Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Анализ современных подходов к решению задач восстановления и прогноза метеорологических полей 14
1.1. Общие представления о проблеме 14
1.2. Методы теории оптимального оценивания 17
1.3. Метод оптимальной интерполяции 19
1.4. Вариационные методы 21
1.5. Фильтр Калмана 25
1.6. Ансамблевый фильтр Калмана 27
1.7. Динамико-стохастический подход 29
1.8. Физико-статистический подход 38
1.9. Заключение 40
Глава 2. Четырехмерная динамико-стохастическая модель и методика ее применения в задаче численного восстановления мезометеорологических полей 42
2.1. Общая постановка задачи и некоторые методические вопросы ее решения 42
2.2. Интерполяционная четырехмерная модель изменения мезомасштабных процессов в пространстве и во времени 45
2.3. Первый этап решения задачи численного восстановления 48
2.4. Второй этап решения задачи численного восстановления 54
2.5. Алгоритм численного восстановления мезометеорологических полей на основе четырехмерной модели и аппарата калмановской фильтрации 57
Глава 3. Результаты численных экспериментов по оценке качества алгоритма восстановления мезомасштабных полей температуры и ветра 64
3.1. Общие представления о характере исходных данных 64
3.2. Обзор используемых полигонов 68
3.3. Методика статистической оценки качества используемого алгоритма 72
3.4. Результаты численных экспериментов 74
3.5. Оптимизация алгоритма относительно радиуса пространственной корреляции 87
3.6. Влияние выбора начальных условий алгоритма фильтра Калмана на точность восстановления высотного профиля 91
3.7. Выводы 106
Глава 4. Двумерная динамико-стохастическая модель и методика ее использования в задаче сверхкраткосрочного прогноза полей метеорологических величин 108
4.1. Постановка задачи сверхкраткосрочного прогноза и математическая модель для её решения 108
4.2. Методика применения двумерной динамико-стохастической модели и алгоритма фильтра Калмана 109
4.3. Алгоритм сверхкраткосрочного прогноза на основе аппарата калмановской фильтр ации 116
Глава 5. Результаты численных экспериментов по оценке качества алгоритма сверх краткосрочного прогноза полей температуры и ветра 124
5.1. Общие представления об источниках и характере исходных данных 124
5.2. Оценка интервала осреднения и периода дискретизации исходных данных 127
5.3. Методика статистической оценки качества используемого алгоритма 134
5.4. Результаты численных экспериментов 135
5.5. Оптимизация динамико-стохастического алгоритма сверхкраткосрочного прогноза 138
5.5.1. Прогноз метеорологических полей по одно- и двухканальным схемам 139
5.5.2. Оптимизация длительности интервала непрерывной работы фильтра Калмана 143
5.5.3. Оптимизация алгоритма в зависимости от интервала исходной последовательности, используемой в качестве предиктора 147
5.5.4. Оптимизация алгоритма прогноза относительно длительности интервала исходной последовательности, на котором проводилась оценка регулярной составляющей метеорологического поля 149
5.5.5. Оптимизация алгоритма прогноза относительно количества высотных уровней используемых в качестве предиктора 150
5.6. Выводы 152
Заключение 155
Литература
- Метод оптимальной интерполяции
- Интерполяционная четырехмерная модель изменения мезомасштабных процессов в пространстве и во времени
- Методика статистической оценки качества используемого алгоритма
- Методика применения двумерной динамико-стохастической модели и алгоритма фильтра Калмана
Введение к работе
В последние годы существенно возросла роль численных математических методов в метеорологии. Это связано в первую очередь со стремительным развитием средств вычислительной и микропроцессорной техники. Кроме того, происходит увеличение объёма метеорологических наблюдений, которые осуществляются с помощью различных средств измерений: радио-зондовых, космических, лидарных, акустических и прочих. Возникла задача, связанная с численным восстановлением пространственно-временного распределения метеорологических величин. В настоящее время эта задача решается в рамках процедуры четырехмерного усвоения данных (она детально рассмотрена в статье В. Бурке, Р. Симен и К. Пури, помещенной в [41]). Такая процедура объединяет в едином контуре две традиционно различные задачи — объективный анализ и прогнозирование метеорологических полей [18].
