Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Перепутывание атомов в резонансном классическом электромагнитном поле 14
1.1 Основные модели коллективной релаксации 17
1.1.1 Одномерная итрехмерная модели 19
1.1.2 Однонаправленная модель 21
1.1.3 Стационарное перепутывание 23
1.1.4 Нестационарное перепутывание 29
1.2 Влияние параметров модели на степень перепутывания 29
1.2.1 Учет фазового набега между атомами 31
1.2.2 Зависимость от числа фотонов в термостате 34
1.2.3 Сжатый термостат 34
Глава II. Пространственная анизотропия волнового пакета бифотона 39
2.1 Обзор литературы 39
2.2 Влияние анизотропии кристалла на спектр бифотонного поля 42
2.3 Одночастичные и двухчастичные угловые распределения в двухортогональных плоскостях наблюдения 53
2.4 Экспериментальная установка и результаты измерений 59
Выводы к главе II 70
Глава III. Поляризационные четырехуровневые оптические системы (кукварты) на основе бифотонного поля 71
3.1 Поляризационные свойства бифотонного поля 71
3.1.1 Квантовые оптические состояния с размерностью D>2. Методы приготовления (по литературе) 71
3.1.2 Бифотон как четырехуровневая система. Критерий перепутанности для двухкубитов 78
3.1.3 Момент второго порядка по полю. Параметры Стокса. Степень поляризации кукварта 84
3.1.4 Момент четвертого порядка по полю. Матрица когерентности 87
3.1.5 Приготовление кукварта в заданном поляризационном состоянии. Эксперимент 89
3.2 Статистическое восстановление состояний бифотонов-куквартов 94
3.2.1 Протокол 1 91
3.2.2 Протокол 2 102
3.2.3 Экспериментальная установка и обсуждение результатов 103
3.3 Квантовое распределение ключа на бифотонах-куквартах 114
3.3.1 Квантовая криптография на кубитах (по литературе) 114
3.3.2 Обобщение протокола квантовой криптографии с использованием систем высокой (D>2) размерности 124
3.3.3 Приготовление и преобразование состояний бифотонов-куквартов 130
3.3.4 Измерение состояний бифотонов-куквартов 141
Выводы к главе III 146
Заключение 147
Список литературы 149
- Влияние параметров модели на степень перепутывания
- Влияние анизотропии кристалла на спектр бифотонного поля
- Статистическое восстановление состояний бифотонов-куквартов
- Квантовое распределение ключа на бифотонах-куквартах
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена теоретическому и
экспериментальному изучению особого свойства квантовых систем -перепутывания. Исследованы методы создания перепутанных состояний, контроля и измерения степени перепутанности. Обсуждается применение перепутанных состояний фотонов в прикладных задачах квантовой оптики.
На самой заре становления квантовой теории, в 1935г., Эйнштейн, Подольский и Розен опубликовали статью, озаглавленную "Можно ли считать квантомеханическое описание физической реальности полным?" [1]. Именно в ней авторы сформулировали свой знаменитый парадокс, который вызывал оживленные дискуссии, продолжающиеся вплоть до сего времени. Они рассмотрели систему двух квантово-коррелированных частиц, т.е. таких частиц, свойства которых связаны, не будучи точно заданными. Например, это могут быть две частицы, рожденные в результате распада третьей. Представим теперь, что частицы разнесены на сколь угодно большое расстояние. В начальный момент времени ни у одной из частиц не заданы координата или импульс, но в силу закона сохранения, сумма их импульсов, как и сумма координат, остается равной нулю. Если теперь производить измерения над первой частицей, например, измерить ее координату, то координата другой частицы после такого измерения тоже станет известной точно. Вследствие условия локальности, измерение над одной частицей не должно сказываться на другой. Следовательно, у второй частицы импульс может быть измерен сколь угодно точно. Такие рассуждения приводят к нарушению принципа неопределенности Гейзенберга. Если же меняется только волновая функция второй частицы, а сама частица останется точно такой же, значит, волновая функция - плохая характеристика для описания квантовой частицы.
В действительности, рассуждение, предложенное Эйнштейном, Подольским и Розеном, нисколько не опровергает квантовую механику и даже концепцию волновой функции. Дело в том, что квантово-коррелированные частицы характеризуются лишь одной общей волновой функцией; каждой же из двух частиц определенную волновую функцию приписать нельзя. Состояния таких квантово-коррелированных систем принято называть «перепутанными1» (или «запутанными»).
