Содержание к диссертации
Введение
Глава 1 Современное состояние численного моделирования закрученных двухфазных турбулентных течений в пневматических центробежных аппаратах
1.1 Современное состояние численного моделирования закрученных турбулентных течений в аппаратах порошковой технологии 13
1.2 Современное состояние численного моделирования двухфазных закрученных турбулентных течений в пневматических центробежных аппаратах 21
Глава 2 Основные уравнения движения закрученного турбулентного течения в воздушно-центробежном классификаторе
2.1. Схема экспериментального стенда 33
2.2. Физическая постановка задач исследования процессов классификации и сепарации порошковых материалов 37
2.3. Уравнения Рейнольдса
2.3.1 Уравнения Рейнольдса в цилиндрической системе координат 42
2.3.2 Уравнения Рейнольдса в биконической системе координат 45
2.4 Модель турбулентности Уилкокса «к - со» 62
Глава 3 Численный метод решения уравнений Рейнольдса и результаты численного исследования
3.1. Решение в переменных «вихрь - функция тока» 67
3.2 Решение в переменных «скорость - давление» 69
3.3 Неявные методы переменных направлений 72
3.4 Экспоненциальная схема аппроксимации конвективно-диффузионных членов уравнения переноса 75
3.5 Безразмерная форма уравнений, постановка граничных условий и некоторые особенности численного расчета
3.6 Тестовые исследования и достоверность получаемых результатов 84
3.7 Влияния геометрических и режимных параметров 89
Глава 4 Численное моделирование закрученного турбулентного двухфазного течения
4.1 Траекторный подход 96
4.2 Подход с учётом турбулентной диффузии частиц 100
4.3 Схема решения двухфазного закрученного течения 103
4.4 Численные результаты моделирования двухфазных потоков 104
4.5 Инженерные методики расчета процесса разделения порошков по размерам 109
Заключение 115
Литература
- Современное состояние численного моделирования двухфазных закрученных турбулентных течений в пневматических центробежных аппаратах
- Уравнения Рейнольдса в биконической системе координат
- Экспоненциальная схема аппроксимации конвективно-диффузионных членов уравнения переноса
- Численные результаты моделирования двухфазных потоков
Введение к работе
Актуальность проблемы. Широкое применение пневматических центробежных аппаратов для процессов сепарации и классификации тонкодисперсных порошков общеизвестно. Однако, современный уровень техники предъявляет новые, повышенные требования к гранулометрическому составу порошков, определяющему важнейшие физико-механические свойства материалов. Это выдвигает задачу разработки новых эффективных методов и аппаратов центробежной классификации тонкодисперсных порошков по размерам частиц. Дальнейшее совершенствование перспективных пневматических методов переработки дисперсных сред и создание более совершенных и эффективных аппаратов порошковой технологии может быть осуществлено лишь на основе глубоких фундаментальных исследований в области аэродинамики однофазных и многофазных сред. Поэтому актуальным направлением в этой области является создание адекватных опыту математических моделей, способных прояснить физическую картину процессов, происходящих в центробежных аппаратах, а также прогнозировать и оптимизировать процессы фракционного разделения порошков для повышения эффективности работы существующих центробежных аппаратов и для создания новых, конструкций и установок порошковой технологии.
Разработка численных моделей и инженерных методов для расчёта двухфазного турбулентного закрученного течения в сепарационной зоне воздушно-центробежного классификатора и процессов фракционного разделения порошков в центробежных аппаратах составляет предмет настоящей работы.
Цель работы.
Создание адекватных опытным данным физических и численных моделей и методик расчёта однофазных закрученных турбулентных течений в воздушно-центробежных классификаторах и сепараторах с биконическими тарелками.
Численное моделирование полей скорости и концентрации, а также траекторий движения тонкодисперсных частиц в сепарационных зонах центробежных аппаратов. Определение обратного силового влияния твёрдой фазы на аэродинамику движения несущей среды.
Моделирование процесса фракционного разделения и сепарации тонкодисперсных порошкообразных материалов в рабочих элементах пневматических центробежных классификаторах и сепараторах. Выявление основных физических параметров и критериев, воздействующих на технологический процесс разделения порошков по размерам и их параметрическое исследование.
Разработка инженерных методик расчёта граничного размера частиц и определение кривой Тромпа фракционного разделения частиц по размерам на основе численного моделирования закрученного турбулентного двухфазного течения в сепарационной зоне центробежных аппаратов.
Методы исследования. Математическое моделирование турбулентного закрученного двухфазного течения с помощью уравнений механики сплошной
среды. Использование численных методов, базирующихся на пространственном и физическом расщеплении уравнений с применением методов контрольного объёма при записи разностных уравнений в частных производных, описывающих процессы двухфазного турбулентного закрученного течения.
Научная новизна. В работе впервые получены следующие научные результаты.
На основе методологии Рейнольдса были получены полные осредненные уравнения Навье-Стокса в ортогональной биконической системе координат, а также выведены уравнения переноса рейнольдсовых напряжений в этой системе координат, что позволило корректно записать хорошо известную модель турбулентности к-со Уилкокса в ортогональной биконической системе координат.
На основе уравнений Рейнольдса в биконической и цилиндрической системе координат с использованием концепции турбулентной вязкости и модели турбулентности Уилкокса получены поля осреднённой скорости и другие турбулентные характеристики между вращающимися конусами (биконическими тарелками), а также в сепарационной зоне воздушно-центробежного классификатора. Выявлено влияние основных режимных и геометрических параметров на турбулентное закрученное течение в сепарационных зонах пневматических центробежных аппаратов.
Новая постановка задачи, связанная с определением поля осреднённой скорости в области входа и выхода в рабочий элемент воздушно-центробежного классификатора (ВЦК), а также постановка задачи для новой геометрии сепарационного элемента ВЦК.
На основе разработанной численной модели закрученного турбулентного течения двухфазной среды получены новые результаты по распределению поля объёмной концентрации и скорости твёрдых примесей. Выявлено обратное силовое влияние твёрдой фазы на поле скорости несущей среды. На основе полученных данных исследован процесс разделения тонкодисперсных порошковых материалов с использованием кривых разделения Тромпа.
Предложены инженерные методики для определения граничного размера и кривой фракционного разделения частиц по размерам на основе численного моделирования закрученного турбулентного течения в сепарационной зоне центробежных аппаратов.
Достоверность полученных результатов. Достоверность получаемых результатов обеспечивается тестовыми исследованиями на сеточную и итерационную сходимость, сравнением получаемых решений с экспериментальными данными, а также с результатами других авторов.
Практическая ценность работы. Практическая значимость диссертационной работы состоит в следующем.
1. Развитый подход к моделированию аэродинамики в центробежных аппаратах порошковой технологии позволяет: получать физическую картину движения несущей среды и твёрдой примеси; выявлять режимы течений, при которых наступает отрыв потока; оптимизировать режимные и геометрические параметры существующих центробежных аппаратов; прогнозировать
возможные технологические условия при создании новых более эффективных установок центробежного типа.
Проведённый анализ влияния ряда определяющих параметров на свойства турбулентного закрученного течения однофазной и двухфазной среды в воздушно-центробежных классификаторах и сепараторах дополняет весьма ограниченный объём имеющейся экспериментальной информации.
Разработанный метод расчёта аэродинамики закрученного турбулентного течения был использован в научно-исследовательских и опытно-конструкторских работах. Имеется акт внедрения методики расчёта закрученного турбулентного течения в аппаратах центробежного типа.
Автор защищает.
Системы уравнений Рейнольдса, переноса турбулентных напряжений и модель турбулентности Уилкокса, полученные в ортогональной биконической системе координат.
Численное моделирование и результаты численных исследований закрученных турбулентных однофазных течений в рабочих элементах пневматических центробежных классификаторах и сепараторах.
Новую постановку задачи и результаты численного моделирования при расчёте аэродинамики сепарационной зоны ВЦК, а также результатов расчёта новой геометрии ВЦК для однофазной и двухфазной среды.
Численное моделирование и результаты расчёта процессов разделения и сепарации тонкодисперсных порошков применительно к воздушно-центробежному классификатору и биконическому тарельчатому сепаратору.
Инженерные методики по определению граничного размера и кривой фракционного разделения частиц по размерам в пневматических аппаратах центробежного типа.
Апробация работы. Основные результаты и положения диссертационной работы доложены и обсуждены на 5 международных и всероссийских конференциях: I Международная научно-техническая конференция, посвященная 70-летию доктора технических наук, профессора Пирашвили Ш.А. «Энергетические установки: тепломассообмен и процессы горения» (Рыбинск, 2009), Всероссийская конференция «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2009), Пятнадцатая всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых ученых ВНКСФ-15 (Кемерово, 2009), VII Всероссийская конференция молодых ученых «Проблемы механики: теория, эксперимент и новые технологии» (Новосибирск, 2009), Всероссийская конференция «Физика и химия высокоэнергетических систем» (Томск, 2006).
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в 6 печатных работах, в том числе в 1 статье в изданиях, рекомендованных в ВАК. Публикации, отражающие основное содержание работы, приведены в конце данного автореферата.
Структура и объём работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка цитируемой литературы. Работа содержит 130 страниц, 30 рисунков. Список цитируемой литературы включает 143 наименования.
Современное состояние численного моделирования двухфазных закрученных турбулентных течений в пневматических центробежных аппаратах
Обтекание одиночной сферы существенно отличается от движения облака частиц из-за наличия значительной турбулентности потока, создаваемой частицами. Турбулентность в следе за крупными частицами при Rep 30 изменяет картину течения, сбивает вихри и значительно уменьшает сопротивление. При низких числах Рейнольдса наличие турбулентности увеличивает диссипацию в следе и повышает сопротивление сферы.
При нестационарном движении частицы коэффициент сопротивления зависит от относительного ускорения. Измерения коэффициента сопротивления при неравномерном движении частицы связаны с дифференцированием эмпирических функций и не претендуют на высокую точность.
При резком изменении течения около частицы (например, при переходе частицы через скачок уплотнения) требуется некоторое время для того, чтобы пограничный слой, зона отрыва и след за частицей достигли квазистационарного состояния. Время перехода следа из одного состояния, в другое составляет . около 10" с, что, с одной стороны, на порядок больше времени перестройки пограничного слоя и зоны отрыва, а с другой, на несколько порядков меньше характерного времени движения частицы. Указанные обстоятельства позволяют не учитывать влияние нестационарности пограничного слоя и следа за частицей на коэффициент сопротивления.
Шероховатость поверхности частицы, когда она соизмерима или превосходит толщину пограничного слоя, вызывает местные, отрывы потока, которые являются одной из основных причин увеличения коэффициента сопротивления шероховатой сферы. Влияние поверхностной шероховатости оценить достаточно трудно вне зависимости от формы частицы (особенно это относится к мелким частицам). В данной работе частицы считаются гладкими, поэтому шероховатость не учитывается.
В стесненных условиях имеет значение взаимодействие частиц друг с другом и со стенками, ограничивающими течение. Особенности гидродинамического взаимодействия зависят от режима обтекания. При дозвуковых скоростях преобладает влияние вязкости (число Рейнольдса), проявляющееся через механизм отрыва. При сверхзвуковых скоростях становится существенным свойство сжимаемости (число Маха), что проявляется во взаимодействии скачков уплотнения между собой.
В условиях, типичных для многих технических, устройств, роль, гидродинамического взаимодействия между частицами невелика, и движение любой частицы происходит независимо от других. Усиление роли гидродинамического взаимодействия ожидается вблизи особенностей концентрации дисперсной фазы, например, в окрестности предельной траектории частиц, или в смеси достаточно крупных частиц вследствие турбулизации следа за такими частицами (при сверхкритических числах Рейнольдса).
Основные эффекты качественного характера, возникающие при обтекании отдельной частицы, сохраняются в потоках со взаимодействующими частицами.
При движении пары близко расположенных частиц сила, действующая на каждую частицу, отличается от стоксовой силы сопротивления. Формула Стокса для силы сопротивления справедлива, когда частица находится на достаточно большом расстоянии от границ течения. При движении частицы на расстоянии порядка нескольких ее радиусов от поверхности преграды следует учитывать эффект стенки.
Постановка условия прилипания для тангенциальной скорости жидкости на твердой границе приводит к искажению поля течения в окрестности частицы. Влияние стенки состоит в увеличении коэффициента сопротивления сферы по сравнению с ее обтеканием неограниченным потоком вязкой несжимаемой жидкости.
В связи с линейностью уравнений ползущего течения, сила сопротивления при движении частицы под углом к поверхности представляется в виде векторной суммы сил, появляющихся при движении частицы по нормали и параллельно границе.
Эффект стенки обычно учитывается при исследовании медленного движения частицы вблизи твердой поверхности на расстоянии от стенки, сравнимом с радиусом сферы. В случае высокоскоростных течений и достаточно больших числах Рейнольдса зона пристеночных эффектов оказывается слишком малой, чтобы учитывать введенные поправки.
В результате движения частицы по круговой; траектории (с постоянной или переменной скоростью) возникает центростремительное ускорение, которое обусловливает появление двух сил: центробежной силы и силы связанной с эффектом присоединенной массы в круговом движении (обе силы ориентированы по радиусу).
Движение вращающейся частицы приводит к вовлечению во вращательное движение слоев жидкости, непосредственно прилегающих к поверхности частицы. Движение жидкости, вызванное вращением частицы, складывается с поступательным движением потока: На той стороне частицы, где направление обтекания и вращения частицы совпадают (скорости складываются), давление является пониженным по сравнению с областью, где эти направления противоположны (скорости вычитаются). Вследствие появления переменного статического давления, возникает дополнительная сила, называемая силой Магнуса.
Уравнения Рейнольдса в биконической системе координат
В данной работе рассматривается воздушно- - центробежный классификатор, схема области сепарации которого изображена на рис. 2. Был рассмотрен упрощенный вариант схемы ВПК /88/, показанный на рис. 3. Также в работе рассматривалась рабочая зона биконического тарельчатого сепаратора /84-86/, представленная на рис. 4. На основе анализа полученных данных предложена новая геометрия зоны сепарации ВЦК, в которой произошла замена вращающихся дисков В - D на конусы с небольшим углом наклона относительно оси симметрии (рис 5).
На рис.2 представлена схема сепарационного элемента экспериментального стенда, в которой непосредственно происходит процесс разделения частиц. Воздушный поток поступает в аппарат (сечение А-А) с определённой угловой скоростью Q\ и аксиальной составляющей скорости U\, затем за счет перепада давления проходит рабочую зону аппарата, после чего покидает его (сечение Е-Е).
Вместе с несущей средой в это же сечение подается порошок, который под действием центробежной и аэродинамической сил, разделяется на крупную и мелкую фракции. Зона сепарации состоит из двух вращающихся дисков: верхнего и нижнего.
Радиус выходного сечения і?і=0.02 м, нижнего диска і?2=0.07 м, верхнего диска R3-O.H м, высота междискового пространства //=0.005 м. Стенки сепарационного элемента вращаются с угловой скоростью 10, значение которой варьируется в диапазоне 10 с-1 — 600 с-1. Вращающиеся элементы сепарационной зоны на рис. 2 отмечены штриховыми линиями.
За основные масштабы скорости и длины, характеризующие закрученное турбулентное течение между дисковыми элементами, целесообразно выбрать среднерасходную скорость щ =0/(2nR2H) и ЕІ
Схема рабочей камеры ВЦК с зоной сепарации в виде биконического элемента. расстояние между дисками, равное Н. Здесь О — расход несущей среды, определяемый из опыта. Другими наиболее существенными параметрами, влияющими на динамику закрученного течения, являются угловая скорость вращения сепарационного элемента QQ, и закрутка газа, создаваемая за счет тангенциальной подачи газа в центробежный аппарат, причём значение средней угловой скорости вблизи входного сечения в аппарат 1\ = щ IR оценивается также на основе опытных данных. Здесь иф — среднее значение окружной компоненты скорости, a R — текущий радиус на входе в исследуемую область (сечение А-А).
На рис.3 показана вторая схема сепарационной области воздушно — центробежного цилиндрического классификатора. Рабочая камера воздушно - центробежного классификатора представляет из себя зазор между двумя вращающимися дисковыми элементами Г2 и Г4 (рис.3). Воздушный или газовый поток подводится с периферией дисков Гі и движется через камеру к границе Г6. На входе в рабочую камеру подаётся закрученный турбулентный газовый поток, имеющий постоянную угловую скорость Qg. Дисковые элементы вращаются с постоянной угловой скоростью Clw вокруг оси Г3.
Тонкодисперсные частицы вместе с несущем потоком подаются в рабочую камеру под действием аэродинамических сил. В рабочей камере на частицы действуют в основном инерционные, центробежные, гравитационные и аэродинамические силы. Преобладание центробежной или аэродинамической силы позволяет частице попасть в крупный или мелкий продукт разделения.
На рис.4 показана третья рассматриваемая рабочая область в зазоре между двумя вращающимися конусами, являющимся рабочим элементом биконического тарельчатого центробежного сепаратора.
Под действием перепада давления жидкость поступает с периферии (граница Гі) в межтарельчатый зазор, образованный двумя конусами (границы Г2 и Гз) и выходит через границу Г4. Внешние и внутренние стенки конусов вращаются с заданной угловой скоростью Q.d. Будем считать, что величина угловой скорости вращения жидкости Q.g на входной границе Гі известна. Угол а представляет собой половинный угол раствора коаксиально расположенных вращающихся конусов.
На рис.5 показана предлагаемая новая зона сепарации ВЦК, которая представляет собой зазор между двумя вращающимися конусами. По аналогии с областью ВЦК, представленной на рис.2, воздушный поток поступает в аппарат через сечение А—А с угловой скоростью Q\ и аксиальной составляющей скорости U\, затем за счет перепада давления проходит рабочую зону аппарата в зазоре между конусами В - D, после чего покидает его через сечение Е-Е. Геометрические и режимные параметры, кроме непосредственно сепарационной зоны, остаются теми же что и для области ВЦК, показанной на рис.2. Вместе с потоком несущей среды подается тонкодисперсный порошок, который, попадая в сепарационную область между вращающимися конусами, под действием центробежной и аэродинамической сил разделяется на крупную и мелкую фракции. При этом преимущество данной геометрии перед областью сепарации, представленной на рис.2, заключается в том, что крупные частицы, не мешая мелкой фракции, концентрируются около внешней стенки, следуя вдоль которой затем попадают в крупный продукт. Мелкие же частицы свободно достигают выхода (граница Е-Е). Таким образом, предложенная геометрия сепарационной зоны позволяет уменьшить взаимодействие потоков твёрдой фазы, двигающихся в противоположных направлениях, что, несомненно, может повысить эффективность процесса разделения порошкового материала.
Экспоненциальная схема аппроксимации конвективно-диффузионных членов уравнения переноса
Основная трудность численного расчета поля скорости связана с неизвестным полем давления. Градиент давления составляет часть источника в уравнении количества движения, при этом нет явного уравнения для определения давления. При заданном поле давления решение уравнений количества движения не представляет особой сложности. Однако способ нахождения поля давления не очевиден. Связанные с нахождением давления трудности привели к возникновению методов, основанных на решении уравнений, получаемых при исключении давления из системы определяющих уравнений. Таким методом является подход с использованием вихря и функции тока. При таком подходе количество уравнений уменьшается, так как уравнение неразрывности при введении функции тока тождественно удовлетворяется. При этом в случае двухмерных задач исключение давления из двух уравнений количества движения путем перекрестного дифференцирования каждого уравнения приводит к уравнению переноса вихря. Вместе с введением функции тока для двухмерных течений этот метод является основой широко известного метода решения в переменных функция тока — вихрь.
Определим вихрь в цилиндрической системе координат следующим образом: dz дг Чтобы получить уравнение переноса вихря, продифференцируем уравнение (2.10) по z, а уравнение (2.12) по г, затем, вычтем из первого второе. Далее, используя уравнения неразрывности, получим уравнение переноса вихря в консервативном виде
Введём функцию тока F так, чтобы уравнение неразрывности выполнялось тождественно. Для этого выразим проекции скорости на координатные оси через функцию тока в виде Здесь At\=BAt является итерационным параметром, В - константа, значение которой выбирается для наиболее быстрой сходимости решения.
Последовательность операций для решения в переменных вихрь -функция тока будет следующей: На первом этапе решается уравнение (3.5) для нахождения функции тока. Затем по формулам (3.3) получаем значения проекций на оси ип и,. Далее, решается уравнение вихря (3.2). Последним шагом будет расчет остальных параметров течения мф, к, со из уравнений переноса (2.11), (2.65), (2.66). Затем происходит возврат к решению уравнения Пуассона для функции тока. Далее процесс повторяется до тех пор, пока не будет получено сходящееся решение. Уравнения (3.2), (3.5) вместе с уравнениями (2.11), (2.65), (2.66) образуют систему, описывающую турбулентное течение жидкости в цилиндрических координатах. Уравнения (3.2), (3.5), (2.11), (2.65), (2.66) решаются при помощи неявного метода переменных направлений (см. пункт 3.3), причём, для уравнений переноса конвективные и диффузионные члены записываются в разностной форме с использованием экспоненциальной схемы (см. пункт 3.4). Данный метод использовался для численного моделирования закрученного турбулентного течения однофазной жидкости в геометрической области, показанной на рис.3 /88/.
Помимо решения в переменных «вихрь - функция тока» широко используется метод решения в переменных «скорость - давление». Так как не существует функции тока для трехмерных течений, то пространственные задачи решаются, в подавляющем большинстве случаев, в переменных «скорость - давление». Для закрученных течений такой способ является более предпочтительным.
Как показывает анализ научной литературы /57, 64/, этот метод работает наиболее эффективно на разнесённой гибридной сетке, показанной на рис.6, на котором представлено расположение искомых функций для двумерного случая. Все искомые переменные определяются на своих сетках. Гибридная разностная сетка Решение системы уравнений переноса импульса и уравнения неразрывности в переменных «скорость-давление» проводилось методом физического расщепления по времени полей давления и скорости. Рассмотрим уравнение переноса импульса и уравнение неразрывности в векторном виде — + (V V)v-Dif(v) + Vp = 0; V-F = 0. (3.6) Пусть решение для временного слоя п известно и требуется определить решение на временном слое п+1. Используя промежуточное сеточное значение скорости V , уравнение (3.6) можно представить в виде Умножая скалярно соотношение (3.10) на градиент и учитывая зависимость (3.8), найдём уравнение Пуассона для поправки давления др ?/ ч V-F v (&р)=Чг- (ЗЛ1) Если для решения стационарной задачи воспользоваться методом установления, тогда уравнение (3.11) можно записать в нестационарном виде д(др) 9/ ч V-F ±El=v2{bph__. (3.12) Здесь выбор шага по времени At\ позволяет влиять на быстроту сходимости итерационного процесса. Из решения уравнения (3.9) находится промежуточная скорость, затем из уравнения (3.12) находится поправка к давлению Ьр и, в соответствии с (3.10), определяется вектор скорости на п+\ временном слое и давление pn+l —рп+ Ър.
Для системы уравнений Рейнольдса в биконической системе координат (2.61) - (2.64) решение в переменных «скорость - давление» примет вид:
На последнем этапе находятся остальные переменные щ, к, ю из решения уравнений (2.63), (2.70), (2.71). Затем происходит возврат к началу расчета. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет получено сходящееся решение. Необходимо отметить, что эффективность расчёта существенно повышается, если на одном временном шаге At уравнение Пуассона для поправки к давлению Ър решается дополнительно несколько раз. Количество необходимых итераций устанавливается опытным путём. Уравнения (3.13), (3.14), (3.16), (2.63), (2.70), (2.71) решаются при помощи неявного, обобщенного метода переменных направлений (см. пункт 3.3) с использованием экспоненциальной схемы (см. пункт 3.4).
Таким образом, метод решения уравнений Рейнольдса как в переменных функция тока - вихрь, так и в переменных скорость - давление может быть сведён к решению уравнений переноса.
Решение в переменных «скорость — давление» применялось при моделировании однофазных и двухфазных турбулентных течений в геометрических областях, представленных на рис.2, рис.4 и рис.5 /84-86, 89/.
Численные результаты моделирования двухфазных потоков
Анализ научной литературы по моделированию двухфазных потоков, состоящих из смеси газа и тонкодисперсных тяжёлых частиц, представленный в разделе 1.2 показал, что наиболее перспективным способом расчёта является так называемый траекторный метод. Как известно, применение классической модели взаимопроникающих континуумов наталкивается на трудности в случае множественной неоднозначности параметров твёрдой фазы в поле течения, связанной с пересечением траекторий частиц. При процессах разделения частиц, когда действие центробежной силы противоположно аэродинамической неоднозначность параметров существенно возрастает, особенно для граничного размера частиц, вероятность попадания которого как в мелкий, так и в крупный продукт разделения равна 50%. Эти трудности преодолеваются, если для описания дисперсной фазы использовать не эйлеровые, а лагранжевы переменные.
Движение дисперсной фазы моделируется совокупностью решений для у" фракций частиц с к точками старта. Уравнения, с помощью которого может быть определена траектория и скорость движения частицы, имеет вид Ц--Ч-. (4-і) 4 - Ti. (4-2) где г — радиус-вектор частицы, m — её масса, w — вектор её скорости и/— вектор сил, действующих на частицу. Соотношение (4.1) в проекциях на оси цилиндрической системы координат в конечных приращениях можно записать W7, wiir WJ\ rL = - K = lL = At. (4.3) Агк Г/А(РІ к В дальнейшем для простоты записи будем удерживать только индекс j, характеризующий некоторую достаточно узкую фракцию полидисперсного порошкового материала. Уравнения (4.1)-(4.2) представляют собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений, справедливых для любой фиксированной частицы, и требует постановки только начальных условий в момент времени /=0. При описании движения дисперсной фазы как континуума необходимо использовать закон сохранения массы для частиц, которой может служить для определения концентрации примеси (альтернативой этому служит метод осреднения концентрации по ячейкам эйлеворой сетки). На твёрдые, тяжёлые (истинная плотность частицы много больше истинной плотности газа) и тонкодисперсные частицы, находящиеся в сепарационной зоне пневматического центробежного аппарата, действуют в основном только инерционная, центробежная, аэродинамическая и гравитационная силы. Уравнения движения для у фракции частиц с учётом этих сил в цилиндрической системе координат и в безразмерной форме можно представить в виде: di г stk-7 dwl wjw u -wi . Ф _ r ф [ ф фе.;. (4.4) dx r stk-7 dwj =UZ-WJ j 1 dx stk-7 Fr "
Здесь при получении безразмерной формы уравнений в качестве масштабы скорости использовалась среднерасходное значение скорости несущего потока UQ И в качестве масштаба длины - расстояние между дисковыми элементами Н. Здесь также использованы обозначения где 5у - диаметр у -той фракции и рр — её истинная плотность, t — размерное время, v - кинематический коэффициент вязкости несущей среды и р — её плотность, g — ускорение свободного падения.
Аналогичные уравнения движения для j фракции частиц в биконической системе координат и в безразмерной форме можно представить в виде: cos а L = ч Y sin а л !—т- -с/ -\ ; dx г stk- Fr dWj WM WyJWj U -WJ . 2- = B_JLsina + x Ф cosa + _Ф _v_ j . (4j6) dx r r Stky dW{ (wjf U -Wi f Sin a &- = - v v cosa + —h T -ZJ + . dx r stk-7 Fr Здесь также в качестве масштабы скорости использовалась среднерасходное значение скорости несущего потока /0 и в качестве масштаба длины — расстояние между вращающимися конусами, которое обозначается такой же буквой Н. Остальные обозначения такие же, как и в соотношениях (4.5). Зная поле скорости несущей среды, и интегрируя уравнения (4.3)-(4.4) определяется траектория пробной частицы. Необходимо отметить, что при интегрировании уравнений (4.4) и (4.6) используется неявный итерационный метод решения, так как системы уравнений (4.4) и (4.6) являются жесткими для малых размеров частиц. Производная по времени расписывается со вторым порядком точности в соответствии с формулой fdWT+l = 3Wn+1-4Wn+Wn l \dx ) 2Ат Значения правых частей в системах уравнений (4.4) и (4.6) берутся на (п+1) временном слое. Кроме того, при расчёте траектории движения частицы, необходимо знать компоненты скорости газа в точке, где находится в данный момент частица. Для этого сначала определяется, в каком контрольном объёме находится частица и с помощью метода взвешенных площадей определяется значение составляющих скорости газа. Пусть U\ - Щ значения некоторой компоненты скорости в эйлеровой системе координат и пусть в этом контрольном объёме находится частица. Значение скорости этой компоненты скорости в местоположении частицы в соответствии с методом взвешенных площадей будет v _UXS]+U2S2+U7 S1)+UASA oj + 02 + 03 "4 где S\ - 5 4 - площади контрольного объёма, разделённые перпендикулярными линиями, проходящими через точку, где располагается частица в данный момент времени.
В результате, численного решения системы (4.4) или (4.6) определяются компоненты скорости частиц и, в соответствии с уравнением (4.3), находится траектория движения частиц. Достоверность расчётной процедуры проверялась изменением временного шага и сравнением с опытными данными.
В зависимости от преобладания центробежной или аэродинамической силы, определяется в какой продукт мелкий или крупный эта частица попадёт. Повторяя расчёты по всему фракциям и по всем точкам старта к, определяется процесс разделения порошка и может быть построена кривая разделения Тромпа и определена эффективность процесса разделения. Рассмотренный метод расчёта процесса разделения назовём детерминированным, так как для одной и той же частицы и с одного и того места старта частицы, она будет описывать всегда одну и ту же самую траекторию движения. Однако, как показывают опытные данные, такие расчёты обычно существенно завышают эффективность процесса разделения, так как не учитывают случайные факторы, которые могут изменить траекторию движения частицы.