В метеорологии наиболее популярным методом анализа данных, под которым обычно понимают вычислительную процедуру построения метеорологического поля в узлах регулярной сетки, стал метод оптимальной интерполяции, предложенный Л.С. Гандиным [6].
Кроме того, появился ряд новых задач в области метеорологии, геофизики, экологического мониторинга ограниченных воздушных бассейнов во время техногенных и природных загрязнений, обеспечения безопасности взлета и посадки различных летательных аппаратов, и т.п. Для решения этих задач необходимо иметь текущую и прогностическую информацию о пространственно-временной структуре метеорологических полей, а в особенности полей температуры и ветра в мезомасштабной области, с горизонтальными размерами порядка 50-300 км и с верхней границей на высоте 2—10 км [84].
Для территории Российской Федерации сеть метеорологических и аэрологических станций характеризуется крайней неоднородностью и малой
плотностью, где расстояния между соседними станциями радиозондирования, за редким исключением, составляют более 300 км, поэтому она не соответствует требованиям объективного анализа мезометеорологических полей, проводимого с разрешением от нескольких километров до десятков километров [2]. Для решения этой проблемы применяются алгоритмы, увеличивающие разрешение сетки по горизонтали (телескопизация данных). Однако это приводит к дополнительному увеличению ошибок объективного анализа и его качество становится неприемлемым для практического использования.
Что касается проблемы, связанной со сверхкраткосрочным прогнозом полей температуры и ветра с заблаговременностью до нескольких часов, то она практически еще не решалась, особенно для пограничного слоя атмосферы (ПСА), где, согласно [5], наблюдается основной перенос техногенных загрязняющих веществ. Этому препятствовало два обстоятельства.
Во-первых, в течение многих лет отсутствовали данные о вертикальном распределении указанных метеорологических величин, полученных для ПСА с высоким пространственно-временным разрешением. Действительно, данные аэрологического зондирования, характеризуются малым разрешением по высоте, недостаточной надежностью ниже уровня 0,5 км, из-за больших скоростей подъема радиозондов, и малой частотой зондирования (лишь два раза в сутки: 00 и 12 ч. по Гринвичу). И, следовательно, они не могут быть использованы для сверхкраткосрочного прогноза с малой заблаговременностью.
Во-вторых, недостаточностью исследований в области разработки методик сверхкраткосрочного прогноза для малых интервалов заблаговременное, реализуемых в условиях ограниченного объема метеорологической информации, получаемых от одной станции наблюдения.
В настоящее время проблема сверхкраткосрочного прогноза решается на основе двух подходов: гидродинамического и физико-статистического, которые для своей реализации требуют привлечения данных метеорологиче-
7 ских и аэрологических измерений либо с довольно больших по площади территорий, либо за продолжительное время наблюдения.
Решение проблем численного восстановления и сверхкраткосрочного прогноза метеорологических полей на мезомасштабном уровне идет в двух направлениях. Во-первых, за счёт развития аппаратных средств, реализующих возможности получения аэрологической информации с высоким временным разрешением и высокой точностью. Во-вторых, разрабатываются новые математические методы и алгоритмы обработки данных.
В последнее время в практику численной диагностики и прогнозирования метеоусловий, в том числе и в пограничном слое атмосферы, стал широко внедряться динамико-стохастический подход, основанный на использовании алгоритма фильтра Калмана [3, 43] и различных математических моделей, которые описывают поведение метеорологических полей в пространстве и во времени [18]. В частности, такой подход использован в работах отечественных исследователей Е.Г. Климовой, B.C. Комарова, Ю.Б. Попова и зарубежных Д.П. Ди, Г. Эвенсена, П.Л. Хаутакамера, Х.Л. Митчела.
К преимуществам моделей, разрабатываемых в рамках динамико-стохастического подхода, можно отнести возможность уточнения их параметров в процессе пространственно-временного прогнозирования, а также построение алгоритма идентификации параметров модели в рекуррентной форме, что обуславливает его высокую экономичность с вычислительной точки зрения.
Поэтому не случайно, что в последние годы для решения указанных задач специалисты Института оптики атмосферы СО РАН стали использовать динамико-стохастические методы (см., например, [18, 74]).
