Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор способов оперативного прогноза цунами 17
1.1. Сейсмологический способ 17
1.2. Представления о механизме возбуждения цунами 18
1.3. Прямые численные расчеты 19
1.4. Применение уровенных измерений при оперативном прогнозе цунами 20
1.5. Способ расчета цунами на основе решения обратной задачи определения источника цунами 25
1.6. Рациональная расстановка станций наблюдения за уровнем моря 25
Глава 2. Принцип взаимности для волн цунами 27
2.1. Соотношения взаимности для волн цунами 27
2.1.1. Скалярное соотношение взаимности 27
2.1.2. Соотношение взаимности для массовых скоростей 32
2.1.3. Второе приближение соотношения взаимности 33
2.2. Предварительный анализ соотношений взаимности 34
2.3. Анализ соотношения взаимности с применением аналитических решений 36
2.3.1. Постановка задачи 36
2.3.2. Решение 37
2.3.3. Анализ соотношения взаимности с помощью асимптотического решения 40
2.4. Проверка соотношения взаимности на численных моделях. 42
2.4.1. Модельный бассейн 42
2.4.2. Область с реальной батиметрией 44
Выводы 47
Глава 3. Способ оперативного прогноза цунами 48
3.1. Применение принципа взаимности для расчета цунами 48
3.2. Анализ расчетного соотношения 51
3.3. Проверка расчетного соотношения с использованием аналитического решения 53
3.4. Вывод расчетного соотношения с учетом несимметричности источника 54
3.5. Применимость способа расчета цунами к другим задачам 57
Выводы 57
Глава 4. Обратное преобразование Лапласа основного расчетного соотношения 59
4.1. Способы обратного преобразования Лапласа 59
4.2. Обратное преобразование для простых случаев 61
4.3. Анализ знаменателя основного расчетного соотношения для моделей с реальной батиметрией 64
4.4. Эмпирический способ обратного преобразования Лапласа -способ «вытеснения» полюсов 65
4.5. Способ обратного преобразования Лапласа с помощью решения плохо обусловленной системы линейных уравнений 69
Выводы 71
Глава 5. Численное моделирование прогностического расчета цунами в оперативном режиме 72
5.1. Численные модели 72
5.2. Численное моделирование 76
5.2.1. Тестирование комплекса программ 76
5.2.2. Тестовые расчеты 76
5.2.3. Зависимость качества прогноза от радиуса вспомогательного источника 78
5.2.4. Осесимметричные источники цунами 81
5.2.5. Эллиптические в плане источники цунами 88
5.2.6. Источники цунами сложной формы 92
5.2.7. Источники цунами дипольного типа 93
5.2.8. Моделирование цунами в Японском море 95
5.2.9. Сравнение двух способов обращения преобразования Лапласа 97
5.3. Влияние ошибок определения координат эпицентра землетрясения на результаты расчетов 98
5.4. Расчет цунами в реальном времени 101
Выводы 103
Заключение 105
Список литературы 111
- Представления о механизме возбуждения цунами
- Соотношение взаимности для массовых скоростей
- Проверка расчетного соотношения с использованием аналитического решения
- Обратное преобразование для простых случаев
Введение к работе
Актуальность. Работа выполнена в рамках фундаментальной проблемы цунами.
В целом проблема цунами как комплексная представляет собой совокупность трех основных составляющих: проблемы долгосрочного прогноза, проблемы механизма возбуждения цунами в очаге, проблемы краткосрочного (оперативного) прогноза.
Первая из перечисленных составляющих объединяет задачи долгосрочного прогноза и цунамираионирования. Определяется вероятность, или частота, возникновения (проявления) цунами заданной интенсивности (высоты) в определенном пункте или на заданном участке побережья на длительный (100, 1000 лет) срок, а также дальность затопления в зависимости от рельефа. Результаты решения этих задач используются в официальных Строительных нормах и правилах, соблюдение которых обязательно при проектировании и строительстве жилья, объектов культурного, промышленного и хозяйственного назначения в прибрежной зоне.
Вторая составляющая в настоящее время носит скорее чисто научный характер. Вопрос о механизме передачи возмущений океанического дна возмущениям слоя морской воды, в том числе возмущениям свободной поверхности, не находит пока однозначного ответа. Имеют место различные точки зрения на причину цунами. Теоретические (численные) решения этих задач, к сожалению, не находят прямого фактического подтверждения из-за отсутствия наблюдений в очаге цунами.
При решении эта вторая проблема цунами (задача об источнике) могла бы способствовать решению третьей проблемы - проблемы
краткосрочного прогноза. Наличие данных о сейсмическом процессе в очаге землетрясения и знание механизма возбуждения поверхностных волн позволило бы выполнить прямой расчет цунами в любой заданной точке побережья. Для этого разработаны численные схемы и алгоритмы, реализованные в действующих комплексах программ, позволяющие выполнять расчет цунами от очага до наката волн на берег. Однако получение подробной сейсмологической информации о землетрясении в оперативном режиме затруднительно.
