Содержание к диссертации
Введение
1 Акустические колебания около вложенных тонкостенных цилиндрических препятствий в канале 14
1.1 Формулировка задачи 14
1.2 Сужение пространства допустимых решений 19
1.3 Условие конечности энергии в окрестностях кромок тонкостенных препятствий 20
1.4 Существование собственных колебаний 22
1.5 Собственные колебания около вложенных цилиндрических препятствий одинаковой длины 25
1.5.1 Представление собственных функций 26
1.5.2 Зависимость собственных частот от длины препятствий. Сравнение с экспериментальными данными 29
1.5.3 Зависимость собственных частот от радиусов препятствий 31
1.5.4 Механика собственных колебаний. Направление акустических скоростей потока 32
1.6 Собственные колебания около вложенных цилиндрических препятствий разной длины 35
1.6.1 Представление собственных функций
1.6.2 Зависимость собственных частот от длины препят ствий 40
1.6.3 Направление акустических скоростей потока 42
1.7 Выводы, возможные обобщения 43
Акустические колебания около частично вложенных и разнесенных по оси канала тонкостенных цилиндриче ских препятствий 45
2.1 Акустические колебания около разнесенных по оси канала препятствий 45
2.1.1 Представление собственных функций 46
2.1.2 Зависимость собственных частот от длины препятствий и от расстояния между ними 51
2.1.3 Направление акустических скоростей потока 53
2.1.4 Акустические колебания около одинаковых разнесенных препятствий 54
2.2 Акустические колебания около частично вложенных препятствий 56
2.2.1 Представление собственных функций 56
2.2.2 Зависимость собственных частот от длины препятствий 62
2.2.3 Направление акустических скоростей потока 63
2.2.4 Зависимость собственных частот от расстояния между разнесенными по оси канала препятствиями по мере их вложения 63
2.3 Выводы, возможные обобщения 64
Акустические колебания около тонкостенного цилиндрического препятствия в канале со ступенчатыми сужениями 66
3.1 Формулировка краевой задачи, пространство допустимых решений 67
3.2 Сужение пространства допустимых решений 69
3.3 Тонкостенные препятствия в канале с двусторонним сужением 71
3.4 Зависимость собственных частот от величины двустороннего сужения 75
3.5 Одностороннее сужение канала 76
3.6 Влияние двухступенчатого сужения канала на собственные частоты колебаний около препятствия 79
3.7 Собственные колебания 80
3.8 Выводы, возможные обобщения 81
4 Акустические колебания около радиально расположенных тонкостенных препятствий в кольцевом цилиндри ческом канале 82
4.1 Формулировка задачи 82
4.2 Сужение класса решений 84
4.3 Симметрия задачи 84
4.4 Условие конечности энергии в окрестностях кромок тонкостенных препятствий 86
4.5 Собственные колебания около препятствий в кольцевом канале 87
4.5.1 Метод сшивания 87
4.5.2 Собственные частоты 91
4.5.3 Зависимость собственных частот от длины пластин 93
4.5.4 Окружная компонента колебаний
4.5.5 Влияние внутреннего радиуса кольцевого канала на собственные частоты 97
4.6 Выводы, возможные обобщения 98
Заключение 100
Литература
- Собственные колебания около вложенных цилиндрических препятствий одинаковой длины
- Представление собственных функций
- Тонкостенные препятствия в канале с двусторонним сужением
- Условие конечности энергии в окрестностях кромок тонкостенных препятствий
Собственные колебания около вложенных цилиндрических препятствий одинаковой длины
Эти предпосылки эквиваленты друг другу и являются следствием условий конечности энергии колебаний (1.6).
Исследование поведения решения в є окрестности некоторой точки, расположенной на кромке цилиндрического препятствия, удобно проводить в цилиндрических координатах (р,ф,х ) с центром в точке на кромке цилиндрического препятствия, ось х направлена вдоль кромки цилиндрического препятствия.
Доказательство. Основываясь на методе Мейкснера, полагая є малой величиной. В этом случае уравнение Гельмгольца ихх + иуу + uzz + UJ2U = 0, перейдет в уравнение Аи + S2UJ2U = 0. Слагаемое S2UJ2U имеет второй порядок малости, поэтому в первом приближении решение u(x,y,z) должно удовлетворять уравнению Лапласа Аи = 0. С помощью метода разделения переменных можно выписать явный вид решения этого уравнения, которое удовлетворяет условию непротекания сверху и снизу от препятствия при ф = 0 и ф = 2-7Г, если угол ф отсчитывать от нижней стороны препятствия. Решение может быть либо непериодической функцией по переменной ж , либо периодической: Здесь In, Кп - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода порядка п:к- произвольное натуральное число, а - произвольное вещественное число, А, , Сі, С2 - произвольные комплексные числа.
Если подставить локальное представление решения, полученное при помощи асимптотическое разложение [71] Jn{p) рп\ при р — 0 в условия конечности энергии (1.6), то получается что С2 = 0, из этого следует справедливость утверждения 1.1.
Следствие На кромках препятствий разрыва решения нет. Доказательство. Если непрерывность решения на кромках препятствий нарушается, то не выполняется условие утверждения 1.1, которое является следствием условия конечности энергии (1.6).
Пусть в цилиндрическом канале единичного радиуса находится одно цилиндрическое препятствие длины L (рис. 1.1), начало координат можно выбрать так, чтобы плоскость z = 0 делило препятствие пополам (кромки препятствия находятся в плоскостях z = ±L/2). В области Q решение и задачи СК (или СКО) можно представить в виде
Для удобства дальнейшего изложения задача СКО с дополнительным условием (D) будет обозначаться CKO(D), а с условием (N) - CKO(N). Пусть х ), и о и х дг, им - собственные значения и собственные функции задач CKO(D) и CKO(N) соответственно. Так как условие (N) расширяет пространство допустимых решений задачи СКО, а условие (D) сужает, то для всех є, (L/2 1/е) справедливы неравенства, которые можно получить при помощи вариационной формулировки задачи
Величины А и В зависят от к. Так как є и к независимы, то для малых є определяющим в разложении (1.13) является А. С точки зоения вариационной постановки задачи добавление тонкостенного цилиндрического препятствия является добавлением дополнительной границы с условиями Неймана. Исходя из принципа «вилки Дирихле-Неймана», собственные частоты при этом могут понизится, но на их существование дополнительное препятствие не повлияет.
Для упрощения и повышения точности счета, в данной работе основные вычисления проводились для двух цилиндрических препятствий. Задача СКО в круглом канале около двух вложенных круглых тонкостенных цилиндрических препятствий одинаковой длины, расположенных так, как на рис. 1.3, далее будет называться задача СК01.
Пусть (г, (fi, z) - цилиндрическая система координат, ось которой проходит через центры направляющих препятствий и канала, которые являются концентрическими окружностями в некоторой плоскости z = const. Направляющие Z-p, Z \ и Zl2 имеют вид Г = {(г, if, z) : г = 1, z = const}, 7I = {(r,Lp,z) : г = hi, z = const} и 72 = {(r,(p,z) : r = h i, z = const} (hi \i2 1). Кромки Z7i и Z72 предполагаются ровными и находятся в плоскостях z = ±L/2. 1.5.1 Представление собственных функций
Так как задача СК01 обладает вращательной симметрией с осью вращения z, то можно считать, что решения этой задачи не зависят от угловой координаты ср и являются функциями только от (r,z). Если, при надлежащем выборе начала координат z = О, задача инвариантна относительно замены переменных z — —z, то любое решение и этой задачи можно представить в виде и = иа 0 иа, где us(r, — z) = us(r,z), ua(r,—z) = —ua(r,z) - симметричная (четная) и антисимметричная (нечетная) по z составляющие и соответственно. В силу линейности задача СК01 разбивается на две независимые задачи для четных и нечетных по z функций.
В этих областях при помощи метода разделения переменных можно найти общий вид функций щ (і = 1,2,3,4), которые являются сужениями решения и задачи СК на области /, II, III и IV соответственно. Функции Ui для симметричных и антисимметричных по z мод имеют вид
Представление собственных функций
Важным часным случаем является случай одинаковых разнесенных препятствий (двух препятствий одной длины и радиуса (рис. 2.5)). В этом случае собственные колебания около препятствий происходят на одних частотах.
Поведение собственных частот по мере приближения двух одинаковых препятствий длины L\ = 2 и радиуса h = 1/2 друг к другу показано на рис. 2.6. Из рисунка видно, что по мере приближения (при L — 0), частоты собственных колебаний около двух препятствий длины 2 стремятся к частотам собственных колебаний около одного препятствия длины 4 (рис. 1.4а, на рис.2.5 показаны объемными отрезками). По мере удаления препятствий (при L — оо), частоты собственных колебаний около двух препятствий длины 2 попарно стремятся к частотам собственных колебаний около одного препятствия длины 2 (рис. 1.4а).
Для исследования механики собственных колебаний около препятствий в канале, произведены расчеты при (L = l,Li = 2,/г = 1/2) 4 GO для двух первых мод собственных колебаний. Эти две моды находятся очень близко друг к другу (бо і = 1.4003, UJ I = 1.4012), однако механика собственных колебаний на этих частотах существенно различается. На рис. 2.7,а показано поле акустических скоростей потока около препятствий для первой моды собственных колебаний. Из рисунка видно, что колебания газа происходят одновременно около двух препятствий. Эти колебания симметричные относительно плоскости z = 0 и стремятся к собственным колебаниям, соответствующим первой моде частот собственных колебаний около одного препятствия длины 4, при L — 0 (рис. 1.7а).
На рис. 2.7,6 показано поле акустических скоростей потока около препятствий для второй моды собственных колебаний. Эти колебания антисимметричные относительно плоскости z = 0 и стремятся к собственным колебаниям, соответствующим второй моде частот собственных колебаний около одного препятствия длины 4, при L — 0 (рис. 1.76). Задача СК04 - задача СКО в круглом цилиндрическом канале около двух тонкостенных круглых цилиндрических препятствий разной длины, разных радиусов, частично вложенных друг в друга, расположенных со-осно на центральной оси так, как на рис. 2.5. L - длина общей части препятствий, L\ + L - длина левого препятствия, Z/2 + L - длина правого препятствия, h\ и 1гі2 радиусы левого и правого препятствий, соответственно. Особенностью этого случая является отсутствие симметрии по z, что приводит к невозможности разделения задачи на две независимые подзадачи для четных и нечетных по переменной z функций.
Так как задача СК04 обладает вращательной симметрией с осью вращения z, то можно считать, что решения этой задачи не зависят от угловой координаты (р и являются функциями только от (г, z). VII
При помощи уравнения det{Ov(uj)) = 0 можно найти приближенные собственные значения частоты задачи СК04, система уравнений Ov(uo)( ) = 0 позволяет приближенно найти собственные функции задачи СК04. Рис. . Р.Зависимость собственных частот от длины препятствий: а - от длины общей части препятствий L для L\ = 1.5, L = 1; б - от длины левого препятствия L\ для L = 1, L = 1.
Для фиксированных радиусов препятствий h\ = 1/3, / = 2/3 зависимость собственных частот от длины общей части препятствий L и от длин препятствий L\+L и L2+L исследовалась численно. На рис. 2.9а показана зависимость собственных частот длины общей части препятствий L (L\ = 1.5, L2 = 1). На рис. 2.9,6 показана зависимость собственных частот от длины левого препятствия L\1 при L = 1, L = 1.
.Направление акустических скоростей потока около препятствий: а) - для первой моды собственных колебаний, б) - , второй моды собственных колебаний.
Для исследования механики собственных колебаний около препятствий в канале, произведены расчеты при (L = 1, L\ = 1.5, L = 1, h\ = 1/3, h = 2/3) для двух первых мод собственных колебаний. На рис. 2.10,а показано поле акустических скоростей потока около препятствий для первой моды собственных колебаний (моды левого препятствия). На рис. 2.10,6 изображено поле акустических скоростей потока около препятствий для второй моды собственных колебаний (моды правого препятствия). Из рисунка видно, что в отличае от случая разнесенных по оси канала препятствий собственные колебания происходят во всех областях I — V.
Тонкостенные препятствия в канале с двусторонним сужением
На рис. 3.3 показана зависимость собственных частот от /, пунктирными линиями показаны собственные частоты для L = 1, точками показаны собственные частоты для L = 2, сплошными линиями показаны собственные частоты препятствия в однородном канале, для сравнения. Сплошная линия ш = (Зі/hi является границей непрерывного спектра. Из рисунка видно, что с увеличением / собственные частоты уменьшаются, а количество собственных частот может увеличиваться (собственные частоты могут появляться из непрерывного спектра). Это обусловлено тем, что с увеличением / уменьшается радиус канала h\ = 1 — 1, относительно радиуса канала h\ увеличивается длина препятствия. В работах [29, 41, 42] показано, что с увеличением длины препятствия относительно характерного размера канала собственные частоты уменьшаются, а их количество увеличивается, при достижения длины препятствия некоторых пороговых длин L . Собственные частоты цилиндрического препятствия в однородном канале лежат в интервале [41, 42] О ио (3\. В данной задаче собственные частоты лежат в интервале 0 w /3\/h\ = (Зі/(1 — /), пороговая частота /Зі/hi, очевидно, увеличивается (рис. 3.3).
При помощи метода сшивания проведены численно-аналитические исследования зависимости собственных частот колебаний около тонкостенного препятствия в цилиндрическом канале со ступенчатым сужением от геометрических параметров области колебаний. со
На рис. 3.4 пунктирными линиями показана зависимость собственных частот от изменения радиуса канала / для одностороннего сужения при L = 2, h = 1/2, сплошными линиями показаны собственные частоты препятствия в однородном канале. Характер зависимости собственных частот от / существенно не отличается от случая двустороннего сужения канала (рис. 3.3), однако, собственные частоты убывают менее интенсивно. В работах [29, 42] показано, что отсутствие симметрии области колебаний увеличивает собственные частоты, этим отчасти объясняется менее интенсивный характер их убывания во втором случае. Следует отметить, что с точки зрения вариационной оценки, не имеет значения в какой плоскости z = L/2 или z = —L/2 происходит изменение радиуса канала, собственные частоты от этого зависеть не будут.
На рис. 3.5 показана зависимость собственных частот от L для / = 0.2. Точками показаны собственные частоты двустороннего сужения канала, пунктирными линиями показаны собственные частоты одностороннего сужения канала, сплошными линиями показаны собственные частоты препятствия в однородном канале, для сравнения. Жирными точками показаны результаты экспериментальных исследований аэроакустических резонансных явлений, проводившихся в аэродинамической трубе Института теоретической и прикладной механики СО РАН [51]. Из рисунка видно, что характер зависимости собственных частот от длины препятствия для неоднородных и однородных каналов существенно не отличается. Собственные частоты для случая одностороннего сужения канала лежат между собственными частотами двустороннего сужения канала и собственными частотами препятствия в Зависимость собственных частот колебаний около цилиндрического препятствия от его длины L для двустороннего сужения канала (рис. 3.1,а, точки, ...), одностороннего сужения канала (рис. 3.1,6, штрихи, ) и однородного канала (сплошные линии). Эксперимент [3] показан жирными точками (). 3.6 Влияние двухступенчатого сужения канала на собственные частоты колебаний около препят ствия
На Рис. 3.6 показана зависимость собственных частот от изменения радиуса канала / для одностороннего двухступенчатого сужения при L = 2, h = 1/2, h\ = 4/5. Этот случай отличается от двух предыдущих тем, что уменьшение радиуса канала происходит в области, содержащей цилиндрическое препятствие. Из рисунка видно, что с увеличением /, собственные частоты увеличиваются, при этом количество собственных частот может уменьшаться (собственные частоты могут уходить в непрерывный спектр). При собственные частоты двухступенчатого сужения стремятся к собственным частотам одностороннего сужения канала для / = 0.2. 3.7 Собственные колебания
На рис. 3.7 показано векторное поле скоростей и поле давления для первой моды собственных колебаний для двустороннего сужения и одностороннего двухступенчатого сужения канала в фазе разрежения внутри препятствия и фазе сжатия в области между препятствием и каналом соответственно. Вид собственных функций позволяет описать механику собственных колебаний около цилиндрического препятствия в неоднородном цилиндрическом канале. Механика собственных колебаний в неоднородном канале не отличается от механики собственных колебаний около тонкостенного препятствия в однородном канале [29, 41, 42, 49]. После достижения фазы наибольшего сжатия наступает фаза разрежения, газ перетекает в соседнюю область, в которой под действием перепада давления и сил инерции достигает фазы наибольшего сжатия.
Замечание. В силу условий излучения (3.4) собственные функции локализованы в окрестности препятствия и затухают по экспоненциальному закону по мере удаления от него. Это означает, что все результаты, приведенные в настоящей работе, с высокой точностью справедливы для тонкостенных препятствий в конечных каналах. Это сравнение является важным для приложений.
Условие конечности энергии в окрестностях кромок тонкостенных препятствий
Зависимость собственных частот от длины препятствий исследовалась численно, для h = 1/2, TV = (3,4,6), где N - количество препятствий в канале. На Рис. 4.3 приведена зависимость собственных частот от длины препятствий для N = 4. Следует отметить, что для малых величин L всегда существуют три подмоды 1-й моды собственных колебаний (здесь и далее будут использованы обозначения для этих модпі, 7 и щ). Механика колебаний на этих подмодах следующая: вдоль профиля пластин (по направлению z) укладывается примерно половина волны, амплитуды этих колебаний сдвинуты по фазе по окружной переменной (см. Рис. 4.5), сдвиг по фазе в соседних каналах между пластинами определяется соотношениями (4.6). Можно заметить, что /І Д ЯВЛЯЮТСЯ пороговыми частотами для всех мод колебаний вида щ, (i = 1,2,4) (например, первая собственная частота п стремится к /І4,І = 5,175 при L — 0). Собственные частоты колебаний для подмод первой моды существуют для всех длин препятствий. Все последующие моды и соответствующие подмоды собственных колебаний около тонкостенных цилиндрических препятствий в канале появляются при достижении длины препятствий L некоторой критической величины L , здесь к = 2,3,... - номер моды, Щ оо - некоторое максимальное значение длины препятствия (находится численно), для которого соответствующая мода собственных колебаний не существует.
Для исследования механики собственных колебаний около препятствий в канале, произведены расчеты окружной компоненты колебаний при (L = 1, h = 1/2, N = 4). На рис. 4.5 показаны поля давлений первых мод колебаний пі, П2 и щ, соответственно. В каждый момент времени существует одна область сжатия и одна область разрежения для колебаний Пі, две области сжатия и две области разрежения для колебаний П2 и четыре области сжатия и четыре области разрежения для колебаний 7. Собственные колебания щ обладают симметрией относительно поворота на 7Г. Собственные колебания 7 обладают симметрией относительно поворота на 7г/2. Для первых мод колебаний ni, 7 и 7 по оси z укладывается примерно половина волны. Для вторых мод - примерно одна волна и т.д.
Вид собственных колебаний позволяет исследовать механику окружной компоненты собственных колебаний около препятствий в кольцевом канале. После достижения фазы наибольшего сжатия в одной области (или нескольких областей) начинается фаза разрежения. Газ перетекает в соседнюю область, в которой под действием сил перепада давления и сил инерции газа достигает фазы наибольшего сжатия. Механика колебаний для любого количества тонкостенных препятствий аналогична. а б
С увеличением внутреннего радиуса канала /г, пороговые частоты /i«;i,(i = 1,2,4) уменьшаются. Вместе с ними уменьшаются и заключенные между ними собственные частоты, при этом вид и механика собственных колебаний существенно не меняются. При h — 0 собственные колебания в кольцевом канале переходят в собственные колебания около тонкостенных препятствий в канале круглого сечения [47]. На рис. 4.6 точками изображена зависимость собственных частот четырех препятствий от внутреннего радиуса кольцевого канала от h для L = 1, а непрерывными линиями показаны собственные частоты радиальных препятствий в канале круглого сечения. Схожая зависимость наблюдается для любого количества препятствий N. 4.6 Выводы, возможные обобщения
Разработаны методы вычисления частот собственных акустических колебаний около системы радиальных препятствий в канале кольцевого сечения с потоком газа. Показано, что такие колебания всегда существуют. При помощи теории представлений групп симметрии показано, что существуют колебания имеющие окружную составляющую. Проведены численно-аналитические исследования влияния геометрических параметров препятствий на частоты, количество и вид собственных колебаний. На основании проведенных исследований можно считать, что существуют как стоячие так и вращающиеся вокруг оси поворотной симметрии канала собственные колебания (распределения давлений, показанные на рис. 4.5-4.7 могут вращаться).
Метод сшивания внутри фундаментальной ячейки группы поворотов и теория представлений абелевых групп симметрии позволяет использовать изложенные в работе подходы для изучения собственных колебаний около произвольного количества пластин (например N), составляющих решетку обладающую поворотной симметрией с углом поворота равным 2ir/N.
Теория представлений группы поворотных симметрии позволяет считать, что решения задачи СК имеет вид u(r, (р + 2n/N} z) = exp(i (p)u(r} ( , z). Здесь величина - сдвиг фазы колебаний удовлетворяет условию периодичности N = 27гп, п - целое число, 1 п N. Сдвиг фазы колебаний можно считать волновым числом для окружных колебаний. Это позволяет рассматривать решетку пластин в кольцевом канале как диспергирующую систему для окружных акустических волн и использовать теорию диспергирующих волн для исследования собственных колебаний около решеток пластин.
Предположение о том, что препятствия тонкие используется в рабо те только для упрощения численно-аналитических исследований. С точки зрения вариационной формулировки это предположение является излишним. Необходимо отметить, что все свойства собственных частот и собственных функций качественно сохраняются для объемных препятствий (толстых пластин, профилированных лопаток турбин). Заключение
Исследована тонкая структура спектра в области низких частот самосопряженного расширения оператора Лапласа соответствующего задаче Неймана, описывающей акустические колебания около нескольких тонкостенных цилиндрических препятствий в однородном круглом цилиндрическом канале.