Однако в этих работах в качестве прогностических моделей взяты простейшие линейные модели регрессионного и полиномиального типов. Несмотря на перспективность их применения на практике, в работе [21] показано, что для повышения точности прогнозирования необходимо использовать более сложные аналитические модели динамико-стохастического типа, кото-
8 рые описывали бы лучшим образом динамику поведения метеорологических
величин в пространстве и во времени и обеспечивали бы более адекватное
отражение атмосферных физических процессов.
Наряду с применением динамико-стохастического подхода, решению задачи сверхкраткосрочного прогноза способствует также и расширившиеся возможности получения данных о вертикальном распределении метеорологических величин, и в первую очередь температуры и ветра, с высоким временным разрешением. Это обусловлено тем, что в практику атмосферного мониторинга в последнее время стали широко внедряться новые средства дистанционного зондирования, основанные на использовании современных лидарных, радиометрических и акустических систем. Они позволяют осуществлять оперативную оценку вертикальных распределений температуры и ветра в пограничном слое атмосферы с высоким разрешением, как по высоте, так и во времени [74].
Из сказанного выше очевидно, что решение задач восстановления и сверхкраткосрочного прогноза полей метеорологических величин в области мезомасштаба невозможно без построения новых прогностических и интерполяционных моделей этих полей, которые адекватно отражали бы особенности эволюции атмосферных процессов в пространстве и во времени. На базе таких моделей, с привлечением аппарата калмановской фильтрации, могут быть разработаны более совершенные методы и алгоритмы оценивания текущей и ожидаемой метеорологической обстановки в заданных районах. Полученные результаты могут быть в дальнейшем использованы в качестве информационной основы для диагноза и прогноза уровня загрязненности в атмосфере этих районов.
Таким образом, актуальность темы диссертационной работы определяется:
повышением роли метеорологической информации при решении различных прикладных задач, и в частности задачи диагностики и прогноза тех-
ногенного загрязнения атмосферы в пределах крупного города или промышленного центра;
необходимостью разработки новых, более точных прогностических и интерполяционных моделей формирования и эволюции мезомасштабных атмосферных процессов, а таюке методов использования этих моделей в задачах восстановления и сверхкраткосрочного прогноза полей температуры и ветра, реализуемых в рамках динамико-стохастического подхода;
отсутствием приемлемых по точности и вычислительным затратам алгоритмов достоверного численного восстановления и сверхкраткосрочного прогноза мезомасштабных полей метеорологических величин в условиях минимума исходной информации.
В соответствии с вышеперечисленным, диссертационная работа имеет своей целью построение прогностических и интерполяционных моделей формирования и эволюции мезомасштабных атмосферных процессов, а также разработку методов их использования, в рамках динамико-стохастического подхода, для решения задач численного восстановления и сверхкраткосрочного прогноза полей температуры и ветра в области мезо-масштаба.
Для достижения поставленной цели в диссертации были решены следующие задачи:
проанализировано современное состояние работ в области существующих методических подходов к решению задач диагностики и прогноза полей метеорологических величин в области мезомасштаба;
разработана интерполяционная четырехмерная динамико-стохастическая модель процессов изменения полей метеорологических величин в пространстве и во времени для синтеза алгоритма численного восстановления этих полей в области мезомасштаба;
на основе построенной четырехмерной динамико-стохастической модели разработаны новый метод и алгоритм восстановления мезометеоро-логических полей в условиях минимума исходной информации;
4) разработана прогностическая двумерная модель динамико-
стохастического типа для ее использования в методике и алгоритме сверхкраткосрочного прогноза с малой заблаговременностью, порядка 0,5-3 часа;
на основе двумерной динамико-стохастической модели разработана новая методика и алгоритм сверхкраткосрочного прогноза полей метеорологических величин с малой заблаговременностью, проводимого по данным наблюдений только одной станции высотного зондирования;
на примере полей температуры и ветра, проведены численные эксперименты по оценке качества и эффективности предложенных алгоритмов восстановления и сверхкраткосрочного прогноза.
В качестве методов исследований при решении поставленных задач были использованы методы теории оптимального оценивания, математической статистики, численного анализа и практические численные эксперименты, проводимые с применением реальных радиозондовых, содарных и радиометрических измерений.
