Введение к работе
Актуальность темы
Несмотря на бурное развитие вычислительной техники, во многих технических приложениях прямое численное моделирование (ПЧМ) общих гидродинамических уравнений и уравнений химической кинетики, описывающих, например, процессы горения в премиксированном (предварительно перемешанном) топливе, по ряду причин невозможно или чрезвычайно затруднительно [1]. Во-первых, ПЧМ подразумевает рассмотрение детальной химической кинетики на каждом этапе реакции, что само по себе затруднительно. Во-вторых, анализ произвольной (обычно, достаточно сложной) геометрической конфигурации камеры сгорания также вызывает сложности. В-третьих, наиболее простые ламинарные пламёна встречаются лишь в специальных лабораторных условиях, где турбулентность искусственным образом подавляется, в то время как в реальных промышленных объектах пламя сильно турбулентно. И, разумеется, описание этой, вообще говоря, произвольной турбулентности также нетривиально. Но допустим, что мы нашли способ описать турбулентность, рассматриваем простую, с геометрической точки зрения, камеру сгорания, а сложную систему химико-кинетических уравнений нам каким-то образом удалось упростить. Даже в этом случае прямое численное моделирование затруднительно из-за огромной разницы в масштабах, которые следует учитывать. Характерный пространственный масштаб гидродинамического потока, определяемый характерным размером камеры сгорания, лежит в интервале от нескольких сантиметров для двигателей автомашин до нескольких метров для паровых турбин. В то же время, типичная (диффузионная) ширина зоны горения (толщина пламени) , а ширина зоны активной реакции ещё на порядок меньше [2-4]. На сегодняшний день численно разрешить все эти размеры способны только крупнейшие вычислительные комплексы.
Таким образом, моделирование реагирующих течений тесно связано с использованием целого ряда особенностей, начиная с упрощенных механизмов химических реакций и заканчивая внедрением турбулентных моделей. При этом возникают новые задачи и новые проблемы, для решения которых требуются другие приемы и идеи, одна из которых изложена ниже.
Большой интерес представляют различные способы сведения полной системы гидродинамических уравнений и химической кинетики по объему к системе уравнений на поверхности, приводящее к уменьшению вычислительных мощностей [5-9]. В теории горения, в частности, поставленную задачу можно было бы существенно упростить, если бы удалось свести полную систему уравнений горения к единственному уравнению, описывающему положение фронта реакции. Основная идея такого упрощения состоит в следующем. Так как толщина пламени обычно чрезвычайно мала по сравнению с характерными гидродинамическими размерами задачи, то фронт пламени можно рассматривать в качестве геометрической поверхности разрыва нулевой толщины, отделяющей топливо от продуктов горения [1-4]. В таком случае решение системы уравнений горения можно разбить на три этапа:
-
На первом этапе мы должны решить уравнения гидродинамики в свежем веществе перед фронтом;
-
На втором этапе мы рассматриваем уравнения гидродинамики в сгоревшем газе за фронтом;
-
На третьем этапе нам нужно “сшить” полученные решения на фронте, используя законы сохранения.
Если мы успешно справимся с данной процедурой, то получим нелинейное уравнение (или систему нелинейных уравнений) для динамики фронта пламени, которое будет содержать только переменные и их производные непосредственно на фронте, а не во всём объёме газа.
Большой интерес представляет также подобная процедура для описания поверхностей других гидродинамических разрывов [10]. В частности, необходимо учитывать динамику тангенциального разрыва при описании гидродинамических неустойчивостей Релея-Тейлора, Дарье-Ландау, Мешкова-Рихтмайера, Кельвина-Гельмгольца, гравитационных волн и других явлений [10-12]. Следует отметить, что тангенциальный разрыв встречается в струях, следах от летящего тела или на поверхности воды в виде ветровых волн, а также является одним из препятствий, стоящих на пути осуществления управляемого инерциального термоядерного синтеза [13-15].
Автор полагает, что результаты данной диссертации увеличивают наши познания в математической теории горения и смежных отраслях, что может расширить горизонты наших возможностей в различных сферах жизнедеятельности, включая энергетику, энергосбережение и пожарную безопасность. Работа была выполнена в Институте проблем безопасного развития атомной энергетики Российской академии наук (Москва, Россия), в тесном сотрудничестве с коллегами из университета г. Умео (Швеция) и Стенфордского и Принстонского университетов (США).
Личный вклад автора
Результаты диссертационной работы получены автором лично или при его непосредственном участии. Все выкладки, изложенные в материале диссертации, и их интерпретация осуществлялись лично автором.
Цели работы
-
Усовершенствовать существующие математические модели описания движения фронта реакции и других гидродинамических разрывов (тангенциального разрыва, свободной поверхности и др.) с целью существенно расширить область их применимости, а также предложить новые модели, основанные на более общих принципах.
-
Рассмотреть и изучить возможность общего снижения размерности в уравнениях гидродинамики, что позволяет, в частности, снизить размерность и в других задачах, например, задачах обтекания, а также в более общих предположениях относительно гидродинамических потоков.
-
Продемонстрировать эффективность метода упрощения общих уравнений горения и гидродинамики на примере исследования свойств пламен в режиме "Флеймлет" (flamelet). В частности, воспроизвести численно динамику фронта реакции и влияния гидродинамической неустойчивости Дарье-Ландау (ДЛ-неустойчивости) и внешней турбулентности на характер движения фронта.
Научная новизна работы
В рамках данной диссертации, в трехмерном (3D) потоке получены уравнения движения гидродинамических разрывов без ограничений, типичных для подобных теоретических исследований (слабую искривленность, малый коэффициент теплового расширения и т.д). В частности, полная система гидродинамических уравнений, описывающих развитие гидродинамической неустойчивости фронта реакции в трехмерном потоке сведена к замкнутой системе поверхностных уравнений, с использованием переменных Лагранжа, специальных интегралов движения и их аналогов. Показано, что завихренность играет принципиальную роль в характере движения гидродинамических разрывов, придавая уравнениям дифференциальный вид. В изоэнтропическом приближении демонстрируется, как учесть вызванные этим движением колебания плотности жидкости, с учетом влияния звука на развитие (или затухание) ДЛ-неустойчивости. Полученная система уравнений согласуется с ранее известными аналитическими решениями, полученными в частных случаях. В двумерном (2D) потоке мы также вывели систему уравнений для описания ДЛ-неустойчивости, не связанную с предположениями об образующейся завихренности за фронтом, и нашли область ее применимости. В частных случаях показано, что она не противоречит выводам теории Дарье-Ландау [5]. Построена общая концепция этого метода, применимого для описания движения произвольной поверхности разрыва, как в двумерном, так и в трехмерном случае. Данный подход представляет собой альтернативу полному решению систем дифференциальных уравнений и согласования их решений на поверхности, что фактически применялось ранее для решения уравнений Эйлера. Предложенные приближенные методы описания движения любых разрывов имеют область применимости гораздо шире, чем это было ранее. В частности, в адиабатическом приближении в 2D случае получены уравнения фронта реакции также без ограничений, которые были до этого. Произведен расчет модельного уравнения фронта пламени и на его основе изучено влияние ДЛ-неустойчивости на скорость турбулентного горения. Полученный результат воспроизводит классические работы в данной области, полученные с помощью других численных и аналитических методов.
Кроме того, предложен способ снижения размерности в общих нестационарных уравнениях гидродинамики в 3D потоке, дающий, например, возможность подходить к описанию движения разрывов с самых общих позиций. Полученные автором результаты снимают ограничения, с учетом которых ранее были получены уравнения гидродинамических разрывов; а также ставят новые задачи в теории расчетов гидродинамических потоков. Кроме того, это позволит верифицировать полные прямые расчеты уравнений гидродинамики и химической кинетики, используя упрощенные расчеты на основе результатов, полученных автором, как тестовые.
Практическая ценность работы
-
Данное исследование необходимо для снижения вычислительных мощностей, затрачиваемых в настоящее время в задачах полного описания движения гидродинамических разрывов, например, распространения фронта реакции (пламени). Соответствующая компьютерная программа могла бы напрямую (пользуясь информацией только на поверхности) рассчитать гидродинамические разрывы с учетом вязкости, образования звука и других изменений плотности газов и жидкостей.
-
Выведенная в диссертации точная система уравнений для ламинарного и турбулентного фронта пламени с учетом влияния звуковых колебаний поможет продвинуться в решении общей проблемы неустойчивости горения, важной при конструировании двигателей внутреннего сгорания, ракетных двигателей, газовых турбин и других устройств.
-
Предложенные общие математические методы описания разрывов могут быть использованы для широкого класса приложений, например, для расчета и проектирования нового теплотехнического оборудования, где используются гидродинамические подходы, поскольку данные методы достаточно обобщены и снижают размерность соответствующей задачи на единицу.
Основные положения, выносимые на защиту
-
Вывод и нахождение области применимости приближенной системы уравнений для описания ДЛ-неустойчивости в двумерном (2D) потоке. В отличие от предыдущих исследований, полученная система не ограничена предположением об образующейся завихренности за фронтом.
-
Вывод в адиабатическом приближении точной системы уравнений для ламинарного фронта пламени в двумерном потоке, с учетом влияния звуковых колебаний в обратном направлении по времени, и построение на ее основе численного метода для моделирования фронта вперед по времени.
-
Вывод в трехмерном (3D) потоке уравнений движения гидродинамических разрывов без ограничений, типичных для подобных теоретических исследований (накладываемых на слабую искривленность, малый коэффициент теплового расширения и т.д.).
-
Построение метода переопределения полной системы уравнений гидродинамики, позволяющего выписать корректные замкнутые системы поверхностных интегро-дифференциальных уравнений, описывающих движение гидродинамических разрывов в самом общем трехмерном случае.
Апробация работы
Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах:
-
52-ая научная конференция МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, Россия, 27-30 ноября, 2009 г.
-
XI научная школа молодых ученых ИБРАЭ РАН (Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН), Москва, Россия, 22-23 апреля 2010 г.
-
XVII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов", Москва, Россия, 12-15 апреля 2010 г.
-
53-ая научная конференция МФТИ "Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук", Москва, Россия, 24-29 ноября, 2010 г.
-
XVIII Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов", Москва, Россия, 11-15 апреля 2011 г.
-
XII научная школа молодых ученых ИБРАЭ РАН (Институт проблем безопасного развития атомной энергетики РАН), Москва, Россия, 28-29 апреля 2011 г.
-
Семинар отдела № 11 ИПМ им. М.В. Келдыша РАН "Вычислительные методы и математическое моделирование" под рук. член-корр. РАН Ю.П. Попова и проф. М.П. Галанина, сентябрь 2011.
Структура и объем диссертации
