Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ЧИСЛЕННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕЧЕНИЯ ИДЕАЛЬНОГО ГАЗА В ДИСКОВОМ ГЕНЕРАТОРЕ ГАРТМАНА 17
1.1 Численные методы решения нестационарных газодинамических течений при наличии сильных разрывов 17
1.2. Метод расчета 19
1.3. Схема и расчётная область дискового генератора 22
1.4 Анализ точности моделирования колебательного процесса
в дисковом генераторе по результатам сравнения расчёта и эксперимента 25
Глава 2. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КАРТИНЫ ТЕЧЕНИЯ В ДИСКОВОМ ГЕНЕРАТОРЕ ПРИ РАЗЛИЧНЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРАХ РЕЗОНАТОРА 27
2.1. Структура радиальной щелевой перерасширенной сверхзвуковой струи, истекающей в затопленное пространство 27
2.2. Численное исследование течения идеального газа в дисковом генераторе в широком диапазоне изменений размеров резонатора 30
2.3. Автоколебания в пульсирующем генераторе на основной моде 45
2.4. Автоколебания в пульсирующем генераторе на частоте высших мод 49
2.5. Автоколебания в пульсирующем генераторе с широким резонатором 50
Глава З, РАСЧЕТНО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ АВТОКОЛЕБАНИЙ В ДИСКОВОМ ГЕНЕРАТОРЕ НА ОСНОВНОЙ И ВЫСШИХ МОДАХ 55
3.1. Определение частот собственных колебаний газа в дисковом резонаторе и энергетических характеристик генератора в акустическом приближении 55
3.2. Исследование возникновения неустойчивости отошедшей ударной волны перед резонатором 63
3.3. Исследование прохождения возмущений по каналам внутренней и внешней связи при автоколебаниях в генераторе 68
3.4. Влияние глубины резонатора на интенсивность и моду колебаний. Исследование взаимодействия внутренней и внешней связей 72
3.5, Анализ интенсивности автоколебаний 76
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 81
ЛИТЕРАТУРА 83
ПРИЛОЖЕНИЕ 91
- Численные методы решения нестационарных газодинамических течений при наличии сильных разрывов
- Структура радиальной щелевой перерасширенной сверхзвуковой струи, истекающей в затопленное пространство
- Определение частот собственных колебаний газа в дисковом резонаторе и энергетических характеристик генератора в акустическом приближении
Введение к работе
Пульсации давления (ПД) связаны в основном с неустойчивостью течения газа или жидкости. Возникновение таких пульсаций может приводить к нарушению работы устройства или даже к его фатальному разрушению. Примерами пульсаций, отрицательно действующих на различные процессы, являются пульсации в донных областях, в камерах сгорания, в подводящих топливных магистралях, внутри сопел летательных аппаратов, в сопловых решётках газодинамических лазеров, в выемках, за уступами и в местах соединения участков технологических линий и т.д. Но существует ряд областей техники, где пульсации давления используются сознательно, например, для разрушения горных пород, для интенсификации процессов химической технологии (перемешивание доселе несмешивающихся жидкостей, распыление жидкости и др.), для отделения мелкодисперсных частиц (например, сажи) от газового потока и т.д.
Одним из наиболее интересных технических приложений, связанных с пульсациями давления, является газоструйный излучатель звука, впервые экспериментально исследованный Гартманом [1]. Им было обнаружено (1919г.), что если истекающая из сверхзвукового сопла стационарная струя натекает на преграду - трубку, открытый конец которой направлен навстречу струе, то наблюдаемое при этом течение может быть как стационарным, так и пульсирующим. При пульсирующем процессе в такой системе происходят сильные колебания давления, генерирующие звук большой интенсивности. В настоящее время такие газоструйные генераторы находят широкое применение в качестве мощных акустических излучателей.
Позднее Шпренгером [2] было обнаружено, что при возникновении пульсаций в таком устройстве дно резонансной трубки нагревается. Первоначально зафиксированная температура равнялась 698 К. Впоследствии, при исследовании этого эффекта [3-16] получены более высокие температуры (до 1800К). Нагрев донной области происходит очень быстро, поэтому такие устройства нашли применение в качестве воспламенителей горючих смесей. Также они используются в качестве высокотемпературных источников тепла.
Классический генератор Гартмана представляет собой конструкцию, состоящую из сверхзвукового осе симметричного сопла и полузамкнутой цилиндрической полости (резонатора), оси которых совпадают. Сверхзвуковая струя, втекающая в резонатор, в зависимости от внутренних размеров системы и параметров потока, реализует мощные автоколебания. Гартман экспериментально определил [1], что колебания возникают при расположении входного сечения резонатора в области между диском Маха и концом "бочки" (ячейки нерасчётности струи).
Кроме классического генератора Гартмана с цилиндрическим резонатором сейчас известны другие конструкции пульсирующих генераторов (ПГ), из которых большой интерес представляют генераторы с резонаторами, сужающимися в направлении дна. Привлекательность их связана с эффектом усиления ударной волны в таких резонаторах по мере её приближения к донной части [17-23]. В таких модифицированных генераторах Гартмана наблюдаются более высокие амплитуды колебаний давления в резонаторе. Для конусообразных резонаторов максимальное значение статического давления может в несколько раз превышать давление торможения струи. Интересным экспериментальным результатом является и то, что в донной части резонаторов зафиксировано превышение среднего давления над давлением торможения струи. Наиболее высокие величины давлений и амплитуд колебаний давления были получены в конических резонаторах [17,18,23]. Кроме этого, в подобных ПГ наблюдается более интенсивный тепловой нагрев донной части.
Аналогичными свойствами, как у ПГ с коническим резонатором обладает дисковый или радиальный ПГ с дисковым резонатором. В таких ПГ источником энергии для возбуждения и поддержания пульсаций в полости резонатора, образованного двумя дисками, служит щелевая кольцевая струя, направленная радиально к центральной оси симметрии резонатора. Здесь также получено превышение среднего давления над давлением торможения струи и высокие величины амплитуд колебаний давления [24]. Однако работ посвященных изучению такого типа ПГ, хотя он представляет интерес, практически нет.
Большой ряд экспериментальных работ [2-18] посвящен изучению теплового эффекта. Получено, что нагрев стенок резонатора происходит только в донной части. Высокие уровни температур достигаются за доли секунды, и эти уровни выше, если использовать одноатомные или с меньшей молярной массой газы [25]. Было обнаружено что, тепловой эффект выше в сужающихся резонаторах. Кроме конических резонаторов интенсивный тепловой нагрев был получен в ступенчатых [16, 26] резонаторах. В цилиндрических резонаторах нагрев ускоряется и температура увеличивается, если колебания происходят не на основной, а на более высокочастотных модах [14, 16, 27]. Рассматривались эффекты повышения температуры для течений, когда внешний поток газа имел направление под углом к оси трубки [28,29].
Теоретические представления о природе аномального нагрева следующие: основной причиной этого эффекта является диссипация энергии в ударных волнах и в пограничных слоях на стенках резонатора, причём нагрев происходит вследствие теплообмена между стенкой и газом при многократных следующих друг за другом циклах сжатия и разрежения.
Кроме эффекта аномального нагрева в таких устройствах, имеются и другие важные вопросы, требующие исследования. К ним можно отнести:
1) причина возникновения автоколебаний и механизм их поддержания; частотные и амплитудные характеристики газодинамических параметров в резонаторе при возникновении автоколебаний, их зависимость от геометрических параметров ПГ и газодинамических параметров натекающей на резонатор струи; детальное описание структуры и циклов возникающих типов течений в ПГ; причины возникновения и описание высокочастотных режимов течения в ПГ на высоких модах собственных колебаний резонатора;
Вслед за классической работой Гартмана и до настоящего времени опубликовано большое количество работ, посвященных пульсирующим генераторам, что указывает на огромный интерес к таким явлениям. Многие работы - экспериментальные. При обработке многочисленных экспериментов были получены эмпирические формулы для расчета волновых и энергетических характеристик излучателя.
Большое количество работ посвящено изучению причин и механизма пульсаций [23, 31-40]. Здесь рассматриваются так же частотные и амплитудные характеристики пульсаций в резонаторах. Установлено, что колебания могут возникнуть тогда, когда натекающий на резонатор (или другую преграду) поток газа имеет около оси меньшее полное давление, чем на его периферии. При этом преграда должна перекрывать всю зону такой неоднородности потока. Так, при взаимодействии сверхзвуковой расчётной струи с резонансной трубкой пульсации возникали тогда, когда для создания неоднородности потока вводили вдоль оси струи (сопла) тонкий стержень [6]. Для нерасчётных струй, когда давление газа струи не совпадает с давлением окружающей среды, струя образует «бочки» (ячейки нерасчетности) и пульсирующее течение реализуется при расположении среза трубки непосредственно за диском Маха, где неоднородность потока обусловлена потерями полного давления в прямом скачке [1,2, 16,30].
Для инженерных оценок удобно пользоваться эмпирическими формулами, поэтому ряд работ посвящены анализу отдельных газодинамических параметров без детального моделирования течения. В работе [38] экспериментально определены области различных режимов течений и получены эмпирические формулы для определения областей возникновения пульсаций. В [52] для некоторых диапазонов числа Маха и степени нерасчетности получены эмпирические формулы для определения частоты и амплитуды колебаний давления в полости. В работе [53] уточнены формулы для неглубоких резонаторов на основе поставленных экспериментов. Модели, построенные с помощью структурно-элементного моделирования газоструйных процессов [54] позволяют решать задачу оценки максимальных и минимальных параметров давления, а так же длительности циклов наполнения и опорожнения резонатора. Такая методика оценивания характеристик резонатора позволяет так же оптимизировать автоколебательные системы для получения максимально высоких давлений и температур [55].
В большинстве работ рассмотрены только случаи возникновения или отсутствия автоколебаний в таких устройствах, но механизм передачи энергии сверхзвуковой струи возникающим в резонаторе возмущениям требует изучения.
Считается, что аналогичные причины определяют пульсации при нате-кании струи на плоскую преграду, т.к. пульсирующие режимы возникают также при наличии периферийных (относительно оси струи) максимумов в распределении давления [34]. Однако отмечается, что наличие вязких эффектов может обеспечить стационарность течения даже при наличии периферийных максимумов давления. В работе [46] показывается, что интенсивность колебаний существенно и не монотонно зависит от размера преграды. При увеличении размера преграды периодически возникают ситуации, когда колебания прекращаются. Это ни как не согласуется с предположением, что пульсации возникают при наличии периферийных максимумов давления.
Все это говорит о том, что пока однозначно не выявлен механизм возникновения авторезонанса.
Кроме пульсаций на основной моде собственных колебаний резонатора, в некоторых экспериментах были обнаружены пульсации соответствующие высоким модам [14,16,27,41,42]. Отмечается, что переход пульсаций с основной моды на высокие моды происходит скачком при небольших изменениях среза положения резонатора относительно набегающего потока. Причина такой качественной перестройки колебаний не была выявлена. Авторы отметили при этом: уменьшение амплитуды колебаний, более гармонический характер колебаний [41], более близкую частоту к собственным колебаниям резонатора и больший нагрев закрытого конца резонатора [16].
В последнее время благодаря значительному увеличению производительности вычислительной техники увеличивается количество расчётных работ, моделирующих нестационарные течения, и в том числе в генераторе Гартмана. Численный эксперимент приобретает всё большее значение в силу своей низкой себестоимости по сравнению с физическим экспериментом. Кроме этого, численное моделирование позволяет получить полную картину течения в рамках рассматриваемой модели и детально исследовать её структуру. Численный расчёт позволяет также моделировать и исследовать течения, не реализуемые в физическом эксперименте, что может помочь выявлять природу и причину возникновения автоколебаний.
Первые работы, моделирующие колебания в численном эксперименте появились с конца 70-ых. Так в работе [35] методом крупных частиц получены колебания при натекании струи на плоскую преграду. В работе [43] при использовании конечно-разностной схемы Чудова - Рослякова и оператора сглаживания проведено численное моделирование автоколебаний при взаимодействии недорасширенной сверхзвуковой струи с торцом цилиндра. При использовании этой же конечно-разностной схемы проведены исследования [31, 44,45] рассмотрены режимы течений с широкой и узкой струей при раз- личных глубинах полости резонатора. Устойчивые колебания в резонаторе Гартмана были получены с применением схемы Годунова - Колгана [33]. В [47] проведено исследование колебательных процессов в плоских каналах с помощью монотонизированной схемы Мак-Кормака и с помощью TVD-схемы Хартена.
Увеличение вычислительных мощностей позволяет усложнять расчетные области и применять более сложные для расчета модели, чтобы при численном моделировании получить более полную картину течения и детально исследовать её структуру. Так в работе [48] моделировалось течение, когда струя имела несколько «бочек». Было получено, что и в области между выходным сечением сопла и срезом резонатора наблюдаются значительные пульсации давления. Сравнение частоты пульсаций в резонаторе полученных при расчете и по формуле линейного акустического приближения дает, что при численном моделировании частота несколько ниже. В работе [49] проведено численное моделирование вязкого газа в генераторе. Здесь также подтвердилось, что при моделировании частота пульсаций несколько ниже, чем рассчитанная по формуле линейного акустического приближения. Эти расхождения уменьшаются при увеличении глубины резонатора, что соответствует результатам, полученным в эксперименте [50]. С использованием TVD-MacCormack схемы проведено моделирование вязкого газа для исследования эффекта нагрева в расчетной и экспериментальной работе [51].
Расчётные исследования дисковых ПГ, представленные в диссертации, ранее не проводились. Подчеркнём также, что только в последнее время в расчётных исследованиях, посвященных классическому ПГ, рассматривались течения, когда набегающая на резонатор струя образует более одной "бочки". Автор одним из первых исследовал случаи, когда струя образует одну, две и три "бочки". При этом удалось получить в численном эксперименте пульсации не только на основной моде колебаний, но и на высоких модах, что позволило рассмотреть причины возникновения высокочастотных пульсаций.
Целями диссертационной работы являются:
1.Разработка расчётного пакета программ на основе численной TVD-схемы А.Хартена для моделирования нестационарного пульсирующего течения идеального газа в радиальном генераторе Гартмана.
2.Проведение расчётных исследований течения идеального газа в дисковом генераторе Гартмана для широкого диапазона геометрических параметров резонатора. Определение областей положения среза резонатора относительно набегающей сверхзвуковой нерасчётной струи, при которых возникают сильные пульсации статического давления.
3.Анализ различных структур течения, возникающих в ПГ, и определение характера колебаний газодинамических параметров в резонаторе.
4.Рассмотрение причины динамической неустойчивости течения в генераторе Гартмана и механизма возникновения авторезонанса.
5,Вывод аналитических формул, определяющих частоту и амплитуду колебаний давления и скорости газа для инженерных оценок и проверка их применимости для радиального генератора по результатам численного моделирования.
6.Исследование механизма прохождения возмущений по внутреннему и внешнему каналу связи и их влияния на характер (частоту и моду) и на интенсивность (амплитуду) колебаний в ПГ.
Диссертация изложена на 119 страницах, состоит из трёх глав, содержит 43 рисунка и 7 таблиц.
Первая глава посвящена методу расчёта нестационарного пульсирующего течения идеального газа в дисковом радиальном генераторе на ос- нове TVD-схемы А.Хартена второго порядка точности. Приведён математический вид численной схемы в случае ортогональной расчётной сетки с разгонкой шага.
Представлена расчётная область и рассмотрена постановка граничных условий. Показано влияние постановки условий на внешней границе на численные результаты.
Приведены методы контроля за правильностью расчётов. Анализируется их точность.
Показаны проблемы, связанные с обтеканием угловой точки и способы борьбы с нефизическими решениями около неё.
Во второй главе диссертации представлены результаты численного исследования течения идеального газа в дисковом генераторе Гартмана для широкого диапазона геометрических параметров резонатора. Были рассмотрены случаи положения среза резонатора, когда натекающая на резонатор струя имела одну, две или три "бочки, а также случаи, когда ширина резонатора могла быть меньше или намного больше ширины струи. Размеры и газодинамические параметры сопла не варьировались. Параметры струи на срезе сопла составляли: число Маха М=2.0 и степень нерасчётности и=0.7. Расчёты проводились по разработанному пакету программ на ЭВМ CONVEX и IBM PC.
В 2.1 рассмотрена структура радиальной щелевой перерасширенной струи. Показано, что при отсутствии резонатора в расчётной области формируется три ячейки ("бочки") струи и образуется скачок торможения в силу радиальности течения. Показано, что в каждой из ячеек имеется область повышения и понижения статического давления.
В 2.2 Определены области положения среза резонатора относительно набегающей сверхзвуковой нерасчётной струи, при которых возникают сильные пульсации статического давления. Приводятся таблицы величин, характеризующие частоту и амплитуду пульсаций для всех расчётных вариантов. Получено, что кроме колебаний на основной моде в резонаторе могут возникать колебания на первой и второй модах.
Выявлены пять типов колебаний, возникающих в ПГ, различных по характеру пульсаций в резонаторе. Рассмотрена структура течения для всех выявленных типов,
В 2.3 рассмотрена структура течения двух типов колебаний на основной моде для резонаторов входное сечение которых близко к ширине натекающей струи. Получено, что отличительной особенностью для одного типа является формирование ударной волны при движении волны сжатия к оси симметрии, что определяет пиковый подъём статического давления при схлопывании цилиндрической волны на оси.
В 2.4 представлена структура течения в ПГ при колебаниях на первой моде. Показано, что в отличие от колебаний на основной моде, при которых в резонаторе одновременно имеется только одна волна сжатия либо одна волна разряжения, при колебаниях с частотой первой моды одновременно в резонаторе находится три волны. Колебания в этом случае носят более гармонический характер. Показано также, что в этом случае наблюдаются колебания в противофазе четной и нечетной "бочки" струи.
В 2.5 рассмотрена структура течения в ПГ для широких резонаторов, когда ширина резонатора в 1,75 и более раз больше натекающей струи. Получено, что в отличие от случая с узким резонатором, когда скачок торможения колеблется перед срезом резонатора, в случае с широким резонатором скачок торможения совершает колебания внутри резонатора. Показано также, что для таких резонаторов колебания на основной моде имеют затянутую фазу натекания (или наполнения).
В третьей главе диссертации представлены результаты расчётно-теоретических исследований возникновения авторезонанса в радиальном ге- нераторе Гартмана на основной и первой модах колебаний. Рассмотрены причины возникновения автоколебаний и анализируются связи, определяющие моду и амплитуду колебаний в системе струя - резонатор.
В 3.1 приведены аналитические выкладки для определения частот собственных колебаний газа в радиальном резонаторе и энергетических характеристик генератора в акустическом приближении. Получены формулы, определяющие добротность и ширину резонанса для дискового резонатора.
В 3.2 рассмотрена причина возникновения сильных колебаний в резонаторе Гартмана. Показано, что это связано с авторезонансом в системе струя-резонатор из-за динамической неустойчивости скачка уплотнения формирующегося перед входом в резонатор.
В 3.3 проведено исследование прохождения возмущений по каналам внутренней и внешней связи в генераторе и показано влияние внешнего канала на моду и амплитуду колебаний в резонаторе. Показано, что через каждую ячейку струи проходит внешний канал связи. Также получен вид стоячей волны, характеризующий основную и первую моду колебаний в резонаторе при моделировании газодинамического течения.
В 3.4 проведено исследование взаимодействия внутреннего и внешнего канала связи и показано влияние глубины резонатора на интенсивность, и моду колебаний. Проведено сравнение частотных характеристик, найденных при численном моделировании и рассчитанных по формулам, полученным в 3.1.
В 3.5 проведён анализ интенсивности колебаний течения при численном моделировании в ПГ и показано их качественное соответствие с характеристиками для колебательных контуров, полученных в акустическом приближении.
Основные положения, выносимые на защиту:
1.Разработка пакета программ для численного моделирования нестационарного двумерного течения идеального газа в дисковом генераторе Гартмана и обработки полученных результатов.
2.Результаты численного исследования течения идеального газа в дисковом генераторе для широкого диапазона геометрических параметров резонатора, где предложена классификация пяти типов колебаний по характеру пульсаций в резонаторе и по структуре течения.
З.Расчётное исследование прохождения возмущений по каналам внутренней и внешней связи в генераторе и их взаимодействия.
4.Анализ возникновения авторезонанса в ПГ,
Основные результаты диссертации представлены в [56-66]. По материалам, содержащимся в диссертации автором сделаны доклады: на VI международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях, Санкт-Петербург, 2006; на международной конференции " 1 st INTERNATIONAL CONFERENCE ON NONEQUILIBRIUM PROCESSES IN NOZZLES AND JETS", MOSCOW, 1995, на семинаре по численным методам решения задач аэродинамики под руководством д.ф.-м.н., проф. В.М.Пасконова и д.ф.-м.н., проф. Г.С. Рослякова (Вмик МГУ, Москва, 1993г.), на международном семинаре-совещании "Использование ударно-волновых эффектов в тепловых двигателях", при поддержке НПФ "Простор", г.Красноармейск, 1993г., на научных семинарах: под руководством к.т.н. Р.М.Пушкина (НПФ "Простор", Красноар- мейск, 1990-95г.) под руководством д.ф.-м.н. В.Е.Трощиева (ТРИНИТИ, Троицк, 1991г.) под руководством д.ф.-м.н. А.Н. Старостина (ТРИНИТИ, Троицк,
1993г.)
Численные методы решения нестационарных газодинамических течений при наличии сильных разрывов
В настоящее время при моделировании нестационарных газодинамических течений идеального газа широко применяются методы сквозного счёта. Эти методы не требуют явного выделения разрывов. Ударные волы, контактные поверхности или тангенциальные разрывы в численных расчётах представляются областями с сильными градиентами газодинамических параметров. Конечно, из-за влияния численной вязкости происходит "размазывание" разрывов, что существенно уменьшает точность численного решения на них. Однако, такие методы привлекают своей простотой и универсальностью, что привело их большому развитию и широкому использованию. Можно отметить следующие фундаментальные работы, посвященные этим методам [67-74].
От численных схем требуется высокая точность на максимально возможных грубых сетках и экономичность, с точки зрения затрат машинного времени, так и экономии оперативной памяти процессора.
Точность разностных методов определяется порядком аппроксимации законов сохранения и консервативностью. Для аппроксимации пространственных производных наиболее часто используются схемы 2-го порядка точности. Использование схем более высоких порядков существенно усложняет построение разностной схемы и увеличивает затраты машинного времени. Для аппроксимации производной по времени обычно выбирается первый порядок. В последнее время привлекли интерес схемы, такие, например, как TVD-схема А.Хартена [75], в которых аппроксимации пространственных производных обеспечивают второй порядок точности по времени благодаря соответствующим образом подобранным конечно-разностным представлениям.
Структура радиальной щелевой перерасширенной сверхзвуковой струи, истекающей в затопленное пространство
В качестве определяющих условий для струи, вытекающей из сопла и начальных параметров поля течения в генераторе принимались: идеальный газ с отношением теплоємкостей 1.4 и молекулярным весом 28 г/моль;температура торможения струи 7 =300 К; давление торможения струи /о=5.6атм. и число Маха в выходном сечении сопла Л/=2,0; степень нерасчетности струи п=0,7; а также температура и давление окружающей среды Гатм=300К, / ,=1 атм. Распределение параметров в выходном сечении струи было однородным, и угол наклона вектора скорости составлял 0, Геометрические параметры принимались следующими: #=1 мм,/?=30 мм (см. рис.1.1).
Структура течения и форма радиальной струи для указанных выше начальных данных приведена на рис.2.la-б. На верхних графиках рис.2.1а показано распределение статического давления ([атм.]) и чисел Маха по длине струи на плоскости симметрии (серые линии) и на плоскости параллельной плоскости симметрии примыкающей к кромке сопла с внешней стороны (черные линии). На нижних графиках - соответственно изобары и изомахи в расчетной области. На верхних графиках рис.2.16 приведены аналогичные распределения полного давления ([атм.]) и функции тока, а на нижних графиках - изобары полного давления и линии тока в рассматриваемой области.
Определение частот собственных колебаний газа в дисковом резонаторе и энергетических характеристик генератора в акустическом приближении
Известно, что во многих случаях интенсивные автоколебания в пульсирующем генераторе (ПГ) реализуются на частотах близких к частотам собственных колебаний газа в резонаторе. Поэтому для анализа колебаний получаемых в численном эксперименте, а также для инженерных оценок работы генератора, необходимо знать величины собственных частот резонатора. Для их определения проведем следующие математические выкладки.
Для решения задачи на собственные колебания в линейном акустическом приближении нужно решить волновое уравнение [79, стр.351]:
Первое граничное условие берется из условия непротекания на дне резонатора v=0. По определению функции потенциала скорости v = b(pjbr получаем условие.
