Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Развитие метода дифракционных лучей для задачи распространения излучения в неоднородно поглощающих средах . 16
1.1 Построение метода для исследования распространения когерентного излучения (точный метод). 17
1.2 Реализация метода дифракционных лучей для задачираспространения частично когерентного излучения (асимптотически точный метод). 21
1.3 Учет флуктуации диэлектрической проницаемости среды в рамках метода дифракционных лучей. 31
1.4 Погрешность асимптотически точного метода в задачераспространения частично когерентного излучения в регулярно неоднородных средах . 35
Глава 2. Определение энергетических и статистических характеристик излучения в регулярно и случайно неоднородных средах . 45
2.1 Динамика энергетических и когерентных характеристик частично когерентных пучков в нелинейной среде 46
2.2 Динамика характеристик излучения с произвольной начальной когерентностью в турбулентной среде. Сравнение со строгим решением 57
2.3 Исследование совместного влияния рефракции (линейной и нелинейной) и турбулентности в задачах распространения частично когерентного излучения. 62
2.4 Оптимизация распространения лазерного излучения на протяженных турбулентных атмосферных трассах в условиях тепловой нелинейности . 62
Глава 3. Распространение излучения в сильно поглощающих неоднородных средах . 93
3.1 Исследование распространения когерентного и частично когерентного излучения аналитическими методами. 94
3.2 Распространение излучения в средах с непараболическим распределением комплексной диэлектрической проницаемости (исследование численными методами). 99
3.3 Приближение геометрической оптики для сильно поглощающих неоднородных сред и ее границы применимости. 109
3.4 Исследование применимости методов, не учитывающих дополнительной рефракции, обусловленной неоднородностью поглощения. 124
Литература 136
Приложение 147
- Реализация метода дифракционных лучей для задачираспространения частично когерентного излучения (асимптотически точный метод).
- Погрешность асимптотически точного метода в задачераспространения частично когерентного излучения в регулярно неоднородных средах
- Динамика характеристик излучения с произвольной начальной когерентностью в турбулентной среде. Сравнение со строгим решением
- Оптимизация распространения лазерного излучения на протяженных турбулентных атмосферных трассах в условиях тепловой нелинейности
Введение к работе
С возникновением задач нелинейной атмосферной оптики, лазерного термоядерного синтеза и других с начала 70-х годов начались интенсивные исследования в области теоретического моделирования распространения лазерного излучения в рефракционных средах. При этом в расчетах по распространению мощного лазерного излучения в атмосфере необходимо было учитывать аэрозольное и молекулярное поглощение, аэрозольное рассеяние излучения, регулярное изменение параметров атмосферы на трассе распространения, влияние турбулентности и нелинейности, геометрию задачи и ряд других факторов. К тому же источники мощного лазерного излучения часто являются частично когерентными и методы развитые для исследования когерентного излучения становятся неприменимыми. Это потребовало от исследователей развития специальных подходов для решения этих задач.
С математической точки зрения близкой к задаче моделирования распространения частично когерентного излучения в рефракционных нелинейных средах является задача исследования зависимости энергетических и когерентных свойств выходного излучения сверхлюминесцентных лазеров от пространственного распределения оптических характеристик активной среды. В этих задачах в качестве исходного источника выступает спонтанное (дельта-коррелированное) излучение, что является предельным случаем частично когерентного излучения. На протяжении многих лет актуальность этого направления определялась тем, что малая длина волны и высокая проникающая способность рентгеновского излучения находили применение для решения многих задач. Открытие физических механизмов создания рентгеновских лазеров многократно усилило этот интерес. Появилась возможность
исследования малых биологических объектов методами голографии. Реальной стала задача транспортировки данного излучения на большие расстояния.
Аналитические подходы к задаче исследования распространения частично когерентного излучения в неоднородных средах основаны либо на нахождении функции отклика среды [1-6], либо на разложении решения для поля по собственным модам [7,8]. Однако аналитический вид этих функций возможно получить лишь для очень узкого набора параметров среды и начального поля. Поэтому в такой постановке задача распространения ограниченных волновых пучков могла быть решена только численными методами.
К тому времени широкое применение получили численные методы решения параболического уравнения, определяющего динамику когерентного волнового поля [9-20]. Сильный интерес к развитию методов решения параболического уравнения был обусловлен высокой когерентностью лазерного излучения. Однако полностью когерентное излучение является идеализацией. При исследовании распространения лазерного излучения необходимо учитывать, что данное излучение может быть частично когерентным по своей природе.