Поэтому в рамках третьей составляющей проблемы цунами ставится задача предупреждения о цунами, которая не опиралась бы на детальную информацию об очаге землетрясения.
Несмотря на редкую повторяемость цунами, представляющих опасность, (для Курильских островов - примерно один раз в 10 лет), в странах тихоокеанского побережья действуют круглосуточные службы предупреждения о цунами, объединенные в единую сеть, в задачи которых входит обмен информацией, оповещение о цунами, подача тревоги цунами в районах или пунктах, в которых возможно проявление цунами.
Как правило, отправной точкой для выработки предупреждения о цунами в настоящее время является получение информации от сейсмологической подсистемы службы цунами о подводном землетрясении в зоне ее ответственности с магнитудои, превышающей некоторое пороговое значение. Имеют место случаи ложных тревог, когда, несмотря на землетрясение с магнитудои выше пороговой, амплитуда волн цунами крайне незначительна.
При объявлении тревоги в населенных пунктах, в которых возможно цунами, прекращается работа предприятий, расположенных в
7 непосредственной близости от моря, стоящие у причалов или на рейде суда выходят в открытое море, население эвакуируется в безопасные места, зачастую глубокой ночью.
В разных случаях ущерб от события, сопровождающегося тревогой цунами, различен, как количественно, так и качественно.
В случаях оправдавшейся тревоги ущерб проявляется в виде неизбежных потерь: повреждений, разрушений зданий, сооружений, оборудования, находящихся в зоне воздействия цунами.
В редких случаях пропусков цунами к этим; потерям могут добавиться потери в виде повреждений, затоплений судов, находящихся у причалов или на ближнем рейде, а также человеческие жертвы.
Случаи ложных тревог также сопровождаются ущербом. Неизбежные потери при этом отсутствуют, но возникают косвенные потери, связанные с остановкой производства прибрежных предприятий, экстренным выходом судов в открытое море, и нематериальные потери, обусловленные созданием неоправданной стрессовой ситуации для населения [34].
Ущерб от ложной тревоги значительно меньше ущерба от состоявшегося цунами. Однако ввиду большого числа ложных тревог итоговые потери от них сравнимы с ущербом от цунами.
Сахалинская система предупреждения о цунами состоит из двух подсистем. Сейсмологическая подсистема, сейсмостанция Южно-Сахалинск, находится в подчинении Геофизической службы РАН, в ее задачи входит получение информации о землетрясении: координат эпицентра, глубины гипоцентра, магнитуды, механизма. На основании этого принимается решение об объявлении тревоги цунами, сообщение рассылается в штаб ГО и ЧС, Центральный телеграф, Центр цунами, другие службы в соответствии с регламентом.
Гидрофизическая подсистема объединяется Сахалинским Центром цунами, входящим в состав Сахалинского управления по
гидрометеорологии и контролю природной среды. В задачи гидрофизической подсистемы входит подтверждение тревоги или объявление тревоги цунами в случаях, когда сейсмологическая подсистема не в состоянии объявить эту тревогу. В состав гидрофизической подсистемы входят стационарные измерители уровня (традиционные мареографы с самописцами и гидрофизические комплексы, передающие информацию по спутниковым каналам связи), посты визуальных наблюдений за уровнем на прибрежных гидрометеорологических станциях, в портах.
Принятие решения о тревоге опирается на принципы, выработанные в середине прошлого века. При регистрации землетрясения с магнитудой, превышающей некоторое пороговое значение, произошедшего под морским (океаническим) дном, объявляется тревога по близлежащим районам. Например, во время Шикотанского землетрясения (магнитуда М=8.1) и цунами 1994 г. была объявлена тревога цунами в Южно-Курильском и Курильском районах. Охваченная тревогой область имела протяженность около 500-600 км. При этом тревога цунами не сопровождалась никакой другой информацией: ни об ожидаемом времени прихода цунами, ни о характере или величине волн, ни об ожидаемом времени окончания цунами (отбое тревоги). Фактически в результате землетрясения 1994 г. воздействию цунами подверглось побережья островов Кунашир, Шикотан, Итуруп, Хоккайдо. Так, в пос. Южно-Курильск произошло затопление территории на расстоянии до 800 м вглубь суши, сопровождавшееся разрушениями, затоплением и выбросом судов на берег. Другие места побережья России, подвергшегося воздействию этого цунами, не населены, поэтому подробные данные о проявлении цунами собирались позднее при проведении обследования. На побережье Курильского района (о. Итуруп) цунами было менее значительным (высоты затопления не превосходили 2.4 м при глубине
9 проникновения до 70 м, лишь в пос. Сентябрьский эти высоты достигли 3 м) [42,48].
