Содержание к диссертации
Введение
1. Теоретическое описание броуновского движения и диффузии 11
1.1. Классическое описание броуновского движения 11
1.2. Обобщенное уравнение Ланжевена. Броуновское движение как немарковский процесс 13
1.3. Современные исследования испарения капель аэрозоля и процессов диффузии 22
2. Математическое описание немарковских процессов, задаваемых линейными интегральными преобразованиями 28
2.1. Стохастические дифференциальные уравнения 28
2.2. Описание немарковского процесса, задаваемого линейным интегральным преобразованием 31
2.3. Описание немарковского процесса типа фликкер-шума 35
3. Применение интегральных операторов Вольтерра второго рода для описания одномерного броуновского движения и флуктуации температуры оверхности 39
3.1. Вязкость и теплопроводность в полупространстве 39
3.2. Статистические характеристики флуктуации скорости и температуры поверхности 44
4. Движение сферической броуновской частицы в вязкой среде как немарковский процесс 52
4.1. Сферическая частица в вязкой среде 52
4.2. Движение свободной частицы в вязкой среде 57
4.3. Описание движения осциллятора в вязкой среде 60
5. Статистическое описание осциллятора, находящегося под воздействием флуктуирующего коэффициента трения 65
5.1. Уравнение броуновского движения, учитывающее флуктуации коэффициента трения 65
5.2. Спектральная плотность флуктуации кинетических коэффициентов 68
5.3. Математическое моделирование движения броуновской частицы под действием постоянной силы 70
5.4. Осциллятор в среде с флуктуирующим коэффициентом трения 72
6. Описание процессов диффузии при промощи линейных интегральных операторов 81
6.1. Диффузия пара, находящегося над поверхностью жидкости, занимающей полупространство 81
6.2. Диффузия пара, находящегося над поверхностью капли жидкости, имеющей сферическую форму (общая постановка задачи) 92
6.3. Квазистационарный случай 93
6.4. Случай диффузии над поверхностью сферической капли с изменяющимся радиусом 96
7. Случайные процессы в реологических средах, описываемых интегральными преобразованиями 103
7.1. Описание реологических сред с помощью идеальных элементов 103
7.2. Интегральные модели 106
7.3. Реологические среды при наличии случайных напряжений 108
7.4. Реологические среды при наличии случайных деформаций 117
Заключение 119
- Обобщенное уравнение Ланжевена. Броуновское движение как немарковский процесс
- Описание немарковского процесса типа фликкер-шума
- Описание движения осциллятора в вязкой среде
- Диффузия пара, находящегося над поверхностью капли жидкости, имеющей сферическую форму (общая постановка задачи)
Введение к работе
Актуальность темы. Изучение броуновского движения является одной из важных задач теоретической физики. Хаотическое движение взвешенных в жидкости или газе частиц было открыто в 1827 г. Р. Броуном, а первое последовательное объяснение такого движения было дано А. Эйнштейном и М. Смолуховским в 1905 г. на основе молекулярно-кинетической теории.
Развитие теории броуновского движения и диффузии продолжались на протяжении всего XX века. В 1918 г. В. Шоттки теоретически предсказал и получил основные закономерности «броуновского движения» тока электровакуумных приборов (дробовой эффект), которое вскоре было обнаружено и исследовано экспериментально. У. Вейсс, П.С. Райзеборо, П. Хангги, Р. Мор-гадо, Ф.А. Оливьера, А. Хансен в 1960—1990-е гг. занимались обобщениями динамического уравнения броуновского движения (уравнения Ланжевена), в том числе изучая хаотическое перемещение взвешенных частиц при воздействии внешних потенциальных полей.
Теория броуновского движения и диффузии была развита А.Н. Колмогоровым, Н. Винером, Ю.Л. Климонтовичем, Г.Г. Батруни, А.Н. Морозовым, Ю.И. Яламовым и др.
Теория броуновского движения в сильной степени способствовала обоснованию и развитию статистической физики. Кроме того, она имеет важное практическое значение. В частности, указанные выше шумы электронных приборов определяются случайным движением переносчиков заряда. Броуновское движение ограничивает точность измерительных приборов. Например, «броуновское движение» зеркальца оптического гальванометра определяет предел точности данного прибора. Увеличение сопротивления растворов электролитов по сравнению с теоретическим во многом объясняется хаотическим движением ионов. Диэлектрические потери в диэлектриках определяются случайным движением молекул, обладающих дипольным моментом. Теория броуновского движения играет все большую роль в задачах
физической кинетики, гидродинамики, радиофизики и других разделах теоретической физики.
Однако хорошо разработанная за последнее столетие теория броуновского движения и диффузии является приближенной. И хотя в большинстве практически важных случаев существующая теория дает удовлетворительные результаты, в некоторых случаях она может потребовать уточнения. Так, экспериментальные работы, проведенные в начале XXI века в Политехническом университете Лозанны, Университете Техаса и Европейской молеку-лярно-биологической лаборатории в Гейдельберге (под руководством С. Дженей) показали отличие поведения броуновской частицы от теоретически предсказываемого теорией Эйнштейна—Смолуховского, что было особенно заметным при увеличении размеров частиц. Исследования затрагивали также анализ движения окружающих частиц среды и показали существенное взаимное влияние движения броуновской частицы и вызываемое ею движение частиц среды друг на друга, то есть наличие «памяти» у броуновской частицы, или, другими словами, зависимость ее статистических характеристик в будущем от всей предыстории ее поведения в прошлом. Данный факт не учитывался в теории Эйнштейна - Смолуховского.
Таким образом, становится актуальной разработка теории броуновского движения и диффузии, которая бы учитывала указанные выше экспериментальные факты. Это, однако, требует изменения математического метода теоретического описания броуновского движения. Так, наличие «памяти» в движении броуновской частицы не может быть описано с помощью дифференциальных уравнений, в связи с чем необходимо использовать интегральные операторы, ядра которых принципиально могут учесть указанную «память» броуновской частицы. Актуальность исследования повышается важностью модели броуновского движения при исследованиях во многих областях теоретической физики.
Цель работы состоит в изучении броуновского движения, распространения тепла, поведения осциллятора в вязкой среде и в среде с флуктуи-
рующим коэффициентом трения, изучении процессов диффузии и случайных процессов, происходящих в реологических средах, при помощи интегральных стохастических уравнений, и получении статистических характеристик изучаемых немарковских случайных процессов.
Научная новизна. В диссертации получила развитие теория броуновского движения и диффузии.
Показано, что использование интегральных операторов точнее описывает поведение броуновской частицы и осциллятора при учете увлечения ими частиц среды, а также в случае флуктуирующего кинетического коэффициента трения.
Проведено описание испарения с поверхности плоскости и капли при наличии флуктуации потока частиц.
3. Найдены статистические характеристики для реологических сред,
подверженных случайным напряжениям и деформациям.
Практическая значимость. Результаты исследований могут служить теоретическим обоснованием при разработке новых методов, использующих модели броуновского движения или осциллятора. В частности, полученные результаты могут иметь существенное значение при описании и разработке устройств демпфирования колебаний, при получении сред с микроструктурой, объектов нанотехнологий или высоконадежных электронных компонентов и др.
Полученные результаты статистического описания процессов диффузии могут служить основой при изучении объектов, находящихся в состоянии капельного аэрозоля, для анализа или прогнозирования их поведения. В частности, найденные результаты имеют значение при оценке среднего времени исчезновения тумана в метеорологических исследованиях.
Исследование реологических сред, подверженным случайным воздействиям, может найти применение при техническом или технологическом анализе объектов, обладающих вязкоупругим свойством и подверженным случайным воздействиям, например, при исследовании изменения свойств
бетона, находящегося во флуктуирующем температурном поле, например при резких перепадах температуры, или изучении концентрированных растворов полимеров, используемых при получении новых материалов с заданными свойствами.
Достоверность полученных результатов и выводов подтверждается их согласованностью с общими положениями статистической физики, физической кинетики, теории вязкоупругости, теории колебаний, а также согласованностью результатов расчетов с известными экспериментальными данными.
На защиту выносятся:
Результаты исследования одномерного броуновского движения и явлений теплопроводности при наличии внешних случайных динамических или тепловых воздействий.
Результаты описания броуновского движения сферической частицы и движения осциллятора в вязкой среде при учете увлечения ими частиц среды.
Результаты статистического описания процессов испарения частиц пара с плоской поверхности жидкости или сферической капли, учитывающие флуктуации потока частиц через поверхность раздела фаз, вызванные случайными изменениями температуры, концентрации и др.
Результаты исследования поведения стержней из реологических материалов, подверженных воздействию случайных одномерных воздействий (напряжений или деформаций).
Апробация работы. Результаты диссертационной работы доложены и обсуждены на конференции Второй Всероссийской молодежной научной школы «Микро-, нанотехнологии и их применение» (Черноголовка, ИПТМ РАН, 2005 г.); Четвертой Всероссийской конференции «Необратимые процессы в природе и технике» (Москва, МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2007 г.); Второй Всероссийской конференции «Волновая динамика машин и конструкций» (Нижний Новгород, 2007 г.)
Общее содержание работы. Первая глава работы посвящена общему описанию теоретических сведений, необходимых для решения рассматриваемых в диссертации задач, а также анализу имеющихся научных работ, в которых при описании случайных физических процессов методами статистической физики и физической кинетики встречаются интегральные уравнения.
Во второй главе рассмотрен метод, использующий интегральное представление случайных процессов, и позволяющий найти новые эффекты, не получаемые при описании тех же физических задач с помощью стандартных методов физической кинетики и статистической физики. Найдены общие выражения для характеристических функций случайных физических процессов, описываемых линейными интегральными преобразованиями. Рассмотрено описание процесса, имеющего характер фликкер-шума, и встречающегося в физических системах различной природы (проводников тока, растворах электролитов, вязких средах и др.)
В третьей главе решены одномерные задачи броуновского движения и распространения тепла при учете неизбежных флуктуации импульса или температуры. Показано, что полученные результаты отличаются от аналогичных результатов, получающихся при использовании методов классической статистической физики. В частности, спектральная плотность в области низких частот в классическом случае стремится к постоянной величине, а учет увлечения окружающих частиц среды приводит к ее обратно пропорциональной зависимости от частоты.
В четвертой главе при учете увлечения броуновской частицей и осциллятором частиц вязкой среды проведено описание флуктуации их скорости. Найдено, что сопротивление среды в этом случае перестает быть пропорциональным скорости, а зависит от трех слагаемых (первое пропорционально скорости, второе - ее производной, а третье представляет собой интеграл абелевого типа и содержит информацию о «памяти» движения броуновской частицы). Для осциллятора показано, что при малых радиусах частиц, когда
классическое рассмотрение приводит к слабо выраженному резонансу, учет увлечения частиц приводит к ярко выраженному резонансу. Также найдено, что с увеличением размера частиц характер резонанса становится схожим, при этом классическому случаю соответствует большее амплитудное значение. Показано, что классическому случаю соответствуют более высокие резонансные частоты.
В пятой главе решена задача о движении броуновской частицы и осциллятора, подверженных экспериментально наблюдаемым флуктуациям кинетического коэффициента трения, имеющих характер фликкер-шума. В результате численного расчета нелинейного стохастического интегрального уравнения получены статистические характеристики флуктуации импульса и координаты броуновской частицы и осциллятора (математическое ожидание, дисперсия, спектральная плотность). Проведено сравнение характеристик классического осциллятора и осциллятора, подверженного воздействию флуктуирующего коэффициента трения.
В шестой главе рассмотрен процесс испарения частиц с плоской поверхности и поверхности сферической капли в окружающую среду при наличии всегда существующей случайной составляющей их потока, вызванной флуктуациями температуры, концентрации у поверхности и др. Найдены статистические характеристики случайных физических процессов, описывающих рассматриваемые задачи (поток массы, концентрация частиц на границе жидкой и газообразной фазы, количество массы, испарившейся с единицы площади за время протекания процесса). Проведен численный расчет процесса испарения капли в атмосфере при учете изменения ее радиуса из-за наличия массового потока через ее поверхность. По результатам большого количества независимых численных реализаций процесса испарения найдено распределение количества полностью испарившихся («схлопнувшихся») капель в зависимости от времени.
Седьмая глава посвящена рассмотрению реологических стержней, подверженных случайным воздействиям, которые могут возникнуть из пере-
падов температур или плотностей материала. При этом вместо традиционно используемых дифференциальных моделей реологических материалов (Фойхта—Кельвина, Максвелла и др.) были использованы интегральные модели, связывающие деформации материала и возникающие в нем напряжения с помощью операторов Вольтерра второго рода, что позволяет более точно описывать случайные процессы в вязкоупругих средах в случае, если характерные времена флуктуации внешних динамических воздействий меньше времен релаксации материала. Ядра интегральных уравнений обобщали дифференциальные подходы путем деления экспоненциальной функции на степенную. Найденные статистические характеристики флуктуации деформации материала при случайном внешнем напряжении сравнивались с аналогичными характеристиками для модели Фойхта — Кельвина.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано 11 работ, из которых 9 статей, в том числе 5 — из перечня ВАК.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, семи глав и заключения. Общий объем составляет 128 стр., включая 47 рисунков, 7 стр. библиографии, содержащей 84 наименования.
Обобщенное уравнение Ланжевена. Броуновское движение как немарковский процесс
Движущаяся броуновская частица увлекает окружающие частицы вязкой среды, которые в свою очередь оказывают влияние на движение бро- уновской частицы [6]. Такое взаимовлияние приводит к появлению «памяти» у броуновской частицы, т.е. ее поведение в будущем становится зависящим от всей предыстории протекания процесса. Так как марковская модель не может описывать процессы с памятью [13], то учет увлечения частиц среды приводит к тому, что броуновское движение приобретает немарковский характер. Заметим, что хотя использование марковской модели для описания броуновского движения является приближенным, в большинстве практически важных случаев оно дает удовлетворительные результаты. Однако часто возникает необходимость рассматривать броуновское движение именно как немарковский процесс. В частности, это имеет место при исследовании сред с наноструктурой, в котором броуновская частица используется в качестве своеобразного «датчика» свойств среды [14]. Рассмотрение броуновского движения как немарковского процесса требует изменения математической формулировки уравнения Ланжевена. В работах [15-18] исследуется так называемое обобщенное уравнение Ланжевена, в котором вместо силы сопротивления, пропорциональной скорости, используется интегральный оператор типа свертки. Для одномерного броуновского движения вдоль оси X обобщенное уравнение Ланжевена имеет вид где y(t — т) — так называемое ядро памяти коэффициента трения, U(x, t) — потенциал внешних детерминированных сил. В работах [15-18] предложены различные функции для функции памяти у(ґ-т), которые были обобщены в [19]. Для преобразования Лапласа функции y(t — x) авторами работы [19] предложена зависимость где s — параметр преобразования, \\f(s) — преобразование Лапласа от функции В последнем выражении а — так называемый параметр марковости (при а — 1 процесс является марковским, при а 1 - немарковским), 9 — параметр, зависящий от характера рассматриваемой задачи, Г(х) — гамма-функция. Из (1.9) и (1.10) видно, что в случае марковского случайного процесса ядро коэффициента трения y(t — т) имеет экспоненциальную форму, и, следовательно, интегральное уравнение (1.8) сводится к дифференциальному. Заметим, что модель (1.9, 1.10) не может быть использована для любых физических систем.
Однако вомногих случаях она дает удовлетворительные теоретические результаты. В частности, обобщенное уравнение Ланжевена (1.8) с учетом (1.9, 1.10) используется в.работе [20], в которой анализируется динамика адсорбированных на поверхности молекул в том случае, когда механизм десорбции частиц имеет немарковский характер. Происходящие одновременно процессы адсорбции и поведение других частиц среды предполагаются марковскими. В работе изучается диффузия частиц в случаях полубесконечной и ограниченной кубических решеток материала, на поверхности которого находятся адсорбированные молекулы. Найденные в работе уравнения, связывающие фурье-преобразования описывающих задачу величин (например, функции, учитывающей «память» процесса), исследуются затем численными методами (с использованием метода Монте-Карло). Как указывают авторы работы, такой подход, вообще говоря, сводит немарковские процессы к марковским, однако, дает эффективный способ повышения точности путем увеличения дискретизации расчетов и количества независимых испытаний. Полученные в [20] результаты, сравниваются в работе [21] с известным марковским подходом, использующим соответствующие стохастические дифференциальные уравнения. В работе обращается внимание на существенные различия при использовании двух подходов. Авторы работы указывают на возможность использования теоретического описания механизма десорбции, выполненного в [20], при проведении соответствующих тонких экспериментальных исследований. Уравнение (1.8) используется также в работе [22] при исследовании разрушения эргодичности [23, 24] для броуновского движения в случае, когда потенциал U(x,t) имеет различные профили (в частности, ступенчатый, периодический ступенчатый и др.) Выбор вида профилей был обусловлен все более повышающейся ролью исследования структур (например, микронных и субмикронных размеров), в которых потенциал может моделироваться такими профилями. Систематическое исследование броуновского движения как немарковского случайного процесса с помощью использования многомерных функций распределения (и характеристических функций) проведено А.Н. Морозовым в работах [25-32]. Найдены общие выражения, учитывающие реальный характер взаимодействия частиц среды и броуновской частицы. Автором подчеркивается, что полученные выражения могут найти применение при описании устройств систем управления и измерительных приборов, которые находятся под воздействием случайных процессов, отличных от обычно рассматриваемых в приближенных моделях винеровских процессов. Указано также, что рассмотренный метод применим также для исследования кинетических процессов, учитывающих флуктуации коэффициентов переноса.
Одной из принципиальных особенностей построенного уравнения для двумерной функции распределения и, следовательно, уравнений для моментов является наличие в них слагаемых, зависящих от времени хаотизации частиц среды, что не имеет места в традиционных теориях, в которых соответствующие коэффициенты зависят только от времени релаксации броуновской частицы. В связи с этим полученные уравнения позволяют в принципе определить экспериментально время хаотизации частиц, а также особенности флуктуации температуры броуновской частицы, которые связаны с конечностью времени хаотизации частиц среды. Рассмотренная теория, учитывающая флуктуации коэффициента диффузии, позволяет провести описание флуктуации импульса броуновской частицы. Такое описание, в частности, может быть использовано при определении случайных изменений проводимости электролитов и оценке уровня дополнительных флуктуации проводимости электролитов в зависимости от времени корреляции коэффициента диффузии и времени хаотизации частиц среды. Полученные общие результаты позволяют также провести анализ экспериментальных исследований проводимости электролитов на предмет возможности регистрации фликкер-шума [33, 34]. Указанные исследования проведены в работе [35]. Полученные общие выражения использованы также в работе [36] для описания перераспределения примесей при фазовых переходах, вызванного флуктуациями коэффициента диффузии. В последнее время броуновское движение активно используется для изучения физических объектов микронного и субмикронного размера. Как было сказано выше, траектория броуновской частицы является своеобразным источником информации для определения физико-химических свойств среды с микроструктурой [14]. Эффективный метод определения размеров малых частиц основан на использовании броуновского движения, с одной стороны, и анализе спектрального состава света, рассеянного суспензией или коллоидным раствором, с другой стороны. Размер малых частиц можно измерить, используя формулу Эйнштейна (1.2), при учете выражения для коэффициента сопротивления шарообразных частиц: где ті — динамический коэффициент вязкости жидкости, R — радиус сферической частицы. Получим При известной вязкости жидкости для определения радиуса R частиц необходимо знать коэффициент диффузии D. Коэффициент диффузии броуновских частиц находят, измеряя полную ширину А несмещенной (центральной) компоненты в спектре рассеянного света с помощью спектрометра оптического смешения [37]: где А — полная ширина спектральной линии на половине высоты, Ьк — изменение волнового вектора при рассеянии света.
Описание немарковского процесса типа фликкер-шума
Фликкер-шум, открытый первоначально как эффект медленных флуктуации эмиссионной способности катодов электронных ламп, а следовательно и флуктуации тока в них, был позже обнаружен в системах самого разт личного происхождения: в угольных сопротивлениях, полупроводниках и полупроводниковых приборах, в элементах электронной техники и др. Фликкер-шум наблюдается в биофизических системах (например, флуктуации электрического потенциала в мембранах клеток) и при протекании химических реакций. Флуктуации потерь на внутреннее трение в кварцевых резонаторах также имеют характер фликкер-шума. По всей видимости, фликкер-шум наблюдается при любом стационарно протекающем необратимом процессе в системе любого рода. При исчезновении необратимых потоков в такой системе, переходящей в термодинамически равновесное состояние, вклад фликкер-шума в общие флуктуации системы исчезает [60]. Характерной особенностью фликкер-шума, определяющей его свойства, является обратно пропорциональная зависимость его спектральной плотности G((ui) от частоты: где А — постоянная величина. (По этой причине фликкер-шум часто называют 1//-шумом). Покажем, что случайный процесс Z{t) является фликкер-шумом, если он описывается интегральным преобразованием (2.2) с ядром вида а процесс W{i) в (2.2) является винеровским, то есть рассмотрим процесс Z(t), описываемый интегральным преобразованием Тогда на основании формулы (2.27) при переходе от расходящегося интеграла к аппроксимирующей его конечной величине для одномерной характеристической функции имеем где 5ґ 0 — малая величина. Для L -мерной характеристической функции применение формулы (2.41) позволяет получить gL(Xl,...,XL;tl,...,tL)- Формулы (2.46) и (2.47) дают возможность определить математическое ожидание и момент второго порядка случайного процесса Z{t) с использованием формул теории стохастических систем [10]: Полученная L -мерная характеристическая функция (2.47) может найти применение для адекватного описания броуновского движения, так как флуктуации коэффициента диффузии броуновской частицы имеют характер фликкер-шума [9].
Как будет показано далее, флуктуации скорости и температуры поверхности, находящейся в полуограниченной вязкой среде, также будут являться фликкер-шумом. Выражение (2.45), помимо аналитического представления фликкер-шума, позволяет провести математическое моделирование конкретных реализаций флуктуации, имеющих характер фликкер-шума, что может иметь большое значение при численных расчетах явлений, в которых необходимо учесть фликкер-шум. Глава 3. Применение интегральных операторов Вольтерра второго рода для описания одномерного броуновского движения и флуктуации температуры поверхности В главе рассмотрена задача о движении плоской поверхности в среде, занимающей полупространство, а также задача о теплопроводности в такой среде. В результате решения полученных краевых задач (с нулевыми начальными условиями) в случае случайных динамических или тепловых воздействий на поверхность (в виде белого шума) найдены статистические характеристики флуктуации скорости (или температуры) поверхности. Показано, что даже для таких простых случаев марковское рассмотрение неприменимо, а спектральная плотность флуктуации скорости и температуры поверхности имеет характер фликкер-шума. Рассмотрим движение плоской поверхности в вязкой жидкости, занимающей полупространство (х 0). Будем считать, что плоскость расположена в начале координат (при х = 0 ), а её движение со скоростью V(t) происходит в направлении, перпендикулярном оси х и лежащем в плоскости (см. рис. 3.1). На плоскость действуют сила вязкого трения F(t) со стороны среды и случайная сила t,v (t) (на единицу площади). Движение плоскости в вязкой жидкости будет описываться уравнением (1.3) (где масса М считается отнесенной на единицу площади), а вместо соотношения (1.4) необходимо применять формулу для силы вязкого трения, действующей со стороны жидкости В рассматриваемом одномерном случае, считая скорость жидкости малой, уравнение для u{x,i) при х О имеет вид [6] Эта формула для рассматриваемого случая заменяет выражение (3.2). Формула (3.8) получена другим способом в работе [6]. Таким образом, описание флуктуации скорости плоской поверхности в вязкой жидкости, заполняющей полупространство, сводится к решению системы уравнений (3.1) и (3.8). Так как уравнение (3.8) имеет вид интегрального уравнения, то случайный процесс F{t), а, следовательно, и процесс V{t), представляют собой немарковские случайные процессы. Покажем теперь, что описание теплопроводности в полупространстве (х 0) в случае, когда температура плоской поверхности (при х = 0) является заданной функцией времени T(t) (см. рис. 3.2), сводится к задаче, аналогичной рассмотренной выше.
Система уравнений, описывающая изменение температуры T{t) плоской поверхности и температуры среды T(x,t) при х 0 в одномерном случае имеет вид: Отметим, что флуктуации температуры плоской поверхности в задаче о теплопроводности так же имеют спектральную плотность вида (3.30), а, следовательно, для них характерно наличие фликкер-шума. Это в свою очередь, учитывая зависимость кинетических коэффициентов от температуры, должно приводить к флуктуациям указанных коэффициентов в низкочастотной области спектра со спектральной плотностью, имеющей вид фликкер-шума. Таким образом, при рассмотрении двух достаточно простых модельных задач, описывающих процессы вязкости и теплопроводности в среде, заполняющей полупространство, установлено, что флуктуации скорости движения V{t) и температуры T(t) плоской поверхности представляют собой немар- ковские случайные процессы с характерной особенностью типа фликкер-шум в низкочастотной части спектра. С использованием интегрального уравнения Вольтерра второго рода проведено описание флуктуации скорости сферической броуновской частицы, находящейся в вязкой безграничной среде. Показано, что эти флуктуации представляют собой немарковский случайный процесс и имеют характерные особенности, отличающие их от флуктуации при классическом рассмотрении. Проведено сравнение резонансных кривых для осцилляторов в классическом случае и при описании с помощью интегрального уравнения. 4.1. Сферическая частица в вязкой среде Рассмотрим движение шарообразной броуновской частицы радиуса R и массы М в среде (жидкости или газе) с кинематической вязкостью v и плотностью р. Уравнение движения такой частицы имеет вид где V(t) — скорость частицы, F(t) — внешняя сила, действующая на частицу, ,(t) - случайная сила. При этом запишем где Fc(t)— сила сопротивления, FQ(t)— сумма остальных внешних заданных сил. Уравнение (4.1) с учетом (4.2) примет вид: В случае, если случайное воздействие (ґ) является производной от процесса с независимыми приращениями (например, представляет собой белый гауссов шум), а сила сопротивления Fc (t) = FcQ (ґ) записывается в виде марковским случайным процессом, вследствие чего для нее можно определить любые Z-мерные характеристические функции, а значит и любые L-мерные функции распределения [10]. Такой подход приводит в частности к тому, что спектральная плотность для флуктуации скорости частицы V{t) задается формулой (1.6), в которой у = 6itpvR. Для низких частот спектральная плотность GV((U) стремится к постоянной величине, определяемой выражением (3.5).
Описание движения осциллятора в вязкой среде
В главе проведено описание броуновского движения при учете флуктуации коэффициента трения. Построена математическая модель флуктуации кинетического коэффициента, спектральная плотность которых имеет характер фликкер-шума. Проведено описание осциллятора, подверженного воздействию детерминированной, случайной и возвращающей сил, а также флуктуирующего коэффициента трения. Традиционное описание необратимых процессов, в частности броуновского движения не учитывает экспериментально наблюдаемые флуктуации кинетических коэффициентов, которые имеют спектр типа фликкер-шума [60, 66]. Как было уже сказано, для описания процессов со спектром этого типа не применимы подходы, основанные на теории марковских случайных процессов [10, 11], так как с помощью конечной системы дифференциальных уравнений невозможно преобразовать процесс с независимыми приращениями в процесс типа фликкер-шум. Уравнение движения броуновской частицы в вязкой среде можно записать в виде где Р — импульс броуновской частицы, J — термодинамический поток, F{t) - внешняя детерминированная сила, ,(t) — случайное воздействие. Для случая линейной необратимой термодинамики поток J связан с термодинамической силой X следующим соотношением где G(t, т) - ядро преобразования, которое обычно представляется в виде Здесь D — коэффициент диффузии, который считается постоянным. Термодинамическая сила X для броуновской частицы определяется по формуле где М — масса броуновской частицы, кв — постоянная Больцмана, Г — температура среды. Если ядро преобразования G{t,x) в виде (5.3) подставить в формулу (5.2), а затем в уравнение (5.1), то это уравнение приобретает вид уравнения Ланжевена [9, 12], которое обычно используется для описания броуновского движения: Здесь ц — коэффициент вязкого трения При описании броуновского движения с использованием формулы (5.5) коэффициент трения г, так же, как и коэффициент диффузии D, является величиной, не зависящей от времени. По этой причине рассмотренное традиционное описание броуновского движения с помощью уравнения Ланжевена не позволяет учесть экспериментально наблюдаемый факт флуктуации коэффициента вязкого трения, имеющих характер фликкер-шума.
Отметим также, что процесс P{t), описываемый уравнением (5.5), представляет собой марковский случайный процесс в том случае, если случайное воздействие (ґ) является среднеквадратической производной процесса с независимыми приращениями, например винеровского процесса. Для описания броуновского движения с учетом флуктуации коэффициента вязкого трения предположим, что ядро преобразования G(t,x) явля- ется функцией, изменяющейся случайным образом в зависимости от значений t и т. Ядро преобразования G(t, т) в общем случае представимо в виде [67] где (...) — операция нахождения математического ожидания, ,(х) - средне-квадратическая производная процесса с независимыми приращениями W(x), а (ґ - т) - средняя случайная сила на интервале времени t-x: Так как нас дальше будет интересовать случай, когда G{t,x) является функцией, зависящей случайным образом от значений t и х, то без учета оператора нахождения математического ожидания, имеем где W(t) - процесс с независимыми приращениями, который связан со случайным воздействием (/) следующим интегралом Ито: В этом случае выражение (5.2), связывающее термодинамический поток J с термодинамической силой X, принимает вид Подстановка этой формулы в выражение (5.1) позволяет вместо уравнения Ланжевена (5.5) получить уравнение для описания броуновского движения учитывающее флуктуации коэффициента трения броуновской частицы. Случайный процесс P{t), описываемый стохастическим интегральным уравнением (5.12), является немарковским процессом, и для определения его статистических характеристик не применима теория стохастических дифференциальных систем [9]. Учитывая случайный характер изменения импульса Р(х), для такого уравнения не применима и теория линейных немарковских процессов, рассмотренная в главе 2, и требуется численное моделирование. Рассмотрим случай, когда термодинамическая сила X представляет собой постоянную величину: Х = const. Тогда выражение (5.2) может быть записано в виде где кинетический коэффициент у является случайным процессом, описываемым выражением Далее будем считать, что процесс W{t) представляет собой винеров-ский случайный процесс с интенсивностью v = 2D, связанный со случайным воздействием (У) формулой (5.10). Тогда математическое ожидание кинетического коэффициента y(t) равно где Ы — малая положительная величина. При нахождении интеграла в этом выражении учтено, что процесс W{t) является процессом с независимыми приращениями и, следовательно, для него справедливо соотношение Из выражения (5.15) следует, что при описании кинетических коэффициентов в рамках рассматриваемой модели их средние значения возрастают с течением времени по логарифмическому закону. Малый промежуток времени 8t можно считать величиной, близкой к значению постоянной времени хаотизации частиц рассматриваемой системы.
В частности для разреженного газа величина bt равна среднему времени соударения его молекул. Так как при экспериментальных измерениях кинетических коэффициентов время наблюдения t всегда много больше времени хаотизации 8t частиц среды: t»Ы, то, учитывая логарифмический характер зависимости (5.15), изменения средних значений кинетических коэффициентов в экспериментах реально не наблюдаются. Определим момент второго порядка для процесса y(t): где принято, что t2 tx. Из формулы (5.17) следует выражение для ковариационной функции которая в свою очередь позволяет определить одностороннюю спектральную плотность случайного процесса y(t): Таким образом, флуктуации кинетического коэффициента, описываемого выражением (5.14), имеют спектральную плотность которая имеет обратно-пропорциональную зависимость от частоты. Это указывает на то, что флуктуации кинетического коэффициента у(?) представляют собой фликкер-шум. 5.3. Математическое моделирование движения броуновской частицы под действием постоянной силы Численное решение уравнения (5.12) позволило установить особенности движения броуновской частицы в среде с флуктуирующим коэффициентом вязкого трения. При численном решении этого уравнения считалось, что интенсивность винеровского процесса W{t) была равна v = 2 (дисперсия D = l), произведение МквТ = \, а шаг по времени Аґ = 0,3. Величина шага At ограничивалась устойчивостью расчетов. Внешняя сила варьировалась в диапазоне F = 0,00...1,00 с шагом AF = 0,05. Всего в расчетах для одного значении силы было получено 100000 значений импульса P(t), по которым определялись математическое ожидание М , дисперсия D и спектральная плотность G„ (а ) процесса P(t). Рис. 5.1 иллюстрируют зависимость математического ожидания М и дисперсии D флуктуации импульса броуновской частицы P(t) от внешней приложенной силы F.
Диффузия пара, находящегося над поверхностью капли жидкости, имеющей сферическую форму (общая постановка задачи)
Поместим начало сферической системы координат в центр капли и обозначим, как и ранее, через n(t) концентрацию частиц у поверхности жидкости. Ввиду симметрии задачи концентрация частиц пара будет зависеть только от расстояния до центра капли г и времени t. В этом случае уравнение диффузии в сферических координатах примет вид с граничным условием и начальной концентрацией частиц пара Здесь R — радиус частицы, который в общем случае меняется с течением времени; п0 — концентрация насыщенного пара. Для массового потока через поверхность капли имеем выражения [50] Приравнивая соотношения (6.46) и (6.47), получим Решение системы уравнений (6.43) — (6.45) находится с помощью введения вспомогательной функции F(r, t), определяемой согласно выражению Подстановка (6.49) в (6.43) - (6.45) приводит к следующей системе уравнений для F(r,t): F{r,t)\t=o=nQr, r R. Из выражений (6.50) — (6.52) видно, что функция F(r,t) формально соответ ствует одномерному уравнению диффузии. Для производной с учетом выражения (6.47) получим Решим прежде всего задачу, считая радиус капли постоянным: R(t) = R0. Другими словами, будем искать статистические характеристики соответствующих физических случайных процессов (потока, концентрации у поверхности капли и др.), пренебрегая изменением радиуса частицы. Это, в частности, физически обоснованно в случае частиц большого радиуса и относительно небольшого промежутка времени наблюдения процесса диффузии над ее поверхностью. Решая задачу (6.50) - (6.52) аналогично задаче (6.1) — (6.3) при учете определения (6.49) и формулы (6.53), для массового потока через поверхность сферической частицы радиусом R будем иметь выражение Вводя, как и ранее, обозначения 8n(t) = n(t) — п0 и Z{t) —, с учетом формулы (6.46) окончательно получим Легко видеть (см. выражение (6.16)), что интегральное уравнение для случайного процесса Z(t) с точностью до постоянных совпадает с полученным ранее уравнением для процесса диффузии над плоской поверхностью жидкости. Таким образом, сразу можно сказать, что статистические характеристики указанных случайных процессов будут иметь сходный характер. Заметим, что это справедливо для рассматриваемого квазистационарного случая.
Аналогично полученным ранее характеристикам для спектральных плотностей массового потока G (со), разности концентраций у поверхности капли и концентрации насыщенного пара G5„(co) и массы жидкости, испарившейся с поверхности капли к моменту времени /, GM (со) будем иметь выражения Величина интенсивности белого шума с, как и прежде, определяется с помощью формулы (6.17). Графики, соответствующие выражению (6.56), для воды и этилового спирта изображены на рис. 6.7. Видно, что, как и следовало ожидать, они имеют аналогичный вид графиков для соответствующих спектральных плотностей, полученным ранее для задачи диффузии над плоской поверхностью жидкости. Рис. 6.8 иллюстрирует изменение поведения графика для спектральной плотности массового потока Gq (ш) при изменении радиуса частицы. Наконец, представляя массовый поток с помощью интегрального оператора (6.36), для ядра K(t-x) в случае рассматриваемого квазистационарного случая испарения с поверхности капли легко получить Рассматриваемый до сих пор случай капли, при котором пренебрега-лось изменением ее радиуса, очевидно, на практике является лишь первым приближением. Поток частиц через поверхность капли приводит к изменению ее массы, а, следовательно, и радиуса. Особенно важно учитывать изменение радиуса в случае маленьких (микронного размера) капель, так как даже в течение короткого промежутка времени их радиус может измениться настолько, что квазистационарное приближение окажется неприменимым. Изменение радиуса капли необходимо учитывать при длительном наблюдении над ее поведением. Наконец, при расчете времени «жизни» капли (до ее ис- чезновения в результате «схлопывания») учет изменения радиуса частицы, очевидно, необходим принципиально. Однако решение поставленной задачи осложняется ее математической сложностью (как известно, задача Стефана может быть решена аналитически в очень ограниченном числе случаев [69]). В связи с этим, получение статистических характеристик физических величин, описывающих поставленную задачу, может быть осуществлено только с использованием численных методов. При проведении численного расчета использовались формулы, полученные для квазистационарного случая, при учете изменения радиуса частицы.
Изменение радиуса частицы за время dt легко найти, зная массовый поток qm (t). В самом деле, за время dt масса капли Мк изменится на величину (знак «минус» связан с выбором положительного направления массового потока). С другой стороны массу капли можно определить согласно выражению где р — плотность жидкости. Находя производную из последней фор- мулы и приравнивая ее той же производной из (6.60), получим Полученная зависимость радиуса капли от текущего массового потока через ее поверхность использовалась на каждом шаге итерации при численном расчете. При численном расчете количество шагов итерации было равным 30000, шаг по времени At = 1 с, масса молекул, составляющих каплю, т = 3-Ю-23 кг, коэффициент диффузии D = 10 5 м /с, начальный радиус час-тицы RQ=l мкм, плотность жидкости р = 1000 кг/м , концентрация насы- щенного пара щ = 10 м", интенсивность флуктуирующей составляющей массового потока рассчитывалась по формуле (6.17). Численный расчет осложнялся тем обстоятельством, что использование реального значения массы отдельной молекулы жидкости приводило к необходимости очень большого количества шагов итерации для достижения момента «схлопывания» капли, что, в свою очередь требовало очень большого количества машинного времени. В связи с этим при численных расчетах масса молекулы была завышена, что формально соответствует уменьшению числа молекул, составляющих каплю. Это позволило значительно сократить необходимое количество машинного времени и, следовательно, получить такое количество независимых реализаций, которое позволяет говорить об удовлетворительной статистической достоверности полученных результатов. Следует отметить, что завышение массы отдельной молекулы не приводит к изменению характера статистических характеристик рассматриваемого процесса диффузии, а оказывает влияние лишь на соответствующие постоянные параметры, зависящие от конкретной начальной постановки задачи.
