Введение к работе
В диссертации теоретически исследуется дифракция (параксиальная, непараксиальная и векторная) когерентного света на спиральной фазовой пластинке, спиральном аксиконе и логарифмическом спиральном аксиконе.
Актуальность темы. В последние несколько лет происходит выделение в отдельный раздел («сингулярная оптика») раздела оптики, занимающегося исследованием сингулярных пучков - световых пучков с фазовыми особенностями. Частным случаем таких пучков являются вихревые лазерные пучки, обладающие орбитальным угловым моментом, и формируемые, например, при прохождении света через спиральную фазовую пластинку (СФП) (А.Е. Березный, A.M. Прохоров, И.Н. Сисакян, ВА. Сойфер, 1984).
Вихревым пучкам посвящены многочисленные исследования и публикации как российских учёных-оптиков, так и их зарубежных коллег. В последнее время активно изучаются свойства подобных пучков на основе мод Бесселя, Лагерра-Гаусса (ЛГ), Эрмита-Гаусса (ГЭ) и других (S. Sato, 2009).
Область применения оптических вихрей постоянно расширяется. В частности, в задачах нанофотоники их предлагается использовать для манипулирования микро- и нанообъектами (М. Dienerowitz, 2008). Использование оптических вихрей в фотолитографии позволяет достичь разрешения X110 (X - длина волны света). (М. Levenson, 2003). К числу других применений оптических вихрей относится, например, интерферометрия (A. Jesacher, 2006). С помощью спиральных фильтров выполняется контрастирование и рельефное изображение фазовых объектов нанометрового размера (S. Bernet, 2006). СФП используется также в звездном коронографе, в котором свет от яркой звезды преобразуется в кольцо и диафрагмируется, а слабый свет от планет этой звезды проходит через диафрагму и регистрируется. (Т. van Dijk, 2009). СФП также применяется для оптического выполнения радиального преобразования Гильберта (В.В. Котляр, 1992, J.A.Davis, 2001). Фазовые дислокации представляют собой перспективное средство в метрологии, информация об объекте может быть определена с очень высокой точностью (В.П. Тычинский, 2008). На этом подходе основывается метод оптико-вихревой метрологии, успешно примененный в оптико-вихревом интерферометре, позволяющем отслеживать смещение объектов с нанометрической точностью (W. Wang, 2006).
Впервые СФП была рассмотрена в 1984 году (ВА. Сойфер, 1984) как элемент Бессель-оптики. В 1992 году СФП была изготовлена как амплитудная решетка с «вилкой» (V.Yu. Bazhenov, 1992), как радиально-спиральная амплитудная решетка (N.R. Heckenberg, 1992) и без несущей пространственной частоты как фазовый элемент (S.N. Khonina, 1992). Ранее теоретически рассматривалась дифракция неограниченной плоской волны на СФП (V.V. Kotlyar, 2005). Однако дифракция плоской волны, ограниченной круглой диафрагмой, на СФП не была рассмотрена. Также не было показано, что комплексная амплитуда света при дифракции на СФП выражается через гипергеометрические функции.
Аксикон известен с 1954 года (J.H. McLeod, 1954). Это стеклянный конус, который освещается со стороны основания, а оптическая ось проходит вдоль высоты конуса. Он, как правило, используется в оптике для создания узкого «бездифракционного» лазерного пучка или совместно с линзой для формирования узкого кольцевого распределения интенсивности света. При совмещении аксикона со спиральной фазовой пластинкой получается оптический элемент, называемый спиральным акси-коном. Впервые дифракционный спиральный аксикон (СА) был изготовлен по техно-
логии фотолитографии и экспериментально использован для формирования Бесселевых пучков высших порядков в 1992 году (S.N. Khonina, 1992). СА в комбинации со сферической линзой был изготовлен немного ранее с помощью отбеливания на желатине и был использован для фокусировки в кольцо с устранением центрального максимума (В.Г. Волостников, 1992).
