Содержание к диссертации
Введение
1. Обзор литературы и математическая модель 12
1.1. Теоретические и экспериментальные исследования течений в стоксовом режиме 13
1.2. Численное моделирование динамики дисперсных систем при малых числах Рейнольдса 15
1.3. Применение эффективных методов и высокопроизводительных вычислений для моделировании стоксовых течений 20
1.4. Изучение реологических свойств эмульсий 22
1.5. Математическая модель 27
2. Методы решения 31
2.1. Метод граничных элементов 31
2.2. Гранично-интегральная формулировка 32
2.3. Дискретизация поверхностей и вычисление геометрических характеристик 38
2.4. Вычисление граничных интегралов 41
2.4.1. Представление граничных интегралов в задаче о динамике капель эмульсии в неограниченной области 42
2.4.2. Представление граничных интегралов в задаче о периодическом течении вязкой жидкости в канале произвольной формы 45
2.5. Интегрирование по времени и стабилизация сетки 50
3. Алгоритмическое и аппаратное ускорение методов решения 53
3.1. Быстрый метод мультиполей 54
3.1.1. Основы быстрого метода мультиполей 55
3.1.2. Быстрый метод мультиполей для уравнений Стокса 61
3.2. Использование высокопроизводительных вычислительных систем 62
3.2.1. Разработка модуля умножения матрицы на вектор на графических процессорах 62
3.2.2. Реализация быстрого метода мультиполей на гетерогенных вычислительных системах 66
3.2.3. Исследование производительности модуля гетерогенного быстрого метода мультиполей 67
3.3. Разработка эффективного итерационного метода решения систе мы линейных алгебраических уравнений 72
4. Исследование динамики капель эмульсии в неограниченной области 79
4.1. Валидация результатов моделирования динамики деформируемых капель 79
4.2. Моделирование движения разбавленной эмульсии под действием сдвигового потока 85
4.3. Расчет реологических характеристик для различных типов эмульсий 93
4.3.1. Валидация метода определения реологических характеристик 95
4.3.2. Результаты расчетов для упорядоченной эмульсии 100
4.3.3. Результаты расчетов для полидисперсной эмульсии 105
5. Течение деформируемых капель эмульсии и вязкой жидкости в каналах различных форм 112
5.1. Результаты расчетов движения деформируемых капель в цилиндрическом канале. Сравнение с экспериментальными данными 112
5.2. Исследование образования вихрей при течении вязкой жидкости в канале переменного кругового сечения 120
5.3. Результаты моделирования движения деформируемых капель в канале переменного кругового сечения 131
Заключение 135
Литература
- Применение эффективных методов и высокопроизводительных вычислений для моделировании стоксовых течений
- Представление граничных интегралов в задаче о динамике капель эмульсии в неограниченной области
- Быстрый метод мультиполей для уравнений Стокса
- Расчет реологических характеристик для различных типов эмульсий
Применение эффективных методов и высокопроизводительных вычислений для моделировании стоксовых течений
Изучение особенностей и свойств смесей жидкостей капельной структуры под действием различных внешних сил продолжительное время вызывает интерес широкого круга исследователей. Первое аналитическое решение для течений Стокса около сферической капли, по-видимому, было получено Адамаром и Рыб-чинским [16]. Теоретическому изучению поведения жидких капель в сдвиговом потоке посвящено немало работ [19,26,27,114,115]. Тейлор в [114] впервые обсуждает деформацию и ориентацию в пространстве вязких капель в сдвиговом потоке с учетом соотношения вязкостей жидкостей, а также сил поверхностного натяжения. Рассматривалось влияние вязких сил при преобладании их над эффектами поверхностных сил и наоборот. Полученная модель была успешно сопоставлена с соответствующими экспериментальными данными для небольших деформаций [115], но не описывала деформацию капель в сдвиговом потоке когда оба этих эффекта принимаются во внимание в равной степени. Теоретический анализ в работе [27] представляет улучшенную, по сравнению с результатами Тейлора, аппроксимацию формы капли в стационарном сдвиговом потоке. В [26] получены аналитические формулы для определения формы и ориентации относительно потока жидких капель, применимые для различных вязкостей при небольших конечных деформациях. В [19] представлен теоретический способ предсказания деформации и условий разрыва капель, свободно распределенных в сдвиговом потоке.
Аналитическое решение для движения сферы в присутствии твердой стенки при малых числах Рейнольдса впервые было получено Лоренцом [70], использовавшим метод отражений. Описание некоторых ранних решений задач о движении жидкой сферы между параллельными пластинами и в других областях можно найти в [16]. Также существует ряд исследований динамики частиц в стоксовом режиме в присутствии одной или двух стенок, в которых представлены результаты при некоторых допущениях и ограничениях. Например, решения в биполярных координатах и асимптотические теории для случая движения твердых сфер вблизи бесконечной пластины и обтекания сферы сдвиговым потоком [38,39,85].
Наиболее естественным путем изучения поведения капель эмульсий является экспериментальный подход. Поэтому параллельно с развитием теории описания капель в различных потоках проводились лабораторные эксперименты, с которыми многие модели были успешно сопоставлены. В работе [96] изучалась деформация и дробление жидких капель под действием простого сдвигового потока. Исследование данных процессов проводилось экспериментально в [118]. При лабораторном изучении движения капель в различных ограниченных областях возникает немало интересных эффектов, которые требуют более глубокого изучения, как например миграция капель относительно осевой линии потока, деформация и разрушение капель. Миграция частиц при движении разбавленной суспензии в цилиндрическом канале при отсутствии влияния силы тяжести при малых числах Рейнольдса впервые была обнаружена в работах [104,105]. Экспериментально было показано, что частицы в потоке двигаются от стенок и осевой линии потока, стремятся занять стабильное положение на расстоянии 0.6-R от оси канала. Этот эффект Сегре-Зильберберга был подтвержден и изучен во многих последующих экспериментальных работах [53], моделировался численно для различных областей [25,36,80,81,130]. Причем, в стоксовом режиме миграция происходит за счет деформации капель, так как в случае сферических недеформируемых частиц этого явления не наблюдается. Например, в [28] показано, что направление миграции капель в смеси двух ньютоновских жидкостей при параболическом профиле скорости потока зависит от соотношения вязко-стей внутренней и внешней жидкостей . Установлено, что при 0.5 10 капля мигрирует к стенке, а при 0.5 и 10 движется к осевой линии канала. Ряд экспериментальных работ посвящен изучению деформации капель при движении в цилиндрических [54,83] и прямоугольных [103] каналах, соответствующий обзор литературы можно найти в [45]. В [54,83] проводится исследование формы деформированной капли, скорость капли относительно потока в зависимости от соотношений радиуса капель к радиусу канала, и капиллярного числа.
Движение жидкости в кавернах также представляет интерес для теоретических [75, 112] и экспериментальных [113] исследований. Одной из основных в этой области является работа [75], в которой образование бесконечной последовательности вихрей в углах клинообразных областей исследовано аналитически. Подобные эффекты были рассмотрены в [112] для пластины с прямоугольной каверной бесконечной глубины, а в [63] рассмотрено течение над пластиной с выступом нулевой толщины. В перечисленных работах изучена минимальная глубина при которой возникают отрывные течения, а также показано, что этот эффект возникает не на углу каверны, а на конечном расстоянии вдоль стенки каверны. Несмотря на то, что аналитические исследования предоставляют описание некоторых общих закономерностей, для изучения эффекта отрывного потока в более сложных областях, включая течение над каверной конечной глубины, приходится применять прямое численное моделирование.
В течение многих лет прогресс в изучении свойств эмульсий был обусловлен в основном лабораторными экспериментами. Однако стремительное развитие численных методов и вычислительных ресурсов сделало доступным исследование таких процессов с помощью компьютерного моделирования. Численное моделирование течений Стокса около частиц с помощью граничных интегральных уравнений было впервые осуществлено в 70-х годах XX века для случая твердых частиц [127] и пузырей [128]. Метод граничных элементов (МГЭ) хорошо применим для изучения движения капель с произвольной деформацией. МГЭ для течений в стоксовом режиме изложен в [89] и успешно применялся для расчета динамики и взаимодействия капель, пузырей и твердых частиц в дисперсных течениях [93, 94]. Некоторые результаты моделирования двумерной динамики систем “жидкость-жидкость” как в однородном сдвиговом потоке, так и вблизи пластины и в канале, представлены для относительно небольшого количества дисперсных частиц равного размера (12-50 капель) [31, 66, 130]. Существует ряд исследований, посвященных моделированию и расчету реоло-15 гических характеристик для упорядоченной эмульсии под действием сдвигового потока [33, 91, 102]. В статье [62] достаточно подробно представлены результаты трехмерного моделирования разбавленной эмульсии в сдвиговом потоке. Изучены деформация и угол наклона одной капли при различных соотношениях вязкостей капель и окружающей жидкости и капиллярных числах, а также проведены некоторые реологические исследования: рассчитывались эффективная вязкость и вклад от каждой отдельной капли в тензор эффективных напряжений эмульсии в целом. Проведено сравнение результатов с теорией малых деформаций и некоторыми экспериментальными данными. Проанализированы особенности течений внутри и снаружи капель, миграции капель в сдвиговом потоке вблизи стенки. В [69] гранично-интегральная формулировка применялась для более реалистичного трехмерного моделирования концентрированной неупорядоченной эмульсии в сдвиговом потоке. Здесь исследовалась деформация близко расположенных друг к другу капель, рассчитаны некоторые реологические характеристики и представлены результаты для различных концентраций эмульсий, составленных из 12 капель равного размера в периодической ячейке. Варьировались значения капиллярного числа и соотношения вязкостей. В [131] представлен улучшенный гранично-интегральный алгоритм для изучения трехмерной динамики деформируемых капель в сдвиговом потоке и под действием силы тяжести. В упомянутых работах можно найти достаточно подробный обзор литературы. Моделирование движения эмульсий в сдвиговом потоке и под действием силы тяжести с помощью МГЭ и исследование реологических свойств для концентрированных эмульсий проводилось в [133,134]. Здесь рассчитывался тензор эффективных напряжений всей системы “жидкость-жидкость” и эффективная вязкость, изучалось поведение этих параметров во времени и их зависимость от капиллярного числа. Рассматривалась периодическая ячейка, состоящая из некоторого количества 10 N 1200 одинаковых по размеру капель, при различных объемных концентрациях (до 55%). В работе [68] достаточно подробно исследовано движение двух близко расположенных капель в сдвиговом потоке в широком диапазоне соотношений вязкостей и капиллярных чисел
Представление граничных интегралов в задаче о динамике капель эмульсии в неограниченной области
В первую очередь для решения поставленных задач необходимо определить геометрию исследуемых объектов и их геометрические характеристики. Поверхность каждой капли и каналов аппроксимируется сеткой с треугольными элементами. Начальная сетка создается стандартными процедурами триангуляции поверхности, в которых особое внимание уделяется качеству сетки, необходимому для аккуратного вычисления поверхностных интегралов.
Триангуляцию связной трехмерной фигуры можно получить из триангуляции куба, так как топология фигур одинакова. Валентность вершин, полученных отображением углов куба на поверхность сферы, будет равна 4, что может дать большую ошибку при вычислении геометрических характеристик. Другой способ - описание поверхности сферы треугольниками Делоне, что дает сетку с валентностью узлов не менее 5. Тесты показали, что второй из них аппроксимирует поверхность более точно, и треугольники близки к равносторонним, что определяет качественную сетку. По этой причине при расчетах используется последний из перечисленных методов триангуляции поверхностей.
Триангуляция Делоне. Контрольная площадь при разбиении треугольников расчетной области медианами. Далее необходимо определить геометрические характеристики рассматриваемых поверхностей, такие как нормаль к поверхности в узлах сетки n(x), площадь части поверхности Si, относящуюся к i-ому узлу. Поверхность S представляется как объединение непресекающихся частей S-, где S( x.i) - площадь, соответствующая і-ому узлу
Существует несколько способов нахождения таких площадей: разбиение медианами, биссектрисами, серединными перпендикулярами или комбинированным методом. В представленных расчетах используется разбиение медианами.
При разбиении треугольников расчетной области медианами (рис. 2.1), вкладом от конкретного треугольника в і -ый узел будет третья часть площади 1-го треугольника Si. Суммирование производится по всем треугольникам Wi, в которые входит текущий узел.
Вершины многоугольника Вороного получаются на пересечении серединных перпендикуляров и могут использоваться на треугольных сетках Делоне, т.е. при отсутствии тупых углов в триангуляции (подробности см. в [74]).
Нормаль в узлах расчетной области вычисляется по формуле где п/ - нормаль к /-ой грани; Si(xi) - площадь вклада от 1-ого треугольника в г-ый узел. Нормали к граням находятся как векторное произведение двух векторов, направленных вдоль сторон треугольника.
На рисунке 2.2 показаны нормали в узлах сетки к поверхности сферической капли и нормали в центрах граней на цилиндрическом канале. Направление нормалей используемое во всех расчетах также изображено на рисунке 2.2.
Наиболее трудоемкой процедурой является вычисление средней кривизны поверхности капель в каждом узле сетки. Средняя кривизна вычислялась двумя методами: контурных интегралов и установления параболоида [131,132].
Метод контурных интегралов заключается в интегрировании по контуру TSi контрольной площади S, внешней нормали к контуру t, лежащей в касательной О
При сравнении значения кривизны, вычисленного методом контурных интегралов с аналитическим решением в эллипсоидальной системе координат для эллипсоида, получена относительная погрешность около 15% для узлов сетки N « 600 с валентностью больше 4-х, а в случае узлов с валентностью 4 погрешность возрастала, что является недопустимым и приводит к неустойчивости сетки при моделировании во времени. Более точным методом является метод установления параболоида, алгоритм которого описан в [131] и состоит в следующем
Сравнение значения кривизны, полученного с помощью аналитического выражения для эллипсоида, со значением, рассчитанным методом установления параболоида, на сетках Делоне показало достаточно хорошее соответствие результатов и относительная погрешность не превышала 3% для сетки с количеством узлов N = 642.
Вычисление граничных интегралов В данной работе при моделировании динамики капель методом граничных элементов, вне зависимости от рассматриваемой области, используется следующий подход для вычисления интегралов. Поверхность каждой капли или канала разбивается сеткой на М плоских треугольников (граней) NAj, j = 1,..., М c N вершинами (узлами) х;, і = 1,..., N, по которым строятся квадратурные формулы для вычисления поверхностных интегралов - узлы и веса квадратуры; F - произвольная рассматриваемая функция; Л (у, х) - ядро интеграла; JTO - вклад сингулярной части ядра. Далее применяются два метода коллокаций: в центрах граней Cj и в узлах сетки х;. В первом методе Wj определяются как площади соответствующих граней ASj, нормаль равна нормали к поверхности в центре грани, р = М в формуле (2.25). Во втором методе веса квадратуры для данного узла определяются как сумма вкладов от каждой грани, непосредственно связанной с рассматриваемой вершиной wt = \Y, ДЯ где I количество таких граней. Нормаль в данном слу-чае определяется осреднением нормалей в центрах граней, связанных с данной вершиной ntwt = \Y, А п, а р = N в формуле (2.25).
Представление граничных интегралов в задаче о динамике капель эмульсии в неограниченной области При вычислении поверхностных интегралов с ядрами (2.2) возникает необходимость вычисления сингулярных частей интегралов. Подход для исключения сингулярности, применяемый в случае моделирования динамики капель в неограниченной области (2.9), кратко описывается следующим образом. Пусть требуется вычислить интеграл вида
Быстрый метод мультиполей для уравнений Стокса
Кратко идею методов решения СЛАУ на основе проектирования на подпространства Крылова можно описать следующим образом. Пусть, необходимо решить систему Ах = b и заданы два подпространства Кто и LTO размерности т. Необходимо найти вектор хт - х0 Є Кт, который обеспечивает приближенное решение системы, удовлетворяющее условию Петрова-Галеркина b-Axm±Lm. (3.11) Вектор хо представляет собой произвольное начальное приближение к решению. Таким образом, сформулирована задача проектирования решения х на подпространство Кто ортогонально к подпространству LTO. В качестве Кто можно выбрать подпространство Крылова
Различные версии методов, основанных на проектировании на подпространство Крылова, возникают при выборе Lm. К одной из таких версий относится GMRES, причем 1т = Акт, 1т є Lm, кт є Кт. Более подробное описание может быть найдено в литературе [4,99]. Размер подпространства Крылова выбирается т п, где п - количество неизвестных в системе, и может быть ограничен размером доступной памяти и оптимальным временем выполнения решателя. Задается желаемая точность решения SQMRES.
