Содержание к диссертации
Введение
1 Обзор литературы и математические модели динамики пузырьков в режимах Стокса и потенциального течения 12
1.1 Теоретические и экспериментальные исследования динамики пузырьков в различных режимах 12
1.1.1 Динамика пузырька вблизи твердой поверхности . 14
1.1.2 Взаимодействие двух пузырьков 15
1.1.3 Колебания объема и поверхности пузырька 17
1.1.4 Самодвижение пузырька 19
1.1.5 Динамика пузырька, контактирующего с твердой поверхностью 20
1.2 Применение метода граничных элементов для исследования различных режимов динамики пузырьков 22
1.2.1 Течение Стокса 23
1.2.2 Потенциальное течение 24
1.3 Эффективные алгоритмы и высокопроизводительные вычисления для увеличения масштаба задачи и ускорения расчетов . 25
1.4 Математическое описание динамики пузырьков в различных приближениях 27
1.4.1 Течение Стокса 27
1.4.2 Потенциальное течение 30
2 Метод граничных элементов 32
2.1 Гранично-интегральная формулировка 32
2.1.1 Течение Стокса 32
2.1.2 Потенциальное течение 37
2.2 Аппроксимация и расчет геометрических характеристик по верхности 37
2.2.1 Дискретизация поверхности 37
2.2.2 Геометрические характеристики 40
2.3 Дискретный аналог гранично-интегральных уравнений 43
2.3.1 Течение Стокса 44
2.3.2 Потенциальное течение 47
2.4 Сингулярные интегралы 49
2.4.1 Метод вычитания сингулярности 49
2.4.2 Течение Стокса 52
2.4.3 Потенциальное течение 56
2.5 Интегрирование по времени 58
2.5.1 Методы интегрирования и условия устойчивости . 58
2.5.2 Касательная составляющая скорости для потенциального течения 59
2.6 Стабилизация сетки 61
2.6.1 Поправка на касательную составляющую скорости для течения Стокса 61
2.6.2 Поправка на касательную составляющую скорости для потенциального течения 61
2.6.3 Параметрический сферический фильтр 62
2.6.4 Тестирование сферического фильтра 65
3 Ускоренный метод граничных элементов 66
3.1 Итерационный решатель GMRES 66
3.2 Быстрый метод мультиполей 67
3.2.1 Основы быстрого метода мультиполей 67
3.2.2 Быстрый метод мультиполей для уравнения Лапласа . 72
3.2.3 Быстрый метод мультиполей для уравнений Стокса . 76
3.3 Реализация быстрого метода мультиполей на гетерогенных вычислительных системах 77
3.4 Тестирование модуля гетерогенного быстрого метода мультипо-лей 79
3.5 Применение быстрого метода мультиполей в методе граничных элементов 85
3
4 Динамика пузырьков в режиме Стокса 88
4.1 Динамика одиночного сферического пузырька в акустическом поле 88
4.2 Взаимодействие двух пузырьков в акустическом поле 92
4.3 Динамика пузырькового кластера 95
4.4 Свободные колебания несферического пузырька 97
4.5 Динамика пузырька вблизи твердой поверхности 100
4.6 Динамика пузырька, контактирующего с гидрофобной поверхностью 103
4.7 Безразмерные параметры 106
5 Динамика пузырьков в режиме потенциального течения 107
5.1 Динамика одиночного сферического пузырька 107
5.2 Взаимодействие двух пузырьков в акустическом поле 110
5.3 Взаимодействие трех пузырьков в акустическом поле 116
5.4 Динамика пузырькового кластера 119
5.5 Свободные колебания поверхностных мод пузырька 122
5.6 Самодвижение пузырька 126
5.7 Обмен энергией между объемной и поверхностными модами пузырька 131
5.8 Возбуждение поверхностных мод пузырька акустическим полем 135
5.9 Динамика пузырька, контактирующего с гидрофобной поверхностью 137
5.10 Динамика пузырька, контактирующего с гидрофильной поверхностью 138
5.11 Безразмерные параметры 141
Заключение 143
Литература
- Колебания объема и поверхности пузырька
- Аппроксимация и расчет геометрических характеристик по верхности
- Основы быстрого метода мультиполей
- Динамика пузырькового кластера
Колебания объема и поверхности пузырька
Описанию коллективного поведения пузырьков в акустических полях посвящен ряд работ [46, 47, 105, 106, 112, 113, 131, 132, 139, 159, 167, 173, 174], включая теоретические и экспериментальные исследования по самоорганизации пузырьков, проводимых в Центре «Микро- и наномасштабная динамика дисперсных систем» [112, 113]. Эти работы показывают, что эффекты самоорганизации существенно зависят от силы вязкого сопротивления, действующих на пузырьки со стороны жидкости. Рассматриваемые силы также имеют большое значение при исследовании всплывающих пузырьков в вязкой жидкости [15,16]. Таким образом, необходимо более детальное рассмотрение динамики пузырьков в акустических полях, включая методы прямого численного моделирования пузырьков произвольной формы.
