Содержание к диссертации
Введение
1. Многомешые задачи обработки измештелшой информации
1.1. Многомерные задачи спектроскопии 9
1.2. Некоторые методы решения многомерных задач обработки измерительной информации 20
1.3. Регуляризация Тихонова А.Н. многомерных задач 41
2. Регуляризащя многомеиінх задач на статистической основе
2.1. Построение статистических регуляризованных оценок в многомерных задачах спектроскопии 47
2.2. Апостериорное уточнение параметров регуляризации .62
2.3. Проблема реализационной сложности при статистической регуляризации многомерных задач спектроскопии .74
3. Алгоритмы решения некоторых многомешых задач экспериментальной спектроскопии
3.1. Меры погрешностей восстановления 86
3.2. Сглаживание экспериментальных данных 87
3.3. Численное дифференцирование массивов спектроскопических данных 89
3.4. Сглаживающая интерполяция многомерных массивов экспериментальных данных 99
3.5. Алгоритм инверсии Абеля 101
3.6. Учет поперечных колебаний осесимметричной плазмы .106
3.7. Учет аппаратной функции 108
3.8. Общая постановка задачи редукции в спектроскопии осесимметричной плазмы III
3.9. Алгоритм инверсии Радона 115
4. Некоторые научно-технические приложения
Спектрофотометрический анализ многокомпонентных смесей .134
Заключение 146
Литература 150
- Некоторые методы решения многомерных задач обработки измерительной информации
- Регуляризация Тихонова А.Н. многомерных задач
- Апостериорное уточнение параметров регуляризации
- Сглаживание экспериментальных данных
Введение к работе
Современные спектроскопические исследования характеризуются комплексной постановкой эксперимента, когда спектры испускания и (или) поглощения регистрируются для ряда лучей зрения, углов наблюдения; моментов времени и т.д. В немалой степени это обусловлено растущими возможностями ЭШ, позволяющими собирать и обрабатывать многомерные массивы экспериментальных данных. В свою очередь это создает возможность эффективного решения основной задачи экспериментальной спектроскопии - изучения спектров веществ в объектах, развивающихся во времени и пространстве под влиянием некоторых внешних условий. В этом случае традиционная математическая модель спектра, т.е. его описание скалярной функцией одного спектрального аргумента f ( X ), должна быть дополнена до скалярной функции многих переменных f ( A , t , 1 , а ), где t - время, 1 - физическая координата некоторой точки объекта, ц. - переменная, характеризующая условия эксперимента.
Истинный спектр р не может быть измерен реальными спектральными приборами, которые регистрируют некоторый сигнал f , связанный с У7 аппаратными и иными преобразованиями и включающий ошибки измерений. Сигнал f , который мы также будем называть спектром, в свою очередь зависит от спектрального аргумента А , времени і , координаты 7 и параметра И , т.е. его математической моделью также служит скалярная функция многих переменных f ( A , i , Ґ , \Л ).
Задача восстановления истинного спектра, т.е. функции многих переменных if (A , t , Z , U. ) по измеренному с ошибками спектру f ( А1 , і1 , Zl , И ) мы будем называть многомерной обратной задачей прикладной спектроскопии независимо от того, яв - 5 ляется ли она разделимой по аргументам. Большинство обратных задач обработки экспериментальных данных оказываются некорректными [ї-З] , что практически проявляется в резком усилении ошибок измерений при попытке решить их традиционными методами. Они не могут быть решены в обычном смысле. Можно рассчитывать только на получение некоторых регуляризованных ( 2 ] оценок истинного спектра, явно или неявно использующих дополнительную (априорную) информацию, обеспечивающую приемлемую погрешность восстановления.
Ясно, что в этой ситуации качество оценок определяется полнотой и гибкостью привлечения объективной априорной информации об истинном спектре и об ошибках измерений. Из физических соображений истинный спектр if ( А » t , Z » ) должен быть одновременно коррелирован для близких волн, координат и т.д. При некоторых способах регистрации спектров то же самое можно сказать и об ошибках измерений. Комплексная постановка спектроскопического эксперимента создает возможность для учета априорной информации такого типа и тем самым для повышения точности оценок истинного спектра. Однако, эта возможность до настоящего времени остается практически не реализованной, что обусловлено отсутствием гибкого и универсального метода комплексной обработки спектров.