Основные научные результаты и их новизна состоят в следующем:
впервые предложена интерполяционная четырехмерная динамико-стохастическая модель изменения мезомасштабных полей метеорологических величин в пространстве, реализуемая с учётом временных изменений. При этом отличительной особенностью является то, что в вектор состояния модели включены не собственно метеорологические величины, а неизвестные и подлежащие оцениванию параметры многомерной авторегрессии;
на основе предложенной четырехмерной модели впервые разработаны новые методика и алгоритмы численного восстановления полей метеорологических величин в области мезомасштаба, проводимого в условиях минимума исходной информации. Реализован подход, согласно которому для каждой точки интерполяции строится свой собственный фильтр Калмана, что позволяет значительно сократить вычислительные затраты;
разработана двумерная динамико-стохастическая модель эволюции полей метеорологических величин, одновременно учитывающая их изменение по высоте и во времени;
впервые предложен метод, и алгоритмы сверхкраткосрочного прогноза полей метеорологических величин с малой заблаговременностью, от 0,5 до 3 часов, разработанные на основе двумерной динамико-статистической модели, и работающие с использованием данных наблюдений только одной станции высотного зондирования;
впервые, на примере полей температуры и ветра, получены результаты численных экспериментов по оценке качества и эффективности разработанных алгоритмов восстановления и сверхкраткосрочного прогноза. Осуществлена оптимизация алгоритма сверхкраткосрочного прогноза относительно параметров прогностической модели и характера исходных данных.
На защиту выносятся следующие положения:
Предложенная четырехмерная динамико-стохастическая модель, основанная на учете пространственно-временного распределения полей метеорологических величин, позволяет адекватным образом описать состояние атмосферы в области мезомасштаба.
Применение четырехмерной динамико-стохастической модели в алгоритме численного восстановления метеорологических полей позволяет получать их достоверную оценку на неосвещенной данными наблюдений территории на глубину 250-300 км, даже в условиях ограниченной информации.
Разработанная прогностическая двумерная динамико-стохастическая модель и алгоритм ее применения в задаче сверхкраткосрочного прогноза полей температуры и ветра, осуществляемого на основе высотного радиометрического и содарного зондирования в отдельных измерительных пунктах, позволяют проводить прогнозирование полей этих метеорологических величин с заблаговременностью т=0,5-3 часа, и точностью, достаточной для практического применения.
4) Оптимизация алгоритма сверхкраткосрочного прогноза полей температуры и ветра в ПСА, за счёт адекватного выбора параметров двумерной модели и методики её использования, позволяет уменьшить результирующую ошибку прогнозирования минимум на 30-40% для заблаговременности т^З часа.
Положения, выносимые на защиту, являются решением актуальной научной задачи - разработки многомерных динамико-стохастических моделей процессов эволюции метеорологических полей в пространстве и во времени, а также методов и алгоритмов их применения для восстановления и сверхкраткосрочного прогноза указанных полей в области мезомасштаба.
Научная и практическая значимость работы определяется тем, что полученные в диссертации многомерные динамико-стохастические модели могут быть использованы, с одной стороны, для описания состояния и эволюции атмосферных полей температуры и ветра в области мезомасштаба, а с другой стороны, для разработки новых методов и алгоритмов достоверной оценки и сверхкраткосрочного прогноза этих полей в интересах информационной поддержки решения задач диагностики и прогнозирования уровня загрязненности атмосферы в крупных городах, промышленных центрах и местах проведения утилизации экологически опасных объектов.
Обоснованность и достоверность полученных в диссертационной работе результатов обусловлена применением уже апробированных другими авторами динамико-стохастических подходов к решению задач прогноза и восстановления метеорологических полей, а также аргументированностью исходных положений, логической непротиворечивостью рассуждений, корректным использованием современного математического аппарата.
Методологическую основу диссертационной работы составили научные труды отечественных и зарубежных авторов в области математики и физики атмосферы. Кроме того, достоверность работы подтверждается результатами численных экспериментов, сравнением с данными других авторов и всем имеющимся эмпирическим материалом.
