Содержание к диссертации
Введение
1 Взаимосвязь между квантовой полевой теорией и кинетическим описанием 25
1.1 Базовая модель вакуумного рождения частиц сильным полем . 25
1.2 Бозоны и фермиоцы во внешнем поле 30
1.3 Диагонализация гамильтониана и кинетическое уравнение для скалярных бозонов 36
1.4 Диагонализация гамильтониана и кинетическое уравнение для фермионов 47
1.5 Свойства источников вакуумного рождения частиц 51
1.5.1 Функция распределения . 52
1.5.2 Предел низкой плотности 53
1.5.3 Альтернативный вывод кинетических уравнений . 55
1.5.4 Направления и методы в теории вакуумного рождения . 57
2 Рождение пар постоянным электрическим полем 61
2.1 Сравнение с формулой Швингера 61
2.2 Сравнение сточным решением 72
3 Учет обратной реакции: самосогласованное описание 73
3.1 Концепция обратной реакции (Back-reactions) 73
3.2 Ренормализация: асимптотическое разложение . 77
3.3 Ренормализация: уравнение. Максвелла ... + » S2.
3.4 Численное решение задачи обратной реакции . 87
3.4.1 Приведение к безразмерной форме уравнений для численного решения . . 87
3.4.2 Конфигурации среднего поля 90
3.4.3 Вакуумное рождение пар импульсом внешнего поля . 92
4 Вакуумное рождение е+е пар в сильных полях рентгенов ских лазеров на свободных электронах 95
4.1 Принцип действия лазеров на свободных электронах 96
4.2 Модельный эксперимент 101
4.3 Численное исследование вакуумного рождения в модельном лазерном поле 102
4.4 Резонансные явления в модельном лазерном поле 110
4.5 Сравнение с приближенными подходами 114
5 Вакуумное рождение пар при столкновении ультрареляти
вистских тяжелых ионов 119
5.1 Модели столкновения релятивистских тяжелых ионов 119
5.2 Вакуумное рождение в цветовой трубке с обратной реакцией и релаксацией 123
5.3 Рождение дилептонных пар 135
Заключение 141
Литература
- Диагонализация гамильтониана и кинетическое уравнение для фермионов
- Сравнение сточным решением
- Численное решение задачи обратной реакции
- Численное исследование вакуумного рождения в модельном лазерном поле
Введение к работе
Актуальность темы
В последнее десятилетие интерес к теоретическим исследованиям в области описания неравновесных процессов в сильных полях различной природы стимулируется обилием существующих и планируемых экспериментов физики высоких энергий. Наибольший интерес вызывают эксперименты по столкновению тяжелых ионов (НЮ)1 [1]. Как полагают [2-4], в условиях НІС на суперколлайдерах нового поколения RHIC2, и особенно, LНС возможно образование нового и малоизученного состояния вещества — кварк-глюонной плазмы (КГП). Согласно современным представлениям [3] и многочисленным моделям [5-7], описывающим; эволюцию КГП, как минимум два феномена оказывают доминирующее влияние на процесс в целом: вакуумное рождение пар частица-античастица (формирование плазмы) и дальнейшая сильно неравновесная эволюция этой плазмы. Оба эти аспекта и являются предметом исследования настоящей работы. Не менее интересными оказываются вопросы, связанные с адронизацией (формированием наблюдаемых бесцветных состояний) при разрежении и охлаждении КГП. Мы не будем здесь касаться этой тематики [8, 9], но отметим, что исходными данными для любой теоретической модели, описывающей адронизацию КГП и дальнейшую эволюцию адронного газа, должно быть хорошо определенное состояние КГП3.
Последние достижения экспериментальной техники [10-12] в области рентгеновских лазеров на свободных электронах (X-FEL) открыли новую страницу в теоретических исследованиях по физике высоких энергий. Гипотетическая возможность исследовать вакуум электродинамики в сильных полях сфокусированных лазерных пучков обсуждается в литературе уже несколько десятилетий [13—22]. Большинство авторов, вплоть до последнего времени, приходило к выводу, что интенсивности полей недостаточны для экспе- 1Мы используем принятые в большинстве цитируемой литературы англоязычные сокращения при отсутствии устоявшейся русскоязычной аббревиатуры. 2Список сокращений приведен в конце Введения. 3 Подавляющее число моделей адронизации предполагают, что КГП находится в состоянии термического квазиравновесия, хотя ни теоретические оценки, ни экспериментальные данные не могут подтвердить или опровергнуть это предположение. риментального наблюдения распада нестабильного вакуума, сопровождающегося рождением реальных пар частица-античастица. Согласно последним оценкам [22-24], указанные эксперименты станут возможными в ближайшее время. Принимая во внимание широкие возможности изменения параметров FEL, таких как частота лазерного излучения и длина когерентных импульсов, перед теоретической физикой возникает задача сформулировать оптимальные условия для экспериментального подтверждения (опровержения) электродинамики сильных и сверхсильных полей. Значение теоретических и экспериментальных исследований в этой области трудно переоценить. Эксперименты по обнаружению вакуумного рождения электрон-позитронных пар запланированы в ближайшем будущем как в США [25], так и в Европе [10-12].
В космологии устойчивый интерес вызывают проблемы, связанные с вакуумом общей теории относительности (ОТО), причем наиболее интенсивно обсуждаются проблемы вакуумного рождения партонов в условиях ранней и/или расширяющейся Вселенной [26-29], а также в сильных гравитационных полях черных дыр [18, ЗО, ЗІ]4. Здесь одним из наиболее сложных вопросов является корпускулярная формулировка квантовой теории в условиях, когда сильные гравитационные поля не исчезают на бесконечности, или когда имеются горизонты событий. Аналогичные трудности возникают и в плоском пространстве в системе отсчета ускоренного наблюдателя [32, 33]. Жаркие дискуссии сопровождали обсуждение этой проблемы в литературе, но так и не привели к общепринятому пониманию явления.
Сегодня уже нет сомнений в существовании сильных электромагнитных полей в конусах акреции ряда астрофизических объектов. Магнитные поля пульсаров могут достигать критических и даже сверх-критических значений -#cr ~ 4,41013 Гс. Вращение такого объекта приводит к появлению индуцированного электрического поля, которое является неотъемлемой компонентой большинства моделей, описывающих образование и эволюцию магнитосферы пульсаров [34-37]. Последние оценки указывают, что интенсивность индуцированного поля может оказаться достаточной, чтобы вызвать вакуумное рождение пар. Предстоит выяснить, окажет ли учет этого феномена заметное влияние на описание эволюции пульсаров и магнетаров [38]. 4Приведены лишь несколько особо интересных обзоров, в которых указаны ссылки на значительное количество релевантных работ.
Цель диссертационной работы
Разработка и совершенствование кинетического подхода к феномену вакуумного рождения с учетом эффектов обратной реакции и столкновений. Применение разработанных методов к решению задач вакуумного рождения в условиях скрещенных пучков рентгеновских лазеров на свободных электронах и в условиях столкновения ультрарелятивистских тяжелых ионов. Для достижения поставленной цели решались следующие основные задачи :
Обоснование и детальная проработка непертурбативного вывода кинетического уравнения для скалярных и спинорных частиц в сильных классических электромагнитных полях.
Сравнение результатов, полученных в рамках кинетического подхода, с известными решениями и формулой Швингера.
Учет обратной реакции порожденных частиц на инициирующее поле. Вывод системы перенормированных уравнений типа Максвелла и кинетического уравнения с источником вакуумного рождения частиц.
Разработка методов численного решения системы кинетического и макс-велловского уравнений в широком диапазоне параметров.