В рамках регуляризации Тихонова А.Н. многомерные постановки не требуют принципиальных изменений. В частности, здесь, как и в одномерных некорректных задачах, наиболее употребительным является предположение о различного рода гладкости искомой функции, что обычно соответствует модели спектра. Однако,прямое применение метода регуляризации Тихонова А.Н. в задачах обработки многомерной спектроскопической информации нельзя признать целесообразным с учетом случайного характера ошибок измерений спектров.
Применение статистических методов оценивания [4] при обра - 6 ботке многомерных экспериментальных данных наиболее широко применяется в теории и практике цифровой обработки изображений, где на основе концепций наилучших линейных оценок, оптимальной фильтрации в частотной области и т.д. развиты многомерные алгоритмы. Но они предполагают наличие априорной информации, которой спектроскописты обычно не располагают, например точное задание ковариационной функции и математического ожидания [5] искомого спектра. Учитывая вышеизложенное, основной целью настоящей работы является развитие и исследование статистических методов обработки результатов комплексного спектроскопического эксперимента, т.е., с учетом принятой математической модели и некорректности задач, развитие методов статистической регуляризации многомерных задач прикладной спектроскопии. Достижение этой цели предполагает решение ряда задач, из которых наиболее важными и определяющими новизну работы являются:
- разработка методов статистической формализации информации о гладкости многомерных моделей спектров;
- разработка методов построения статистических регуляризован-ных оценок (СРО) для многомерных задач, включая методы апостериорного уточнения регуляризующего вектора d , учитывающего возможное различие гладкости по физически неэквивалентным аргументам А , t » I многомерной модели спектра;
- разработка эффективных методов вычисления СРО для многомерных задач спектроскопии с учетом их структуры;
- разработка алгоритмов вычисления СРО для важнейших многомерных задач спектроскопии и проверка их эффективности.
Научная новизна работы также состоит в том, что в ее рамках:
- развит метод статистической регуляризации многомерных задач спектроскопии;
- введены блочно-циркуляционные матрицы и дана блочно-цирку , - 7 -ляционная интерпретация СРО, что позволило принципиально уменьшить реализационную сложность вычисления СРО для типичных задач спектроскопии;
- получены СРО для "прямых" неустойчивых задач спектроскопии;
- разработан сглаживающий проекционный метод вычисления СРО;
- разработаны СРО алгоритмы сглаживания, дифференцирования, интерполяции многомерных спектроскопических данных, комплексной обработки спектропроекционных данных в задачах локальной спектроскопии плазмы, а также ряда других задач экспериментальной спектроскопии и показана их эффективность;
- разработаны СЮ алгоритмы учета спектральных помех в спект-рофотометрическом анализе многокомпонентных смесей.
Практическая ценность работы состоит в том, что ее результаты:
- могут быть использованы для разработки алгоритмов решения любых линейных многомерных задач прикладной спектроскопии;
- дают возможность уменьшить погрешность оценок спектров для широкого класса задач экспериментальной спектроскопии с использованием созданных алгоритмов;
- создают предпосылки для повышения точности лабораторного и промышленного спектрофотометрического анализа веществ в многокомпонентных смесях, и улучшения его метрологического обеспечения.
Структурно работа состоит из введения, четырех глав основного текста, заключения и списка литературы. Первая глава работы носит обзорный характер и содержит краткий анализ методов решения многомерных задач обработки экспериментальных данных, используемых в спектроскопии и других областях науки. Во второй главе в рамках единого статистического подхода и матричного формализма развиваются различные аспекты метода статистической регуляризации
-многомерных задач спектроскопии. Третья глава посвящена разработке и экспериментальной проверке алгоритмов вычисления статистических регуляризованных оценок для основных многомерных задач прикладной спектроскопии. В четвертой главе анализируются практические возможности применения развитых методов в прикладном спектрофотометрическом анализе вещества.
В терминологическом плане мы старались руководствоваться:
- по общим вопросам регуляризации классическими работами [1-з] ;
- по вопросам многомерного статистического анализа классической работой [4] и известным справочником [б] ;
- по вопросам матричной алгебры классической работой [б] и обзором [7] ;
- по общим вопросам оптики, спектроскопии и спектрофотометрического анализа работами [8-Ю] ;
- по специальным вопросам статистического оценивания в условиях неопределенности и неадекватности работами [іІ-ІЗ] .
