Введение к работе
Актуальность теш. Задачи создания систем управления, свойства которых мало изменялись бы при небольших отклонениях их параметров, возникали yse з начале развития теории систем. Особенно остро встал этот вопрос после развития теории оптимальных систем. Многие методы оптимизации оказались чувствительными к малым отклонениям принятых предположений от действительных и не работоспособными. Методы, свободные от этого были названы робастными, т.е. грубыми, малочувствительными. В настоящее время термин рооастность приобрел более широкий смысл. Он характеризует сохранение некоторых свойств множества систем, в частности, систем с параметрами, принимаидими значения из заданных интервалов.
Существенной проблемой качественного анализа систем является исследование устойчивости и управляемости. Одним из основных методов исследования устойчивости есть прямой метод А.М.Ляпунова. Он используется при исследовании систем обыкновенных дифференциальных, разностных, двффэренциально-развостных уравнений, уравнений в частных производных, систем стохастических уравнений, процессов в общих динамических системах и пр. Существенный вклад в его развитие знесли Н.Г.ЧетаеЕ, К.Г.МалкиЕ, Е.А.Варбашик, Н.К.Красозский, с.К.Персидский. Многочисленные вопросы устойчивости стохастических систем, систем фуншшонально-лифференциальных уравнений, систем с распределенными параметрами рассматривались в работах К.Г.Валеева, В.Б.Колмановского, Д.Г.Кореневского, В.К.Ясинского, А.Ю.Оболенского. Исследование систем большой размерности проводилось в работах В.М.Матросоза, А.А.Мартынша. Проблемы управления и стабилизации систем с помощью прямого метода А.М.Ляпунова решались в работах Б.Н.Бублика, Н.Ф.Кириченко, С.Г.Гаращенко, В.М.Кунцевича.
Исследование устойчивости систем, коэффициенты которых могут
ло бурное развитие, после, опубликования работ В.Л.Харитонова, им были получены изящные условия устойчивости линейных стационарных-дифференциальных уравнений с интервально заданными коэффициентами. Однако распространение полученных им результатов на системы уравнений, а такхэ на уравнения других видов встретило значительное затруднение.
Целью диссертации является получение эффективных условий интервальной устойчивости систем линейных обыкновенных дифференциальных, разностных и дифференциально-разностных уравнений запаз-дывавдего и нейтрального типов, получение оценок интерзальной управляемости дифференциальных систем, разработка моделей динамики водообмена экологических систем и исследование их устойчивости и управляемости.
Научная новизна. Получаны ноше конструктивные условия интервальной устойчивости линейных систем. Рассмотрена задача оценки полученных условий с использованием оптимальных функций Ляпуноза. Исследована задача управления линейными системами с помощью квадратичной функции Ляпунова.
Иетода исследования. Основным методом исследования выбран второй метод A.Ji.Ляпунова с функцией квадратичного вида. При получении конкретных условий и разработке алгоритмов применялись методы линейной алгебры, теории дифференциальных уравнений и методов нелинейного программирования.
Теоретическая и практическая ценность. Основные исследования проводились в рамках научно-исследовательской тема "Разработка моделей и исследование устойчивости нетрадиционных динамических систем", проводимой согласно постановления Министерства образования Украины д 44 от 18 ишя 1992 г.
Полученные в диссертации результаты будут использованы при конструировании систем водоснабзкения Республики Каракалпакстан и при управлении режимами-водообмена. ..
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсукдались на Украинских конференциях "Моделирование и исследование устойчивости систем" (Києе, 1992, 1994, 1995, 1993), Международной конференции памяти Ганса Гана (Чарноз-цы, 1994), Второй Крымской Международной школе "Метод функций Ляпуноза и его приложения" (Симферополь, 1995), Республиканском СЭ- -мкнаре по проблеме "Кибернетика" "Моделирование и оптимизация слохных систаи" (н.р. член.-корр. НАН Украины, проф. Бублик Б.Н., проф. Наконечный А.Г.).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 10 работах.
Структура к обьеи работа. Диссертация состоит из введения. трех глав, заключения и списка использованной литературы из I3S
наименований.
Во вступлении формулируется цель диссертационной работы, ее новизна и актуальность. ООосновызается научная и практическая ценность вопросов, рассмотренных в работе, даются краткие обзоры развития теории устойчивости систем дифференциальных уравнений с ив-тервально заданными параметрами, второго метода A.M.Ляпунова, теории систем с отклоняшимся аргументом. Сж2Т0 излагается содержание диссертации по главам. ...
В первой главе получены достаточные условия интервальной устойчивости некоторых зидов -динамических систем.
В первом параграфе рассматривается линейная стационарная система вода
. ± = (A+D)=, z і FT. (I)
здесь A = {a. .} матрица с постоянными коэффициентами, в = {..} матрица с коэффициентами, которые могут принимать значения из'не-
которого матричного интервала |d | $г,,, '.,J = Tin.
Система (I) называется интерЕально устойчивой, если онг устойчива при произвольной матрице I) из заданного матричного интервала. Получены следующие условия устойчивости.
Теорема!. Пусть существует симметричная положительно определенная матрица Н, пои которой выполняется неравенство'
А. . (-А'Я-ВА)
ЛІТІ
> 28278'« Щ = rBOS (Pi)-
mas ' t,j ' vj
Тогда система (I) иктервально устойчива..
Здесь- и в. дальнейшем х (.), А. . () -г экстремальные
vias іди".
соостБсНнке числа соответствующих матриц,
Конструктивность полученной теоремы зависит от выбора матрицы К. Ее нахождение сводится к решению оптимизационной задачи:
Н* = org зир (ф(Н)}, ф(Н) = —— , (2)
HcGfH^
яю?
H: X _, (Е)>0, \ . (-/Н-Н4) > о\.
піп mm J
с(Н) = I Рассматривается вспомогательная задача
Н0 = org sup {ф0(Н)}, Фо(Н) = X.etn(-ATH-IU),
H6G,(Н)
(3)
G, (Н) = ІН: Л. . (Н) ? О, *. . (-^ТН-НЛ) О, к (Н) ^ і).
1 ^ win4 ' ' min. тао=х J
Л е м м а I. Если Н решение задачи (2), г Н0 решение задачи (3), то Н0 = аН*, 0 < а $ 1.
л е м и а 2. Задача оптимизации (3) имеет решение.
Для решения задачи (3) используется функция лагранка
(і)
3(Е,р) = ф0(Н) + р,ф,(Н) + р2Ф2(Н),
9, (Н)
1, Ф2(Н)
тпсиг
л. (Н), р,?0, Є ?0.
.1 е-м м а з. точка Н0 является решением задачи (3) тогда е только тогда, когда сушествуют р > 0, р ^ » Wil которых (Н0,р,р) является седловой точкой функции Лагранка (4).
При численной реализации задачи оптимизации используется метод обобщенного градиента. Градиентное множество функции Ф0(Н) состоит из матриц ?0 вида
.] = -/A,, - Д..А, А., - матрица, у которой {'.J) и (J,і)
элементы равны единице, а остальные равны нулю, у0- единичный век-
"0J^C
.W/. W l^Oit» i»ZJ C4,J-%»ji. J.
ное значение. Градиентное множество G^ функции Лагранка (4) состоит из матриц F0 + р^ + р2?2 : F, = r^, г, = ^г*. г0, х, -единичные векторы, при которых х^х принимает минимальное и максимальное значения.
Л е м м а 4. Точка Е0 является решением задачи (3) тогда и только тогда, когда .существуют р~,. р2, при которых выполняв?ся
злэдущиэ условия.
-
Градиентное множество ей функции Лагранха 3(Н*Р) содержит нулевую матрицу, т.е. О с-
-
Выполняется условия рср (Н0) = О, рф2(Н0) = 0.
- .„. Во втором параграфе рассматривается система разностных уравнений
Гь+1 = {A+D)X%, Й= 0,1,2... (5)
Пстрсены зледузпие условия :шт9рвальнои устойчивости.
Л е м м а 5. Пусть существует положительно определенная матрица Н, при которой выполняется неравенство
X . (Н - ЛТШ) .
ПИП1
———: > щ\(щ + г\л\).
\ (Н)
Тогда система (5) интервально устойчива..
Нахождение матрицы а сводится к решению задачи
Х..„(Н - А*Ш)
Г = ^ яТпЛ *{Ю}' Ф(Н) = ^ЗНГ
НеДН)1- і птахка' (Є)
1(H) ={ Н: К .IE) > О, ^,„(Н - АТЫ) > о).
Для решения задачи (6) рассматривается вспомогательная задача
Н0 = org зир { ф0(Н)], 90(Н) = \іп(К - Ш),
Н I, (7)
LAVL) =f Н: Я. . (Н) 2 О, X . (Н - АТЯА) > О, Л. (Н) * Л.
і t яьгтъ тлгп, таз I
.1 є м м a 3. Если Н* решение задачи (S), а Н0 решение (7), то HQ = он*, где 0 <сю.
Лемма?". Задача оптимизации (S) имеет решение.
Для нахождения HQ используется функция Лаграняа и методы, аналогичные полученным для дифференциального уравнения (I).
В третьем параграфе рассматривается интервальная система дифференциально-разностных уравнений" с запаздыванием
X (Г) = {A + U)X(t) + (3 + AS)J(t-T), (8)
где ДА = (Да{,}, Д#= {АЬ{,} матрицы, элементы которых могут находиться з заданных интервалах
1Да^-1 *ги> ІЛйиІ $3ч> ../=Пл.
Решение x(t) системы (8) является асимптотически устойчивым, если для произвольного є > О существует S > О, такое, ЧТО |Х(Г)| < н, г > О, лишь только Ллг(О)й < з я iim. \x(t)\ = 0.
t => 00
Здесь |х(Г)| = { У я?(г)} "\ |г(0)Ц = зшэ (|я(а)|).
Система (8) является асимптотически устойчивой, если устойчиво ее нулевое решение. Слстема (8) является интервально устойчивой, если она асимптотически устойчива при произвольных матрицах LA и LB из заданных интервалов.
Получены следующие условия интервальной устойчивости.
Т 8 о р е м з 2. пусть А + В асимптотически устойчивая матрица и существует положительно определенная матрица Н, при которой выполняется неравенство Kin[~U+B)VR * н<4+5)] - 2[||Н(В-'Л4)| + ||H(B+AS))|vW] > О, О)
j}H(B-A4)8 = га а х (|H(B-
Тогда система (8) интервально устойчива яри произвольном запаздывании т > 0, причем о (є) = s/УіЩЩ.
ТеоремаЗ. Пусть А + В асимптотически устойчивая матрица и существует положительно определенная.матрица F, npw.которой, , выполняется неравенство
KniJ- (4+s>Th - HU+S)] - 2||Н(Д^+ДВ)([ > О,
йЩЫ+ДВ)» = max (|Н(Д4 + ЬВ)\\.
t^jl^vl^ljl^ij1 ;
Тогда при х < т0, где
Х0 = , (10)
Хяіа Г-и+В)тН-НЫ+В)1 - 2gH(M+AB)B 2||Н(В+ЛВ) Ц [||4+ДЛИ+||В+ДВ||]-*р1Н7
зистема (8) интервально устойчива. Причем -ЦА+ЩХ
%В+Щ= max (|В+АЯ|1, ЦДЛ+ДВД = max І[ДЛ + ДВ|).
До. Л J Да.., до.. І >
В пятом параграфе рассматривается интервальная, система дифференциально-разностных уравнений нейтрального типа
і (t) = (Гч-д2?)г(г-а)4-(^+Д4)^(т)+(в+дв)х(г-г). (її)
Решение x(t) s о системы (II) асимптотически устойчиво, если для
произвольного є>0 существуют С >0 и С2>0' такие, ЧТО \Х(*)\^< S, t > О, как только Цг(0)|| < 0,, ЦіЧО)^ < 32 и Urn- ((1)1,= 0.
Т=*оо
Здесь |x(t)|n= mar ||x(t)|, |i(t)|j.
Получены следующие условия интервальной устойчивости.
I е о р 8 м а 4. Пусть А + В асимптотически устойчивая матрица и существует голокительно определенная матрица Н, при которой выполняется неравенство
Ь(Н) - 2((Г(Е-С)-ДІ)]ТН(Б+ДВ)1)(Т + ЩЩ) -
, - %А+иМВ+Щ
- Ц\(E-D)-bD TH(2)+AD)I! УфЩ7 > О,
« J 1 - р*-л2>ц
Ь(Н) = Л. . [-U+B)TH(E-I>) - СЕ-ЮТН(/І+В)1-
-2|M+B)IHAD - (Д4+ДВ)тнГ(Е-С)-ДІ»1)|, jjlH-Щ < Т.
Тогда система (II) интервально устойчива при произвольном отклонении аргумента т > 0, причем st(s) = s/vfTHy,
02(fi) =
1(H) - 2|[
їдПЕЗьдсрщБ+дїї)!
ТЦА+Щ+1ЦВ+Щ 1 - №Щ
vJpTHT
єй
R = mtn
1,
І(И)-2|)Г(Б-0)-Л0)]тН(В+-ІВ)Ц(1+УгрТїїТ)
4d(z-D)-ADjTH(i>+AD)8
Теоремаб. Пусть А + В асимптотически устойчивая матрица и существуег положительно определенная матрица Н, при которой 1(H) > 0. Тогда при і < iQ, где
1(H) (1-|jZ>fЩ)
>.(%Л+Щ+$В+Щ)*Щ1)
й[(Е-0)-А1)|тН(В+ДБ)])ч
$А+ЩЦВ±Щ
І^Щ
+ |i(E-D)-ADj ЕтіВЦ
система (II) интервально устойчива, причем
г -1А+ЩЧ
ь(Н)(і-?)с
С1 (е,т) = mtn-
+ гцш-доц+цв+лвцг вцгц-диц
|)Г(Е-1>)-Д1>1 Н(В+ДЯ))1+)1 Г(E-D)-^l H(I4-AD)|'
t*uuj + цв+двп
Б,
^рщу
JD+iDll
ог(Б,а) =
кит - do - о к
8UDfAZ)|lJjj (E-D)-AD JTH(fAD)| VJplHT
.
_ Q _
R = mln
1,
L виклад
L(H)(1-?)(1-S)
(E-D)-AI)|TH(I>fAD)|)yJprHT
-ртащ
*^шт
"]
= t/Tg, 0 с С < 1 - произвольная постоянная.
Вторая глава посвящена управляемости интервальных систем. Рассматривается система
+ а' А + а
п—1 п
х = ах + йи , u = с лг. Пусть замкнутая система
х = (А + Ьст)х имеет характеристическое уравнение
Х.Л + а, Я""1 +..
Обозначим
(12)
(13)
П(а) ={а.: а'(^а, «о^, t = і,п },
ат = (а1,а2,...,ал), ст = (с1,с2,...,сп).
Система (12) интервально управляема, если для произвольного
а с П(а) существует с Q(c) такое, что замкнутая система (13) имеет коэффициенты характеристического уравнения а П(а).
Пусть характеристическое уравнение системы (12) с нулевым управлением имеет вид
itetw-A) = \п + р^"""1 + . . . + р". Обозначим
Р = (Р,
,., р ), s = (ь, ль,..,
Ап~'Ъ),
С(р) =
-1 "Pi
О
о о
-Pn-1 -Prv-a ' "Pi -Теореыаб. Чтоон система (12) оыла штервально управля-
ема, необходимо и достаточно, чтобы rang S = п. Причем Q(c) имеет вид
ce. = mtii Я S~1G~n(p)(a-p)lQ : a. = a{. , a{ , І = Ї7я),
іаіп (_[_ г г JS t ism тата J
ce = шат (Г S~1G~'l(p)(a-p)]a : a. = а1. , а1 , і = ТТїїі,
к» Ц ~ ' 'JS і тіп' mas' у
где [ - ] - з-я компонента соответствувдего вектора. Рассматривается интервальная система
/
х - {А + АА)х + Ьи, и = стй\ ' . (14) Замкнутая система имеет вид
і = (А + и + Ъс*)х. (15)
Система (14) вполне интервально управляема, если для произвольного
a Q(a) существует такое с Д(с), что система (15) имеет коэффициенты характеристического уравнения a ^ R(a), при любых
|Дси| ^ оу., і,J = ї"7й. Обозначим
0(c) = { сь: clin $ съ « ^ , й = Т7д }, a3*, = Bitn { a*. , p*\ ), ab = дах (a* , p* ),
mtn I mtn. ~mi ti j * max I max 'masj
да. .=+0.. vj - і j
*j - »j
(Jet(XE - Л - Д4) = Xn + p1 (ДА)*"-1 + ...+ рп(ДЛ),
SOU) = jo, W+
Теорема7. Чтобы система (14) была шолне интервально управляема необходимо н достаточно, чтобы rang S(A4) = п. Причем
П(с) имеет вид
Кы = nin {[ S~1(^)G-1(p(M))(a - р(Л4))]я :
a. = ak, , a& ; |да..1 $ с.., ft = ТТп, і,J = T7n),
Ь пьп' тая ' ij' ij J
SLr = "^ {[5-1(ДЛ)<Г1(р(ДЛ))(а _ p(A4))]s :
- II -
Собственные числа не всегда хорошо оценивают динамику системы. Существуют системы, имеющие одинаковые собственные числа при разных значениях параметров. Поэтому в ряде случаев целесообразно рассматривать управление системой с помощью функции Ляпунова.
Система (13) будет управляемой с помощью функции 7(х) = х*нг с шказателем 7 » если существует вектор параметров управления с, что
7(x(t)) = - -]7(.x(t)).
Обозначим:
*2n.
^ 7>4+Ф + *;
CO 03
(Л*. Д*
дл = Г 0 0 0 . h\ = ^.,, ft1i2,
. 2ft! 7ft1 + 2ftT pi,
Ire ' twi л J
. n)j, *r
. Я*),
Теорема 8. Система (12) управляема с помощью 7(х) = х Нг с показателем 7 тогда и только тогда, когда
с\э
rang S = 71 И гат:^- Лр = П.
В ряде случаев целесообразно рассматривать более слабый вид управляемости.
Система (12) будет-управляемой с помощью функции 7(x(t) =
i*ar с показателем не менее f, если существует вектор параметров с, при котором.
Обозначим
*з = {^}» »5/ - -К -пЪ- *.' -та.
, 1 І11 lli »2 і 12 ~ гі и. lit
ТаоремаЭ. Система (12) управляема с помощью 7(jt) = хтНг с показателем не менее у тогда и только тогда, когда rang S - п и система неравенств
dex [ i.dl,, d2>..., d,)] >0, U TTri.
имеет непустое решение относительно переменных й. = iSTa)t, t = T7n, [STc]t - і-я компонента соответствующего вектора.
Третья глава посвящена разработке модели динамики водообмена. Рассматривается иерархическая система гг-связэнннх подсистем sit каждая из которых состоит из т~ зодоемов. динамика водосмещения направлена сверху-вниз. Введены следующие обозначения.
R. - матрица поступлений.из подсистемы S. в St ,,
і* а ( х{1, хіг, ..., х.п) ~ вектор содержания аздкости в S{,
хо = Ц»' хог' "' хоп) ~ В9КТ0Р поступления в S,, q*b - интенсивность витекания зидкости из Аі в Ась,
- ІЗ -
-,* ,~
}. (t) = (qn(t), q.2(t) іта<:>> - внешние поступления,
„1 с
„1
г2 ... гт
С1 С1 і 1
г2 гп
. .-=
0 ?І2 *ІЗ " «і.
г! г! ... Гт
in vm nn
б.
К
3=1
7 а! ... о
О 1 ... о
При сделанных допущеннях математическая модель динамики водообмена описывается системой дифференциальных уравнений.
лс-о + (Q1 - Qi - Rt )хі + Ч\
п п—7
1»—Т- Л 7І Т* П "*'
Вычислен стационарный ракш* водообмена. Он имеет вид < = (Я. + о; - Q, )-1 (Vo +
1~1 ч2
ч,-/ І»-.-
Рассматривается задача синтеза параметров управления системой :дсск23гнпя. Трасуєте." нз^п: L., zz:: iiz'rzzvz. ;2=5чПБа=тс.~ не-
- 14 -обходимый река; водообмена 5,, ~2,..., 5л. Решение имеет вид
К2 = [(й,г, + q2) - (Q* - С2)52]5г/]їг|2 Л = [(Л ,х ,+q*)-{Qr - Q )5ІЇТ/|5 I2 .
71 [_ П-1 П-1 МІ ТІ 4l nj Г. ' П1 <
Исследована задача устойчивости построенной модели динамики водообмена. Для устойчивости функционирования всей системы S необходимо к достаточно, чтобы была устойчивой какдзя\, т.е.
а /«. Ч.. - ч!. - ".. v. U, ^ = . ,мм . = і ,/i.
