Содержание к диссертации
Введение
1: Анизопланатизм адаптивных оптических систем
1.1.. Требования к модели 20
1.2. Предположения о внешних условиях и общем характере моделируемой задачи 22
1.3. Распределение неоднородностей по высоте 25
1.4. Оценка угла изопланатизма 26
1.5. Эффективность адаптивной компенсации в условиях анизопланитизма 27
1.6. Временные корреляции фазы в искажающей среде 31
1.7. Распространение световых пучков 32
1.8. Характеристики изображения точечного объекта 34
2: Метод моделирования
2.1. Моделирование распространения светового пучка в атмосфере 37
2.1.1. Метод фазовых экранов 37
2.1.2. Учет дифракции 38
2.1.3. Приближение геометрической оптики 40
2.1.4. Моделирование анизопланатизма 40
2.2. Анализ искажений волнового фронта 50
2.2.1. Разложение случайных фазовых аберраций по модам Цернике 50
2.2.2. Датчик волнового фронта 54
2.2.3. Общие требования к датчикам 62
2.2.4, Датчик Гартмана 64
2.3. Фазовая коррекция в условиях анизопланатизма 71
2.3.1. Моделирование коррекции 71
2.3.2. Фазово-сопряженная коррекция 72
2.3.3. Коррекция с весами 78
2.3.4. Остаточные ошибки 81
2.3.5. Оценка качества изображения 83
3: Численное моделирование адаптивной оптической системы
3.1. Структура и состав модели 86
3.2. Схема и параметры модели 91
3.3. Результаты моделирования 94
Заключение 103
- Предположения о внешних условиях и общем характере моделируемой задачи
- Характеристики изображения точечного объекта
- Датчик волнового фронта
- Оценка качества изображения
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена моделированию систем адаптивной оптики, функционирующих в турбулентной атмосфере. Основное внимание уделено анизопланатизму адаптивной системы и роли дифракционных эффектов в атмосфере при исследовании анизопланатизма.
Актуальность проблемы
Развитие адаптивной оптики на протяжении всей своей истории было стимулировано в первую очередь прикладными задачами. Такие проблемы как увеличение разрешающей способности наземных телескопов, компенсация искажений в интерферометрах, фокусировка лазерного пучка, создание систем внутрирезонаторной коррекции, улучшение работы систем оптической связи -типичные задачи, которые рассматривает адаптивная оптика. Эти общие задачи в свою очередь делятся на более конкретные частные задачи, одной из которых является задача коррекции изображений, полученных при наличии случайно-неоднородной среды между объектом и приемной апертуры оптической системы.
Хорошо изучены особенности искажений и методы их коррекции для систем, в которых угловой размер объекта не превышает размера изопланатической области. В таких системах фазовые искажения оптических волн, идущих через неоднородную среду от разных точек объекта, можно считать одинаковыми. Но если геометрические размеры объекта превышают размер изопланатической области, то оптические пути, по которым идут волны от разных точек такого объекта, различны. Следовательно, существенно различны и приобретаемые этими волнами фазовые искажения. Этот эффект называется анизопланатизмом оптической системы. В условиях анизопланатизма существенно затрудняются как регистрация, так и компенсация искажений, а методы, прекрасно зарекомендовавшие себя для изопланарных систем, перестают работать .
Интерес к явлению анизопланатизма в задачах астрономии был стимулирован, в первую очередь, взможностью исправить искаженное изображение слабого источника по наблюдениям фазовых искажений в изображении другого, значительно более яркого объекта (опорного источника). Такая возможность обусловлена корреляцией фазовых искажений волн, приходящих от разных объектов. Эта корреляция быстро убывает при увеличении углового расстояния между наблюдаемыми источниками, и поэтому возможности адаптивной коррекции изображений в условиях анизопланатизма ограничены.
Решать задачу о компенсации искажений в условиях анизопланатизма можно различными способами. В теоретических работах в большинстве случаев используется приближение геометрической оптики, которое не описывает флуктуации амплитуды в атмосфере. Перенебрежение дифракционными эффектами далеко не всегда оправдано, тем более что область применимости геометр ооптического приближения в задачах с анизипланатизмом изучена слабо. Так как эксперименты в этой области сложны и дорогостоящи, а часто и вообще невыполнимы, то предлагается использовать методы компьютерного моделирования. С помощью такого подхода возможно не только рассчитать эффективность конкретных методов компенсации турбулентных возмущений, но и проделать это как с учетом дифракционных эффектов, так и в пренебрежении ими.
Цели и задачи диссертационной работы
Исследовать влияние дифракции света на фазовых неоднородностях среды распространения на эффективность работы адаптивных оптических систем в условиях анизопланатизма. Разработать модель, позволяющую для любой заданной реализации неоднородной среды рассчитывать результаты адаптивной коррекции волнового фронта как с учетом дифракции, так и в приближении геометрической оптики.