Использование разработанного формализма для решения задачи вакуумного рождения электрон-позитронных пар в модельном электрическом поле, которое может быть получено как суперпозиция двух или более когерентных пучков сверхмощных рентгеновских лазеров на свободных электронах.
6. Расчет эффектов вакуумного рождения партонов в рамках модели цве- "" товых трубок при кинетическом описании столкновения релятивистских тяжелых ионов. Изучение сильно неравновесной эволюции генерируемой плазмы и ее термализации с учетом столкновений.
Научная новизна результатов работы
Научная новизна представленных в диссертации результатов состоит в следующем:
Для широкого класса моделей предложена усовершенствованная методика перехода к кинетическому описанию в системах невзаимодействующих заряженных скалярных бозонов и фермионов, находящихся в пространственно однородном среднем поле. Уравнения для одночастичной функции распределения частиц получены в рамках четких модельных предположений на основе математически строгих преобразований. Явным образом использована идея диагонализации локального гамильтониана, позволяющая единственным образом перейти к корпускулярной интерпретации феномена вакуумного рождения частиц.
Предложена самосогласованная схема описания вакуумного рождения заряженных частиц под действием зависящего от времени сильного поля с учетом обратной реакции. На основе анализа асимптотического поведения решений кинетических уравнений в среднем поле выявлены логарифмические расходимости вакуумных средних и построены контрчлены, позволяющие регуляризовать интегралы путем перенормировки константы связи. Полученные конечные выражения для наблюдаемых средних, таких как плотности числа частиц, энергии, токов и давления удовлетворяют всем законам сохранения.
Впервые проведено детальное сравнение точного источника вакуумного рождения с классическими результатами Швингера [39] для постоянного электрического поля. Показано, что в теории вакуумного рождения среднее внутреннее поле практически никогда нельзя считать постоянным во времени, и, следовательно, необходимо использовать решения точных кинетических уравнений при моделировании конкретных физических явлений.
Разработана схема численного решения точных кинетических уравнений вместе с уравнением обратной реакции, позволяющая в каждый момент времени определять не только наблюдаемые средние величины, но и импульсное распределение частиц. Показано наличие крупно-масштабных осцилляции, связанных с переходом энергии из полевой в материальную части системы и наоборот. Полученные результаты свидетельствуют о сильно неравновесной динамике рассматриваемых явлений.
Впервые на основе численного решения точных уравнений проанали- зирована возможность лабораторного наблюдения вакуумного рождения электрон-позитронных пар в модельном эксперименте,. реализующем идеальную стоячую электромагнитную волну, которую теоретически можно создать суперпозицией сфокусированных рентгеновских лазеров на свободных электронах. Проведенные оценки позволяют утверждать,, что при достижении расчетных параметров на экспериментальных установках нового поколения [12, 40] станет возможной лабораторная верификация квантовой электродинамики в сильных полях. Сравнительный анализ различных подходов к решению этой проблемы показал несостоятельность приближенных решений. — В применении к динамике цветовых трубок при столкновении релятивистских тяжелых ионов реализована модель, учитывающая не только вакуумное рождение и обратную реакцию партонов в сильном (хромо)электрическом поле, но и: столкновения между частицами кварк-глюонной плазмы (КГП) посредством релятивистского обобщения модельного интеграла столкновений в приближении времени релаксации. В равновесном состоянии проведены оценки скорости рождения дилептонов на основе численных решений самосогласованной однородной задачи эволюции цветовой трубки.
Основные результаты и положения, выносимые на защиту
Методом диагонализации гамильтониана установлено однозначное соответствие между полевым и кинетическим подходами к описанию процессов вакуумного рождения пар заряженных частиц в однородных зависящих от времени интенсивных полях, которое позволяет точно сформулировать класс задач в терминах наблюдаемых вакуумных средних и является основой для динамического рассмотрения феноменологических моделей.
Классические результаты Швингера воспроизводятся при численном решении точных кинетических уравнений в пределе бесконечно действующего постоянного поля, при этом наблюдается значительное отклонение этих результатов от точного решения в любом поле, действующем конечное время.
Метод самосогласованного описания вакуумного рождения пар заряженных частиц и античастиц и обратной реакции порожденной плазмы, основанный на численном решении кинетического уравнения и перенормированного уравнения Максвелла, включает в себя процедуру устранения логарифмических расходимостей вакуумных средних, интерпретируемую как перенормировку заряда, схему численного нахождения временной эволюции импульсного спектра одночастичной функции распределения и метод вычисления термодинамических и гидродинамических параметров порожденной плазмы.
Возможность, в отличие от известных оценок, наблюдения вакуумного рождения 103 электрон-позитронных пар во встречных пучках строящихся сверхмощных рентгеновских лазеров на свободных электронах, предсказанная при напряженности электрического поля в пучке лазера порядка 1,3 1017 В/м и длине волны 0,15 нм, и порядка 105 пар при увеличении напряженности электрического поля в три раза.
Зависимость интенсивности рождения дилептонов и термодинамических параметров от степени термализации и коллективных осцилляции порожденной из вакуума кварк-глюонной плазмы в модели цветовых трубок, образующихся при: столкновении ультрарелятивистских тяжелых ионов.
Достоверность научных выводов
Достоверность результатов диссертации основана на использовании проверенных теоретических гипотез вместе со строгими математическими методами. Показано, что подавляющее большинство известных результатов воспроизводится на аналитическом или численном уровне.
Научная и практическая значимость работы
Предложенный кинетический подход для описания вакуумного рождения и обратной реакции заряженных частиц в сильных однородных полях может быть использован в ряде областей физики, а именно: - Для описания формирования и предравновесной эволюции кварк-глюонной плазмы в экспериментах по столкновению ультрарелятивистских тяжелых ионов. Вопросы, связанные с объяснением результатов этих экспериментов, занимают ведущее место среди проблем физики высоких энергий. Такие явления, как увеличение выхода странных частиц, г) - мезонов и характеристический спектр термальных дилептонов, по-видимому, могут быть объяснены на основе кинетической теории вакуумного рождения, развиваемой в диссертации. - При изучении многократных фотон-фотонных рассеяний в непертур- бативной области при столкновении встречных сфокусированных коге рентных лазерных пучков большой мощности, когда достигаемые ин тенсивности электромагнитных полей позволяют рассматривать их как классические. Будущие эксперименты с использованием новейших рент геновских лазеров на свободных электронах позволят в лабораторных условиях проверить состоятельность квантовой электродинамики в силь ных полях.. - При описании формирования и эволюции магнетосфер пульсаров и маг-нетаров, где интенсивность индуцированного электрического поля велика и механизм Швингера может составить конкуренцию общепринятому механизму Голдрайха-Джулиана [41]. Корректный учет вакуумного рождения может привести к объяснению радиомолчания пульсаров с индуцированным электрическим полем выше 1015 В/м. - При изучении вакуумных явлений вблизи гравитационных объектов, та ких как черные дыры, и в пространствах с ненулевой скалярной кривиз ной, где сильное гравитационное поле вызывает рождение массивных частиц. . . Квантовомеханическая аналогия между вакуумным рождением и туннели-рованием сквозь потенциальный барьер позволяет говорить о возможности применения разработанного метода для расчета ионизации атома переменным (лазерным) полем в условиях, когда энергия фотона много меньше энергии связи электрона в атоме. Это применение приобретает особое значение, поскольку существующие теоретические оценки до сих пор имеют расхождение с экспериментом.
Личный вклад автора
Все основные результаты получены соискателем, участвовавшим вместе с научными руководителями д. ф.-м. н., проф. С. А. Смолянским, к. ф.-м. н. А. В. Прозоркевичем и PD Dr. habil. С. М. Шмидтом (Institut fiir Theoretische Physik an der Universitat Tubingen, Auf.der Morgenstelle 14, 72076 Tubingen, Germany) в постановке задач, решаемых в диссертации. В разделах 1.3 и 1.4 существенно использовались методы перехода к кинетическому описанию в задачах вакуумного рождения, предложенные научными руководителями. Аналитические схемы разработаны и применены автором для получения результатов, составивших диссертацию.
Апробация работы и публикации
Основные материалы диссертации составили содержание докладов и обсуждались на международных конференциях:
1. The X Int. Seminar on High Energy Physics Problems, Dubna, Russia, August 17-22, 1998;
2.. International Workshop "Kadanoff-Baym Equations - Progress and Perspectives for Many-Body Physics", Rostock, Germany, September 20-24, 1999;
International Workshop "Symmetries and Spin", Prague, Czech Republic, July 17-22, 2000;
International Workshop "Hot Points in Astrophysics", Dubna, Russia, 22-26 August, 2000; A workshop at the Rostock University "Quark Matter in Astro- and Particle-physics",^ Rostock, Germany, November 27-29, 2000; * DA AD Summerschool: "Dense Matter in Particle- and Astrophysics", Dubna, Russia, August 20-31, 2001; DAAD Summerschool: "Quantum Statistics on Many—Particle Systems", Dubna, Russia, July 21 - August 10, 2002;
Interdisciplinary Workshop "Progress in Nonequilibrium Greens Functions" ("Kadanoff-Baym Equations II" ), Dresden, Germany, August 19-23, 2002;
9. Collaboration, Meeting on 'Vacuum Pair Creation", The European Centre for Theoretical Studies in Nuclear Physics andRelated Areas, Trento, Italy, November 4-6, 2002;
10. The XVIIth International Workshop "High Energy Physics and Quantum Field Theory", Samara-Saratov, Russia, September 4-11, 2003;
По теме диссертации автором опубликовано 17 работ, из них 7 статей в реферируемых изданиях [23, 24, 42-46], два препринта ОИЯИ [47, 48], 8 статей в сборниках трудов международных конференций [49-56].
Проведенные исследования были поддержаны фондом DFG (Deutsche For-schungsgemeinschaft) (грант SCHM 1342/3-1).
Структура и объем диссертации
Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы. Диссертация изложена на 160 страницах и содержит 47 рисунков, 3 таблицы и библиографию из 185 наименований.
Краткое содержание работы
Во Введении проводится обоснование актуальности рассматриваемых в диссертации проблем, определены цели исследования, излагается постановка основных задач, сформулированы результаты и положения, выносимые на защиту, раскрывается научная новизна и; научно-практическое значение представленных в работе результатов. Также охарактеризован личный вклад соискателя, апробация материалов и публикации по теме диссертации, кратко описывается структура и содержание работы. Во второй части излагается в общих чертах объект исследования — вакуумное рождение пар заряженных частиц, сформулированы Основные модельные представления физического вакуума и даны квантовомеханические оценки вероятности рождения пар, В конце приведен список обозначений.
В первой главе приведен вывод кинетический уравнений, описывающих вакуумное рождение пар заряженных частиц по механизму Швингера. В начале обсуждаются классы моделей, рассматриваемых в рамках предлагаемого подхода, а именно, системы не взаимодействующих заряженных скалярных бозонов и фермионов в классическом сильном среднем поле, а также самодействующих скалярных частиц. Проводится обоснование приближения пространственно однородного среднего поля. Далее анализируются полевые уравнения для бозонов и фермионов во внешнем поле в гамильтоновой калибровке, и после разделения переменных выполняется вторичное квантование систем частиц со спином 0 и 1/2 в минимальной связи со среднем полем. Реализуя идею диагонализации локального гамильтониана, строится состояние мгновенного вакуума и пространство Фока с новыми, зависящими от времени квазичастичными операторами рождения (уничтожения). Различные представления связаны между собой унитарно неэквивалентными преобразованиями Боголюбова, для коэффициентов которого получены дифференциальные уравнения из требований сохранения коммутационных соотношений и диагональности локального гамильтониана. На основе этих уравнений получены кинетические уравнения с точными источниками вакуумного рождения пар частиц указанных сортов в пространственно однородных и зависящих от времени произвольным образом средних силовых полях. Приведен краткий обзор направлений и методов получения источников вакуумного рождения в литературе.
Вторая глава посвящена исследованию вакуумного рождения во внешнем постоянном электрическом поле. Проведено детальное сравнение результатов численного решения точных кинетических уравнений и канонических результатов Швингера.. Показано, что полученная в пределе бесконечно действующего среднего поля формула Швингера дает скорость линейного роста при пренебрежении процессами включения(выключения) поля. На примере модельного поля проведено сравнение вклада краевых эффектов, где напряженность поля меняется от нуля до максимума и наоборот, и вклада от поля постоянной интенсивности. При этом оказалось, что в большинстве физически интересных ситуаций вклад от процессов включения (выключения) внешнего поля оказывается много больше, чем тот, который учитывает формула. Швингера. Одновременно проведено сравнение численного решения кинетических уравнений в специальном внешнем поле, допускающем точное аналитическое решение. Идеальное, вплоть до точности численных процедур, совпадение решений доказывает состоятельность подхода в целом.
В третьей главе рассматривается задача построения самосогласованного описания динамики вакуумного рождения с учетом обратной реакции порожденной плазмы частиц и античастиц на инициирующее поле. Уравнение Максвелла, записанное в терминах одночастичной функции распределения и ее производной, вместе с кинетическим уравнением позволяют самосогласованно описать оба процесса. На основе асимптотических разложений решений кинетических уравнений при больших импульсах обнаружены логарифмические расходимости вакуумных средних операторов тока и плотности энергии; одновременно построены контрчлены, вычитание которых устраняет расходимости, причем показано, что эту процедуру можно интерпретировать как перенормировку константы связи. Показано, что для перенормированных величин имеет место закон сохранения энергии-импульса, причем интеграл плотности числа частиц остается конечным и не нуждается в регуляризации. Проанализированы возможные способы задания начальных.условий: инициирующим импульсом внешнего поля или начальным значением среднего самосогласованного поля. На численном решении с модельным импульсом внешнего поля продемонстрированы основные элементы эволюции: появление крупно-масштабных осцилляции среднего поля и функции распределения в импульсном пространстве, связанных с переходом энергии от поля к плазме и обратно; перегруппировка частиц по скоростям приводит к появлению множества резких пиков у функции распределения, что связано с параметрическим возбуждением системы в переменном поле.
Четвертая глава содержит исследование вакуумного рождения элек- трон-позитронных пар в условиях встречных пучков рентгеновских лазеров нового поколения на свободных электронах. После краткого обзора принципа действия таких лазеров и последних достижений в экспериментальной тех нике, позволяющих ожидать в ближайшем будущем достижения: интенсив ности полей в сфокусированном пучке порядка 10г7 В/м при длине волны 0,15 нм, сформулирован модельный эксперимент, в котором магнитное поле скомпенсировано суперпозицией плоских волн. Проведенные оценки показы- , вают, что модельные предположения-для. лазерных пучков светового диапа зона сохраняются и для рентгеновского, кроме возможностей фокусировки, проблема которой на сегодняшний день остается нерешенной. Численное ре шение в синусоидальном поле демонстрирует несколько новых особенностей: кроме линейного роста плотности числа пар, предсказанного более тридцати лет назад Брезиным и Итзиксоном, обнаружены значительные периодические осцилляции плотности с удвоенной частотой лазерного поля, амплитуда ко торых достаточно велика в слабых полях и оказывает доминирующий вклад в плотность рождающихся частиц, в то время как накопление частиц в объеме экспоненциально подавлено. Проведенное детальное исследование динамики системы на первых ста периодах лазерного импульса позволяет утверждать, что в указанных модельных условиях (важное предположение состоит в том, что электрическое поле однородно и создано в объеме с характерным размером, равным длине волны лазера) средняя по времени величина плотности постоянна, а число пар составляет порядка 103. Проведенное исследование зависимости плотности пар и внутренних токов от амплитуды электрического поля в пределах первых 100 периодов показало, что увеличение интенсивности поля в несколько раз приведет к значительному увеличению интенсивности вакуумного рождения е+е~ и вероятному разрушению лазерного импульса. В конце главы приведено сравнение с приближенными подходами, показывающее значительное расхождение в скоростях линейного роста и абсолютная дивергенция кривых амплитуды осцилляции плотности пар.
В пятой главе обсуждается применение разработанного подхода к описанию эволюции цветовых трубок в модели столкновения релятивистских тяжелых ионов. Приведен краткий обзор современных представлений о возникновении кварк-глюонной плазмы и ее эволюции в процессе столкновения. На примере системы, состоящей из кварков(q) и антикварков(q), исследуется временная эволюция плазмы, инициируемой внешним импульсом, с учетом обратной реакции и модельного интеграла столкновений. Динамика плазмы (стремление к состоянию локального равновесия) изучается как на уровне функции распределения, так и в терминах термодинамических параметров, таких как температура и гидродинамическая скорость, определяемых из требования сохранения плотностей энергии и импульса соответственно. В главе обсуждаются такие явления как подавление вакуумного рождения при учете межчастичных столкновений, повышение температуры и насыщение удельной энтропии.. В последнем разделе проводится.оценка скорости рождения термальных дилептонов в реакции qq —* l+l~ на основе равновесных и неравновесных кварковых функций распределения.
В заключении обсуждаются основные результаты работы.
Механизм Швингера и модели физического вакуума
Сегодня не вызывает сомнения тот факт, что вакуум является более сложным и богатым объектом, а его роль в квантовой теории поля (КТП) гораздо значительнее, чем та, которую отводят вакууму в стандартной пертурбатив-ной теории поля, считая вакуум основным состоянием с наименьшей возможной энергией и всем необходимым набором свойств симметрии. В настоящее время вакуумным эффектам уделяется огромное внимание, поскольку, как полагают [8, 18, 57], более глубокое понимание физики вакуума позволит пролить свет на целый ряд актуальных вопросов. Укажем некоторые из них:
Специфические свойства вакуума квантовой хромодинамики (КХД) могут являться основой для понимания такого явления как конфайнмент (confinement), то есть возможность наблюдения только связанных бесцветных состояний (мезонов и нуклонов). Не менее важным оказывается выявление структуры вакуума КХД для понимания сильного взаимодействия в целом [58, 59].
Прямым экспериментальным подтверждением нетривиального поведения вакуума квантовой электродинамики (КЭД) являются такие физические феномены как лэмбовский сдвиг энергетических уровней в атоме водорода, аномальный магнитный момент электрона и эффект Казимира, состоящий во взаимном притяжении двух незаряженных проводящих пластин в вакууме. Динамические аспекты последнего явления остаются недостаточно изученными в настоящий момент [60].
Наибольший интерес вызывают эффекты, связанные в вакуумным рождением частиц в классических полях различной природы, в частности, регулярно появляется работы, посвященные вакуумному рождению пар в гравитационном поле [26,. 27, 61, 62]. Укажем также две монографии [28, 63], посвященные исследованию вакуумных эффектов в искривленном пространстве-времени. Особое значение эти исследования имеют для понимания эволюции ранней Вселенной [26,.2] и в физике черных дыр [28, 30, 31].
В наиболее изученной области, а именно в КЭД, основные вопросы, связанные с физическим вакуумом [18], все еще недостаточно хорошо исследованы. Спектр физических приложений включает в себя аспекты эволюции пульсаров, столкновения тяжелых ионов (НЮ), распространение интенсивного излучения мощных лазеров в вакууме и рождение позитронов (сверх)критическим кулоновским полем.
Все вышеперечисленные исследования базируются на нескольких модельных представлениях о физическом вакууме. Напомним две наиболее популярные модели*
Флуктуационная модель вакуума
Отсутствие в вакууме наблюдаемых частиц и средних полей не запрещает кратковременного существования виртуальных пар с нарушением закона сохранения энергии. Действительно, согласно принципу неопределенности Гей-зенберга, можно говорить о флуктуации вакуумного (в данном случае понимается как нулевое по энергии) состояния на величину Ає па протяжении времени At, причем5 AsAt ~ 1, Ах Ар ~-1, (1) где во втором неравенстве Да: можно интерпретировать как максимальное расстояние, на котором виртуальная пара частица-античастица неразличимы, то есть комптоновскую длину волны частицы A = 1/т, где т масса частиц.
Таким образом, для произвольной; виртуальной пары следует записать Ах. Х/пг. Аналогичные соотношения можно записать для импульса, энергии и времени флуктуации, причем нетрудно оценить, что продолжительность спонтанного появления виртуальной пары с собственной энергией и т не должно превышать собственного времени, равного также 1 /т. При отсутствии всякого внешнего воздействия такая виртуальная пара исчезает, не вызывая никаких изменений в наблюдаемых величинах, таких как плотность заряда, массы и.т. д..С другой стороны, разумно ожидать, что присутствие реального заряда (заряженной элементарной частицы) приведет к взаимодействию со всем множеством виртуальных пар, то есть к поляризации вакуума, с которой связаны хорошо известные явления нарушения закона Кулона на малых расстояниях и радиационное смещение атомных уровней (сдвиг Лэм-ба) [64].
Качественное понимание природы вакуумного рождения пар в этой модели тривиально. Необходимо приложить достаточно сильное внешнее поле (например, электрическое в случае заряженных частиц), чтобы за компто- 5Мы используем релятивистскую систему единиц, в которой h = с = 1, при этом квадрат элементарного заряда е2 = 1/137.
Рис. 1. Модель физического вакуума Дирака. Области с положительной и отрицательной энергиями разделены вакуумной щелью шириной 2т. Переход из одной области в другую возможен с поглощением энергии > 2т. новское время "растащить" виртуальную пару частица-античастица на расстояние, большее, чем комптоновская длина волны. При этом, как нетрудно оценить, такое поле совершит работу, большую или равную собственной энергии пары. Иначе говоря, для эффективного рождения пар необходимо внешнее поле следующей напряженности: Ecr :=-^ = m2/e = 1,3 х 1018 В/м, ел где указано числовое значение напряженности электрического поля для элек-трон-позитронных пар.
Приведенная наивная модель дает лишь общее представление о физическом вакууме, но оказывается совершенно непригодной для построения физической теории. Это связано с тем, что распределение вероятности флуктуации в пределах (1) неизвестно. Более того, принимая во внимание виртуальность флуктуирующих пар,., энергия и импульс которых не обязаны, подчиняться соотношению Эйнштейна є2 = т2+р2, (3) можно говорить только о философской модели вакуума, а не о математической.
Модель вакуума Дирака
Наиболее простой в понимании и эффективной в теории оказывается модель вакуума, предложенная Дираком. В отличие от классической механики, где решения (3) с є < 0 отбрасываются как нефизические, в квантовой теории такие состояния имеют право на существование. При этом образуется энергетическая вакуумная щель шириной 2т, как показано на рис. 1, а переход из одной области в другую может осуществляться с излучением (поглощением) фотона. Предполагается, что все состояния с отрицательной энергией заполнены. Последнее условие запрещает переход из состояний с положительной энергией в состояние с отрицательной (иначе вся материя исчезла бы, перейдя в состояние с меньшей энергией). Осуществить такое заполнение (в мысленном эксперименте) удается только для: фермионов, благодаря принципу запрета Паули, поэтому дираковская модель описывает только вакуум частиц с полуцелым спином. Заполненные состояния с є < 0 называют морем Дирака, а состояния с є:> 0 рассматривают как возбуждение над этим, морем, причем аналогия с полупроводником становиться очевидной, если рассмотреть рождение пары частица-античастица 7-квантом. А именно, предполагают, что фотон выбивает частицу из какого-то состояния в море Дирака, как показано на рис. 1, а образовавшаяся "дырка" играет роль античастицы. При этом энергия фотона должна быть больше собственной релятивистской энергии пары, а для выполнения законов сохранения необходимо наличие мишени, например, другого фотона. Соответствующие эксперименты [65] были. проведены путем рассеяния света на свете, когда энергия одного из фотонов достигала 29,2 ГэВ, то есть примерно в тридцать раз больше, чем собственная энергия электрон-позитронной пары. Результаты эксперимента прекрасно согласуются с теоретическим предсказанием формулы мульти-фотонного рассеяния Брайта-Вилера: е + п7о — е' + 7, 7 + пЪ -* е+е~ ) (4) где 7о - фотон лазерного пучка с длиной волны 527 нм, е - электрон-с энергией 46,6 ГэВ, 7 - обратнорассеянный фотон с максимальной энергией 29,2 ГэВ, п - число лазерных фотонов, участвующих в реакции; е+е- - наблюдаемая электрон-позитронная пара. Вторая реакция становиться допустимой при п > 4. В эксперименте наблюдалось около 100 позитронов в каждом импульсе лазера [65].
Механизм Швингера в модели Дирака
Рассмотрим постоянное во времени и однородное в пространстве электрическое6 поле, направленное вдоль оси х, вида = (,0,0), А0 = -хЕ, (5) где Е - постоянная величина напряженности поля, Aq - единственная отличная от нуля компонента векторного потенциала.
Е,.>0 г±<0
Рис. 2. В случае неизменного направления напряженности поля ширина вакуумной щели равна 2е+_, где е\ = га2 + р\. Под действием внешнего поля (5) вакуумная щель искажается (справа) и возникает ненулевая вероятность туннелирования квантовой частицы из полностью заполненных состояний с є±_ < 0 (море Дирака) в состояния с положительной энергией. При этом можно оценить вероятность такого процесса, которая согласно (7) пропорциональна ехр (—у f^)
При этом, как показано на рис. 2, вакуумная щель наклоняется, а потенциальный барьер становиться треугольным. В нерелятивистской квантовой механике вероятность туннелирования через такой барьер легко вычислить в одномерном случае dx[2m(V0 - еЕх)}1'2 w ~ ехр где e и т заряд (со своим знаком) и масса частицы соответственно, Vo - энергия связи7, удерживающая частицу, которая в нашем случае равна ширине вакуумной щели 2т. Интеграл при этом вычисляется аналитически: w ~ ехр
16га2\ -J7E =ехр
16cr\ 3 Е ) ' 6Для простоты мы часто будем называть произвольное фоновое поле электрическим полем. 7В основе подобных вычислений лежит прямая аналогия с ионизацией атома [13], где Vo потенциал кулоновского поля ядра.
Полученный на основе модели Дирака в рамках нерелятивистской квантовой. механики результат (7) выявляет наиболее важную особенность феномена вакуумного рождения, а именно экспоненциальную подавленность эффекта в полях, меньших критического (2).
Строгие вычисления источника вакуумного рождения для фермионов в постоянном поле (5) приводят к формуле [39]
2>ке2
1 + ехр [ — *(Р||), (8) 5(p^sJk=|e|ln где е\ = т2 +р\ - поперечная энергия, рх ~ компонента импульса в плоскости, перпендикулярной направлению внешнего поля (5), рц - компонента импульса, параллельная полю, N - число пар, 6(х) - дельта-функция Дирака. Детальное обсуждение точного результата (8), полученного в работе [39]8, приведено в главе 2. Здесь мы отметим несколько важных моментов, вытекающих из формулы (8) и модели Дирака:
Первый член разложения в ряд логарифма в (8) при Е «С Еск хорошо согласуется с грубой оценкой (7) и пропорционален ехр(— 7rj_/|ei?l), что позволяет адекватно пользоваться моделью Дирака (см. рис. 1) для понимания динамики вакуумного рождения. ^-образная зависимость от продольного импульса в (8) предполагает, что туннелируют только частицы из приграничного слоя, что, как будет показано ниже, является достаточно грубой (в общем случае) аппроксимацией, которая возможна лишь при условии бесконечно действующего постоянного ПОЛЯ (5).
Значительным недостатком модели вакуума Дирака является невозможность распространить ее на вакуум частиц, подчиняющихся-статистике Бозе, также как и на вакуум безмассовых заряженных частиц. В последнем случае любое, сколь угодно малое поле Е, вызывало бы рождение неограниченного числа пар.
Источник вакуумного рождения:(8) локален во времени, то есть предполагает, что акты туннелирования не перекрываются. Проверим это 8Источник (8) является обобщением формулы вероятности рождения частиц, опубликованной в [39]. Формула источника (8) вакуумного рождения появилась несколько позже в [66]. утверждение, для чего оценим время туннелирования частицы через барьер на рис. 2. Грубая оценка, аналогичная (6), дает
2т/еЕ eE ' {J) Tt ~ / dx\ —(2т — еЕх) J lm о Из последнего выражения видно, что при Е ~ Ecr характерное время туннелирования и собственное комптоновское время частицы становятся одного порядка, а именно 1/т, и, следовательно, возможно наложение актов туннелирования. Последнее явление, как правило, приводит к нелокальности процесса, что мы и увидим в рамках квантовой теории поля (КТП).
Два представленных подхода к описанию вакуумного рождению пар (4) и (8) следует рассматривать как дополнительные. Оказывается [64], что при определенных условиях электромагнитные поля можно считать классическими, а именно, если |Я|»І.- (Ю) где tci - промежуток времени локального усреднения поля. Таким образом, для классического приближения поле должно быть тем сильнее, чем меньше характерное время рассматриваемого процесса. Постоянное во времени поле, следовательно, всегда классично, так как время локального усреднения г^ можно устремить к бесконечности. При рассмотрении вакуумного рождения в роли такого характерного времени выступает собственное время частицы 1/т. Тогда нетрудно оценить, что \Е\ » -±* = ei?CR =ф \Е\ » - , (11) m l V137 где второе соотношение дано для электродинамики. Последнее условие позволяет рассматривать самосогласованные задачи вакуумного рождения в электродинамике, используя (квази)классическое описание всюду, где напряженности полей Е > Eqji.
При обсуждении вакуумного рождения в существенно переменном поле, например, в импульсе мощного лазера, важное значение имеет еще один параметр - параметр адиабатичности9: _ Нш __ и _ и7 ~ еЁХ " Ц ~ еЕ/тпес ' ^ ^
Для наглядности выражение записано с явным использованием ft и с. где и) - частота лазера, ut ~ \jrt - частота туннелирования. Построенный как отношение энергии фотона к потенциалу заряженной частицы в поле Е, с одной стороны, и как отношение частот, с другой, параметр адиабатичности позволяет выделить области 7 <С 1 и 7 ^ 1) где вычисления можно существенно упростить. В первом случае поле можно считать статичным [13, 67], а статичное поле всегда классично, как мы выяснили чуть выше.
Таким образом, можно заключить, что чем сильнее напряженность поля, тем с большей точностью его можно рассматривать как статичное и, следовательно, как классическое, то есть можно пренебречь вкладом квантованной части этого поля. Источник вакуумного рождения в таком случае получается; модификацией (8). При 7 ^ 1 источник представляется в виде суммы вероятностей n-фотонных процессов [20, 67]. Физически это приближение соответствует небольшому (в сравнении с предыдущем случаем) числу фотонов; с энергией, сравнимой с энергией; покоя; пары (мы говорим о ситуациях; в которых возможно вакуумное рождение). Как будет показано (см. главу 4) на примере конкретных лазеров, для мощных сфокусированных оптических лазеров 7' -С 1, в то время как для рентгеновских лазеров на свободных электронах (X-FEL) имеет место "f > I, причем при низкой плотности фотонов в пучке 7^1- Наибольшую трудность и практический интерес, как мы увидим ниже, представляет промежуточный случай 7 ~ 1-
Соглашения и список обозначений
КЭД Квантовая Электродинамика
КХД — Квантовая Хромодинаика
КУ .... Кинетическое Уравнение
МУ Уравнение Максвелла
КГП Кварк-Глюонная Плазма RHIC Relativistic Heavy Ion Collider LHC . Large Hadron Collider
ИС Интеграл Столкновений
КЧ Контрчлен X-FEL X-Ray Free Electron Laser10
НІС Heavy Ion Collision 10xfel.desy.de/
БП Боголюбова Преобразования BR Back-Reactions SLAG Stanford Linear Accelerator Center11 DESY Deutsches Elektronen-Synchrotron12
ТЭИ Тензор Энергии-Импульса
КТП Квантовая Теория Поля FTM Flux-Tube Model LCLS Linac Coherent Light Source13 TESLA Tera Electron Volt Energy Superconducting Linear Accelerator14 DHW Dirac-Heisenberg-Wigner SASE Self-Amplified Spontaneous Emission
ПВР Приближение Времени Релаксации uslac.stanford.edu 12 www. 13 Htesla.desy.de
Диагонализация гамильтониана и кинетическое уравнение для фермионов
Очевидные отличия, как мы уже отметили, связаны со статистикой рождающихся частиц. Можно показать (см.. уравнения; (1.109)), что величина /%г(t) j2 представляет собой одночастинную функцию распределения. Таким образом, условие (1.83) требует, чтобы фермионная функция распределения не превышала единицы, в то время как, для бозонов, согласно (1.38), такого ограничения нет.
Мы не будем использовать здесь явно условие диагональности гамильтониана, а приведем один из альтернативных способов, успешно использованный в [94]: В основе метода лежит догадка о совпадении частот (одночастичных энергий) частиц и квазичастиц (что, как мы видели, неразрывно связано с диагональным представлением) и возможность увидеть частное решение уравнений на определенной стадии рассуждений.. Первый из двух аспектов накладывает серьезное ограничение на этот подход, поскольку условие совпадения частот в искривленном пространстве-времени может не выполняться. Фактически, метод основан на диагонализации нулевой компоненты ТЭ И и справедлив тогда и только тогда, когда последний совпадает с гамильтонианом. Проще говоря, применимость предложенного в [94] метода ограничена сильными полями негравитационной природы в пространстве Минковского. Все вышесказанное относится в полной мере и к методам решения задачи вакуумного рождения, описанным в [71] и более ранних работах этих авторов.
Принципиально важен тот факт, что равенство частот фактически заменяет условие диагональности гамильтониана, то есть дает количество реальных частиц как количество квантов энергии системы (квазичастиц).
Как и прежде, разложим оператор спинорного поля по операторам рождения и уничтожения квазичастиц
Для ферм ионов матрица преобразования Боголюбова является унитарной, поскольку, очевидно, Л"1 = Л . Базисные функции мгновенного представления связаны со своими аналогами в іп-представлении преобразованием (1.84) и могут быть представлены в виде (квадрирование и разделение переменных можно провести в любой момент времени), аналогичном (1.14) где Q(p,t) имеет то же значение, что и в бозонном (1-75) случае, но функции г (р, і) уже не являются решениями осцилляторного уравнения в силу явной зависимости квазичастичных операторов от времени. Явное отделение фактора е±гЄ ) позволяет выделить в (1.88) фазовый множитель, обращающийся в тривиальную волновую экспоненту в іп(оиї;)-пределах. С другой стороны, этот множитель снова отражает равенство частот5 Из условия (1.83) снова извлекаем форму решения at(t) = уМФрг е 2 и: &,( ) = -yr&t)at (і)е"2іЄ 1.89)
Здесь важно заметить, что в силу преобразования (1.90), соотношение (Хт 4PU)) = Хг \РЛ) несправедливо для функций Q (p,t), и, следовательно, мы имеем четыре уравнения с шестью неизвестными в системе (1.92). Последнее наблюдение дает возможность искать лишь частные решения, одним из которых, как нетрудно убедиться, являются функции::
Преобразования Боголюбова (1.84) с коэффициентами, удовлетворяющие следующим уравнениям где, аналогично бозонному (1.67) случаю, были введены новые операторы с фазовым сдвигом (Lr (t) — &L (i)exp (± гв(р, )), а Н(і) и есть диагональный по операторам рождения и уничтожения гамильтониан: Вводя одночастичную функцию распределения и повторяя вычисления (1.71-1.76), получим КУ с источником вакуумного рождения фермионных пар в однородном нестационарном среднем поле:
Преобразование к дифференциальной форме практически идентично бо-зонному случаю (1.79) и позволяет записать в общем виде уравнения для обеих статистик: Через p(±j обозначен фактор вырождения: д = 25(±j + 1, где s - спин частицы, а индекс (±) относятся к скалярным бозонам и фермионам, соответственно. В завершении этого раздела приведем выражение для плотности числа частиц «ми = - J J3pf(±Mt), (їли) с учетом фактора вырождения д(±у Необходимо, конечно, убедиться в сходимости этого интеграла, но мы обсудим этот вопрос несколько позже.
Свойства источников вакуумного рождения частиц
В первую очередь необходимо отметить, что уравнения (1.99) являются точными следствиями соответствующих полевых уравнений. Этот факт коренным образом отличает полученный источник от результатов Швинге-ра [39], столь часто используемых в литературе. Это связано с простотой и удобством использования формул типа (8). Уравнения (1.99) являются значительно более сложными, а большую часть информации можно получить лишь на основе численного решения. Однако ряд моментов молено извлечь аналитическим способом, при этом обе формы, дифференциальная (1.99) и интегральная (1.76) и (1.98), будут полезны. Мы начнем с обсуждения функций распределения.
Функции распределения бозонов (1.69) и фермионов (1.97) были введены как неотрицательные и, следовательно, решения (1.99) должны удовлетворять этому условию. Покажем, что это действительно так. Для этого построим первый интеграл движения дифференциальной системы (1.99) где величина const зависит от начальных условий.
Полагая среднее поле исчезающим, начальные условия для функций v и и будут, очевидно, нулевыми. В качестве начального условия для функции распределения можно выбрать любой симметричный (отсутствие токов), неотрицательный профиль с конечной плотностью числа частиц .(1.101)28. Начальные условия более общего вида можно, следовательно, сформулировать в виде
Для фермионов необходимо помнить, что /(_)(р, to) 5; 1- Высшие моменты функции распределения также должны быть конечными. Как показывает этот простой анализ, в обоих случаях функция распределения положительно определена как решение (1.99). Более того, для фер-мионов решение /( )(р, 0 не превосходит единицу в любой момент времени (принцип запрета Паули), а для бозонов подобного ограничения нет, как и должно быть. Важно также отметить, что эти свойства не зависят от временного профиля среднего поля и его амплитуды.
Предел низкой плотности
Для целого ряда практических приложений, например при рассмотрении, возможности рождения пар сильным электрическим полем встречных рентгеновских лазеров на свободных электронах (см. главу 4), где вакуумное рождение экспоненциально подавлено, разумно упростить кинетические уравнения (1.76) и (1.98), полагая 1 ± %f(±)(j , t) «1. Это возможно сделать, если /{±) (р ) S-1, а последнее условие выполняется, если величина среднего поля много меньше критического. При этом можно записать формальное решение кинетических уравнений (1.76) и (1.98):
Сравнение сточным решением
Напомним, что мы стремимся построить кинетическую теорию вакуумного рождения, дающую прямую связь между полевой картиной явления и описанием в терминах системы многих частиц. На первом этапе, в главе 1 был получен источник вакуумного рождения скалярных бозонов (1.76) и фермио-нов (1.98) в среднем поле. Наибольший интерес представляют ситуации, когда процесс вакуумного рождения интенсивен, и, следовательно, продуцируется плотная плазма частиц и античастиц. В плотной плазме заряженных частиц, находящейся в сильном поле, неизбежно возникают токи, которые рано или поздно компенсируют инициирующее поле. Это явление называют обратной реакцией (back-reactions), и его обсуждению посвящена настоящая глава.
За последние десять лет было предпринято большое количество попыток решения задачи вакуумного рождения с обратной реакцией [121, 122], среди которых на теоретическом уровне можно выделить несколько подходов.
Во-первых, как мы уже обсуждали, можно не привлекать соображения, касающиеся корпускулярной интерпретации, а ограничиться решением связанных.через токи уравнений Дирака (Клейна-Гордона) и уравнения для среднего поля (уравнение Максвелла в электродинамике). Этот подход был освещен в работах [6, 68, 72, 106] и был направлен, в основном, на описание процессов вакуумного рождения при столкновении тяжелых ионов. Более детально это явление было изучено на основе транспортных уравнений [123,124], сконструированных на феноменологической основе с использованием швингеровского источника рождения пар. При обсуждении самосогласованной задачи, роль точного КУ трудно переоценить, поскольку среднее поле приобретет не известную заранее зависимость от времени, и совершенно необходимо иметь источник вакуумного рождения в произвольно зависящем от времени поле.
Во-вторых, в работах [57,108-110] был предложен механизм переформулировки основных уравнений электродинамики в терминах функции Вигнера, что позволило описать задачу естественным образом с помощью средних наблюдаемых. Как уже отмечалось в конце главы 1, использовать полученные в этом подходе уравнения удается крайне редко, а именно, лишь в случае пространственно однородного среднего поля; зависящего от времени произвольным образом. Это ограничение более техническое, чем принципиальное, хотя следует отметить, что в терминах функции Вигнера задача обратной реакции выглядит более сложной, чем исходные уравнения электродинамики.
Отталкиваясь от кинетических уравнений, полученных выше, совершенно естественно рассматривать их вместе с уравнением для среднего поля, учитывающим обратную реакцию частиц на поле. Действуя в этом направлении, мы снова будем говорить о пространственно однородном, зависящем от времени среднем поле, продолжая исследования; начатые в работах [45-47].. Для определенности мы рассмотрим электрическое поле, задаваемое векторным потенциалом (1.8) и соответствующей напряженностью (1.9).
Для дальнейшего рассмотрения удобно переписать систему (1.99), используя в виде системы уравнений в частных производных: где Р теперь является:независимой переменной Р — \Р Р\\) и как и: прежде, Pi! = / j — cA{t). Удобство этой записи.заключается в независимости от времени одночастичной энергии ил В левой части уравнений (3.2) легко просматривается силовой член (второе слагаемое в (3.1)), ответственный за классическое ускорение частиц в среднем поле, а правая часть зависит от времени только через напряженность поля E(t).
Учет обратной реакции заключается в замене в уравнениях (3.1) и (3.2) внешнего поля на суперпозицию средних полей, одно из которых, как и прежде, внешнее Eex(t), а второе, внутреннее поле Etn(t), генерируется токами, как схематично показано на рис. 3.1. Поскольку мы решаем пространственно однородную задачу, то в результате обратной реакции может возникнуть только одна компонента тока (при условии электронейтральности плазмы) и уравнение Максвелла для суммарного поля можно записать в виде Е(t) =-—j(t). Здесь мы полагаем, что начальная плазма создается внешним полем Eex(t)7 инициируемым внешним током jex{t), природа которого нам не интересна, а входными данными модели мы будем считать профиль Eex(t). Подобная ситуация реализуется; например, при столкновении тяжелых, ионов, когда можно оценить напряженность (хромо) электрического поля и смоделировать различные струноподобные решения продольного поля. Внутреннее поле - самосогласованное среднее поле, создаваемое плазмой, находящейся в суммарном среднем поле. Внутренне поле, следовательно, генерируется внутренним током jtn(t), выражение для которого мы получим ниже, исходя из первых принципов. Суммарное поле и ток, таким образом, запишем в виде
Численное решение задачи обратной реакции
Перед тем как приступить к численному исследованию задачи вакуумного рождения с учетом обратной реакции, необходимо перейти к безразмерным переменным, что, помимо прочего, позволит снизить,количество свободных параметров, таких как масса, заряд40 и начальное значение среднего поля (или амплитуда импульса внешнего поля). Уменьшить количество параметров необходимо для обнаружения основных унифицированных элементов поведения системы. Как мы уже отмечали, вакуумное рождение эффективно при величине поля Е EGR причем можно надеяться, что этого будет достаточно для наблюдения эффекта обратной реакции достаточно плотной плазмы41 на среднее поле. Более того, подготавливая систему (3.2) к численному исследованию, необходимо учесть характерные масштабы задачи. Характерное время, необходимое частице для туннелирования сквозь вакуумный барьер в критическом поле, имеет порядок 1/т, а импульс, приобретаемый частицей за указанное время равен т. Из последнего утверждения однозначно следует, что наиболее удобно нормировать все динамические величины на массу рассматриваемых частиц. Обращая внимание на структуру амплитуд перехода (1.100), нетрудно видеть, что последние зависят только от комбинаций eA(t) и eE{i) (мы уже пользовались этим наблюдением при перенормировке заряда), поэтому удобно говорить о величинах таких комбинаций, что соответствует, как нетрудно проверить, нормировке на величину критического поля. Суммируя сказанное, введем безразмерные величины
В ряде приложений, обсуждаемых ниже, константа связи является динамической величиной и в численном моделирование может выступать как свободный параметр. 41 Под плотной плазмой понимается импульсное распределение со значениями, близкими к 1. размерности происходит естественным образом, например, рассмотрим плотность числа частиц (1.101). Функция распределения под интегралом в (1.101) безразмерна, а тройной интеграл по импульсам, согласно (3.45), дает размерность m , то есть безразмерное значение плотности (1.101) соответствует числу частиц в объеме куба со стороной, равной комптоновской длине волны частицы. Иначе говоря, когда безразмерная плотность (1.101) равна 1, мы. имеем комптоновскую плотность пар.
Для численного решения задачи вакуумного рождения мы будем использовать КУ в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (1.99) с параметрической зависимостью от импульса, которая в безразмерных переменных (3.45) имеет вид где безразмерные амплитуды можно записать в виде + РТ.+ (Р-Л( ))2 щ+т = ть-лм) а одиочастичная энергия равна
Безразмерную систему дифференциальных уравнений (3.46) можно решать во внешнем поле целым рядом численных методов. Наибольшую сложность представляет решение самосогласованной задачи обратной реакции. Анализируя уравнение Максвелла,(3.35), нетрудно заметить, что в самосогласованном описании участвует не только внутреннее поле Егп, но и внешнее Еех. Это происходит из-за того, что контрчлен (3.21) содержит временную производную суммарного среднего поля, равную п + ,Ёе:с. Разрешая уравнение Максвелла относительно производной внутреннего поля Em(t)7 запишем в безразмерном виде относиться к бозонам и фермионам, а несобственные интегралы типа (3.30) можно вычислить аналитически где Pc - параметр обрезания кинетического продольного импульса при численном исследовании задачи, а интегрирование по поперечному импульсу выполнено от нуля до бесконечности. Полное среднее поле вычисляется, как сумма внешней и внутренней компонент (3.3).
В безразмерных уравнениях (3.46) и (3.49), константа связи остается только перед током в уравнении Максвелла (3.49), что говорит сразу о двух моментах: (а) процесс вакуумного рождения зависит только от величины еЕ/тп2, то есть от величины поля в единицах: i?cR ї (б) обратная реакция будет существенна в задачах с большой константой связи, а в электродинамике, где е2 — 1/137,.обратной реакцией электрон-позитронной плазмы в полях &"Есн можно пренебречь.
Согласно виду (3.49), необходимо вычислить интеграл тока в импульсном пространстве в симметричных пределах по кинематическому импульсу (то же относится к плотности энергии и давления), а именно от —Рс до Рс- При этом подинтегральные функции в (3.49) определяются как численные решения системы (3.46) на фиксированной решетке размером PQ канонического продольного импульса. Совместить эти два элемента удается, вводя переменные пределы интегрирования
Численное исследование вакуумного рождения в модельном лазерном поле
Модельное распределение полей (4.10) дает возможность использовать для анализа кинетический подход, описанный в предыдущих главах 1 и 3. Предварительные оценки, проделанные в главах 2 и 3, позволяют утверждать, что при параметрах, приведенных в таблице 4.1, следует ожидать плотностей, малых по сравнению с единицей, и, принимая во внимание малость электродинамической константы связи, можно не учитывать обратную реакцию порожденных частиц на лазерное поле48, по крайней мере на начальном этапе эволюции. Задача, таким образом, сводится к численному решению уравнений (3.46-3.48) для фермионов и вычислению перенормированных плотностей числа частиц (1.101) и энергии (3.37) в переменном внешнем поле (4.10).
С появлением работы [13] в задачах вакуумного рождения поле вида (4.10) стали называть термином "лазерное поле", который получил широкое распространение.
Здесь следует отметить значительную временную емкость вычислений, специфичную для данной задачи, и связанную с большой; разницей характерных временных масштабов, рассматриваемых процессов.. Согласно приведенным оценкам, характерное время вакуумного туннелирования имеет масштаб порядка 1/т. и, следовательно, временной шаг при численном решении должен быть много меньше этого масштаба, равного 1 в безразмерных переменных (3.45), а именно, не более Ю-3. При этом величина динамически значимого промежутка составляет один период внешнего поля (4.10), который в единицах обратной массы электрона для наиболее высокочастотного лазерного излучения при А = 0,1 нм составляет порядка 2 102. Минимальная длина когерентности составляет (см. третий и четвертый столбцы в таблице 4.1) порядка 10 периодов лазерного поля. Таким образом, минимальное количество временных итераций имеет порядок 2 106. Практически необходимое количество итераций превышает указанную величину на несколько порядков. Проследить эволюцию даже модельной системы на всем протяжении лазерного импульса ( 80 фс [12]) вообще не представляется возможным. Исходя из вышесказанного, мы будем основывать оценки интенсивности вакуумного рождения в пучках сверхмощных рентгеновских лазеров на детальном изучении поведения однородной модельной системы (4.10) в характерном объеме А3 и на временах порядка сотен периодов лазерного поля.
Экспоненциальная подавленность вакуумного рождения в слабых полях (как было показано в главе 2) ограничивает исследуемую область амплитуды колебаний внешнего поля EQ снизу, так что мы будем рассматривать поля не меньшие чем 0, OlJ cR- С другой стороны, критическое поле, согласно тем же оценкам, может создать достаточно плотную электрон-позитронную плазму, которая, очевидно, разрушит лазерное поле за счет обратной реакции. Кроме того, поля, большие критических, выходят за рамки даже самых оптимистичных прогнозов. Наиболее оправданным, таким образом, является диапазон значений величины EQ от 0,01 -г- 0, ІЕск до 0,5 -Ь 1,0і?ся Граничные значения параметров по напряженности электрического поля приведены в таблице 4.2 в строках 1а и Па вместе с производными величинами. При всех рассматриваемых значениях параметров отношение энергии фотона к собственной энергии электрона и параметр адиабатичности много меньше 1? что убеждает в правомерности применения использованных в главе 1 приближений при выводе КУ.
Таблица 4.2. Параметры лазерного излучения, используемые для модельного численного эксперимента. Набор 1а соответствует последнему столбцу в таблице 4.1, lb и 1с обозначают наборы с теми же параметрам, что и 1а, но с удвоенной и половинной частотами соответственно. Па и lib - тоже, что и набор I, но с напряженностью поля, равной критическому. Параметры набора II соответствуют верхней границе в нашем рассмотрении по величине напряженности поля. В строках III-VI представлены параметры отвечающие постепенному увеличению поля с фиксированной длинной волны. В столбце rii[2 приведены максимальные значения плотностей пар (4.12) без учета эффекта аккумуляции, то есть; в точке первого локального максимума (4.15). Среднее наблюдаемое число пар при этом оценивается KSLK.NI/2 3Щ/2- В столбце ЛГ100 приведены значения числа частиц в объеме А3 на основе (4.15) после действия лазерного импульса длительностью 100 периодов. Для наборов IV-VI заметно преобладает вклад линейного роста (см. рис- 4.8), экстраполяцией которого можно оценить число частиц, появляющихся за импульс с характерной длительностью порядка 80 фс 105 периодов [12].
Численное решение уравнений (4.11-4.13) дает богатую информацию о динамике системы. Фактически все данные сосредоточены в функциях распределения, трехмерные графики которых построены по результатам численного решения на рис. 4.3 и 4.4, для наборов 1а и IV из таблицы 4.2, соответственно..
В слабом поле (рис. 4.3 получен при EQ = 0, li?cR.) процессы рождения и уничтожения частиц с удвоенной частотой колебаний внешнего поля. При этом за время Т 27г/П можно говорить о средней: по времени величине наблюдаемой плотности пар частиц. Отметим, что в импульсном пространстве20 все процессы не выходят за пределы нескольких масс и, следовательно, говорить об обратной реакции здесь вообще не имеет смысла..Ток, создаваемый такой плазмой, пренебрежимо мал и осциллирует вместе с внешним полем.
При увеличении амплитуды электрического поля; в 3,5 раза. (результат решения в таком поле показан на рис. 4.4) наблюдается.: появление нового элемента в поведении системы: после каждого полупериода поля не все частицы уничтожаются, их существенное количество "выживает" и продолжает эволюционировать во внешнем переменном поле, не участвуя в процессах рождения-уничтожения. Каждый следующий полупериод увеличивает число аккумулированных частиц, как показано на рис. 4.4. При этом область состояний в импульсном пространстве с ненулевым значением функции распределения значительно больше, так что частицы разгоняются до импульсов: в 30 масс. Сталкиваясь, такие частицы имеют возможность покинуть область пересечения лазерных пучков в течении действия импульса. Для нашего рассмотрения это не играет никакой роли, в силу того, что плотности электрон-позитронных пар очень малы и ни статистический фактор [1 — 2/(р, )] в уравнениях (4.11), ни интеграл столкновений (уже отброшенный ранее) не иг-» рают заметной роли, и следовательно, можно не учитывать изменения плотности пар из-за дрейфа частиц из области пересечения лазерных пучков. В продольном направлении частицы, не могут пройти расстояние большее длины волны за период лазерного поля, поскольку для этого необходима скорость
