Содержание к диссертации
Введение
1. Магнитоупругая устойчивость элементов электромагнитной системы (ЭМС) ИТЭР 17
1.1 Введение. Магнитная жесткость. Потенциальность пондеро-моторных сил 17
1.2 Система катушек тороидального поля (КТП) 22
1.2.1 Устойчивость внутренней зоны системы КТП в случае частичного арочного распора 23
1.2.2 Устойчивость центральной зоны системы КТП в схеме с опиранием на центральный соленоид 36
1.3 Система катушек полоидального поля (КПП) 50
1.3.1 Устойчивость системы КПП на упругих опорах 50
1.3.2 Устойчивость КПП в тороидальном поле 64
1.4 Выводы по главе 71
2. Термонапряженное состояние ЭМС ИТЭР при захолаживании 72
2.1 Введение 72
2.2 Температурные поля в КТП при захолаживании 73
2.2.1 Модель двухфазной гомогенной среды 73
2.2.2 Распределение температуры в сверхпроводящей обмотке 75
2.2.3 Распределение температуры в корпусе катушки 81
2.2.4 Эффективные теплофизические свойства обмотки 82
2.2.5 Результаты расчета температурных полей 83
2.3 Напряженно-деформированное состояние КТП 88
2.3.1 Постановка задачи. Расчетная модель 88
2.3.2 Результаты расчетов 92
2.4 Анализ захолаживания модельной катушки центрального соленоида ИТЭР и сравнение с экспериментальными данными 109
2.5 Выводы по главе 118
3. Электро- и термомеханика сверхпроводящего кабеля при потере сверхпроводимости 120
3.1 Постановка модельной задачи о локальном скачке сопротивления в композитном проводе кругового сечения 120
3.2 Диффузия тока 123
3.3 Определение температурного поля 133
3.4 Расчет поля напряжений 142
3.5 Выводы по главе 156
Заключение 157
Список литературы 159
- Система катушек тороидального поля (КТП)
- Температурные поля в КТП при захолаживании
- Результаты расчета температурных полей
- Диффузия тока
Введение к работе
Одним из наиболее перспективных направлений в современной энергетике является создание установок для осуществления управляемого термоядерного синтеза (УТС). Практическая реализация УТС позволит обеспечить человечество фактически неисчерпаемым источником энергии [1-5]. Среди различных устройств для создания условий необходимых для УТС наибольшее распространение получили установки с магнитным удержанием плазмы - токамаки [3, 5]. Устройство, объединяющее тороидальную камеру с магнитным полем, было впервые создано в России, и теперь сокращение "токамак" стало международным словом. За последние десятилетия в мире построено несколько десятков токамаков и получены обнадеживающие результаты, однако до сих пор не удалось достичь требуемых для УТС параметров. Первой такой установкой должен стать ITER (ИТЭР) - международный экспериментальный термоядерный реактор [9]. Эскизное проектирование ИТЭР было начато в 1988г., недавно закончилась разработка технического проекта. Сейчас идет работа по адаптации проекта к строительству. В работе над проектом участвуют практически все ведущие в области УТС лаборатории и институты мира. За прошедшие 14 лет происходили значительные изменения в проекте, однако оставалась неизменной основная цель ИТЭР - продемонстрировать управляемую термоядерную реакцию и отработать основные технические решения для последующих термоядерных электростанций [7, 9].
Важнейшим элементом токамака является электромагнитная система (ЭМС). Создаваемые ЭМС магнитные поля служат для формирования и удержания плазмы [2]. Для ИТЭР предполагается использовать сверхпроводящие магниты, работающие при температуре жидкого гелия (4.2К) [8, 15]. ЭМС ИТЭР представляет собой гигантское сооружение. Так, например, вариант проекта 1997-98 г.г. [8] имеет диаметр около 30 м и высоту около 20 м. Общий вес ЭМС с силовыми конструкциями составляет около 20 тысяч тонн. ЭМС состоит из 20 D-образных катушек тороидального поля (КТП), образующих тор, 9 кольцевых катушек полоидального поля (КПП), центрального соленоида (ЦС) и 16-ти корректирующих катушек. Тороидальный магнит создает поле 5.7 Т на оси плазмы. Максимальное поле около 13 Т, а полная запасенная электромагнитная энергия - 103 ГДж. Для сверхпроводящих обмоток используются NbsSn и NbTi проводники, обеспечивающие высокую плотность тока.
Неотъемлемой частью проектирования является определение электромагнитных сил и расчет на прочность. Этот расчет для ЭМС ИТЭР включает в себя как традиционную часть - вычисление механических нагрузок, вызванных электромагнитными силами, определение напряженно-деформированного состояния, оценку прочности и ресурса, так и специфические расчеты, связанные с особенностями высоконагруженных сверхпроводящих магнитов и требующие развития новых научных методик. Обзор проблем прочности ЭМС токамаков дается, в частности, в [20, 21, 22, 23, 24]. Примеры расчетов электромагнитных сил и оценки-прочности ЭМС токамаков приведены в [6, 11, 27, 28].
Данная работа посвящена разработке научных подходов и решению ряда специальных магнитотермомеханических задач прочности характерных для крупных сверхпроводящих магнитных систем, каковой является ЭМС ИТЭР.
