Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Обзор литературы и постановка задачи 9
1.1. Нелинейные эффекты вблизи резонансных частот столба газа в закрытой трубе 9
1.2. Нелинейные колебания газа в полуоткрытой трубе 17
1.3. Турбулентность при нелинейных колебаниях газа 29
1.4. Постановка задачи 36
ГЛАВА 2. Основные уравнения и метод решения 37
2.1. Уравнения, описывающие тепломассоперенос в трубах 37
2.2. Граничные условия 43
2.3. Характерные параметры 45
2.4. Метод возмущений 46
ГЛАВА 3. Нелинейные колебания газа в закрытой трубе в области перехода к периодическим ударным волнам 51
3.1. Нелинейные колебания однородного газа на второй гармонике 51
3.2. Колебания газа при наличии температурной неоднородности 64
ГЛАВА 4. Нелинейные колебания газа в полуоткрытой трубе в области перехода к периодическим ударным волнам 76
4.1. Граничное условие на открытом конце трубы в случае полигармоничности колебаний скорости газа 76
4.2. Генерация высших гармоник при резонансных колебаниях газа 86
4.3. Вторичные течения при нелинейных колебаниях газа 100
ГЛАВА 5. Турбулентность в осциллирующих потоках в трубах 113
5.1. Модель турбулентных осциллирующих потоков 113
5.2. Резонансные колебания газа в полуоткрытой трубе в турбулентном режиме течения 128
Выводы 135
Литература 137
- Нелинейные колебания газа в полуоткрытой трубе
- Граничные условия
- Колебания газа при наличии температурной неоднородности
- Генерация высших гармоник при резонансных колебаниях газа
Введение к работе
Актуальность темы. Современный этап развития теории нелинейных колебаний характеризуется значительно возросшей связью с самыми различными отраслями, начиная с таких традиционных как, механика и радиотехника, до таких как ядерная энергетика, машиностроение, двигателестроение, турбостроение, экология, биофизика и т.п. В данной работе изучаются продольные нелинейные колебания газа в трубах с различными условиями на концах вблизи резонансов. С одной стороны такие режимы колебаний могут существенно интенсифицировать горение, повышать теплонапряженность топочных камер, улучшать тепло- и массообмен, снижать гидравлическое сопротивление. С другой стороны, возникновение колебаний вблизи резонансов нежелательно, поскольку они нарушают прогнозы сделанные при расчете работы агрегата. Так, нелинейные колебания рабочей среды в ЖРД, газотурбинных установках, мощных парогенераторах, в тепловых контурах АЭС и т.п. увеличивают местные коэффициенты теплоотдачи, механические и тепловые напряжения, что может привести к разрушению элементов конструкций.
При нелинейных колебаниях газа в трубах наблюдаются термоакустические эффекты, которые возникают при неравномерном температурном поле. На основе этих эффектов разрабатываются волновые тепловые (холодильные) машины, имеющие большое прикладное значение. Особый интерес представляют турбулентные режимы движения осциллирующих потоков, поскольку они наблюдаются во многих реальных устройствах (множество физических и физико-химических процессов протекает в турбулентных газодинамических потоках, причем некоторые из этих процессов, например, теплообмен, горение и др., сами вызывают турбулизацию потока или ей способствуют).
Развитие теории нелинейных колебаний, возникающих в таких сложных системах как трубопроводы или камеры внутреннего сгорания, где колебания генерируются сочетанием более простых источников возбуждения, представляет значительную трудность. Поэтому исследование основных нелинейных эффектов при резонансных колебаниях газа на простых моделях, в частности, в трубе с гармоническим возбуждением среды является актуальным.
Цель работы. Целью настоящей работы является теоретическое исследование нелинейных колебаний однородного и неоднородного газа в трубах с различными граничными условиями на концах вблизи резонансов в области перехода к периодическим ударным волнам.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, выводов и списка литературы. Общий объем диссертации - 151 стр., в том числе 28 рисунков, расположенных по тексту, и список литературы на 15 стр., включающий 158 наименований.