Перепутанные состояния могут возникать в системе, состоящей из двух или более подсистем. В простейшем случае чистого состояния составной системы перепутанность состоит в невозможности факторизации волновой функции системы, т.е. в невозможности представить ее в виде произведения волновых функций ее подсистем
\^) = \Wa)\Wb)\Wc)
Однако, даже если начальное состояние факторизовано, то после взаимодействия подсистем друг с другом или через окружение, их состояние может стать перепутанным. В таком состоянии подсистемы описываются только матрицей плотности, в то время как система в целом характеризуется либо волновой функцией, либо нефакторизуемой матрицей плотности.
Существует достаточно много способов создания перепутанных состояний. Во-первых, это может быть физический процесс, в результате которого возникают перепутанные состояния, другими словами, источник перепутанных состояний. Здесь следует упомянуть о процессе спонтанного параметрического рассеяния (СПР) света, имеющего место в нелинейных средах без центра инверсии [2]. Бифотонное поле, возникающее в таком процессе, состоит из пар коррелированных по времени, поляризации, частотам и месту рождения фотонов. На основе такого двухфотонного поля можно приготовить состояния, перепутанные не только по
От английского «entangled» - запутанный
непрерывным переменным, импульсу или координате, но и по дискретным, например по поляризации.
Другой способ заключается в приготовлении перепутанных состояний из первоначально независимых, например состояний атомов, ионов или мезоскопических объектов [3]. Оказывается, что управление над процессом перепутывания возможно осуществить при помощи оптического излучения. Такая идея лежит в основе создания квантового повторителя (quantum repeater) - устройства, позволяющего передавать перепутанные состояния на большие расстояния [4-6].
В настоящей работе исследуется механизм возникновения перепутывания между двумя двухуровневыми атомами, находящимися в поле общего термостата. Когерентный контроль над степенью перепутывания реализовывается классическим электромагнитным полем. Интерес к исследованию такой модели взаимодействия обусловлен возможностью применения кинетических уравнений, описывающих динамику процесса перепутывания, в реальных квазиодномерных системах, таких как фотонные кристаллы или световые волокна.
Квантово-коррелированные частицы представляют основной ресурс для различных схем квантовой телепортации и криптографии, используются в корреляционной спектроскопии и квантовой метрологии. Исчезновение квантовых корреляций в случае декогерентности является одним из основных принципиальных моментов на пути создания квантового компьютера.
Перепутанные состояния фотонов могут с успехом использоваться в прикладных задачах квантовой оптики и квантовой информации. Фотоны слабо взаимодействуют с окружением, сводя к минимуму эффекты декогерентизации, и легко преобразуются с помощью линейных оптических элементов. Именно на основе фотонов были реализованы протоколы квантового распределения ключа [7-Ю], квантовой телепортации [11-13] и плотной кодировки [14,15]. В этих работах
перепутывание рассматривалось по дискретному набору переменных, по поляризации. Такое описание не раскрывает полностью природу перепутывания, поэтому в последнее время возрос интерес к квантовым системам, перепутанным по непрерывным переменным, например импульсу и координате [16-24]. Основные задачи, возникающие при описании такого перепутывания, можно объединить в три группы:
как измерить степень перепутывания?
можно ли управлять степенью перепутывания?
насколько сильно можно перепутать состояния?
В диссертационной работе, на основе предложенного М.В.Федоровым подхода [25], демонстрируется возможность измерения двухчастичной степени перепутывания непосредственно из прямых экспериментальных измерений. В качестве меры перепутывания выступает отношение ширин одночастичных и двухчастичных угловых распределений излучения, рождающегося в результате СПР света. Неожиданным открытием стало обнаружение сильной анизотропии угловых распределений бифотонного поля. Это дает возможность получения высокой степени перепутывания при широком угловом спектре накачки, что до сих пор считалось невозможным. Кроме того, изменение геометрии наблюдения позволяет легко варьировать степень наблюдаемого перепутывания.
В качестве отдельной области можно выделить задачи, связанные с поляризационными свойствами бифотонов. Направления этих исследований во многом определяется задачами квантовой криптографии и вычислений. С точки зрения этих приложений, бифотон - квантовая система, чистое поляризационное состояние которой можно представить в виде трех - или четырехуровневой квантовой системы2. Особый интерес представляет случай, когда оба фотона, составляющие пару,
2 Определение D-уровневой системы, относящееся к энергетическим состояниям, здесь не вполне уместно, поскольку никаких реальных "уровней" в этих системах нет, под "уровнями" подразумеваются базисные состояния. Однако, в настоящее время эта терминология общепринята, и мы будем ее придерживаться.
распространяются в одной пространственной моде (однопучковый бифотон). В ряде случаев, использование квантовых многоуровневых систем как носителей информации имеет некоторые преимущества по сравнению с кубитами, двухуровневыми системами. Так, увеличение размерности гильбертова пространства увеличивает стойкость криптографического протокола перед некоторыми классами атаками подслушивания [97-101].
Использование квантовых состояний высокой размерности в прикладных задачах подразумевает под собой процедуры контроля над тремя основными этапами - генерацией, преобразованием и измерением состояний. Корреляция фотонов в парах может быть измерена при помощи схемы совпадений фотоотсчетов при использовании счетных фотодетекторов. Схемы, основанные на регистрации четвертого момента по полю или числа совпадений фотоотсчетов, позволяют восстановить неизвестное поляризационное состояние бифотона.
В настоящей работе предложено два протокола статистического
восстановления неизвестного поляризационного состояния
четырехуровневой системы - кукварта. Один из них основан на измерении проекций исследуемого состояния в различных поляризационных базисах путем проведения линейных поляризационных преобразований в плечах интерферометра Брауна-Твисса после пространственного разделения бифотона. Во втором методе поляризационные преобразования осуществляются над бифотоном, как над цельным объектом.
Частотная невырожденность фотонов, формирующих кукварт, нашла применение в удобном способе приготовления и регистрации определенного класса состояний, необходимых для реализации протокола квантового распределения ключа. Конечно, существуют и другие протоколы, основанные на использовании систем повышенной размерности, но интерферометрическая техника, используемая в данных протоколах, сильно усложняет практическую реализацию.
Таким образом, подводя итог вышесказанному, можно сформулировать задачи диссертационной работы:
1. Исследование механизма возникновения перепутывания между состояниями двух независимых двухуровневых атомов, находящихся в поле общего термостата и взаимодействующих с классическим электромагнитным полем: определение принципиальных условий, при которых перепутывание может иметь место, и изучение методов когерентного контроля над квантовыми состояниями.
Анализ количественных мер перепутывания двухчастичных состояний бифотонного поля. Выявление оптимальных условий для наблюдения максимального перепутывания, а также реализация соответствующих экспериментов.
Реализация алгоритмов статистического восстановления всех поляризационных параметров, характеризующих произвольное состояние бифотона-кукварта.
Исследование экспериментальных возможностей приготовления набора базисных состояний бифотона-кукварта методами обычной поляризационной оптики.
Исследование вопроса о применимости поляризационных куквартов в практической реализации протокола квантового распределения ключа.
Новизна диссертационной работы заключается в следующих положениях:
Теоретически продемонстрирована возможность когерентного контроля над степенью перепутывания квантовых состояний.
Обнаружен и количественно проверен эффект сильной анизотропии перепутывания пар фотонов при СПР.
Разработаны и реализованы протоколы статистического восстановления произвольного поляризационного состояния бифотона -кукварта.
Разработана схема для практической реализации протокола квантового распределения ключа на поляризационных куквартах.
Актуальность работы обусловлена фундаментальным интересом к природе возникновения перепутывания между квантовыми состояниями, а также к методам измерения и управления степенью перепутывания. Изложенный материал представляет также достаточно полное описание поляризационных свойств оптических многоуровневых систем, которые могут быть полезны для практического применения в квантовых информационных протоколах.
Практическая ценность диссертации состоит в возможном использовании полученных результатов в квантовой оптике и квантовой информации:
при моделировании динамики перепутывания в реальных квазиодномерных структурах
для коммуникаций с использованием бифотонных состояний, распространяющихся в открытом пространстве
при реализации протоколов квантового распределения ключа на многоуровневых системах
Результаты работы прошли апробацию на следующих международных и российских конференциях:
II Меяадународная Конференция по Оптике Лазеров для молодых ученых, Санкт-Петербург, Россия, 2003г. Всероссийская Молодежная
Научная Школа, «Когерентная Оптика и Оптическая Спектроскопия», Казань, Россия, 2003г. VIII Международный симпозиум «Фотонное Эхо и Когерентная Спектроскопия» (PECS'2005), Солнечногорск, Россия, 2005г. Международный симпозиум «Квантовая информатика» (QP05), Звенигород, Россия, 2005г. XI International Conference on Quantum Optics (ICQO'06), Минск, Белоруссия, 2006г. Coherent Control of the Fundamental Processes in Optics and X-ray-Optics (CCFP'2006), Н.Новгород - Казань, Россия, 2006г. Международная конференция «ICO Topical Meeting on Optoinformatics/ Information Photonics», Санкт-Петербург, Россия, 2006г., Seminar of the Quantum Optics Division, University of Rochester, Rochester, NY, USA, 2006г., Общеинститутский семинар ИОФ РАН, 2007г., 3,4 Семинар памяти Д.Н. Клышко, Москва, Россия, 2003,2005гг.