Аналогичная по тревоге ситуация имела место 26 сентября 2003 г. во время Хоккайдского землетрясения (М=8) и цунами. Была объявлена тревога цунами в Южно-Курильском и Курильском районах, несколько позднее - в Северо-Курильском районе, а также на Камчатке. Протяженность территории, охваченной тревогой цунами, составляла около 1500 км. Тревога была объявлена по магнитудному критерию. Основанием для объявления тревоги было превышение порогового значения магнитуды землетрясения. Фактически в бухте Южно-Курильская (на юге, вблизи Горячего Пляжа) зафиксирована высота цунами около 0.5 м, а в Южно-Курильске (на севере бухты, на расстоянии около 6 км от Горячего Пляжа) мареограф показал высоту волны 0.13 м. На Шикотане колебания уровня, продолжавшиеся около 12 часов, имели амплитуду 50-70 сантиметров. В Курильском и Северо-Курильском районах и на Камчатке цунами не наблюдалось.
Для оценки качества работы службы предупреждения о цунами в целом и отдельно по подсистемам, сейсмологической и гидрофизической, можно применить критерии, принятые в Гидрометслужбе для предупреждения о стихийном бедствии. Ими являются: оправдываемость стихийного бедствия, т.е. отношение числа оправдавшихся предупреждений к общему количеству предупреждений, и степень предупрежденности — отношение количества предусмотренных предупреждений к общему количеству наблюдавшихся бедствий. Чем выше эти показатели, тем эффективнее работает служба.
За период действия службы предупреждения о цунами с 1958 по 1994 гг. показатели работы подсистем и службы в целом приведены в таблице 1.
Таблица 1
Данные в таблице приведены без подразделения цунами на сильные, умеренные и слабые.
В следующей таблице приведены данные за последнее десятилетие того же периода, которые показывают ухудшение качества работы службы предупреждения о цунами.
Таблица 2
Причины ухудшения эффективности работы службы предупреждения о цунами, а также предложения по улучшению работы, основанные на традиционном подходе, подробно изложены в [34]
Получаемая информация о землетрясении в настоящее время не позволяет в оперативном режиме выполнить достаточно точный и подробный прогноз. Поэтому совершенствование оперативного прогноза является актуальной задачей для всех действующих служб.
Цунами относится к стихийным бедствиям, для которых возможно заблаговременное получение информации о степени опасности и объявление тревоги (оперативный, или краткосрочный, прогноз).
Улучшить прогноз цунами могло бы использование информации о сформировавшемся цунами, полученной в результате измерения уровня моря в некоторых удаленных от побережья точках, по возможности приближенных к зоне потенциальных очагов цунами. Эта идея высказана С.Л. Соловьевым в 1968 г. [43], но до сих пор остается не реализованной в России.
Отчасти причиной этого является постоянная нехватка средств. Но в большей степени, по мнению автора, невостребованность уровенных измерений обусловлена дефицитом идей по использованию этой информации. Интерес к уровенным данным в России и других странах вновь проявился, начиная с середины 90-х годов, с появлением новых идей. Первые работы, в которых описываются различные способы применения данных об уровне моря в удаленных точках, опубликованы авторами: Chung J.Y., Kim S.D., Ivanov V.V. (1995) [52], Korolyov Yu., Poplavsky A. (1995) [55], Whitmore P.M., Sokolowsky T.J. (1996) [69], Храмушин B.H., Поплавский А.А. (1997) [47], Voronina T.A., Tcheverda V.A. (1998) [65], Авдеев A.B., Горюнов Э.В., Лаврентьев М.М.-мл., (2001) [1], Chubarov, L.B., Shokin, Yu.L, Simonov, K.V., (2001) [51], Gonzalez F.I, Titov V.V., Avdeev A.V., Bezhaev A.Yu., Lavrentiev M.M.-jr, Marchuk An.G., (2003) [53].
Результаты этих работ в различной степени востребованы и применяются в работе служб цунами США, России, Японии, Республики Корея. Подробно способы, опубликованные в этих работах, рассмотрены в главе 1 «Обзор способов оперативного прогноза цунами ».
Современное состояние оперативного прогноза показывает, что эта задача еще не полностью решена и является актуальной как для России, так и для других стран Тихоокеанского региона.
Приведенные ниже требования являются ориентиром для решения задачи оперативного прогноза цунами.
Проблема оперативного прогноза цунами заключается в том, чтобы служба предупреждения объявляла не только обоснованные общие тревоги, но и дифференцированные по степени опасности для конкретных участков побережий. Идеально объявление тревоги цунами, как и для любого стихийного бедствия, должно сопровождаться информацией в каждый населенный пункт (любой пункт на побережье, где находятся люди) о времени прихода первой волны, о высотах волн, их количестве и интервалах времени между ними и об ожидаемом времени окончания цунами (отбой тревоги цунами).
Известное время прихода цунами позволит населению без паники покинуть жилища и эвакуироваться в безопасные места, предприятиям организованно прекратить работу и эвакуировать персонал, судам без излишней спешки выйти в открытое море.
Информация о высотах волн и интервала времени между ними позволит аварийно-спасательным службам при необходимости выполнить экстренные спасательные, аварийные работы.
Знание предполагаемого времени окончания цунами позволит понизить уровень стресса у населения, который повышается в условиях неопределенности.
13 Ниже под расчетом цунами понимается расчет формы цунами -основных характеристик и параметров: высот волн, их количества, интервалов времени между ними и общей продолжительности цунами.
Цель и задачи работы. Целью настоящей работы являлся поиск путей использования информации об уровне в некоторых точках для решения задачи расчета цунами в заданных точках побережья, исходя из представлений о прогнозе стихийных бедствий и с позиций служб предупреждения о цунами. При этом предполагается использование минимальной сейсмологической информации и данных об измерении уровня моря в удаленных точках, получаемых в оперативном режиме, с учетом заблаговременности объявления тревоги. Результаты таких расчетов должны быть основанием для объявления (подтверждения) тревоги цунами, дифференцированной по отдельным участкам (пунктам) побережья, и ее отмены. Расчеты должны по возможности давать дополнительную информацию о количественном проявлении цунами: высотах волн, их количестве и интервалах между ними, а также об ожидаемом времени окончания цунами (отбое тревоги).
Для достижения поставленной цели решались следующие задачи: обоснование применимости принципа взаимности для нестационарных волн - цунами;
разработка способа расчета цунами на основе полученного соотношения взаимности для нестационарных волн с использованием информации об уровне моря в удаленных точках, который может быть применен службой предупреждения о цунами в оперативных условиях;
разработка эмпирического способа обратного преобразования Лапласа;
численное моделирование для проверки решений поставленных задач в широком диапазоне изменения параметров очага цунами,
14 моделирование алгоритма функционирования службы предупреждения о цунами;
- анализ качества прогноза цунами предлагаемым способом в
зависимости от ошибок определения координат эпицентра
землетрясения;
- обоснование применимости предлагаемого способа для прогноза
цунами в реальном времени.
Объект и предмет исследований. Объектом исследований является стихийное бедствие - цунами.
Исследуется возможность расчета формы цунами вблизи побережья по данным о форме этой волны, получаемым в точке, достаточно удаленной от берегов.
В круг рассмотрения входят не все цунами. Исследуются цунами, распространяющиеся вблизи побережий, для которых возможна выработка заблаговременного предупреждения с наиболее полной информацией об ожидаемом цунами. Случаи близких землетрясений, времена пробега цунами от которых составляют несколько минут, не рассматриваются. За объявление тревоги в этих случаях отвечает сейсмологическая подсистема службы предупреждения о цунами. Не рассматриваются также случаи дальних (трансокеанических) цунами. Принятие решения об объявлении тревоги в этих случаях основывается на информации служб предупреждения о цунами других стран, расположенных ближе к очагу.
Методы исследования. В задачах настоящей работы применяется модель длинных волн на мелкой воде, хорошо описывающая распространение и трансформацию волн типа цунами.
Применены аналитические методы функций Грина решения задач математической физики.
Применен аналитический вывод соотношения для расчета цунами с использованием данных наблюдений за уровнем моря и аналитический анализ особенностей источников цунами и соотношений.
Аналитически (асимптотически) решена задача распространения длинных волн в акватории с простой батиметрией — пример, показывающий справедливость как соотношения взаимности, так и расчетного соотношения, - и установлены границы применимости предложенного способа расчета цунами.
Применены численные методы обратного преобразования Лапласа. Предложен эмпирический быстродействующий способ обратного преобразования Лапласа. Метод решения плохо обусловленной системы линейных уравнений адаптирован к численному обратному преобразованию Лапласа применительно к поставленной задаче.
Численное моделирование применено для проверки предложенного способа в различных условиях и режимах.
Защищаемые положения.
Принцип и соотношение взаимности для нестационарных волн справедливы не только для точечных, но и для протяженных источников, а также при расстояниях между источниками и приемниками, сравнимых с характерными размерами источников.
Предложен способ расчета цунами вблизи заданного участка побережья по данным об уровне моря в удаленной точке на основе принципа взаимности для нестационарных волн, который может рассматриваться как составная часть оперативного прогноза.
Разработан эмпирический, простой в практическом применении, способ численного обратного преобразования Лапласа (Фурье).
- Предложенный способ прогноза цунами, проверенный в
численных экспериментах, применим к расчету цунами от возмущений
достаточно произвольных форм в реальном времени, т.е. по мере
поступления информации от удаленного мареографа.
- Способ оперативного прогноза цунами, предложенный в работе,
позволяет не просто оценивать степень опасности цунами, но и давать
более детальную информацию о цунами: время прихода, количество
волн, интервал времени между ними и время отбоя тревоги. Способ
может быть применен в работе как региональных, так и локальных
служб предупреждения о цунами, для прогноза цунами в Курило-
Камчатском регионе и в Японском море.
Представления о механизме возбуждения цунами
Задачи возбуждения цунами решались большим количеством авторов. Одним из предполагаемых механизмов возбуждения цунами подводным землетрясением является так называемый поршневой механизм. Волны на поверхности жидкости возникают в результате вертикальных движений участка дна, однородных или неоднородных в пределах области подвижки, с остаточными смещениями. Одной из первых работ, посвященных этой задаче, является работа Ю.Л. Газаряна [8]. Задача о возбуждении поверхностных волн подвижкой дна бассейна в результате возмущений в толще подстилающего упругого полупространства решалась Г. С. Подъяпольским [38], В.К. Гусяковым [10]. Детальное исследование эффективности возбуждения цунами в результате подводного землетрясения, с различными механизмами подвижек дна (взброс, надвиг и т.д.) проведено В.К. Гусяковым и Л.Б. Чубаровым [12]. «Мембранный» механизм отличается от поршневого тем, что остаточные смещения дна отсутствуют. Сравнительный анализ эффективности этих механизмов выполнен С.Ф. Доценко и С.Л. Соловьевым [14].
Сжимаемость воды в задаче о возбуждении поверхностных волн движениями участка дна бассейна учитывалась, например, Сэллзом [59]. Дополнительное влияние на возбуждение цунами могут оказывать нелинейные эффекты, описываемые конвективными членами уравнений Эйлера. Эта возможность исследована, например, Л.В. Новиковой и Л.А. Островским [31], М.А. Носовым [32, 33].
Несейсмический механизм возбуждения цунами (подводные оползни, извержения подводных вулканов) исследовался рядом авторов. Обзоры работ, посвященных возбуждению цунами различными механизмами как сейсмического, так и несейсмического происхождения сделаны Е.Н. Пелиновским [37], В.К. Гусяковым [11]. 1.3. Прямые численные расчеты.
Отсутствие надежных средств прогноза цунами определило одно из направлений в изучении этого явления — численные эксперименты. Разработаны комплексы программ, позволяющие рассчитывать распространение цунами от заданного возмущения при реальной топографии дна. Отсутствие сведений о процессах в очаге цунами обусловило проведение численных экспериментов по анализу эффективности возбуждения цунами подвижками дна океана при различных механизмах землетрясений (взброс, надвиг и т.п., и их комбинации). Анализировались зависимости амплитуды и характерных периодов цунами от различных механизмов землетрясений.
В разное время эти задачи решались А.С. Алексеевым, В.К. Гусяковым, Ан.Г. Марчуком, Л.Б. Чубаровым, К.В. Симоновым, В.Н. Храмушиным, Ю.И. Шокиным [2, 7, 12, 29, 47, 49] в России; В.В. Титовым, Ф. Гонзалесом и др. в США [62]; Е. Цудзи, Н. Шуто и др. в Японии [60, 63].
Значение этих работ трудно переоценить. Во-первых, в этих работах отрабатывались методы численных расчетов. Во-вторых, расчеты от различных типов подвижек позволили понять механизм возбуждения цунами в зависимости от сейсмологических особенностей в очаге.
Прямой расчет цунами на основе результатов моделирования мог бы быть эффективным средством для оценки цунами. Однако набор данных, необходимых для качественного расчета, в оперативных условиях получить не удается. Даже при известных параметрах землетрясения сложно определить возмущение, приводящее к цунами, т.к. механизм передачи энергии землетрясения поверхностным волнам на воде не изучен. Поэтому в качестве возмущения, как правило, принимается начальное возвышение водной поверхности, как некоторое возмущение, эквивалентное суммарному действию всех возможных механизмов.
Япония относится к регионам, для которых времена пробега цунами от источника до берега, как правило, достаточно малы. Поэтому Японское метеорологическое агентство (ЯМА) опирается на сейсмологическую информацию. В настоящее время ввиду недостаточной эффективности сейсмологического метода в ЯМА развивается новый метод оперативного предупреждения о цунами, использующий расчетные данные. Способ представляет собой пример применения прямого расчета цунами. Поскольку полная сейсмологическая информация в оперативном режиме не доступна, проведено предварительное численное моделирование цунами от большого количества вариантов возможных землетрясений различных магнитуд и механизмов. Эпицентры возможных землетрясений располагались в узлах сетки с размерами 1x1 градус в цунамигенных зонах окрестности Японии. В случае возникновения землетрясения с эпицентром, координаты которого, магнитуда, глубина гипоцентра и глубина воды в эпицентре совпадают с имеющимися: в базе данных, результат соответствующего расчета принимается за ожидаемое цунами. При несовпадении каких-либо параметров с имеющимися цунами рассчитывается как некоторое взвешенное среднее расчетных случаев с близкими параметрами .
Соотношение взаимности для массовых скоростей
Для массовых скоростей жидкости также справедлив принцип взаимности. Вывод соотношения взаимности, являющегося математическим выражением принципа взаимности, основан на системе (2) с начальными и граничными условиями (3), (4).
Из преобразованной системы (5) исключается функция уровня C(s,x,y) и выводится волновое уравнение для П. В дальнейшем аргументы функций не указываются. Подразумевается, что все функции, имеют аргументы s, х и у, а функции, отмеченные индексом 0 и глубина бассейна D имеют аргументы д:, у.
Для волны, источник которой находится в области ST, уравнение для массовой скоростиs2it - gV(V (Da)) = -gV ;Q + gsVf + sUQ.
Для массовой скорости #, обусловленной возмущением в области 5 , выводится аналогичное уравнение с той разницей, что возмущение задается только начальным возвышением свободной поверхности rj0(x,y) s2rt-gV(V-(m)) = -gVT?0
Умножение первого из двух последних уравнений на Dw, второго — на DU и вычитание одного результата из другого даетsDт ($-(т))-т-(р-(ш))=т У -зЕ№ У/— -а0-ш- т70.g
Переход в левой части равенства к дивергентной форме преобразует равенство к следующему: sD g Интегрирование полученного уравнения по площади, переход в левой части к интегралу по границам показывает, что в силу граничных условий (4) левая часть обращается в 0. Оставшиеся, не обращающиеся в нуль, интегралы по областям ST И SA составляют следующее равенство:ST g SA
В предположении, что расстояние между точками А и Т много больше характерных размеров областей возмущений или длин излучаемых волн, это соотношение может быть записано в виде, аналогичном (9):W(s,T)-MT(s)= a(s,A)-&A(s), (10)где MT(s)= l\D(VCo-s f--n0)dS,sT 8MA(S)=lJDVr?0dS.SA
Это соотношение представляет собой векторное соотношение взаимности для нестационарных волн.
2.1.3. Второе приближение соотношения взаимности.
Из вывода соотношения (9) очевидно, что оно справедливо, если величины (функции) QT(S), QA(S) отличны от нуля. Представляет интерес соотношение взаимности в случаях, когда какая-либо из этих функций равна нулю. Для источника цунами это возможно в случае подвижки дна типа «взброс - сброс», т.е. сочетающей одновременные (в течение короткого времени) движения части дна вверх, части - вниз. При этом объемы смещений в положительном и отрицательном направлениях одинаковы.
Применить приближение удаленности источников друг от друга и вынести функции 7 и С за знак интеграла в (8), не возможно, если хотя бы один из интегралов от возмущений по площади очага равен 0. Пусть [plods 0. В выведенном ранее соотношении (8)S, JJT7«0 - s2f - V (DH0))dS = jjCs??0dSsT sA необходимо разложить функцию t] в левом интеграле в ряд по х и у вблизи эпицентра Т [28]. Вынесение значений этой функции и ее производных за знак интеграла в приближении больших расстояний между источниками дает ПА СП jJ«o - V (»„ ))dS +Ц±1Т jfa0 -s2f-V.(Dit0))(x-xT)dS + f-/T \\{sQ -s2f-V- (DU0))(y - yT)dS = T(A)SJst]QdSПосле очевидных обозначений полученное соотношение переходит в следующее AT)-QT+ -/TNrx+ -/TNTy=CT(A)-QA. (11)
Полученное выражение представляет собой соотношение взаимности в случае, когда одно из возмущений может иметь особенность типа дипольной, т.е. функция QT может быть равна 0. Возмущения с особенностью более высокого порядка, как, например, источник типа взрыва, для которого QT, а также NTX И Njy равны нулю, не рассматриваются. Как и прежде, все входящие в это соотношение функции являются образами Лапласа [34].
2.2. Предварительный анализ соотношений взаимности.
Выведенные соотношения (9), (10), (11), как это следует из алгоритма, справедливы для линейных процессов, в неоднородных средах (над неровным дном), при наличии отражающих, поглощающих, а также импедансных (сочетающих частичное отражение и поглощение) границ. При выводе (9) учитывались конечные размеры областей возмущений. Однако интегральная форма соотношений, обусловленная примененным приближением удаленности источников, скрывает особенности форм возмущений. Очевидно, что форма возмущений в плане определяет направленность излучения из очага. Кроме того, ориентация источника относительно изобат также влияет на направленность излучения. Но и для аксиально симметричных источников неоднородность дна влияет на направленность излучения. Если оба возмущения являются 5-функциями по координатам, то соотношение (9) выполняется точно.
Алгоритм вывода соотношений взаимности в целом повторяет алгоритм метода функций Грина. Если одно из возмущений, например, г]о в области SA заменить J-функцией: ц0(х, У)=УАО (Х-ХА)3(У-УА) в точке А, то из (7) следует $(s,A) = — jjrj(s,x,y)[sC0 (х,у) - s2f(s,x,y) - V (DU0 (x,y)]dS. АО ST
В этом выражении t](s, х, у) является функцией Грина для задачи (2) -(4), a (s, А) - точным ее решением.
Проверка расчетного соотношения с использованием аналитического решения
Справедливость основного расчетного соотношения (4) может быть подтверждена с использованием аналитического решения, представленного в п. 2.3.2. Ввиду громоздкости выкладок в настоящем пункте они не приводятся. Анализ, аналогичный проведенному в п. 2.3.3, показывает, что соотношение (4) выполняется точно, если источник цунами и вспомогательный источник обладают аксиальной симметрией. При этом не существенно, имеют ли источник цунами и вспомогательный одинаковый характер и подобные формы возмущений. 3.4. Вывод расчетного соотношения с учетом несимметричности источника.
Из вывода соотношения взаимности (2.9) видно, что оно не справедливо, если хотя бы одна из функций QT(S) или QA(S) равна нулю. Кроме того, соотношения (2.9) и (4) справедливы, если возмущения обладают аксиальной симметрией. Представляет интерес выяснить, как следует изменить расчетное соотношение для того, чтобы оно было справедливо для источников цунами дипольного типа, а также для асимметричных источников.
В случае, когда источник цунами таков, что QT=0, а также для сложной в плане формы очага в интеграле по ST функцию Грина следует разложить в ряд Тейлора вблизи эпицентра Г:ох оуТогда GA(s,T) \(-s2f(S,x,y) + s0{x,y) - V (D(x,y)u0(x,y)))dS + ST + dGfJ) f(-s2f(s,x,y) + C0(x,y) - V (D(x,y)n0(x,y)))(x - xT)dS + OX ST + 8G 5j) S(-S2f(s,x,y) + s0(x y)-? D(Xiy)a0(x,y)))(y-yT)dS = 8y sT A= s(Xs,A)Q.
После обозначения интегралов через QT, Njx и Иту, соответственно, это соотношение может быть переписано в более компактной форме [34]: GA(S,T)QT+ G AX(S,T)NTX + G Ay(s,T)NTy = S (S,A)QA- (6)
По сравнению с (2.9) здесь появились две новые неизвестные Л и NTy. Для исключения неизвестных можно поступить так же, как в случае одной неизвестной. Соотношения, подобные (6), можно вывести также для точек M,NaL,B которых находятся мареографы: GM(s,T)QT+ G MX(S,T)NTX + G My(s,T)NTy = sC(s,M)qM (7) GN(s, T)QT + G Nx(s, T)NTx + G Ny(s, T)NTy = sC(s,N)qN (8) GL(s, T)QT + G Us, VNTx + G Ly(s, T)NTy = sC(s,L)qL (9) Для исключения неизвестных из полученных уравнений следует решить задачи о распространении длинных волн от модельных источников в области с эпицентром в точке Т. При этом используются уже имеющиеся функции Грина. Один из источников следует задать в виде симметричного (кругового) начального возвышения свободной поверхности, два других — в виде антисимметричных возвышений, ориентированных в широтном и меридиональном направлениях. В результате образуются три системы из четырех уравнений каждая. Для кругового возмущения srjT(s,A)qA = GA(s,T)qT stjT(s,M)qM = GM(s,T)qT srjT(s,N)qN = N(s,T)qT sr\T(s,L)qL = GL(s,T)qT Для антисимметричного, ориентированного в широтном направлении stjT+(s,A)qA = G Ax(s,T)mTx srjT+(s,M)qM = G Mx(s,T)mTx srjT+(s,N)qN = G Nx(s,T)mTx srjT+(s,L)qL = G Us.TJmn Для антисимметричного, ориентированного в меридиональном направлении stjT-(s,A)qA = G Ay(s,T)mTy stjT.(s,M)qM = G My(s,T)mTy stjT.(s,N)qN = G Ny(s,T)mTy srjT.(s,L)qL = G Ly(s,T)mTy Исключение функций Грина и их производных из полученных трех систем и системы (6) - (9) преобразует последнюю к виду: 17г(,,Л) - + 7г+(М) - + »71._(М)1 -№. ) = 0, От , „NT . NT qT mTx mTy m щ {s,M)&- + }T+(s,M) + 7r_(5,M) = C(s,M), Tx Ту m N і— m N. \— m qT i7r( »W—+ W W—+ ЛМ0—= ЯМ0. Ту Tx rjT(s,L) + nT+(s,L) L + nT_{s,L) = (s,L). qT mTx Ту Определитель этой системы А = jT(s,A) r]T+(s,A) rjT_(s,A) -1 TJT(S,M) rjT+(s,M) rjT_(s,M) 0 TJT(S,N) TJT+(S,N) TJT_(S,N) 0 rjT(s,L) rjT+(s,L) rfT_{s,L) Определитель для нахождения (s,A)\ Ac = rjT(s,A) rjT+(s,A) jT_(s,A) 0 rjT{s,M) T]T+(s,M) r]T_(s,M) (s,M) rjT(s,N) 77T+(s,N) rjT.(s,N) (s,N) TJT(S,L) jT+(s,L) tjT_(s,L) (s,L) Результатом является (s, A) = -jL A Выкладки, приведенные в настоящем пункте, показывают, что дляболее точного прогноза цунами от возмущений дипольного типа иасимметричных возможно создание способа расчета. При этом для выполнения расчета необходима информация об уровне моря в трех удаленных точках. 3.5. Применимость способа расчета цунами к другим задачам.
Метод функций Грина, являющийся основой принципа и соотношения взаимности, применим для задач, описываемых уравнениями параболического и эллиптического типов. Поэтому все изложенное в работе может быть применимо к задачам этих типов. При этом граничными условиями должны быть нулевые условия I, II и III рода, подобные условиям (2.4). Может быть предложена следующая формулировка (не математическая) задачи.
Рассчитать величину или функцию от неизвестного источника в точках, прямые измерения в которых невозможны, если имеются данные об этих величине или функции в одной или нескольких точках, с помощью решения вспомогательной задачи от простого источника. При этом параметры среды (коэффициенты в уравнениях) должны быть известными функциями координат.
Обратное преобразование для простых случаев
Выведенное в главе 3 соотношение (3.4) может быть записано в виде С( ,А)ф,М)=С( ,М)Ф,А)-Обратное преобразование Лапласа этого выражения представимо в виде свертки по времени / t \(T,AMt,M)dT= \C(r,MMt,A)dT. (1) о о
Правая часть этого уравнения является известной функцией времени, поскольку (t,M) - данные об уровне в точке М (мареограмма), rj(t,A) - расчетное изменение уровня в точке А от вспомогательного источника. В левой части r\(t,M) - расчетное изменение уровня в точке М от вспомогательного источника, C(t,A) — искомая функция, изменение уровня (цунами) в точке А.
Как искомая функция, так и все известные, являются случайными функциями. Это обусловлено приближенным заданием батиметрии при расчете вспомогательных функций и погрешностями измерения уровня. Однако погрешности входящих в это уравнение и уровень случайной составляющей (шума) не известны.
Способы решения уравнения (1) с помощью интегральных преобразований Фурье или Лапласа приводят к нахождению функции C(t,A) через соотношение (3.4) [45]. Таким образом, для окончательной оценки цунами в заданной точке А необходимо выполнить обратное преобразование Лапласа (3.4). Задачи обратного преобразования выражений такого вида относятся к некорректным и требуют применения или построения некоторых регуляризирующих способов. Исходные функции для (3.4) являются дискретными, поэтому их образы Лапласа могут быть представлены обычным образом как дискретное преобразование Лапласа с шагом г в виде рядов, например, s л=о где Ск(Щ) - значения уровня в точке Мв моменты времени t=kv, =0.. .N, х - интервал времени между отсчетами. N определяет длительность функции (t,M) во времени. За начало отсчета всех функций при преобразовании Лапласа принят момент вступления волны в соответствующую точку. Критерий вступления волны в настоящей работе не выработан, момент начала волнового процесса в точке определяется индивидуально в каждом расчете. Предполагается, что такой критерий будет выработан в процессе натурного эксперимента.
Интервалы времени между отсчетами измеряемых и расчетных функций считаются одинаковыми.
После представления функций в виде рядов, замены переменных z=e ST, (3.4) перепишется в виде z-преобразования: fr,k{A)zk az, A) = Y,Ck W)zk -p . (2) lLlk(M)zk 1-е "
Множитель , являющийся образом прямоугольного s импулься, как не представляющий интереса, здесь и в дальнейшем опущен.
После деления и умножения полиномов в (2) образуется полином {z,A) = fkzk =Y,fke bT Результатом обратного преобразования Лапласа этого полинома является последовательность, состоящая из д-функций с множителями, равными коэффициентам полинома. Эти множители fk являются значениями искомого уровня цунами в моменты времени t=kv, =0.. JV, после ожидаемого момента вступления волны в точку А. Такой способ обращения преобразования Лапласа применялся, например, в [9,26, 59].
В выражении (2), а также в последующих выражениях верхние пределы сумм одинаковы. В противном случае различных пределов в результате обратного преобразования возникали бы недостоверные слагаемые. В самом деле, пусть Nmax и Nmin — длины двух рядов, ряда 1 и ряда 2, соответственно. Произведение этих двух рядов есть ряд длины Nmax+Nmin. При этом члены ряда с номерами k Nmin используют все члены ряда 2 и Nmin членов ряда 1. При формировании последующих членов результирующего ряда неявно подразумевается, что в ряде 2 члены с номерами k Nmin , имеют нулевые коэффициенты (нулевые значения измеряемых функций), что не всегда соответствует действительности. Применительно к рядам уровня эти члены могут иметь ненулевые коэффициенты, но информация о них может отсутствовать [21, 23].
