl/g„)3 Чп+і - qn— г-—2 I6) (1 - cxcyqn) Эта последовательность стремится к ненулевой постоянной 5оо или к бесконечности. Причем второй случай реализуется только при выполнении условия Зс2 + 2с1Сз 0. (7) В первом случае рекуррентные выражения (3) и (4) могут быть упрощены при п 1: К+1 = Vn (1 - cadi/goo) , (8) Sn+i = Sn (1 + с2Сз/доо) - (9) Формула (6) в этом пределе запишется в виде (1 - clCl/qoof = (1 + c2cl/qoof . (10) Из формул (8) и (9) следует, что последовательности Vn и Sn — геометрические прогрессии: Vn ос (1 - С14/Яоо)П , (И) . Sn ос (1 + С24ЫооТ (12) Подставляя (11) и (12) в (5) получаем гп ос (1 - ci4/qoo)n/3 , (13) где для упрощения мы использовали выражение (10). Отсюда можно получить функцию распределения фрагментов по размеру: dn dr т = ос -. (14) г Такой результат не наблюдался в эксперименте, поэтому исследуем второй случай. Если последовательность qn стремится к бесконечности, выражение (6) можно разложить при qn 3 1: qn+1 qn(l+ ЗС2СІ + 2С1СІ) =qn+ (3c2cj + 2Clc) . (15) V Qn J При n»l последовательность qn растет линейно: qn (Зс2Сз + 2сіСз) п. (16) Зависимость Vn от п следует из (3) и (16): Vn+1/Vn = 1 - Cic/9„, (17) откуда мы получаем асимптотическое поведение Vn: С1С3 Уп се п ч ч%. (18) Аналогично, выражение для площади поверхности остающегося тела следует из формул (4) и (16): Sn ос n3c ci. (19) Подстановка (18) и (19) в (5) дает г осп 3сА+ ч4. (20) dn dr 7 = 3 + - 1—;-. (21) 1 + с1Сз/с2 v ; Из этой зависимости получаем функцию распределения по размеру /(г) =
Из условия (7) можно получить, что параметр 7 находится в интервале от 1 до 4. Все известные экспериментальные результаты попадают в этот интервал.
В случае дробления iV-мерного тела аналогичные вычисления дают допустимый диапазон для показателя распределения от —N — 1 до — 1.
Дробление тела в приведенной выше модели напоминает алгоритм построения фрактала и может быть описано в терминах фрактальной геометрии. Есть связь между показателем функции распределения фрагментов по размеру и фрактальной размерностью упаковки. Последняя определена как размерность Хаусдорфа-Безиковича остаточного множества [41].
Представленная модель предполагает дробление тела на бесконечное количество областей, в совокупности полностью заполняющих начальное тело. Такая же ситуация реализуется в покрывающих упаковках, например касательной упаковке шаров [42,43] (рисунки 5 и б). Однако покрывающие упаковки обычно несамоподобны. Это сильно усложняет математические выкладки. Поэтому мы выведем основное выражение на примере самоподобного фрактала типа ковра Серпинского [41,44].
При построении фрактала такого типа на каждой стадии построения удаляется несколько фрагментов одинаковой формы и размера. Построение фрактала характеризуется двумя параметрами: отношение линейных раз 18 меров фрагментов, удаляемых на соседних стадиях (fci 1) и отношение количества удаляемых фрагментов на соседних стадиях {ki 1). Обозначив номер стадии построения г, мы можем выразить через него номер удаляемого фрагмента п и его размер г кг+1 - 1 п = 1 + к2 + к\ + ... + к\ = -f -, (22) «2 — 1 г ос fcf, (23) и найти связь между ними при г 1: nocr-igfclfc2 -(24) Выражение logfcj к2 равно размерности остаточного множества D [41, 44]. Таким образом, мы получаем функцию распределения удаляемых фрагментов по размеру /(r)= ос г-1"0, 7 = 1 + 2?. (25) аг Справедливость этого выражения доказана для некоторых несамоподобных фракталов, в частности для касательных упаковок [45,46]. Есть основания надеяться, что это выражение справедливо для любого дробления тела, соответствующего представленной модели.