В некоторых работах предприняты попытки математически описать дифракцию света на аксиконе. В частности, было получено выражение для поля в каустике акси-кона (И.Г. Пальчикова, 1986), однако аксикон рассматривался не спиральный, и использовался метод стационарной фазы, который подходит только для случая малых длин волн. Была также получена приближенная формула для распределения интенсивности в окрестности фокуса (С. Zapata-Rodriguez, 2006). Там также исследовался не спиральный аксикон. Явных аналитических выражений, описывающих дифракцию когерентного света на СА получено не было.
3. Лазерные пучки с радиальной поляризацией используются для острой
субволновой фокусировки. Ранее распространение радиально-поляризованных пучков
рассматривалось без оптических вихрей (G. Wu, 2007).
Однако не были получены явные аналитические выражения для радиальной, азимутальной и осевой проекций вектора напряженности электрического поля, возникающего при непараксиальной дифракции Гауссовых оптических вихрей с начальной радиальной и азимутальной поляризациями.
При изготовлении СФП по технологии литографии получается ступенчатый микрорельеф. Многоуровневые СФП исследовались ранее (К. Sueda, 2004), но в прежних работах СФП анализируется с помощью разложения в ряд по угловым гармоникам. Однако не было получено аналитического выражения (не в виде ряда) для описания дифракции Фраунгофера плоской волны на многоуровневой (квантованной) СФП.
В современных научных исследованиях интерес к различным типам лазерных пучков заметно возрос. Например, продолжаются исследования хорошо известных мод Лагерра-Гаусса (М. Gao, 2007). Было рассмотрено (V.V. Kotlyar, 2007) новое семейство параксиальных лазерных пучков - гипергеометрические моды. Однако теоретически не было сделано обобщение гипергеометрических мод и не были получены гипергеометрические лазерные пучки.
В последнее время возрос интерес к точным решениям параксиального уравнения типа Шредингера в цилиндрической системе координат. Недавно были открыты гипергеометрические-гауссовые пучки (Е. Karimi, 2007). Однако аналогичных непараксиальных гипергеометрических лазерных пучков, которые получаются как решения уравнения Гельмгольца, получено не было.
Известны работы, в которых показана самофокусировка кольцевых лазерных пучков (Y. Shin, 2001). Но не было показано, что непараксиальные векторные гипергеометрические лазерные пучки с топологическим зарядом и = 0, 1 также обладают свойством самофокусировки (то есть смещением перетяжки от начальной плоскости).
Интерес к фокусировке лазерного света в продольный осевой отрезок, в том числе с субволновым диаметром, не ослабевает (М.К. Bhuyan, 2010). Численно показано, что вблизи вершины стеклянного аксикона при определенных параметрах может возникнуть субволновое фокусное пятно диаметром FWHM = 0,30А, (V.V. Kotlyar, 2010). Было также установлено, что при прохождении через логарифмический акикон (ЛА) осевая интенсивность вдоль отрезка в среднем более постоянная, в отличие от конического линейного аксикона (r.R. Staronski, 1992), у которого средняя интенсивность растет вдоль осевого отрезка. Но не были получены аналитические выражения
для параксиальной комплексной амплитуды дифракции Гауссова пучка на логарифмическом аксиконе.
9. В последнее время возрос интерес к планарным градиентным и фотонно-кристаллическим линзам, которые способны обеспечить субволновую фокусировку лазерного света (X. Wang, 2004). Часто в качестве планарной градиентной линзы используется линза, показатель преломления которой зависит от поперечной координаты как гиперболический секанс (ГС). ГС-линза Микаэляна является частным случаем градиентного волновода Эпштейна. Задача распространения света в ГС-волноводе и ГС-линзе решалась в геометрооптическом и волновом (W. Streifer, 1967) приближениях. Однако не было показано, что моды планарного ГС-волновода могут быть выражены через многочлены Якоби, и что любая композиция ТЕ-мод ГС-волновода периодически повторяется при распространении.
Целью диссертационной работы является теоретическое исследование дифракции когерентного света на спиральной фазовой пластинке, спиральном аксиконе и логарифмическом спиральном аксиконе.