Некоторые методы решения многомерных задач обработки измерительной информации
Как уже отмечалось во введении, интерес к многомерным постановкам задач в значительной мере обусловлен комплексной постановкой современного спектроскопического эксперимента, его автоматизацией, позволяющей собирать большие массивы данных, и растущими возможностями вычислительной техники, позволяющими их обрабатывать. В этом плане спектроскопия не является исключением среди других наук. Методы решения многомерных неустойчивых задач развиваются в геофизике [50] , астрономии [51] , теплофизике [52-53] и т.д. Но наиболее широкое распространение многомерные постановки получили в теории и практике цифровой обработки изображений (ЦОИ), особенно если сюда отнести и методы восстановления изображений по проекциям [47-48] . В теории ЦОИ получены некоторые общие результаты, целесообразность использования которых в спектроскопии не вызывает сомнения. В связи с этим в настоящем разделе мы будем,главным образом,рассматривать методы решения многомерных неустойчивых задач, развиваемые в ЦОИ. При этом, как следует из нижеизложенного, мы сохраняем общность с точностью до несущественных терминологических изменений. Следует,прежде всего, заметить, что в современных работах по ЦОИ [48, 54-57] понятию "изображение" придается более общий смысл по сравнению с традиционным. Так в [54J под изображением понимается двумерный сигнал, предназначенный для зрительного восприятия человеком, в [48] -двумерное распределение некоторой физической величины, а в [55] пространственно-временные сигналы об объектах, которые могут быть описаны моделями случайного поля или "детерминированного" поля со случайными параметрами. Определение [55] по существу охватывает любые измерительные данные, в частности, спектральные распределения интенсивности излучения во времени и в пространстве.
При любых методах обработки изображений экспериментальные данные обрабатываются с целью получения информации о процессах и явлениях, развивающихся в исследуемом объекте в пространстве и во времени. Информация, интересующая исследователя, заключена в значениях светового поля, описываемого функцией многих переменных V ( t , Z » U ), где t - время, Z - пространственная координата, Л - вектор информационных параметров. Так, например, в локальной спектроскопии плазмы "изображением" может служить спектр локальной излучательной способности, а параметром и - совокупность электронной и ионной температур в точке (-6,3) и т.д. Предполагается, что исследователь располагает физической моделью, позволяющей восстановить по истинной функции If ( t , Z , LC ) значения вектора информационных параметров Л . Однако, непосредственному наблюдению доступна не функция V ( t , 3 , (і ), а сигнал f ( t , Z ), связанный с { ( -6 , z , Й" ) некоторым, возможно, не детерминированным оператором Н H[Y(i,z,E)] + Л ,г)= f(t,z) , плз) где Jr ( t , Z ) - щум наблюдения. Проблема формулируется как получение "наиболее точной" оценки U по f . - 22 Мерой точности служит обычно среднее значение С/ч некоторого функционала С ошибки И- UH СМ = М[С(ЇЇ-ЇЇн)] , U.I4) где М[ ]- оператор математического ожидания. В качестве функционала ошибок С обычно используют квадратическое отклонение. В ДОИ общепринят двухэтапный подход к оценке Ы [54-57] . На первом строится оптимальная оценка ( і , , Li ). Эту задачу называют коррекцией, восстановлением. На втором этапе строится оценка U. по V , что иногда называют измерениями на изображениях [54] . Наиболее трудоемкой и определяющей качество оценок является задача восстановления [бб] , которая обычно является некорректной и требует привлечения априорной информации о функции .
Общее соотношение (Т.15) является основным в теории цифровой обработки изображений. Его конкретный вид зависит как от структуры задачи, так и от выбранного непрерывного базиса. Если функции ( X , 1/ ) и f ( Xі , У1 ) разлагаются по базису двумерных дельта-функций Г ( X , У ), то четырехмерную функцию ft ( К1 , У1 , X , У ) называют импульсным откликом системы. Для задач оптики и спектроскопии примерами импульсного отклика являются двумерные и одномерные аппаратные функции оптических и спектральных приборов.