Ранняя работа [60] относится к исследованию сферически симметричного роста и коллапса одиночного пузырька, где радиальное поле скорости получается в результате интегрирования уравнения неразрывности. В [190] получено решение для кавитационных сферических пузырьков в неограниченной области. Данная теория продемонстрировала, что коллапс сферически-симметричных пузырьков генерирует экстремально высокое давление. Для произвольных чисел Рейнольдса при радиальных осцилляциях сферического пузырька в вязкой несжимаемой жидкости существует точное решение, которое может быть найдено из уравнений Рэлея-Плессета [177]. В рамках сферически-симметричной модели можно одновременно учесть различные эффекты (сжимаемость, вязкость, инерция, диффузия, температура), что практически невозможно при прямом численном моделировании динамики пузырьков. Так, уравнение Рэлея-Плессета [177] использовалось для исследования направленной диффузии на динамику одиночного сферически-симметричного пузырька в акустическом поле [48,211].
Пузырьки теряют сферическую форму при взаимодействии друг с другом, возбуждении поверхностных мод и в присутствии твердой стенки. Рассмотрим некоторые работы, в которых исследованы данные типы задач.
Динамика пузырька вблизи твердой поверхности Пузырьки вблизи твердой стенки теряют свою сферическую форму [71, 138, 140]. Экспериментальные исследования взаимодействия пузырьков с твердой пластиной, расположенной на различных расстояниях, показаны в [58,122,133,141,145,168,196,204,210]. Существенный интерес также представляет изучение динамики пузырьков вблизи твердой границы различной геометрии [205,206], свободной поверхности [70,81,170], между свободной поверхностью и пластиной [103], вблизи упругой границы [78,129], упругой мембраны [197,209] и различных композитных материалов [200,207]. Для проведения экспериментов использовались высокоскоростная камера и различные методы для генерации пузырьков в жидкости [58,71,141].
Для исследования динамики несферических пузырьков вблизи твердой границы существуют различные аналитические подходы. Один из методов заключается в поиске решения через разложение по сферическим гармоникам, где соответствующие коэффициенты являются функцией от времени и удовлетворяют нелинейному дифференциальному уравнению [199]. Первый член в разложении — это решение Релея [190], в то время как остальные члены представляют из себя поверхностные моды высокого порядка. Данный подход хорошо описывает ранние стадии образования струи в результате колебаний пузырька вблизи твердой поверхности. Однако, исследование развития струи затрудняется в связи с необходимостью увеличения числа членов в разложении. Альтернативный подход основан на асимптотическом разложении по малому параметру є [82] е= = (1.1) где d — расстояние от центра пузырька до твердой стенки, атах — максимальный радиус пузырька. Первый член в разложении, как и в первом подходе, является решением Релея [190], в то время как остальные члены высокого порядка описывают несферическую форму пузырька. Однако, этот метод не применим для случая є = 1, который представляет существенный интерес.
Таким образом, подобные аналитические подходы не позволяют исследовать большие деформации пузырьков, для изучения которых приходится применять численные методы.
Взаимодействие двух пузырьков Взаимодействие между двумя газовыми пузырьками в акустическом поле хорошо известное явление, открытое Бьеркнесом (Bjerknes [68]). Сила, которая действует на пузырек со стороны «первичного» (внешнего) акустического поля, называется первичной силой Бьеркнеса, а сила между двумя пузырьками, действующая со стороны «вторичного» акустического поля, — вторичной силой Бьеркнеса [87]. После открытия Бьеркнеса [68], многие авторы [7,8,20,21,34,49,69,85-87,89,133,137,143,158,170] начали исследовать эти силы экспериментально и теоретически, и в течении последних несколько лет был достигнут существенный прогресс в развитии теории. Силы Бьеркнеса при колебаниях пузырьков в сильных акустических полях [137,143] исследованы в работах [49,85,158]. Однако в этих статьях рассматривались гармонически осциллирующие сферические пузырьки, расположенные на значительном расстоянии друг от друга при амплитуде давления акустического поля значительно ниже атмосферного давления.
В работе [177] показано, что если частота акустического поля лежит между двумя резонансными частотами пузырьков, то пузырьки будут отталкиваться друг от друга, в противном случае притягиваться. Заболотская [20,21] на основе линейной теории исследовала колебания двух пузырьков, включая случай, когда пузырьки расположены близко друг другу. Показано, что при сближении пузырьков их резонансные частоты изменяются, что приводит к фазовому сдвигу между осцилляциями пузырьков и может изменить знак силы взаимодействия. В работе [89] показано, что характер взаимодействия пузырьков на расстоянии, соизмеримым с их размером, может существенно отличаться от теории Бьеркнеса [68], которая верна только для пузырьков, взаимодействующих на значительном расстоянии друг от друга.
Нелинейные осцилляции двух взаимодействующих пузырьков исследовались в работе [170]. Предполагалось, что расстояние между центрами пузырьков достаточно большое и пузырьки остаются сферическими в процессе колебаний. Рассматривались пузырьки радиусом порядка 100 мкм в несжимаемой жидкости с частотой акустического поля сравнимой с линейной резонансной частотой пузырьков и амплитудой, не превышающей половины атмосферного давления. Для такой относительно маленькой амплитуды давления нелинейность колебаний проявляется слабо. Показано, что проявление нелинейных эффектов может изменить знак силы взаимодействия, который будет отличаться от линейной теории [20, 21, 89]. Например, пузырьки могут отталкиваться друг от друга при частоте акустического поля ниже их линейных резонансных частот. Такая особенность может быть объяснена, если рассмотреть первый нелинейных резонанс, где уравнения, описывающие колебания пузырьков, содержат компоненту с удвоенной частотой акустического поля. Этот случай аналогичен воздействию двухчастотного акустического поля, частота которого ниже маленьких пузырьков и выше резонансной частоты больших. В работе [8] предлагается математическая модель, в которой использовали разложения высокого порядка точности.
Изучение взаимодействия двух несферических пузырьков в несжимаемой жидкости под действием акустического поля представлено в работе [175], где показано, что когда частота акустического поля лежит в интервале резонансных частот пузырьков, они отталкиваются друг от друга. Значения частот объемных мод зависят от расстояния между пузырьками. Когда пузырьки приближаются друг к другу знак силы взаимодействия может измениться. В работе [7] предлагается математическая модель взаимодействия двух газовых пузырьков в вязкой сжимаемой жидкости с учетом малых деформаций поверхности пузырьков. Данная модель представляет собой систему обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно радиусов пузырьков, координат их центров и амплитуд отклонений формы поверхности пузырьков от сферической.
Аппроксимация и расчет геометрических характеристик по верхности
В п. 1.1.2 рассмотрен обзор экспериментальных и теоретических исследований при 1 (1.1), когда пузырек находится на некотором расстоянии от стенки. Однако, изучение динамики пузырька, расположенного на поверхно сти (є 1), охватывает множество прикладных задач (очистка поверхностей, приложение в медицине).
Интерес к исследованию динамики пузырька, контактирующего с твердой поверхностью, возможно начался с работы [133], в которой обнаружено, что под действием акустического поля, помимо радиальных осцилляций, возбуждаются также поверхностные колебания пузырька. Показано, что при постоянной амплитуде и частоте звуковой волны количество впадин и возвышенностей на поверхности пузырька увеличивается с ростом его радиуса. В [64] выявлено, что возмущения поверхности могут существенно увеличить массоперенос. Крам [88] обнаружил, что в периодически осциллирующих пузырьках миллиметрового размера возникают струи, направленные в сторону поверхности. Однако, для формирования струи в пузырьке в форме сферической шапки требуется значительно больше периодов колебаний [88] по сравнению с пузырьками, расположенными на некотором расстоянии от стенки [58,145,168,196,204,210].
Экспериментальное изучение поверхностных и объемных колебаний пузырька на поверхности с равновесным контактным углом вс = 60 при растущей амплитуде действующего акустического поля представлено в работе [183]. Исследованы три режима динамики пузырька: радиальные осцилляции пузырька с возбуждением второй моды; неожиданный скачок и возбуждение всех поверхностных мод; хаотические осцилляции поверхности. Частота акустического поля приблизительно равнялась частоте свободных колебаний объемной моды сферической шапки, которая в 1.25 раз меньше собственной частоты сферического пузырька того же объема [154].
Важным фактором при исследовании динамики пузырька на поверхности является характер движения контактной линии. Много работ [53,151,152,214] посвящено изучению продольных вибраций капли в форме сферической шапки на поверхности субстрата в случае закрепленной и движущейся с различной скоростью контактной линией. Динамика контактной линии осциллирующего пузырька исследовалась экспериментально [224] и теоретически [201]. В [224] показано, что сильные возмущения пузырька могут привести к его распаду на маленькие пузырьки. Shklyaev и др. [201] исследовали собственные и вынужденные колебания слабо сжимаемого пузырька в форме полусферы, где динамика контактной линии описывалась условием Хокинга [118]. Явление резонанса проявляется наиболее резко для случаев с закрепленной контактной линией или с фиксированным контактным углом. При резонансе 1-2 обнаружен неограниченный рост амплитуды объемных и поверхностных колебаний. В [155,156] исследовалась суперпозиция радиальных осцилляций и трансляционного движения пузырька и было обнаружено, что перемещаясь по поверхности, пузырек оставляет за собой след. Это эффект может иметь практическое значение при очистке и эрозии поверхности [172,176, 192,215]. Современные экспериментальные исследования в этой области представлены в работах [100,134,161]. Изучением динамики кластера пузырьков, расположенного на стеклянной подложке или алюминиевой фольге, занимались Krefting и др. [134], которые обнаружили, что проявление полезного (очистка поверхности) или вредного (эрозия поверхности) эффектов сильно зависит от структуры пузырькового кластера и его динамики. В [100, 161] представлены различные механизмы очистки твердой поверхности от инородных частиц: дрейф пузырька, динамика контактной линии, поверхностные и объемные осцилляции.
1.2 Применение метода граничных элементов для исследования различных режимов динамики пузырьков
Представленный выше обзор показывает, что основными методами исследования несферических пузырьков до определенного времени были экспериментальные и аналитические (или полуаналитические). Однако, теоретические подходы имеют множество ограничений, поэтому для более детального исследования динамики несферических пузырьков наиболее актуальным является применение численных методов, которые появились в 70-х годах прошлого столетия.
Решение представленных задач может быть получено методом граничных элементов (МГЭ) [55,75, 80,180], который заключается в переходе от уравнений в частных производных, описывающих поведение неизвестной функции внутри и на границе области, к интегральному уравнению, связывающему только граничные значения, и поиске численного решения этого уравнения. Далее значения искомой функции в произвольных точках расчетной области можно определить из интегрального уравнения, используя найденные решения на границе. Таким образом, МГЭ достаточно привлекателен для моделирования, так как эффективная размерность задачи уменьшается на единицу.
Метод граничных элементов для cтоксовых течений [35,116] представлен в [180] и успешно применялся для исследования динамики капель [127,147,185, 187,220–223] и пузырьков [146,163,178,179,181,182,186,191] при различных граничных условиях.
Надо отметить, что моделирование динамики пузырьков при малых числах Рейнольдса стандартным МГЭ, в отличие от динамики капель [2, 4, 5, 43, 44, 123], приводит к некоторым сложностям в формулировке из-за вырожденности получаемой алгебраической системы для уравнений Стокса. Такой проблемы не возникает при исследовании несжимаемого пузырька установившейся формы [186, 188, 191]. Richardson [191] вывел точное решение в двумерном случае, описывающее стоксовое течение в неограниченной области при сдвиге или чистом растяжении, которое формируется за пузырьком с установившейся деформацией, а также представил аналитическое соотношение между давлением в пузырьке и в жидкости на бесконечности. В работе [163] рассчитана установившаяся форма осесимметричного пузырька в застойной зоне осесим-метричного потока на основе гранично-интегрального представления. Однако, когда форма пузырька меняется, скорость движения границы пузырька определяется неоднозначно. В работе [178] для исследования динамики осесим-метричных несжимаемых пузырьков внешний поток рассматривался в форме стоксового потенциала простого слоя с неизвестной интенсивностью и с учетом условия сохранения объема пузырька. В случае сжимаемых пузырьков к течению в форме стоксового потенциала простого слоя добавляется скорость, создаваемая точечным источником, расположенным в центре пузырька. Эта скорость линейно зависит от неизвестной интенсивности потенциала простого слоя. Этот подход был расширен на случай применения МГЭ при исследовании движения пузырьков произвольной формы вблизи твердой стенки [179].
В работе [181] определялось давление внутри пузырька с учетом изменения его объема под действием окружающей жидкости в режиме Стокса для двумерного случая. Скорость и давление на свободной поверхности вы числялись, используя стандартный МГЭ с добавлением условия на скорость изменения объема пузырька, что обеспечивало однозначное решение. Возникающие гиперсингулярные интегралы оценивались аналитически. В случае аналогичной и более реалистичной задачи для трехмерного случая появляются аналитические и вычислительные сложности в оценке гиперсингулярных интегралов. Для решения этой проблемы в [182] предложен подход, основанный на применении принципа взаимности Лоренца. Новый метод заключался в том, что одно из уравнений в расчетной системе заменяется на условие для давления, следующее из тождества Лоренца.
Динамика пузырьков при малых числах Рейнольдса описывается уравнениями Стокса, в которых пренебрегается инерцией (обзор литературы представлен в 1.2.1), при больших числах Рейнольдса используется модель для потенциальных течений, в которой пренебрегается вязкостью жидкости [?, 61, 71,73, 74,79, 80,83, 84,104, 142,153, 165, 166,170, 171, 184,194, 218,219].
Основы МГЭ для потенциальных течений можно найти в обзоре [80]. МГЭ для исследования двумерной динамики одиночного пузырька вблизи твердой стенки и свободной поверхности успешно применялся в [13, 14, 61, 71, 73, 74, 170], где также представлены результаты сравнения с экспериментальными данными. В работах исследованы процесс образования, распространения, а также взаимодействия с твердой стенкой и свободной поверхностью, струи для различных значений параметра (1.1). Двумерный МГЭ также использовался для исследования взаимодействия поверхностных и объемной мод пузырька в случае резонанса 1-1 и 1-2 [165, 166], где в части 1 [165] рассматривались свободные, а в части 2 [166] вынужденные колебания слабо и сильно деформированного пузырька. Расчеты, полученные МГЭ, для больших амплитуд возмущения поверхности пузырька и различного значения параметра расстройки, определяющего степень отклонения резонансной частоты поверхностной моды от собственной частоты объемной моды, отличаются от результатов, предсказанных теорией малых деформаций [95, 96] и анализом уравнения Рэлея-Плессета [177].
Основы быстрого метода мультиполей
Боксы могут содержать как источники, так и приемники или вообще оставаться пустыми, тогда они не рассматриваются. Таким образом, FMM применим на любых сетках, в том числе на неструктурированных, поскольку не зависит от распределения расчетных узлов. Кубы с источниками образуют свою иерархию (слева на рис. 3.1 (б)), кубы с приемниками - свою (справа на рис. 3.1 (б))). Также формируется структура данных, определяющая на каждом уровне какому кубу принадлежат расчетные точки, соседние кубы, родительские кубы и т.д. Алгоритм состоит из трех основных шагов (рис. 3.3):
1. Восхождение (Upward Pass) от уровня lmax до 2: оценка всех источников, содержащихся в боксах на уровне lmax, в центрах своих боксов и вычисление коэффициентов S-разложений относительно них (рис. 3.3 (а)); перевод полученных коэффициентов с уровня lmax до уровня 2 с помощью SS трансляций (рис. 3.3 (б)).
2. Нисхождение (Downward Pass) с уровня l = 2 до lmax: SR трансляция из боксов, которые являются соседними для родительского бокса, S-разложений в коэффициенты R-разложений (рис. 3.3 (в)); RR трансляция коэффициентов ближних разложений от родительских боксов с предыдущего уровня (рис. 3.3 (г)) и суммирование с коэффициентами, полученными с помощью SR. у s- — — к // N\ N : Этапы алгоритма FMM: восхождение (а, б), нисхождение (в, г), финальное суммирование (д, е). Размерность пространства d = 2, lmax = 3
3. Финальное суммирование (Final Summation) на уровне lmax: оценка R-разложения для каждого бокса с приемниками (рис. 3.3 (д)) и суммирование с вкладом от источников из соседних боксов, вычисленного напрямую (рис. 3.3 (е)). Таким образом, FMM используется при вычислении МВП для матриц специального вида, элементы которых находятся через ядра. В основе FMM лежит иерархическая структура данных, математическая теория разложения и трансляции функций. Более детальное описание FMM можно найти в литературе [19,107].
Быстрый метод мультиполей для уравнения Лапласа
При реализации FMM для уравнения Лапласа использовались формулы из [109]. Ниже приведены некоторые формулы и подходы, которые использовались для оптимизации FMM. Рассмотрим S-разложение функции Грина для уравнения Лапласа
Здесь (r, 6 , if) - сферические координаты рассматриваемой точки г = (ж, у, z), Yvm - ортонормированные сферические гармоники. В общем случае коэффициенты и базис б -разложения, определяемые (3.6), являются комплексными функциями. Однако удобней работать с реальными коэффициентами. Кроме того, в этом случае для хранения коэффициентов используется в два раза меньше памяти. С этой целью выведена рекуррентная формула для нахож дения реальных коэффициентов R б -разложения и формула перехода из реального базиса R в комплексный Щ R = i m(R-iR-m\, R m = Гт (R + iR mY m = 0,l,... (3.8) Для компактного хранения комплексных или реальных коэффициентов S-разложения используется уникальный индекс, который определяется как
Из формулы (3.9) видно, что для каждого непустого бокса хранится р2 коэффициентов. Используя формулу перехода (3.8), можно перейти от реальных коэффициентов, вычисленных по рекуррентной формуле (3.7), к половине комплексных коэффициентов. В этом случае размер необходимой памяти не изменится, а информация о всех реальных коэффициентах будет лежать в комплексном представлении. Тогда достаточно рассмотреть разложение (3.5) только
В этом случае для компактного хранения половины комплексных коэффициентов б -разложения используется уникальный индекс, который определяется как Переход от компактного хранения полного набора комплексных коэффициентов С к хранению только половины этих коэффициентов С осуществляется по формуле где для оператора (5 5) j = (3 , 7 = ДТ при прямом и обратном вращении; для оператора (S\ R) 7 = AT , In = fin при прямом вращении, и 7 = а , 7Г = "п при обратном; для оператора (R\R) 7 = , In = а при прямом и обратном вращении. Здесь коэффициенты и /3 опреде ляются как
Таким образом, реализация FMM для уравнения Лапласа оптимизирована за счет работы только с половиной комплексных коэффициентов. Этот подход отличается от методов оптимизации, предложенных в [109]. FMM в МГЭ (2.21)-(2.23) используется для расчета произведений ядра Лапласа G(y, х) (монополь) на нормальную производную потенциала скорости дф/дп и нормальной производной ядра Лапласа 9G(y,x)/ 9n(x) = VxG(y, х) п (диполь с моментом п) на потенциал скорости ф. Тогда потенциал фьаріасе суммарного ядра можно представить как сумму монополей c интенсивностью / = дф/дп и диполей с интенсивностью g = ф и моментом п
Следовательно, вычисление интегралов в (2.22) сводится к суммированию монополей и диполей уравнения Лапласа. Когда необходимо вычислить первый интеграл в (2.22) интенсивность / = дф/дп, в то время как g = 0. Когда необходимо вычислить второй интеграл в (2.22) интенсивность / = 0, в то время как g = ф. Основываясь на этой декомпозиции для решения уравнения Лапласа, используются уже готовые компоненты FMM для трехмерного уравнения Лапласа [111].
Реализация быстрого метода мультиполей на гетерогенных вычислительных системах Для ускорения FMM используются графические процессоры (GPU). Реализация FMM на GPU была предложена в статье [111]. Подробный анализ алгоритма [120] показал, что более эффективно он может быть реализован на гетерогенных вычислительных архитектурах, состоящих из многоядерных центральных процессоров (CPU) и графических процессоров. Особенность FMM состоит в следующей декомпозиции расчетной матрицы А из СЛАУ (2.32)
А = Asparse + Adense, (3.24) где Asparse — разреженная матрица, учитывающая ближнее взаимодействие источников и приемников; Adense — плотная матрица, учитывающая их дальнее взаимодействие. МВП AsparseX вычисляется напрямую, а произведение AdenseX вычисляется через оценку разложений и операторов трансляций. Алгоритм FMM, реализованный на гетерогенных вычислительных системах представлен на рис. 3.4. В [111] показано, что в связи с особенностями архитектуры графических процессоров МВП AsparseX может быть реализовано достаточно эффективно на GPU с ускорением до 100 раз в сравнении с одним ядром CPU, в то же время реализация AdenseX наиболее эффективна на CPU с использованием OpenMP. Возможность рассчитывать на GPU взаимодействие большого числа частиц позволяет снижать глубину иерархического дерева структуры данных, что обеспечивает дополнительное ускорение алгоритма.
Динамика пузырькового кластера
Изучалась динамика нескольких пузырьков с начальным гауссовым распределением по пространству и по радиусам от amin = 1 мкм до атах = 1.5 мкм. На рис. 4.10 представлена динамика 14 пузырьков в акустическом поле. Под действием акустического поля пузырьки изменяют свой объем и наибольших размеров достигают в момент времени t = 0.25Т, наименьших — в момент времени t = 0.75Т. Суммарное изменение объема кластера пузырьков хорошо согласуется с суммой изменения объема отдельных пузырьков, рассчитанного для каждого одиночного пузырька того же радиуса в неограниченной области (рис. 4.11).
Исследовалась динамика пузырькового кластера, содержащего М = 9240 пузырьков, с начальным гауссовым распределением пузырьков по радиусам и по пространству. На рис. 4.12 изображены фрагменты расчетной области (-7;7)3 динамики пузырькового кластера с объемным содержанием а = 1.2 % в различные моменты времени. Поверхность каждого пузырька дискретизи-ровалась сеткой с NA = 162 вершинами. Таким образом, общее количество расчетных узлов составило N = М х ЛГД = 1496880, количество неизвестных SN = 4490640, а число уравнений в системе SN + М = 4499880. В сток-совом режиме пузырьки влияют друг на друга незначительно и изменение объема пузырькового кластера (рис. 4.13) хорошо согласуется с результатами, полученными для одного (рис. 4.3), двух (рис. 4.6) и четырнадцати (рис. 4.11) пузырьков. Общее время счета данного процесса для 500 шагов по време 3.5
Графики изменения амплитуды поверхностной моды при различных возмущениях Ар показаны на рис. 4.15. Из рисунков видно, что амплитуда возмущения поверхности затухает и пузырек становится сферическим. Чем меньше амплитуда возмущений, тем быстрей пузырек достигает своего стационарного состояния. 1.5 0.5 -0.5
На рис. 4.16 представлена динамика формы пузырька с начальным возмущением Ар = 0.1 нескольких секториальных мод (п = 2,..., 5). В этом случае также наблюдается затухание возбужденных поверхностных мод, причем моды более высокого порядка затухают быстрей (рис. 4.17). После затухания 1.5 0.5 -0.5 секториальных мод п = 2, 3, 4, 5. Аp = 0.1, а0 = 1 мкм, /І = 0.01 Па-c, 7 = 0.05 н/м. всех поверхностных мод пузырек приобретает сферическую форму и достигает своего стационарного объема. 4.5 Динамика пузырька вблизи твердой поверхности
Исследовалась динамика пузырька, находящегося от твердой стенки на расстоянии d, где d — расстояние от центра пузырька до пластины. Динамика радиуса пузырька в присутствии стенки хорошо согласуется с результатами, полученными для неограниченной области (п. 4.5). На рис. 4.18 представлены результаты сравнения. С увеличением дискретизации поверхности пузырька Щ и пластины Nw численная кривая наиболее близка к решению задачи Коши (4.2) и относительная погрешность не превышает 3%.
Поскольку в постановке МГЭ (п. 2.3.1) для течений Стокса поверхность твердой стенки присутствует явно и представляет из себя прямоугольный параллелепипед, при решении СЛАУ (2.32) рассчитывается напряжение (вектор напряжений f), действующее на пластину со стороны создаваемых гидродинамических потоков. На рис. 4.19 и 4.20 показаны компоненты тензора напряжений во время расширения t = 0.2Т (рис. 4.19) и сжатия пузырька t = 0.4Т (рис. 4.20), находящегося на расстоянии d = 2 2о от стенки.
Максимальные значения касательных (a) и нормальной (б) составляющих тензора напряжений в зависимости от расстояния до пластины. Ра = 100 кПа, и/(2тг) = 200 кГц, а0 = 1 мкм, /І = 0.01 Па-c, 7 = 0.05 н/м, d = 2а0. изменяется в зависимости от направления гидродинамического потока. Нормальное напряжение направлено вниз при расширении пузырька и направлено вверх при сжатии. На рис. 4.22 показано, как изменяется максимальное напряжение в зависимости от расстояния до пластины для различных частот акустического поля. Чем дальше пузырек находится от стенки, тем абсолютные значения касательного и нормального напряжения меньше. Из рис. 4.22 видно, что кривая максимальных напряжений, соответствующая большей частоте лежит выше. Таким образом, частота акустического поля также влияет на напряжение, действующее на пластину. Отметим, что при расстоянии d атах, где атах — максимальный радиус пузырька, пузырек будет деформироваться и отталкиваться от пластины при уменьшении давления акустического поля, и притягивается при увеличении, поскольку поведение пузырька вблизи стенки под действием акустического поля аналогично динамики двух одинаковых пузырьков в акустическом поле (п. 4.2).
Динамика пузырька, контактирующего с гидрофобной поверхностью Исследовалась динамика пузырька, расположенного на гидрофобном стекле, в глицерине. В данном случае лапласовский контактный угол вь, соответствующий равновесному состоянию пузырька на поверхности, равен 96. Скорость движения контактной линии vc определяется как где nc - нормаль к контактной линии; Єс - контактный угол в данный момент времени; — коэффициент трения; то — время релаксации контактного угла. и го соотносятся как то = /Д, где Д) = 27/ао — лапласовское давление. Чем больше время релаксации, тем быстрей изменяется угол вс (рис. 4.26). При го = оо скорость движения контактной линии vc = 0, что соответствует случаю с закрепленной контактной линией.
На рис. 4.23 представлена динамика пузырька с закрепленной контактной линией. Изменение объема пузырька при различной дискретизации поверхности показано на рис. 4.25 (а). Из рисунков видно, что пузырек расширяется и сжимается согласно действующему акустического полю. Максимального объема пузырек достигает в момент времени t = 0.25Т, минимального в момент времени t = 0.75Т. Динамика пузырька и его объема с движущейся контактной линией для т0 = 0.02 мкс представлена на рис. 4.24 и 4.25 (б) соответственно. Из рис. 4.26 видно, что от времени релаксации зависит характер поведения контактного угла. Для больших то контактная линия будет двигаться очень медленно и контактный угол вс уменьшается при расширении пузырька и увеличивается при сжатии. Однако при достаточно маленьких то угол сохраняется за счет движения контактной линии.