В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:
Получить явные аналитические выражения для описания скалярной дифракции плоской волны на СФП, а также установить свойства формирующейся дифракционной картины.
Получить явные аналитические выражения для описания скалярной дифракции плоской волны на СА. Исследовать влияние аксикона на картину дифракции на СФП.
Получить явные аналитические выражения для векторной дифракции Гауссова пучка с различным состоянием поляризации на СФП. Исследовать фокусировку ради-ально поляризованных Гауссовых пучков.
Получить явные аналитические выражения для описания дифракции Фраунго-фера плоской волны на квантованной СФП. Установить свойства оптических вихрей, формирующихся при дифракции на СФП с малым числом уровней квантования.
Получить явные аналитические выражения для описания скалярной параксиальной дифракции Френеля и установить свойства гипергеометрических лазерных пучков и мод, формирующихся при прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через спиральный логарифмический аксикон.
Получить явное выражение для непараксиальной дифракции гипергеометрических лазерных пучков в свободном пространстве.
Получить явные аналитические выражения для трех проекций вектора напряженности электрического поля гипергеометрического лазерного пучка в слабом непараксиальном приближении. Исследовать фокусировку гипергеометрических пучков.
Получить выражение для дифракции Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе (ЛА), а также для эффективного радиуса картины дифракции. Исследовать возможность преодоления дифракционного предела с помощью ЛА.
Получить явные выражения для мод планарного гиперболического секансного (ГС) волновода. Определить величину периода Тальбота. Установить изображающие свойства отрезка ГС-волновода.
Научная новизна работы.
В диссертационной работе впервые получены следующие результаты: 1. Получены явные аналитические выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную дифракцию на спиральной фазовой пластинке (СФП). В случае освещения СФП плоской волной учтена ее ограниченность круглой диафрагмой (раньше это учитывалось только для СФП первого порядка). В случае освещения
Гауссовым пучком комплексная амплитуда выражена через гипергеометрическую функцию, что позволило рассмотреть дифракцию Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей и обобщить известные выражения для оптических вихрей.
Получены явные аналитические выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную дифракцию плоской неограниченной и ограниченной круглой диафрагмой волн на спиральном аксиконе. Использование спирального аксикона позволило управлять контрастом периферийных колец на дифракционной картине оптического вихря, изменяя параметр аксикона.
С помощью вычисления интегралов Рэлея-Зоммерфельда в слабом непараксиальном приближении получены явные аналитические выражения для амплитуды трех компонент вектора напряженности электрического поля, описывающей дифракцию Гауссова пучка на СФП с произвольным целым топологическим зарядом п. Рассмотрено прохождение через СФП Гауссова пучка с радиальной и азимутальной начальной поляризацией (ранее радиально поляризованные Гауссовы пучки рассматривались в свободном пространстве без СФП). Полученные выражения позволили обосновать формирование радиально и азимутально поляризованных световых пучков при интерференции Гауссовых оптических вихрей с правой круговой поляризацией и и = -1 и левой круговой поляризацией и и = +1, а также необходимость использования СФП с единичным топологическим зарядом для фокусировки в пятно, а не кольцо.
Получены явные аналитические выражения для комплексной амплитуды света, описывающей скалярную параксиальную дифракцию Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП. Новизна состоит в том, что рассматривалась СФП в форме правильного многоугольника, состоящего из конечного числа треугольных секторов с постоянной фазой в каждом из них. Это позволило показать, что оптические вихри можно сформировать при прохождении плоской волны света через СФП всего с тремя или четырьмя уровнями квантования, которая является более простой в изготовлении по сравнению с непрерывной СФП.
Рассмотрено трехпараметрическое семейство гипергеометрических лазерных пучков, комплексная амплитуда которых является решением параксиального уравнения Гельмгольца и пропорциональна функции Куммера. Гипергеометрические лазерные пучки формируются при прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через логарифмический аксикон, совмещенный с СФП.
Найдено решение уравнения Гельмгольца, которое описывает распространение гипергеометрических лазерных пучков в свободном пространстве без использования параксиального приближения. Это семейство решений выражается через произведения двух линейно-независимых решений уравнения Куммера, и описывает световые поля, распространяющиеся как в прямом, так и в обратном направлении вдоль оптической оси. Эти пучки являются еще одним примером непараксиальных оптических вихрей или сингулярных световых полей с радиальной симметрией поперечной интенсивности и винтовой (спиральной) фазой.
Рассмотрены векторные гипергеометрические лазерные пучки, для которых получены аналитические выражения для амплитуд трех проекций вектора напряженности электрического поля. Также получены формулы для осевой интенсивности таких пучков с нулевым и единичным топологическим зарядом. Эти формулы позволили обнаружить смещение положения перетяжки пучка от начальной плоскости и определить величину этого смещения.
Получено явное аналитическое выражение для комплексной амплитуды света, описывающей дифракцию Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом аксиконе. Это позволило оценить эффективный радиус картины дифракции, обосно-
вать уменьшение этого радиуса с ростом модуля отрицательного параметра аксикона, и показать с помощью моделирования возможность формирования субволнового фокусного пятна с диаметром, равным одной пятой длины волны.
9. Получены явные выражения для комплексных амплитуд ТЕ и ТМ мод планар-ного гиперболического секансного (ГС) волновода. Новизна состоит в выражении амплитуды ТЕ мод через полиномы Якоби, а также в том, что показано наличие периода Тальбота для ТЕ-поляризованного излучения и отсутствие такового для ТМ-поляризованного. Отрезок ГС-волновода (ГС-линза) рассмотрен в качестве изображающей системы с субволновым разрешением и предложено для увеличения разрешения вместо интенсивности регистрировать проекцию вектора Умова-Пойнтинга на оптическую ось.
Практическая ценность работы.
Полученные в диссертационной работе результаты имеют также и прикладное значение. Полученные аналитические выражения могут применяться при расчетах и моделировании в таких оптических задачах, как
создание оптических ловушек, в которых осуществляется захват диэлектрических микрочастиц в световое кольцо и вращение по нему;
создание устройств оптической обработки изображений, в котором спиральный оптический элемент может использоваться в качестве пространственного фильтра для подчеркивания контуров на оптическом изображении;
субволновая фокусировка лазерного излучения с помощью логарифмического аксикона или гиперболической секансной линзы.
Положения, выносимые на защиту.
При скалярной дифракции на спиральной фазовой пластинке (СФП) с целым топологическим зарядом и формируется световое поле, комплексная амплитуда которого описывается гипергеометрической функцией при дифракции плоской волны и функцией Куммера при дифракции Гауссова пучка. В случае дифракции Фраунгофера на СФП ограниченной плоской волны комплексная амплитуда оптического вихря также пропорциональна конечной сумме функций Бесселя, а в случае дифракции Френеля Гауссова пучка - сумме двух модифицированных функций Бесселя.
В случае дифракции Фраунгофера плоской волны, ограниченной круглой диафрагмой, на спиральном аксиконе (СА) комплексная амплитуда света описывается рядом из гипергеометрических функций iF2(a, b, с, z). При дифракции Френеля Гауссова пучка на СА комплексная амплитуда описывается рядом из функций Куммера \F\(a, b, z) (вырожденных гипергеометрических функций). Использование аксикона совместно с СФП позволяет сформировать дифракционную картину с низким контрастом периферийных колец.
При векторной дифракции света на СФП комплексная амплитуда описывается конечной суммой из функций Бесселя (в случае параксиальной дифракции Фраунгофера плоской волны с эллиптической поляризацией) и линейной комбинацией двух модифицированных функций Бесселя (для дифракции Гауссова пучка как с эллиптической, так и с радиальной поляризацией). В случае начальной радиальной поляризации Гауссова пучка положение фокуса оказывается смещенным от геометрического в сторону перетяжки.