Во-первых, ЭМС ИТЭР представляет собой пространственную магнитомеханическую конструкцию с токонесущими обмотками и силовыми элементами. В результате взаимодействия электрических токов и создаваемых ими магнитных полей возникают огромные пондеромоторные силы, приводящие к механическому нагружению магнитной системы. Полная радиальная сила на одну КТП составляет 726 МН, а разрывающая вертикальная сила на половину КТП - 371 МН. Генерируемые системой КПП полоидальные поля создают дополнительные распределенные силы, действующие на КТП в тороидальном направлении (из плоскости катушки) и стремящиеся опрокинуть систему катушек. Значительные механические нагрузки действуют также на ЦС и КПП. Для восприятия этих нагрузок служат стальные корпуса КТП и дополнительные силовые конструкции.
Магнитомеханическое взаимодействие токонесущих элементов может стать также причиной потери устойчивости ЭМС [14, 72, 74]. В исходном состоянии положение элементов ЭМС характеризуется осевой и циклической симметрией. Однако при отклонении от этого состояния возникают дополнительные упругие и электромагнитные силы. Упругие внутренние силы являются стабилизирующими (восстанавливающими) положение равновесия, в то время как электромагнитные силы могут быть стабилизирующими или дестабилизирующими в зависимости от конфигурации системы и направления токов. В случае малых отклонений можно ввести понятие магнитной жесткости. Упругая жесткость всегда положительна. В случае дестабилизирующих магнитных сил, когда эти силы действуют в направлении отклонения, магнитная жесткость-отрицательна и возможна потеря устойчивости. Для обеспечения устойчивости система должна иметь достаточно большую упругую жесткость. Исследованию магнитоупругой устойчивости ЭМС ИТЭР посвящена 1-ая глава диссертации.
Во-вторых, ЭМС ИТЭР является сверхпроводящей и работает при криогенной температуре около 4,5К. Захолаживание обмоток и силовых конструкций до рабочей температуры сопровождается возникновением температурных градиентов и механических напряжений. Значительные размеры ЭМС и применение композитных материалов для сверхпроводящих обмоток делает проблему обеспечения прочности при захолаживании весьма актуальной для ИТЭР. Захолаживание с низким темпом приводит к снижению температурных градиентов и напряжений, однако увеличивает продолжительность захолаживания. Необходимо расчетным путем выбрать приемлемый сценарий захолаживания как с точки зрения времени, так и условий прочности. Разработке методик, расчету температурных полей, исследованию напряженно-деформированного состояния и оптимизации захолаживания КТП - самого массивного элемента ЭМС - посвящена 2-ая глава диссертации.
В-третьих, применение сверхпроводящих обмоток в ЭМС ИТЭР связано с обеспечением прочности при переходе из сверхпроводящего состояния в нормальное. Исследование механических факторов, которые могут повлиять на токонесущую способность сверхпроводящих обмоток крупных магнитов, становится все более актуальным [25, 89]. Проведенные недавно испытания модельных катушек-вставок проводника центрального соленоида и обмотки тороидального поля ИТЭР показывают изменение рабочих характеристик сверхпроводников после циклического нагружения и переходов в нормальное состояние [87].
Проблема анализа термомеханического состояния, вызванного переходными процессами при потере сверхпроводимости, является весьма многоплановой, и ей посвящены многие исследования [25, 84, 85]. При анализе распространения нормальной зоны большинство авторов рассматривали или одномерную задачу (вдоль проводника), или 3-х мерную (в объеме обмотки), однако важным является также исследование электро-термомеханических процессов в самом сверхпроводящем кабеле. Процессы перетекания транспортного тока из сверхпроводящей жилы в стабилизирующую матрицу и связанные с этим разогрев и напряженно-деформированное состояние должны быть рассмотрены для оценки локальной прочности сверхпроводника.
В 3-ей главе диссертации приведено решение модельной задачи о мгновенном скачке сопротивления токонесущей жилы композитного провода круглого сечения. Рассмотрена диффузия тока из жилы в окружающую матрицу, получены распределения температур, объемных сил и механических напряжений для оценки локальной прочности.
Таким образом, разработка математических методик и решение вышеперечисленных проблем являются актуальной задачей.
Цель работы. Диссертационная работа имеет следующие цели:
1. Анализ магнитоупругой устойчивости ЭМС токамака на примере различных вариантов проекта ИТЭР;
2. Исследование термомеханического состояния тороидальной магнитной системы ИТЭР при захолаживании;
3. Анализ термомеханических процессов диффузии транспортного тока из сверхпроводящей жилы в стабилизирующую матрицу.
Научная новизна и результаты, выносимые на защиту. В диссертации получены следующие новые результаты:
- построены математические модели электромагнитной системы тока мака для исследования магнитоупругой устойчивости;
- с использованием построенных моделей получены аналитические выражения для магнитных и упругих жестокостей, а также для коэффициента запаса устойчивости для различных конфигураций электромагнитных систем: катушек тороидального и полоидального полей;
- проведены расчеты магнитоупругой устойчивости вариантов проекта ЭМС ИТЭР; - разработаны математические модели анизотропных обмоток произвольной конфигурации для расчета температурных полей при захолаживании;
- на примере расчета захолаживания модельной катушки центрального соленоида ИТЭР показано хорошее совпадение результатов разработанной методики с экспериментальными данными и расчетами по другим моделям;
- получены аналитические выражения для температур и проведен расчет захолаживания катушки тороидального поля ЭМС ИТЭР;
- построена конечно-элементная модель катушки тороидального поля ЭМС ИТЭР и выполнен расчет напряженно-деформированного состояния при захолаживании с учетом рассчитанных температурных полей, а также проведена оценка прочности и даны рекомендации по оптимизации сценария захолаживания;
- разработаны математические методики и решена модельная задача о расчете термомеханических полей при диффузии транспортного тока из сверхпроводящей жилы в стабилизирующую матрицу при потере сверхпроводимости.