Разработать программный комплекс для численного моделирования адативных систем атмосферной оптики, функционирующих в условиях анизопланатизма. Построить компьютерную модель, которая позволяет вычислять
сигналы датчика волнового фронта адаптивной оптической системы, определять вносимую корректором дополнительную фазу и регистрировать изменение во времени аберрационных коэффициентов на выходе системы так, как это происходит в адаптивной системе при наблюдении сквозь движущийся турбулентный слой.
3. Применить разработанное программное обеспечение для расчета
мгновенных и усредненных значений фазовых ошибок коррекции при различном
угловом разнесении опорного источника и области наблюдения в широком диапазоне
параметров адаптивной системы и атмосферных неоднородностей. Рассчитать
мгновенные и усредненные характеристики системы: функцию рассеяния точки
(ФРТ) и оптическую передаточную функцию (ОПФ), а также оценить угловой размер
области изопланатизма и зависимости числа Штреля SR от углового разнесения
источников при различном числе корректируемых мод Цернике.
Рассчитать флуктуации остаточной квадратичной ошибки коррекции и временные флуктуации, возникающие при сносе турбулентного слоя поперечным ветром с заданной скоростью при различных вариантах алгоритма коррекции.
Провести расчеты остаточных ошибок адаптивной коррекции как с учетом дифракции на неоднородностях атмосферы, так и в приближении геометрической оптики и оценить роль дифракционных эффектов.
Научная новизна полученных результатов диссертационной работы заключается в том, что впервые:
Рассчитаны остаточные ошибки коррекции атмосферных аберраций в адаптивной оптической системе в условиях анизопланатизма с учетом дифракции на фазовых неоднородностях среды распространения.
Разработан программный комплекс для численного моделирования работы адаптивной системы в атмосфере с учетом дифракционных эффектов.
Проведены расчеты мгновенных и усредненных характеристик оптичекой
системы с адаптивной коррекцией определенного числа мод Цернике в
зависимости от величины углового расстояния между наблюдаемым объектом и опорным источником как с учетом дифракции, так и без него, и проведено сравнение полученных результатов.
Практическая ценность работы заключается в том, что разработанные комплекс программ и численная модель позволяют оперативно рассчитывать характеристики адаптивных оптических систем, работающих в условиях анизопланатизма, с учетом ряда факторов, существенно определяющих эффективность адаптивной коррекции: дифракции световых пучков на фазовых неоднородностях атмосферы, числа корректируемых мод, устройства датчика волнового фронта, алгоритма управления корректором. Такого рода расчеты позволяют оптимизировать структуру и параметры адаптивных систем.
Защищаемые положения
1. Дифракция световых пучков на фазовых неоднородностях атмосферы и
возникающие в зтой связи флуктуации амплитуды вносят существенные
поправки в оценки остаточных ошибок адаптивной системы при
анизопланатизме. Так, в случае длинной трассы (L = 10000 м) и слабой
турбулентности (Си2 =10 17м"3) учет дифракции приводит к уменьшению
среднего квадрата ошибки коррекции примерно в 2 раза при малых углах (1-5 мкрад) между направлениями на источники и в 1.3 раза при больших углах (20 мкрад).
2. Модель позволяет выделить и исследовать по отдельности ошибки
коррекции, вызываемые различными причинами: собственно
анизопланатизмом системы, флуктуациями амплитуды регистрируемых
волн и погрешностями датчика волнового фронта. Такое исследование
позволяет лучше понять влияние различных факторов, ограничивающих
эффективность адаптивной коррекции.
3. Компьютерное моделирование является эффективным методом исследования функционирования адаптивных оптических систем в условиях анизопланатизма.
Апробация работы
Основные результаты изложены в 6 публикациях, из них 2 статьи в реферируемых журналах и 1 препринт. Материалы диссертации докладывались и обсуждались на международных конференциях: "11th International Symposium on Atmospheric and Oceanic Optics" (Tomsk, 2004), "13th Multi-Disciplinary Iranian Researchers Conference in Europe" (Leeds, UK, 2005), "20th Congress of the International Commission for Optics" (Changchun, China, 2005).
Стуктура и объем работы
Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. Работа изложена на 114 страницах и включает 31 рисунок. Список литратуры содержит 61 наименование, вкючая 6 публикаций автора по теме диссертации. Личный вклад
Все приведенные в диссертации результаты получены при непосредственном участии автора. Составление программ и проведение расчетов выполнено автором лично.
