Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Динамика периодических структур 15
I. Постановка задачи 15
2. Медленно меняющиеся функции 18
3. Взаимнооднозначное соответствие между обычными и медленно меняющимися функциями 21
4. Задача на ячейке 27
5. Различные формы записи осредненных уравнений и возможные постановки задачи на ячейке 32
6. Задача на ячейке для кусочно-постоянных функций и о 36
7. Приближенная теория 40
8. Задача об ударе 42
ГЛАВА II. Уравнения эквивалентного стержня в теории прушн 49
I. Общая теория нерастяжимых стержней 49
2. Пружины 50
3. Постановка задачи и результаты 55
4. Асимптотический анализ 57
5. Решение задачи на витке 60
6. Уравнения эквивалентного стержня 68
7. Примеры точных решений уравнений эквивалентного стержня 69
8. Физически и геометрически линейные теории эквивалентного стержня 72
9. Винтовые линии - точные решения уравнений теории нерастяжимых стержней 74
10. Геометрия множества винтовых линий 78
11. Устойчивость, количество и бифуркации положений равновесия винтовых линий 81
12. Исследование энергии винтовой линии методами теории особенностей дифференцируемых отображений 95
Заключение 108
Список литературы
- Взаимнооднозначное соответствие между обычными и медленно меняющимися функциями
- Задача на ячейке для кусочно-постоянных функций и о
- Асимптотический анализ
- Винтовые линии - точные решения уравнений теории нерастяжимых стержней
Взаимнооднозначное соответствие между обычными и медленно меняющимися функциями
Сразу же заметим, что эквивалентность этих задач не будет полной: они эквивалентны только на тех решениях, для которых оп-ределены операторы Ms , Q и сходится ряд (1.5). Как будет показано ниже, класс таких решений зависит от функций Е и g , но достаточно широк (в него заведомо входят все ограниченные решения и(эс}-6) ).
Задачу (1.3), (1.4) назовем осредненной переформулировкой задачи (I.I), (1.2), а м.м. функции Us(x,) - осредненными характеристиками движения. Осредненная задача есть точная переформулировка исходной, и хотя искомыми в ней являются м.м. функции, эта задача не проще исходной, т.к. содержит счетное число уравнений.
Как окажется в дальнейшем, осредненные характеристики имеют смысл амплитуд собственных колебаний ячейки, причем чем больше номер s » тем выше частота соответствующих собственных колебаний. Очень высокие частоты редко встречаются в прикладных задачах, кроме того, на супервысоких частотах теряется адекватность уравнения (I.I) среде, которую оно призвано описывать. Поэтому естественно отказаться от правильного (в смысле уравнения (I.I)) описания очень высоких частот, что позволяет в задаче (1.3), (1.4) положить us(v,i)=o для всех S , больших некоторого номера S0 . Так как уравнения (1.3) независимы при разных S то это не повлияет на точность определения Us(x}i) при S = О, I, ..., 0 , и можно надеяться на хорошую адекватность решения UСХЛ) » определенного по формуле В такой формулировке осредненная задача уже проще исходной. Операторы Lc , Л/ и W зависят только от р и Ь (не зависят от , й и h ) и определяются после решения некоторой задачи на собственные значения, называемой задачей на ячейке.
Полная Формулировка ответа (постановка задачи на ячейке и конкретный вид операторов L , Пс и W- ) приведены в 5.
Определение м.м. функций дается в 2. В 3 строится общий ВЕД операторов М& и Qs , которые по формулам (1.5) и (1.6) устанавливают взаимнооднозначное соответствие между обычными функциями и счетными наборами м.м. функций со сходящимся рядом (1.5). В 4 показано, как можно найти операторы L и конкретизировать операторы Ms и Q , решив задачу на ячейке.
Пусть функция t(х) убывает на бесконечности таким образом, что существует ее преобразование Фурье ((к) = j ((х) Є LKX Ых — о которое будем обозначать явным указанием аргумента К С %) вместо ос Сч) У функции / . По известной (к) функция f(x) восстанавливается по формуле 1КОС /Y ) = J_( {(«)( d« - 19 Назовем убывающую на бесконечности функцию (х:) медленно меняющейся (м.м.) на расстояниях порядка Є , если ее преобразование Фурье равно нулю вне отрезка [ - зг/с тг/g]: 7Г/ f(x)= 1 ( {(к)еихе к, (2.1) -7с/е т.е. если функция (х) предетавима в виде суперпозиции гармоник с полудлинойгволны, большей, чем в .
Такое определение убывающей на бесконечности м.м. функции заимствовано из /44/ , где эта функция была введена как интерполяция максимальной гладкости функции на - решетке.
В дальнейшем слова "на расстояниях порядка в " будем опускать, поскольку кроме никаких других масштабов медленного изменения вводиться не будет.
Пусть в точках х=Єп ( п - О, ±1, ±2, ...) заданы числа h . Набор чисел п называется функцией на -решетке. Гладкую функцию (х) назовем интерполяцией функции на -решетке / , если ее значение в точках эс-п равно fn .
Ниже все рассуждения проводятся для убывающих на бесконечности функций; результаты формулируются как в х- , так и в п. -представлении. Выводы, сформулированные в дискретном представлении, справедливы и для растущих функций.
Далее будут встречаться функции нескольких аргументов, поэтому для удобства чтения формул аргумент, по которому функция медленно меняется, в ос- и к -представлениях будет подчеркиваться чертой снизу ( (и, ос) J(Чгн.)} а Б А?-представлении отмечаться подчеркнутым индексом ( (ч)\ Это обозначение Зудет применяться в тех местах, где может возникнуть разночтение.
Задача на ячейке для кусочно-постоянных функций и о
При каждом фиксированном с? уравнение (6.5) имеет счетное число корней Л1 (CL). Фрагмент характерной картины распределен ния вещественных корней приведен на рис.1.1. Кривые о 4. лежат в плоскости lmcf 0, а замкнутые кривые 3 и ff - в плоскостях ReQ-O Ж КО.Й=7Г соответственно. Полная картина вещественных корней симметрична относительно плоскостей Иє -0 и KecL-Ж и периодична по ? с периодом 27Г . Как показал
Ю.П.Лерепелкин, кривые cLs монотонны на отрезке [ 0} Тс] , причем они возрастают при четных 5 и убывают при нечетных. Таким образом, соприкосновение двух соседних кривых ois возможно только при L- О или CL-Л в случае вырождения соответствующего контура Gs или s в точку. Так при Э = 1 вырождаются все кривые fts , tfs , а дисперсионные ветви s становятся прямыми. Возникновение точек соприкосновения дисперсионных ветвей возможно также тогда, когда отношениес/я/(- + рационально, при этом картина распределения корней будет периодической
Из соотношений (6.6) следует, что о скорости убывания коэффициентов Lsyyt и функций %С%) при Иі- ±оо и -» ±оо можно судить по гладкости периодических по ер функций _Q.S (f) и X-S(3?f) Простое исследование уравнения (6.5) показывает, что ветвь jfl=c6s( (S = I, 2, ...) будет бесконечно гладкой, если она не имеет точек соприкосновения с соседними ветвями. Бетвь10 = Ль( ) всегда имеет негладкость (см. рис.1.1) при «, = О . Однако все производные -d0 по от, нечетного порядка меняют знак при переходе через точку CL — О , а четного -обращаются в нуль, и, следовательно, функция _0_0 (f) в точке CL = О также будет бесконечно дифференцируемой.
Длинноволновую приближенную теорию можно построить, разложив все искомые функции в уравнениях (5.5) в ряды по и отбросив все члены, содержащие в высоких степенях. При этом получаются уравнения Постоянные и Gs - определяются из асимптотического исследова ния задачи на ячейке (4.4), (4.5) при —+ О. Уравнение (7.1) хорошо известно в асимптотической теории осреднения / 3, 22, 43, 65, 82, 93 /, а уравнения (7.2) были получены в ДЗ/.
Система уравнений (7.1), (7.2) обладает рядом недостатков. Дисперсионная картина исходного уравнения, изображенная на рис. I.I, правильно описывается системой (7.1), (7.2) только в области малых значений К . На рис.1.2 приведены сравнительные графики дисперисонных ветвей для частного случая функций и Р , использованных при решении задачи об ударе в 8. Б рамках уравнений (7.1), (7.2) не описывается эффект фильтрации волн. Кроме того, уравнения (7.2) с нечетными номерами - эллиптического типа (так как Qs О ) и, следовательно, для них некорректна задача Коши.
Вычисления показывают, что учет следующих членов по Є не исправляет положения. Тем не менее, уравнения (7.2) в области длинных волн - правильные, а вопрос о постановке задачи Коши -это вопрос о коротковолновой экстраполяции этих уравнений.
Естественная коротковолновая экстраполяция получается при следующем построении приближенной теории. В уравнениях (5.5), (5.6) оставим конечное число искомых функций и$(х,4) ( S ± О, I, 2, ... , &0 ) и заменим бесконечные суммы по индексу w\ конечными. При этом осредненные уравнения примут вид
В такой постановке осредненной задачи дисперсионное соотношение аппроксимируется по формуле Здесь использовано, что А = А .
В соотношении (7.7) коэффициенты Ls можно подобрать так, чтобы правильно описать основные качественные особенности ветвей d s Cf.) . Например, при решении задачи об ударе в 8 дисперсионные ветви аппроксимируются выражением eW(v) = LSo + ZLSJ( cos . + llsji cos Л (7 8) где числа JL , LS1 и /,SJt выбраны из условия совпадения значений сл С .) , вычисленных по формуле (7.8), с точными значениями при % = о и ср.= яг ,ииз условия совпадения второй производной 2 - при fi. = о . Сравнительные графики точной и аппроксимирующей дисперсионных ветвей для кусочно-однородной среды, рассмотренной в 8, приведены на рис.1.2. При этом для нулевой и первой ветвей относительная ошибка не превышает 0.5$ и графики в выбранном масштабе совпадают, а для второй ветви, которая имеет негладкость из-за точки соприкосновения с соседней ветвью при .- JT , относительная ошибка не превышает 3%.
Рассмотрим задачу о точечном ударе по среде, описываемой уравнением (I.I) с кусочно-постоянными коэффициентами. Функции EL и р пусть принимают два чередующихся в равной концетрации значения " , и Pi , yz . Разбиение на ячейки периодичности выберем так, чтобы Е(ч) и СН) были четными функциями своего аргумента
Асимптотический анализ
Проблема осреднения, понимаемая как проблема поиска быстро-осциллирующих решений некоторых уравнений или решения большого числа примерно одинаковых уравнений, имеет длительную историю. Сюда можно отнести рассмотрение еще И.Ньютоном колебаний струны при помощи периодически расположенных, упруго связанных между собой шаров, что, по сути дела, являлось изучением простейшей модели микронеоднородной дискретной среды. Впоследствии многие авторы неоднократно возвращались и возвращаются к этой и подобным ей моделям (см., например, /30, 44, 63/). Примерами теорий, получаемых в результате осреднения, являются также классическая термодинамика, лучевая оптика, теория оболочек и пластин, теория турбулентности, интенсивно развиваемая в последнее время механика композитных материалов (см. /4, 5, II, 43, 46, 47, 67/). В результате осреднения, как правило, возникают качественно новые эффекты: анизотропия, дисперсия, фильтрация высоких частот, появление новых внутренних степеней свободы, нелокальность, необратимость и т. д. Проблема осреднения возникает также при каждом переходе от одного, более простого, вида движения материи к другому, более сложному: аналитическая механика - термодинамика и механика сплошных сред -химия - биология - социология. Этот ряд, по-видимому, продолжается как влево, так и вправо, и, кроме того, имеет большое число внутренних переходов-осреднений. Настоящая работа относится к той части проблемы осреднения, в которой рассматривается осреднение периодически неоднородных сплошных сред, поведение которых описывается дифференциальными уравнениями. Под осреднением здесь понимается следующее.
Пусть некоторая среда описывается дифференциальными уравнениями с периодическими с периодом коэффициентами. Если Є много меньше характерных размеров области,в которой решается задача, то численный расчет, как правило, затруднен из-за быстрой осцилляции искомых функций. Способы решения таких задач основаны на построении некоторых новых, легче решаемых уравнений с постоянными коэффициентами, по решению которых можно с достаточной степенью точности определить искомые функции исходной задачи. Построенные для такой цели уравнения с постоянными коэффициентами называются осредненными, а процесс их построения - осреднением.
Одним из истоков такой постановки проблемы осреднения явилось рассмотрение волн в слоистых средах в конце прошлого - начале настоящего века, когда было обнаружено, что длинные волны в слоистой среде ведут себя так, как если бы они проходили через однородную, но анизотропную среду с некоторыми эффективными характеристиками. В работах того времени, как правило, рассматривались точные решения вида для уравнений электромагнитных и акустических волн в периодически кусочно-однородных средах. Здесь функция WCjf) предполагается периодической с периодом I по своему аргументу у= ocfs » X. координаты, "б - время (частные решения такого вида в теории дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами называют волнами Блоха-Флоке). Изучалась зависимость частоты с ) от волнового вектора к. , называемая дисперсионным соотношением, и вычислялись скорости длинных волн.
Впервые интерпретация вычисления скоростей длинных волн как построение осредненной теории появилась, по-видимому, в работе Ю.В.Ризниченко /64/ (1949). Он рассматривал слоистую упругую структуру, которая после осреднения становилась однородной орто-тропной средой. Ю.В.Ризниченко вычислил четыре из пяти постоянных, которыми характеризуются упругие свойства ортотропной среды. Аналогичное осреднение для электромагнитных свойств слоистой среды было проведено С.М.Рытовым /66/ в 1955 г. Им же в работе /65/ (1956) путем разложения при малых к. и со дисперсионного соотношения для волн Блоха-Флоке в слоистой среде были подтверждены результаты Ю.В.Ризниченко и сделана попытка вычисления пятой постоянной (неудачная из-за арифметической ошибки в громоздких выкладках). Впервые правильные значения всех пяти постоянных были получены в работе Э.Беренса /82/ в 1967 г., несколько другим методом, основу которого по-прежнему составляло изучение распространения длинных волн, но позволявшим уже осреднять и периодически неоднородные среды с непрерывным распределением характеристик.
Итак, от первых идей до первых правильных результатов в теории осреднения упругих и электромагнитных свойств слоистых сред прошло довольно много времени (в приводимом обзоре не упоминается ряд работ, которые оказались ошибочными). Приблизительно то же самое наблюдалось с осреднением и в других областях механики. Это, по-видимому, связано с;тем, что в то время еще не существовало общего подхода или регулярной процедуры решения подобных задач.
Винтовые линии - точные решения уравнений теории нерастяжимых стержней
Кроме того, как нетрудно заметить, каждая из функций us(x, ) в основном отвечает за колебания среды в некотором диапазоне частот, причем чем больше номер S , тем выше соответствующие значения частот. Известно, что на очень высоких частотах исходная теория, как правило, теряет адекватность среде, которую она призвана описывать. Это служит некоторым оправданием выкидывания осредненных характеристик с большими номерами S
Построенная таким образом осредненная теория правильно описывает эффекты дисперсии и фильтрации волн в периодически неоднородных средах в разумном диапазоне частот.
Вторая глава диссертации посвящена несколько другой стороне теории осреднения, а именно осреднению нелинейных структур в статике. В качестве исследуемого объекта взята витая пружина, поведение которой описывается системой уравнений Кирхгофа-Клебша /37/.
Хотя общая схема осреднения нелинейных сред, основанная на асимптотических разложениях, хорошо разработана /7, 9, II, 12, 14/, примеров ее реализации очень мало. С другой стороны,давно назрела необходимость создания нелинейной теории пружин /60, 61, 74-76/.
Первый патент на пружину ("Новую стальную подушку") был получен в 1688 г., а первое упоминание о пружинах в теоретических публикациях, по-видимому, относится к 1867 г.: в трактате Томсона и Тета /94/ было получено точное решение системы уравнений Кирхгофа в задаче о растяжении-кручении правильной цилиндрической пружины, свитой из круглой проволоки. Затем пружины изучались большей частью инженерами-прикладниками, которые, работая методами сопромата,развили линейную теорию. Здесь следует отметить Л.Лекорна, Ж.Перри, Ф. Рело, Л.Цахариуса, именами которых названы некоторые формулы в линейной теории пружин
Идею перехода к эквивалентному брусу, т. е. идею осреднения, впервые выдвинул в 1925 г. Р.Зиглер. Его подход, встреченный поначалу с большой осторожностью, впоследствии оказался очень плодотворным. Модель эквивалентного бруса строилась следующим образом. Известно, что в линейной теории стержней задача в напряжениях легко решается. Зная это решение, нетрудно, используя принцип Кастилиано, найти линейную зависимость между приложенной силой и перемещением конца пружины. Сравнивая эту зависимость с аналогичной зависимостью в решении для прямого стержня, можно определить упругие характеристики эквивалентного бруса. Однако при таком построении остается открытым вопрос о связи между перемещениями внутренних точек пружины и точек эквивалентного бруса.
Вывод линейной теории эквивалентного бруса при помощи асимптотического исследования функционала энергии был проведен в работе автора /69/, где в качестве малого параметра использовалось отношение длины витка пружины к длине всей пружины. Зная решение задачи об эквивалентном стержне, при помощи соотношений из /69/ уже можно найти перемещения и напряжения во всех точках пружины.
В нелинейной теории пружин к настоящему моменту времени имелся только набор частных точных и приближенных решений /34, 35, 85, 94/.
В диссертации при помощи асимптотического исследования функционала энергии построена нелинейная модель эквивалентного стержня пружины. Эта модель обладает качественно новыми свойствами, так как она помимо обычных в теории стержней искомых функций содержит дополнительную степень свободы ф , которая входит в энергию без производных и невыпуклым образом, что делает возможным обра - 14 зование фазовых преходов, в которых ? играет роль параметра порядка Л.Д.Ландау /47/.
Получен класс точных решений теории эквивалентного стержня, которые оказались также и новыми точными решениями системы уравнений Кирхгофа-Клебша. Обнаруженный класс решений является обобщением известного в теории пружин решения, впервые найденного Кирхгофом, Томсоном и Тетом /37, 94/ (см. также /53, 75, 76/). Он описывает стержень в форме винтовой линии, меняющей свои геометрические характеристики при деформациях. При этом оказывается, что в одних и тех же внешних условиях может существовать несколько положений равновесия винтовой линии. Проведено исследование количества и типов этих состояний в зависимости от приложенных нагрузок методами теории особенностей дифференцируемых отображений. Построены соответствующие бифуркационные множества.