Практическая ценность. Выполненные в диссертационной работе исследования имеют следующее практическое значение:
1. Разработанные методики и математические модели применимы для анализа магнитоупругой устойчивости электромагнитных систем токамаков и других электрофизических установок.
2. Полученные аналитические решения для различных токонесущих обмоток позволяют вычислять коэффициенты запаса устойчивости и величины упругих жесткостей опорных конструкций необходимые для обеспечения устойчивости. 3. Проведенный расчет показал достаточные, в соответствии с принятыми критериями проектирования, запасы магнитоупругой устойчивости ЭМС исследованных вариантов проекта ИТЭР.
4. Разработанные методики и математические модели применимы для расчета температурных полей в анизотропных сверхпроводящих обмотках некруговой формы при захолаживании. С помощью асимптотического анализа получены аналитические выражения для квазистатических температурных полей в обмотках и корпусах катушек при захолаживании с постоянным темпом.
5. На основе проведенного расчета термонапряженного состояния и оценки прочности КТП ИТЭР подтверждена допустимость выбранного сценария захолаживания и даны рекомендации по его возможной оптимизации.
6. Построенная математическая модель и полученные аналитические решения для электромагнитных и температурных, а также механических напряжений, позволяют оценивать локальное напряженно-деформированное состояние сверхпроводящих кабелей, вызванное перетеканием транспортного тока из сверхпроводящей жилы в окружающую матрицу. t
7. Полученные в диссертации результаты были использованы при проектировании магнитной системы ИТЭР и вошли в состав документации технического проекта.
Апробация результатов и публикаций. Основные результаты диссертации обсуждались на семинарах НИИЭФА, докладывались на рабочих совещаниях в центральной группе ИТЭР (г. Нака, Япония) с 1995 по 2001 г., а - также представлялись на конференциях и семинарах: IV Межреспубликанской конференции "Проблемы повышения прочности элементов машиностроительных конструкций" (1986), 19th Symposium on Fusion Technology (1996), 15th International Conference on Magnet Technology (1997), Шестой Всесоюзной конференции по инженерным проблемам термоядерных реакторов (1997), III научно-техническом семинаре "Актуальные проблемы прочности материалов и конструкций при низких и криогенных температурах"(1997), 20th Symposium on Fusion Technology (1998). Результаты диссертации опубликованы в 9 работах [15, 16, 27, 28, 41, 42,43,44,78].
Объем и структура диссертации. Работа изложена на 158 машинописных листах, состоит из введения, трех глав и заключения, а также содержит 56 рисунков и 8 таблиц. Список цитируемой литературы состоит из 89 наименований.
Содержание работы. Первая глава диссертации посвящена исследованию магнитоупругой устойчивости электромагнитной системы (ЭМС) ИТЭР. Описание явления потери магнитоупругой устойчивости элементов ЭМС, а также примеры теоретического и экспериментального исследования этого явления даны в первом разделе главы. Здесь же рассмотрено понятие магнитной жесткости. Магнитная жесткость может быть как положительной, так неотрицательной в зависимости от конфигурации, направления токов и смещения элементов магнитной системы. Согласно теореме Эрншоу [13], в системе с постоянными токами всегда существует такая форма смещения, что соответствующая ей магнитная жесткость будет отрицательной и, если упругие возвращающие силы будут меньше дестабилизирующих магнитных, то произойдет потеря устойчивости. Потенциальность пондеромоторных сил [30, 31] позволяет применить метод Эйлера для анализа магнитоупругой устойчивости. Проблемы магнитоупругой устойчивости системы катушек тороидального поля рассмотрены во втором разделе первой главы. Система КТП образует тор. В недеформированном состоянии каждая катушка лежит в плоскости циклической симметрии и, хотя все катушки притягиваются друг к другу, полная сила в тороидальном направлении на любую КТП равна нулю. Однако при отклонении от идеального расположения взаимные расстояния между катушками меняются и возникают тороидальные силы. Так, например, при взаимном сближении двух соседних катушек возникают силы, стремящиеся еще больше сблизить катушки. Магнитная жесткость в этом случае отрицательна и возможна потеря устойчивости. Тороидальное расстояние между прямолинейными участками D-образных катушек наименьшее и, следовательно, магнитомеханическое взаимодействие здесь будет наибольшее. Исследованию магнитоупругой устойчивости этой зоны для 2-х вариантов силовой схемы посвящены два подраздела. Рассмотрен вариант частичного арочного распора, когда между катушками расположены упругие штифты, а также схема с опиранием на центральный соленоид. Для анализа устойчивости используется как модель с распределенными параметрами, так и дискретная модель. В модели с распределенными параметрами зона арочного распора КТП рассматривается как несущая цилиндрическая оболочка. В дискретной модели - это набор токонесущих стержней. Получены выражения для магнитных и упругих жесткостей. Анализ устойчивости проводится с помощью метода Эйлера. В результате решения получены аналитические выражения для коэффициентов запаса. Численный расчет для параметров ИТЭР показал, что, благодаря достаточной жесткости упругих связей, условия устойчивости выполняются с достаточным запасом для обоих вариантов силовой схемы.