Опыт использования, а также высокая эффективность алгоритмов решения параболического уравнения предопределили их применение для расчета статистических характеристик частично когерентного поля по методу Монте-Карло [15,21-35]. Однако данные методы имели ограничение, поскольку позволяли учесть только одну статистику: либо статистику случайного начального поля, либо статистику случайной среды. К тому же, в опубликованных работах при использовании метода статиспытаний для задач распространения частично когерентного излучения в условиях нелинейной ветровой рефракции используются
стационарные волновое и материальное уравнения. Что означает, что время когерентности излучения полагается много больше времени нелинейного отклика. Но для реальных мощных пучков, размером порядка метра, начальная расходимость существенно (часто на порядок и более) превышает дифракционную, а время когерентности составляет микросекунды и меньше. В то время как время нелинейного отклика среды при тепловой дефокусировке для таких пучков составляет порядка десятой доли секунды. В этом случае решать надо нестационарные уравнения с шагом по временной координате порядка времени когерентности (10"6с) в интервале до значения времени порядка времени нелинейного отклика среды (Ю-1 с). Несмотря на то, что решение рассматриваемой задачи данным методом не имеет физических ограничений и приближений, его численная реализация весьма затруднительна даже с использованием современной вычислительной техники. В литературе отсутствуют работы, где задача одновременного учета начальной частичной когерентности пучка, турбулентности и нелинейности решалась бы методом статиспытаний, даже в приближении стационарных уравнений.
Таким образом, использование параболического волнового уравнения в сочетании с методом статиспытаний для задач нелинейной атмосферной оптики для случая распространения, так называемых, широкополосных (с малым временем когерентности) частично когерентных лазерных пучков является проблематичным, т.к., во-первых, кроме пространственных флуктуации необходимо моделировать временные флуктуации и, во-вторых, требуется решение нестационарных уравнений, что существенно увеличивает требуемый объем вычислений.
Другой подход, широко используемый для исследования распространения частично когерентного излучения, основан на решении
уравнений для моментов комплексной амплитуды поля [8,24,36-39]. Корреляционная теория случайных волн ограничивается рассмотрением лишь моментов до второго порядка. Это позволяет исследовать динамику таких величин как время когерентности, радиус когерентности, степень когерентности, распределение средней интенсивности и вектора Умова-Пойнтинга. Если требуется исследовать динамику флуктуации, интенсивности излучения, необходимо привлекать уравнения для моментов более высокого порядка. В работах [8,36] было показано, что для линейной рефракционной среды уравнение для момента второго порядка или как его еще называют уравнение для функции когерентности второго порядка является точным следствием параболического уравнения. Для нелинейной среды уравнение для функции когерентности может быть получено из параболического уравнения при определенных условиях, позволяющих выполнить "расщепление" при усреднении произведения флуктуирующих диэлектрической проницаемости и амплитуды поля, что физически означает выполнение условий, при которых наведенные (нелинейные) флуктуации диэлектрической проницаемости оказывают слабое влияние на флуктуации поля [22,40,41].
До 1981 года уравнение для функции когерентности второго порядка решалось только в безаберрационном приближении. Численное решение данного уравнения с использованием метода конечных разностей связано с большими трудностями. В общем случае данное уравнение имеет пять независимых переменных. Недостаточная эффективность данных алгоритмов позволила решить лишь задачи с осевой симметрией и для пучков в виде бесконечной полосы, для которых число независимых
Широкое распространение для исследования задачи распространения частично когерентного излучения получило решение уравнения переноса излучения (УПИ) Фурье - сопряженного уравнения для функции когерентности. Впервые для задачи нелинейного распространения излучения в атмосфере данное уравнение было получено в работах [42,43]. Оно также как и уравнение для функции когерентности имеет пять независимых переменных и его точное численное решение является проблематичным. Для его решения авторами использовалось безаберрационное приближение [42-48] и метод фазового экрана [49]. Точное численное решение данного уравнения было получено только для задачи с осевой симметрией [50] В связи с этим встала необходимость разработки асимптотически точных методов решения задачи. Исследования в этой области привели к появлению ряда приближенных асимптотических методов решения УПИ, сводящих уравнение в частных производных в пятимерном пространстве к системе обыкновенных дифференциальных уравнений [51-56].
Для исследования распространения мощного лазерного излучения в атмосфере необходимо было выполнить учет совместного влияния турбулентных и нелинейных искажений частично когерентного пучка. В работе [56] данная задача решена в рамках решения УПИ. При этом применяется численная схема на основе метода расщепления [18,19,57] с использованием квадратичной аппроксимации структурной функции флуктуации диэлектрической проницаемости среды [58-60]. В настоящей диссертации предлагается более строгий алгоритм учета совместного влияния турбулентности и нелинейности на основании решения уравнения для функции когерентности.
При исследовании зависимости характеристик излучения сверхлюминесцентных лазеров от пространственного распределения
оптических свойств активной среды также получил приближенный численный метод, основанный на решении уравнения для функции когерентности [3,39]. Однако в опубликованных работах используются приближения, тождественные приближениям метода УПИ, то есть решается не точное уравнение для функции когерентности, а уравнение, Фурье - сопряженное уравнению переноса излучения. В настоящей диссертации показано, в что рамках данного приближения для сред со слабым неоднородным поглощением характеристики излучения вычисляются с погрешностью. Для сильно поглощающих, сред данное уравнение не может быть использовано даже в качестве приближения для исследования распространения излучения, из-за того, что оно не учитывает эффект искривления лучевых траекторий, обусловленный неоднородностью распределения мнимой части диэлектрической проницаемости.
Таким образом, для исследования задачи распространения частично когерентного излучения в неоднородных средах возникает необходимость создания методов и алгоритмов, позволяющих выполнить теоретическое моделирование распространения случайного волнового поля при взаимном влиянии эффектов, сопровождающих распространение излучения: дифракцию, рефракцию на неоднородном распределении показателя преломления, рефракцию на неоднородном распределении коэффициента поглощения (усиления), неоднородность поглощения (усиления) энергии излучения в поперечном сечении пучка, турбулентное уширение пучка.
Целью настоящей диссертационной работы является исследование характеристик частично когерентного лазерного излучения, распространяющегося в регулярно и случайно неоднородных (линейных и нелинейных) средах.
Для достижения заданной цели предполагается решение следующих основных задач:
-Развитие теоретических методов и разработку эффективных численных алгоритмов решения уравнения для функции когерентности второго порядка.
-Применение данных методов и алгоритмов для исследования распространения частично когерентного излучения в турбулентной атмосфере с целью определения оптимальных условий распространения излучения.
- Исследование зависимости энергетических и когерентных свойств выходного излучения, а также закономерностей распространения когерентного и частично когерентного лазерного излучения в неоднородно поглощающих (усиливающих) средах от распределений оптических характеристик неоднородной активной среды.
Поставленные задачи решались в рамках теории распространения волн
В первой главе приведены результаты по развитию метода дифракционных лучей для задачи распространения излучения в неоднородно поглощающих средах. Выполнено построение метода для исследования распространения когерентного излучения (точный метод), а также реализация данного метода для задачи распространения частично когерентного излучения (асимптотически точный метод) на основе решения уравнения для функции когерентности второго порядка. В рамках параксиального приближения приводится строгое решение задачи, которое базируется на построении дифракционных лучей в реальном пространстве. Под дифракционными лучами понимаются линии, перпендикулярные в каждой точке фазовому фронту, т.е. касательная к данной линии совпадает с направлением вектора Умова-Пойнтинга. Также
в рамках метода дифракционных лучей выполнен учет флуктуации диэлектрической проницаемости среды. Определена погрешность асимптотически точного метода в задаче распространения частично когерентного излучения в регулярно неоднородных средах
Вторая глава диссертации посвящена исследованию энергетических и статистических характеристик излучения в регулярно и случайно неоднородных средах. Выполнено исследование динамики пространственной структуры пучка, распространяющегося в рефракционной линейной и нелинейной среде. Рассмотрено влияние турбулентности на распространение излучения с произвольной начальной когерентностью, приведены решения задачи распространения в условиях однородной турбулентности и на наклонных атмосферных трассах. На основании сравнения полученных с решений со строгим решением задачи [36] определена погрешность метода учета флуктуации диэлектрической проницаемости среды в рамках метода дифракционных лучей, изложенного в первой главе. Рассмотрена работоспособность представленного метода дифракционных лучей при совместном влиянии эффектов рефракции (линейной и нелинейной) и турбулентности на распространение частично когерентного излучения. Приведены решения задачи распространения излучения в условиях совместного влияния тепловой нелинейности и турбулентности. А также приводятся результаты расчетов распространения непрерывного лазерного излучения на протяженных атмосферных трассах. Исследования выполнены для разных трасс и моделей атмосферы имели своей целью выработку рекомендаций по увеличению эффективности передачи энергии.
В третей главе исследуется влияние неоднородного в поперечном сечении пучка поглощения (усиления) на условия распространения лазерного излучения. Основное внимание уделено исследованию
распространения когерентного и частично когерентного излучения в сильно поглощающих неоднородных средах, для которых характерно, что наряду с неоднородным поглощением на условия распространения лазерного излучения существенным образом влияет эффект искривления лучевых траекторий на неоднородном профиле мнимой части показателя преломления. Исследованы особенности проявления данного эффекта для когерентного и частично когерентного излучения. Выполнено исследование распространения излучения в средах с непараболическим распределением комплексной диэлектрической проницаемости численными методами. Получено уравнение для траектории реального геометрооптического луча из системы лучевых уравнений для сред с неоднородным распределением мнимой части диэлектрической проницаемости, проведен анализ полученного уравнения. Определены границы применимости приближения геометрической оптики для сильно поглощающих неоднородных сред. А также исследуется возможность применимости методов (в том числе и УПИ), не учитывающих дополнительной рефракции излучения, обусловленной неоднородностью поглощения.
Основные положения, выносимые на защиту:
1.В зависимости от типа и параметров нелинейности энергия, переносимая в площадке с фиксированным значением степени когерентности, может как возрастать, так и уменьшаться. При этом определяющую роль в изменении когерентной структуры пучка играет рефракция излучения. Влияние дифракции не изменяет механизма трансформации когерентной структуры пучка при его распространении в среде в условиях нелинейности, а определяет лишь величину ее улучшения или ухудшения.
2.Распространение гауссовых когерентного и частично когерентного пучков, совмещенных по числу Френеля, в неоднородно поглощающей среде при отсутствии аберраций и сохранении их гауссовой формы происходит по различным законам. При этом отношение радиуса когерентности к радиусу пучка не является константой.
З.Для сред, в которых рефракция излучения, обусловленная неоднородным распределением коэффициента поглощения, является существенной, геометрооптические лучи исходящие из одной точки пространства в одном и том же направлении, но принадлежащие пучкам, имеющим различную начальную кривизну волнового фронта в окрестности данной точки, распространяются по различным траекториям.
4. При распространении в среде с неоднородным в поперечном сечении пучка поглощением при длине рефракции, обусловленной мнимой частью диэлектрической проницаемости среды, равной двум длинам рефракции, обусловленной реальной частью, вклад рефракции на неоднородностях поглощения в изменение эффективной площади пучка составляет более 10%.
Предметом защиты также является:
Разработка и обоснование применимости асимптотического лучевого метода для решения уравнения для функции когерентности второго порядка (метода дифракционных лучей). Данный метод сводит задачу решения уравнения в частных производных к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Построенные на его основе численные алгоритмы обладают высокой эффективностью и позволяют адекватно провести исследование распространения частично когерентного излучения в неоднородных (линейных и нелинейных) средах.
Разработка метода учета флуктуации диэлектрической проницаемости среды в рамках метода дифракционных лучей.
Научная новизна:
1.Развит метод дифракционных лучей и на его основе реализованы алгоритмы решения параболического уравнения (точный метод) и уравнения для функции когерентности (асимптотически точный метод). Построение асимптотического метода базируется на предположении сохранения параболичности фазового фронта на масштабе поперечного радиуса когерентности излучения. Данное приближение не нарушает выполнение закона сохранения энергии. Показано, что данный метод дает точное решение уравнения для функции когерентности при асимптотическом стремлении радиуса когерентности к нулю и к бесконечности, в пределе геометрической оптики и для параболического распределения комплексной диэлектрической проницаемости.
2.На основе разработанных алгоритмов выполнены расчеты распространения широкополосных частично когерентных пучков на атмосферных трассах, исследованы отличительные особенности их распространения от распространения когерентного излучения. Выполнено исследование оптимизации различных параметров пучка с целью наиболее эффективной концентрации плотности мощности лазерного излучения в плоскости цели при распространении на атмосферных трассах.
3 .Выполнены исследования распространения лазерного излучения в сильно поглощающих неоднородных средах. Показано, что для сред, у которых возмущение мнимой части диэлектрической проницаемости становиться сравнимым с возмущением вещественной части среды, учет рефракции излучения на неоднородностях мнимой части диэлектрической проницаемости является необходимым, а, следовательно, методы, не учитывающие данный эффект, становятся для данной ситуации неприменимыми. Исследованы отличия проявления данного эффекта для когерентного и частично когерентного излучения. Выполнено
исследование границ применимости приближения геометрической оптики неоднородно поглощающих сред и выявлены особенности поведения геометрооптических лучей в данных средах. Научная и практическая значимость Разработанные методы и алгоритмы прогноза и анализа эффективности распространения лазерного излучения в атмосфере и когерентных свойств выходного излучения рентгеновского лазера нашли широкое применение для решения практических задач при выполнении хозяйственных договоров и международных контрактов. Результаты работы позволяют прогнозировать физические эффекты, возникающие при прохождении лазерного излучения в неоднородных сильно поглощающих средах. Их использование может обеспечить создание основ для разработки методов диагностики оптически плотных неоднородных сред, например, плазменных образований.
Реализация метода дифракционных лучей для задачираспространения частично когерентного излучения (асимптотически точный метод).
При исследовании распространения лазерного излучения необходимо учитывать, что данное излучение может быть частично когерентным. При этом приведенный выше подход, основанный на использовании параболического уравнения, становится неприемлемым. Другой подход, широко используемый для исследования данных задач, основан на решении уравнений для моментов комплексной амплитуды поля. Корреляционная теория случайных волн ограничивается рассмотрением моментов первого и второго порядка. Уравнение для поперечной функции когерентности второго порядка (смешанного момента второго порядка случайного поля Е) T2(z, гь г2) = E(z, Г\) E (z, г2) может быть получено из параболического уравнения. Действительно, умножив уравнение (1.1), для значений переменной R = г і на комплексно сопряженное поле для R = Гг, а уравнение комплексно сопряженное (1.1) для R = г2 умножим на поле для R = ri, и складывая полученные выражения, выполняя усреднения по ансамблю реализаций поля, получаем: где Ах,- - поперечный лапласиан, к — волновое число; z — координата вдоль оси распространения; гі и г2 — - радиус-вектора в плоскости, перпендикулярной оси распространения излучения; As(z, г) = zre (z, r)+1 Sim (z, r) - возмущение комплексной диэлектрической проницаемости. В [8,36] было показано, что для линейной рефракционной среды данное уравнение является точным следствием параболического уравнения. Для нелинейной среды уравнение для функции когерентности может быть получено из параболического уравнения при определенных условиях, позволяющих выполнить «расщепление» при усреднении произведения флуктуирующих диэлектрической проницаемости и амплитуды поля, что физически означает выполнение условий, при которых наведенные (нелинейные) флуктуации диэлектрической проницаемости среды оказывают слабое влияние на флуктуации поля. Возможность выполнения этого «расщепление» для исследования распространения частично когерентного излучения в среде, характеризующейся слабой нелинейностью (параметр нелинейности меньше единицы), была показана в работах [40] с использованием допущения, что время когерентности излучения много больше времени нелинейного отклика среды.
Для малых времен когерентности доказательство правомерности «расщепления» произведения флуктуирующих диэлектрической проницаемости среды и амплитуды поля для задач с сильной нелинейностью (параметр нелинейности много больше единицы) выполнено в работе [41]. При переходе к суммарным и разностным координатам R=(ri+r2)/2 и р=Гі-г2, уравнение для функции когерентности (1.15) примет следующий вид: Возможности получения аналитических решений уравнения (1.16) весьма ограничены. Непростой задачей является численное решение данного уравнения. Это связано с его высокой размерностью - функция когерентности зависит от пяти пространственных переменных. В опубликованных работах приводятся численные решения данного уравнения для осесимметричных задач, для которых размерность уравнения уменьшается до четырех [63]. Основным подходом, используемым различными авторами, для исследования распространения частично когерентного излучения в неоднородно поглощающих (усиливающих) средах, является метод, основанный на решении уравнения для амплитуды поля, то есть нахождении функции отклика среды [1-6]. При нахождении функции отклика применяются, как правило: метод интеграла по траекториям (континуального интеграла), метод разложения по собственным модам [7] или метод ВКБ с использованием комплексных лучевых траекторий. При этом используется параболическая аппроксимация возмущения среды. Кроме того, для комплексного возмущения среды пренебрегается искривлением лучевых траекторий на мнимой части возмущения , либо приводятся решения для чисто мнимого возмущения среды и 5-коррелированного начального поля [6,64]. Для сред, где распределение диэлектрической проницаемости существенно отличается от параболического, применение данных методов невозможно, так как нельзя найти аналитический вид функции отклика. В методе, приведенном в настоящем разделе, нахождение функции отклика не требуется и возможно построение эффективных численных алгоритмов решения уравнения для функции когерентности при произвольном распределении комплексного возмущения среды и произвольной начальной когерентности. Представим функцию когерентности в виде: вещественными функциями. Подставляя данное выражение в уравнение (1.16) и приравнивая нулю раздельно вещественную и мнимую части уравнения, получаем следующую систему уравнений:
Погрешность асимптотически точного метода в задачераспространения частично когерентного излучения в регулярно неоднородных средах
Рассмотренный во втором параграфе главы метод исследования распространения частично когерентного излучения является асимптотически точным, поскольку он дает точное решение в предельных случаях, когда радиус когерентности стремится к нулю, в пределе геометрической оптики (—»оо), либо когда распределение комплексной диэлектрической проницаемости среды имеет параболический вид. В рамках данного метода было сделано предположение о сохранении параболического вида поверхности среднего волнового фронта на размере радиуса когерентности, что соответствует сохранению гауссова вида функции когерентности по разностной координате. В связи с этим, метод дифракционных лучей является приближенным. Для оценки погрешности метода в случае отличного от нуля радиуса когерентности и непараболического распределения диэлектрической проницаемости выполнено сравнение решений, полученных методом дифракционных лучей, с точными решениями. Точные решения получены для модельной задачи распространения двумерного (щелевого) пучка. В этом случае размерность уравнения для функции когерентности уменьшается с пяти до трех и для его решения возможно использование метода расщепления по физическим факторам в комбинации с алгоритмом быстрого преобразования Фурье. Метод расщепления по физическим факторам [15,57] с использованием алгоритма быстрого преобразовании Фурье, применяется для решения уравнений в частных производных. Он широко используется при решении параболического волнового уравнения [71,72], однако попыток его применения для решения уравнения для функции когерентности в литературе нет. Исходное уравнение (1.16) для двумерного случая, когда R и р являются скалярными координатами, а не векторами, будем решать следующим образом. Представим уравнение для функции когерентности в следующем виде: где оператор А=2УЛУР+ k2(Az(R+p/2) - Ae\R-p/2)) Из структуры оператора А видно, что его можно представить в виде суммы двух операторов А=Аі+Аг, где Ay=24R4p определяется эффектом дифракции, Ai=l?(Az(R+pl2)-A&{R-pl2)) -определяется рефракцией излучения, вызванной неоднородным распределением комплексной диэлектрической проницаемости среды Az(z, К). Решением уравнения с оператором А\: является функция Г2=Г2о expl — 2 Уравнение с оператором А2: является более сложным и невозможно аналогично записать его аналитическое решение.
Однако, делая двумерное преобразование Фурье по координатам R и р и, переходя в Фурье-пространство с новыми переменными со и qr, получим уравнение вида: Решением этого уравнения в Фурье-пространстве является функция Выполняя обратное преобразование Фурье, получаем решение уравнения (1.53) Далее последовательно решая уравнения (1.52) и (1.53), содержащие операторы Ai и Аг, используя в качестве начальных условий для уравнения (1.53) решение уравнения (1.52), мы получаем одноцикличную схему метода расщепления, имеющую первый порядок аппроксимации. Переходя к двуцикличной схеме расщепления, основанной на разбиении шага dz пополам и смене последовательностей использования операторов, мы получаем итерационную процедуру, имеющую второй порядок сходимости по z [57]. Для оценки погрешности метода дифракционных лучей выполнено сравнение решений, полученных на основании системы лучевых уравнений, с точными решениями уравнения для функции когерентности, полученными представленным методом расщепления по физическим факторам с использованием алгоритма быстрого преобразования Фурье. Исследование распространения частично когерентного излучения предполагает изучение не только энергетических характеристик оптического пучка. Другой существенной стороной рассматриваемой проблемы является выяснение закономерностей изменения статистических свойств излучения в среде. Важнейшей характеристикой статистически неоднородного излучения является пространственный радиус когерентности, определяемый как характерный масштаб изменения пространственной функции когерентности Гг(г, R,p) по разностной координате р. Однако дать универсальное определение радиуса когерентности, пригодное для флуктуирующего поля произвольного вида, часто бывает невозможно. Например, функции когерентности может обладать не одним, а несколькими характерными масштабами, как в случае с быстро осциллирующей функцией когерентности с плавно меняющейся огибающей, или функцией когерентности анизотропных полей. Для определения радиуса когерентности мы будем использовать следующие приближенные формулы:
Динамика характеристик излучения с произвольной начальной когерентностью в турбулентной среде. Сравнение со строгим решением
Рассмотренный в 1.3 метод учета флуктуации диэлектрической проницаемости среды в рамках метода дифракционных лучей основывался на необходимости совпадения получаемых решений с точными [36] в Данные ситуации (и» 1) характеризуются условиями распространения частично когерентного излучения, когда эффект уширения пучка за счет турбулентных флуктуации диэлектрической проницаемости среды является преобладающим. В связи с этим возникает необходимость исследования границ применимости рассматриваемого метода и определения погрешности получаемых на его основе решений для ситуаций, когда условие и » 1 не выполняется. Как и ожидалось использование рассмотренного метода учета флуктуации диэлектрической проницаемости среды дает хорошее совпадение получаемых решений с точными не только в условиях сильной турбулентности. Это подтверждается сравнением численных расчетов турбулентного уширения лазерного пучка на однородной трассе (когда отсутствуют рефракция и неоднородное поглощение) с известным точным решением :(1.48) [36]. Аналогичное сравнение было выполнено и для значений эффективного радиуса пучка и радиуса когерентности, полученных с использованием аппроксимации (1.45) в [58]: Как видно из рисунка 2.9 решение, полученное из системы лучевых уравнений (1.23), (1.29), (1.37), в начале дистанции, отличаясь от точного [36], практически совпадает с приближенным решением (2.1)-(2.2). Однако с увеличением дистанции решение системы лучевых уравнений стремится к точному, в то время как приближенное решение [58] с точным расходится. Еще лучшее совпадение в решениях можно наблюдать в расчетах для аналогичных параметров среды для сфокусированного пучка, что объясняется условиями распространения частично когерентного излучения более близкими к асимптотическим и » 1 (см. рисунок 2.10). На основе метода дифракционных лучей были выполнены численные расчеты для задачи распространения лазерных пучков в условиях турбулентности на высотных трассах для Hufnagel-Valley (H-V) модели турбулентности [77]: учитывающей высоту h в метрах, скорость ветра v в метрах в секунду и номинальное выполнено и для значений эффективного радиуса пучка и радиуса когерентности, полученных с использованием аппроксимации (1.45) в [58]: Как видно из рисунка 2.9 решение, полученное из системы лучевых уравнений (1.23), (1.29), (1.37), в начале дистанции, отличаясь от точного [36], практически совпадает с приближенным решением (2.1)-(2.2). Однако с увеличением дистанции решение системы лучевых уравнений стремится к точному, в то время как приближенное решение [58] с точным расходится. Еще лучшее совпадение в решениях можно наблюдать в расчетах для аналогичных параметров среды для сфокусированного пучка, что объясняется условиями распространения частично когерентного излучения более близкими к асимптотическим и » 1 (см. рисунок 2.10).
На основе метода дифракционных лучей были выполнены численные расчеты для задачи распространения лазерных пучков в условиях турбулентности на высотных трассах для Hufnagel-Valley (H-V) модели турбулентности [77]: учитывающей высоту h в метрах, скорость ветра v в метрах в секунду и номинальное значение турбулентности (параметр СЕ) у поверхности земли (рисунок 2.11). На рисунке 2.12 приведены изменения эффективного радиуса пучка, вычисленного представленным методом (сплошная линия), дифракционная расходимость пучка (штриховая линия), а также точное значение эффективного радиуса в конце дистанции [36]. Высота источника 21,6км, угол к горизонту -2,2 Х= 1,06мкм. На рисунке 2.13 представлено соответствующее изменение радиуса когерентности, определяемого по формуле (2.3). Как отмечалось выше, несмотря на то, что параметр b(z) (1.50) выбирался из соображений совпадения получаемого решения с асимптотикой точного решения задачи распространения в среде с однородной турбулентностью при и»\, такой выбор позволяет получать решения с высокой точностью и для « 1 и для неоднородных трасс. При сравнении наших расчетов с точными решениями, полученными для разных трасс и моделей турбулентности, было выявлено, что относительная ошибка вычисления эффективного размера пучка методом дифракционных лучей, составляет менее 5% [69]. Таким образом, из представленных результатов следует, что метод дифракционных лучей позволяет с высокой точностью рассчитывать раздельное влияние рефракционных (линейных и нелинейных) и турбулентных эффектов на распространение лазерного излучения. Далее рассмотрим работоспособность представленного метода при совместном влиянии данных эффектов на распространение частично когерентного излучения. Изучению динамики характеристик лазерного излучения при тепловом самовоздействии в турбулентной среде посвящено значение турбулентности (параметр СЕ) у поверхности земли (рисунок 2.11). На рисунке 2.12 приведены изменения эффективного радиуса пучка, вычисленного представленным методом (сплошная линия), дифракционная расходимость пучка (штриховая линия), а также точное значение эффективного радиуса в конце дистанции [36]. Высота источника 21,6км, угол к горизонту -2,2 Х= 1,06мкм. На рисунке 2.13 представлено соответствующее изменение радиуса когерентности, определяемого по формуле (2.3). Как отмечалось выше, несмотря на то, что параметр b(z) (1.50) выбирался из соображений совпадения получаемого решения с асимптотикой точного решения задачи распространения в среде с однородной турбулентностью при и»\, такой выбор позволяет получать решения с высокой точностью и для « 1 и для неоднородных трасс. При сравнении наших расчетов с точными решениями, полученными для разных трасс и моделей турбулентности, было выявлено, что относительная ошибка вычисления эффективного размера пучка методом дифракционных лучей, составляет менее 5% [69]. Таким образом, из представленных результатов следует, что метод дифракционных лучей позволяет с высокой точностью рассчитывать раздельное влияние рефракционных (линейных и нелинейных) и турбулентных эффектов на распространение лазерного излучения. Далее рассмотрим работоспособность представленного метода при совместном влиянии данных эффектов на распространение частично когерентного излучения. Изучению динамики характеристик лазерного излучения при тепловом самовоздействии в турбулентной среде посвящено много работ
Оптимизация распространения лазерного излучения на протяженных турбулентных атмосферных трассах в условиях тепловой нелинейности
Таким образом, из представленных результатов следует, что метод дифракционных лучей позволяет с высокой точностью рассчитывать раздельное влияние рефракционных (линейных и нелинейных) и турбулентных эффектов на распространение лазерного излучения. Далее рассмотрим работоспособность представленного метода при совместном влиянии данных эффектов на распространение частично когерентного излучения. Изучению динамики характеристик лазерного излучения при тепловом самовоздействии в турбулентной среде посвящено много работ [45,47,48,49,42,78] Как уже отмечалось ранее, представленный в настоящей диссертации метод дифракционных лучей позволяет в рамках единого подхода учитывать влияние разных типов неоднородностей среды на распространение частично когерентного излучения [69]. Для уточнения области применимости метода дифракционных лучей для задачи распространения частично когерентного излучения при совместном влиянии линейной и нелинейной рефракции и турбулентности было выполнено сравнение решений, получаемых из системы лучевых уравнений с известным аналитическим решением задачи распространения оптического излучения [79]. Для задачи распространения излучения в среде с параболическим распределением среднего возмущения диэлектрической проницаемости Ae(z, R) = sr(z, R) = e2R2 и колмогоровским спектром флуктуации диэлектрической проницаемости є, для которого Я(р) = 0,47 С р5/3, известно выражение для средней интенсивности излучения следующего вида: решений от аналитического определяется погрешностью представленного метода, а не погрешностью его численной реализации. Получено, что при распространении в дефокусирующей рефракционной среде относительная ошибка вычисления эффективного радиуса пучка а (как и при распространении в среде без рефракции) составляет менее 3-5%. Для фокусирующей среды предлагаемый метод дает более заметные отличия от точного решения. Так, например, относительная ошибка вычисления эффективного радиуса пучка на дистанции равной одной длине рефракции при турбулентном уширении пучка, компенсирующем рефракционную фокусировку, составляет около 5% (см. рисунок 2.14) и возрастает при усилении влияния турбулентности до 15%. Максимальная ошибка вычисления эффективного радиуса пучка для крайне неблагоприятных ситуаций при приближении к рефракционному фокусу возрастает до двух и более раз. Однако для большинства практических ситуаций, характеризующихся совместным влиянием тепловой дефокусировки и турбулентности на распространение частично когерентного излучения в атмосфере, предлагаемый в настоящей работе метод дифракционных лучей позволяет получать решения с достаточно высокой точностью (до 3-5%).
На рисунке 2.15 изображено изменение эффективного радиуса сфокусированного пучка с дистанцией при распространении частично когерентного импульса длительности х в условиях турбулентности и тепловой нелинейности. Считая, что наведенными флуктуациями температуры можно пренебречь, для возмущения температуры среды использовалось уравнение: где а - показатель поглощения, р - плотность, ср - теплоемкость воздуха. Параметры излучения выбраны таким образом, что длина трассы составляет 0,65 длин рефракции Lr дг дТ и 0,2 длины дифракции Ld = ка ар , Ає определяется как Ає = є„(/, R) = На рисунке 2.16 изображено соответствующее распределение средней интенсивности излучения в конце трассы для начала, середины и конца частично когерентного импульса. Видно, что при распространении в условиях сильной турбулентности (штриховые линии на рисунке 2.16) относительное влияние тепловой нелинейности незначительно. Однако, в этом случае, абсолютный вклад нелинейности в уширение эффективной площади пучка остается примерно одинаковым и близким к аддитивному. Под аддитивным вкладом мы понимаем дополнительное увеличение площади пучка по сравнению с дифракционным в отсутствии турбулентного уширения. Для выбранных параметров излучения данный вклад составлял 5,5 дифракционных, т.е. площадь пучка в конце трассы была в 6,5 раз больше дифракционной. При уменьшении влияния турбулентности отличие совместного вклада нелинейности и турбулентности в уширение эффективной площади пучка от суммы их аддитивных вкладов возрастает. Максимальное отклонение совместного влияния турбулентности и нелинейности от аддитивного наблюдается при примерном равенстве вкладов этих эффектов в уширение пучка (точки на рисунке 2.16). Это отклонение доходит до 20%. При этом эффективная площадь при совместном действии эффектов остается всегда меньше, чем сумма их аддитивных вкладов. Отметим, что представленный в настоящей работе метод дифракционных лучей позволяет рассчитывать характеристики частично когерентного лазерного излучения, распространяющегося в неоднородных средах с учетом влияния линейных и нелинейных эффектов рефракции, турбулентности и неоднородности усиления (поглощения). Показано, что для большинства практических ситуаций, характеризующихся совместным влиянием тепловой дефокусировки и турбулентности, предлагаемый метод позволяет получать решения с достаточно высокой точностью. Следующим этапом исследования считаем необходимым поиск практических приложений представленных теоретических наработок. Следующий параграф посвящен решению актуальной исследовательской задаче с использованием разработанных и представленных выше методов и алгоритмов.