Прохождение алгоритма от начала построения базисных векторов подпространства Крылова (пункт 3 алгоритма GMRES) до обновления начального приближения х0 (пункт 12) называется глобальной или внешней итерацией GMRES, а построение одного из т векторов w - (пункты 3-8) - локальной или внутренней итерацией.
При решении СЛАУ в случае моделирования динамики капель в неограниченной области используется обычная версия GMRES. Известно, что сходимость решателя можно достаточно эффективно ускорить за счет использования предо-буславливателя, но в данном случае системная матрица хорошо обусловлена и требуется всего 5-7 внутренних итераций для сходимости процесса с погрешностью є см RES = Ю 6. Количество итераций может меняться в зависимости от распределения капель в пространстве и их расположения относительно друг друга, но в среднем не превышает 10 для представленных в главе 4 расчетов. Здесь ускорение GMRES осуществляется с помощью замены прямого матрично-векторного произведения (пункт 4 в алгоритме GMRES) на FMM, что позволяет снизить вычислительную сложность с 0(N2) до O(N).
Несмотря на то, что гетерогенный FMM позволяет решать системы большого размера, при моделировании течения в канале существует проблема, связанная с плохой обусловленностью системной матрицы в сравнении с матрицей, возникающей в задаче о движении капель в неограниченной области. Для решения этой проблемы разработана flexible версия GMRES, которая отличается от стандартной версии использованием правого предобуславливателя. Одним из основных преимуществ fGMRES является возможность использования в качестве предобуславливателя нефиксированной матрицы, то есть она может меняться от шага к шагу.
Стоит отметить, что если бы матрица была фиксированной и не зависела от j, Mj = М, тогда этот алгоритм был бы эквивалентен стандартному алгоритму с правым предобуславливателем. При решении системы (3.13) также может быть использован другой итеративный процесс. В данной работе применяется стандартный GMRES пониженной точности SGMRES = Ю-1. Кроме того, для лучшего приближения к решению основной системы эффективнее всего выбирать матрицу Mj максимально приближенной к матрице исходной системы А. Для этого МВП при итеративном решении (3.13) было заменено на FMM пониженной точности, реализованный для матрицы А. Таким образом, матрица Mj приближается к А, к тому же погрешность этого приближения можно регулировать с помощью параметра усечения р. На каждой следующей итерации fGMRES матрица Mj при новом вызове FMM не будет совпадать с матрицей с предыдущей итерации, поэтому разработанный подход и относится к flexible версии итерационного решателя. Далее при умножении матрицы А на полученный для каждого j вектор Zj (пункт 4 алгоритма fGMRES) используется FMM с точностью выше, то есть параметр р имеет большее значение. Общая точность всего алгоритма задается высокой є/смRES ю-4-ю-6 в зависимости от задачи. Найденные вектора Zj хранятся в памяти и формируют матрицу ZTO размера пхт, которая обновляется на каждой глобальной итерации. Поскольку число т выбирается небольшим, то полученная матрица занимает небольшой объем памяти вычислительной системы. В итеративном решателе, используемом в процедуре предобуславливания решения, также выбирается размер подпространства Крылова, варьируя который можно настраивать необходимую точность и время нахождения векторов.