Третий раздел первой главы посвящен исследованию устойчивости системы катушек полоидального поля (КПП). Система рассматривается как набор абсолютно жестких токонесущих колец, закрепленных на упругих опорах. Анализируется устойчивость по отношению к горизонтальному смещению. Получены выражения для магнитных и упругих жесткостеи, а также соответствующие потенциалы. Условием устойчивости является условие положительной определенности матрицы, составленной из магнитных и упругих жесткостеи, входящих в выражение для потенциала всех сил. Токи в КПП меняются во времени в соответствии со сценарием управления плазмой, поэтому расчет на устойчивость выполняется для наборов токов, соответствующих характерным точкам сценария. Показано, что жесткость опорных конструкций достаточна и условие устойчивости выполнено.
В этом разделе также проведен анализ устойчивости КПП в случае ее расположения внутри тороидального магнита. Так как в недеформированном состоянии ток, протекающий по КПП, параллелен тороидальному магнитному полю, то соответствующие силы взаимодействия равны нулю. Однако при деформации кольца КПП произведение ІхВ становится отличным от нуля, и на КПП начинают действовать силы, дестабилизирующие начальное равновесное положение. КПП рассмотрена как деформируемое кольцо с током на упругих опорах в тороидальном поле. В результате получено аналитическое соотношение-,- позволяющее определить критические значения для конкретных значений тока, поля и жесткостеи опор и КПП.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию термомеханики захолаживания сверхпроводящих катушек. Для определения температурных полей в сверхпроводящих композитных обмотках используется модель гомогенной анизотропной двухфазной среды, предложенная в работе [39] В. В. Елисеева и Ю. В. Спирченко. Каждая точка такой среды содержит как твердое тело, так и жидкую фазу. Возможность применения такой модели основана на том, что каналы с хладагентом довольно густо пронизывают тело обмотки. Полученное уравнение конвекции - теплопроводности анализируется для случая захолаживания с постоянным темпом. Определяется уравнение для квазистационарного распределения температуры по объему обмотки. В отличие от [39], граничные условия для полученного уравнения определяются из условий баланса тепловой энергии. Анализ уравнения показывает, что оно содержит большие множители при производных по дуговой координате (вдоль обмотки), что связано с сильной анизотропией обмотки (теплопроводность вдоль обмотки значительно больше, чем поперек) и вытянутой формой (длина средней линии намного больше поперечных размеров). Решения такого уравнения находятся с помощью метода асимптотического анализа [30, 36]. В результате получено выражение для распределения температуры по сечению обмотки произвольной формы. Для анализа температурных полей в силовом корпусе катушки используется упрощенная одномерная модель, предложенная в работе В. В. Калинина [47]. Однако в отличие от численного исследования, проведенного в этой работе, в диссертации приведено аналитическое выражение для распределения температуры вдоль корпуса переменного сечения. В следующих разделах главы приведен численный расчет полей температур в обмотке и корпусе катушки тороидального-лоля ИТЭР. На втором этапе исследования механики захолаживания КТП проведен расчет напряженно-деформированного состояния. Построена конечно-элементная модель и определены механические напряжения. Особое внимание уделено нормальным растягивающим и сдвигающим напряжениям в композитной обмотке. Проведена оценка прочности обмотки и корпуса и даны рекомендации по оптимизации сценария захолаживания.
В последнем разделе главы с помощью разработанной автором методики получено аналитическое решение для температурных полей при захолаживании модельной катушки центрального соленоида ИТЭР. Проведенный расчет для параметров реального захолаживания показал хорошее совпадение с результатами измерений и численным расчетом, проведенным В.Н. Васильевым с использованием программного комплекса COND [88], что подтверждает обоснованность применения разработанной методики для инженерных расчетов.
Третья глава диссертации посвящена исследованию магнитомеханики сверхпроводящего провода при диффузии транспортного тока из сверхпроводящей жилы в стабилизирующую матрицу при потере сверхпроводимости. Рассматривается модельная задача о проводнике кругового сечения с центральной сверхпроводящей жилой, сопротивление которой скачком возрастает в начальный момент времени. Исследование проводится в три этапа: сначала решается нестационарная задача электродинамики по нахождению распределения плотности тока по сечению провода, затем определяется вызванное джоулевым теплом температурное поле, и, наконец, результаты этих двух этапов применяются для расчета электромагнитных сил и механических напряжений.
В первом разделе приведена постановка задачи. Второй раздел посвящен анализу диффузии тока. Получено точное решение в виде ряда. Однако это решение неудобно для дальнейших расчетов электромагнитных сил, тепловыделений, температурных и механических напряжений. Поэтому с использованием прямого вариационного метода получена простая аппроксимация функции плотности тока. Третий раздел посвящен анализу температурных полей. Задача решается с использованием комбинации метода собственных функций и асимптотического анализа. Ввиду сложности проблемы не удалось построить аналитического решения, пригодного для всего интервала времени, однако полученные асимптотические оценки позволяют рассчитать профиль температуры, определяющий температурные напряжения и максимальный разогрев. Четвертый раздел главы посвящен исследованию упругого состояния провода под воздействием температурных и электромагнитных полей, определенных в предыдущих разделах. Вначале дается обоснование квазистатического подхода к расчету напряженно-деформированного состояния провода при данных воздействиях. Затем приводится вывод аналитических зависимостей полей напряжений от температурных градиентов и электромагнитных сил и соответствующий численный расчет, а также анализ полученных результатов. Последний раздел содержит основные выводы по данной главе.