Предположения о внешних условиях и общем характере моделируемой задачи
Генератор фазовых экранов предназначен для создания; набора двумерных функций с требуемыми корреляционными: свойствами; Фазовый экран моделирует волновой? фронт плоской волны, распространяющейся расстояние Az скозь- неоднородную: среду. Если n(r,z) -флуктуационная- добавка к показателью преломления в: точке (r,z)\ где г -поперечная, z -продольная направлению распространения-коордиата, то, согласно законам геометрической оптики, фаза волны в плоскости z= Az будет: В простейшем случае, когда нет необходимости; моделировать поперечные эффекты, обусловленные анизопланатизмом, или? же временные, связанные с. динамикой? неоднородностей: среды, достаточно; поместить единственный фазовый экран, моделирующий форму волнового фронта, в плоскость входного зрачка. Для корректного описания- анизопланатизма необходимы, по крайней мере, три или более экранов. Применяемые в адаптивной оптике датчики волнового фронта измеряют, как правило, его локальный наклон в; дискретном множестве точек. Восстановление полного профиля волного фронта; по измеренным локальным наклонам возможно лишь при определенных условиях. При наличии особенностей (точек ветвления І фазы,. или дислокаций; волнового фронта) волновой; фронт не может быть удовлетворительно1 восстановлен с помощью известных алгоритмов; Для минимизации погрешностей: при восстановлении волнового фронта по измеренным градиентам: фазы, обычно используется метод наименьших квадратов [31]; Метод фазовых экранов (МФЭ) позволяет: моделировать протяженные искажающие среды,, у которых характеристики плавно меняются вдоль направления распространения волн. Для извлечения І информации о неоднородностях поля показателя преломления, среды, с целью; последующего использования для управления; корректором, необходимо некоторое электронно-оптическое устройство. Обобщенно такие устройства называют датчиками волнового фронта (ДВФ). В- общем? виде задача моделирования : ДВФ может быть, сформулирована следующим образом. Имеется; сеточное представление комплексной;амплитуды оптической волны полученное в результате, численного решения задачи распространения; Требуется определить двумерную функцию 9, которая,являлась бы оценкой, фазы (р волны, причем точность этой оценки характеризовала бы просранственно-временное разрешение - моделируемого электронно-оптического устройства; Для идеального датчика такая оценка, очевидно, должна удовлетворять следующему условию: т.е. отличаться от истинного значения, в точках измерения не более чем на константу.
Желательно также, чтобы эта оценка была непрерывной функцией, поскольку основные типы корректоров волнового фронта неспособны-воспроизводить разрывную поверхность. В ряде задач адаптивной оптики основным вопросом является; определение предельной эффективности; алгоритмов фазовой; коррекции: в сравнении с амплитудно-фазовой; Для этого, в принципе, достаточно иметь модель некоторого идеального датчика: Существует два основных подхода5 к. задаче измерения волнового фронта. Один из них основан на измерении разностей фаз, другой -на измерении: локальных наклонов (датчик Гартмана) [32]. Мы. рассморим задачу моделирования второго типа датчиков. Для- численного моделирования гартмановского датчика известны два подхода [33]. 1. Первый метод базируется на прямом? расчете распределения- интенсивности в фокальном пятне для каждой субапертуры и последующем оценивании смещения его центроида. 2. Второй метод позволяет опустить этап вычисления распределения- интенсивности в фокусе каждой субапертуры. Он основан на прямом вычислении: оценки смещения центроида, как. взвешенногоs на; интенсивность- среднего по субапертуре градиента фазы,. Для моделирования нами использовался первый метод. 1. Исследовать влияние : дифракции Ї света на фазовых неоднородностях среды распротранения- на эффективность работы адаптивных оптических систем в условиях анизопланатизма. Разработать модель, позволяющую: для любой заданной реализации неоднородной среды рассчитывать результаты адаптивной коррекции" волнового- фронта; как. с учетом дифракции, так и в приближении геометрической оптики. 2. Разработать программный комплекс для численного моделирования адативных систем атмосферной оптики, функционирующих в условиях анизопланатизма; Построить компьютерную модель, которая позволяет вычислять сигналы датчика волнового фронта адаптивной оптической системы, определять. вносимую корректором- дополнительную, фазу и регистрировать:: изменение во времени аберрационных коэффициентов на выходе системы, так, как это происходит в адаптивной системе при наблюдении5 сквозь, движущийся турбулентный слой. 3;. Применить разработанное программное обеспечение для расчета мгновенных и усредненных значений фазовых ошибок коррекции при различном; угловом разнесении опорного источника и области наблюдения в широком диапазоне параметров; адаптивной; системы и атмосферных неоднородностей:
Рассчитать мгновенные и усредненные характеристики І системы: функцию-рассеяния точки (ФРТ) и оптическую -передаточную функцию (ОПФ), а также оценить угловой размер области изопланатизма и зависимости числа Штреля SR от углового разнесения источников при различном числе корректируемых мод Цернике. 4. Рассчитать флуктуации остаточной квадратичной ошибки коррекции и временные флуктуации; возникающие; при: сносе: турбулентного СЛОЯ: поперечным ветром І с заданной -скоростью при различных вариантах алгоритма коррекции. 5. Провести расчеты остаточных ошибок адаптивной коррекции как с учетом дифракции на неоднородностях атмосферы так ив приближении геометрической оптики и оценить роль дифракционных эффектов. 1. Дифракция световых пучков на фазовых неоднородностях атмосферы и возникающие в. зтой связи флуктуации амплитуды вносят существенные поправки в оценки остаточных ошибок адаптивной системы при анизопланатизме. Так, в случае длинной трассы (L = 10000 м) и слабой турбулентности (Си2 =10 7м"%) учет дифракции приводит к уменьшению среднего квадрата ошибки коррекции примерно в 2 раза при малых углах (1-5 мкрад) между направлениями на источники и в 1.3 раза при больших углах (20 мкрад). 2. Модель позволяет выделить и исследовать по отдельности ошибки коррекции, вызываемые различными причинами: собственно анизопланатизмом системы, флуктуациями амплитуды регистрируемых волн и погрешностями датчика волнового фронта. Такое исследование позволяет лучше понять влияние различных факторов, ограничивающих эффективность адаптивной коррекции, 3. Компьютерное моделирование является эффективным методом исследования функционирования адаптивных оптических систем в условиях анизопланатизма. Диссертация состоит из введения, 3 глав, заключения, списка литратуры 61 наименование), изложена на 114 страницах, содержит 31 рисунок. Основной целью работы является разработка метода анализа эффективности работы адаптивной оптической системы в условиях анизопланатизма. . Универсальным инструментом такого исследования является, метод компьютерного моделирования, при этом: разрабатываемая: модель, с одной стороны должна охватывать как можно более широкий круг задач,, ас другой стороны должна быть достаточно простой и эффективной при использовании в прикладных задачах. Определим основные требования, которым должна удовлетворять разрабатываемая модель: Модель должна учитывать аншопланатшм системы. В; случае анизопланатичности системы применить к расчету искаженных изображений подход, основанный на использовании; оптической; передаточной функции (ОПФ) [7], не представляется І возможным. Предложим, иной; подход, который, позволит с одной стороны с достаточной степенью учесть анизопланатичность, системы, ас другой стороны проводить расчет искаженных изображений за сравнительно небольшое время.
Характеристики изображения точечного объекта
Методы; моделирования прохождения света через турбулентную атмосферу разработаны и хороше изучены. В: рамках нашей задачи будет использоваться метод фазовых экранов [9]; В соответствии с этим методом слой турбулентной атмосферы, находящийся между объектом и приемной апертурой, представляется в виде некоторого числа тонких фазовых экранов. Считается, что от экрана к экрану волновой фронт изменяется только за счет дифракции, а на экранах приобретает случ айные фазовые набеги. Интенсивность излучения остается при прохождении экрана неизменной, В промежутках между экранами рассчитывается распространение волны в однородной среде. Варьируя распределения фазовых набегов на экранах можно моделировать турбулентную атмосферу с совершенно разными свойствами; Число экранов и расстояния между ними можно выбирать произвольно. С точки зрения экономии вычислительных ресурсов желательно обойтись минимально допустимым числом экранов. Теоретический анализ [39] показывает, что в ряде типичных ситуаций удается описать удовлетворительно эффекты анизопланатизма, используя всего три экрана. В описываемой модели обычно использовались четыре экрана. В этом случае выбор их пространственного положения менее критичен. При необходимости количество экранов может быть увеличено. Задача дифракции между экранами: решалась спектральным методом. Пространственный спектр поля сразу после очередного экрана умножался на передаточную функцию пустого пространства в приближении Френеля [6], а затем путем обратного преобразования Фурье вычислялась комплексная амплитуда поля перед очередным экраном. Затем добавлялась вносимая следующим экраном фаза. Такая процедура может быть продолжена необходимое число раз. В результате вычислялась комплексная амплитуда поля в плоскости приемной апертуры. Этот процесс выполнялся независимо для двух полей, распространяющихся под углом друг к другу. Совместная обработка фазовых распределений в- этих полях позволяет получить всю необходимую для описания анизопланатизма информацию и вычислить остаточные ошибки коррекции.
Если единственная звезда наблюдается сквозь турбулентную атмосферу, аппаратную функцию телескопа (ФРТ) можно получить, вычисляя интеграл Фурье от функции когерентности по круговой апертуре телескопа.. Функция: когерентности в однородной и изотропной атмосфере с Колмогоровскои статистикой может легко быть выражена через структурную функцию фазы На рис.(Г.І). показано- усредненное распределение интенсивности в фокальной плоскости;телескопа, ограниченное атмосферной» турбулентностью и вычисленное на основе последней: формуды. Эта функция хорошо аппроксимируется гауссовой; кривой с полушириной x/r0 . При гауссовой аппроксимации, однако, аппаратная функция стремится к нулю гораздо быстрее чем измеренный профиль ФРТ. В этом приближении ширина максимума (FWHM) составляет- 0.98Х/г0, что соответствует ФРТ телескопа с диаметром г0 .Так как г0 кт, ширина максимума А";/5 и уменьшается медленно при увеличении длины волны. Заметим, что в дифракционно-ограниченной системе (случай D/r0«l) ширина максимума А, и растет сувеличением длины волны. Для анализа адаптивных систем знания только усредненных: характеристик аппаратной функции недостаточно. Большой интерес представляют не усредненные (мгновенные), или усредненные за короткое время (короткоэкспозиционные) изображения. С помощью компьютерной модели могут быть получены мгновенные - соответствующие некоторому замороженному состоянию турбулентности - реализации ФРТ телескопа, носящие случайный характер. Пример такой функции приведен на рис.1.2. Многочисленные проведенные исследования явления анизопланатизма адаптивных отических систем и вызываемых анизопланатизмом дополнительных ошибок коррекции выполнялись ранее в приближении геометрической оптики. Влияние флуктуации амплитуды при этом не учитывалось. Область применимости этого приближения в системах с анизоплонатизмом практически не исследована. Метод компьютерного моделирования позволяет рассмотреть задачу с учетом дифракции на фазовых неоднородностях атмосферы и сравнить полученные результаты с аналогичными, полученными без учета дифракции. Для реализации метода необходим набор фазовых экранов, обладающих нужными статистическими характеристиками. Генератор фазовых экранов предназначен для создания таого набора двумерных функций с требуемыми корреляционными свойствами. Спектральный метод: создания фазовых экранов, позволяет успешно моделировать фазовые искажения оптических волн в атмосфере.
Для общего представления, а так же для выяснения ограничений, накладываемых методом, изложим основную его суть . Фазовый экран; моделирует волновой фронт плоской волны, распространяющейся на расстояние Az сквозь неоднородную среду. Если-n(r,z) — флуктуационная добавка к показателю преломления: в точке (r,z) , где г -поперечная, z -продольная направлению распространению координата, то, согласно законам геометрической оптики, фаза волны в плоскости z =Az будет : В простейшем случае, когда нет необходимости моделировать, поперечные эффекты, обусловленные дифракцией и анизошганатизмом, или же временные, связанные с динамикой неоднородностеи среды, достаточно поместить единственный фазовый экран, моделирующий форму волнового; фронта,, в плоскость входного зрачка. Для моделирования этих эффектов рассмотрим некоторое число М плоскостей, распределенных вдоль трассы . Каждый фазовый экран размером N N ячеек моделирует текущий пространственный интервал среды, на котором ход лучей для сферической волны приближенно заменяется- параллельными лучами. Суммируя фазы вдоль лучей, распространяющихся сквозь экраны без преломления по закону геометрической оптики, можно получить распределение фазы в плоскости апертуры в зависимости от координаты точки на объекте. Преимущество этого метода состоит в использовании; приемлемого объёма хранимой информации: N Nx-M случайных величин, где М- число экранов; Недостаток метода состоит в том, что размер сетки фазовых экранов ограничивает предельный размер объекта, а величина шага сетки накладывает ограничение на диапазон пространстенных частот, которые возможно учесть при этом описании. Необходимо сделать ещё одно предварительное замечание по поводу задачи моделирования передачи изображения сквозь искажающую среду. Типичное коротко-экспозиционное изображение, которое формируется при наблюдении точечного источника сквозь турбулентность, представляет собой спекал -структуру, общий размер которой определяется интенсивностью турбулентности. Каждый спекл имеет диаметр, соответствующий дифракционным ограничениям телескопа. Спеклы являются результатом интерференции случайных волн, рассеянных на неоднородностях среды. В нашем приближении спекл-структура не учитывается. Учет спекл-структуры существенно усложнил бы; анализ ряда интересных эффектов , связанных с анизопланатизмом . Таким образом, первым ключевым моментом при моделировании передачи изображения сквозь неоднородную среду является создание фазовых экранов.
Датчик волнового фронта
Применяемые в адаптивной оптике датчики волнового фронта измеряют, как правило, его локальный наклон в дискретном множестве точек. Восстановление полного профиля волнового фронта по измеренным локальным наклонам возможно лишь при определенных условиях. Прежде всего функция ср(г) должна изменяться достаточно плавно. В этом случае измерения на сетке с шагом, малым по сравнению с характерным интервалом изменения р(г), дают хорошую точность восстановления. Чтобы судить о правомерности представления фазы как плавно меняющейся функции, представим комплексную амплитуду световой волиы А(г) в виде: Тдех(г) -логарифм вещественной амплитуды, a q (r) -фаза волны. Будим считать, что внутри системы, где расположен датчик волнового фронта, среда однородна и параболическое уравнение имеет вид: Здесь к=2тг/Х -волновое число, координата z направлена по оси пучка, а оператор Л действует в плоскости (х,у), перпендикулярной оси, Запишем уравнения, которым удовлетворяет фаза в поперечном сечении пучка. С этой целью подставим (2.21) в (2.22) и, произведя дифференцирование, составим отдельные уравнения для действительной и мнимой частей : Оператор V действует в плоскости (х,у). Как видно из уравнений (2.23), поперечный градиент фазы и изменение градиента существенным оброзом зависят от градиента логарифма амплитуды V% . Фазовая функция р(г) будет являться плавной лишь в том случае, когда невелик градиент логарифма амплитуды. Это условие заведомо нарушается в точках, где \А\ = 0. В этих точках наблюдаются особенности фазового профиля -дислокации волнового фронта [45]. При обходе по замкнутому контуру вокруг дислокации фаза волны получает приращение ±2п . При наличии таких особенностей волновой фронт не может быть удовлетворительно восстановлен с помощью известных алгоритмов. Рассматриваемые далее способы восстановления волнового фронта предполагают отсутствие дислокаций в пределах приемной апертуры. Это условие эквивалентно требованию достаточной малости флуктуации уровня сигнала, так что амплитуда волны нигде не обращается в нуль. Отсутствие дислокаций вместе с правильным выбором шага дискретизации обеспечивают необходимую точность восстановления фазы. Если условия плавности изменения фазы выполнены, восстановление фазового профиля не встречает на первый взгляд никаких затруднений. На самом деле это не всегда верно. Рассмотрим простой пример. На рис.2.7 изображен участок сетки, в узлах которой необходимо восстановить значения фазы.
Приняв для начального узла ),=0,. без труда найдем значения фазы в узлах 2 я 4, прибавив к фазе узла І соответствующие измеренные приращения and. Однако уже для узла 3 эта процедура неоднозначна: можно вычислить (р3, прибавив необходимое приращение с к фазе - р4 или прибавив b к $2 Если бы измерения производились абсолютно точно, вычисленные таким образом значения совпали бы. Практически же из-за порешностей измерения градиента фазы результаты будут, вообще говоря, различны. Естественно воспользоваться их средним значением, уменьшив таким образом погрешности измерения. Рассуждая аналогично, можно заполнить всю сетку. Построенный алгоритм не оптимален: различные узлы оказались неравноправными и погрешности восстановления не будут минимально возможными. Для минимизации погрешностей при восстановлении волнового фронта по измеренным градиентам фазы используется метод наименьших квадратов. Общий анализ метода проведен в [46]. Рассмотрим сначала задачу восстановления функции по ее градиенту в непрерывном случае. Если бы измерения были точными и значения градиента фазы V извесны для всех точек апертуры, то фаза р(г) в любой точек г могла бы быть представлена в виде контурого интеграла кривой с. При измерениях с погрешностями это уже не так. Обозначим (р(г) истинное распределение фазы, &g(r) -измеренный градиент. Тогда где п(г) —шум измерения. Будем считать наилучшей оценкой фазы такую функцию ф(г), для которой Сформулированное условие представляет собой вариционную задачу. Уравнение Эйлера для функции f имеет вид Уравнение (2.27) имеет простой физический смысли. Вектор g, содержащий шум, не является градиентом какой-либо потенциальной функции. Он может быть представлен как сумма потенциальной и вихревой составляющих. Вихревая часть вектора g заведомо создается шумом и должна быть отброшена. Эта операция осуществляется применением оператора дивергенции. Восстаноление поля ф(г.) по оставшейся потенциальной части осуществляется при решении уравнения Пуассона (2.27). Разумеется, роль шума в не ограничивается появлением вихревой части вектора g. Шум искажает также и потенциальную составляющую, так что распределение фазы ф отличается от истинного. Метод наименьших квадратов никак не влияет на эту погрешность. Пусть надо восстановить значения фазы руг.в узлах квадратной сетки с шагом h. Выразим значения градиентов в точках измерения через значения фазы. Конкретное выражение зависит от расположения точек измерения градиентов по отношению к узлам принятого способа аппроксимации. В схеме Хаджина [47] градиенты измеряются в серединах отрезков; соединяющих ближайшие узлы(рис. 2.8.Й). В этом случае: Приравняв разностный оператор в левой части равнества измеренным значениями gx и gy составим для сетки с числом узлов NxN стсему из 2N(N-1) уравнений, содержащую N неизвестных. Для N 2 число уравнений превышает число величин рф подлежащих определению. Почти во всех случаях обращение матрицы вызывает затруднения, так как матрица Р Р- сингулярная. Это означает, что на некоторые параметры (или комбинации параметров) данные не накладывают ограничений.
Например, мы не можем определить первую моду Цернике (поршень) из измерений наклона. На практике обращение матрицы осуществляется с удалением неопределенных (или плохо определнных) параметров с помощью алгоритма разложения вырожденных значений. В системах Шака-Гартмана (Ш-Г) с квадратной геометрией, плохо определяемые моды обычно включают квазипериодические деформации с частотой решетки актуаторов. Сколько мод Цернике можно восстановить с помощью ДВФ Ш-Г, имеющего N суб апертур? На первый взгляд, до 27V. На самом; деле, только N, потому что наклоны лс,_) не полностью независимы, они избыточны. Реконструктор, использующий метод наименьших квадратов, не является наилучшим. Из руководств по статистике известно, что лучшее восстановление может быть достигнуто с использованием априорной информации о свойствах сигнала. В случае адаптивной оптики такой информацией является статистика возмущений волнового фронта (например, ковариация мод Цернике) и статистика шума ДВФ. Стараясь найти решение, которое дает минимальную ожидаемую остаточную фазовую дисперсию (следовательно, максимальное число Штреля), мы получим матрицу реконструктора, которая похожа на фильтр Винера. В случае одномерных сигналов фильтр Винера в пространстве частот записывается как обозначают соответственно спектр мощности сигнала и шума. Если шумом можно пренебречь, то фильтр Винера сводится к обратному фильтру А \ но он обрезает частоты, на которых шум доминирует над сигналом. Для адаптивной оптики это означает, что и порядок компенсации, и ширина полосы сервоустройства уменьшаются при недостаточном количестве фотонов. В системах адаптивной оптики выражения для минимальной дисперсии реконструктора включают матрицу взаимодействия и матрицы ковариации шума и атмосферных возмущений. Сходные результаты получаются с использованием других статистических подходов (максимум правдоподобия или максимальная апостериорная вероятность). Для любого реконструктора В, шум восстановленной фазы U2\равен где Cj-матрица ковариации измерений (диагональная матрица с элементами (slhntI,) в случае некоррелированного шума), "trace" означает сумму диагональных элементов матриц. Это выражение позволяет вычислить коэффициент распространения шума, связав ошибки измерений ДВФ с ошибками восстановления фаз. задача измерения искажний волнового фронта часто встречается в оптике, и обычно решается с помощью интерферометров.
Оценка качества изображения
Основной целью введения управления в оптическую систему является уменьшение искажений, вызываемых турбулентной средой или другими причинами. Мерой искажений может служить среднеквадратичная ошибка или число Штреля. Распределение дисперсии остаточной ошибки дает достаточно подробное представление о характере фазовых ошибок, однако не позволяет непосредственно решить ряд важных вопросов. Часто; например, нужно выбрать один из двух вариантов адаптивного корректора, имеющих различный характер распределения по апертуре ошибки фазы. Решение этого вопроса существенно зависит от той цели, которая преследуется при создании адаптивной системы. В тех случаях, когда фазовые ошибки, возникающие в различных зонах корректора, одинаково влияют на результат работы системы, естественно принять за меру качества коррекции среднюю по апертуре квадратичную ошибки фазы. Мы можем написать: где а2 (г) описывает распределение ошибки по площади S. Число Штреля является удобным критерием качества многих оптических систем. За число Штреля системы принимают отношение интенсивности в фокусе реалной системы к интенсивности в системе без искажений. Таким образом, Внесение аберрации в систему всегда снижает число Штреля. Увеличение SR в результате адаптации служит хорошим критерием эффективности адаптивных устройств [2]. В общем случае в качестве меры разрешения оптических систем используется величина интегрального разрешения, равная интегралу от нормированной оптической передаточной функции(ОПФ) или функции размытия точки(ФРТ). Ширина турбулентной ФРТ определяется наибольшим из двух значений -дифракционного разрешения инструмента X/D и турбулентного А/г0 разрешения. При диаметре много больше, чем радиус когерентности, ширина ФРТ определяется турбулентностью , anpnD г0 —дифракцией на апертуре. При D го увелечение диаметра приводит к соответствующему уменьшению ширины ФРТ. Когда размер апертуры достигает радиуса когерентности, дальнейшее ее увлечение приводит лишь к повышению интенсивности изображения, поскольку изображения, формирумые субапертурами с размером г0, складываются некогерентно[32]. Программа включает следующие блоки: а) моделирования распространения световой волны в турбулентной атмосфере, б) моделирования работы гартмановского датчика, восстанавливающего профиль фазы волны от опорного источника, в) коррекция фазы волны от наблюдаемого объекта, г) вычисления и обработки остаточных ошибок. Для моделирования атмосферы применялся метод фазовых экранов.