Тестирование реализованного решателя проведено для течения вязкой жидкости в цилиндрическом канале. На рисунке 3.11 показано изменение погрешности в зависимости от количества итераций для матрицы с количеством неизвест 10
Из графиков видно, что при применении стандартного GMRES (рис. 3.11 слева) количество итераций, необходимых для получения решения с заданной точностью QMRES = 10-6 приближается к количеству неизвестных в системе, что недопустимо для проведения эффективных расчетов. Решение той же системы с помощью разработанного fGMRES показало хорошую сходимость метода (рис. 3.11 справа), количество итераций было существенно сокращено -Ыцег = 14 и решение СЛАУ для такой задачи стало возможно за разумное время. В данном расчете использованы следующие параметры: размер подпространства Крылова для fGMRES т = 30, параметр усечения равен р = 8 в более точном FMM ир = 4в FMM, используемом в предобуславливателе.
Для быстрого выполнения модуля fGMRES необходимо тщательно подбирать оптимальные параметры для каждого конкретного случая. При необходимости можно варьировать точность решения СЛАУ, значение т, точность FMM как в предобуславливателе, так и во всем решателе в целом. На скорость сходимости также значительно влияет качество сетки на поверхности канала. В рамках данного исследования проведен ряд расчетов для исследования влияния вышеперечисленных параметров на получение решения СЛАУ. На рисунке 3.12 приведены графики сходимости fGMRES для различных размеров подпространства Крылова в основном цикле т = 10, т = 20, т = 30, т = 40, количество неизвестных в системе п « 60000. Количество итераций уменьшается при увеличении т, и минимальным оно становится при т = 40, но время выполнения каждой из них в этом случае значительно больше, чем при т = 30. Аналогичная ситуация возникает с точностью FMM и оптимальной является комбинация р = 4в циклах предобуславливателя и р = 8 в основных итерациях fGMRES, т = 30. С данными параметрами проведен ряд расчетов для различных размеров матриц от 13080 п 109260. Как видно из графиков, приведеных на рисунке 3.13, характер сходимости не зависит значительно от размера матрицы, но зависит от размера подпространства Крылова и точности FMM. Также можно заметить, что график сходимости имеет пологий участок при SQMRES 10-5. В некоторых случаях для расчетов вполне достаточно задавать точность решателя SGMRES = 10-4, чтобы сократить количество итераций без ущерба для качества получаемых решений. Грамотный подбор всех параметром в совокупности позволяет добиться минимального времени выполнения модуля решателя.
Таким образом, в разработанной версии fGMRES в глобальных итерациях используется FMM повышенной точности, а в итерациях предобуславливателя FMM пониженной точности. Впервые подобный подход был применен при решении уравнения Гельмгольца в работе [48], но при моделировании течений Стокса методом граничных элементов такой подход ранее не применялся.
Расчет реологических характеристик для различных типов эмульсий
Далее была осуществлена валидация разработанного подхода для моделирования периодического течения жидкости в канале. Проведено сопоставление результатов моделирования течения вязкой жидкости в цилиндрическом канале с аналитическим решением для течения под действием постоянного перепада давления по направлению оси Ox (течение Пуазейля [12]). В данном случае
Относительная погрешность для компонент скорости внутри канала в плоскости у = 0 для различного количества треугольных элементов на поверхности цилиндрического канала, N = ЛГд. найденные из первого уравнения в (2.1), используя для вычисления правой части численные значения f (х) и и(х), сравнивались с аналитическими решениями (5.1). Результаты сравнения приведены на рисунке 5.1, относительная погрешность для поля скорости внутри канала в норме Ь составила 1 — 2%, что вполне допустимо для МГЭ. Расчеты для сравнения проводились неускоренным МГЭ, который позволяет моделировать системы небольшого размера, в данном случае до ЛГд 10000 треугольных элементов сетки. На рисунке 5.2 представлены зависимости относительной погрешности для различных компонент скорости от количества узлов дискретизации на поверхности канала. Из графиков видно, что с увеличением числа треугольных элементов на поверхности, погрешность численного метода уменьшается.
Исследовалась динамика нескольких капель в цилиндрическом канале радиуса R с постоянным перепадом давления Ар на длине L. Результаты численного моделирования представлены для безразмерного времени t = tnondim = = ltdm/{jna), где масштабом расстояния служит а = атт радиус самой маленькой капли. Динамика капель в канале характеризуется несколькими безразмерными параметрами: отношением радиуса капель к радиусу канала, a/R; отношениями вязкостей внутренней и внешней жидкостей, Л; безразмерным параметром Р = Ra poo I /7, I Poo = Ap/L.
На рисунке 5.3 представлены капли равного начального радиуса а С R в нижней части цилиндрического канала в начальный момент времени и в момент t = 2. Вследствие небольшого количества капель и их малого размера при 114
Периодическое течение капель эмульсии различного начального радиуса в цилиндрическом канале в плоскости у = 0, Л = 1.5, Р = 1.4, t = 2. сутствие капель изменяет профиль течения внешней жидкости вдали от капель незначительно. Можно видеть, что спустя некоторое время капли распределялись согласно параболическому профилю, соответственно течению Пуазейля. Угол наклона и деформация каждой капли соответствовали локальному капиллярному числу Са, которое определяется для течения в цилиндрическом канале как и в случае неограниченной области С а = fnaG/-f, но со скоростью сдвига определяемой следующим образом G = 2z0 poo /мь z0 - расстояние от центра капли до оси цилиндра.
Интерес также представляет деформация капель радиуса, сравнимого с радиусом канала, здесь можно наблюдать влияние близко расположенных стенок канала на изменение формы капли. На рисунке 5.4 изображены капли различного начального радиуса в периодическом потоке в цилиндрическом канале. Через некоторое время изначально сферические капли деформировались, причем на изменение формы значительно влияет размер капель и их положение относительно центральной оси канала. Качественно капли малого размера вели себя аналогично малым каплям, рассмотренным в предыдущем случае. В то же время крупные капли деформировались по-другому, что объясняется существенным изменением скорости сдвига на расстояниях меньших, чем размер капли. В рассматриваемом примере цилиндрический канал покрывался сеткой с NA = 2920 треугольными элементами, дискретизация капель выбиралась в зависимости от радиуса (N = 642 для более крупных капель и N = 162 для капель небольшого размера).
Адекватность разработанного подхода также подтверждена проведенным сравнением с данными нескольких экспериментов. В работе [54] представлены результаты исследования движения деформируемых капель радиуса сравнимого с радиусом цилиндрического канала в случаях капель вязкой ньютоновской жидкости и капель вязкоэластичной жидкости, взвешенных в объеме вязкой жидкости с одинаковыми плотностями. В статье [83] также опубликованы данные аналогичной экспериментальной работы для варианта смеси двух ньютоновских жидкостей. В перечисленных работах рассматривались следующие параметры, определяющие процесс в случае двух вязких жидкостей: отношение радиуса капли к радиусу канала, a/R; отношение вязкостей внутренней и внешней жидкостей, А; число Рейнольдса, Re; параметр, характеризующий степень деформируемости капель при малых числах Рейнольдса, отражающий влияние вязких сил по сравнению с силами поверхностного натяжения, = fiiUch/j, где Uch = poo I i?7(8/il) средняя по сечению скорость течения вязкой жидкости в цилиндрическом канале.
Для проведения сопоставления расчетов с данными из [54] среди нескольких экспериментальных вариантов смеси двух ньютоновских жидкостей (капли силиконового масла в разбавленном водой глицерине) выбраны случаи с физическими параметрами из таблицы 5.2, соответствующие безразмерным параметрам, указанным в первых четырех строках таблицы 5.1, а безразмерные пара 116
При проведении численных экспериментов поверхность канала покрывалась сеткой с N Channel 11000, а капли N = 2562. Моделирование проводилось до достижения каплями своей стабильной деформированной формы. На рисунках 5.5, 5.6 представлены результаты сравнения формы капель. При наложении рассчитанного контура капель на экспериментальные изображения из соответствующих статей, наблюдается достаточно хорошее качественное согласование во всех рассматриваемых случаях.
Кроме сравнения формы капель можно также сопоставить их относительную скорость в потоке. В [51] авторы, используя метод отражений, получили формулу для определения относительной скорости капли в течении Пуазейля, которая верна в случае небольших a/R для капель, расположенных на осевой линии канала и имеющих ту же плотность, что и несущая жидкость