13 Апробация и публикации результатов работы:
Результаты диссертации докладывались и получили одобрение на X -XII Международном симпозиуме «Оптика атмосферы и океана. Физика атмосферы» (Томск, 2003 - 2005 гг.); на Пятом Сибирском Совещании по кли-мато-экологическому мониторингу (Томск, 2003 г.); на II Международной конференции «Окружающая среда и экология Сибири, Дальнего Востока и Арктики (Томск, 2003 г.); на X и XI Рабочей группе «Аэрозоли Сибири» (Томск, 2003 - 2004 гг.); на Всероссийской научной конференции «Современные глобальные и региональные изменения геосистем» (Казань. 2004 г.) и на International Symposium for the Advancement of Boundary Layer Remote Sensing (Garmisch-Partenkirchen, Germany, 2006).
Основные результаты диссертации изложены в 6 статьях и 11 тезисах докладов, а также вошли в отчет по НИР, выполняемой по специальной тематике.
Метод оптимальной интерполяции
Практическое использование основных положений теории оптимального оценивания нашло отражение в методе оптимальной интерполяции. Метод оптимальной интерполяции был впервые предложен в метеорологии Л.С. Гандиным [12] и получил огромное распространение в 70-80х годах, как в СССР, так и зарубежом. Первые схемы применения метода в задачах усвоения данных для Западной Европы были реализованы А. Лоренцем и Р. Макперсоном [ПО, 111]. Основная идея упрощения алгоритма вычисления выражений (1.1) - (1.5) заключалась в том, что задавались мезомасштабные области наблюдения, для которых использовались только граничные условия. Для полигона размером 500x500 км, с высокой корреляцией ошибок предсказания получались вполне приемлемые результаты. Размерность вектора предикторов для такой области при использовании 15-ти стандартных высотных уровней составляла всего порядка 700 элементов. Дальнейшим приближением в методе оптимальной интерполяции было упрощение аналитической прогностической модели. Эта модель была изотропной, геострофической и к ней применялся метод расщепления по высотным уровням [53], согласно которому пространственная корреляция может быть выражена в виде суммы двух функций, одна из которых зависит только от горизонтального расстояния, а другая только от высоты. Кроме того, применение в объективном анализе метода оптимальной интерполяции: - требует выполнения условия, чтобы число исходных данных существенно превышало число определяемых весовых коэффициентов; - исключает коррекцию весовых коэффициентов во времени вследствие неизменности используемых пространственных корреляционных функций; - приводит к плохой обусловленности системы уравнений оптимальной интерполяции, применяемой для оценки весовых коэффициентов, в случае, когда влияющие пункты расположены по одну и ту же сторону от точки про гноза [12]. В общем виде, реализация метода оптимальной интерполяции (ОИ) требует наличия взаимной трехмерной пространственной корреляционной функции. Для простейшего случая линейной и однородной функции своих аргументов интерполяция производится по формуле: b =tk (1.11) /=1 где 0 - оценка поля в точке «0»; щ - неизвестные весовые множители; измерения поля в точках / =1,2,...и. Весовые множители я,- находят путем решения следующего уравнения: Z «у /у + аіЛ/ = И-о/» (1Л2) здесь \Ху и \хОІ - коэффициенты пространственной корреляции значений поля между точками / и у, а также «0» и i;j=l,2,...n; rj,- = А,- / тг- - отношение среднего квадрата ошибки интерполяции Аг- в точке і к дисперсии метеорологической величины of, называемое обычно мерой ошибки измерения; п число точек измерения [12]. Для расчета весовых множителей по формуле (1.12) необходимо знать значения автокорреляционных функций }% и ц0/.
Для однородного и изотропного поля автокорреляционная функция р. зависит только от расстояния между рассматриваемыми точками, а также расстояния каждой из влияющих точек до прогнозируемой точки «0». На практике, в качестве д,,у и д.0/ используют эмпирические значения пространственных корреляционных функций, заданных рядом табличных значений. Применяют также, разного рода аналитические аппроксимации [37], например: = --ар (1.13) 1.14) 1.15) 1.16) 1.17) VP=e Р lip = е аР cos(/?p) -%. где р - расстояние между точками / иу; р0 - радиус пространственной корреляции; а и Р - эмпирические коэффициенты.
Основными недостатками метода оптимальной интерполяции является: - увеличение ошибок оценивания за счет локализации рассматриваемых данных. Чем больше локальных блоков данных мы рассмотрим, тем большую погрешность мы внесем в результат. - использование в алгоритме оптимальной интерполяции слишком простых моделей, что не позволяет описать с достаточной надежностью сложные метеорологические объекты.
В предыдущем, линейном и квазилинейном случаях, мы находили решение статистической задачи посредством минимизации некоторой функции. В случае линейного регрессионного процесса эта функция минимизировала средний квадрат ошибки.
Интерполяционная четырехмерная модель изменения мезомасштабных процессов в пространстве и во времени
Остановимся теперь подробнее на рассмотрении предложенной диссертантом, интерполяционной четырехмерной динамико-стохастической модели, положенной в основу методики численного восстановления мезомас-штабных метеорологических полей.
Интерполяционная четырехмерная динамико-стохастическая модель в общем виде может быть представлена следующим выражением: где к = О,1, 2, ... -дискретное текущее время с интервалом дискретизации At, причем k = к-At; К - максимальный порядок запаздывания по времени, который определяет глубину авторегрессии; М - количество высотных уровней, используемых для формирования оценки поля , ; S - количество пунктов аэрологических наблюдений; cij, bm, cs - неизвестные и подлежащие оцениванию параметры модели (2.7), определяющие временную, высотную и горизонтальную зависимости между значениями измерений поля в разные моменты дискретного времени к, на различных уровнях h и в разных г-х точках мезомасштабного полигона соответственно; ris - масштабирующий временной множитель, позволяющий модели (2.7) усваивать несинхронизированные во времени данные, приходящие с i-x точек (пунктов) измерения; his - нормирующий высотный коэффициент, отражающий связь между измерениями на разных произвольно заданных высотных уровнях для различных точек (пунктов) наблюдений; pis - нормирующий коэффициент, определяющий взаимное расположение точек (пунктов) наблюдения и точки восстановления на плоскости в пределах мезомасштабного полигона и отражающий наличие пространственной корреляции между ними, который можно вычислить исходя из следующего выражения: здесь р0 - радиус пространственной корреляции, который, согласно [12, 59], равен в пограничном слое 1500 км (для температуры) и 750 км (для ортогональных компонент скорости ветра), а в свободной атмосфере - 2000 и 1000 км соответственно; и Ris=yj(xi-xs)2+ (у{-ys)2 - расстояние между точками / и s (в км).
В выражении (2.7) єг- h(k) — невязка модели, которая определяет стохас тичность рассматриваемых атмосферных процессов. Тем самым мы предполагаем несовершенство модели, описываемой выражением (2.7).
Поскольку в нашем случае используется постоянный временной интервал между сроками измерений (At = 12 ч.) и данные наблюдений приведены к единой системе геометрических высот, то Tis = 1 и his = 1. Учитывая это, выражение (2.7) можно переписать в виде:
Рассмотрим теперь собственно методику пространственного восстановления, использующую фильтр Калмана и модель вида (2.9), которая впервые основана на фильтрации вектора состояния системы, составленного из коэффициентов этой модели. Из выражения (2.9) следует, что значение флук-туационного поля , в любой точке мезомасштабного полигона на выбранном высотном уровне будет параметрическим образом зависеть от значения этого поля в предыдущие моменты времени (на глубину К), от его значений на всех высотных уровнях вплоть до уровня М, в момент времени к (момент наблюдения) и от всех измеренных значений поля на взятом уровне h в других точках наблюдения. Наличие параметрической зависимости между значением флуктуационного поля , в точке восстановления и точках наблюдения не позволяет напрямую воспользоваться выражением (2.9) для получения оптимальной линейной оценки, т.к. в этом выражении модельные параметры ар bni, cs - неизвестны. Поэтому задача оценки поля в некоторой точке с координатами (хо, уо) в случае применения четырехмерной динамико-стохастической модели распадается на два этапа. На первом этапе по значениям флуктуационного поля , полученным в точках (пунктах) измерения, с помощью модели (2.9) осуществляется оценка ее коэффициентов a,j, bm, cs, которые из-за предположения об однородности и изотропности поля для заданного мезомасштабного полигона будут в среднем по времени постоянными. На втором этапе по оцененным коэффициентам восстанавливаются значения флуктуационного поля в точке интерполяции и на заданных высотных уровнях. Подробнее об указанных этапах решения задачи оценивания говорится ниже (в главах 2.3 PI 2.4).
