Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Измерение характеристик осадков и восстановление их полей 11
1.1. Наземные измерения осадков 11
1.2. Радиолокационные измерения осадков 18
1.3. Комбинированные измерения осадков 25
1.4. Об одном подходе к комбинированным измерениям осадков 32
Глава 2. Расчет склонового стока при прогнозировании ливневых паводков 46
2.1. Потери стока при склоновом стекании, способы измерения скорости инфильтрации 46
2.2. Методы расчета склонового стока 64
2.3. Расчет склонового стока при помощи степенных рядов 86
Глава 3. Расчет руслового стока при прогнозировании ливневых паводков 101
3.1. Методы расчета руслового стока и схематизации водосбора 101
3.2. Коэффициент сопротивления и коэффициент Шези 110
3.3. Расчет стока по руслу с переменными по длине параметрами 111
Заключение 134
Литература 136
Приложение 147
- Комбинированные измерения осадков
- Об одном подходе к комбинированным измерениям осадков
- Расчет склонового стока при помощи степенных рядов
- Расчет стока по руслу с переменными по длине параметрами
Введение к работе
Северокавказский регион является одним из наиболее густо населенных регионов России, особо высокая плотность населения отмечается вдоль русел горных рек, так как издревле человек селился у воды, обеспечивающей его основные жизненные нужды. Но временами вода из источника жизни превращалась в смертельную угрозу, уносящую жизни людей, домашних животных и сметающую с лица земли целые селения.
В настоящее время в связи с достаточно резкими климатическими изменениями, происходящими в глобальном масштабе, участились и усилились такие природные явления как паводки. Особую опасность заключают в себе паводки ливневого происхождения на горных реках ввиду своей внезапности и высокой кинетики водных потоков, порождаемых ими. Как правило, к катастрофическим последствиям приводит не одна причина, а комплекс неблагоприятных факторов, действующих одновременно. Примером такого паводка может служить наводнение 2002 года, которое произошло в северокавказском регионе, унеся жизни сотен людей и причинив большой материальный ущерб. К основным причинам этой катастрофы можно отнести: аномально большое количество снега, выпавшее в тот год в горах, сильные и продолжительные ливни в горах и на равнине, а также неправильное управление гидротехническими сооружениями. Каждый из перечисленных факторов в отдельности, возможно, и не привел бы к катастрофе, но их совместное действие привело к последствиям, которые никто не мог предвидеть.
Структура любой системы оперативного прогноза паводков ливневого происхождения достаточно очевидна и подразумевает определенный метод измерения осадков и определенные методы расчета течения воды по водосбору, с целью рассчитать время, место и интенсивность вероятного паводка. Точность
4 прогноза определяется точностью отдельно взятых методов: построения полей осадков, определения потерь стока, расчета руслового и склонового стоков. Точность применяемых методов, в свою очередь, определяются используемым математическим аппаратом, а также полнотой и точностью исходных данных.
Объектом исследования в настоящей работе являются паводки ливневого происхождения.
Предметом исследования - физико-математические методы, используемые для описания процессов, имеющих место при выпадении дождевой воды и ее течении по водосбору.
Применение радиолокатора для измерения осадков позволяет одновременно охватывать значительные территории и получать большой объем информации, которую необходимо обрабатывать в реальном масштабе времени. При осуществлении оперативного прогноза время, затрачиваемое на его подготовку, должно быть минимизировано для обеспечения максимальной заблаговременности прогноза.
Существующие математические методы, в основной своей массе, либо плохо подходят для решения поставленной задачи, либо не подходят вовсе. Так, например, классические схемы численного интегрирования либо неустойчивы (явные схемы), что затрудняет их применение к склонам и руслам различной конфигурации, либо слишком медлительны (неявные схемы) для их использования в системах оперативного прогноза паводков, особенно в горной местности.
Методы определения потерь стока на впитывание в почву, применяемые на сегодняшний день, неудобны, так как почти все они основаны на использовании статистической информации о конкретном водосборе и требуют длительного подготовительного периода в несколько лет и более.
Существующие методы построения полей осадков обладают высокой степенью неопределенности в выборе вида интерполирующей функции и
5 способа расположения опорных точек при интерполяции, что негативно сказывается на точности расчетов.
Центральное место в любой системе оперативного прогноза занимает математическая модель водосбора реки, объединяющая в себе подмодели: склонового стока, руслового стока и впитывания. При разработке математической модели стока важно учитывать не только точность и полноту описания физических процессов, но и то, насколько модель может быть обеспечена достоверной информацией о них. В некоторых задачах оказывается возможным пренебрежение пространственной изменчивостью характеристик водосбора. В таких случаях можно считать параметры сосредоточенными в точке. Такие модели называют моделями с сосредоточенными параметрами (сосредоточенные модели). В общем виде они представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения.
Модели, в которых характеристики водосбора задаются изменяющимися в пространстве, называют моделями с распределенными параметрами (распределенные модели). Для их описания используются дифференциальные уравнения в частных производных. Математические методы, рассматриваемые в настоящей диссертационной работе, подразумевают использование модели с распределенными параметрами.
Целью работы является разработка методов расчета физических процессов, имеющих место при движении воды по водосбору реки, для осуществления оперативного прогноза ливневых паводков на базе радиолокационной и наземной информации.
Комплекс решаемых в работе задач включает в себя: - разработку метода построения единого комбинированного поля осадков по результатам радиолокационных и наземных измерений; разработку методов численного интегрирования процессов склонового и руслового стоков, обладающих хорошей счетной устойчивостью и быстродействием; разработку оперативного метода определения скорости впитывания воды в почву.
Научная новизна:
Модифицирован существующий метод построения комбинированных полей осадков по результатам радиолокационных и наземных измерений.
Предложен опробованный на ряде численных экспериментов метод интегрирования дифференциальных уравнений, описывающих склоновое и русловое течение воды обладающий высокой скоростью и счетной устойчивостью.
Разработан метод, позволяющий многократно ускорить процесс интегрирования склонового стока.
4. Разработан не имеющий аналогов метод измерения скорости впитывания дождевой воды в почву.
Практическая ценность.
В работе представлен обзор существующих математических методов, наиболее широко применяемых для решения задач интерполяции и численного интегрирования при построении полей осадков и решении уравнений стекания и впитывания.
Сформулированы основные приемы и способы формализации территории водосбора, носящие универсальный характер как для бассейнов горных, так и равнинных рек. Данные методы могут применяться при решении любых задач, связанных с описанием трансформаций дождевой воды на водосборе системой дифференциальных уравнений в частных производных.
Новые интерполяционные методы, предложенные в работе, могут найти широкое применение при любых совместных радиолокационных и наземных измерениях осадков.
Методы численного интегрирования процессов склонового и руслового стоков, предлагаемые автором, обладают хорошей счетной устойчивостью и высокой скоростью, что делает их удобным инструментом при построении систем оперативного прогноза ливневых паводков, а использование метода ускоряющего интегрирование склонового стока позволяет рассчитывать сток с водосборов практически любых площадей.
Разработанный метод прямого аппаратного измерения скорости впитывания дождевой воды в грунт может давать как текущее значение скорости инфильтрации, так и интегральное количество воды, впитавшееся в грунт в месте установки датчика за определенное время. Этот метод может применяться не только в системах прогноза паводков, но и в системах предупреждения оползневых и селевых явлений.
Таким образом, в диссертации разработан набор математических методов, позволяющих строить на их основе системы оперативного прогноза ливневых паводков. Эти системы могут иметь произвольную конфигурацию в зависимости от размеров водосбора, топологических и физических особенностей местности, в которой они будут развернуты, а также специфики решаемых задач.
На защиту выносятся:
1. Метод построения полей осадков при комбинированных (радиолокационных и наземных) измерениях.
Метод расчета склонового стока.
Метод, ускоряющий расчет склонового стока.
Метод измерения скорости впитывания воды в грунт.
Метод расчета руслового стока.
8 Обоснованность и достоверность результатов.
Достоверность результатов работы обеспечена корректностью постановки решаемых задач, натурными и численными экспериментами, а также тестовыми расчетами с контролем результатов. Все полученные результаты соответствуют известным теоретическим и экспериментальным данным об осадках и течении дождевой воды, как по поверхности бассейнов рек, так и о ее распространении в толще грунта.
Для проверки достоверности численных моделей, описывающих все аспекты движения воды по водосбору, расчеты по каждой из них проводились как минимум двумя альтернативными методами: стандартным и предлагаемым автором. В случае с разработкой способа определения скорости впитывания воды в грунт, автором был проведен ряд натурных экспериментов, описание одного из которых приведено в работе.
Апробация работы.
Результаты работы докладывались и обсуждались на научно-практической конференции, посвященной 40-летию начала производственных работ по защите сельхозкультур от градобитий (г. Нальчик, ВГИ, 2007 г.), на семинаре «Вопросы гидрометеорологических инструментальных наблюдений в горах Северного Кавказа» (Терскол, 2009 г.), на научно-техническом совете ВГИ (2009 г.) и итоговых сессиях.
По теме диссертации опубликовано 6 работ в научных журналах и сборниках общим объемом 1,8 печатных листов и получено одно авторское свидетельство на изобретение.
Структура и объем диссертации.
Работа состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения на 5 листах. Общий объем составляет 151 страница машинописного текста, включая 12 таблиц и 40 рисунков. Список использованной литературы включает в себя 121 наименований работ, из них 31 на иностранных языках.
Во введении обосновывается актуальность темы исследования, формулируются цели и задачи диссертационной работы, характеризуются теоретические и методологические основы, объект и предмет исследования, раскрывается научная новизна и практическая значимость полученных результатов, а также представлена апробация работы.
В первой главе сделан обзор работ, проводимых в области радиолокационных измерений осадков и гидрологических прогнозов. В ней также изложены существующие методы построения полей интенсивности и количества осадков при помощи радиолокационных и наземных измерений и описаны предлагаемые автором методы построения полей осадков при наземных и комбинированных (совместных наземных и радиолокационных) измерениях. В порядке апробации предлагаемых автором методов построения полей осадков в главе приводятся результаты измерений осадков, проводившиеся на территории города Нальчика в 2006, 2007 и 2008 годах, летом и ранней осенью. На основании этих измерений был проведен сравнительный анализ различных способов измерения осадков, как существующих, так и предлагаемых автором.
Во второй главе описаны существующие методы расчета склонового стока и впитывания дождевой воды, проведен их анализ с указанием на сильные и слабые стороны того или иного метода. В главе описывается предлагаемый автором метод интегрирования склонового стока, а также несколько численных экспериментов, проведенных для проверки точности предлагаемого метода и сравнения его с одним из традиционных методов расчета.
Также в этой главе описан метод, позволяющий многократно ускорить численное интегрирование склонового стока, и приведено описание численного эксперимента, иллюстрирующего его работу.
В этой же главе дается описание предлагаемого автором метода прямого измерения скорости впитывания дождевой воды в грунт, позволяющего учитывать такие параметры этого процесса, как кинетическая энергия падающих
10 капель и уклон склона. Описывается натурный эксперимент по определению зависимости электрического сопротивления грунта от его объемной влажности, а в конце главы в качестве примера приводится численный эксперимент по расчету скорости впитывания.
Третья глава посвящена расчету руслового стока. В ней проводится обзор существующих методов и представлено описание метода, предлагаемого автором для решения поставленной задачи. В главе приведен сравнительный расчет тестовой задачи авторским методом и одним из стандартных способов численного интегрирования уравнений руслового стока. Также в главе приведены результаты численных экспериментов с целью моделирования прохождения паводковой волны по руслу с переменными характеристиками и определения точности расчетов по предлагаемому методу.
В третьей главе приводится описание способов формализации русел, склонов и водосбора в целом, а также общий вид системы дифференциальных уравнений в частных производных с системой начальных и граничных условий позволяющих осуществлять расчет течения дождевой воды по водосбору.
В заключении сформулированы основные результаты, полученные в ходе выполнения диссертационной работы.
Комбинированные измерения осадков
Общепринято [98, 107], что радиолокационное измерение осадков может производиться путем измерения их эффективной радиолокационной отражаемости (Z3) при минимальном угле места антенны (от приземного слоя до уровня высоты нулевой изотермы Нос) или посредством измерения их наибольшей отражаемости (Z3 max), наличие которой возможно на любом участке вертикального профиля Z3(h). Радиолокационная информация об осадках является результатом пространственного и временного осреднения [14] (в импульсном объеме, объеме и площади измерений). Она зависит от характера колебаний осредняемых величин — характеристик выпадающих осадков - во времени и пространстве. Несмотря на значительный прогресс, который был достигнут за последние годы в области радиолокационных измерений осадков, погрешности при чисто радиолокационных измерениях продолжают оставаться достаточно высокими. Однако достоинства, которые характерны для оперативных возможностей радиолокационных измерений, позволяют потребителям мириться с этим недостатком информации МРЛ об осадках [107, 119, 120]. В последнее время был разработан ряд методов совместного радиолокационного и наземного измерения интенсивности и количества осадков [107, 117].
Описание основных моментов наиболее широко применяемых сегодня методов приводится ниже. Как показывает практика, наилучшие результаты в определении параметров дождей дают совместные радиолокационные и наземные измерения [4, 57]. В работе [56] описывается технология калибровки радиолокатора по данным наземной сети плювиографов. Алгоритм проведения калибровки сводится к следующему. 1. В компьютер вводятся координаты мест расположения контрольных плювиографов. 2. В процессе радиолокационных наблюдений значения отражаемостей в этих точках суммируются для каждого цикла обзора в течение всего дождя. 3. После окончания дождя в компьютер вводятся наземные данные о слое суммарных осадков, выпавших в каждой точке на земле. 4. Из наземных и радиолокационных данных составляется система из двух уравнений: где R},R2 -интенсивность осадков по радиолокационным и наземным данным соответственно, Z-множитель радиолокационной отражаемости, At-рассматриваемый период времени, В, а - неизвестные коэффициенты. 5. Система (1.8) решается относительно неизвестных коэффициентов В и а, которые далее используются для определения параметров дождя на всей площади выпадения. При измерении количества и интенсивности осадков МРЛ является относительным прибором, который нуждается в пространственной тарировке для перехода к абсолютным результатам, то есть в определении коэффициентов согласования или перехода. Как правило, согласование проводится по полусуточным и суточным данным об осадках наземной дождемерной сети. Коэффициенты согласования и перехода рассчитываются и по декадным, и по сезонным данным [22]. С появлением телеметрических дождемеров и объединения их информации с информацией МРЛ коэффициенты согласования могут определяться за 1 ч, за 3 ч и за дождь в целом [94, 99]. Процесс автоматизированных радиолокационных измерений можно разделить на несколько последовательных этапов. 1.
Подготовка автоматизированного МРЛ к измерениям. Проводится калибровка приемно-измерительного тракта МРЛ. Задачей калибровки является получение количественных соотношений между уровнем выходных сигналов МРЛ и отражаемостью. Калибровка производится путем измерения, регулирования и установки значений параметров МРЛ согласно технической документации, с точностью, предусмотренной техническими условиями на радиолокатор. Калибровка измерительных трактов производится с целью установления соответствия между мощностью сигналов на входе приемного устройства автоматизированного МРЛ с кодом на выходе амплитудно-цифрового преобразователя блока обработки. Абсолютную калибровку радиолокатора производят с помощью сферы большого диаметра, выпущенной в свободный полет. Измерение эффективного поперечника рассеяния большой сферы позволяет определить потенциал МРЛ Пм. Стабильность и сохранность калибровки в процессе измерений поддерживается работой специальных устройств, входящих в состав МРЛ.
После проведения калибровки и определения Пм для расчета Z3 в вычислительный комплекс МРЛ вводятся все необходимые поправки на поглощение кислородом и водяным паром, на все известные потери, вызывающие смещение Z3 на 1 ABZ и больше. Производится обнуление всех значений отражаемости, которые ниже уровня шума. Устраняются помехи - местники и любые другие помехи до 10 flBZ с минимальным ухудшением ( 2 дБZ) оценок отражаемости. Самым распространенным методом исключения отражений от местных предметов («местников») в радиусе обзора является составление цифровой карты местников и ввод ее в ЭВМ измерительного комплекса. Карта местников содержит бит информации для элемента измерения всего объема обзора МРЛ. Она показывает, есть ли в элементе измерения местник. При проведении измерений Z3 элементы с местниками исключаются. Наличие пустых мест, в которых измерения Z3 не производятся, проводит к потере информации об осадках, особенно если местников много. Карта местников создается в отсутствии осадков в радиусе обзора МРЛ по множеству ситуаций в разные сезоны года, включая ситуации с аномальным распространением радиоволн. По этой причине потери данных об осадках обычно превышают ожидаемые.
Об одном подходе к комбинированным измерениям осадков
Зададимся целью разработать такой метод восстановления полей осадков, который обладал бы как можно меньшей погрешностью интерполяции. Для начала нам следует определиться с видом функциональной зависимости значения поля осадков от координат рассматриваемой точки. Так как это должна быть функция двух переменных, то естественным будет искать эту зависимость среди множества полиномов представленных в таблице 1.1. Нашей основной задачей, таким образом, становится отыскание степени полинома, наиболее подходящего для решения задачи интерполяции полей осадков.
Достаточно очевидно, что при интерполяции имеет смысл рассматривать только регулярные сетки базовых точек (базовые сетки), так как нерегулярные сетки будут являться заведомо проигрышными вариантами в силу неравномерной плотности расположения базовых точек в пространстве. Из геометрии известно, что на плоскости возможны только три типа регулярных сеток с ячейками в виде правильных многоугольников — это сетки с ячейками в виде правильных треугольников, квадратов и правильных шестиугольников (соты); их фрагменты, построенные на ячейках прямоугольной декартовой системы координат, приведены на рисунках 1.2., 1.3. и 1.4., соответственно.
Для сравнения точности интерполяции на различных типах базовых сеток, будем рассматривать относительную погрешность в рамках одной ячейки базовой сетки. Тот тип базовой сетки, который будет иметь наименьшее значение этой погрешности, и будет являться наиболее подходящим для интерполяции полей осадков. Внутри ячейки базовой сетки выделим контрольную квадратную область, состоящую из девяти пространственных ячеек прямоугольной системы координат, которые мы назовем индикаторными. На рисунках 1.2. - 1.4. эта область очерчена жирными линиями.
В качестве значений поля осадков в каждой ячейке прямоугольной системы координат будем принимать среднее количество осадков за дождь, выпавшее в этой ячейке. Те ячейки прямоугольной системы, которые совпадают с вершинами ячеек базовой сетки (на рисунках 1.2. - 1.4. помечены кружками), будем называть базовыми ячейками. Следовательно, наша задача сводится к восстановлению значений слоя осадков, выпавших в выделенных нами девяти индикаторных ячейках, по заданным значениям слоя осадков в ближайших базовых ячейках.
Относительную погрешность интерполяции будем рассчитывать по формуле: где 5 - относительная погрешность интерполяции; Z;3m - значение эталонного поля в і-той индикаторной ячейке; Z""m - интерполированное значение поля в i-той индикаторной ячейке. Так как при решении поставленной задачи нас будет интересовать только лишь пространственная изменчивость полей осадков в относительных единицах, то в качестве эталонных полей будем рассматривать поля реальных дождей, полученные в результате радиолокационных измерений. Размер стороны пространственной ячейки прямоугольной системы (масштаб поля) будем выбирать постоянным для каждого поля осадков. При определении масштаба будем руководствоваться следующими эвристическими соображениями: - все девять индикаторных ячеек не должны попадать в зону с одинаковой суммой осадков за дождь - это соображение является нижним ограничением длины стороны пространственной ячейки; - внутри одной индикаторной ячейки, по возможности, не должно быть зон с различными суммами осадков за дождь - это соображение является верхним ограничением длины стороны пространственной ячейки. Такой подход позволит нам, в зависимости от пространственной изменчивости того или иного дождя, подбирать для описания поля осадков оптимальное расстояние между центрами индикаторных ячеек. В качестве примера выделения контрольных областей рассмотрим поля суммарных осадков двух процессов, которые приведены на рисунках 1.5. и 1.6. На рисунках контрольные области выделены жирными квадратами. Размер пространственной ячейки на рисунке 1.5. составляет 1,3 км, а на рисунке 1.6.-3 км. При проведении исследования по формуле (1.12) были рассчитаны относительные погрешности более чем в сотне контрольных областей, выбранных в процессах различного масштаба, с размером пространственной ячейки от 0,5 до 3 км, при этом расчеты проводились для трех типов базовых сеток. Результаты этих расчетов приведены в таблице 1.4. Из таблицы отчетливо видно преимущество по точности треугольной базовой сетки над остальными. Таким образом, в результате проведенного исследования был установлен фактор принципиальным образом влияющий на точность интерполяции полей осадков. Этим фактором является способ размещения базовых точек (плювиографов) по территории полигона. При расположении плювиографов в вершинах правильных или квазиправильных треугольников погрешность интерполяции будет минимальной.
Расчет склонового стока при помощи степенных рядов
При проведении практических расчетов склонового стока в реальном масштабе времени на водосборах, имеющих большие площади, ни один из вышеперечисленных методов интегрирования уравнений стекания не позволяет осуществить полный расчет по всему водосбору за приемлемое время. Это связано с тем, что интегрирование уравнений производится по двум независимым переменным: расстоянию и времени. Специфика этих уравнений такова, что максимально возможные шаги интегрирования по этим переменным, а также соотношение между ними, жестко ограничены соображениями счетной устойчивости для явных схем и точности для неявных схем.
Основной идеей предлагаемого метода является сведение интегрирования по двум независимым переменным, расстоянию и времени, к интегрированию только по времени, что позволяет многократно сократить расчетное время, причем выигрыш становится тем больше, чем больше длина склона.
Реализация такого подхода стала возможной благодаря специфике решаемой задачи, когда представляет интерес только расход в нижнем створе склона как функция времени (рисунок 2.12.), а распределение расхода по длине склона значения не имеет.
Из наблюдений известна максимально возможная интенсивность осадков, обозначим ее как Rmax- Диапазон возможных интенсивностей разобьем на n + 1 уровень от Ro до Rn=Rmax где уровень RQ соответствует отсутствию осадков. Величина AR; = R;+i - R; может быть как постоянной, так и переменной и зависит от точности измерений интенсивности осадков и выбранной точности расчетов.
Весь диапазон возможных значений скорости инфильтрации разобьем на m уровней, где I] соответствует минимальной, a Im — максимальной скорости инфильтрации. Выберем на поверхности водосбора реки один элементарный склон и представим его каскадом последовательно соединенных площадок, каждая из которых имеет свой уклон и закон изменения ширины по длине.
Формально выбранный склон можно представить как систему с (п + 1)-т возможными состояниями, в дальнейшем будем называть ее системой «Склон». Из всех возможных состояний системы «Склон» стационарными будем называть такие, для которых выполняется условие: при I = Іь где Vebin - объем воды, выпавшей на склон за некоторое время t; VK объем воды, прошедший через замыкающий створ, а Гп - объем воды, впитавшейся в почву за это же время. Следовательно, рассматриваемая система «Склон» обладает п+1 стационарным состоянием. Остальные (п + і)-(т-ї) состояния, отвечающие условию (2.82) при I 1ь назовем квазистационарными.
В стационарном состоянии система «Склон» может находиться неограниченно долго, если внешнее воздействие на нее остается постоянным. В нашем случае под внешним воздействием подразумевается текущая интенсивность осадков и текущее состояние влажности почвы. Стационарное состояние системы возможно лишь при минимальном значении инфильтрации и однозначно определяется интенсивностью осадков, связывая объем воды выпадающей на поверхность склона, и объем воды, проходящей через замыкающий створ в единицу времени.
Наличие квазистационарных состояний у системы «Склон» вызвано тем фактом, что параметры процесса поверхностного стекания воды по склону меняются во времени значительно быстрее, чем параметры процесса впитывания воды в почву, и изменение скорости инфильтрации можно считать происходящим ступенчато, как в большую сторону (при испарении), так и в меньшую (при орошении). Для иллюстрации сказанного рассмотрим некоторый абстрактный склон. Положим для определенности, что число уровней интенсивности осадков п и число уровней инфильтрации m равно 5, причем Ri R2 R3 R4 R5 и 11 І2 Із І4 І5 Структурная схема состояний и переходов системы «склон» для выбранного числа уровней интенсивности осадков и инфильтрации представлена на рис. 2.15.
Расчет стока по руслу с переменными по длине параметрами
Методы расчета, описанные в параграфе З.1., хорошо подходят для русел имеющих постоянные физико-геометрические характеристики. В случае, когда параметры русел меняются по длине, эти методы испытывают серьезные затруднения. Для преодоления этих затруднений приходится прибегать к специфическим приемам, которые не всегда можно сочетать с полной автоматизацией процессов расчета. В этом параграфе предлагается один из возможных методов интегрирования системы Сен-Венана: через непосредственное описание процессов имеющих место при течении воды по руслу с переменными уклоном, шириной, формой и шероховатостью поверхности - поэтому предлагаемый метод назван методом прямого интегрирования [11]. По сути, этот метод получился путем распространения подходов, примененных при численном интегрировании склонового стока, изложенных в предыдущей главе, на русловый сток. Рассмотрим для начала поток воды, текущий по широкому руслу прямоугольного сечения постоянной ширины Ь, которое расположено под углом а0 к горизонту рис. 3.6. Рассечем поток двумя параллельными плоскостями, перпендикулярными поверхности дна и отстоящими друг от друга на расстояние dx. При описания руслового стока, в отличие от склонового, нельзя пренебрегать гидростатическими силами и силами инерции, так как глубина потока сопоставима с его шириной.
Запишем для выделенного объема воды уравнение второго закона Ньютона в проекциях на ось х, направленную параллельно дну русла вниз: где F- проекция силы тяжести на ось х; Fc- сила сопротивления течению; Рн в- гидростатические силы, действующие на выделенный объем снизу и сверху; F„- сила, действующая со стороны бокового притока на выделенный объем. где ш - масса выделенного объема воды; g - ускорение свободного падения; /0 = sin а0 - уклон дна русла. Силу сопротивления определим по общей формуле теории подобия [87]: где сс - коэффициент силы сопротивления, равный Сс = — -, где С с коэффициент Шези; р - плотность воды; и - средняя скорость потока по живому сечению; sM- характеристическая площадь, равная SM=b-dx. Результирующую гидростатическую силу определим как: dh где И- глубина потока; — dx- приращение глубины на участке длиной dx. дх Силу, действующую со стороны бокового притока на поток, определяем из закона сохранения импульса: где т - масса воды бокового притока за время dt; q - удельный боковой приток на единицу длины русла. Сен-Венана: Для получения второго уравнения запишем закон сохранения массы для выделенного нами участка потока: где vnp - объем воды, притекший сверху за время dt: v6 - объем бокового притока за время dt: vom - объем стока на нижележащий участок за время dt: dv - изменение объема воды на участке за время dt:
Подставляя (3.30), (3.31), (3.32), (3.33) в (3.29) и приводя подобные, пренебрегая членами второго порядка малости, получим второе уравнение системы Сен-Венана: где f = — - интенсивность бокового притока на единицу ширины русла. о Таким образом, полученная система уравнений имеет вид [72]