При дифракции Фраунгофера плоской волны на квантованной СФП в форме правильного многоугольника световое поле описывается конечной суммой плоских волн. В случае треугольной или квадратной СФП с тремя или четырьмя уровнями фазы в центре дифракционной картины в области размером, равным диску Эйри, формируется оптический вихрь с единичным топологическим зарядом.
При прохождении Гауссова пучка с амплитудной степенной составляющей через спиральный логарифмический аксикон формируется световой пучок, комплексная амплитуда которого в зоне дифракции Френеля описывается функцией Куммера (вырожденной гипергеометрической функцией). При наличии амплитудной особенности в начале координат эти световые пучки переходят в гипергеометрические моды, сохраняющие при распространении вид кольцевой интенсивности в поперечном сечении, меняясь только масштабно. Пространственная частота светлых колец на дифракционной картине линейно возрастает при удалении от оптической оси.
Комплексная амплитуда гипергеометрического лазерного пучка в непараксиальном приближении описывается произведением двух линейно-независимых решений уравнения Куммера.
В слабом непараксиальном приближении амплитуды трех проекций вектора напряженности гипергеометрического лазерного пучка описываются функциями Куммера. При распространении такого пучка с нулевым или единичным топологическими зарядами в свободном пространстве происходит самофокусировка, заключающаяся в смещении перетяжки пучка (области с максимальной осевой интенсивностью) от начальной плоскости.
При дифракции Френеля Гауссова пучка на спиральном логарифмическом ак-сиконе размер формируемого светового пятна находится в обратной зависимости от параметра аксикона. С помощью логарифмического аксикона может быть осуществлена субволновая фокусировка Гауссова пучка сразу за аксиконом.
Комплексная амплитуда ТЕ и ТМ мод планарного гиперболического секансного волновода описывается соответственно полиномами Якоби и Гауссовыми гипергеометрическими функциями. Для ТЕ мод существует период Тальбота, через который дифракционная картина самовоспроизводится. Планарная гиперболическая секансная линза, являющаяся отрезком гиперболического секансного волновода, позволяет разрешить по критерию Рэлея два когерентных точечных источника, разделенных расстоянием равным 0,15 длины волны света.
Апробация работы. Результаты, вошедшие в диссертационную работу, представлялись на 11 конференциях, в том числе на 9 международных и двух всероссийских: Международная конференция SPIE «Photon Management II» (Strasbourg, France, 2006); Международная конференция «ICO Topical Meeting on Optoinformatics I Information Photonics» (г. Санкт-Петербург, Россия, 2006); Международная конференция SPIE «Nanoengineering: Fabrication, Properties, Optics, and Devices III» (San Diego, CA, USA, 2006); XXVI Школа по когерентной оптике и голографии (Иркутск, Россия, 2007); Международная конференция «Optics, Photonics and Metamaterials -2009» (Харьков, Украина, 2009); Международная конференция молодых ученых и специалистов «Оп-тика-2009» (Санкт-Петербург, Россия, 2009); Международная конференция SPIE «Optical Technologies for Telecommunications 2009» (Самара, Россия, 2009); Международная конференция «Optical Techniques and Nano-Tools for Material and Fife Sciences» (Минск, Беларусь, 2010); Седьмая международная конференция «ГОЛОЭКСПО-2010» (HOFOEXPO-2010), XXVII Школа по когерентной оптике и голографии (Москва, Россия, 2010); Международная конференция с элементами научной школы для молодежи «Перспективные информационные технологии для авиации и космоса» (Самара, Россия, 2010); II Всероссийский научный семинар «Оптика нано- и микроструктур» (Самара, Россия, 2010).
Личный вклад автора. Основные результаты диссертации получены автором самостоятельно. Также автор самостоятельно проводил моделирование и сравнение
экспериментальных данных с результатами моделирования. Постановка задач и обсуждение результатов проводились совместно с научным консультантом.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 33 статьях в реферируемых отечественных и зарубежных журналах, а также в материалах 11 научных конференций.
Объем и структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка цитируемой литературы (201 наименований). Работа изложена на 249 страницах и содержит 98 рисунков и 5 таблиц.