В заключении подводятся итоги выполненной работы.
Система катушек тороидального поля (КТП)
Система катушек для создания тороидального поля токамака состоит из N секций (катушек), образующих тор. Для установки ИТЭР число катушек составляет 18-24 в зависимости от варианта проекта [7, 9, 10]. Форма катушек близка к D-образной. Прямолинейные участки выставленных в тор катушек образуют цилиндр (несплошной). Эти участки обычно называют внутренними "ногами" (inner legs) катушек тороидального поля (КТП). Криволинейные участки КТП, расположенные на большем радиусе, называют наружными "ногами" (outer legs). Создаваемое КТП тороидальное поле (Bt), взаимодействуя с током КТП (JTF), протекающим в полоидальном направлении, приводит к появлению распределенных электромагнитных сил, лежащих в плоскости КТП и действующих по нормали к контуру катушки. При идеальном, т.е. равноудаленном друг от друга расположении катушек, сил, действующих из плоскости, не возникает, т.к. каждая плоскость, в которой лежит КТП, является плоскостью циклической симметрии. Однако при отклонении от идеальной геометрии, приводящем к изменению взаимного тороидального расстояния между катушками, возникнут силы из плоскости, стремящиеся увести (сместить) катушки еще дальше от идеального расположения. Таким образом, магнитная жесткость, соответствующая взаимному тороидальному смещению КТП, будет отрицательной, и для стабилизации равновесного положения необходимы достаточно большие упругие силы. Жесткие силовые тороидальные пояса, соединяющие КТП, удерживают от тороидального смещения катушки как жесткое целое. Однако проблема обеспечения устойчивости остается актуальной из-за собственной податливости катушек. Тороидальное расстояние между прямолинейными участками катушек наименьшее и, следовательно, магнитомеханическое взаимодействие здесь будет наиболее сильным. Именно исследованию магнитомеханической устойчивости этой зоны и посвящены последующие два раздела.
В третьем разделе обсуждаются вопросы устойчивости наружной зоны КТП. Электромагнитные силы, действующие в плоскости каждой катушки, дают результирующие радиальные силы, направленные к центру установки. Для удержания этих сил в токамаках используются две силовые схемы: 1) опирание на центральный соленоид (ЦС), расположенный в центре установки, при этом радиальные силы передаются на ЦС, усиленный в некоторых случаях специальным опорным цилиндром. 2) арочный распор, при этом прямолинейные участки КТП образуют сплошной цилиндр, который за счет окружных усилий воспринимает действующие радиальные силы. В проекте ИТЭР [4], в принципе, используется первая схема. Однако в одном из вариантов проекта прямолинейные участки КТП соединены между собой в тороидальном направлении так называемыми ножничными штифтами (scissor keys, рис. 1.2.1-1). Эти штифты предназначены для замыкания внутренних ног в сплошной цилиндр, воспринимающий крутящую нагрузку. Кроме тороидального поля в токамаке генерируется полоидальное поле для управления положением плазмы. Это поле, взаимодействуя с током в КТП, создает силы из плоскости катушки. Эти силы стремятся опрокинуть каждую отдельную катушку. Для удержания этих сил катушки на наружной части замыкают в тороидальном направлении специальными межблочными конструкциями, а на внутренней части эту роль выполняет цилиндр из проштифтованных прямолинейных участков КТП. В результате получается конструкция, напоминающая беличье колесо, способная воспринимать опрокидывающие силы. "Ножничные штифты" предназначены для передачи сдвига в полоидальном направлении и имеют малую жесткость в тороидальном направлении. Таким образом, внутренняя зона системы КТП может быть рассмотрена как цилиндр, образованный N жесткими токонесущими параллельными балками, соединенными податливыми упругими связями в окружном направлении и опирающимися в радиальном направлении на ЦС (рис. 1.2.1-2).
Исследуем магнитомеханическую устойчивость такой системы. Модель с распределенными параметрами Рассмотрим сечение токонесущего цилиндра и начнем с континуальной модели (рис. 1.2.1-3а). Полоска единичной высоты, мысленно вырезанная из цилиндра радиуса R, рассматривается как упругий замкнутый стержень. Будем считать, что возможны перемещения точек стержня только в окружном направлении, перемещения в радиальном направлении запрещены, благодаря опиранню на ЦС. В этом случае имеем одномерную задачу для замкнутого упругого стержня. Введем обозначения: Q - продольная сила, С - эффективная продольная жесткость, у (ф) - угловые смещения точки стержня с координатой (р, q ( р) - продольная нагрузка, Так как система потенциальна, воспользуемся методом Эйлера. Исходное состояние характеризуется здесь Е- деформация. Для деформированного состояния справедливы следующие соотношения для вариаций: є = и , и = /R. Штрих означает дифференцирование по дуговой координате s, при этом
Температурные поля в КТП при захолаживании
Катушка тороидального поля (КТП) установки ИТЭР состоит из сверхпроводящей обмотки, помещенной в силовой стальной корпус. Сама сверхпроводящая обмотка представляет собой тело сложной композитной структуры. Образующие обмотку провода имеют тонкостенный силовой стальной кожух, покрытый изоляцией, внутри которого находятся сверхпроводящие композитные скрутки и протекает жидкий или газообразный гелий. Форма катушки близка к D-образной. Анализ процессов теплопроводности-конвекции при циркуляционном захолаживании конструкции такой структуры традиционными аналитическими и численными методами связан со значительными трудностями. В данной работе используется модель двухфазной гомогенной анизотропной среды [39], каждая точка которой содержит как твердое тело, так и жидкую фазу. Возможность применения такой модели основана на том, что каналы с хладагентом довольно густо пронизывают тело обмотки. Построение этой модели осуществляется следующим образом. Твердая фаза считается ортотропной. Процессы теплопроводности такой среды описываются уравнением k_ - тензор коэффициентов теплопроводности; Cs - теплоёмкость единицы объема. Слагаемое q представляет собой скорость оттока тепла в единицу объема среды из-за теплообмена с хладагентом. Величина q определяется балансом тепла движущегося хладагента f v - вектор скорости течения хладагента.