Методика статистической оценки качества используемого алгоритма
Для оценки качества восстановления полей метеорологических величин используется наиболее простой подход, который, согласно [12], состоит в непосредственном определении значений метеорологической величины на выбранной контрольной станции по данным окружающих станций. При этом значения в контрольной станции считаются неизвестными. Отклоне ния между восстановленными значениями и фактическими измерениями, полученными для контрольной станции, являются основой для оценки качества восстановления.
Для оценки качества разработанного алгоритма пространственного восстановления метеорологических полей температуры и ветра, используются следующие статистические характеристики [37]:
1. Стандартная среднеквадратическая погрешность пространственной интерполяции (экстраполяции) 8 , рассчитываемая с помощью выражения: Здесь ;г- и 4; - соответственно восстановленное и измеренное значения рассматриваемой метеорологической величины, взятые для /-ой реализации, а п - число использованных реализаций.
2. Относительная погрешность пространственной интерполяции (экс траполяции) 0 , рассчитываемая с помощью выражения: Є=А (3.7) где, о - среднеквадратическое отклонение той же метеорологической величины. Эта величина может выражаться как в процентах, так и в долях единицы.
3. Функция распределения вероятности (Р) ошибок численного про гнозирования А(- = - , которая показывает вероятность попадания ошибки в заданный интервал. Интервалы задаются в градусах для температуры и метрах в секунду для скорости ветра.
Кроме того, для оценки эффективности разработанного динамико-стохастического алгоритма используется процедура сопоставления качества восстановления, проведенного с помощью других альтернативных алгоритмов. В нашем случае с этой целью берется динамико-стохастический алгоритм на основе упрощенной линейной модели регрессионного типа и аппа рата фильтрации Калмана, а также алгоритм оптимальной интерполяции, применяемый в современных схемах объективного анализа метеорологических полей.
Остановимся теперь на анализе результатов статистической оценки качества алгоритма восстановления, рассмотренного в главе 2, базирующегося на использовании четырехмерной модели динамико-стохастического типа и аппарата калмановской фильтрации. Данный алгоритм был подвержен исследованию на точность и эффективность при его применении в задаче пространственной интерполяции и экстраполяции мезомасштабных полей температуры и ветра. Для подобного исследования диссертант пользовался результатами статистической оценки качества разработанного им алгоритма, приведенными в [42, 44], а также данными своих более поздних исследований. Кроме того, для оценки эффективности предложенного алгоритма была использована процедура сопоставления результатов численного восстановления с результатами применения альтернативных алгоритмов. В качестве таких алгоритмов взят динамико-стохастический алгоритм, рассмотренный в [37, 40, 41], основанный на использовании упрощенной линейной модели регрессионного типа и аппарата калмановской фильтрации, а также алгоритм оптимальной интерполяции, получивший широкое распространение в практике объективного анализа метеорологических полей [3, 95].
В табл.3.2 и 3.3, приводятся значения среднеквадратических погреш ностей 5 и вероятностей Р ошибок восстановления Д, - (здесь и 4, - фактическое и восстановленное среднепослойное значение метеорологического поля в точке восстановления «0» ) менее или более заданного значения.
Методика применения двумерной динамико-стохастической модели и алгоритма фильтра Калмана
Из выражения (4.1) следует, что значение поля \ на выбранном высотном уровне h, будет параметрическим образом зависеть от значений этого поля в предыдущие моменты времени (на глубину К), на этом же высотном уровне и на /-ом числе вышележащих и нижележащих уровней. Наличие параметрической зависимости между значением поля в момент времени к и предыдущие моменты времени наблюдения не позволяет напрямую воспользоваться выражением (4.1) для получения оптимальной линейной оценки, т.к. в этом выражении модельные параметры dmj, - неизвестны. Поэтому задача сверхкраткосрочного прогноза поля ; в некоторой точке с координатами (хо, У о) на высоте h в случае применения двумерной динамико-стохастической модели распадается на два этапа. Такой подход аналогичен применению четырехмерной динамико-стохастической модели в задаче численного восстановления полей температуры и ветра, рассмотренной в главе 2.