Если импульсный отклик Ц зависит от координат Х- Xі , У - У , то соответствующий преобразующий оператор называют пространственно инвариантным. Интеграл суперпозиции (I.I5) для пространственно инвариантных систем преобразуется к интегралу типа свертки К И (х-Xі, У-у ) tfix dxjy +5(ХУ) {(Х\У ). (ІЛ6) Широко применяются модели с разделимым импульсным откликом, для которых Соотношение (1.15) или его варианты (1.16), (1.17) дают математическую формулировку проблемы восстановления, т.е. определения некоторой двумерной функции р ( X , У ) по двумерной функции -( Xі » У/)» связанной с f ( К , Ч ) известным интегральным преобразованием и измеренной на непрерывной двумерной области & с погрешностями 5 ( Xі , У1 ). Статистические свойства погрешностей JF (Л , у ) считаются известными.
Регуляризация Тихонова А.Н. многомерных задач
Все вышеприведенные методы восстановления опирались на знание статистических свойств шума и искомого изображения. При обработке многомерных экспериментальных данных исследователь обычно достаточно хорошо знает уровень ошибок измерений. В то же время точное знание ковариационной матрицы ]/ е обычно не представляется возможным. В практике ДОИ с связи с этим развиваются так называемые "слепые" методы восстановления [57] , представляющие собой попытку получить всю необходимую для устойчивого решения информацию непосредственно из анализа искаженного изображения. С учетом некорректности задачи ясно, что и в этом случае должна неявно вноситься некоторая априорная информация, например,предложение о соответствии некоторого локального участка искаженного изображения известному объекту [57] , что делает эти методы не универсальными .
Фундаментальные математические результаты в решении некорректных задач, полученные Тихоновым А.Н., до настоящего времени не находили в ЦОИ широкого применения. Вероятно, это связано с тем, что изображения (в узком смысле слова) обычно являются кусочно-гладкими с априорно не заданными границами областей гладкости, что трудно учесть в рамках классического метода регуляризации. Частный случай применения метода Тихонова А.Н. к восстановлению изображения приведен в работе [29] .
Одной из первых работ по применению метода регуляризации Тихонова А.Н. в обратных задачах произвольной размерности является работа [77] . В ней рассматривается интегральное уравнение вида К[х]= /K(i,s)-X(s) s- y(i),t ?,je r , (1.67) & где & - п - мерная область евклидова пространства Єп . Q - т - мерная область евклидова пространства Е т . Комплексные функции X , i/ , К удовлетворяют условиям: В качестве регуляризованного эквивалента (1.67) рассматривается вариационная задача X в Lz(&) В [77] показано, что задача (1.69) корректна для любых сС О и 3(t) = Lz(Q) , и ее решение Л" обладает следующим - 43 -важным свойством: если К[Ло] = Но, Хо(5)е Li(G-) , Uo(t)e Lz(0) , то /j XtL ХОЦІІ() стремится к нулю при оС - о , где ХоС есть решение (1.69) для У о . Техника отыскания регуляризованно го решения в [77] основана на переходе к спектральному представлению с использованием многомерного преобразования Фурье. Решению двумерного интегрального уравнения Фредгольма первого рода с разностным ядром посвящена работа [78] . Постановка задачи в основном соответствует постановке [77] . Области определения От и Q двумерные бесконечные и К(х,Х\У;і/ ) = К(х-Х1,У-ї ) (1.70) В этих условиях Фурье-образ f л ( СО к , СО У ) регуляризо ванного решения « ( X , У ) задачи согласно f78] можно получить в виде ЪГ , ч К ((ОХ,(ОУ) Нюх, tin) ЫU , )=-7 7 ЇЇ2 Г Т г ЇТГГ" (1в71) где К ( СОх , Сду ) - фурье-образ функции К ( X , У ), f ( &?х , ft?y ) - Фурье-образ "измеряемой" функции. Нетрудно заметить, что (I.7I) совпадает с обобщенным линейным фильтром (1.23). Однако здесь конкретизация "сглаживающей" функции S ( СОх ) еду ) опирается на содержательные соображения о гладкости искомой функции. Кроме того, выбор параметра JL » который в [783 рекомендуется осуществлять по невязке [2] , обеспечивает необходимую гибкость метода с учетом результатов эксперимента.