Размерность остаточного множества в трехмерном пространстве очевидно находится в интервале между 0 и 3. Таким образом, допустимый интервал значений для j естественным образом следует из размерности дробимого тела. Однако результат раздела 1.2. более общий, так как изначально не предполагалась дробно-размерная природа хрупкого разрушения, а также найдена связь показателя функции распределения фрагментов по размеру с геометрией дробления.
Дополнительные предположения модели
С помощью этого уравнения будем исследовать устойчивость смещений, вызывающих стационарные напряжения а?-, полученные в приложении А (формулы (223), (224)).
Пользуясь однородностью времени и координат вдоль поверхности, а также линейностью уравнений, будем использовать метод комплексной амплитуды. По аналогии с неустойчивостью стержней по Эйлеру [28,51] будем искать неустойчивые изгибные деформации. Поэтому будем искать решение уравнения (31) в виде: и х = f(z)Jkx-\ (32) и у = 0, (33) u z = g{z)eikx- , (34) где f(z) и g(z) - искомые функции, к - волновое число, ш - частота, t -время. Зависимость смещения от координаты у не предусмотрена, так как поворотом системы координат любой волновой вектор можно направить по оси х. Отсутствие смещения и взято из аналогии с неустойчивостью тонких стержней и пластин. Хотя, конечно, решения, имеющие смещения по координате у, тоже могут быть неустойчивыми. Подстановка выражений (32), (33) и (34) в уравнения (31) дает -Щ-+ik(x+ri &r + [р"2 k2{a {z)+х+2/x)]/(z) = (35) (A + Ы3 - + гк(Х + р)?№ + [рш2 - k2(vxx(z) + p)]g(z) = О, (36) где А = К — 2/3 її, К - модуль всестороннего сжатия, р - модуль сдвига, а выражение ?xx(z) надо подставить из формулы (224). В дальнейшем мы не будем расписывать выражение (Txx(z) для краткости формул. Для следующих вычислений важно только то, что crxx(z) так же, как и T(z), в рассматриваемом случае является функцией только от z.
Граничные условия при поиске гГ на свободных поверхностях сводятся к выражению а кщ = 0. (37) Подстановка выражений (32), (33) и (34) в граничные условия (37) дает ikg(z) + У& = 0, (38) (\ + 2p)d - + ik\f(z)=0. (39) На разрыве температуры равно нулю не выражение (37), а его скачок, что приводит к равенству с двух сторон разрыва функций f(z), g{z) и их первых производных. Мы будем решать задачу для случая пластины, состоящей из нагретого до постоянной температуры слоя толщины h и ненагретого слоя толщины Н. За ноль на оси z примем границу этих слоев. Координаты невозмущенных свободных границ при этом будут —h и Н. В пределах одного слоя, то есть при постоянном crxx(z), два дифференциальных уравнения второго порядка на две функции (35) и (36) можно свести к одному дифференциальному уравнению четвертого порядка на одну функцию, причем уравнения на f(z) и g{z) получаются одинаковыми:
В дальнейшем мы должны будем использовать величины/(z), g(z), С\, с%, ... с8) к1) К2, &%х и так Д3»1166) различные для каждого слоя пластины. Мы будем обозначать их принадлежность слою верхним индексом. Индексом «+» обозначим нагретый слой, а индексом «—» -холодный. Использование величин, относящихся к слою, без индекса означает, что выражение справедливо для любого индекса, одинакового во всем выражении или утверждении.