Содержание работы. В первой главе приведен обзор и анализ литературы посвященной теоретическим и экспериментальным исследованиям резонансных колебаний в трубах, заполненных однородным и неоднородным газом. Отмечено, что для закрытых труб большинство работ посвящено области разрывов, а область перехода от слабо нелинейных к ударным волнам исследована недостаточно: не учитывались генерация высших гармоник, поглощение на стенках и влияние неоднородности газа при наличии скачка температуры.
Обзор случаев, когда один конец трубы закрыт поршнем, а другой конец открыт (полуоткрытая труба) показывает, что моделирование граничного условия на открытом конце далеко от завершения, поскольку колебания скорости на открытом конце полагаются гармоническими, а не полигармоническими. Поэтому необходимо получить граничное условие на открытом конце с учетом полигармоничности колебаний скорости. Область слабой нелинейности в случае полуоткрытых труб также исследована недостаточно: снова не учитывались генерация высших гармоник, вторичных течений.
Анализ исследований по турбулентным колеблющимся потокам показал, что большинство работ относятся к пульсирующим течениям, а осциллирующие потоки практически не исследованы. На настоящее время не существует модели осциллирующих турбулентных потоков в случае, когда турбулентность развивается медленно, достигая оси трубы спустя определенный промежуток времени после начала разгона. В рассмотренных исследованиях отсутствует теория резонансных колебаний в полуоткрытой трубе в случае, когда турбулентность достигает оси трубы спустя определенный промежуток времени после начала разгона.
Во второй главе представлены математическое описание резонансных колебаний газа в трубах, ставятся краевые условия, и дается методика решения.
Третья глава посвящена резонансным колебаниям в закрытой трубе. Рассмотрена генерация второй гармоники в случае колебаний поршня на основной частоте. Отмечено, что вторая гармоника при колебаниях в закрытой трубе является резонансной, а нелинейность определяется нелинейностью поршня и внутритрубной нелинейностью. Проводится сравнение результатов численных расчетов с имеющимися экспериментальными результатами.
Исследуется влияние ориентации поршня на резонансные колебания газа в трубе при наличии скачка температуры. Проводится сравнение полученных результатов для случаев, когда поршень находится со стороны горячего газа, со стороны холодного газа, и в случаях, когда труба заполнена однородным либо холодным, либо горячим газом
Четвертая глава посвящена исследованию нелинейных резонансных колебаний в случае полуоткрытой трубы. Получено граничное условие на открытом конце с учетом полигармоничности колебаний скорости. С учетом этого построена теория генерации второй и третьей гармоник при колебаниях поршня на основной частоте. Показано, что генерация высших гармоник обусловлена нелинейностью поршня, внутритрубной нелинейностью и нелинейностью открытого конца. Проводится сравнение полученных теоретических результатов с экспериментальными данными.
Исследованы вторичные течения в полуоткрытой трубе. Установлено влияние на них числа Прандтля и поглощения на стенках.
Пятая глава посвящена турбулентным осциллирующим потокам. Проведена классификация и выделены три группы, отличающиеся по свойствам потока. На основании рассмотрения энергетических соотношений в турбулентных течениях показано, что потоки, в которых турбулентность достигает оси трубы на поздних стадиях ускорения, являются квазистационарными. Построена модель турбулентности таких течений, позволяющая рассчитывать профили скорости и касательного напряжения в пристеночной области и в ядре потока. С учетом построенной модели исследованы резонансные колебания газа в полуоткрытой, трубе в турбулентном режиме. Выполнено сравнение теоретических расчетов с экспериментальными данными.
Научная новизна: получено аналитическое решение для второй гармоники при резонансных колебаниях газа в закрытой трубе в области перехода к ударным волнам изучено влияние ориентации поршня на резонансные колебания газа в закрытой трубе при наличии осевого скачка температуры получено нелинейное граничное условие на открытом конце с учетом полигармоничности колебаний скорости у выходного сечения трубы рассчитаны вторая и третья гармоника при колебаниях в полуоткрытой трубе, с учетом генерации высших гармоник на поршне, колеблющемся на основной частоте и нелинейного граничного условия на открытом конце исследовано влияния числа Прандтля и поглощения на стенках на скорость вторичных течений в вязкой и теплопроводной среде разработана модель турбулентных осциллирующих потоков в трубах и исследованы резонансные колебания газа в полуоткрытой трубе в турбулентном режиме в случае, когда турбулентность достигает оси трубы на поздних стадиях ускорения
Теоретическая и практическая значимость. Полученные данные дают более полное представление о сложных газодинамических процессах, происходящих при возбуждении продольных нелинейных колебаний газа в трубах вблизи резонансных частот. Теоретические результаты могут быть использованы при расчетах волновых процессов в различных устройствах, в которых возникают нелинейные колебания среды (ЖРД, трубопроводах, камерах внутреннего сгорания и т.п.).
Обоснованность и достоверность. Предложенные в диссертационной работе методики расчета и вытекающие из них выводы основаны на фундаментальных законах и уравнениях механики жидкости и газа, а также физически естественных допущениях. Полученные результаты, расширяющие существующие представления о характере рассматриваемых процессов, хорошо согласуются с экспериментальными данными других авторов.
На защиту выносятся следующие основные научные результаты:
Теоретическое исследование резонансных колебаний однородного и неоднородного газа в закрытой трубе в области перехода к ударным волнам.
Формулировка нелинейного граничного условия на открытом конце с учетом полигармоничности колебаний скорости у выходного сечения трубы.
Результаты исследования второй и третьей гармоники при резонансных колебаниях в полуоткрытой трубе с учетом полученного нелинейного граничного условия на открытом конце и нелинейности, возникающей на поршне, колеблющемся на частоте О).
Учет влияния числа Прандтля и поглощения на стенках при расчете вторичных течений в вязкой и теплопроводной среде.
Модель турбулентности в осциллирующих потоках и исследование резонансных колебаний в полуоткрытой трубе в турбулентном режиме течения в случае, когда турбулентность достигает оси трубы на поздних стадиях ускорения.
Все перечисленные результаты получены впервые.
Результаты работы докладывались и обсуждались на: XI, XII, XIII, XIV Всероссийской межвузовской научно-технической конференции «Внутрикамерные процессы в энергетических установках, акустика, диагностика, экология» (Казань, 1999 г., 2000 г., 2001 г., 2002 г.), V, VI Международная конференция «Нелинейные колебания механических систем» (Н. Новгород, 1999 г., 2002 г.), Всероссийской школе-семинаре молодых ученых и специалистов под руководством академика РАН В.Е. Алемасова «Проблемы тепломассообмена и гидродинамики в энергомашиностроении» (Казань, 1999 г., 2000 г., 2002 г.), III Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (Истра-Москва, 2000 г.), Международной научной конференции «Актуальные проблемы математики и механики» (Казань, 2000 г.), IV Научно-практической конференции молодых ученых и специалистов Республики Татарстан (Казань, 2001 г.), VIII Четаевской Международной конференции «Аналитическая механика, устойчивость и управление движением» (Казань, 2002 г.), 13 Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь , 2003 г.).
По теме диссертации имеется 19 публикаций [140-158].
Нелинейные колебания газа в полуоткрытой трубе
Интерес для исследований представляют не только колебания в закрытой трубе, но и случай, когда на одном конце трубы расположен поршень, а другой конец сообщается с окружающей средой [8, 11, 31, 37, 42, 48-50, 54, 58-91, 95, 96]. В этом случае для расчета собственных частот газового столба используется формула [41] Первые эксперименты провел Хадсон [48]. Он обнаружил появление вблизи линейного резонанса на открытом конце трубы пульсирующей воздушной струи и вихревых колец. Процесс движения газа вблизи открытого конца автор [48] разбил на четыре, равные по времени, фазы: формирование струи, отделение струи от газового столба в трубе, формирование вихрей и ламинарное втекание газа в полость трубы. Указанные последовательные фазы течения газа у открытого конца представлены на рис. 1.2.1. Аналогичные картины наблюдались в экспериментах Дассельхорфа и Вайнгаардена [68]. Ингард и Изинг [63] исследовали процесс формирования струи вблизи отверстия в пластине при уровнях звукового давления 140 дБ и выше. Измеряя значение импеданса отверстия, авторы нашли квадратичную зависимость между амплитудами давления и скорости. Кроме того, при исследовании была замечена асимметрия выброса и втекания в выходное сечение трубы. Результаты исследований пульсирующей струи при Sh = coR/V « I, где Sh число Струхаля, предложены в [77]. Случай Sh l при уровнях звукового давления 150 дБ исследовался в работе Лебедевой [65]. В экспериментах [69, 80] уровень звукового давления в пучности достигал 190 дБ. Авторы проводили измерения давления и скорости. При Sh \ на открытом конце трубы (внутри нее) происходит образование тороидальных вихрей, а струя сильно расширяется.
В экспериментах [78, 79] исследовались колебания скорости потока на различном расстоянии от оси трубы в радиальном направлении в резонансном режиме. На оси трубы несколько выше ее среза, включая границу отражения Рэлея 0,61 R, амплитуда скорости выброса оказалась больше амплитуды скорости всасывания, причем продолжительность фазы выброса больше, чем фазы всасывания. Это связано с образованием среднего течения. С удалением от оси трубы продолжительность фазы выброса уменьшается, а фазы всасывания, соответственно, увеличивается. При дальнейшем удалении от оси трубы начинают наблюдаться всплески скорости с возрастанием амплитуды, которая принимает максимальное значение ближе к стенке трубы. Это обусловлено тем, что вне ядра имеется тороидальный вихрь, который при удалении от среза трубы смещается за ее стенки. Это позволило заключить, что в фазе выброса вихрь движется по потоку, расширяясь. Аналогичное распределение скоростей поперек потока было ранее обнаружено в [73] для трубы с диаметром вдвое большим, чем диаметр поршня. За пределами трубы амплитуда колебаний резко уменьшается. В работах [67, 68] исследуется поток около выходного сечения полуоткрытой трубы при резонансных колебаниях. Авторами выявлено влияние формы торца трубы на течение газа и образование вихрей. Также приведены результаты измерений давления и скорости вблизи открытого конца. Исследования [71, 72, 73, 74, 87] показали, что структура течения существенно зависит от соотношения диаметра трубы d и диаметра поршня dQ. В случае dQ d [71, 72, 87] в фазе истечения структура потока аналогична структуре стационарного истечения из насадков. В ядре потока скорость постоянна V =130м/с, при приближении к кромкам трубы значение скорости монотонно уменьшается. В случае dQ d [73, 74] структура течения другая. До г/ R « 0,5 наблюдается область с постоянной скоростью, затем происходит увеличение скорости до максимального значения V =30м/с, и ближе к стенкам трубы скорость начинает резко уменьшаться (что обусловлено формирование вихрей внутри трубы). Периодические ударные волны в полуоткрытой трубе при резонансных колебаниях наблюдались в работах [8, 76, 80, 87]. Уровень звукового давления на открытом конце достигал 160 дБ. Профили, полученные на различных расстояниях от выходного сечения трубы показывают, что уже в середине трубы, как на гребне волны, так и в области разрежения, имеются изломы. Вблизи открытого конца трубы в профиле образуется разрыв и формируется ударная волна. При возбуждении газа с частотами СО СО возникают п ударных волн. Авторами [80] было выяснено, что с увеличением 8 = t/L увеличивается расстояние от открытого конца, на котором появляются ударные волны. Стартевентом [8] экспериментально рассчитан коэффициент отражения волн от открытого конца и показано, что этот коэффициент растет с ростом амплитуды колебаний скорости.
В работах [69, 80, 81] наблюдались колебания вблизи нелинейных резонансов. При этом было отмечено, что амплитуды возникающих периодических ударных волн достигали по величине амплитуды волн при линейных резонансах. Штультрэгер и Томанн [95] измеряли давление вблизи поршня. Получены первые три гармоники и распределение амплитуд этих гармоник по длине трубы. Выяснено, что за пределами трубы поток газа является турбулентным. Проявление турбулентности потока вблизи открытого конца, из-за максимума амплитуды скорости, отмечалось также Меркли и Томанном [11]. Значительные трудности, возникающие при теоретическом исследовании продольных колебаний газа в полуоткрытой трубе, связаны, главным образом, с моделированием поведения газового столба у выходного сечения трубы. Впервые такую задачу рассмотрел Релей [42], представив граничное условие на открытом конце в виде p(0,t) = р0. Чтобы исключить бесконечное решение при резонансе он предложил концевую поправку oR, учитывающую излучение акустической энергии во внешнее пространство с телесным углом П. Таким образом, в (1.2.1) L — L +aR, в отличие от закрытой трубы (где L = LQ). В общем виде зависимость поправки на излучение от телесного угла получил Честер [49]
Граничные условия
Для полного математического описания рассматриваемых процессов при установившихся резонансных колебаниях газа в трубах необходимо задать граничные условия. Для системы уравнений (2.1.12) ставятся следующие условия. На стенке выполняется условие прилипания а на оси - условие симметрии Рассмотрим граничное условие на поршне. В лагранжевых координатах поршень совершает гармонические колебания по закону тогда скорость поршня определяется как р Г " o Переход к эйлеровым координатам совершается по формуле [62] Известные экспериментальные данные [95] показывают, что колебания скорости газа в трубе имеют полигармонический характер и ведущие члены можно задать в виде и = cQrf1 sin(0x + ах jsin cot + cQr!f sin(20x + a2 jsin 2cot + + cQrj ; sin(3&0x + a3 Jsin 3cot, ai «1, где г., a. - константы интегрирования, верхние индексы указывают на порядок величины. Продифференцируем (2.2.6) по X в точке х = О и подставим в формулу (2.2.5) отбрасывая стационарный член и ограничиваясь третьей гармоникой. В итоге с учетом выражения 2sinxsin = cos(x-_y)-cos(x + ) [133] имеем В силу того, что r « ту , Гї « ту отбрасываем в (2.2.8) подчеркнутые слагаемые.
В результате получаем граничное условие на поршне в виде и(х = О)=,со0 cos cot - 0,5со coslcot - cotQr2 cos3cot, (2.2.9) здесь верхний индекс опущен, поскольку совпадает с номером гармоники. Граничное условие на противоположном конце трубы, в случае если он закрыт, ставим в виде Граничное условие на открытом конце имеет более сложный вид и будет рассмотрено в четвертой главе. Для того чтобы получить параметры, характеризующие колебания в закрытых трубах снова вернемся к уравнениям (2.1.11). В удерживаемых членах этих уравнений в качестве множителей содержатся безразмерные параметры kQL, М, kQLM, kQLM/H , kQLjHT. Разделим удерживаемые члены (2.1.11а) на kQLM и введем вместо PQC0 НОВЫЙ масштаб давления p oLV. Тогда имеем coL Таким образом, количество безразмерных параметров при Pr = 1 сокращается до двух (поскольку вблизи резонанса k L 1 в дальнейшем он не рассматривается), а именно частотного параметра Н и параметра нелинейности є = V/coL. Теперь запишем граничное условие на поршне (2.2.9) в безразмерном виде, разделив его на cQ. В результате имеем еще один параметр М = СОІ ІС - число равное отношению максимальной амплитуды р --0/ 0 колебаний поршня к скорости звука в невозмущенном газе. При колебаниях в полуоткрытых трубах к рассмотренным параметрам можно добавить параметр, описывающий нелинейное поведение газа вблизи открытого конца. Чтобы его получить перепишем уравнение движения (2.1.4) в сферических координатах, считая, что от нуля отлична лишь радиальная компонента скорости U, и вязкость незначительна, т.е. вязкими членами в уравнениях можно пренебречь [64] Таким образом, колебания газа в трубах можно характеризовать четырьмя параметрами [50] Пусть амплитуда смещения поршня Q намного меньше длины трубы L. Умножим и разделим М на L, в результате получим М = kQL —.
Как уже отмечалось, вблизи резонанса kQL 1, тогда условие „ « L эквивалентно М «1. Параметр Н представляет собой отношение радиуса трубы R к толщине акустического пограничного слоя (слоя Стокса) д — - Ivjco. Наиболее интересен для практики случай, когда пограничный слой занимает лишь тонкую пристеночную часть трубы 8 « R, т.е. Н » 1. Считаем также, что амплитуда смещения частиц s — V/CO, намного больше радиуса трубы, и в тоже время намного меньше ее длины. Выражая число Струхаля и параметр нелинейности через амплитуду смещения частиц, получаем Sh = R/s и є — s/L. Очевидно, что принятые условия обеспечивают неравенства Sh «1 и є « 1.
Колебания газа при наличии температурной неоднородности
Рассмотрим колебания газа в длинной цилиндрической трубе с амплитудой смещения поршня много меньшей длины трубы, колеблющегося по гармоническому закону (рис. 3.2.1). На участке трубы 0 х т0 газ имеет температуру Т.. Остальная часть трубы находится при температуре 71. Колебания в такой системе определяются параметрами где с - скорость звука. Как уже было показано, условие 10 « L эквивалентно М «1. Предполагается, что Ту 7 , поэтому N \. Кроме того, как и для однородного газа, є « 1, Н » 1, поэтому при решении используем метод возмущений. Рассмотрим сначала колебания однородного газа. Колебания давления можно представить в виде где С, Ct,P - константы интегрирования. Колебания скорости, осредненной по сечению трубы, запишем как [95]: здесь р0 - средняя по времени плотность газа; где 7] HiR-sjco/v, J0,Ji - функции Бесселя первого рода нулевого и первого порядков соответственно. где p = p/pQc , и —и/с; г, у/ - модуль и главное значение аргумента безразмерной амплитуды колебаний, соответственно; /и, (р - модуль и главное значение аргумента функции (1 — f)h. В случае высокочастотных колебаний и // 1, (р = 0 с точностью до \\/ Н). Из граничных условий на поршне (2.4.10) и на закрытом конце трубы (2.4.9) получаем константы интегрирования аналогичные (3.1.10) a = 7T-k0L(l + j3 \ tgy/ = tgacth/3. Точный резонанс наступает, когда а = 0, т.е. при kQL = 7г/(1 + /? ). Откуда, у/ = 0. Граница применимости (3.2.7) определяется из условия, чтобы нелинейные потери были существенно меньше пристеночных.
При больших Н f5 «1, поэтому sh f5«J3. Тогда при точном резонансе в силу со0/с = k0L{0/L) имеем Исследуем зависимость амплитуды колебаний газа от температуры, для чего из равенства kQL\l + /3 ) = к выразим величину со и подставим ее в Зависимость v(T) = p(T)/pQ(T), где р - коэффициент динамической вязкости, можно определить, если зависимость р{Т) вычислить по формуле Сазерленда [131] т+т0 a PQ{T) - по уравнению состояния (2.1.10). Примем также, что с л/Т . На рис.3.2.2 показана зависимость rm=rm\T/T0), где TQ=273K, для = 2 -10 м, L = 2м для двух значений радиуса трубы. Из рисунка видно, что рост температуры газа приводит к существенному уменьшению безразмерной амплитуды колебаний, несмотря на рост резонансной частоты и соответствующий рост амплитуды колебаний скорости поршня. Теперь рассмотрим колебания газа в трубе со скачком температуры (рис.3.2.1). Обозначим величины в первой среде, которая соприкасается с поршнем индексом 1, а во второй - индексом 2. Предполагается, что поршень соприкасается с «горячим газом», т.е. Т, 71. Решения в соответствующих областях, в соответствии с (3.2.5) имеют вид где p. = p./PQ-C , u.=u./c. , r{, yfj - модули и главные значения аргумента безразмерной амплитуды колебаний соответственно; к. — kQ. (1 + /3 . + і/З"J - волновые числа. С учетом ТОГО, ЧТО Р01С1 = А)2С2 имеем Совместное решение (3.2.12) и граничных условий на поршне (2.4.10) и закрытом конце (2.4.9) дает возможность определить восемь констант: rx, r2, ух, у/2, av а2, Д, J32. Разделим второе равенство (3.2.12) на первое. В результате получим При точном резонансе снова а, = 0. С учетом этого, а, также полагая, что пристеночное поглощение отсутствует /3 = О, Р = 0 из (3.2.16) получаем уравнение где из которого можно определить значения \k0]L) , соответствующие среде без пристеночного поглощения. Для получения безразмерной резонансной частоты [k0]LJ при наличии пристеночного поглощения следует по-прежнему положить в (3.2.16) а,—0 и решать уравнение
Генерация высших гармоник при резонансных колебаниях газа
Второе отличие заключается в том, что колебания газа на частоте 2со нерезонансные. Это легко показать, рассмотрев решение однородного уравнения (3.1.16) при однородных граничных условиях: на поршне и на открытом конце трубы Выражение для амплитуды колебаний скорости, являющееся решением (3.1.16) совпадает с (3.1.17) и в безразмерном виде записывается как Амплитуду колебаний давления получаем из второго уравнения системы (3.1.14), отбрасывая в нем правую часть и пренебрегая членами порядка S/R Подставим в (4.2.6) выражение (4.2.5) и продифференцируем по X, в итоге, считая, что Р2 «1, имеем Граничное условие (4.2.3) дает Подставляя (4.2.7) в (4.2.4) с учетом (4.2.8) имеем условие из которого следует, что уравнение (3.1.16) имеет только тривиальное решение, т.е. величина 2kQL\l + j3 2J= я не является собственным значением (3.1.15) и следует положить г„ = 0. Таким образом, колебания будут характеризоваться частным решением уравнения Введем новую переменную у = 2kQx(l + Д — ifi[), тогда положив / «1, имеем 8 Переходя к безразмерным величинам, легко находим решение (4.2.11) в виде со Выражение для безразмерной амплитуды колебаний давления определяем, подставляя (4.2.12) во второе уравнение системы (3.1.14) и отбрасывая в нем малые члены р2(у) = /Cj cosy - iC2 Константы Cj и С2 получаем из граничных условий на поршне (2.4.13) и на открытом конце трубы (4.1.24). Из граничного условия на поршне сразу имеем Подставим (4.2.13) в граничное условие на открытом конце трубы, учитывая, что p2{y,t) = /?20 )exp(2/fi#), cs2tftf = Re{exp(2/6#)} и принимая В итоге легко получаем выражение для С, с точностью до квадратичных членов
Теперь подставим (4.2.16) и (4.2.14) в выражения (4.2.12) и (4.2.13), учитывая, что при ах = 71 jl - kQL\l + Рх) В результате с точностью до членов порядка к для безразмерных амплитуд колебаний скорости и давления имеем можно записать Рассмотрим свойства полученных результатов. На рис.4.2.1 представлена зависимость модуля безразмерной амплитуды колебаний давления у выходного сечения \рАіЛ М от безразмерной частоты z = (2/л"ДбУ 0 1сЛ для трубы длиной LQ= 1,7065м с амплитудой смещения поршня 0=2,90лш. Сплошная линия, соответствует теории построенной выражению (4.2.19) при Ъу = 0,25, точки - экспериментальные результаты из [95]. Из рисунка видно хорошее качественное и количественное согласование результатов. Распределения скорости по длине трубы для двух длин труб LQ — 1,7065 м и LQ = 1,2864 м, соответственно, даны на рис.4.2.2а и 4.2.26. Здесь сплошные линии - теория по выражению (4.2.20) при Ь = 0,25, штриховые линии расчет по (4.2.20) в случае Ь — 0,07773. Из рисунков видно, что для b2 = 0,07773 максимум амплитуды колебаний скорости оказывается в полтора раза больше, чем для Ь2 = 0,25, кроме того, и минимум и максимум для меньшего значения Ь оказываются смещенными в сторону открытого конца трубы. Сравнение рис.4.2.2а и рис.4.2.2б также показывает, что в случае более короткой трубы амплитуда колебаний скорости несколько выше, чем в более длинной трубе. Эпюры давления для двух длин труб, представлены на рис.4.2.3а и 4.2.36. Сплошная линия - теоретический расчет по выражению (4.2.21) при Ь = 0,25, штриховая линия - теория при Ь2 = 0,07773, точки - экспериментальные данные [95]. Из рисунков видно хорошее качественное согласование теории и эксперимента.
Кроме того, наблюдается, что теория при b = 0,07773 лучше согласуется с экспериментом на второй четверти, однако при приближении к открытому концу трубы расхождения возрастают. Для теоретических данных, рассчитанных при Ъ2 = 0,25, наоборот, во второй четверти трубы наблюдаются существенные количественные расхождения, при приближении же к открытому концу согласование с экспериментом становится удовлетворительным. Рассмотрим колебания на частоте 3d). Для этого проанализируем систему (2.4.14). Видно, что правые части уравнений этой системы имеют третий порядок малости, тогда как в граничном условии на открытом конце (4.1.26) ведущие члены имеют второй порядок. Это означает, что нет необходимости решать полную систему уравнений, достаточно рассмотреть однородную систему второго порядка:
