Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Релятивистские уравнения движения поляризующихся сред 20
1. Введение определяющих параметров сплошной среды. Вариации параметров 20
2. Вариационное уравнение. Уравнения состояния. Уравнения баланса энергии-импульса и баланса моментов 24
3. Замыкание системы уравнений при помощи релятивистского обобщения методов неравновесной термодинамики 29
4. Релятивистские уравнения движения намагничивающихся сред. Уравнения Френкеля 32
ГЛАВА II. Ньютонианские уравнения дшжешя поляризующихся сред 36
1. Уравнения движения сред с внутренними механичесними моментами
2. Замыкание системы уравнений при помощи методов неравновесной термодинамики 43
3. Переход от релятивистских уравнений движения поляризующихся сред к уравнениям ныотонианской механики. Релятивистские эффекты 49
4. Распространение звуковых волн в поляризующейся среде с внутренним массовым моментом 56
ГЛАВА III. Уравнения движения двухфазной поляризующейся среде 61
1. Введение определяющих параметров для двухфазной поляризующейся смеси. Вариации определяющих параметров 61
2. Вариационное уравнение. Уравнения состояния и уравнения движения 64
3. Уравнение баланса энтропии. Замыкание системы уравнений при помощи методов неравновесной термодинамики 68
4. Частный случай модели поляризующейся двухфазной смеси
ГЛАВА ІV. Задачи о равновесии поляризующейся двухфазной смеси 75
1. Равновесное распределение несжимаемых частиц в смеси в поле плоского конденсатора в присутствии силы тяжести
2. Равновесное распределение пузырьков газа между обкладками плоского конденсатора 90
3. Равновесие частиц в смеси в поле вращающегося цилиндрического конденсатора 94
4. Распределение пузырьков газа в поле вращающегося цилиндрического конденсатора 100
ГЛАВА V. Исследование стационарных течений поляризующейся двухфазной смеси 104
1. Движение диэлектрической частицы в пространстве между обкладками цилиндрического конденсатора. 104
2. Движение частиц в смеси в заданном неоднородном электрическом поле
3. Стационарное движение частиц в поле цилиндрического конденсатора с учетом влияния частиц на электрическое поле
4. Особые точки поля интегральных кривых стационарного течения двухфазной поляризующейся смеси 123
Литература 128
- Вариационное уравнение. Уравнения состояния. Уравнения баланса энергии-импульса и баланса моментов
- Переход от релятивистских уравнений движения поляризующихся сред к уравнениям ныотонианской механики. Релятивистские эффекты
- Уравнение баланса энтропии. Замыкание системы уравнений при помощи методов неравновесной термодинамики
- Равновесное распределение пузырьков газа между обкладками плоского конденсатора
Введение к работе
Вопросы изучения движения сплошной среды с учетом электромагнитных эффектов приобретают в последнее время все большее значение. По сравнению с другими взаимодействиями, известными в физике (гравитационными, сильными, слабыми), электромагнитные взаимодействия более универсальны: они проявляются и могут быть существенны и на микроскопическом (напршлер, атомном) и на макроскопическом уровнях. Неудивительно, что при постановке конкретных механических задач часто возникают ситуации, когда необходим учет сил и притоков энергии электромагнитной природы.
Представленная диссертация посвящена изучению движений сред, взаимодействующих с электромагнитным полем.
Общая теория построения моделей сплошных сред изложена в работах Л.И.Седова [і-9]. В работах [3-9] предложен и развит метод построения моделей сплошных сред с помощью вариационного уравнения связано с заданием скалярной функции Лагр'анжа Л и фиксированием функционала д Щ в виде интеграла по четырехмерному объему^. которое для действительных явлений сводится локально к первому и второму законам термодинамики. Определение модели сплошной среды
Общая теория конструирования моделей сплошных сред при наличии взаимодействия материальных тел с электромагнитным полем с учетом электрических токов, поляризации и намагничивания, основанная на использовании базисного вариационного уравнения, пред- локена в работах- [8-9] .При заданных внешних воздействиях выводится замкнутая система уравнений, в том числе уравнения Максвелла, уравнения состояния, описывающие поляризацию, намагничивание и внутренние механические напряжения.
Базисное вариационное уравнение для малого элемента объема среды и электромагнитного поля в случае действительных процессов, согласно основной идее, должно сводиться локально к полному уравнению балансов для приращений всех видов энергии, возникающих при взаимодействиях в полях и в материальных средах в изучаемых процессах. Это обстоятельство может служить ведущим физическим указанием для установления вида функционалов, фигурирующих в базисном вариационном уравнении, которое, однако, может содержать также дополнительно члены, обращающиеся в нуль для действительных процессов.
В работе [9] дается термодинамическое обоснование для следующего вида функционала Y„
Здесь п и 1*ч - - компоненты канонических четырехмерных тензоров электромагнитного поля, Ак - компоненты четырехмерного потенциала электромагнитного поля, 1 - компоненты четырехмерного вектора электрического тока, 3 - энтропия, рассчитанная на единицу массы сплошной среды, J - температура, с - массовая плотность сплошной среды, U.I - компоненты плотности четырехмер- ной внешней объемной силы. Компоненты Zi . определяют дисси-пативные процессы в среде.
Вывод выражений для пондеромоторных сил содержится в значительном числе монографий [I0-I6J ; при этом разные авторы дают различные по существу формулы, которые приводятся только для отдельных частных случаев. Основой такого несовпадения служит возможность различного определения тензора энергии-импульса поля при фиксированном суммарном тензоре энергии-импульса сплошной среды и электромагнитного поля ІІ7] .
Построению моделей сплошных сред, которые являются одновременно поляризующимися и намагничивающимися, посвящены работы [I8-22J ; в работах ' 23-25J рассмотрены релятивистские модели таких сред.
Усредненные соотношения, описывающие взаимодействие сплошной среды и высокочастотного электромагнитного поля, получены в работах [l5, 26-27] .
Значительное число работ І28-34) посвящено построению качественно более сложных моделей поляризующихся и намагничивающихся многокомпонентных и многофазных сред.
В ряде случаев нет необходимости рассматривать и учитывать одновременно поляризуемость и намагничиваемостъ сплошной среды. Так, приближение феррогидродинамики используется при постановке задач и построении моделей магнитоупругих сред, когда основными являются магнитные свойства тел [зб-37, 39] . В работе [37J рассмотрены модели магнитоупругих сред с учетом таких необратимых эффектов,как магнитный гистерезис и пластические деформации. Ре- лятивистские модели магнитоупругих сред строятся в работах І38, 40].
Интерес к намагничивающимся жидким средам возрос в связи с созданием и экспериментальным исследованием ферромагнитных суспензий - магнитных жидкостей [4IJ.
Модели магнитных жидкостей, построенные в работах [42-52J, учитывают наличие в среде внутреннего момента количества движения. Б работах [44-47, 50] вектор внутреннего момента количества движения считается пропорциональным намагниченности среды (учитывается только гиромагнитный момент), в других работах, например, в [22, 42-43], учитывается также молчент количества движения, связанный с вращением частичек. Обзор различных моделей намагничивающихся жидких сред и решенных в рамках этих моделей задач был сделан В.В.Гогосовым, Б.Л.Налетовой и Г.А.Шапошниковой [бз].
Использование моделей, учитывающих наличие в среде внутреннего момента количества движения, сделало возможным описание таких экспериментально наблюдаемых явлений, как увеличение эффективной вязкости при течении магнитной жидкости в трубах в магнитном поле [54-55J и увлечение магнитной жидкости вращающимся магнитным полем [56-6IJ.
Б релятивистских моделях [45, 49, 62-63J вводится кососим-метричный пространственный (с временными компонентами, равными нулю в собственной системе) тензор внутренних механических моментов, который, как и в случае ньютонианских моделей, может иметь гиромагнитную или иную природу.
Модели заряженных и электропроводных сплошных сред в приближении электрогидродинамики строились, в частности, в работах [64-65J. В работе [бб] были получены условия на электрогидроди- намических ударных волнах. Структура ударных волн в электрогидродинамике исследовалась при различных предположениях в работах [б7-69]. В работе [70] были получены условия на поверхностях разрыва в поляризующихся средах в присутствии электрического поля.
В приближении электрогидродинамики исследовалась в различных постановках проблема электризации тел при движении в потоках дисперсных сред - аэрозолей [71-72] и решалась задача об электризации слабопроводящих жидкостей при течении в трубах [73-74]. Обширной литературе по исследованиям в области электро-гидродинамики посвящен обзор, сделанный В.В.Гогосовым и В.А. Полянским [75].
В работах [29-33, 7б] в электрогидродинамическом приближении построены модели многофазных поляризующихся сред. Модели многофазных сред в отсутствие электромагнитного поля строились и исследовались многими авторами [77-87]. Многофазная смесь представляет собой совокупность нескольких взаимопроникающих континуумов (фаз), каждый из которых занимает только часть общего объема смеси [з, 77J. В связи с этим при построении моделей многофазных сжимаемых сред необходимо выписывать уравнения, связывающие давления фаз и являющиеся одновременно уравнениями для нахождения объемных концентраций. В качестве такого уравнения для смеси жидкость - пузырьки газа в работах [78-79] было предложено уравнение Рэлея, выведенное для пульсаций одиночного пузыря в несжимаемой жидкости [і] и постулируемое в моделях многофазных сред дополнительно. Постулата такого рода не делается в моделях поляризующихся многофазных сред [ЗО-ЗЗ, 7б], в которых уравнения для изменения объемных концентраций фаз следуют из общего формализма термодинамики необратимых процессов.
Системы уравнений моделей дисперсных сред, построенных в работах [29-33], включают в себя уравнения движения и энергии для смеси в целом и "диффузионные" соотношения, заменяющие уравнения движения и энергии для каждой фазы. Модель поляризующейся дисперсной среды, построенная в работе [7б]- многоскоростная: для каждой фазы выписывается свое уравнение движения, а наличие других фаз учитывается добавлением в уравнения слагаемых, связанных с обменом импульсом и энергией между фазами. В работе выводятся выражения для сил, действующих со стороны электрического поля на каждую из фаз, и возникающих из-за различия диэлектрических проницаемостей и проводимостей фаз.
Б рамках построенной в работе [7б] модели поляризующейся дисперсной смеси в работах [88-89J рассмотрена задача о всплы-вании и осаждении частиц в поле плоского конденсатора при наличии силы тяжести. Вызываемое движением частиц перераспределение объемной концентрации изменяет диэлектрическую проницаемость среды, а вместе с ней и степень взаимодействия среды с электрическим полем. Изменяется и само электрическое поле; при этом на диспергированную фазу действует сила, пропорциональная градиенту квадрата напряженности электрического поля. Поведение частиц существенно зависит от того, какой режим - дозвуковой или сверхзвуковой (по отношению к скорости распространения слабых разрывов) осуществляется в течении.
В представленной диссертации рассматривается поведение поляризующихся сред в электромагнитных полях.
Предлагаются релятивистские и ньютонианские модели, описывающие движение поляризующихся сред с внутренними механическими характерне тиками. - II -
Решается задача о распространении слабых возмущений в среде такого типа.
Строится, при помощи базисного вариационного уравнения, модель двухфазной поляризующейся смеси, в частном случае совпадающая с моделью, полученной в работе [7б].
Решаются задачи о равновесных состояниях двухфазной поляризующейся смеси, а также задачи о стационарных течениях частиц в неоднородном электрическом поле.
Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка цитируемой литературы.
Вариационное уравнение. Уравнения состояния. Уравнения баланса энергии-импульса и баланса моментов
Построению моделей намагничивающихся сплошных сред при по мощи базисного вариационного уравнения посвящен 4. В качестве простейшего примера рассматривается релятивистская модель, опи сывающая движение намагничивающейся пыли. Показывается, что при обычно выполняемом условии \«\, ( U - удельная внутрен няя энергия пыли) уравнения импульса и баланса внутреннего момента количества движения построенной модели совпадают по форме с известными уравнениями [96, 97J, описывающими движение заряженной частицы со спином в электромагнитном поле.
Ньютонианская теория поляризующихся сплошных сред с внутренними механическими моментами рассматривается в главе П диссертации f9IJ. Обсуждается физический смысл внутренних механических характеристик. Решается задача о прохождении слабых возмущений в среде с внутренним массовым моментом.
В I главы П отмечается, что в классической механике системы л материальных точек из предположения о симметрии функции Лагранжа системы относительно двсятипараметрической группы преобразований Галилея следует существование десяти механических законов сохранения - трех векторных и одного скалярного. Законы сохранения для сплошной среды получаются обобщением соответствующих законов для системы материальных точек аналогично тому, как это сделано в монографии [Ij.
В 2 делаются предположения, конкретизирующие модель поляризующейся сплошной среды с внутренним массовым моментом. Система уравнений модели замыкается кинетическими соотношениями, получаемыми методами термодинамики необратимых процессов [із] .
В следующем параграфе показывается, что полученная в рамках ньютонианской механики модель поляризующейся сплошной среды с внутренним массовым моментом может быть рассмотрена как нерелятивистский предел модели, построенной в 2 и 3 главы І в рамках специальной теории относительности. Для этого уравнения релятивистской модели выписываются в собственной системе отсчета в соответствующих трехмерных обозначениях, далее делается переход к системе наблюдателя при помощи преобразования Галилея. Полученная таким образом система уравнений инвариантна относительно преобразований Галилея и может рассматриваться как система уравнений ньютонианской модели, учитывающей релятивистские эффекты [98].
В 4 главы П решена задача о прохождении звуковых волн в поляризующейся среде с внутренним массовым моментом. Предполагается, что в невозмущенном состоянии электромагнитные величины равны нулю, среда покоится. Показано, что в среде с внутренним массовым моментом распространяются . два типа возмущений: продольные и поперечные; в волнах обоих типов происходят изменения как механических, так и электромагнитных величин. Отмечается, что при исследовании слабых возмущений в поляризующихся средах без внутреннего массового момента при нулевом фоне электромагнитного поля происходит разделение слабых возмущений на чисто электромагнитные, с постоянными механическими характеристиками, и на чисто механические (собственно звуковые) волны, в которых электромагнитные величины не возмущаются.
Для описания многих важных процессов химической технологии ,, таких, как барботаж пузырей газа, седиментация частиц, процессы с использованием псевдоожижеиного слоя) и изучения возможности воздействия на эти процессы электрического поля необходимо исследование течений двухфазных поляризующихся сред. Электрическое поле может сильно влиять на течение многофазной среды [88-89J; появляется возможность осуществления различных режимов течения. Еще более важную роль может играть электромагнитное поле для управления движением пузырей или частичек в жидкости в условиях невесомости. Более того, в отсутствие гравитации силы электромагнитной природы могут выполнять функции силы тяжести в названных выше технологических процессах и, таким образом, делать возможным их практическое осуществление.
Следующие главы диссертации посвящены исследованию течений двухфазных поляризующихся сред. Б главе Ш при помощи базисного вариационного уравнения построена модель поляризующейся двухфазной смеси. Ранее вариационный метод использовался для построения моделей многофазных сред, не взаимодействующих с электромагнитным полем, в работах [85-86J . В I главы Ш вводятся определяющие параметры двухфазной поляризующейся смеси и дается определение используемых вариаций. В 2 постулируется вариационное уравнение в виде, предложенном Л.И.Седовым [і, 3-4]; задается лагранжиан и фиксируется выражение для функционала он . Получена система уравнений Эйлера вариационной задачи, содержащая уравнения Максвелла, уравнения состояния и уравнения движения для каждой из фаз. На основании решения вариационного уравнения находится выражение для функционала
Переход от релятивистских уравнений движения поляризующихся сред к уравнениям ныотонианской механики. Релятивистские эффекты
В 4 главы Ш показано, что при некоторых дополнительных предположениях о виде лагранжиана и функционала дЫ по строенная модель совпадает с моделью двухфазной поляризующейся смеси, полученной другим методом в работе [76І. В главе ІУ изучаются положения равновесия двухфазной поляризующейся смеси при различной конфигурации электрического поля В I главы ІУ рассмотрена задача о равновесном распределение несжимаемых частиц в смеси в поле плоского конденсатора в присутствии силы тяжести. Состояние равновесия смеси возможно, поскольку неравномерное распределение частичек вызывает изменение электрического поля в межэлектродном пространстве; возникающая при этом электрическая сила, пропорциональная градиенту квадрата напряженности электрического поля, стремится сделать распределение частиц более равномерным и препятствует их скапливанию возле одной из обкладок. Показывается, что в зависимости от начальных и граничных условий могут реализовываться две ситуации: а) смесь занимает все межэлектродное пространство; б) смесь занимает некоторый слой возле одного из электродов; ниже этого слоя находится чистая жидкость-носитель. Найден критерий осуществления того или иного случая.
В 2 рассматривается равновесие пузырьков газа в смеси, находящейся между обкладками плоского конденсатора в присутствии силы тяжести. Диэлектрическая проницаемость смеси может изменяться как из-за изменения числа пузырей в единице объема смеси, так и при изменении объема каждого пузырька. Найдены параметры смеси и электрического поля в зазоре конденсатора. Показано, что в случае, когда изменение плотности пузырей в межэлектродном пространстве мало, выражения для решения и интегральных условий для определения констант значительно упрощаются.
В 3 решена задача о равновесии частиц в смеси в поле вращающегося цилиндрического конденсатора. Неоднородность электрического поля обуславливается геометрией устройства конденсатора и неравномерностью распределения частичек. Найдено аналитическое решение для случаев, когда смесь заполняет часть зазора конденсатора или все межэлектродное пространство.
Задача о равновесии пузырьков газа в поле вращающегося цилиндрического конденсатора решена в 4 главы ІУ. Получено аналитическое решение уравнений, описывающих равновесие смеси с учетом сжимаемости диспергированной фазы. Рассмотрен отдельно частный случай, когда изменение плотности пузырьков в пространстве между электродами мало, а решение и интегральные условия для определения констант можно записать в более простом виде.
Глава У посвящена исследованию стационарных течений двухфазной смеси в поле цилиндрического конденсатора. Дифференциальные уравнения, описывающие рассматриваемые в этой главе течения, исследуются качественно; приведены графики распределения скорости в зависимости от радиуса, рассчитанные на ЭВМ для конкретных параметров среды и электрического поля. Показывается, что наложение электрического поля может существенно изменить характер течения.
В I главы У рассматривается движение одной сферической частицы вещества с диэлектрической проницаемостью г в жидкости с диэлектрической проницаемостью, равной &± , между обкладками цилиндрического конденсатора. Показано, что в случае 2. 1 электрическое поле тормозит частичку, а в случае Ег х сила, действующая на частицу со стороны электрического поля, направлена в сторону движения частицы (от внутренней обкладки к внешней) и скорость ее может возрастать на начальном участке.
В следующем параграфе решена задача о стационарном течении двухфазной поляризующейся смеси между обкладками цилиндрического конденсатора. Электрическое поле считается заданным и равным электрическому полю в отсутствие частичек.
Если диэлектрическая проницаемость вещества частичек больше диэлектрической проницаемости несущей жидкости, то скорость их монотонно падает, в противном случае возможен разгон частиц на некотором участке. Найдено, что из-за движения частиц в смеси в несущей жидкости возникает градиент давления; соответствующая сила направлена против движения каждой частицы и тормозит ее. Этот эффект является коллективным и не может быть описан при изучении движения одиночной частицы.
В 3 также рассматривается течение смеси между обкладками цилиндрического конденсатора, однако учитывается изменение электрического поля из-за присутствия частиц, поэтому параметры электрического поля и электрическая сила, действующая на частицы, находятся при решении задачи. Характер течения в этом случае существенно зависит от того, какой режим осуществляется - дозвуковой или сверхзвуковой (по отношению к скорости распространения слабых волн в смеси). Показано, что если диэлектрическая проницаемость вещества частичек больше диэлектрической проницаемости несущей жидкости, то учет влияния частиц на электрическое поле приводит к возможности их ускорения электрической силой (в дозвуковом режиме течения). Если диэлектрическая проницаемость вещества частиц меньше, чем у жидкости, то поле интегральных кривых уравнения, описывающего течение, может содержать особую точку типа узел.
Уравнение баланса энтропии. Замыкание системы уравнений при помощи методов неравновесной термодинамики
В следующем параграфе решена задача о стационарном течении двухфазной поляризующейся смеси между обкладками цилиндрического конденсатора. Электрическое поле считается заданным и равным электрическому полю в отсутствие частичек.
Если диэлектрическая проницаемость вещества частичек больше диэлектрической проницаемости несущей жидкости, то скорость их монотонно падает, в противном случае возможен разгон частиц на некотором участке. Найдено, что из-за движения частиц в смеси в несущей жидкости возникает градиент давления; соответствующая сила направлена против движения каждой частицы и тормозит ее. Этот эффект является коллективным и не может быть описан при изучении движения одиночной частицы.
В 3 также рассматривается течение смеси между обкладками цилиндрического конденсатора, однако учитывается изменение электрического поля из-за присутствия частиц, поэтому параметры электрического поля и электрическая сила, действующая на частицы, находятся при решении задачи. Характер течения в этом случае существенно зависит от того, какой режим осуществляется - дозвуковой или сверхзвуковой (по отношению к скорости распространения слабых волн в смеси). Показано, что если диэлектрическая проницаемость вещества частичек больше диэлектрической проницаемости несущей жидкости, то учет влияния частиц на электрическое поле приводит к возможности их ускорения электрической силой (в дозвуковом режиме течения). Если диэлектрическая проницаемость вещества частиц меньше, чем у жидкости, то поле интегральных кривых уравнения, описывающего течение, может содержать особую точку типа узел.
Последний случай подробно исследуется в 4 главы У. Показано, что в зависимости от граничных условий течение может быть либо полностью дозвуковым, либо полностью сверхзвуковым; возможно также течение, в котором совершается переход от сверхзвукового течения к дозвуковому в особой точке. Как в дозвуковом, так и в сверхзвуковом режимах возможно ускорение частиц на некоторых участках. Б течении с переходом через скорость звука частицы могут ускоряться на начальном и конечном участках движения, а в промежутке тормозятся.
Таким образом, учет влияния частиц на электродинамические свойства среды приводит к выявлению качественно новых эффектов. Основные результаты, полученные автором, изложены в работах {90, 91, 99, 100-102], а также докладывались на семинарах в Институте механики МГУ. Автор выражает глубокую благодарность академику Л.И.Седову и доктору физико-математических наук В.Б.Гогосову за руководство работой. Пусть в метрическом пространственно-временном континууме точек координаты ( (L =1,2,3,4)с базисными векторами За. и компонентами метрического тензора иц образуют сопутству ющую систему координат, причем мировые линии точек сплошной сре ды определяются условиями Jf = СОУіВЬ ( сС = I, 2, 3). Система координат наблюдателя определяется координатами X , базисными векторами Э$ и компонентами метрического тензора uij. Предполагается, что пространстве-время - фиксированное четырех мерное риманово пространство, имеющее глобальную структуру прос транства Минковского, так что существует такое преобразование координат U - U (X J , что квадратичная форма называются компонентами дисторсии; вектор четырехмерной скорости точек среды определяется как единичный касательный вектор к мировым линиям точек.
Равновесное распределение пузырьков газа между обкладками плоского конденсатора
Величины и г. можно рассматривать как внутренние механические характеристики системы. Если Ц есть радиус-вектор центра инерции системы, то из (2.1.7) следует, что ,—0 Отличную от нуля характеристику t , вообще говоря, следует вводить в число определяющих параметров, если скорость механической системы определяется как скорость некоторой точки системы, не совпадающей с ее центром инерции (например, если скорости атомов, обладающих дипольными моментами, определяются как скорости их ядер). При преобразовании Галилея следующим образом
Уравнения баланса (2.1.4), полученные для системы материальных точек, можно обобщить на случай континуальной модели. При этом учтем представления (2.1,5), а формулы перехода (2.1.8) будем считать верными для внутренних механических моментов сплошной среды.
Рассмотрим модель сплошной среды, обладающую внутренними механическими моментами: внутренним массовым моментом ь и внутренним моментом количества движения к , отнесенными к единице массы среды. (Сохраним для этих величин обозначения соответствующих характеристик системы материальных точек.) Для построения модели постулируем закон сохранения массы среды Б уравнениях (2.1.9)-(2.1.13) введены следующие обозначе ния: У3 - субстанциональный объем, Л - его поверхность, 11 импульс единицы массы среды, Р - компоненты тензора напряже ний, 0 - цассовая плотность среды, V - скорость среды, г плотность внешней силы. _ Величины Є , К=&+- Е , Z i.-« Е-Чі I представляют собой энергию, момент количества движения и массовый момент, рассчитанные на единицу массы среды, (L , и, и ы - компоненты тензоров, определяющих дополнительные притоки указанных величин через поверхность 2? , a f , L , N - задаваемые внешние объемные притоки этих величин; П. - внешняя нормаль к поверхности 2J . Б области гладкого изменения характеристик среды интегральные законы (2.1.9)-(2.1.13) сводятся к дифференциальным уравнениям Б частности, при помощи величин можно опи сывать взаимодействие сплошной среды с электромагнитным полем, которое подчиняется уравнениям Максвелла Для задания величин г , гі, , ]_, , Я в этом случае воспользуемся следующим рассуждением. При отсутствии внешних воздействий уравнениям (2.1.14)-(2.1.18), записанным для системы, в которую наряду со сплошной средой включается также и электромагнитное поле, в релятивистской механике соответствуют два тензорных уравнения Здесь Р - компоненты четырехмерного тензора энергии-импульса системы, К - компоненты четырехмерного тензора внутренних мо-ментов, причем в собственной системе отсчета. Выражение для компонент 1 всегда можно представить в виде [17] где J - компоненты четырехмерного тензора энергии импульса среды, Р/М\- компоненты четырехмерного тензора Минковского. Учитывая первое равенство (2.1.21), запишем уравнения (2.1.20) в виде Рассматривая электромагнитное поле теперь как источник внешних воздействий и учитывая второе равенство (2.1.21), получаем выражения для величин.