Подстановка выражений (42) и (43) в уравнение (35) или (36) дает линейную связь наборов констант, входящих в выражения (42) и (43). Одинаковость результатов подстановки в уравнения (35) или (36) обеспечивается справедливостью уравнений (40) и (41). Используя уравнение (35), выразим константы с5, eg, С7 и с% через С\, Сг, Сз и с±\ .«і .Кг .к .к с5 = -г—сь с6 = г—с2, с7 = -г—с3, с7 = г—с4. (46) к к к% к.2 Граничные условия выражаются через функции f(z) и g(z), а также их первые производные. С другой стороны, поведение этих функций внутри слоя хорошо представляется константами с\, с%, сз и с±. Поэтому для решения задачи полезно уметь преобразовывать их друг в друга. Это удобно сделать в виде матриц: U(z) = S Q(z) С, (47) где введены обозначения С/(г) = м z \ z / (48) S К] rtl —г -«і К2 К2 l\ -«2 «2 (49) —г —г -г/с —г& Q( ) = о о о о о о 0к2г О О О — «22 / (50) ел с с2 (51) Остается в матричных обозначениях написать граничные условия. Условие на стыке слоев запишется в виде U+(0) = Г(0). (52) Граничные условия на свободных поверхностях (38) и (39) запишутся следующим образом: F U+(-h) = 0, (53) F U (H) = 0, (54) где под нолем подразумевается нулевая матрица соответствующего размера, a F представляет собой следующую матрицу: О 1 гкХ О гк\ О О Л + 2/Л (55) Пользуясь выражениями (47), (52), (53) и (54), можно получить линейную систему уравнений на cf, с, с -и с : F-S+- Q+(-h) F-S--Q+(H)-{S )-1-S+ С+ = 0, (56) где две матрицы, записанные в одной, обозначают объединение двух матриц 2 на 4 в одну 4 на 4.
Вычисление инкримента неустойчивости
Четвертая стадия начинается, когда полное напряжение снова достигает предела текучести (на этот раз в другую сторону). При этом пластическая деформация начинает развиваться в обратную сторону.
Уменьшение пластических напряжений происходит до тех пор, пока температура не станет меньше температуры перехода из хрупкого состояния в вязкое. После этого материал становится хрупким и пластическое напряжение больше не может меняться. В конце пятой стадии температура достигает начального значения. При этом упругие напряжения исчезают и остается только пластическое напряжение, которое было в материале в конце четвертой стадии. По графику полного напряжения можно понять, что остаточные растягивающие пластические напряжения в результате такого процесса равны сумме предела текучести и упругого напряжения, возникающего в результате ИЗМенеНИЯ Температуры ОТ Тх ДО Ттах . аЕ ахх = сгу + —- (Тт - Го). (79) Для появления трещин это напряжение должно превысить предел прочности: TQ TT- (at-ay). (80)
Заметим, что мощность нагрева не вошла в это условие образования трещин. Также это условие имеет очевидное следствие: если начальная температура материала больше температуры перехода из хрупкого состояния в вязкое, то трещины не образуются. Для чистого вольфрама это условие Тт
Схематическое изменение температуры, упругого, полного и пластического напряжений в слое во время второго и последующих циклов нагрева и охлаждения. Графики нарисованы без соблюдения масштаба. сводится к тому, что трещины могут образоваться только при начальной температуре материала меньше, чем примерно 100С.
Добавление второго и последующих циклов нагрева до той же максимальной температуры без изменения свойств материала не приводит к модификации условий образования трещин. Схема этих циклов изображена на рисунке 13. От первого цикла (рисунок 12) отличаются только первые две стадии.
Первая стадия в этот раз более длинная из-за того, что в материале уже есть растягивающие пластические напряжения, из-за которых полные напряжения достигают предала текучести позже.
Вторая стадия, как и раньше, начинается вместе с появлением новой пластической деформации. В конце этой стадии достигается такое же максимальное пластическое напряжение, что и в первом цикле нагрева и охлаждения. Третья, четвертая и пятая стадии совпадают с первым циклом. Образование трещин не с первого цикла может быть результатом изменения свойств материала из-за усталости материала, отжига и так далее.