На первом этапе по значениям метеорологического поля 4 в точке (хо, У о), взятым для момента времени к и предыдущих моментов времени на фиксированном высотном уровне h, а также на соседних с ним уровнях в пределах заданного атмосферного слоя, производится оценка параметров модели dmj. Предположим, что в пределах интервала дискретизации входной последовательности, оцениваемые параметры модели dmj- в среднем по времени не изменяются. Это связано с предположением об однородности и изотропности поля на рассматриваемом интервале заблаговременности. Далее, на втором этапе по оцененным параметрам математической модели (4.1) и уравнению прогноза производится оценка значения поля метеорологической величины t, в заданной точке, в момент времени к+\ и на высоте h.
Уравнение сверхкраткосрочного прогноза будет выглядеть следующим образом: h+i АГ-1 л л( + !)= X Ydmj+m{k-j). (4.2) m—h—i У=0 л
Здесь А(& + 1) - оценка метеорологического поля в момент времени к+\; dm -+1 — оцененные на Аг-ом временном шаге неизвестные параметры модели; ,т(к — j) - измеренные значения поля метеорологической величины в точке прогноза, на высотных уровнях, начиная с h—i по h+i (заданный атмосферный слой), и в моменты времени с А: по к-К (интервал времени, используемый в качестве предиктора в алгоритме фильтра Калмана).
Необходимо отметить, что в выражениях (4.1) и (4.2) в качестве исходных данных могут браться как измеренные значения метеорологического по Ill ля , так и флуктуационные отклонения этого поля от некоторого среднего значения. Подробнее этот вопрос обсуждается в главе 5.5. В соответствии с [65] для оценивания неизвестных параметров модели (4.1), т.е. dmj, можно задать систему разностных уравнений в матричном виде: 4+1= 4+4» (4.з) где:хк = \\d01(k),d02(k),...,d0K(k), dhl(k),...,dhK(k), d2i+ul(k),...,d2i+lK(k)\\ = т х{(к),х2(к),...,х(К(к),...,Х(21+1ук(к) - вектор-столбец размерностью п = (2i+l)K, включающий в себя неизвестные и подлежащие оцениванию параметры состояния динамической системы («истинный» вектор состояния) для текущего дискретного времени к, (здесь Т- оператор транспонирования); Ч?к - матрица перехода для дискретной системы размерностью т (nxn)=((2i+\)Kx(2i+l)K); (ок- со[,со2, ...,со1п - вектор-столбец случайных возмущений системы (вектор шумов состояния) размерностью n=(2i+l)K, причем: (4) = о, (( )K)7)=QA/5 где 5к1 - символ Кронекера; Qk - матрица ковариаций шумов состояния.
Если предположить, что на рассматриваемом интервале времени атмосферные процессы и неизвестные параметры хк в среднем по времени не изменяются, то матрица перехода хк для этого случая будет соответствовать единичной матрице I размерностью (пхп). Таким образом, выражение (4.3) можно записать в виде: 4+1=4+4- (4.4)
Математическая модель измерений, по данным которых в алгоритме фильтра Калмана проводится оценка состояния системы, в общем случае описывается аддитивной смесью полезного сообщения и ошибки измерения: 112 уї=Й=Нлді+ 2. (4.5) где у - вектор фактических измерений. В нашем случае у это скаляр -число, которое представляет собой измерение на фиксированной высоте h в момент времени к; Н - вектор наблюдений размерностью n=(2i+\)K, определяющий функциональную связь между истинными значениями переменных состояния и фактическими измерениями, т.е. вектор-строка, элементами которого являются предикторы, внесенные с определенным весом и следующие друг за другом; zk — ошибка измерения в момент времени к (шум измерений), также является числом, причем: (є) = 0, ((8?)(B?)T) = RA, ((4)И )Г) = О, где Rk матрица ковариаций шумов измерения.
Зададим теперь матрицу наблюдений Н . При сопоставлении выражений для прогностической модели (4.1) и математической модели измерений (4.5) становится очевидным, что элементами матрицы Н являются значения измерений поля Ъ, на всех уровнях в пределах высотного окна, в данный и предыдущие моменты времени на глубину К.