Диссертационная работа состоит из трех глав, введения и заключения:
Первая глава посвящена вопросу о перепутывании атомов, находящихся в поле общего термостата и взаимодействующих с внешним классическим электромагнитным полем. Рассматриваются различные модели термостата - однонаправленная, одномерная и трехмерная, а также сжатый термостат. Показано, что дополнительное резонансное взаимодействие с классическим электромагнитным полем позволяет существенно расширить область параметров атомной системы, при которых происходит перепутывание, причем степенью перепутывания можно эффективно управлять, меняя характеристики резонансного воздействия. Во второй главе рассмотрено влияние анизотропии кристалла на структуру бифотонного пакета. Было показано, что профиль одночастичных и двухчастичных угловых распределений, наблюдаемых в двух различных геометриях эксперимента, имеет ярко выраженное анизотропное распределение. Это приводит к проявлению сильной зависимости наблюдаемой степени перепутывания между фотонами от ориентации
кристалла и способа детектирования. Экспериментально реализован операциональный метод определения степени перепутанности бифотонов. В третьей главе рассматриваются поляризационные свойства четырехуровневых оптических систем (куквартов) на основе частотно невырожденного бифотонного поля. Обсуждаются методы приготовления и преобразования бифотонов-куквартов. Показано, что степень поляризации не является инвариантом относительно SU(2) преобразований. Представлено два протокола статистического восстановления неизвестного состояния кукварта и обсуждаются особенности их экспериментальной реализации. Рассматриваются физические принципы работы протокола квантового распределения ключа на четырехуровневых оптических системах.
В заключении сформулированы основные выводы и результаты диссертационной работы, представляющие собой суть выносимых на защиту положений.
Определено влияние классического электромагнитного поля на возникновение перепутывания между состояниями двух независимых двухуровневых атомов, находящихся в поле общего термостата. Степенью перепутывания можно эффективно управлять при помощи внешнего электромагнитного поля.
Определено условие, при котором возможно наблюдение высокой степени перепутывания пар фотонов при СПР. В этом случае волновой пакет бифотона определяется только параметрами нелинейного кристалла, а не угловым спектром накачки.
С помощью реализованных протоколов статистического восстановления можно полностью восстановить информацию о поляризационном состоянии бифотона-кукварта.
4. Развитая концепция поляризационных преобразований многомодового оптического поля позволяет эффективно применять бифотоны-кукварты в протоколах квантового распределения ключа.
Основные материалы диссертации опубликованы в следующих работах:
[К1] А.М.Башаров, Е.В. Морева, Э.А.Маныкин «Перепутывание атомов резонансным классическим электромагнитным полем», Оптика и Спектроскопия, т.96, №5, с. 724-731 (2004)
[К2] Ю.И. Богданов, Р.Ф. Галеев, СП. Кулик, Г.А. Масленников, Е.В. Морева «Реконструкция четырехуровневых состояний бифотонного поля», Письма в ЖЭТФ, т.82, вып.З, с. 180-184 (2005)
[КЗ] СП. Кулик, Г.А. Масленников, Е.В. Морева «К вопросу о практической квантовой криптографии на многоуровневых системах», ЖЭТФ, т.129, в.5, с. 814 (2006)
[К4] E.V. Moreva, G.A. Maslenikov, S.S. Straupe and S.P. Kulik, «Four-level states based on biphoton», Phys. Rev. Lett. 97, p. 023602 (2006)
[K5] Yu.I. Bogdanov, E.V. Moreva, G.A. Maslepnikov, R.F. Galeev, S.S. Straupe and S.P. Kulik, «Polarization states of four-level systems», Phys. Rev. A 73, p. 063810 (2006)
[Кб] СП. Кулик, Е.В. Морева, С.С Страупе, «Поляризационные преобразования бифотонов», Ученые записки казанского государственного университета, т. 148, к.1, с. 152, (2006)
[К7] Ю.И. Богданов, Р.Ф. Галеев, СП. Кулик, Е.В. Морева, «Математическое моделирование характеристик точности в задачах прецизионной квантовой томографии двухфотонных состояний», Оптика и Спектроскопия, т.103, №1, с.112-121, (2007)
Влияние параметров модели на степень перепутывания
В этом параграфе будет рассмотрено влияние температуры, сжатия термостата, фазового параметра, а также типа модели на минимальное собственное значение матрицы Переса-Городецких, характеризующее степень перепутывания атомных состояний. В параграфе 1 было показано, что в модели коллективного радиационного распада в поле термостата при отсутствии в термостате фотонов и взаимодействии с классическим электромагнитным полем почти всегда происходит эффективное перепутывание атомных состояний. Однако в реальных экспериментах не всегда удается точно соблюсти все условия. С этой точки зрения интересен вопрос, насколько сильно влияют Временная зависимость минимального собственного значения матрицы Переса-Городецких от интенсивности поля при 0=7с/2.
График отвечает начальным состояниям не возбужденной системы (pg =1). такие параметры как температура термостата, относительный набег фазы и сжатие на степень перепутывания. Зависимость временной динамики однонаправленной модели от относительного набега фазы при распространении волны от одного атома до другого иллюстрирует рис. 1.4. Если набег фазы за время прохождения поля между частицами кратен я, то перепутанность атомных состояний со временем приходит к стационарному значению. Отличие фазы от нулевого значения приводит к возникновению затухающих осцилляции и разрушению стационарного перепутывания, однако скорость этого процесса существенно замедленна, по сравнению со скоростью выхода на стационарное значение при нулевом значении фазы. Сравнение однонаправленной и одномерной моделей приведено на рис.1.5. Здесь по оси абсцисс отложен относительный сдвиг фазы, а по оси ординат параметр Я_, определяющий степень перепутывания. Предполагается, что взаимодействие с классическим полем есть (параметре = 1), а плотность фотонов в термостате равна нулю. Однонаправленная модель и одномерная, дают практически одни и те же экстремальные значения Я_. Различие связано только с взаимодействием с классическим полем. То же самое будет и для случая, когда у атомов различаются константы связи для волн, распространяющихся в разных направлениях. Таким образом, результаты численного моделирования показывают, что экстремальные значения Х_ слабо зависят от того, является ли модель термостата однонаправленной или одномерной. Это позволяет предположить, что однонаправленная модель (совпадающая при 8 = 0 с трехмерной моделью) служит хорошим приближением для исследования атомного перепутывания в различных условиях, в том числе Зависимость минимального собственного значения матрицы
Переса-Городецких от сдвига фазы для однонаправленной (кривая (1)) и одномерной (кривая (2)) моделей при нулевой температуре. Кривые 1 и 2 отвечают условию, когда один атом возбужден, а другой нет. и при одновременном действии нескольких термостатов в условиях различных резонансных воздействий на атомы когерентными полями. Кинетические уравнения, выведенные в первом параграфе, позволяют рассматривать релаксацию атомов как в тепловом, так и в сжатом термостате. В случае тепловой статистики термостата зависимость средней плотности числа фотонов на резонансной частоте от температуры определяется из следующего выражения: Результаты численного моделирования показывают, что с ростом плотности фотонов в термостате перепутывание должно исчезнуть при любых значениях когерентного поля. Причина этого заключается в проявлении все более и более «классических» свойств термостата, а взаимодействие только с классическим полем не приводит к наведению квантовых корреляций. На рис. 1.6 представлена зависимость параметра Я_ от плотности числа фотонов общего термостата для теплового термостата. Взаимодействие с классическим полем не учитывается. Считается, что начальные атомные состояния соответствуют чистому состоянию, когда один атом возбужден, а другой находится на нижнем уровне.
Во втором примере рассмотрим ситуацию, когда атомы связаны с термостатом сжатого вакуумного поля. В этом случае релаксация описывается уравнением (1.4), с параметрами N и М, связанными друг с другом оотношением \М\ = jN(N+l). Здесь JV- среднее число фотонов в термостате, а М- параметр сжатия. При ненулевых значениях среднего числа фотонов сжатие термостата приводит к появлению благоприятных условий для перепутывания. При учете сжатия термостата и отсутствии классического поля можно получить следующее решение для медленно меняющихся матричных элементов. При M= sjN(N +1) и начальном условии &aa = 0, атомы, первоначально находившиеся в одинаковых возбужденных или основных состояниях, эволюционируют к стационарному состоянию. Чтобы определить, является ли решение (1.17) перепутанным, воспользуемся критерием Переса-Городецких. Стационарная матрица Переса-Городецкого такова:
Влияние анизотропии кристалла на спектр бифотонного поля
Спонтанное параметрическое рассеяние было предсказано в 1966 году Д.Н. Клышко [49] и впервые наблюдалось в [59,51]. Этот процесс возможен только в нецентросимметричных средах и обычно интерпретируется как спонтанный распад фотона накачки с частотой сор на пару фотонов (традиционно называемыми сигнальным и холостым) с частотами cos и щ. Такая интерпретация позволяет считать рассеянное поле состоящим из пар коррелированных в пространстве-времени фотонов, или бифотонов.
Частотно-угловой спектр рассеянного света определяется совместно законом дисперсии среды n(cOj),j = p,i,s и параметрическими условиями синхронизма: где kj - волновые вектора участвующих в нелинейном взаимодействии волн. Вероятность регистрации бифотона в дальней зоне (двухчастичное угловое распределение), т.е. вероятность одновременной регистрации фотона в моде ks одним идеальным детектором и фотона в моде kt другим детектором, определяется квадратом модуля двухфотонной амплитуды: где функцию F{ks,ki) можно интерпретировать как форму бифотонного волнового пакета. Для определения вероятности регистрации одного фотона, например сигнального, необходимо выражение (2.7) проинтегрировать по всем модам второго, холостого фотона: Для измерения одночастичного распределения (2.8) достаточно использовать один детектор. Феноменологическое описание процесса спонтанного параметрического процесса базируется на эффективном гамильтониане взаимодействия, Здесь x - квадратичная восприимчивость вещества, Ер - поле накачки, которое предполагается классическим, V - объем взаимодействия, а Е -оператор рассеянного поля. В первом порядке теории возмущения вектор состояния рассеянного поля имеет вид: где - волновая расстройка от синхронизма. В простейшем случае, когда рассеивающий объем имеет форму бесконечного двумерного слоя толщиной L, расположенного в плоскости, перпендикулярной волновому вектору накачки, бифотонная амплитуда имеет вид: волновым вектором накачки, a Az. продольная расстройка синхронизма. Индекс обозначает положение регистрирующего детектора в пространстве (см. рис.2.1). Прежде чем вводить одночастичные и двухчастичные распределения, необходимо определить геометрию процесса рассеяния и ограничить рамки задачи. Мы будем рассматривать процесс спонтанного параметрического рассеяния с синхронизмом типа I, когда фотон необыкновенно поляризованной накачки распадается на пару фотонов с одинаковой поляризацией (обыкновенной). Также ограничимся случаем коллинеарного, частотно-вырожденного синхронизма, т.е. рожденные в процессе
СПР фотоны имеют одинаковую частоту (ор12 и распространяются примерно в том же направлении, что и накачка. Лабораторную систему координат определим следующим образом. Пусть оптическая ось кристалла ориентирована вертикально, вдоль оси ох (рис.2.1). Оси оу и oz перпендикулярны оси ох, а волновой вектор накачки лежит в плоскости (xz). Фрагмент эллипсоида и сферы это поверхности коэффициентов преломления (поверхности Френеля) необыкновенного фотона накачки и обыкновенного сигнального фотона на удвоенной частоте. Эффективный коэффициент преломления необыкновенного фотона накачки зависит от ориентации волнового вектора относительно оси кристалла и представляет собой эллипсоид. Коэффициент преломления обыкновенного сигнального (холостого) фотона не зависит от направления и в трехмерном пространстве представляет сферу. Точка В, через которую проходит волновой вектор накачки, принадлежит кривой пересечения сферы и эллипса и отвечает направлению пространственного синхронизма. При этом ф0 это угол, под которым необходимо направить излучение накачки, чтобы выполнялись условия синхронизма (2.6).
Как уже упоминалось, основными характеристиками бифотонной волновой функции в импульсном представлении считаются распределение вероятности регистрации одного фотона из пары (одночастичное или безусловное распределение) или регистрации пары фотонов (двухчастичное или условное распределение). Эти характеристики могут быть измерены экспериментально при помощи одного или пары детекторов, расположенных в дальней зоне (рис 2.2). Так, одночастичное распределение может быть измерено как зависимость скорости регистрации фотонов от положения детектора, а двухчастичное распределение измеряется как скорость регистрации пар фотонов от положения одного детектора при фиксированном положении другого детектора. На рис.2.1 о - точка в дальней зоне, расположенная на оси oz\ а о% - ось, перпендикулярная оси oz , вдоль которой перемещается детектор. Как следствие, детектор регистрирует только фотоны, принадлежащие плоскости ( o z ). Можно выделить два основных направления, первый - когда регистрируются фотоны, принадлежащие плоскости (с), содержащей оптическую ось кристалла, а второй - когда регистрируются фотоны в ортогональной относительно оси плоскости (Ь). Обычно считается, что угловой профиль бифотонного волнового пакета более или менее инвариантен относительно поворота вокруг волнового вектора накачки. Кроме того, считалось, что ширина двухчастичного распределения полностью определяется угловым профилем накачки [17]. Однако это предположение будет выполняться только в случае очень
Статистическое восстановление состояний бифотонов-куквартов
Любое состояние квантовой системы полностью определяется вектором состояния или матрицей плотности. Для бифотонов-куквартов поляризационная матрица плотности размера 4x4 связана с моментами четвертого порядка по полю. По сути дела задача о реконструкции состояния поляризационного кукварта сводится к выполнению ряда действий по измерению данных моментов и восстановления матрицы плотности (когерентности). Известно, что моменты четвертого порядка по полю могут быть измерены в интерферометре Брауна-Твисса [84], которые впервые применили данный метод для измерения угловой расходимости звездного излучения. Если дополнить оригинальную схему поляризационными фильтрами (рис.3.6), то в получившейся схеме оказывается возможным измерить моменты (3.27,3.28), регистрируя парные совпадения фотоотсчетов при различных положениях фильтров. Каждый фильтр состоит из последовательно расположенных четверть- и полуволновой ахроматических пластинок и поляризатора, который пропускает вертикальную поляризацию. Идея первого протокола состоит в разделении состояния кукварта на две частотные моды с последующим независимым преобразованием над каждым из фотонов в отдельности. Такой метод называется «частотно селективным». Для разделения частотных мод удобно воспользоваться дихроичным светоделителем, который пропускает фотон с одной частотой и отражает с другой. Другой способ заключается в использовании простого светоделителя с интерференционным фильтром на одну из длин волн в одном из плеч интерферометра. Первый способ является более предпочтительным, так как обеспечивает большее число регистрируемых событий. Рассмотрим более подробно работу схемы восстановления.
Пусть в каждое из плеч интерферометра (условно, первое и второе) помещены два одинаковых набора из четверть- и полуволновой пластинки и вертикально ориентированного поляризатора. В гейзенберговском представлении поляризационное преобразование для каждого из плеч интерферометра запишется как: Здесь (3j - ориентация оси пропускания поляризатора, /Зу- = —; h /2 гл-i2ih /4 гх /4 " параметры полуволновых и четвертьволновых фазовых пластинок, определенные в (3.31): для четвертьволновой пластинки с ориентацией %j{8j = я /4): для полуволновой пластинки с ориентацией в (8j = к 12) Индекс j = 1,2 указывает номер плеча интерферометра. Таким образом, четыре действительных параметра, а именно ориентации двух пар пластинок, полностью определяют поляризационные трансформации: 0„ Х\$ъ Хг Как отмечалось выше, регистрируемым событием в схеме Брауна-Твисса является совпадение двух импульсов пришедших с двух детекторов Dx и D2. При этом регистрируемая детектором интенсивность (например, в первом плече) Л, будет пропорциональна моменту второго порядка: а скорость счета совпадений фотоотсчетов в двух плечах пропорциональна нормально упорядоченному моменту четвертого порядка: В общем случае этот момент содержит линейную комбинацию десяти моментов(3.27,3.28), которые формируют матрицу К4. Задача статистического восстановления состоит в нахождении этих моментов из соотношений вида (3.40), при различных ориентациях фазовых пластинок в\,%\,вг- Хі Рассмотрим несколько примеров вычисления моментов для заданных значений в\,%\,вг,%г из приведенного ниже (таблица 1) протокола.
Измерение первых четырех моментов является тривиальной процедурой. Например, третья линия в таблице 1 соответствует выделению базисного состояния Vfc). Другие три верхних линии соответствуют измерению оставшихся базисных состояния Н Н , F2) и VlH2). Остальные линии протокола показывают ориентацию фазовых пластинок, которая используется для измерения комплексных моментов (3.28). Так, для измерения действительной части момента Е, фазовые пластинки необходимо ориентировать следующим образом:
Квантовое распределение ключа на бифотонах-куквартах
Идея о секретной передаче информации возникла со времен зарождения цивилизации. Первым криптографическим устройством по праву можно назвать СКИТАЛ. Это устройство состояло из конусообразной дубинки и куска кожи или пергамента, на которой записывалось сообщение. Правильно восстановить зашифрованное сообщение могли только получатели, обладавшие дубинкой такой же формы. В дальнейшем методы шифрования усложнялись, появлялись новые методы шифрования, а окончательное признание криптографии как науки, произошло с выходом работы Шеннона "Теория связи в дискретных системах" [87]. Современные криптосистемы можно разделить на два типа -симметричные и асимметричные. Первый тип подразумевает использование одного ключа4 для кодирования и раскодирования информации. Примером симметричного кодирования может служить код Вермана, известный как одноразовый блокнот [88]. Идея шифрования сводится к следующему: случайным образом выбирается цепочка битов, представляющих собой ключ, и складывается с цепочкой битов, представляющих собой секретное сообщение. После этого криптограмма может быть доступна каждому, но расшифровать ее могут только пользователи, имеющие ключ. Однако, чтобы определить ключ, пользователи должны на какой-то стадии общения использовать очень секретный канал. При этом нужно учитывать, что ключ необходимо менять после каждого сообщения, а его длина должна быть равной длине сообщения. В противном случае передачу информации нельзя считать абсолютно секретной. Второй тип системы кодирования, ассиметричный, основан на использовании разных ключей для шифрования и дешифрования. В таких системах не надо договариваться о секретном ключе.
Пользователь, которому необходимо получить секретное сообщение, создает пару ключей, открытый и секретный, после чего распространяет открытый ключ «по всему миру». Каждый может закодировать сообщение при помощи открытого ключа, но прочитать его сможет только пользователь, имеющий секретный ключ. Ключи создаются таким образом, что его раскрытие эквивалентно решению некоторой «трудоемкой задачи». Система обмена ключами Диффи-Хеллмэна [89] и подписи Эль Гамаля [90] базируются на сложной задаче вычисления дискретных логарифмов в конечных полях, а RSA [91] - на сложности нахождения простых делителей больших целых чисел. Системы кодирования с открытым ключом являются основными на сегодняшний день, однако они основаны на недоказанных математических фактах, и как только будет придуман алгоритм быстрой факторизации5, секретность информации будет поставлена под угрозу. Квантовая криптография предлагает совершенно новый способ проблемы распределения ключа. Безусловная секретность ключа, распределенного между легитимными пользователями при помощи квантовых систем, основана на законах физики, а не на том факте, что для успешного подслушивания потребовались бы огромные вычислительные мощности. В квантовой криптографии используется фундаментальная особенность квантовых систем, заключающаяся в принципиальной невозможности точного детектирования состояния системы, принимающей одно из набора нескольких неортогональных состояний. Это вытекает из факта, что достоверно различить подобные состояния за одно измерение не получается. Например, нельзя определить длину отрезка в пространстве только по его проекции на одну ось, а более одного измерения сделать невозможно, поскольку любое измерение над квантовой системой приводит к ее возмущению. Кроме того, в квантовой механике справедлива теорема о запрете точного клонирования систем, что делает невозможным изготовление нескольких копий исследуемой системы и последующее их тестирование. В качестве носителей информации в квантовой криптографии, как правило, используются отдельные фотоны или связанные фотонные пары. Этот выбор определяется тем, что это единственные объекты на которых основывается экспериментальная реализация квантовой криптографии.
Рассмотрим несколько основных протоколов квантовой криптографии на кубитах. Этот протокол квантовой криптографии был предложен Ч.Х. Беннетом и Г. Брассаром [7], широко известный как ВВ84. В качестве носителей информации здесь используются одиночные фотоны, а значения 0 и 1 битов информации кодируются различными направлениями поляризации. Кодирование происходит при помощи векторов, принадлежащих семейству взаимно несмещенных базисов: для векторов, принадлежащих одному базису, где D - размерность гильбертова пространства. Можно показать, что существует набор М = /)+1 взаимно несмещенных базисов, если только размерность пространства D удовлетворяет условию D = рк, где р - простое число, а к - целое. Так, для D = 2 число базисов составляет М = 3. В оригинальной схеме протокола ВВ84 использовалось два взаимно несмещенных базиса -один базис, задаваемый двумя состояниями \Н) и \V), а другой базис заданный линейно поляризованными состояниями +45) и -45). Позднее протокол ВВ84 был расширен: прибавилось еще два состояния и один базис (базис, задаваемый с право- и левоциркулярной поляризацией о) и о)), что позволяет обеспечить дополнительную секретность при некотором классе атак. После выбора базисов, отправитель (Алиса) кодирует информацию, где 0, например, кодируется состояниями \н) и +45), а 1 - состояниями \V) и -45) (рис.3.9а). Далее Алиса случайным образом выбирает базис и поляризацию своих однофотонных импульсов и посылает их Бобу (получатель) (рис.3.9(6), 1 строка). Для каждого импульса Боб также