Нарисуем область выполнения условий образования трещин на плоскости. По оси абсцисс - начальная температура материала, по оси ординат - коэффициент теплового воздействия (мощность нагрева, умноженная на корень из его длительности). Для этого будем пользоваться характерными величинами для чистого вольфрама [55]:
На установках JUDITH-1, PSI-2 и ГОЛ-3 проводились эксперименты, в которых вольфрам и вольфрамовые сплавы подвергались импульсным тепловым нагрузкам [26,56].Для сравнения экспериментальных результатов с теоретическими нам понадобятся значения параметров облучения и свойства материалов.
Длительность облучения в установках JUDITH-1 и PSI-2 составляет 1мс, при этом каждый образец облучался 100 раз с частотой 10 Гц. В экспериментах на установке JUDITH-1 использовались пять видов вольфрамов и вольфрамовых сплавов: ультрачистый вольфрам (W-UHP), чистый вольфрам (W), вакуумно-металлизированный вольфрам (WVMW), вольфрамовые сплавы с 1% и 5% тантала (WTal и WTa5). Ультрачистый вольфрам имеет долю примесей не более 10 б, чистый вольфрам - не более 3 10 4. У этих материалов были измерены модуль Юнга, теплопроводность и коэффициент теплопроводности [56], и их значения при комнатной температуре указаны в таблице 1. Для получения теоретических результатов использовались измеренные зависимости этих свойств материалов от температуры [56].
Решение вспомогательной задачи
Смещение может быть конечным, только если погонная внешняя сила равна нулю. Поэтому мы предположим это и будем решать задачу с наиболее простой внешней силой, дающей ноль при интегрировании: Fl(y) = F dy5(y-a), (95) Ff{z) = 0. (96)
Может показаться, что в граничных условиях мы уменьшили общность задачи, дополнительно предположив, что интегральные силы, действующие на границы при у = 0 и z = 0, равны нулю по отдельности. Но так как у этих границ есть общая точка (у = 0, z = 0), к которой можно приложить противоположные силы и отнести их к разным частям границы, можно одновременно занулить обе погонные силы, действующие на полуплоскости. При нулевой общей погонной силе следующая замена, не меняющая физическую постановку задачи, позволяет занулить обе эти силы по отдельности: FRy) -»Fl(y) - 6(у) J Fl(a)da, (97) о со Ff{z) F!{z)-S{z)J Ff{a)da. (98) о Обозначим решение уравнения (85) с граничными условиями (90) и (91) ut(y,z), а с граничными условиями (95) и (96) uu(a,y,z). Решения линейно зависят от амплитуды силы FQ{ в граничных условиях, поэтому выпишем эту линейную связь в общем виде: иц(а, у, z) = и{{(а, у, z)F . (99)
Введенная здесь величина u[t является некоторым аналогом тензора Грина. В дальнейшем мы будем использовать такую же форму записи: верхний тензорный индекс соответствует индексу амплитуды силы в граничных условиях, а нижний - индексу вектора смещения. Также в дальнейшем нам понадобятся обозначения смещений в решении уравнения (85) с другой геометрией задачи и другими граничными условиями. Мы будем обозначать их нижним числовым индексом.
Получим выражение для щ через и3и. Из линейности задачи, проинтегрированная с любым ядром hj(a) по а функция и{{(а, y,z) останется решением уравнения (85). Остается подобрать такое ядро, чтобы граничные условия (95) при таком преобразовании переходили в (86) с произвольной заданной функцией F}(y). Соответствующее условие на ядро hj(a) записывается так:
Константа выбрана соответственно случаю нулевой интегральной силы. Получается, что ответ для произвольной силы запишется следующим образом: оо / о \ щ(у,г) = J У F/(0de J v?xi{a,y,z)da. (103) о \0 / Мы получили выражение решения общей задачи щ(у,г) через и\{(а, y,z) - решение уравнения (85) с граничными условиями (95) и (96) и произвольным направлением и амплитуды силы Fh. Далее мы займемся изучением свойств и нахождением uJu(a,y, z).