Как показывают приведенные примеры, переход от линейных одномерных задач к линейным многомерным задачам в рамках метода ре - 44 гуляризации А.Н.Тихонова не вызывает принципиальных изменений. Однако,приемлемые по критерию реализационной сложности алгоритмы в рамках первоначальной концепции регуляризации удается построить только для многомерных задач с разностным ядром. Кроме того, как и в задачах обработки изображений (см. выше), использование непрерывной исходной постановки- с применением интегральных преобразований Фурье приводит при дискретизации (I.7I) к трудно контролируемым ошибкам, в особенности при измерениях на неравномерных сетках.
В последнее время методы регуляризации интенсивно используются при решении задач вычислительной томографии [47, 48] , которую можно рассматривать как частный случай ЦОИ. Учитывая стремительно растущее количество работ в этом направлении, мы не считаем возможным провести здесь их анализ. Отдельные результаты, представляющие интерес в плане настоящей работы, мы рассмотрим в соответствующем разделе главы 3.
Мы рассмотрели коротко основные задачи спектроскопии, оптимальное решение которых требует их формулировки как многомерных обратных задач. Учитывая, что регистрация и исследование одиночного спектра в настоящее время является скорее исключением, чем правилом, многомерные постановки оказываются целесообразньми для широкого круга обратных задач спектроскопии, которые традиционно рассматриваются как одномерные.
При анализе известных принципов решения многомерных задач особое внимание уделено методам цифровой обработки изображений (ДОИ), где в настоящее время сложилась наиболее развитая методология. Следует иметь в виду, что в математических моделях ЦОИ понятию изображение придается широкий смысл, позволяющий перенести эти методы на многомерные задачи спектроскопии. В частности, мы будем широко использовать методы векторных переформулировок, позволяющие применить к решению многомерных задач спектроскопии методы многомерного статистического анализа.
Прямое применение статистических методов оценивания предполагает наличие априорной информации о статистических свойствах реше - 46 ния, которой спектроскописты обычно не располагают. В связи с этим коротко рассмотрено применение для решения многомерных задач метода регуляризации Тихонова А.Н. Применяемые здесь методы формализации априорной информации о гладкости искомой многомерной функции мы будем использовать при построении статистических регу-ляризованных оценок в многомерных задачах спектроскопии.
Апостериорное уточнение параметров регуляризации
При рассмотрении многомерных задач спектроскопии "координаты" пространства 6- ( X , У ...) могут иметь существенно различную физическую природу. Так, например, в качестве X мы можем рассматривать длину волны, а в качестве У обычную пространственную координату, что соответствует общей постановке задачи локальной спектроскопии осесимметричных объектов. В связи с этим, гладкость функции V7 ( X , У ) в X и У направлениях может оказаться существенно различной. Предположение о вероятной гладкости в форме (2.8)-(2.11) дает принципиальную возможность учесть это обстоятельство. Однако возможность априорного задания коэффициентов fii в (2.II) следует признать крайне маловероятной в реальных спектроскопических экспериментах. Должны быть развиты методы их апостериорного уточнения. В рамках классического метода регуляризации общее исследование методов многопараметрической регуляризации проведено в работах [86-88] . Отдельные результаты по многопараметрической регуляризации на статистической основе проведены в [42 J . Мы будем рассматривать стабилизатор общего вида (2.II), параметры которого oCi oL Pi подлежат апостериорному уточнению, начав с методов максимизации функций правдоподобия и плотностей вероятности.
Таким образом, система уравнений (2.63) или ее частные случаи дают независимую оценку максимума маргинальной апостериорной вероятности для параметров регуляризации , которая может быть согласована с оценкой fe" по (2.45). Для эффективного итерационного решения (2.63), как и ранее рассмотренных систем (2.53), (2.57), желательно иметь хорошее нулевое приближение do .
Подчеркнем, что д не является ковариационной матрицей [b] , так как М[3] t О в общем случае. Для прямого решения задачи оптимального выбора- «С могут быть составлены rfe/r(/ij , характеризующий объем области рассеяния ftt относительно if , или 5р ( ЯА ), характеризующий среднюю ошибку оценки с учетом случайной и систематической составляющей. Тогда уравнения на оС могут быть получены с учетом необходимых условий минимума dct(KAJ или 5к ( RA) , т.е. их дифференцированием по вектору оС . Простейший вариант такого метода анализируется в f 90 ] со ссылкой на [95} в рамках так называемого метода гребневой регрессии,эквивалентного регуляризации нулевого порядка. Однако, полученные таким образом уравнения не создают вычислительных преимуществ. Ниже мы рассмотрим более гибкий метод, близкий в идейном плане к методу, развитому в [96-99] для оценки одного параметра регуляризации.
Воспользуемся тем, что для оптимальной, в смысле минимизации VSP(RA) » матрицы Т ( ) должна иметь место вполне определенная связь с матрицей рассеяния ft-f , которую мы установим прямым дифференцированием SP(R&) ПО матрице Т С учетом необходимого условия экстремума, т.е. PPIRAJJT "/ , (2.71) представляет собой матричное уравнение, которое мы сочли целесообразным вывести для того, чтобы подчеркнуть его независи мость от интерпретации вектора Y Домножим его слева на матрицу К , полагая ее невырожденность, и добавим к нему ну левую матрицу в виде [/у - /Ч[-У] . В результате получим (Е-К-Т)"-№ = К+ 2-73) В работе [97] показано, что (2.73) является необходимым и достаточным условием минимизации следа матрицы рассеяния Rn. век-тора невязки = K Yj-J относительно вектора ошибок Т независимо от вырожденности К , т.е. и для вырожденных К (2.73) является условием оптимальности, хотя и несколько ослабленным. В работах [97-99J далее осуществляется переход от матричного уравнения (2.73) на R$ к матричному уравнению на матрицу рассеяния R i , который, с нашей точки зрения, является излишним. Подставим в (2 73) Т из (2.68) и, используя тождество Е-/Ф + б)" = 8(М⥠, (2.74) - 70 -которое легко показать, умножив его справа на (А + б ), получим Rf = № t К{І і-&КІ»&чУ-КТ. 12.75) Мы полагаем, что построенная нами регуляризованная статистическая оценка & по (2.68) не противоречит условию оптимальности. .Тогда матрица Rf должна быть определена в виде (2.75) с точностью до набора параметров регуляризации Ж. . Тем самым мы приходим к задаче оценивания неизвестных параметров матрицы рассеяния Rf по одной реализации вектора f , полученной в результате измерений, которая является одной из задач дисперсионного анализа [4J . При построении конкретных методов оценивания Z на этой основе нам потребуются первые моменты произвольной квадратичной формы Q=f A-f вектора f , которые мы получим по методу характеристических функций.
Сглаживание экспериментальных данных
Практическая значимость задачи сглаживания в спектроскопии определяется успешным применением простых методов обработки к "хорошо" сглаженным спектрам. В работе [105] рассматривалось решение задачи одномерного сглаживания спектров с использованием статистической регуляризации. Аналогичным образом запишем матричную формулировку задачи сглаживания двумерного массива спектроскопических данных [ 101] . f + І = / , (3.9) где jf7 - дискретизация "искомого" спектра if ( Л » i/ ) на ортогональной регулярной сетке, У - матрица ( Kl х Y1 ) ошибок измерений, f - матрица ( И х YY\ ) регистрируемых значений спектра, например, распределения оптических плотностей по фотопластинке при регистрации поперечных спектров плазмы. После векторной переформулировки (3.9) по (1.37) статистическая регуляри-зованная оценка по (2.45) имеет вид Ъ = W-hiW+j.-SluV-W-I. (зло - 88 Параметр (. будем оценивать по методу маргинальной апостериорной вероятности (2.63) с Р іШ 0 что дает L = {SplL KtVfW L Ki-CW-f) . (зли Матрицам Як и Л с из J1/C& придадим циркуляционный вид по (2.106)-(2.108). Матрицу ]/[/ также будем считать блочной циркуляционной вида Wi Wz . Тогда полная диагонализация оценок (ЗЛО), (3.11) осуществляется ( F F )-преобразованием аналогично (2.110) =( -} &) , (ЗЛ2) І(іщ{1]{ (іі {ІЇі (ЗЛЗ) Л = H in-(Sp(olt&t(tJV/4 /f)) №2 Jl ), (3.14) где \л/ , ІАД , rfi , . - дискретные урье-образы порождающих векторов матриц \t/\ , у/г » Л » J?e » af (pp)-f В качестве контрольной модели для оценки эффективности дву мерного сглаживания по (3.12)-(3.14), была выбрана функция (К ) - І Х -У на интервале 1 X, У 4 , так как она удобна в вы числительном плане и одновременно является грубой моделью фото графического изображения поперечного спектра излучения осесиммет ричной плазмы в пределах одной уширенной линии. К точньм значени ям f ( Л , У ), дискретизованной отсчетным способом на регу лярной сетке (32 32) , прибавлялись независимые нормально распределенные ошибки JF с дисперсией ( мак )2, где Л К и Jie использовались матрицы Sll- foi d)i с циркуляционной интерпретацией йг=«Ышо (2.106). При реализации вычислений по (3.12)-(3.14) использовались алгоритмы одномерных и двумерных быстрых преобразований урье (БІЙ) [54] . Для .сравнения осуществлялось построчное сглаживание массива j- "экспериментальных" данных с использованием одномерного алгоритма ["105"] , что соответствует раздельной обработке поперечных профилей для фиксированных длин волн.
Характерные результаты вычислительных экспериментов представлены рисунками 3.1, 3.2 и таблицей 3.1. Анализ результатов показывает, что по всем используемым мерам, статистические регуля-ризованные оценки, использующие разработанные методы решения многомерных задач по (3.12)-(3.14), дают существенное уменьшение погрешностей. Наиболее значительное уменьшение соответствует абсолютной погрешности , которая по сравнению с исходными данными уменьшается в 10 раз и по сравнению с погрешностью построчного одномерного сглаживания - в 3-4 раза. Одновременно наблюдается и сокращение фактического времени счета на ЭШ.
Важность задачи численного дифференцирования в спектроскопии обусловлена возможностью повысить субъективную информативность r,fll") спектров после их дифференцирования [Юб] . Кроме того, дифференцирование является вспомогательной задачей инверсии Абеля, инверсии Радона и т.д.
Характерные результаты вычислительных экспериментов по оценке эффективности численного дифференцирования по алгоритму (3.27)--(3.29) представлены рисунками 3.3-3.5 и таблицей 3.2. Для использованных моделей наблюдается хорошее качество восстановления.
Задачи интерполяции результатов измерений возникают как на начальной стадии математической обработки спектров с целью их приведения к сетке, удобной в вычислительном плане, так и на конечной стадии для сопоставления невоспроизводимых по координатам экспериментов.
Хорошо известны 60] сплайн-интерполяции для одномерных и двумерных задач обработки экспериментальных данных. С учетом ошибок измерений должны применяться сглаживающие сплайны [.107] , алгоритмы построения которых оказываются весьма сложными уже для двумерных массивов данных. Для одномерных экспериментальных данных успешно применяются методы, основанные на регуляризации [108] . При этом интерполирующий оператор может быть построен на основе линейного или квадратичного разложения в ряд Тейлора, а гладкость решения обеспечивается выбором стабилизатора и параметра регуляризации.
Одной из наиболее интенсивных областей применения развитых выше методов является задача локальной спектроскопии плазмы произвольной симметрии, которая при выполнении предположений, упомянутых в первой главе, сводится к инверсии преобразования Радона. Это обусловлено прежде всего практической значимостью задачи [ИЗ] . Кроме того, для решения этой многомерной задачи разработано большое количество существенно различных алгоритмов [48, ИЗ], что дает исключительную возможность для сравнительной оценки эффективности развитых методов решения многомерных задач.
Предполагая, что информационная матрица ошибок измерений Wu имеет блочно-циркуляционную структуру Wi Wz и используя циркуляционную интерпретацию матриц ЗЬ , Лк , Sit , можно осуществить полную диагонализациго матричных соотношений (3.76)-(3.78) как и ранее F F -преобразованием и привести их к виду (3.27)-(3.28), что обеспечивает экономичность вычислительной реализации алгоритма. Располагая статистической регуляризованной оценкой, производной по (3.76)-(3.78), окончательную оценку &. найдем по (3.75), где радиус обхода особенности в преобразовании , Гилберта примем равным половине шага дискретизации по Ь , а обратное проецирование реализуем численно с использованием интерполяции аналогично [Иб] .
