Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Изменение гидродинамического сопротивления шара, приводимого в движение электромагнитными силами, создаваемыми внутренним источником индукционного типа 19
1.1. Распределение электромагнитных полей в жидкости. 19
1.2. Распределение электромагнитных сил в жидкости 23
1.3. Результаты расчетов течения при числах Рейнольдса Re 1000 26
1.4. Стоксовый анализ 30
Глава II. Гидродинамическое сопротивление шара, содержащего источник электромагнитных полей кондукционного типа .. 35
2.1. Кондукционный источник электромагнитных полей 35
2.2. Представление течения в виде суммы основного осесимметричного и малой трехмерной добавки 37
2.3. Результаты расчетов в осесимметричном приближении 4-І
2.4. Трехмерные добавки к основному осесимметричному полю скоростей 4-8
Глава III. Методы расчета мгд-обтекания твердого шара несжимаемой вязкой жидкостью 52
3.1. Краткий обзор известных методов 52
3.2. О расчетах обтекания при 300 55
3.3. Метод расчета обтекания шара несжимаемой жидкостью 62
3.4. Метод расчета безотрывного МГД-обтекания шара несжимаемой вязкой жидкостью при 70
3.5. О возможности применения параболизованного уравнения Навье-Стокса для расчетов безотрывного МГД-обтекания шара при больших Re 81
3.6. Метод расчета трехмерной гармоники течения около шара с кондукционным источником 84
Заключение 90
Литература
- Распределение электромагнитных сил в жидкости
- Представление течения в виде суммы основного осесимметричного и малой трехмерной добавки
- Метод расчета обтекания шара несжимаемой жидкостью
- Метод расчета трехмерной гармоники течения около шара с кондукционным источником
Распределение электромагнитных сил в жидкости
Исследование картины обтекания сводится к решению уравнений гидродинамики с объемными силами, ротор которых определен в (I.I2). Наличие осциллирующего члена Л(г,0Д) в роторе сил приводит к тому, что на стационарную картину течения будет накладываться малая (при условии (1.4)) добавка. Действительно, отношение масштаба осциллирующей компоненты завихренности к масштабу ее стационарной составляющей определяется отношением двух характерных времен: периода 1/ колебаний Л (Ї;6Д) и времени пребывания жидкой частицы в поле сил Q/и. Это от ношение равно U0/fl&) и на основании (1.4) существенно меньше единицы. Поскольку амплитуды осциллирующей части скорости течения малы, то тем более малы рейнольдсовы напряжения, и их влиянием на усредненное по времени поле скоростей и давлений не учитывается. В этом случае система уравнений (I.I8) эквивалентна уравнениям
Для безразмерной функции тока (ґ В) и завихренности W0s@). Здесь Re=2QU /у- число Рейнольдса; параметр определен в оператор По найденно-су полю скоростей распределение давления Р восстанавливается из уравнения движения
Метод решения системы уравнений (I.I9) будет описан в 3.2 главы Ш. Погрешности, обусловленные ошибками аппроксимации и близостью положения внешней границы расчетной области, оценивались из сравнения получаемых при отсутствии электромагнитных полей результатов с данными работы [58]. Расчеты проводились на конечно-разностной сетке с Д/ = 70, А/2 =50, внешняя граница была расположена при mqK = ег = 7,39. Оказалось, что ошибка в величине W на поверхности шара при Re = 100 меньше 1%, ошибка в коэффициенте сопротивления трения составляла 0,5$, а ошибка в коэффициенте сопротивления давления составила 1,8$. Для уменьшения ошибок аппроксимации при Re = 300 внешняя граница расчетной области была прибли - 28 жена до є = 4,5 при этом величина шага сетки была уменьшена и ошибка в величине суммарного сопротивления Cj составила 1,3$ в сравнении с [58]. Расчеты сначала были проведены при Re =50, 100, 200 и 300. После создания программы, позволяющей проводить расчеты при больших числах Рейнольд-са [52], см. 3.3, был сделан расчет при Re = 1000.
На рис. 1.2. приведены распределения давления (сплошные линии) и завихренности (штриховые линии) по поверхности шара при Re = 200 для значений ІЇ = 0,2 и 4 (кривые І -Ї- 3 соответственно). Аналогичные зависимости для Re = 300 представлены на рис. 1.3 (кривые 1 3 соответствуют значениям Н = 0,1 и 1.75). На рис. 1.4 приведены зависимости p(8)vivj(6) для Re = 1000 (кривые I и 2 соответствуют А/ = 0 и 0,95). Видно, что наличие ЭОС слабо сказывается на параметрах потока вблизи лобовой точки шара и оказывает наибольшее влияние в кормовой зоне. При увеличении /V точка отрыва отодвигается назад и исчезает, а давление в кормовой зоне увеличивается, что приводит к уменьшению сопротивления давления. Завихренность W на поверхности шара при увеличении Н растет, увеличивая сопротивление трения. На рис. 1.5 приведены зависимости коэффициентов сопротивления трения С, (штриховые линии), сопротивления давления Ср (штрихпунктирные линии) и суммарного коэффициента сопротивления С\=Ср+0. (сплошные линии) от параметра Н . Цифрами 1-4 отмечены кривые, относящиеся соответственно к Re = 100, 200, 300 и 1000. Видно, что при Re = 100 Cj растет с увеличением /V наиболее быстро.
Представление течения в виде суммы основного осесимметричного и малой трехмерной добавки
Рассматривается шар радиуса Х с внутренним источником электромагнитных полей, находящийся в потоке проводящей несжимаемой вязкой жидкости. Скорость потока на бесконечности U , плотность, кинематическая вязкость и проводимость жидкости У ,У, О соответственно. Внутренний источник состоит из магнитной системы и системы идеально секционированных электродов, создающих в жидкости периодические по оС распределения магнитного и электрического полей и связанное с этими полями распределение объемных сил [51,53]. Сферические координаты вводятся аналогично тому, как это было сделано в главе I, угол отсчитывается от направления, противоположного М. -о Магнитные поля в жидкости в безындукционном приближении где Re - магнитное число Рейнольдса, зависит только от магнитной системы и однозначно определяется заданием его Г" -компоненты на поверхности шара. Пусть где т- аналог числа пар полюсов магнитной системы, функция п(в) характеризует распределение Н по поверхности шара. Примем, что h(6)j — \ ; следовательно, f-L определяет масштаб магнитного поля в системе. Безразмерное магнит - 36 ное поле в жидкости описывается скалярным потенциалом, удовлетворяющим уравнению Лапласа и граничным условиям: Решение (2.2), (2.3) имеет вид: где коэффициенты определяются из первого граничного условия (2.3). Возможность описания магнитного поля с помощью скалярного потенциала jt(r,Q,X) обусловлена принятым приближением Re М. На поверхности идеально секционированных электродов с помощью внутреннего источника задается безразмерный потенциал
Предположение о возможности разложения течения жидкости на основное осеснмметричное и трехмерную малую добавку. Предположим, что гидродинамическая картина обтекания осесимметрична, то есть ?=vr(r,e)e ve(r,e)e0 9 =rotf=W(r,G)e . (2.8)
Тогда электрический потенциал f , удовлетворяющий уравнению (2.7), граничному условию (2.5) и условию имеет решение ,6 )= ( 6) sin тйС, (2#9) л. где у ( 0) определяется из решения уравнения Из (2.4), (2.9) получаем следующее распределение /г и // в жидкости: Учитывая (2.8), получим следующее распределение электрических токов:
Необходимо сделать следующее уточнение. При ПОЛЯХ E,Hj Ц, задаваемых (2.8), (2.II), силовое поле ?=Т їТ/с, вообще говоря, неооесимметрично. Оно содержит дополнительную трехмерную добавку, зависящую от о( , то есть может быть представлено в виде: (2.13) члены, содержащие высшие гармоники по углу С . - 39 Компоненты сил имеют вид: Вблизи поверхности шара при Г I из (2.14) и (2.15) получаем:
Из сказанного выше следует, что искомое поле скоростей также можно представить в виде суммы где V Cr;6jdL) =0 ,а угловые скобки означают результат усреднения по углу d ), причем первый член суммы V (f, 0) описывающий интересующую нас осесимметричную составляющую поля скоростей, описывается уравнениями содержащими осесимметричную составляющую силового поля У и дополнительные (рейнольдсовы) напряжения, обусловленные пространственной добавкой в поле скоростей.
Так как решение задачи в полной трехмерной постановке в настоящее время наталкивается на почти непреодолимые технические трудности (трехмерность при наличии больших градиентов искомых величин), имеется необходимость ограничиться исследованием осесимметричной части течения, игнорируя в уравнении движения упомянутые рейнольдсовы напряжения. В допустимости последнего шага косвенно убеждаемся с помощью вычислений компонент 5" (после решения каждого варианта) и сравнения их с силовым полем 3" » участвующим в формировании осесимметричного поля скоростей. Вычисления показы вают, что в исследованных вариантах компоненты пренебрежимо малы и их можно не принимать во внимание. Что касается $-а , то хотя ее максимальное значение (имеющее и место непосредственно на поверхности шара в точке 0=7t/2) со всего в 2.5-3.0 раза меньше максимальной величины И в затухает у гораздо быстрее как по радиусу, так и по мере удаления от угла 6=ЗГ/2. Поэтому можно ожидать, что трехмерные добавки в поле скоростей значительно слабее осесиммет-ричных составляющих. Следовательно, обусловленные ими рейнольдсовы напряжения малы по сравнению с членом (у V) V в уравнении движения и их отбрасывание не приводит к заметной ошибке в описании осесимметричной части течения. Именно это обстоятельство и подразумевается, когда здесь говорится о предположении (2.8). В дальнейшем были проведены прямые расчеты малой трехмерной добавки к полю течения, подтвердившие справедливость такого рассмотрения (2.4). Результаты расчетов, сделанных в осесимметричном приближении
Итак, в предположении (2.8) задача сводится к совместному решению уравнения (2.10) и уравнений гидродинамики в переменных функция тока у - завихренность \д/ [50,55]
Подробности использования численных методов будут описаны в главе Ш. Вычисления проводились для функции Ь(6)-5Іпв и / (в), определяемой соотношением (2.6), при которых максимальное силовое поле создается вблизи плоскости в - І1 . Число Реинольдса менялось от 100 до 3000, параметр де. = 1,2 и 1,6, а число YYi принимало значения 4 и 10.
При различных N вычислялись распределения ( , U/, У7 и распределение безразмерных объемных сил в жидкости, а также распределение давления по поверхности шара. На основе этих данных определялись коэффициенты гидродинамического сопротив Гееуд ря«ЕВ" ]
Результаты вычислений при Д/= Л/ сведены в таблицу 2.1. Для сравнения приведены также полученные в работе значения коэффициента сопротивления С при классическом обтекании и экспериментальные значения из [59]. Из приведенных в таблице данных видно, что почти во всех случаях С,(/]/)имеет значения, составляющие всего.несколько процентов от суммарного коэффициента сопротивления Cj (А/ ) , в то время как при классическом обтекании относительный вес сопротивления давления в общем сопротивлении меняется от 0,46 при fie =100 до 0,57 при Ife = 400 58] и, очевидно, до еще больших
Метод расчета обтекания шара несжимаемой жидкостью
Именно с вычислением производной от завихренности по нормали к твердой поверхности Эй)/д связаны трудности получения числовых значений Ср7 С . в то время как уже на относительно грубой конечно-разностной сетке можно получить картины обтекания шара (изолинии Ц ) несжимаемой вязкой жидкостью близкие к правильным, для вычисления р(б) , Ср и Q требуется уже достаточно мелкая сетка. О трудностях в вычислении Ъб)/ъ упоминается в f72]. В этой работе для построения интерполяционного полинома использовалось 3-5 точек, при этом для некоторых эллипсоидов получился разброс в величинах Ср 20%.
Обсудим результаты расчетов обтекания шара при /\1=0 и Re = 100, т.е. в отсутствии электромагнитных полей [50].
На рис. 3.1 приведены зависимости вычисляемых значений от числа узлов сетки ҐІ/ , используемых для построения интерполяционного полинома. Точки условно соединены отрезками прямой линии. Во всех этих методических расчетах /ty = 80, /1 = 60. В первом расчете (линия I) были использованы граничные условия (3.3) и (3.5), 2"тах= 2,5, Л?-==0,03125. Видно, что использование менее 6 точек недостаточно, а при И 30 коэффициенты в интерполяционном полиноме уже столь велики, что ошибки начинают быстро расти. Значения Ср , полученные при П, =10 30 колеблются между числами 0,5185 и 0,5285, поэтому можно считать, что Ср = 0,5235 - 0,0050, то есть получили значение коэффициента сопротивления давления с неопределенностью примерно 1%. Эта средняя величина Ср = 0,5235 отличается от результатов расчетов [58] Ср - 0,507 на 3%. Полный коэффициент сопротивления Су = 1,115 і 0,005. Время расчета на ЭВМ БЭСМ-6 составило 27 минут. Во втором расчете была приближена внешняя граница расчетной области: та) = 2, поэтому шаг сетки Д2 уменьшился до 0,025, что привело к уменьшению до 0,13% величины осцилляции Ср (линия 2), Ср = 0,5390 ± 0,0007, Cj. =0,6025, С, = 1,1415 і 0,0007. Более близкое положение внешней границы привело к большему отклонению от результатов [58]. В третьем расчете (линия 3 на рис. 3.1) были использованы условия (3.3) и (3.6), ZmQX = 2. В этом варианте Ср = 0,5117 ± 0,0007, Ct = 0,5854, Cj = 1,0970 ± 0,0007, отклонение Ср и С от результаоов [58] - 1%. Полученное значение Q = 1,097 отличается от экспериментального (59jC,= 1,07 на 2,5%. Отметим, что столь близкие к [58,59] результаты при относительно близком положении внешней границы расчетной области KmQx =2 (1 , QX = 7,39) удалось получить благодаря применению "мягкого" граничного условия (3.6) для у . Время расчета в этом варианте составило 61 минуту. В четвертом расчете были применены граничные условия (3.4) и (3.5), 2max = 2. Поскольку в этом расчете (линия 4 рис. 3.1) 6JQ участвовало в решении, &(о/%% находилось с помощью интерполяции, а не экстраполяции, как в первых 3 расчетах. Разброс в Ср очень мал: Ср = 0,54349 -0,00004, С = 0,60263, Cj = 1,1461. Значения Ср , Cj. ,С, немного отличаются от результатов второго расчета, так как при том же положении внешней границы были использованы другие граничные условия для ЛЗ на твердой поверхности шара. Время расчета 49 минут. Как видно по линии 4 на рис. 3.1, для 6 И 35 значения Ср очень близки. В пятом расчете (линия 5) при тех же граничных условиях, какие были в четвертом расчете, удалена внешняя граница mQX = 2,5 ( rmax =12,18). В этом варианте Ср = 0,5236 ± 0,0005, С± = 0,5914, Q = = 1,1150 - 0,0005, т.е. такие же, как в первом расчете. Однако применение граничных условий (3.4) привело к уменьшению на порядок неопределенности в восстанавливаемом по полю Со распределению рС) и величинах Ср , С, . Время расчета 23 минуты.
На рис. 3.2. приведены зависимости Со(в) (кривая I) и р(6) (кривая 2) для этого расчета, так же черными кружочками даны соответствующие значения СО и р из [58].
При уменьшении числа узлов Hi и при увеличении числа Рейнольдса Re неопределенность в величинах р(0) и Ср » вычисляемых из полученного поля завихренности Со , возрастает. Видимо это обстоятельство явилось причиной того, что в [62] не дано числового значения ср и Cj , вычисленных для Re = 1000 на относительно грубой конечно-разностной сетке hl{ = 60, Нг = 30, dz = 0,05, лв = 6. В [62] величины Сі приведены лишь на рисунке, сделанном в логарифмическом масштабе.
Из проделанных расчетов были сделаны следующие выводы:
1. Использование традиционных граничных условий (3.4) для 63 на твердой поверхности в задачах обтекания тел пред почтительно по сравнению с условиями (3.3), так как примене ние (3.3) не привело к ускорению сходимости метода в данной задаче, в то же время (3.4) позволяет точнее восстанавливать распределение давления р($) по поверхности шара и вычислять Ср и С
2. На внешней границе расчетной области желательно использовать "мягкие" граничные условия [62, 63].
3. При вычислении Э&/ЗН и р(0) использование небольшого числа точек может привести к неверным результатам. Близость значений Ср , полученных при разных ц , служит кроме того дополнительным критерием достижения установления в процессе получения численного решения.
Метод расчета трехмерной гармоники течения около шара с кондукционным источником
На рис. 3.14 приведены распределения силы jr (кривая I) и j- (кривая 2) по поверхности шара при Re. = 3000. Видно, что при больших в силы быстро уменьшаются и при 6 172 они практически равны нулю. В то же время, именно действие этих сил предотвращает отрыв при достаточно больших JSf . По этой причине при относительно небольших J\J = 0,44 -f I, когда отрыва уже нет, но значения завихренности СО на поверхности шара при больших 9 малы, сходимость метода хуже, чем при распределении сил на рис. 3.9. Для достижения установления в этом случае следует придерживаться такой последовательности: начинать расчеты нужно при небольших ЛГ (на пример, Re = 3000, Л/= I, / = 80, УІ = 60, ЛІ = I0"s), через несколько десятков шагов по t , когда значения завихренности СО при Q Т/2 практически стационировались, а при Q%% величины СО испытывают небольшие осцилляции, нужно увеличить Л і , При этом амплитуда осцилляции уменьшается, например, при jy = I и Л і = 10 значения СО на поверхности шара стационировалось по крайней мере в первых четырех знаках своей величины (на АЦПУ выдавалось 4 значащих цифры). Попытки же считать сразу с ДЪ = 10 приводили к АВОСТам (при силах -$е , - таких, как на рис. 3.14). Не удалось также получить сходимость при уменьшении Л до 30. Интересно отметить, что Ср , С г и Сі ИЗ табл. 3.8 хорошо соответствуют линейным зависимостям от V . Это позволило получить их значения при Уу= /[/„= 0,418 (табл. 2.1) из данных табл. 3.8. Значения Ср , С с и С. при V = 0,418 очень близки к значениям при У = 0,44. На рис. 3.15 приведены распределения СО (в) (кривая I) и рСв) (кривая 2) для N =0,44.
Таким образом, описанный метод позволяет получить количественные результаты при I03 /fe 10 , когда другие известные методы уже не работают.
Как уже было отмечено, при значении параметра гидромагнитного взаимодействия f\f больше некоторой величины исследуемые течения около шара становятся безотрывными. Значения 60 на поверхности шара достигают при этом значительной величины почти при всех углах в - Перепишем уравнения (3.13), используя введенные в (3.14) обозначения:
Сравнив величины J) G и JL (7 при Г= і , получаемые в расчетах, установим, что почти при всех 0 2LG » 2ХЧ , т.е. диффузия завихренности по б мала. Выбросив OLLG из уравнения (3.17), получим параболизованное [75,54] уравнение: Решать (3.18) будем так, как решали первое уравнение (3.15), только в этом случае вычисление СО происходит пол л ностыо неявным способом, а расчеты у и if , как ж раньше; будут производиться методом релаксации.
Этим методом было сделано несколько расчетов при Re = 3000 и параметрах источника таких, как в табл. 3.8. Результаты расчетов приведены в таблице 3.9. При Д/ =1 метод сходился без осцилляции даже при //, =30, когда в 3.4 установления получить не удалось. Сравнение результатов расчетов в строках 3,4,5 таблицы 3.9 позволяет считать, что ошибки в Со и Ci , связанные с ошибками аппроксимации производных по Q не превышают 0,012 на сетке с M = 80, jV = 60 при hi = 0,44. А ошибки, связанные с аппроксимацией производных по И меньше 0,003, так что суммарные ошибки 0,015, что также существенно меньше величины характерных изменений в Ср , Cr , Cj , связанных с действием электромагнитных сил. То, что абсолютные величины ошибок оказались больше, чем при Re = 10 , обусловлено двумя причинами: во-первых, в расчетных табл. 3.9 применена менее сгущенная сетка, чем в расчетах табл. 3.7; во-вторых, абсолютные величины ошибок в 6J и Ъсо/ f ПРИ Г = I растут медленнее, чем Re . В целом, метод в котором использовалось параболизован-ное уравнение (3.18) сходился лучше, чем описанный в 3.4 метод решения полного уравнения. При V = 0,44 при Q 7С также наблюдались осцилляции со , их амплитуду удалось уменьшать и получать установление с помощью уменьшения A t . На рис. 3.16 показана зависимость ы от t , начальный участок расчета здесь не приведен. Кривая I дает зависмость (СО - 55) при Q = 36, кривая 2-4) при 6 = 174. В точке А шаг был уменьшен от 0,003 до 0,001, а в точке 8 до 10 4. Амплитуда осцилляции (О при Q = 174 была мала относительно максимального значения max = 73,66 (при Q =66) уже и при ДІ = 0,003. На рис. 3.17 кривая I дает распределение со (0) , соответствующее данным в строке 4 табл. 4 табл. 3.9, а кривая 2 - зависимость &(о(8)= СО (параболизованное уравнение) - 63 (полное уравнение Навье-Отокса). Значения СО для полного уравнения взяты из третьей строки табл. 3.8.