Слой турбулентной атмосферы, находящийся между объектом и приемной апертурой, представлялся в виде некоторого числа (трех и более) тонких фазовых экранов. Волны от опорного источника (1) и некоторой точки (2) наблюдаемого объекта (разнесенных на угол #) регистрируются раздельно в пределах приемной апертуры диаметра D. Плоскость, проходящая через направления на опорный источник и точку наблюдения образует угол а с направлением преимущественного ветра (осью х). Считается, что от экрана к экрану волна распространяется в однородностей среды, на экранах приобретает только случайные фазовые набеги. Интенсивность излучения предполагается неизменной (фазовое приближение). Варьируя распределения фазовых набегов на экранах можно моделировать турбулентную атмосферу с различными свойствами. Реализации экранов были получены по известной методике [7], позволяющей синтезировать экраны, соответствующие различным параметрам и спектрам турбулентности. При расчетах обычно использовались четыре экрана, которые могли двигаться с некоторой скоростью (модель ветра) поперек направления наблюдения. При компьютерном моделировании рк(т) представляются на дискретных сетках в соответствующих плоскостях, перпендикулярных OCHZ. Для реализации модели ветра размер экрани в направлении его движения должен существенно превышать размер в поперечном направлении. Распространение волны между экранами рассматривается в приближении дифракции Френеля. При использовании фазовых экранов конечного размера распределение поля после экрана искажается дифракцией на его краях. Для подавления этого эффекта на рапределение амплитуды на входе системы накладывалась аподизирующая супергауссова маска. Теоретически проще всего описать гауссов пучок с распределением амплитуды вида Величина со0 определяет, очевидно, ширину области изменения х у, где интенсивность колебаний, пропорциональная а (х,у), остается достаточно большой. Дифракционные явления в случае изменения амплитуды по закону (3.1) обладают рядом замечательных особенностей, позволяющих сравнительно просто анализировать многие дифракционные задачи. В этом случае пучок при распространении остается гауссовым, а дифракционные явления приводят только к расширению поперечного сечения пучка. Чередования областей с большими и меньшими: значениями освещенности (дифракционных полос) при этом не наблюдается. Формула дает решение задачи дифракции в приближении Френеля. В этой формуле E(xo,yo,z) -распределение комплексной амплитуды поля в плоскости наблюдения, Ео(х,у) -распределение амплитуды поля в плоскости входной апертуры, z -расстояние между плоскостью экрана и плоскостью наблюдения, X -длина световой волны, к 2к/Х -волновое число. Вообще говоря, такое приближение накладывает определенные ограничения на допустимые размеры объекта и положение точки наблюдения.
Приближение Френеля исключает из рассмотрения некоторые области пространства, а именно область, вплотную прилегающую к экрану, а также периферийные точки пространства, лежащие на больших расстояниях от оси пучка. Однако из физических соображений ясно, что в первой из указанных областей световое поле почти такое же, как в падающей волне, а во вторую область свет почти не проникает. Супергауссово распределение входной интенсивности не сохраняется при распространении волны в свободном пространстве и не допускает столь же простого анализа. Однако, в этом случае также эффективно подавляются краевые эффекты, и, кроме того, расширяется область вблизи оси пучка, где его амплитуду можно считать с достаточной точностью постоянной. Это очень удобно в модельных задачах. В качестве анализатора ВФ моделировался ДВФ Ш-Г [9], В плоскости приемной апертуры располагался линзовый растр, а перед каждой линзой -аподизирующая (гауссова) диафрагма. По фазовым искажениям регистрируемой волны в пределах каждой линзы (субапертуры) вычислялось распределение интенсивности в фокальной плоскости, а смещения центров тяжести фокальных пятен служили мерой локальных наклонов ВФ в пределах каждой субапертуры. По измеренным локальным наклонам методом наименьших квадратов [2] восстанавливались коэффициенты Цернике опорной рв и предметной ц ( волн: где Zj(r) - полиномы Цернике, JV— полное число учитываемых мод. Важным элементом практически любой адаптивной системы является фазовый корректор. Описать работу фазового корректора в рамках предложенной модели можно следующим образом. Искажения, вносимые турбулентной средой, описываются в виде случайного набега фазы pi(r). Результатом работы фазового корректора служит появление дополнительного набега фазы в р((г). На этапе разработки методики воспользуемся простейшим алгоритмом управления фазовым корректором, а именно алгоритмом фазового сопряжения. Поместим опорный источник в центр объекта. Тогда искажения волнового фронта рц(г) . пришедшего от этого источника, будут такими же, как и для центрального подобъекта. Соответственно, новый набег фаз с учетом влияния корректора для каждого подобъекта будет вычисляться по формуле: При настройке корректора, таким образом, изображение центрального подобъекта будет получаться неискаженным, зато, как будет показано, изображение других подобъектов могут искажаться сильнее, чем в отсутствие корректора. То есть, для систем с анизопланатизмом использование такого простейшего алгоритма коррекции в реальных задачах неоптимально. Подобное поведение степени искаженности подобъектов типично для систем с анизопланотизмом при использовании коррекции с одним опорным источником, расположенным вблизи центра объекта.