С отличной от нуля Ff(z) полный ответ из симметрии записывается следующим образом: где верхний индекс T обозначает перестановку у я z координат вектора смещения. 4.2.4. Самоподобие решения
Задача, поставленная в разделе 4.2.3., имеет один характерный размер а. Уравнение (85) и внешняя сила (96) не содержат характерных размеров. Параметр а входит только в граничное условие (86) с силой (95). Получим из него закон масштабирования искомого решения по этому параметру. Распишем граничное условие (86):
Так как это выражение должно быть справедливым для любой амплитуды силы FQJ, ТО ее можно "сократить":
Задача имеет разные группы симметрии при различных направлениях приложенной силы. Поэтому мы будем отдельно рассматривать эти случаи. При этом мы будем использовать известное решение [28] задачи линейной теории упругости для заполненного упругой средой полупространства, расположенного при z 0, с граничными условиями Fl = F&(x)6(y) при z = Q. (112) Обозначим его Иы(х,у) и введем uJ2i(x,y) аналогично выражению (99): Мі/.2)=«2і(їІг)4 (113) Необходимые части данного решения мы будем выписывать в процессе вычислений. Это решение удовлетворяет уравнению (85), но из-за другой геометрии задачи удовлетворяет другому граничному условию при z = О, а граничное условие при у — 0 в этом случае вообще не задается. Из линейности задачи следует, что любое линейное преобразование этого решения не испортит соответствия уравнению (85). Поэтому мы будем искать такое преобразование, чтобы в его результате поверхностные силы на границах четверти пространства были максимально похожи на выражения (95) и (96). Сначала решим задачу для четверти пространства с граничными условиями (95) и (96) для силы, действующей вдоль ребра четверти пространства: FL = hF$y = 0,F& = 0. (114) Известно [28] решение задачи для полупространства, заполненного упругой средой, расположенной при z 0, с граничными условиями (112) и (114): _ 1 + о f 2(1 -a)r + z (2г(от + z) + z2)x2\ 2 2KE{ r(r + z) + r»(r + )a / { J 1 + cr (2r(ar + z) + z2) 2TXE r3(r + z)2 ux - "W T±LL± lxv (U6) 1 + О" / 1 - 2(7 z , 2vrS Vr(r +г) r где r = л/ж2 + у2 + г:2. Получим из него решение для полупространства с интересующими нас граничными условиями (95), (96) и (114) (обозначим его ufj(a,у, z)). Найдем линейное преобразование, приводящее выражение (112) к виду (95). Продифференцируем (112) по у, заменим х на х — х и проинтегрируем по х по вещественной оси: DO j dy(F&(x - x )5(y))dx = F&dy5{y). (118) Для получения (95) остается только заменить у на у — а. Из линейности задачи следует, что те же самые преобразования надо проделать с решениями (115), (116) и (117):
При этом важно, что сначала должно проводиться дифференцирование, а потом интегрирование, так как иначе интегрирование даст бесконечность по описанным в разделе 4.2.2. причинам. Аналогичные вычисления показывают, что такая же связь справедлива для любого направления силы:
Из-за такого простого выражения для смещений ненулевыми являются только компоненты тензора напряжений гху и axz. Выражение и х(а, у, z) удовлетворяет уравнению (85) и граничному условию (86), но в граничном условии (87) аху не обращается в ноль при у = 0. Компонента тензора напряжений аху занулится, если симметризовать решение по у. Это не испортит соответствия граничному условию (86), так как соответствует добавлению силы, действующей на полупространство при у 0. Обозначим симметризованное решение u\i. Соответствующие выражения для направления внешней силы по оси х записываются следующим образом:
