Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Построение асимптотических моделей термо-капиллярной конвекции в осесимметричном и плоском случаях 7
1.1. Краевая задача термокапиллярной конвекции в жидком цилиндре 7
1.2. Получение характерных параметров. Основные предаоложения. Метод решения задачи 9
1.3. Задача для ядра течения. Решение задачи в прямоугольнике II
1.4. Система уравнений и краевые условия для пограничного слоя Марангони 13
1.5. Системы уравнений и краевые условия для пограничных слоев, примыкающих к основаниям жидкого цилиндра 16
1.6. Приведение краевых задач для пограничных слоев к стандартной форме Мизеса 18
1.7. Замыкающее уравнение 20
1.8. Плоская задача 26
Глава 2. Исследование краевых задач для пограничных слоев марангони и прандтля 29
2.1. Условия существования "в целом" решения задачи продолжения пограничного слоя Марангони 29
2.2. Некоторые свойства решений задач .для пограничного слоя Марангони 39
2.3. Условия существования "в целом" решения задачи продолжения пограничного слоя Прандтля при возрастании давления вниз по потову 42
Глава 3. Групповые свойства уравнений пограничного слоя марангони 52
3.1. Групповая классификация задач для двумерного стационарного пограничного слоя Марангони 52
3.2. Примеры инвариантных решений уравнений пограничного слоя Марангони 54
Глава 4. Расчет полей скорости и концентрации при выращивании монокристаллов методом направ ленной кристаллизации при отсутствии силы тяжести 61
4.1. Физическая постановка задачи. Значения характерных параметров 61
4.2. Схемы численного счета. Итерационный алгоритм замыкания модели 62
4.3. Результаты численного счета 65
4.4. Математическое моделирование и расчет распределения примеси в расплаве 65
Статьи, опубликованные по теме диссертации 74
Литера ТУРА 75
- Получение характерных параметров. Основные предаоложения. Метод решения задачи
- Некоторые свойства решений задач .для пограничного слоя Марангони
- Примеры инвариантных решений уравнений пограничного слоя Марангони
- Схемы численного счета. Итерационный алгоритм замыкания модели
Введение к работе
В предлагаемой диссертации изучаются стационарные задачи нахоадения полей скорости и концентрации, описывающие термокапиллярную конвекцию вязкой жидкости в ограниченных областях в условии отсутствия силы тяжести. Изучение таких задач началось в последнее время в связи с развитием технологии выращивания монокристаллов в условиях пониженного тяготения.
Физические особенности таких задач изложены в [2, 3, 2б]. Они характеризуются наличием у области, занятой расплавом, как свободных поверхностей, так и твердых границ; отмечается наличие дцоль свободных поверхностей расплава значительных (порядка 10 град/см) градиентов температуры, что приводит к возникновению в расплаве термокапиллярной конвекции, которая в данных условиях преобладает над остальными типами естественной конвекции. Кроме того, при незначительных линейных размерах (порядка нескольких сантиметров) жидкой области, процесс кристаллизации продолжается .длительное время (10 час и более); это позволяет рассматривать процесс конвекции как квазистационарный.
В [i, I9j предложены схемы численного расчета таких задач, основанные на численном моделировании уравнений Навье-Стокса и применимые в основном в случае умеренных чисел Рейнольдса и Марангони.
В .диссертации предложена асимптотическая схема и проведен расчет термокапиллярной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в осесимметричном случае, когда жидкость занимает цилинцриче^ скую область, ограниченную твердыми основаниями и свободной боковой поверхностью.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. В конце приводится список литературы.
Получение характерных параметров. Основные предаоложения. Метод решения задачи
Предположим, что вдоль свободной поверхности 1- Н0&) температура Т является заданной функцией координаты Ъ , причем dLT/dz не меняем знак при 2-6 [ 0?3 ; для определенности будем считать, что cLT/аЪ О . 1 удем предполагать, что коэффициент поверхностного натяжения ё является линейной функцией температуры Т , т.е. "- б"0 б .(Т-Т0) ; здесь 5= eYTj, Т =ТС), 61 -СІЄ/АТ= сюпгЬ Допустим, что свободная поверхность слабо искривлена, т.е. И "(ъ) &1. Сделанные предположения позволяют оценить характерную скорость V .движения жидкости вдоль свободной поверхности, возникающему под действием термокапиллярных сил. Известно [26], что если градиент температуры oLT/Л Ъ достаточно велик (по абсолютной величине), то возле свободной поверхности можно выделить пограничный слой Марангони. Пусть - средняя толщина выделенного слоя, число Рейнольдса Re = V/\ , дТ-Т(О) -Т(С) - перепад температуры вдоль свободной поверхности. При сделанных предположениях второе из условий (1.6) приближенно можно записать в виде 6\) r/2t /Ог = 6ҐГ dT/ctz. (1.7) Заменим в (1.7) производные на их средние значения, т.е. положим ptJ/dt-У/о, л7У 2=- Т7с и, разрешая полученное соотношение относительно V , получим Используя (1.8), запишем выражение для числа Рейнольдса в виде Величина, стоящая в круглых скобках правой части соотношения (1.9), называется числом Марангони Число Марангони М представляет собой характерное значение отношения термокапиллярных сил к вязким, удем считать, что И, Re»l Это достигается при достаточно больших перепадах температуры дТ или при малых коэффициентах вязкости. Такая си- туация обычно реализуется при выращивании монокристаллов из расплава.
Задачу (I.I) - (1.6) в области П будем решать, выделяя пограничные слои возле свободной поверхности г Кс?) и твердых стенках г = 0 и г=С ; все три пограничных слоя сопрягаются с основным ядром течения. движение жидкости в ядре течения будем рассчитывать как предельное при Re. - .движение несжимаемой жидкости в области П . Предположим, что линии тока в области движения жидкости замкнуты; такое движение реализуется всегда, когда в ограниченной области осуществляется непрерывное .движение и внутри области нет точек останова. Будем рассчитывать движение жидкости в ядре течения, заменив область JQ прямоугольником 1 = в{ 0 Ъ а, 0 2. CJ- . Такая замена оправдана предположе- ниєм о малой искривленности поверхности t - НО) и позволяет получить точное решение для ядра течения. Последнее предположение преддцущего параграфа позволяет воспользоваться моделью Прандтля-Бэтчелора 24] .для предельного при Re - движения жидкости с замкнутыми линиями тока. Согласно этой модели, единственная ненулевая компонента вихря скорости fc удовлетворяем в ядре течения соотношению где Cj т. некоторая постоянная. Введем безразмерные переменные по формулам где oL = (х/ву С -а, С /в . Уравнение неразрывности (1.3) запишется в виде Введя функцию тока х ( R, 2) так, что ="/o g" "= е" =Г и подставляя последние соотношения в (I.I2), получим уравнение для нахождения функции тока х для определения г к уравнению (I.I4) необходимо добавить краевое условие
Некоторые свойства решений задач .для пограничного слоя Марангони
Обозначив , = 0 ). где ТТСх р) -решение задачи (2.5), (2.6), получим решение задачи Очевидно, что так определенные &г , Кг удовлетворяют требуемым свойствам. Следствие 2 доказано. Как отмечалось выше, теорема I устанавливает разрешимость задачи (2.1), (2.2) в частном случае (х) = 0 , т.е. пограничный слой Марангони может сопрягаться с состоянием покоя. В этом случае должно выполняться условие 2 Го(і0 О V O. Возникает вопрос о корректности постановки задачи (2.1), (2.2) в случае, когда & О) = 0 , ъУо0у) 0 при 0 { /[/ , ъГ0 [[}?) = О при (jJZ-A/ , где А/ - некоторая постоянная. В этом случае, обозначив U-\[W , уравнение (2.1) можно записать в виде Краевыми условиями .для него будут следующие условия: Неотрицательную, непрерывную и ограниченную в J) функцию 26 назовем обобщенным решением задачи (2.27), (2.28), если существует ограниченная в Я обобщенная производная fl7J 9 сг/? и для любой непрерывно дифференцируемой в 2) функции f(Zs%), равной нулю при X-CL и вне некоторой конечной области выполняется равенство Из теорем (9), (10), (23) [l7j вытекает, что обобщенное решение задачи (2.27), (2.28) существует, единственно; существ вует v % число такое, что 1Л- 0 при 0 (у Х и It-О при р Х і всюду, где гс 0 , обобщенное решение удовлетворяет уравнению (2.27) в обычном смысле. В главе 3 данной .диссертации приводится пример инвариантного решения задачи для пограничного слоя Шрангони, равного нулю вне некоторой ограниченной области. 2.3.
Условия существования решения "в целом" задачи продолжения пограничного слоя Прандтля при возрастании давления вниз по потоку В главе I данной диссертации:была получена задача (1.49) - (I.5I) и отмечалось, что в этой задаче продолжения пограничного слоя вблизи твердой стенки продольный градиент давления рсс положителен и имеет степенную особенность. Задача продол жения пограничного слоя Прандтля при возрастании давления вниз по потоку изучалась в ["21], где получены достаточные условия существования и единственности решения задачи в случае, когда рх удовлетворяет неравенству Рх к СОУСІ e J , где постоянная 0 зависит лишь от начального профиля скорости. Пользуясь несколько модифицированным методом упомя нутой выше работы [2IJ, докажем следующую теорему Теорема 2. Пусть в области где J = С 0, л) ; х 0 выполняется уравнение погранично -го слоя в форме Мизеса Тогда в 2) существует единственное решение задачи (2.29), (2.30) такое, что & zJ 2J !ffizJ yjy непрерывны и or раничены в /0 с любым Л6 (О, І-/±) в случае (A), CL 0 в случае (В). Доказательство.
Без ограничения общности можно считать, что рх СО) 0 , так как в противном случае р . 0 на всем интервале J ; существование решения у задачи продол жения пограничного олоя в этом случае показано, при различных предположениях, в (4, 15, 22J. Пусть выполнены условия (А) теоремы. Решение задачи (2.29), (2.30) получим как предел некоторой подооследователь- ности множества решений {ъг(я, $/,)} уравнения (2.29), удовлетворяющих на границе обк- ласти регуляризованным краевым условиям где функции f(x) , Q(x) определяются для каждого 0 следующим образом: пусть функция потребуем, чтобы функции fPQ 6 С (У) и удовлетворяли ус- ловиям Ясно, что такие функции построить можно, если выполняются не равенства Покажем, что неравенства (2,34) есть следствия условий (А) те оремы. Действительно, Пусть /Х 0 » достаточно малое число, В Л , область Кд =Лх (О, я) , F(x,ь& =$Ю вим, что в Кд имеет место оценка отсюда непосредственно следует (2.27) с постоянной С = А действительно, при (Xj (0 6 #я = I так как ввиду гладкости функции ъУ0 при достаточно малых Є будет ъГ/(е) & 2$ (0)/ . Кроме того, ? ,Я,) = 06О. Поэтому получаем, что при достаточно малых .В силу принципа максимума отсюда вытекает (2.38). Таким образом, ъГ(ЪУЬ& $п4 I (ЪЯ & (,Х;ф -} J кроме того, в силу (2.33) в точках (0,0), (0, У ) выполняется условие согласования уравнения (2.29) с граничными условиями (2.32); поэтому по теореме 7.4 главы 5 [д] задача (2.29), (2,32) имеет в 2fe решение ZJ Cz, (уР &) такое, что я &., % ЪГрр удовлетворяют условию Гельдера в замкнутой области & Заметим, что на интервале 3 градиент давления Рх Pz.CQ)]/(4.-C±xj px.L0j/(1 Схвс) , т.е. равномерно ограничен. Действуя в точности так же, как в [ІБ] (СМ. леммы 4 9), можно доказать, что в области Ъ выполнены неравенства
Примеры инвариантных решений уравнений пограничного слоя Марангони
Среди физических особенностей ампульной кристаллизации мож но отметить следующие: И&М J)V /& (характерные значения 1500 и 40 дин/см2), т.е. поверхностное натяжение много больше гидродинамического напора, поэтому положение свободной границы определяются капиллярной статикой. Кроме того, в реальных условиях имеют место различного рода внешние возмущения, под действием которых расплав может частично примыкать к боковой стенки ампулы, что приводит к уменьшению характерных величин Vp Ке Г! , так как уменьшаются входящие в (1.8) -(1.10) значения величин о , лТ . Поскольку целью данной диссертации является изучение термокапиллярного эффекта Мэрангони, здесь будем рассматриваться идеализированная задача, в которой выполняются условия осевой симметрии, а свободная поверхность нигде не примыкает к боковой стенки ампулы и ее форма целиком определяется капиллярной статикой. В главе I данной диссертации рассматривалась стационар ная конвекция жидкости; описанный выше процесс кристаллизации нестационарен, однако следующие рассуждения оправдывают при менимость схемы, предложенной в главе I, к рассматриваемому процессу.
Здесь можно выделить несколько характерных масштаб бов времени: "6L а - /А ъ 17 10 сек время всего процесса кристаллизации; „ = /V «- I сек характерное время пробега частицы расплава по траектории внутри расплав ленной зоны; і = л/Р І.І ІО сек - время затухания возмущений за счет вязкости. Очевидно, что если за единицу времени взять t или 3 f то с точностью не меньшей, чем точность приближениялограничного слоя, можно считать фронт кристаллизации неподвижным, а весь процесс стационарным. Численный расчет поля скоростей производился следующим об разом: постоянной С из соотношения (1.20) (коэффициент про порциональности между завихренностью в дцре течения и расстоянием до оси симметрии) придавалось первоначальное значение С = 5; используя (1.20) находились компоненты XI , И/ вектора скорости в ядре течения затем численно решались задачи (I.4I) - (1.43)І (1.45) (1.47), (1.53) «» (1.55), полученные резуль таты подставлялись в уравнение для нахождения постоянной С 4 (1.70), и ее значение корректировалось с помощью метода деления отрезка пополам. Через 8 итераций процесс сошелся к значению С = 0.136. Малое значение постоянной С означает, что интенсивное движение расплава происходит лишь в тонком, порядка ІСГ2 радиуса ампулы слое, примыкающем к свободной по верхности. Задача (І.4І) (1.43) численно решалась следующим образом: уравнение (І.4І) заменялось своим разностным аналогом 20Jv
Выбор конкретного вида функции SLC0 для задания начально » го профиля производился с учетом выполнения условий согласовав На рис. 5 изображены линии тока У- Сопіі для ядра течения. Задача для ядра течения решалась по формуле (1.20); видно, что с приближением к границам К = I, Ц =0,2 = 1 происходит сгущение линий тока, что согласуется с применением приближения пограничного слоя. Кроме того, можно заметить, что на расстоянии примерно 3/4 радиуса ампулы от оси симметрии функции тока имеет минимум; согласно уравнению Бернулли / 7J, на таком расстоянии от центра ампулы имеем минимум давления. На рис. 6 изображено значение квадрата продольной скорости1 в зависимости от функции тока Jf/ при равном удалении от фронта кристаллизации и дна ампулы. Видно, что при удалении от свободной поверхности скорость быстро убывает. Если вдоль свободной поверхности скорость имеет порядок I см/сек, то вдали от нее скорость имеет пордцок 0.1 см/сек. Убывание скорости в пограничном слое Марангони при удалении от поверхности - характерное отличие пограничного слоя Марангони от пограничного слоя Праццт-ля, в котором, как правило, скорость возрастает при удалении от твердой стенки. Профили скоростей в пограничных слоях, примыкающих к твердым основаниям жидкого цилиндра, имеют обычный .для пограничного слоя Праддтля вид.
Схемы численного счета. Итерационный алгоритм замыкания модели
Физические особенности таких задач изложены в [2, 3, 2б]. Они характеризуются наличием у области, занятой расплавом, как свободных поверхностей, так и твердых границ; отмечается наличие дцоль свободных поверхностей расплава значительных (порядка 10 град/см) градиентов температуры, что приводит к возникновению в расплаве термокапиллярной конвекции, которая в данных условиях преобладает над остальными типами естественной конвекции. Кроме того, при незначительных линейных размерах (порядка нескольких сантиметров) жидкой области, процесс кристаллизации продолжается .длительное время (10 час и более); это позволяет рассматривать процесс конвекции как квазистационарный.
В [i, I9j предложены схемы численного расчета таких задач, основанные на численном моделировании уравнений Навье-Стокса и применимые в основном в случае умеренных чисел Рейнольдса и Марангони.
В .диссертации предложена асимптотическая схема и проведен расчет термокапиллярной конвекции вязкой несжимаемой жидкости в осесимметричном случае, когда жидкость занимает цилинцрическую область, ограниченную твердыми основаниями и свободной боковой поверхностью.
Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. В конце приводится список литературы разбита на восемь пунктов. В первом пункте формулируется изучаемая в дальнейшем задача для стационарной осе-симметричной термокапиллярной конвекции. Во втором пункте определяются характерные параметры задачи, и на основе сделанных предположений предлагается следующая схема решения задачи: выделяются пограничные слои возле свободной боковой поверхности и твердых основаниях жидаого цилиндра; все три пограничных слоя сопрягаются с неким основным ядром течения. Относительно ядра течения предполагается, что линии тока в нем замкнуты. В третьем пункте задача для ядра течения решается на основе схемы Праццтля-Бэтчелора 24 J ; решение дается в виде ряда Фурье и зависит от некоторой адитивной постоянной С . В пунктах 4-6 выводятся системы уравнений и краевые условия для всех трех пограничных слоев и отмечаются особенности возникающих задач. В пункте 7 выводится уравнение .для определения постоянной С , которое представляет собой преобразованное энергетическое тождество .для жидаого объема. Восьмой пункт посвящен построению аналогичной схемы решения для плоского случая. Глава 2 посвящена исследованию полученных в главе I краевых задач .для пограничных слоев и состоит из трех пунктов. В первом пункте получена теорема существования и единственности решения задачи продолжения пограничного слоя Марангони на интервал любой прошаженности. Основным условием существования является неположительность градиента температуры вдоль свободной границы. Во втором пункте исследованы некоторые свойства решений задачи .для пограничного слоя Марангони; в частности, получены асимптотические оценки решения при удалении от свободной поверхности. В третьем пункте исследовалась задача продолжения пограничного слоя вблизи твердой стенки при возрастании давления вниз по потоку. Получены достаточные условия существования и единственности решения задачи продолжения в случаях, когда градиент давления Р положителен, но удовлетворяет одному из неравенств: Последний результат обобщает работу 21 , где рассмотрен случай р X . В главе 3 приведена групповая классификация задач для «двумерного стационарного пограничного слоя Марангони, указаны все возможные в этом случае виды инвариантных решений и приведены некоторые примеры инвариантных решений, интересных тем, что такие решения не имеют физического смысла для пограничного слоя вблизи твердой стенки, но ЕПОЛНЄ возможны для пограничного слоя Марангони. В главе 4 по предложенной в главе I асимптотической схеме проводился численный расчет поля скоростей термокапиллярной конвекции расплава при выращивании монокристаллов методом направленной кристаллизации в случае отсутствия силы тяжести. При этом значения материальных констант расплава брались соответствующими расплавленному германию. Вблизи фронта кристаллизации выделялся концентрационный пограничный слой [23], и проводился численный расчет полученной задачи.
