Содержание к диссертации
Введение
1. Фотоиндуцированные явления в фоторефрактивных кристаллах 25
1.1 Фоторефрактивный эффект в нецентросимметричных кристаллах 25
1.2. Механизмы фоторефрактивного эффекта 27
2. Динамика фоторсфрактивиого отклика в кристаллах силленитов с двукратно ионизируемыми донорными центрами и мелкими ловушками 43
2.1. Основные уравнения и методика анализа 43
2.2. Динамика фоторефрактивного отклика кристалла на картину интерференции двух взаимно когерентных световых пучков 47
3. Динамика фотоиндуцированного поглощения света в кристаллах титаната висмута 71
3.1. Динамика фотоиндуцированного поглощения света в кристалле ВІ12ТЮ20: Са при одноцветном облучении 72
3.2. Фотоиндуцированное поглощение света в кристаллах титаната висмута при двухцветном облучении 82
4. Векторное двухволновое взаимодействие на отражательных голографических решетках в кубических гиротропных фоторефрактивных кристаллах 101
4.1. Общие уравнения 102
4.2. Анизотропия вкладов внутримодовых и межмодовых процессов во встречное взаимодействие 106
Заключение 121
Список литературы 125
Приложение
- Механизмы фоторефрактивного эффекта
- Динамика фоторефрактивного отклика кристалла на картину интерференции двух взаимно когерентных световых пучков
- Фотоиндуцированное поглощение света в кристаллах титаната висмута при двухцветном облучении
- Анизотропия вкладов внутримодовых и межмодовых процессов во встречное взаимодействие
Введение к работе
Актуальность темы. Большой интерес к фоторефрактивным кристаллам не угасает с момента открытия фоторефрактивного эффекта и связан с возможностью их использования для приложений нелинейной оптики: в устройствах динамической голографии, оптической памяти, усиления оптических изображений, обращения и самообращения волнового фронта, и многих других. Своими особенностями данные кристаллы обязаны электрооптическому эффекту и возможности образования поля пространственного заряда под действием неоднородного освещения, что позволяет записывать и хранить в этих кристаллах объемные фазовые голограммы {М.П. Петров, СИ. Степанов, А.В. Хоменко {1992)).
В ряде кристаллов (Bi^SiCbo, Віі2Ті02о, ВаТіОз, KNbCbiFe) формирование фоторефрактивных голограмм сопровождается значительным фотоиндуцированным поглощением света, оказывающим заметное влияние на характеристики устройств на их основе. Явление фотоиндуцированного поглощения света традиционно связывают с наличием в кристаллах, наряду с донорными, мелких ловушечных уровней, имеющих большее сечение фотоионизации {К. Вше {1997)). Для описания фотоиндуцированного поглощения и фотопроводимости в некоторых кристаллах применяются модели зонного переноса, включающие в рассмотрение несколько фотоактивных центров, способных находиться в различных зарядовых состояниях. Формирование поля пространственного заряда при записи голограмм в таких кристаллах сопровождается образованием нескольких зарядовых решеток. Динамика их взаимодействия при формировании голограмм и релаксации в режиме хранения, а также при изменении внешних условий, может оказать существенное влияние на параметры фоторефрактивного отклика. В связи с этим знание механизмов данного явления имеет важное значение для описания динамических голограмм в фоторефрактивных кристаллах и проектирования устройств на их основе.
Привлекательными материалами для создания различных фоторефрактивных устройств являются номинально чистые и легированные кристаллы титаната висмута (BiI2Ti02o)» обладающие быстрым откликом при воздействии на них излучением из видимой области спектра, и малым удельным оптическим вращением. Однако формирование динамических голограмм в этих кристаллах сопровождается значительным фотоиндуцированным изменением оптического поглощения, связанным со сложной структурой дефектных центров (О. V. Kobozev, S.M. Shandarov et al. (1999)). Наличие таких центров приводит к различным эффектам, не описываемым в рамках традиционных моделей фоторефракции. Предполагаемое участие одних и тех же фотоактивных центров в процессах образования объемного заряда и фотоиндуцированного изменения поглощения позволяет получить информацию о них из результатов экспериментальных исследований каждого из этих эффектов. Следует отметить, что для силленитов, к которым относится титанат висмута, установившиеся представления о типе фотоактивных дефектов и о зонной модели переноса заряда в настоящее время отсутствуют.
Использование попутного двухпучкового взаимодействия при записи голографических решеток не всегда позволяет добиться достаточно хорошей дифракционной эффективности в случае диффузионного механизма формирования поля пространственного заряда. Увеличение фоторефрактивного отклика, обычно достигаемое за счет приложения к кристаллу внешнего электрического поля с высокой напряженностью, делает данную схему мало привлекательной. В тоже время, увеличение амплитуды фоторефрактивной голограммы может быть реализовано при встречном распространении световых пучков (Е.Ю. Агеев, СМ. Шандаров и др.(2001)). В этом случае пространственный период объемной голограммы имеет наименьшее значение, увеличивая тем самым ее дифракционную эффективность.
Взаимодействие световых волн в кубических фоторефрактивных кристаллах на объемных голограммах сопровождается изменением поляризационного состояния светового поля, что делает необходимым использование векторных моделей для его описания. В кристаллах симметрии 23 изменение поляризации взаимодействующих волн происходит также вследствие естественной оптической активности. В результате при анализе встречного взаимодействия световых волн на отражательных голограммах в нецентросимметричных кубических фоторефрактивных кристаллах со сложной структурой дефектных центров необходимо также учитывать анизотропию электрооптического и фотоупругого вкладов в фазовую модуляцию оптических свойств среды полем пространственного заряда решетки и ее абсорбционную составляющую, эффекты поглощения света и истощения накачки. Однако изучение литературных данных показало, что такого полного анализа проведено не было.
Все вышеизложенное определило цель диссертационной работы.
Цель и задачи диссертационной работы.
Целью работы является исследование процессов формирования голографических решеток и развития фотоиндуцированного поглощения света в фоторефрактивных кристаллах с учетом сложной структуры дефектных центров и изменения внешних условий, а также влияния векторного характера светового поля на двухволновое взаимодействие на фоторефрактивных отражательных голограммах в нецентросимметричных кубических кристаллах.