Поле скоростей v определяется геометрией катушки и удовлетворяет уравнению неразрывности (количество хладагента не меняется). Уравнения (2.2.1-1) и (2.2.1-2) дополняются соотношением для q где к - коэффициент теплоотдачи. Коэффициент к считается достаточно большим, при этом W принимается Т=Т/. В результате получаем уравнение конвекции-теплопроводности гомогенной анизотропной двухфазной среды Далее рассматривается захолаживание с постоянным темпом. В этом случае температура хладагента в точке ввода меняется по закону Т = Т + cot, где Т начальная температура, со = const. RT RT г Температурное поле представляется в виде где Т - затухающий переходный процесс, а Г - установившееся распределение температуры. Уравнение для Т имеет вид Здесь введено обозначение C=Cs+Cr . В отличие от [39] граничные условия для полученного уравнения определим из условия баланса тепловой энергии. Интегрируя (2.2.1-7) по объему обмотки V, получим Основной вклад в изменение тепловой энергии обмотки вносит конвективный теплообмен с хладагентом. Следовательно, интеграл v определяющий теплообмен обмотки с окружающей средой по механизму теплопроводности, может быть опущен в соотношении (2.2.1-8). При этом получим условие для температуры на поверхности обмотки в виде где F - площадь обмотки, N - нормаль к поверхности. Обмотка катушки тороидального поля состоит из 24-х слоев-сверхпроводника [45]. Все слои охлаждаются одинаково. Это позволяет рассматривать тепловые процессы в одном отдельно взятом плоском слое. Форма обмотки определяется уравнением где R - радиус-вектор средней линии обмотки; 5 - дуговая координата, отсчитываемая от точки ввода хладагента (рис. 2.2.2-1). Со средней линией обмотки связаны орты t и п. Вдоль п вводится координата п. Пределы изменения координат где / - длина средней линии (оси) обмотки; Н - толщина обмотки. Течение хладагента по спирали с шагом, равным толщине витка h, скоростью vQ и удовлетворяющее уравнению (2.2.1-3), описывается соотношением Здесь к - кривизна катушки, v0 - эффективная скорость течения хладагента, определяемая через массивный расход (G) деленный на плотность и площадь сечения проводника.
Уравнение (2.2.1-7) в координатах s и п записывается в виде Здесь учтено, что к_ = к,и_ + кпгш, т.к. обмотка является ортотропным телом. К уравнению (2.2.2-4) добавляются граничные условия. Хладагент вводится с внутренней поверхности обмотки." Следовательно, Осталось определить 7t#/2) . Для рассматриваемой плоской задачи интегрирование (2.2.1-9) сводится к интегрированию по плоской области F\v, занимаемой обмоткой. Используя теорему Гаусса, получаем С не - удельная теплоёмкость хладагента [Дж/(кг-К)]. Полученная формула (2.2.2-8) представляет самостоятельный интерес, т.к. позволяет вычислить перепад температур по обмотке между вводом и выводом хладагента. Этот перепад, как следует, в частности, из формулы, прямо пропорционален темпу захолаживания и обратно пропорционален расходу хладагента. Решение уравнения (2.2.2-4) с граничными условиями (2.2.2-5) и (2.2.2-8) представляет собой довольно трудную задачу. Однако, как
Результаты расчета температурных полей
Расчет напряженно-деформированного состояния (НДС) КТП, вызванного температурной нагрузкой при захолаживании, проводился численно методом конечных элементов (КЭ). Была использована программа КЭ анализа двухмерного напряженного состояния ортотропного твердого деформируемого тела FEA.PS [46]. Применялась методика двойных сеток [48], что позволило определить НДС катушки с учетом её строения по толщине. Стальной корпус моделировался первым слоем. Были учтены внутренняя, наружная и боковые стенки корпуса. Сверхпроводящая обмотка моделировалась вторым слоем. Связь слоев осуществлялась путём задания общих узлов по границе корпус-обмотка. Обмотка считалась однородным ортотропным телом. Эффективные термоупругие свойства обмотки определялись с помощью программного комплекса, реализующего численно метод асимптотического расщепления [79, 80, 81]. Для определения свойств был решён ряд задач на ячейке периодичности. В данном случае такой ячейкой является сечение одного проводника, включая изоляцию. Чертеж проводника и соответствующая КЭ модель представлены на рис. 2.3.1-1. В состав проводника входят: сверхпроводящая скрутка (Nb3Sn), медные каналы, стальной кожух и витковая изоляция. Результаты расчёта представлены в таблице 2.3.1-1.
Как показал анализ, эти характеристики слабо зависят от температуры и в расчете принимались постоянными. Расчет НДС катушки ТП проводился для температурных полей, определенных в разделе 2.2. Получены поля перемещений, распределение напряжений в корпусе, распределение средних эффективных напряжений в обмотке, а также истинные напряжения в элементах проводника. В соответствии с нормами расчёта на прочность магнитной системы ИТЭР [59] определялись следующие величины: 1. Интенсивность напряжений (без учета концентрации) по теории наибольших касательных напряжений. Допускаемое значение интенсивности температурных напряжений равно пределу текучести материала. При температуре близкой к комнатной оно составляло приблизительно 320 МПа для стали и 100 МПа для меди. 2. Касательные напряжения в изоляции. Допускаемое значение для витковой изоляции составляет 20 МПа (без учета упрочнения из-за поперечного давления). 3. Сжимающие нормальные напряжения поперёк слоев изоляции. Допускаемое значение равно 460 МПа. 4. Растягивающие нормальные напряжения поперёк слоев изоляции. Допускаемое значение - 2.4 МПа или 0.02% деформации. 5. Растяжение/сжатие вдоль слоев изоляции. Допускаемое значение составляет ±0.5% деформации или ±100 МПа напряжения. Результаты расчетов представлены на рисунках 2.3.2-1 - 2.3.2-21 . На рисунках 2.3.2-1 - 2.3.2-5 приведены: деформированная модель, изолинии интенсивности напряжений of в корпусе и средние эффективные продольные о} , поперечные сгп и касательные г,„ напряжения в обмотке для t =100 час. Приблизительно в этот момент времени возникают наибольшие перепады температур и, как показали расчеты, наибольшие механические напряжения.
Характер изменения напряжений по мере захолаживания представлен схематично на рисунках 2.3.2-6 - 2.3.2-9. Максимальное значение интенсивности напряжений в корпусе КТП составляет 76.8, что значительно меньше допускаемой величины. Из анализа результатов расчетов видно, что преобладающие эффективные напряжения в обмотке - сжимающие, что объясняется более низкой средней температурой корпуса по сравнению с обмоткой. Для оценки прочности элементов проводника эффективные напряжения в обмотке были пересчитаны в истинные напряжения в кожухе проводника, изоляции, медных каналах и сверхпроводящей скрутке. Расчёт был сделан с помощью того же программного комплекса и КЭ модели, которые использовались для определения эффективных упругих свойств обмотки (раздел 2.3.1). Для расчёта были выбраны две зоны в обмотке, являющиеся наиболее опасными с точки зрения прочности изоляции и металлических элементов проводника. Первая зона — зона действия наибольших (по абсолютной величине) продольных напряжений ( at = -80 МПа). Здесь возникают наибольшие напряжения в стальном кожухе и медных каналах. Компоненты истинных напряжений приведены на рис. 2.3.2-10 — 2.3.2-15. Максимальная интенсивность напряжений в стальном кожухе не превосходит 160 МПа, а в медных каналах - 95 МПа, что меньше допускаемых.
Во второй зоне, близкой к месту ввода гелия, возникают наибольшие сдвигающие напряжения, что может быть опасно с точки зрения прочности изоляции. Истинные касательные и нормальные напряжения в изоляции приведены на рис. 2.3.2-16 - 2.3.2-19. Видно, что условия прочности выполняются. Благодаря более низкой средней температуре корпуса по сравнению с обмоткой в изоляции не возникает опасных растягивающих напряжений. Обжатие обмотки корпусом сохраняется на протяжении всего процесса захолаживания, хотя постепенно снижается (рис. 2.3.2-8). Это объясняется снижением разности средних температур обмотки и корпуса с 30 К при t = 100 часов до 10 К при t = 200 часов. Кроме прочности корпуса КТП, кожуха, медных каналов и изоляции проводника, важным критерием допустимости термонапряжённого состояния является ограничение деформаций сверхпроводящего кабеля. Как известно [25], большая продольная деформация может привести к необратимой деградации токонесущих свойств сверхпроводника. Согласно [86], продольная деформация ниобий-оловянного сверхпроводника не должна превышать ±0.3%. Компоненты напряжений, действующие в сверхпроводящем кабеле, приведены на рис. 2.3.2-20 - 2.3.2-22. Как видно из полученных результатов, деформация не превосходит 0.1%. Необходимо отметить, что проведённая оценка прочности выполнена для t = 100 часов, т.е. когда в КТП возникают наибольшие температурные градиенты. В процессе дальнейшего захолаживания температурные градиенты падают, а прочностные свойства материалов КТП (особенно стали) существенно возрастают, что является резервом сокращения времени захолаживания путём увеличения темпа захолаживания, начиная примерно со 100 часов.
Диффузия тока
Используя систему уравнений Максвелла [55], получаем дифференциальное уравнение для вектора плотности тока гДе J_(LO - вектор плотности тока; /je - магнитная проницаемость сроды; єе - диэлектрическая проницаемость среды; є0, /л0 - электрическая и магнитная постоянные; о - удельная электрическая проводимость. Пренебрегая токами смещения по сравнению с током проводимости, что для проводников (металлов) вполне естественно ([31] стр.402), приходим к уравнению где А - оператор Лапласа. Это уравнение получено для области, в которой остаются постоянными характеристики материала, /лЄ) єе, а Рассматриваемый провод состоит из двух металлов, перечисленные характеристики которых несколько отличаются. Однако для реальных комбинированных сверхпроводников радиус сверхпроводящей жилы значительно меньше радиуса медной матрицы (є-«а). Поэтому для упрощения расчетов и без большого ущерба для точности будем считать, что провод целиком медный, а начальное распределение тока имеет вид здесь 1(...) - функция единичного скачка. В силу осевой симметрии задачи Здесь er, e_v,е. - орты соответствующих осей. Анализ уравнения (3.2-2) показывает, что для данной задачи составляющие j (г, t) и jr (г.,/) не содержатся в выражении для плотности тока.
Таким образом, Для этой плотности тока имеем уравнение Следовательно, перераспределение тока представляет собой простую диффузию осевой составляющей плотности тока. Получим граничные условия. При г — 0 имеем Осталось получить граничное условие на поверхности провода (г = а). Сечение провода - круг радиуса а. Рассмотрим круг радиуса а-Ъ, где 8 0 -некоторая малая величина. Для этой области (включая границу) справедливо уравнение (3.2-5). Воспользуемся интегральной теоремой Грина Решение уравнения (3.2-5) с начальными условиями (3.2-3) и граничными условиями (3.2-6), (3.2-11) методом разделения переменных [62] приводит к следующему выражению для плотности тока: Здесь J і, J о - функции Бесселя 1-го и 0-го порядка; уп - положительные корни уравнения Jj(y) = 0. Это решение точно описывает процесс диффузии электрического тока в область, окружающую центральную жилу. Однако заметим, что это решение имеет некоторые недостатки. Во-первых, оно довольно громоздкое, во-вторых, это решение не обладает равномерной сходимостью при t=0, что является следствием разрыва в начальном условии. Ниже будут рассмотрены тепловые и механические процессы в сверхпроводнике при скачке сопротивления. Используя найденное распределение плотности тока (3.2-12), можно получить выражения для функции объемного тепловыделения (по закону Джоуля-Ленца) и объемной силы (силы Лоренца). Эти выражения будут входить, соответственно, в уравнения теплопроводности и теории упругости. Однако практическое использование решения в виде ряда (3.2-12) не позволяет получить аналитическое решение для температуры и напряжений. Применение вариационного метода Чтобы получить более простое выражение для плотности тока, воспользуемся прямым вариационным методом [30, 36]. Представим функцию плотности тока в виде безразмерная плотность тока; Яі(0 -, Я2(0 - неизвестные пока функции времени. Функция qi(t) имеет смысл значения безразмерной плотности тока в центре провода, а функция q2(t) - координаты фронта распространения тока (рисунок 3.2-1). Заметим, что выражение (3.2-13) удовлетворяет граничным условиям (3.2-11) и (3.2-6). Связь между функциями qi(t) и q2(t) получим из условия постоянства полного тока Подстановка сюда аппроксимации (3.2-13) приводит к Вариационное уравнение имеет вид Вычислив соответствующие производные, получим обыкновенному дифференциальному уравнению для qi(t) 127 7,2(f)=0. і ,(0 ю dt 3 МеМо а" Решение этого уравнения легко находится [65] (3.2-19) 10/ 3jUeJu0aa + С (3.2-20) где С = ,(0) Для определения постоянной интегрирования необходимо поставить начальное условие для функции qi(t).
Определим qj(0) из условия минимума среднеквадратичного отклонения значения аппроксимации для тока при t = 0 от начального условия (3.2-3), т.е. из условия (3.2-21) =j(/T(r»)-y«ac/M)) -rdr mm , ГДЄ jlXacAr$)=\z) г(е-Г) Условие стационарности функционала 8J = 0= ) (/ТМ)- У М))- 8j\rdr = (3.2-22) а После вычислений получим :1,357 .(0) = 3 є gr2(0)»l,487e . Тогда (3.2-20) окончательно примет вид (3.2-23) -і Я\( ) = + 0.737 — З /ие/л0ста а (3.2-24) 128 Аппроксимация (3.2-13) годится при условии q2(t) а , т.е. пока фронт тока не распространится до внешнего радиуса г = а (рисунок 3.2-1). Это произойдет в момент времени / = 0A/Je/J0aa ( V 1-2.211 a2 J (3.2-25) Для времени t t выберем другую аппроксимацию для функции плотности тока (рисунок 3.2-2) ( Г2Л2 1 ; + q4{t). (3.2-26) Л М=Ы )- 74( ) V а J Проделав описанную выше процедуру, учитывая, что q4(t ) = 0, получим следующие выражения для функций q3(t) и q4(t): ґ t-U Л -15 — q4(t) = l-exp \ MeMo&a J q3{t) = 3-2q4(t) (3.2-27) Окончательно для плотности тока в безразмерной форме можно записать ( ) Я\ ( .«)= fe(0-94(0) ife(0- ),0 г ґ, ( r2 \2 + q4{t), t U (3.2-28) V a J где q\{i), (O tfsW CO и t определяются, соответственно, по формулам (3.2-20), (3.2-15), (3.2-27) и (3.2-25). Для сравнения точного и приближенного решения были проведены расчеты при следующих значениях: а = 5-Ю"3 м, є= 0.5-10"3 м, fie = 1, т = \-1 0.5-10 (Ом-м)" (медь при температуре Т- 18К).
