Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Пограничные слои вблизи свободных границ 19
1.1. Постановка задачи 19
1.2. Взаимодействие равномерного потока и поверхностного напряжения 21
1.3. Взаимодействие поверхностного напряжения и градиента давления 28
1.4. Возникновение противотока 30
1.5. Пограничные слои, сопрягающиеся с покоем 33
1.6. Пограничные слои в областях, имеющих угловую точку 35
ГЛАВА 2. Краевые задачи теории пограничного слоя в нестандартных ситуациях 41
2.1. Задача перехода пограничного слоя Марангони в слой Прандтля.. 41
2.2. Задача перехода пограничного слоя Прандтля в слой Марангони.. 66
2.3. Пограничный слой Прандтля вблизи точки излома границы 82
2.4. Задача продолжения пограничного слоя Прандтля при возрастании давления вниз по потоку 89
2.5. Развитие пограничного слоя Марангони из точки торможения 99
ГЛАВА 3. Динамика локально нагреваемых жидких плёнок 116
3.1. Постановка задачи 116
3.2. Плоскопараллельные установившиеся течения пленок с постоянной вязкостью 126
3.3. Трехмерные течения пленок с переменной вязкостью 136
ГЛАВА 4. Пограничные слои в задачах микроконвекции 151
4.1. Постановка задачи 151
4.2. Пограничные слои при установившемся движении 154
4.3. Автомодельные решения. Формулы для массообмена 160
4.4. Начальные асимптотики 163
Заключение 164
Литература 170!
- Взаимодействие равномерного потока и поверхностного напряжения
- Пограничный слой Прандтля вблизи точки излома границы
- Плоскопараллельные установившиеся течения пленок с постоянной вязкостью
- Пограничные слои при установившемся движении
Взаимодействие равномерного потока и поверхностного напряжения
Иная ситуация возникает, когда в основном потоке продольный градиент давления равен (отрицательной) постоянной —Р. Здесь также вычисляется значение Р = Р0, при котором на свободной границе наблюдается равновесие. Но здесь решения, имеющие физический смысл. существуют как при Р Р0, так и при Р Р0. В последнем случае область течения содержит зону противотока, которая захватывает тем большую часть всего пограничного слоя, чем меньше Р.
Рассмотрена ситуация, когда пограничный слой Марангони сопрягается с состоянием покоя. Построено точное решение. удовлетворяющее условиям сопряжения с покоем и наличия некоторого тангенциального напряжения на поверхности. Замечено, что при сопряжении с покоем можно строить решения, имеющие зоны противотока по чисто динамическим причинам, а не в результате конкуренции двух физических факторов, как в рассмотреном выше случае.
Случай постоянных скорости внешнего течения и касательного напряжения характеризуется тем, что при удалении от начала координат вниз по потоку обязательно возникает область возвратных течений. Выведена приближенная формула для расчета длины участка, на котором тормозящая поверхностная сила еще не приводит к нарушению однонаправленности течения.
Область движения может иметь пересекающиеся под некоторым углом твердые стенки и свободные границы, либо твердые стенки могут иметь точки излома. Тогда при решении задачи методом выделения пограничных слоев возникает проблема возможности прохождения пограничного слоя через угловую точку. Выделена асимптотическая (при больших числах Рейнольдса) форма уравнений Навье - Стокса, пригодная для описания течений вблизи угла. Показано, что преобразованием координат полученная система сводится к классическому уравнению Мизеса теории пограничного слоя. Рассмотрены автомодельные решения. Отмечено, что в случае тупых углов имеется более широкие возможности построения решений, имеющих физический смысл.
Во второй главе изучены математические свойства краевых задач теории пограничного слоя в ситуациях, часто возникающих (см.. например. [34. 96]) при исследовании задач динамики жидкости методами выделения у границ области движения пограничных слоев, таких как наличие угловых точек, неблагоприятных градиентов давления. развитие слоев из точек торможения. В этих нестандартных для теории пограничного слоя ситуациях возникающие задачи не изучены с достаточной полнотой до настоящего времени.
При течении в угле возможны следующие режимы движения: случай натекания жидкости на твердую стенку со стороны свободной поверхности (переход пограничного слоя Марангони в слой Прандтля), случай обратного направления движения и случай движения жидкости вблизи излома твердой стенки. Поставлены граничные задачи, соответствующие данным ситуациям. Точка контакта при этом соответствует точке смены типа граничного условия для уравнения Мизеса: на участке границы, соответствующему свободной поверхности в физическом пронстранстве задаются условия второго рода, и на участке, соответствующему твердой стенке - первого рода. Эти задачи математически весьма различны и имеют особенности, обусловленные их физическим смыслом: точку разрыва продольного градиента давления, в которой к тому же имеет место остановка внешнего потока. Во всех трех вариантах задачи установлены условия существования обобщенного решения, а в случае перехода слоя Марангони в слой Прандтля найден также класс данных, правда довольно узкий, при которых решение становится классическим. Показана регулярность обобщенных решений всюду в области движения. за исключением, быть может, одной линии. Исследовано асимптотическое поведение решений при удалении от границ.
Рассмотрена классическая задача продолжения пограничного слоя Прандтля в случае возрастания давления вниз по потоку. Известно [50]. что при этом пограничный слой непродолжим дальше точки остановки внешнего потока. Известно также [89], что имеется некоторый класс задаваемых начальных профилей скорости, с которыми решение задачи разрушится, еще не достигнув этой точки. Здесь построен другой класс начальных профилей скорости, с которыми пограничный слой можно продолжить вплоть до точки остановки.
Если распределение температуры вдоль свободной границы имеет максимум, то пограничный слой Марангони развивается из точки остановки. Аналогичная задача для пограничного слоя Прандтля изучена в [51], где продолжимость слоя как угодно далеко вниз по потоку установлена в случае не возрастания давления. Однако в пограничных слоях Марангони это условие не является необходимым.
Пограничный слой Прандтля вблизи точки излома границы
Доказательство. Оценка (2.25) вполне очевидна, т.к. по лемме 2.1 и свойствам функции г&оо в ї будет w w t) Мш 0. Из леммы 2.1 и выполнения в D\ уравнения (2.4) следует, что первую из оценок (2.26) достаточно доказать для yfwld2we/ds2. Докажем равномерную ограниченность d2we/ds2 при s = 0. Для этого достаточно убедиться в справедливости при s Є (0,1/2) оценок
Для доказательства нижней из оценок (2.27) заметим, что она верна при s = 0, при s — 1/2 и при t = 0. Обозначив Q4 = dwE/ds — f(t) + M-0(s — s2/2), в силу (2.7) получаем для Q± неравенство которое выполняется в малой окрестности точки t = і потому, что там согласно (2.18) / (і) = Сч ооИ), и т.к. гие и , то / — Уу/йГМъ 0. При других значениях t отрицательный член в левой части неравенства (содержит множитель /) достаточно мал при больших М$. Отсюда следует отсутствие у функции Q± в рассматриваемой области отрицательных минимумов и справедливость нижней оценки (2.27). Верхняя оценка доказывается вполне аналогично.
Докажем теперь равномерную ограниченность d2w/ds2 при s = І/є. Из третьего из граничных условий (2.5) с учетом модификации начального профиля скорости в начале доказательства теоремы 2.2 и (2.21) получаем,
Выполнение (2.28) при s = І/є и при х = 0 очевидно, а при s — І/є—є вытекает из второго утверждения леммы 2.8. С другой стороны, функция Qz удовлетворяет уравнению если є достаточно мало, так как согласно леммам 2.1 и 2.8 будет /щ го ос, q = О (є). Отсюда получаем выполнение (2.28) во всей полосе І/є - є s І/є, откуда следует оценка d2w/ds2 М при
Таким образом, неравенства (2.26) выполняются на всей границе dD\ области D\. Продифференцируем теперь уравнение (2.7) по s, и, обозначив qe = x{S), J — dS/ds, получим уравнение для функции I вида
Если x{S) = S, т0 правая часть этого уравнения отрицательна при I 0, поэтомуо функция / может принимать свой отрицательный минимум лишь на dDi, откуда следует равномерная ограниченность в Dj I = d2w/ds2 снизу, т.е. последняя из оценок (2.26). Заменив І на а = у/щі, получим для а уравнение вида некоторый линейный параболический оператор. Положим теперь xis) = —e_S) гДе S (— In Mi, со). Эта замена корректна ввиду (2.21). Но тогда во внутренних точках D\ не может быть положительного максимума функции а, т.к. коэффициенты при оъ и при а2 зануляются, а й сх, 0- Поэтому функция о равномерно ограничена сверху, поэтому yjw d2w/ds2 = х 7 = ae s также равномерно ограничена сверху. Лемма 2.9 доказана.
Установленные выше дополнительные свойства функции w позволяют доказать существование при t t решения рассматриваемой задачи с требуемыми теоремой 2.2 свойствами. Однако в области 1 2 не удается установить аналогичные оценки. Поэтому будем строить решение при t и при t t независимо, а затем решение во всей области Da получим путем склеивания решений в этих двух частях.
В области D\ функции из семейства {w} равномерно по є ограничены вместе со своими производными, входящими в (2.4). Поэтому из этого семейства можно выбрать равномерно сходящуюся последовательность и такую, что ее производные, входящие в (2.4) равномерно сходятся в области D\ — Daf]{t }. Предельная функция w(t,s) будет, очевидно, решением задачи (1.28), (2.1) в этой области. Оценки лемм 2.1, 2.7 позволяют заключить, что w —у 0 при t - t — 0. Кроме того, из леммы 2.1 видно, что w 0 в D\. Поэтому lim dw/dt 0. Но т.к. d2w/ds2 равномерно ограничена снизу, и поскольку. Таким образом, dw/dt - 0 при t- U-0.
Задача о развитии пограничного слоя Прандтля из точки торможения исследовалась в [51], где получены условия ее разрешимости и асимптотические оценки. Но здесь невозможно прямо использовать эти результаты, т.к. исследования там проводились для задачи в форме Крокко, что эквивалентно некоторому симметрическому пограничному слою в форме Прандтля. Здесь же, при изучении движения вблизи точки контакта, основной формой задачи является форма Мизеса. а ее эквивалентность задаче в форме Прандтля при полном вырождении начального профиля скорости не установлена. В [51] решения граничных задач строились с помощью метода прямых, путем замены производной по t ее разностным аналогом. Здесь также можно провести аналогичные исследования, поскольку уравнение Мизеса того же типа, что и стационарное уравнение Крокко. Но эти построения несколько громоздки и требуют конкретного (степенного) характера вырождения функции Woo(t) при t - 4- 0. ограниченной функцией. Но тогда модифицированные функции Yi будут непрерывными по t, удовлетворять условию Липшица по № и быть квазимонотонными по w в смысле [134]. Поэтому по теоремам А и В [134] модифицированная задача (2.30), (2.31) имеет при t Є (U,a) единственное решение, причем выполняются неравенства
Плоскопараллельные установившиеся течения пленок с постоянной вязкостью
Рассмотрим в области Da = {(, s) Є (0, а) х (0, со)}, а О, U Є (0, а) уравнение Мизеса (1.28) с граничными условиями Эта задача согласно пункту 1.6 соответствует задаче прохождения пограничного слоя Прандтля через угловую точку. При этом задаваемая внешняя скорость должна иметь особенности, отвечающие физическому смыслу задачи. В угловой точке внешнее (потенциальное) течение должно иметь точку остановки, т.е. если точка t = , соответствует угловой, то (t ) = 0. Следовательно, выше (по току) точки остановки, при t U, должно происходить торможение жидкости («4, 0), а ниже нее - разгон. Кроме того, функция w может иметь в точке t — U разрыв 1-го рода. Таким образом, ниже относительно w будем предполагаеть, что Тут &i,A;2 = const 0. Ясно, что существование у задачи (1.28), (2.62) классического решения можно ожидать только в весьма узком классе задаваемых величин. При построении решения в данном случае возникают те же сложности, что и отмеченные в начале пункта 2.2
Определение 2.4. Неотрицательную непрерывную и ограниченную в области D = {(t,s) Є (0,а) х (0, со)}, а 0, t Є (0,а) функцию w(t, s) будем называть обобщенным решением задачи (1.28), (2.62), если в D существует ограниченная обобщенная производная dw/ds, lim w(t, s) = О и для любой гладкой в D функции p(t,s), равной нулю при t = а, при s = О и вне некоторой конечной области (класс таких пробных функций обозначим через Ф), выполняется тождество
Теорема 2.5. Пусть ги Є С[0,а], WQO Є Cl(0,U), т Є Cl(U,a), причем 3 lim w t), limu t) и выполнены условия (2.63). Кроме того, пусть функция w0 дважды непрерывно дифференцируема и ограничена вместе со своей первой производной и величиной у ги"; wo(0) — О, w0(s) — Woo(0) при s - ос и w0{s) Woo(0)/i(s), где h Є KqtP с постоянными q = &2/ [гі О)]3/2, p = k\ vlw tyfl2. 7ог ?а в области D существует обобщенное решение задачи (1.28), (2.62). Класс функций КЯ}Р задан в пункте 2.2 определением 2.2.
Доказательство. Пусть є 0 произвольно малое число. Определим области і = {(М)(0Л)х(0,1/є)}, D2 = {{t, s) Є (U,a) x (0, І/є)}, D = {(t, s) Є (0,a) x (О, І/є)} и сглаживающую непрерывную функцию X(t) следующим образом: \(t) = w t) при і Є (0, t — s) и при Є {U,a), а если t Є ( -є,і ), то «4,(tf) А() lim ги (г). В области D рассмотрим семейство {w(t,s)} решений уравнения
Здесь к = [woo + e] /гУа,(0). Функции &ь62 С О, а], причем Ьг(0) = А0(г/ 3/4), Ъ[(0) = uJwo /k w e/k +w O), 2kw0{e/kzlA) h{t) Woo hU/k3 ) при всех t и bi{t) = &w0(є/fc3/4) при . Функция 62 определяется аналогично: 62(0) = &и;0иє + 1/є)/к3 ),
Ь2(0) = w0((e + l/)/№)wl((e + 1/є)А3/4) + «4,(0), Ь2( ) -ограниченная функция и 62(0 ooW f (є + 1/с)[гиоо(0)/гг)оо(і)]3/4) при t t , 62(0 =: -40 = const 0. Ясно, что такие функции построить можно, т.к. по условия теоремы kw0(b) Woo(0)h(b) для V6 0.
Предполагая существование в D положительного решения задачи (2.65), (2.66), установим некоторые его априорные свойства.
Очевидно, что в области D\ можно провести такие же построения, как при доказательстве теоремы 2.3 пункта 2.2 (лемма 2.10). Поэтому будем считать доказанным, что задача (2.65), (2.66) имеет в D\ решение w(t,s) такое, что w, dw/dt, dw/ds, d2w/ds2 удовлетворяют в замкнутой области D\ условию Гёльдера. Кроме того, (2.65) можно дифференцировать один раз по t и дважды по s и в области D\ имеет место оценка
Доказательство. Оценка сверху (2.68) доказывается так же, как и аналогичная оценка леммы 2.10. Для доказательства нижней заметим, что она верна при t — , при s = 0 и при s = І/є по построению с учетом определения д и условия гі ос() = 0. Кроме того, наименьшее отрицательное значение w(t, s)—T не достигается во внутренних точках Д , т.к. поскольку при больших а и малых т каждое из выражений в квадратных скобках неотрицательно. Поэтому L\(w — Т) 0 и из принципа максимума следует нижняя из оценок (2.68). Лемма 2.15 доказана.
Из леммы 2.15 следует, что в области Di существует положительное решение с такими же диффиренциальными свойствами, что ив D\. Докажем, что в D2 остается справедливой оценка (2.67) с достаточно большой постоянной М\. Для этого установим его справедливость при s = 0, t U.
Лемма 2.16 При t U, s Є (0, l/M i) имеют место оценки h(t) + Ml{s - s3/2) w(t, s) 6i( )(l M2s) (2.69) Доказательство. Докажем нижнюю из оценок (2.69). Она верна при s = 0, при t = U и при s = 1/Мг по построению и вследствие справедливости (2.67) в D\. Обозначив функцию в ее правой части через Q2 видим, что L(Q2) + w = w О, поскольку здесь Ь[ = 0. Поэтому Qi по принципу максимума не имеет внутри рассматриваемой здесь области отрицательных минимумов, откуда Qi 0, что эквивалентно нижней из оценок. Верхняя доказывается аналогично. Лемма 2.16 доказана.
Из леммы 2.16 следует выполнение оценки (2.67) при s — 0, t ; её выполнение при 5 = І/є, t U доказывается аналогично. Таким образом, установлена справедливость этой оценки на 9D, а поэтому и в D. Но тогда, ввиду, равномерной ограниченности we и справедливости всюду (2.67), по теореме 4.5 [?] в области Dp — {(, s) Є (/3, а) х (/3,1//3)} для любого /3 є будет верна оценка где Mp зависит от /3, но не зависит от е. Оценки (2.70), (2.71) достаточны для компактности семейства {w} , т.е. существует последовательность wk, равномерно сходящаяся при -) 0 к некоторой непрерывной в D функции w(t,s), имеющей вследствии (2.67) ограниченную обобщенную производную dw/ds. Из оценок (2.51), (2.69), оценок сверху (2.49), (2.68) и свойств функции Ь\ следует выполнение
Пограничные слои при установившемся движении
Здесь fiQ = n(T0). Масштабы Я0, Q, U часто использовались раньше в различных работах; величина I является аналогом капиллярной длинны и введена в [31] специально для приведения задач динамики локально нагреваемых жидких пленок к безразмерному виду. Дело в том, что при применении приближения тонкого слоя используемые масштабы размерных величин не могут быть произвольными. Они должны удовлетворять следующим условиям: продольная длина I должна быть того же порядка, что и размеры появляющихся на пленке структур (толщина возникающего вала), появляющиеся после приведения задачи к безразмерному виду критерии подобия должны иметь величину порядка единицы, и наконец фактически рассчитанные значения неизвестных (безразмерных) величин должны быть умеренными. Апостериори установлено, что заданные в (3.22) масштабы отвечают этим требованиям. В задаче (3.10)-(3.21) перейдем к безразмерным переменным , х, у, и, v, w, в, /г, q, (ft, р, #і, в /і, с помощью формул
Будем считать, что имеет место приближение тонкого слоя, при котором є = H0/l С 1. Используя эти переменные и пренебрегая младшими по степеням є членами, перепишем уравнения (3.10)-(3.14) в виде (крышечки над переменными ниже везде опускаем)
Числа А, С задают вклад в градиент давления его гидростатических (продольной и поперечной) составляющих, числа Био Ві, Вії 124 определяют интенсивность теплообмена пленки с подложкой и с внешней (газовой) средой, а модифицированное число Марангони Ма характеризует действие термокапиллярных сил на поверхности неоднородно нагретой пленки. Число Марангони было введено L.Napolitano и его модификация здесь связана с особенностями данной задачи, поскольку использование этого числа в классическом виде затруднено: оно будет много больше единицы. Число D является отношением порядков интенсивностей кондуктивных и конвективных потоков тепла в пленке. Важной особенностью рассматриваемых здесь задач является близость этих порядков: D 1. Таким образом. несмотря на приближение тонкого слоя, в уравнении переноса тепла нельзя пренебрегать конвективными членами. Заметим еще, что в условии (3.29) средний член в правой части внепорядковый: при малых є он много меньше последнего. Но может быть так, что угол наклона а мал, тогда порядки этих членов сравнимы. В рассматриваемых ниже в данной работе примерах расчета течений тонких пленок водных растворов этанола все введенные здесь критерии подобия принимают умеренные (порядка единицы) значения. При этом значение числа є остается малым.
Дважды интегрируя уравнения (3.23) по и используя граничные условия (3.26), (3.30) получим для определения модифицированных компонент и, v вектора скорости формулы а интегрируя no от 0 до уравнение неразрывности (3.24) с использованием граничного условия (для w) (3.26) получаем w = (Н3ФРх + Mah2T9x)x + (h4py + Mah2ry)y. (3.34) Далее, подставив значение w при = 1 в краевое условие (3.27). получим уравнение fh - (h3(ppx + МаЛ27 )х + (h3ippy + Мак2 ву)у = 0. (3.35)
Таким образом, для определения функций 6(t, х, у, ), p(t, х, у), h{t,x,y) имеем три уравнения (3.25). (3.29) и (3.35), а входящие в них функции и, v, w, tp, 7 определяются из этих трех основных переменных с помощью явных формул (3.32) - (3.34).
Для решения нестационарной задачи кроме граничных условий необходимо еще задавать начальные распределение температуры и положение свободной границы.
Плоскопараллельные установившиеся течения пленок с постоянной вязкостью.
Рассмотрим случай, когда входящие в задачу величины не зависят от t и у, а вязкость жидкости постоянна: ц{Т) = const. Кроме того, обычно пленка под действием силы тяжести стекает с подложки, расположенной под некоторым углом к горизонту; однако планирование и проведение экспериментов на борту орбитальных станций требует анализа и других возможных факторов, вызывающих движение. В частности, жидкость может быть приведена в движение спутным потоком маловязкого газа. Как правило, непосредственным динамическим воздействием газа на жидкость пренебрегают. Асимптотический анализ такого совместного движения показал, что это не всегда оправдано, поскольку поток газа даже при исчезающе малых значениях динамического коэффициента вязкости может оказывать воздействие, соизмеримое с действием других факторов. таких как термокапиллярный эффект, и может быть причиной движения пленки. При этом важен также вопрос, в какой мере горизонтальное расположение подложки моделирует отсутствие тяготения, что требует изучения влияния гидростатической составляющей давления на динамику пленки.
Исследуем порядки величин при динамическом воздействии потока газа на жидкость. Пусть вдоль свободной поверхности жидкости движется поток газа со скоростью Ua, имеющего значение плотности д0 и динамического коэффициента вязкости \і0. Те же буквы без ноликов пусть означают величину соответствующих параметров жидкости. Для простоты ограничимся изотермическим случаем, когда коэффициент поверхностного натяжения а постоянен.