Для достижения данной цели решались следующие основные задачи: - разработка методики численного решения дифференциальных уравнений для фоторефрактивного кристалла с двукратно ионизируемыми донорными центрами и мелкими ловушками, и анализ
динамики формирования поля пространственного заряда в изменяющихся условиях;
- создание экспериментальной установки и проведение исследований по
фотоиндуцированному поглощению света в кристалле титаната висмута
при двухцветном облучении;
- разработка векторной модели встречного двухволнового
взаимодействия световых пучков на отражательных голографических
решетках в кубических фоторефрактивных кристаллах;
- изучение влияния анизотропии электрооптического эффекта на
двухпучковое взаимодействие на отражательной голографической
решетке в кубических фоторефрактивных кристаллах.
Методы исследования. Теоретический анализ динамики фоторефрактивного отклика основывался на модели зонного переноса для кристаллов, содержащих донорные и ловушечные центры. При численном моделировании для решения системы нелинейных дифференциальных уравнений использовался метод Эйлера.
При экспериментальном исследовании фотоиндуцированного поглощения в кристаллах титаната висмута использовалось некогерентное узкополосное излучение полупроводниковых светодиодов, исключающее образование фоторефрактивных голограмм.
При теоретическом анализе встречного двухволнового взаимодействия в кубических фоторефрактивных кристаллах использовался методы медленно меняющихся амплитуд и связанных мод, при этом учитывалась естественная оптическая активность, дополнительный фотоупругий вклад в модуляцию оптических свойств среды фазовой компонентой голографической решетки, и ее абсорбционная составляющая.
Основные научные положения, выносимые на защиту;
В кристаллах с монополярной электронной проводимостью, фотоактивными мелкими ловушками и двукратно ионизируемыми донорными центрами фоторефрактивные голограммы усиливаются в темновых условиях при приложении внешнего постоянного электрического поля и проявляются при включении считывающего светового пучка, вследствие пространственного сдвига соответствующих зарядовых решеток относительно их первоначального положения, связанного с неоднородностью тока проводимости.
Ловушечные центры, обусловливающие фотоиндуцированное поглощение света в легированных кальцием кристаллах титаната висмута, не являются мелкими, и соответствующие им энергетические уровни расположены в запрещенной зоне на расстояниях, превышающих 1,42 эВ от дна зоны проводимости.
В кристаллах титаната висмута вклад фазовой составляющей отражательной голографической решетки в межмодовые процессы взаимодействия, происходящие с изменением показателя преломления собственных волн, отсутствует в кристаллографических плоскостях типа {100} и достигает максимальных значений при ориентации вектора решетки в плоскостях типа {ПО}, вдоль кристаллографических направлений вида <111>.
Анизотропия электрооптического эффекта в кубических фоторефрактивных кристаллах приводит к тому что, вклад фазовой составляющей отражательной голографической решетки во внутримодовые процессы взаимодействия достигает максимума при ориентации вектора решетки вдоль кристаллографических направлений вида <100> и отсутствует при ориентации вектора решетки вдоль направлений вида <110> и <111>.
Достоверность результатов
Достоверность теоретической части работы обеспечивалась использованием обоснованных приближений (метод медленно меняющихся амплитуд, адиабатическое приближение и др.).
Корректность проведенных численных расчетов и выбранного шага дискретизации подтверждается сравнением с другими вычислениями, имеющими более высокий порядок точности.
Достоверность экспериментальных результатов базируется на использовании измерительных приборов с известными характеристиками, имеющих цифровой выход; на обработке большого массива экспериментальных данных, позволяющей оценить случайные погрешности измерений, которые не превышали 5%; а также на применении методов минимизации систематических погрешностей.
Достоверность первого положения подтверждается тем, что на его основе могут быть объяснены результаты экспериментов, описанных МЛ. Петровым, М.Г. Шмелиным, и др. (1985).
Достоверность третьего и четвертого положений подтверждается отсутствием противоречий с результатами других работ {А. Г. Мартьянов, С. М. Шандаров и др. (2002)).
Научная новизна:
Выведены уравнения для первых пространственных гармоник зарядовых решеток в кристаллах с двукратно ионизируемыми донорными центрами и фотоактивными мелкими ловушками, на основе которых разработана методика численного анализа динамики поля пространственного заряда фоторефрактивной голограммы при изменяющихся внешних условиях ее формирования, хранения и восстановления.
Предложена и экспериментально реализована методика исследования динамики фотоиндуцированного поглощения света в фоторефрактивных
кристаллах при двухцветном облучении квазимонохроматическим излучением полупроводниковых светодиодов. 3. Развита самосогласованная векторная модель встречного двухвол нового взаимодействия световых пучков на отражательных голографических решетках в кубических фоторефрактивных кристаллах, принимающая во внимание естественную оптическую активность, дополнительный фотоупругий вклад в модуляцию оптических свойств кристалла, абсорбционную составляющую решетки, а также эффекты фотоиндуцированного поглощения света и истощения накачки.
Научная ценность:
Проведенный численный анализ динамики формирования поля пространственного заряда в кристаллах с фотоактивными мелкими ловушками и двукратно ионизируемыми донорными центрами позволил дать теоретическое описание наблюдаемых ранее экспериментально эффектов усиления скрытой голограммы в темновых условиях при приложении внешнего электрического поля и ее проявления при включении считывающего светового пучка.
Развитая модель перезарядки дефектных центров позволяет удовлетворительно описать динамику фотоиндуцированного поглощения света в кристаллах ві12тіо20:Са при двухцветном облучении и делает возможным прогнозирование влияния посторонней засветки на характеристики устройств динамической голографии на основе кристаллов титаната висмута.
Проведен полный анализ анизотропии вклада фазовой составляющей отражательной голографической решетки во внутримодовые и межмодовые процессы взаимодействия в кубических фоторефрактивных кристаллах, позволяющий определить ориентации вектора
фоторефрактивной решетки в кристалле, при которых происходит наиболее эффективное взаимодействие световых волн.
Практическая значимость проведенных исследований заключается в следующем:
Разработанная методика численного анализа динамики поля пространственного заряда пригодна для проектирования и создания устройств динамической голографической памяти и оптической обработки информации на основе фоторефрактивных кристаллов класса силленитов, обладающих сложной структурой фотоактивных дефектных центров.
Разработанные методики численного анализа динамики фотоиндуцированного поглощения света в кристаллах со сложной структурой фотоактивных дефектных центров позволяют в рамках используемых моделей определить материальные параметры фоторефрактивных кристаллов, необходимые для проектирования устройств динамической голографии, таких как адаптивные интерферометры для измерительных систем оптических датчиков.
Развитая векторная модель встречного взаимодействия световых пучков на отражательных голограммах в кубических фоторефрактивных кристаллах пригодна для использования при проектировании устройств динамической голографии, таких как адаптивные интерферометры для измерительных систем оптических датчиков, устройства обращения волнового фронта лазерных пучков, и др., основанных на диффузионном механизме формирования поля пространственного заряда и не требующих приложения к кристаллу внешнего электрического поля.
Внедрение результатов работ и рекомендации по их дальнейшому использованию. Результаты диссертационной работы используются на
кафедре Электронных приборов Томского государственного университета систем управления и радиоэлектроники при проведении плановых и инициативных научно-исследовательских работ и выполнении курсовых и дипломных работ студентами; включены в спецкурсы «Фоторефрактивная нелинейная оптика» и «Голография и когерентная оптика» для студентов, обучающихся по индивидуальным учебным планам. Созданные экспериментальные установки используются в исследованиях динамики фотоиндуцированного поглощения света в фоторефрактивных кристаллах и эффектов фоторефрактивной нелинейной оптики. Разработанные алгоритмы и программы численного анализа используются для компьютерного моделирования векторного двухпучкового взаимодействия на отражательных решетках и динамики фотоиндуцированных явлений в кристаллах силленитов. Акты внедрения приведены в Приложении к диссертации. Результаты диссертации целесообразно использовать в Институте автоматики и процессов управления ДВО РАН при разработке оптоэлектронных устройств.
Апробация работы. Материалы диссертационной работы докладывались на VI Международной научно-практической конференции студентов, аспирантов и молодых ученых «Современные техника и технологии СТТ'2000», (г. Томск, Россия, 28 февраля -3 марта, 2000г.), на Международной конференции молодых ученых и специалистов «Оптика-2000» (г. Санкт-Петербург, Россия, 19-21 октября, 2000 г.), на Второй школе-семинар молодых ученых «Современные проблемы физики и технологии», (Томск, Россия, 5-7 февраля, 2001г.), на VIII Российской научной студенческой конференции «Физика твердого тела», (Томск, Россия, 16-18 мая, 2000 г.), на XXXIX международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс, Физика», (Новосибирск, Россия, 10-12 апреля, 2001г.), на XV международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс», (Новосибирск,
Россия, 2002), на VIII российской научной студенческой конференции «Физика твердого тела», (Томск, Россия, 14-16 мая, 2002 г.), на Международном оптическом конгрессе «Фундаментальные проблемы оптики», (Санкт-Петербург, Россия, 14-17октября, 2002 г.), на III международной научной коференции молодых ученых и специалистов «Оптика-2003», (Санкт-Петербург, Россия, 20-23 октября, 2003 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации изложены в 5-ти статьях в центральных российских журналах [57*, 58*, 79*, 82*, 97*], в 1-й статье в периодическом издании Американского оптического общества [59*], в 8-ми публикациях в сборниках трудов Международных конференций [60*, 61*, 62*, 64*, 81*, 83*, 85*, 86*] и в 3-х публикациях в сборниках трудов Российских научных конференций [63*, 80*, 84*]. Ссылки на них в тексте помечены символом «*».
Личный вклад диссертанта.
В диссертации использованы только те результаты, в получении которых автору принадлежит определяющая роль. Опубликованные работы написаны либо без соавторов, либо в соавторстве с членами научной группы, а также со студентами: А.В. Медовник, Н.Н. Черняк, К.С. Плинта. В совместных работах диссертант принимал участие в моделировании, расчетах; в создании экспериментальных установок, проведении экспериментов и интерпретации результатов. Постановка задач исследований осуществлялась научным руководителем.
Структура, объем и содержание диссертации. Диссертация состоит из Введения, четырех глав, Заключения, списка литературы и Приложения. Полный объем диссертации - 143 страниц, включая 41 рисунок и 4 таблицы.
Список литературы содержит 105 наименований. Нумерация формул, рисунков и таблиц принята по параграфам.
СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении дается обоснование актуальности темы диссертации, формулируются цель работы и выносимые на защиту основные научные положения. Определена научная новизна и практическая значимость полученных результатов, кратко излагается содержание диссертации по главам.
Первая глава является обзорной и посвящена фотоиндуцированным явлениям, наблюдаемым в фоторефрактивных кристаллах, не имеющих центра симметрии. В ней дана краткая историческая справка об открытии и этапах развития исследований фоторефрактивного эффекта, перечислены основные области его применения. Рассмотрены основные физические механизмы, приводящие к формированию объемных голограмм при воздействии на кристалл картиной интерференции двух плоских световых монохроматических волн. Кратко описана одноуровневая модель зонного переноса, рассмотрены диффузионный, дрейфовый и фотовальтаический механизмы фотоиндуцированного разделения зарядов.
Представлены материальные уравнения для двухуровневой модели зонного переноса, позволяющей описать фотоиндуцированное поглощение света и предполагающей наличие в кристалле, в дополнение к глубоким донорам, фотоактивных мелких ловушек. Дано описание модели с двукратно ионизируемыми донорными центрами и мелкими ловушками, которая сделала возможным описание наблюдаемой экспериментально динамики фотоиндуцированного поглощения света в нелегированном кристалле Bil2TiO20, относящемся к классу силленитов.
Рассмотрено двухволновое взаимодействие света в фоторефрактивных кристаллах на отражательных голографических решетках, которое позволяет
добиваться большой эффективности перекачки мощности между взаимодействующими пучками без приложения внешних электрических полей. Проведен обзор работ по фоторефрактивным отражательным решеткам в кристаллах силленитов; описаны основные подходы к анализу встречного двухволнового взаимодействия в кубических гиротропных кристаллах, учитывающие векторный характер светового поля.
Вторая глава посвящена теоретическому анализу динамики фоторефрактивного отклика в кристаллах силленитов с двукратно ионизируемыми донорными центрами и мелкими ловушками.
Процессы формирования поля пространственного заряда при засветке кристалла картиной интерференции двух плоских монохроматических волн рассмотрены в подразделе 2.1. С использованием приближения малых контрастов интерференционной картины т«\ и низкой интенсивности света 10, а также условия адиабатичности cfo/dt = 0 для концентрации
электронов в зоне проводимости, были выведены две системы уравнений для нулевых и первых пространственных гармоник зарядовых решеток, формирующихся на однократно и двукратно ионизированных донорах, мелких ловушках и свободных электронах.
Для анализа динамики фоторефрактивного отклика была разработана методика численного анализа данных систем уравнений, которая позволяла изменять период дифракционной решетки Л, длительность процессов записи, хранения и проявления голограмм и амплитуду прикладываемого внешнего постоянного электрического поля Е0. Ее использование позволяло "включать" и "выключать" световые пучки накачки 1Р и сигнала Is, их взаимную когерентность и внешнее электрическое поле Е0 в произвольные
моменты времени.
В подразделе 2.2 проведен анализ двух режимов записи фоторефрактивной решетки для кристаллов с мелкими ловушками и глубокими донорами, допускающими двукратную ионизацию. Показано, что
динамика роста поля пространственного заряда фоторефрактивной решетки при одновременно происходящем фотоиндуцированном изменении поглощения имеет немонотонный характер, с четко выраженным максимумом, положение и величина которого зависит от интенсивности света и механизма формирования поля пространственного заряда (диффузионный или дрейфовый). Получено, что приложение дополнительно постоянного внешнего поля увеличивает амплитуду поля пространственного заряда. Расчеты показали, что повышенная амплитуда поля пространственного заряда в этом случае связана с пространственным сдвигом зарядовых решеток относительно друг друга под действием приложенного внешнего поля, а не с увеличением их абсолютных амплитуд. Основной причиной сдвига решеток является неоднородность тока проводимости, обусловленная пространственной модуляцией проводящих свойств кристалла.
Показано, что возможность двукратной ионизации донорных центров приводит к особенностям в поведении релаксации поля пространственного заряда после «выключения» взаимной когерентности записывающих решетку световых пучков. Динамика релаксации при этом состоит из двух этапов. Первый характеризуется быстрым падением амплитуды решетки за время, сравнимое с временем диэлектрической релаксации тл, составляющего -15 с
для кристаллов типа силленита при интенсивности света -150 Вт/м . На втором этапе, который при той же интенсивности может продолжаться десятки минут, наблюдается медленное падение поля пространственного заряда, скорость которого определяется релаксацией самих зарядовых решеток.
В подразделе 2.3 рассмотрено влияние постоянного внешнего электрического поля на эффекты хранения и проявления фоторефрактивных решеток в кристаллах с двукратно ионизируемыми донорами и мелкими ловушками. Показано, что приложение постоянного внешнего поля приводит
к усилению сформированного в кристалле за счет диффузионного механизма скрытого изображения, при его хранении как в темновых условиях, так и при воздействии на кристалл взаимно некогерентных световых пучков. Включение считывающего пучка приводит к быстрому нарастанию амплитуды решетки с последующим, сравнительно медленным, ее уменьшением. На основе проведенных расчетов показано, что физической причиной эффектов усиления и проявления скрытого изображения, наблюдаемых ранее экспериментально, является пространственный сдвиг зарядовых решеток, соответствующих однократно и двукратно ионизированным донорам и мелким ловушкам, относительно друг друга без изменения их амплитуды. Этот пространственный сдвиг обусловлен неоднородностью тока проводимости, связанной с пространственной модуляцией проводящих свойств кристалла. При этом пространственная гармоника концентрации электронов в зоне проводимости отлична от нуля в освещенном кристалле и в отсутствие интерференционной картины (при ее контрасте w = 0). Для рассматриваемой в диссертации модели пространственная неоднородность проводимости связана с модуляцией таких параметров кристалла, как коэффициент поглощения и время жизни носителей заряда.
В третьей главе представлены результаты исследования динамики фотоиндуцированного поглощения света и его релаксации в темновых условиях в кристаллах титаната висмута.
Подраздел 3.1 посвящен экспериментальному исследованию динамики
фотоиндуцированного поглощения света в кристалле ВіїгТіОгоіСа при
одноцветном облучении, и ее численному моделированию. Дано описание
экспериментальной установки и методики исследований, в которой
использовалось узкополосное некогерентное излучение полупроводникового
светодиода, близкого по длине волны (X = 660 им) к гелий-неоновому лазеру
(X = 633 нм). Установка позволяла наблюдать динамику
фотоиндуцированного изменения поглощения кристалла с временным разрешением до 0,1 с, как при его облучении, так и в процессе темновой релаксации наведенных изменений.
Получено, что фотоиндуцированное изменение поглощения в кристалле Ві^ТіС^Са на длине волны 660 нм является значительным и может достигать значений Аа=0,43 см-1. Нарастание поглощения имеет два характерных этапа: начальный участок, сопровождающийся быстрым ростом Аа(0, и следующий за ним длительный участок с медленным нарастанием
Aa(f).
Исследована последовательная засветка кристалла излучением с различными и одинаковыми значениями интенсивности, сопровождающаяся этапами темновой релаксации разной длительности. Обнаружено, что с увеличением интенсивности скорость роста фотоиндуцированного поглощения на начальном участке возрастает, а на конечном участке уменьшается; при этом переход от быстрого участка к медленному становится более резким. Для одинаковых интенсивностей засветки, соответствующих максимальному из использованных значений 55 мВт/см , зависимости Aa(t) выходили на одинаковый стационарный уровень при каждом эксперименте.
Использование численного анализа динамики фотоиндуцированного поглощения света на основе модели, рассматривающей наличие в кристалле ловушечных центров и глубоких доноров, допускающих двукратную ионизацию, и подгонки результатов под экспериментальные данные позволило определить материальные параметры исследованного кристалла BiJ2Ti02o:Ca. Сравнение результатов расчета с экспериментом показало, что используемая модель позволяет описать динамику роста и релаксации фотоиндуцированного поглощения, с воспроизведением таких качественных особенностей, как более резкий переход от медленного участка к быстрому
при повторной засветке кристалла, и уменьшение скорости нарастания на медленной стадии процесса с каждой последующей засветкой.
В подразделе 3.2 рассмотрено фотоиндуцированное поглощение света в легированных кальцием кристаллах титаната висмута (Bi12TiO20 :Са) при их
облучении квазимонохроматическим светом полупроводниковых светодиодов на двух длинах волн из набора X = 870, 660 и 525 нм и предложена модель перезарядки дефектных центров, описывающая эффекты, наблюдаемые при двухцветном облучении. Для проведения экспериментов была разработана установка, позволяющая освещать кристалл двумя источниками с разными длинами волн как одновременно, так и по очереди.
С целью проверки предположения о наличие в кристаллах титаната висмута мелких ловушек, имеющих большое сечение фотоионизации, были проведены эксперименты по последовательному облучению кристалла Bi12TiO20: Са красным и инфракрасным излучением. Заполнение мелких
ловушек при освещении кристалла красным светом обуславливает рост фотоиндуцированного поглощения. Предполагалось что при последующем освещении кристалла РЖ излучением с энергией кванта 1,42 эВ будет происходить опустошение заполненных мелких ловушек, что приведет к значительному просветлению кристалла. В результате было получено, что уменьшение поглощения, наведенного в кристалле красным светом, при засветке кристалла ИК излучением не являются значительными, то есть свет с энергией кванта 1,42 эВ не приводит к опустошению ловушечных уровней. Таким образом, из проведенных экспериментов следует, что ловушечные центры в легированных кальцием кристаллах титаната висмута, не являются мелкими, и соответствующие им энергетические уровни расположены в запрещенной зоне на расстояниях, превышающих 1,42 эВ от дна зоны проводимости.
В результате проведения экспериментов по динамике фотоиндуцированного поглощения при последовательном облучении
кристалла Ві12тіО20:Са некогерентным излучением светодиодов с длинами волн XR = 660 нм и 1о = 525 нм было установлено: скорость фотоиндуцированных изменений собственного поглощения существенно выше для зеленого света, чем для красного излучения; освещение кристалла красным (зеленым) светом влияет как на собственное поглощение, так и на оптические потери в зеленой (красной) области спектра; длинноволновое (красное) излучение приводит к большему увеличению поглощения для коротковолновой компоненты (зеленый свет), чем для собственного поглощения; длинноволновое излучение уменьшает изменения в поглощении на собственной длине волны, наведенные коротковолновым светом.
На основе анализа характерных особенностей в динамике коэффициентов поглощения кристалла на двух длинах волн предложена модель перезарядки дефектных центров, позволяющая удовлетворительно описать динамику фотоиндуцированного поглощения света в кристаллах Bi12TiO20: Са при двухцветном облучении. Эта модель предполагает наличие в
кристалле фотоактивных донорных центров одного типа и ловушечных центров другого типа; такие центры образуют две связанные системы, каждая из которых характеризуется своим энергетическим спектром и допускает внутрицентровые переходы электронов между энергетическими уровнями.
В четвертой главе изложены результаты анализа векторного двухволнового взаимодействия на отражательных голографических решетках в кубических гиротропных кристаллах.
В подразделе 4.1 получена система уравнений связанных волн, описывающая векторное двухволновое взаимодействия волн сигнала и накачки на отражательных решетках, принимающая во внимание естественную оптическую активность, дополнительный фотоупругий вклад в модуляцию оптических свойств кристалла, абсорбционную составляющую
решетки, а также эффекты фотоиндуцированного поглощения света и истощения накачки.
В подразделе 4.2 проведен анализ анизотропии входящих в уравнения связанных волн коэффициентов, определяющих вклады фазовой составляющей отражательной голографической решетки во внутримодовые ( происходящие без изменения показателя преломления собственных циркулярно-поляризованных волн) и межмодовые (с изменением показателя преломления собственных волн) процессы взаимодействия для кубических нецентросимметричных кристаллов титаната, силиката и германата висмута (класс симметрии 23), а также для имеющего симметрию 43т арсенида галлия.
Получено, что вклад фазовой составляющей в межмодовые процессы взаимодействия отсутствует в кристаллографических плоскостях типа {100} и достигает максимальных значений при ориентации вектора решетки в плоскостях типа {ПО}, вдоль кристаллографических направлений вида <1П>, а вклад фазовой составляющей во внутримодовые процессы взаимодействия достигает максимума при ориентации вектора решетки вдоль кристаллографических направлений вида <100>, и отсутствует при ориентации вектора решетки вдоль направлений вида <110> и <111>.
В подразделе 4.3 показано что, для волн с линейной поляризацией уравнения связанных волн сводятся к двум уравнениям для комплексных амплитуд этих волн. Переход от комплексных амплитуд к интенсивностям и фазам волн сигнала и накачки позволил получить систему уравнений, полностью описывающую встречное взаимодействие при произвольной ориентации кристалла с учетом электрооптического и фотоупругого эффектов и дифракции на абсорбционной решетке. Для случая пренебрежимо малого вклада абсорбционной составляющей во взаимодействие на отражательной решетке введен эффективный коэффициент усиления для встречного взаимодействия Ге#, который
характеризует эффективность энергообмена на фазовой отражательной решетке, не зависит от коэффициента поглощения света в кристалле, и может быть определен из экспериментальных данных.
В подразделах 4.4 и 4.5 представлены результаты численного анализа и экспериментального исследования поляризационных зависимостей эффективного коэффициента усиления Tejf и ориентации векторов
поляризации волн сигнала и накачки для встречного взаимодействия в кристалле Bi12TiO20 :Fe,Cu среза (100).
Проведенный численный анализ поляризационных зависимостей Ге// при
пренебрежимо малой абсорбционной решетке показал, что максимально достигаемое значение эффективного коэффициента усиления уменьшается с ростом толщины кристалла. Полученные хорошо согласующиеся с результатами теоретического анализа экспериментальные поляризационные зависимости для эффективного коэффициента усиления и векторов поляризации взаимодействующих световых пучков позволяют сделать вывод о фазовом характере отражательной фоторефрактивной решетки, формирующейся при встречном взаимодействии света в исследованном кристалле Bi12TiO20 :Fe,Cu среза (100).
В заключении сформулированы основные результаты диссертационной работы.
В приложении приведены документы о внедрении результатов работы.
Механизмы фоторефрактивного эффекта
Как упомянуто в монографии [1], первая работа по фоторефрактивному эффекту (изменение показателя преломления под действием света) была опубликована в 1966 г. [2], причем первоначально это явление отнесли к вредным свойствам кристалла LiNbCb. Вскоре были обнаружены новые материалы, обладающие такими же свойствами [3,4]. Спустя всего два года было предложено использовать этот эффект для хранения оптической информации [5]. В качестве физических причин изменения показателя преломления уже на начальном этапе было сделано предположение о фотовозбуждении носителей заряда в зону проводимости и разделении их с помощью приложенного внешнего поля. В частности, это объясняло фоторефрактивный эффект в кристалле KTN, в котором он заметно проявлял себя только при наличии внешнего поля [6]. В статье [7] было показано, что причиной наблюдаемого эффекта в ниобате лития является диффузия фотовозбужденных носителей заряда.
В 1974 г. был экспериментально обнаружен фотовольтаический эффект [8], играющий большую роль в процессах фотоиндуцированного разделения зарядов в сегнетоэлектрических кристаллах. Одновременно с развитием теоретических моделей проводились эксперименты по записи, хранению, проявлению и корректировке голограмм [9, 10]. Основное развиваемое прикладное направление состояло в использовании кристаллов в качестве носителей большого объема информации, обусловленное малой длиной волны, используемой для записи, а также тем, что объемные фазовые голограммы, благодаря угловой селективности, могут накладываться одна на другую.
Математическая модель, позволяющая дать достаточно полное описание физики фоторефрактивного эффекта, была предложена в 1977 г. в работе [11]. Здесь были даны скоростные материальные уравнения, использовано приближение низкого контраста интерференционной картины для нахождения поля пространственного заряда объемной голограммы и метод медленно меняющихся амплитуд для описания явления самодифракции. В этой же работе была сделана ссылка на работу [12], в которой были подробно описаны использованные приближения.
Большим шагом было открытие новых фоторефрактивных материалов с высокой чувствительностью - кристаллов класса силленитов [13]. Обнаружение фоторефрактивного эффекта в нецентросимметричных полупроводниковых кристаллах GaAs и InP [14] стало важным этапом в повышении быстродействия устройств, использующих это явление.
Уникальность фоторефрактивного эффекта заключается в возможности его широкого применения. Обнаружение материалов этого класса открыло большие перспективы для реализации различных устройств, приборов и элементов объемной и интегральной оптики, систем обработки оптической информации, а также для создания датчиков, в которых в качестве чувствительного элемента используются фоторефрактивные материалы. Основным применением фоторефракции остается создание на ее основе оптической памяти. В 1977 г. была предложена схема четырехволнового взаимодействия, позволяющая получать фазово сопряженные световые поля [15], а в 1978 г. эта схема была реализована. [16]. Способность при обращении волнового фронта восстановления исходной фазовой картины светового поля после прохождения волны через неоднородную среду в 1979 г. представили сразу несколько авторов [17, 18]. Использование фоторефрактивных кристаллов для получения свертки и корреляции оптического изображения было реализовано в 1980 г. [19]. В работе [20] был продемонстрирован оптический генератор, полученный из усилителя добавлением положительной обратной связи. Созданы фоторефрактивные фильтры [21]. Одно из самых перспективных применений фоторефракции - голографическая интерферометрия [22, 23], неразрушающий дистанционный метод контроля, тестирования и определения качества поверхностей. Существует большое количество и других разнообразных применений фоторефрактивных кристаллов [1, 24], существующих в лабораторных или промышленных образцах. О прикладной значимости данного явления говорит не спадающий в течение трех последних десятилетий интерес к этому эффекту, а количество посвященных ему публикаций уже перевалило за две тысячи.
Динамика фоторефрактивного отклика кристалла на картину интерференции двух взаимно когерентных световых пучков
В работе [65] показано различие в поведении поля пространственного заряда фоторефрактивной решетки для двух режимов ее записи в кристалле с глубокими донорами и мелкими ловушками. В первом случае формирование решетки происходит при некоторых стационарных значениях средних концентраций электронов, ионизированных доноров и мелких ловушек, достигаемых, например, при засветке кристалла взаимно некогерентными пучками сигнала и накачки до начала формирования решетки. Если же выдержать фоторефрактивный кристалл в темноте достаточно длительное время, мелкие ловушечные центры будут опустошены за счет тепловой генерации электронов. В этом случае можно создать условия, когда в кристалле одновременно развивается фотоиндуцированное поглощение и формируется фоторефрактивная решетка. В настоящем подразделе 2.2 анализ этих двух режимов записи фоторефрактивной решетки проведен для кристаллов с мелкими ловушками и глубокими донорами, допускающими двукратную ионизацию [60 ].
Временные зависимости формирования поля пространственного заряда фоторефрактивной решетки в кристалле с мелкими ловушечными уровнями и двукратно ионизируемыми донорными центрами после длительной выдержки кристалла в темновых условиях. Кривые соответствуют средней интенсивности света 10[Вт/м2): 1 -30, 2 - 70, 3,4 - 150. Кривая 4 соответствует случае приложения постоянного внешнего электрического поля с амплитудой Е0 =0.5 kVlcm. Типичные зависимости динамики формирования поля пространственного заряда для предварительно незасвеченного кристалла с параметрами, приведенными в первом столбце Таблицы 2.1, при различных значениях средней интенсивности света, представлены на рис. 2.1. Данные кривые соответствуют режиму, когда кристалл после длительной выдержки в темновых условиях (что соответствует начальным условиям: отсутствие заполненных мелких ловушек М Т = 0 и двукратно ионизированных доноров N2D+ = 0 при / = 0), засвечивается одновременно взаимно когерентными пучками, опорным и сигнальным. При этом одновременно происходит изменение средних значений концентраций (нулевых гармоник) однократно и двукратно ионизированных доноров и мелких ловушек, динамика изменения которых для средней интенсивности 10 =30Вт/м2 иллюстрируется рис. 2.2. В этом случае рост поля пространственного заряда происходит в существенно нестационарных условиях и, как следует из рис. 2.1, носит немонотонный характер. Также при этом монотонно увеличивается концентрация электронов в зоне проводимости (кривая 4 на рис. 2.2), то есть процесс формирования решетки происходит и в условиях нестационарной фотопроводимости.
Характерной особенностью динамики поля пространственного заряда решетки в таких нестационарных условиях (рис. 2.1) является наличие четко выраженного максимума, положение и величина которого зависит от интенсивности света и механизма формирования поля пространственного заряда (диффузионный или дрейфовый). Как можно видеть, сравнивая кривые 1, 2 и 3, амплитуда поля пространственного заряда (как в максимуме, так и в стационарном состоянии) при диффузионном механизме его формирования слабо зависит от средней интенсивности I0.
Временные зависимости зарядовых решетках формирующихся на однократно ионизированных донорах Л 1+(/) (1), двукратно ионизированных донорах Nf+(t) (2), мелких ловушках M\{t) (3), и электронах nx(t) (4) после освещения кристалла взаимнокогерентными пучками сигнала и накачки с общей интенсивностью /0 = 30 Вт І.\ґ Следует отметить, что нестационарная фотопроводимость была указана в качестве причины немонотонности динамики поля пространственного заряда в работе [66]. Таким образом, проведенные расчеты подтверждают, что вывод работ [65,66] об изменении фотопроводимости кристалла как причине немонотонного поведения фоторефрактивного отклика при диффузионном механизме формирования решетки, справедлив и для кристаллов с двукратно ионизируемыми донорными центрами и мелкими ловушками. Приложение дополнительно постоянного внешнего поля увеличивает амплитуду поля пространственного заряда (кривая 4 рис. 2.1). Расчеты показывают, что повышенная амплитуда поля пространственного заряда связана с пространственным сдвигом зарядовых решеток относительно друг друга вдоль оси z под действием приложенного поля, а не с увеличением их абсолютных амплитуд. Основной причиной сдвига решеток является неоднородность тока проводимости, обусловленная пространственной модуляцией проводящих свойств (см. формулу (2.10)). Наличие сдвига иллюстрируется рис. 2.4, на котором изображены мнимые составляющие для первых пространственных гармоник концентраций, соответствующих однократно ионизированным и двукратно ионизированным донорам и мелким ловушкам. Динамика изменения мнимой составляющей при наличии внешнего поля характеризует динамику смещения зарядовых решеток относительно интерференционной картины. Как уже отмечалось выше, на амплитуду первых пространственных гармоник зарядовых решеток приложение внешнего поля заметного влияния не оказывает. -2,5-1019.
При другом способе формирования решеток [65] засветка кристалла сначала осуществляется взаимно некогерентными опорным и сигнальным пучками, что приводит к равномерному по всему объему изменению только средних значений концентраций п0, N 0, N2D+0, и Л/ 0. После восстановления взаимной когерентности пучков под действием неоднородного освещения начинается формирование поля пространственного заряда, при тех же значениях средних концентраций. При этом процесс нарастания поля носит монотонный характер и в кристаллах с двукратно ионизируемыми донорами и мелкими ловушками, что иллюстрируется рис. 2.5. (кривая - 1 в отсутствие внешнего преложенного поля, кривая - 2 в присутствие внешнего поля, «включение» взаимной когерентности происходило в момент времени / = 2000с.).
Фотоиндуцированное поглощение света в кристаллах титаната висмута при двухцветном облучении
Она хорошо описывает и динамику фотоиндуцированного поглощения света в кристалле ВіпТіС Са на длине волны 660 нм. В работе [86 ] представлены результаты исследования роста фотоиндуцированного поглощения света и его релаксации в темновых условиях при освещении кристалла ВІ12ТІО20 узкополосным излучением полупроводниковых светодиодов с длинами волн 660, 570 и 525 нм. Сравнение теоретических кривых с экспериментальными данными, для каждой длинны волны в отдельности, показывает, что они качественно и количественно согласуются друг с другом в рамках рассматриваемой выше модели [43]. Однако для получения количественного соответствия потребовалось увеличивать полную концентрацию донорных и ловушечных центров, с уменьшением длины волны используемого светового излучения. Это приводит к выводу о более сложном энергетическом спектра примесных и дефектных центров в кристаллах титаната висмута, чем в рассматриваемой модели с дискретным энергетическим спектром доноров и ловушек. Кроме того, спектральные зависимости оптического поглощения в видимой области, представленные в работах [78,91], позволяют сделать вывод о том, что энергетический спектр дефектных центров, определяющих поглощение, при комнатных температурах является сплошным. В этом случае используемая модель по сути дела оперирует с некоторыми эффективными уровнями, представляющими усреднение сплошного спектра дефектных центров по интервалу энергий, допускающему их фотоионизацию при используемой единственной длине волны светового излучения. В рамках данной модели определяемые параметры дефектов, такие как их концентрация, сечение фотоионизации, постоянные рекомбинации и термической генерации, также являются усредненными. Для выявления более точных сведений о происходящих в кристаллах силленитов процессах при фотоиндуцированном изменении поглощения, целесообразно изучение динамики фотоиндуцированного поглощения света при использовании излучения на разных длинах волн.
Следует отметить, что в работе [87] для изучения фотоиндуцированных эффектов в кристаллах ВаТЮз- Rh, в том числе и спектральных зависимостей индуцированного поглощения, использовалось узкополосное некогерентное излучение с 17 различными длинами волн. В кристаллах силленитов величина фотоиндуцированного поглощения также зависит от длины волны засветки. Например, при облучении кристалла Bii2Ti02o:Ca,Ga квазимонохроматическим светом с X = 660 нм он просветлялся на этой длине волны, в то время как для X - 570 и 525 нм наблюдалось увеличение поглощения [54]. В монографии [88] сообщается о просветлении первоначально потемневших кристаллов силленитов при их последовательном облучении светом с длинами волн X, 540 нм и А, 540 нм.
В данном подразделе представлены результаты исследования динамики фотоиндуцированного поглощения света в легированных кальцием кристаллах титаната висмута (Ві ТіСЬоіСа) при их облучении квазимонохроматическим светом полупроводниковых светодиодов на двух длинах волн из набора X = 870, 660 и 525 нм [82 ]. На основе анализа экспериментальных данных предложена модель перезарядки дефектных центров, описывающая наблюдаемые эффекты [82].
Эксперименты проводились на двух монокристаллических образцах віІ2тю20:Са, выращенных в ИОНХ им. Н.С. Курнакова РАН в исследовательской группе д.х.н. Ю.Ф. Каргина методом из раствора в расплаве ВІ2О3 при условиях, описанных выше в п. 3.1.1. Оба кристалла имели хорошее оптическое качество, полированные грани (100) и толщину d = 1,5 (образец №1) и d = s,9 мм (образец №2). В экспериментальной установке, схематически изображенной на рис.3.5, светодиоды LD1 и LD2, излучающие свет на двух разных длинах волн, благодаря полупрозрачному зеркалу Ml и затворам Scl и Sc2 могли засвечивать исследуемый кристалл как одновременно, так и по отдельности. Собирающая линза L1 использовалась для проецирования излучения от данных светодиодов на одну и ту же область образца ВІ,2ТЮ20 : са. Линза L2 проецировала прошедший свет на фотодиод PD1. Контроль мощности излучения, используемого для определения поглощения на соответствующей длине волны, осуществлялся с помощью фотодиода PD2. При одновременной засветке кристалла на двух длинах волн отсечка излучения, не используемого для измерения изменений в поглощении, проводилась с помощью соответствующих светофильтров F1 и F2.
Двухканальная компьютерная система обработки данных PC имела характеристики, описанные выше в п. 3.1.1. Все эксперименты проводились в отсутствие внешнего освещения, а в промежутках между ними кристаллы выдерживались в темноте не менее 72 часов для релаксации поглощения к исходному состоянию. Изменением тока через светодиоды интенсивности на входной грани кристалла могли регулироваться в пределах от 1 до 100 мВт/см для инфракрасного излучения с длиной волны X = 870 нм; от 0,2 до 60 мВт/см для красного (660 нм) и от 0,1 до 10 мВт/см для зеленого света (525 нм).
Эксперименты по определению исходных (до облучения) коэффициентов поглощения показали, что для обоих образцов на длинах волн X = 870 и 660 нм они находятся в пределах точности измерения и могут быть оценены соответственно как аю 0,1 см 1 и OCRO 0,1 см 1. Исходные значения коэффициентов поглощения, измеренных для образца №1 на длинах волн X = 570 и 525 нм, составляли ауо= 0,53 см 1 и асо = 9,3 см"1, соответственно.
В данном п. 3.2.2 приведены результаты экспериментов, целью которых являлась проверка предположения о наличие в кристаллах титаната висмута мелких ловушек, то есть примесных центров или дефектов, уровни которых находятся вблизи дна зоны проводимости, и способных захватывать электроны и удерживать их некоторое время. В используемой выше модели предполагалось, что эти центры имеют большое значение сечения фотоионизации, и их заселение обуславливает фотоиндуцированное увеличение поглощения света (см, п.п. 1.2.4). Соответственно их опустошение должно приводить к значительному просветлению кристалла. Чтобы опустошить мелкие ловушки, необходимо использовать источник излучения с длиной волны, соответствующей фотовозбуждению только с соответствующего им уровня, и не позволяющий фотоионизировать глубокие донорные центры, участвующие в процессах перезарядки на красном свете. Данным требованиям удовлетворяет, в частности, инфракрасное излучение ближнего ИК диапазона.
Анизотропия вкладов внутримодовых и межмодовых процессов во встречное взаимодействие
Входящие в уравнения (4.9)-(4.12) коэффициенты g,, gE и ga определяют эффективность и поляризационные характеристики взаимодействия волн сигнала и накачки на отражательной решетке. В связи этим в данном подразделе проведен подробный анализ вкладов межмодовых и внутримодовых процессов во взаимодействие волн в кристалле титаната висмута в зависимости от ориентации вектора решетки К в кристаллографической системе координат [97 ]. Здесь же представлены результаты расчетов коэффициентов связи, определяющих этот вклад, для фоторефрактивных кубических кристаллов силиката висмута (BSO), германата висмута (BGO) и арсенида галлия (GaAs).
Абсорбционная решетка дает вклад в межмодовый процесс двухпучковой связи, происходящий с изменением собственного показателя преломления. Характеризующий этот вклад коэффициент ga является действительной величиной, не зависящей от ориентации вектора решетки К относительно кристаллографической системы координат. Анизотропия электрооптического эффекта и вторичного фотоупругого вклада (см. (4.8)) приводят к ориентационной зависимости другого действительного коэффициента, gE, дающего вклад в межмодовые процессы. Для ее анализа определим ориентацию оси х, с которой совпадает вектор К принятой нами системы координат xyz (рис. 4.1) относительно кристаллографических осей [001] и [100], сферическими координатными углами р и а (рис. 4.2). Будем считать, что ось z всегда лежит в плоскости (001), а ось у ориентирована в плоскости, проходящей через вектор решетки К и направление [001] .
Рассчитанные для кристалла титаната висмута зависимости gE от ориентационного угла Р при некоторых постоянных углах а, представленные на рис. 4.3, а, с учетом симметрии кристалла полностью отражают анизотропию этого коэффициента. Отсюда следует, что при ориентации вектора отражательной решетки в кристаллографических плоскостях типа {100} (то есть (100), (010) и (001)) вклад ее фазовой (фоторефрактивной) составляющей в межмодовые процессы отсутствует. Максимальных значений этот вклад достигает при ориентациях вектора К в плоскостях типа {ПО}, вдоль кристаллографических направлений вида 111 . Анизотропия коэффициента gj =g/exp(/ 7), дающего вклад во внутримодовые процессы и в общем случае являющегося комплексным, иллюстрируется рис. 4.3, б и 4.3, в, где представлены ориентационные зависимости его модуля и аргумента для кристалла титаната висмута. Модуль коэффициента g, достигает максимума при ориентации вектора решетки вдоль кристаллографических направлений вида 100 (рис. 4.3, б). В этом случае связь взаимодействующих на отражательной решетке встречных волн, обусловленная ее фоторефрактивной компонентой, осуществляется только за счет внутримодовых процессов (g; = l, gE=0).
При ориентации вектора К вдоль направлений вида 111 вклад этой компоненты во внутримодовые процессы отсутствует, в то время как коэффициент межмодовой связи принимает экстремальные значения (gE = ±0.266, см. рис. 4.3, а). Отметим, что фазовая составляющая отражательной решетки не приводит к взаимодействию волн при ориентации вектора К вдоль кристаллографических направлений вида 110 (g; = 0, gE =0). Для такого среза кубического фоторефрактивного кристалла встречное взаимодействие возможно только на амплитудной (абсорбционной) компоненте отражательной решетки.
Модуль коэффициента g, определяется только ориентацией оси х, которая совпадает с направлением вектора решетки К, и не зависит от ориентации осей у и z относительно кристаллографической системы координат (рис. 4.2). Однако аргумент рг коэффициента g, инвариантностью к выбору осей у и z не обладает, поскольку фазы входящих в уравнения комплексных амплитуд собственных волн, характеризующих их поляризационное состояние, также зависят от ориентации этих осей. Приведенные на рис. 4.3, в ориентационные зависимости отражают поведение аргумента коэффициента g, для выбранной (рис. 4.2) системы координат xyz. В этом случае коэффициент g, является чисто мнимым при векторе отражательной решетки, ориентированном в кристаллографических плоскостях типа {100}, и чисто вещественным для плоскостей типа .
