Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Исследование корректности двумерной не стационарной задачи для уравнений свободной конвекции с вязкостью, зависящей от температуры 38
1.1 Постановка задачи 38
1.2 Гладкость обобщенного решения 41
1.3 Теорема единственности 53
ГЛАВА 2 Начально-краевые задачи микроконвекции в областях с твердыми и свободными границами 59
2.1 Точные решения уравнений микроконвекции в бесконечной полосе 60
2.1.1 Расчет траекторий 63
2.2 О разрешимости начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности (2.13) и нагруженного уравнения (2.12) 74
2.2.1 Разрешимость начально-краевых задач для главных членов разложения 77
2.2.2 Схема доказательства разрешимости начально-краевых задач (2.19)-(2.24) 83
Численное исследование нестационарной микроконвекции в канонических областях с твердыми границами 87
2.3.1 Нестационарная микроконвекция в длинном прямоугольнике 88
2.3.1.1 Численная реализация. Схема расчета 90
2.3.1.2 Результаты численного исследования микроконвекции в длинном прямоугольнике . 93
2.3.2 Нестационарная микроконвекция в кольцевой области 105
2.3.2.1 Численная реализация. Схема расчета. 108
2.3.2.2 Результаты численного исследования микроконвекции в кольцевых областях 110
Численное исследование стационарной микроконвекции в областях со свободными границами 114
2.4.1 Микроконвекция в полукруге со свободной границей 115
2.4.1.1 Постановка задачи. Классическая модель Обер-бека - Буссинеска в терминах ф — и> (безразмерная форма, полярные координаты). 117
2.4.1.2 Постановка задачи. Модель микроконвекции в терминах ф — UJ (безразмерная форма, полярные координаты) 120
2.4.1.3 Численное исследование. Схема расчета. 123
2.4.1.4 Результаты численного исследования микроконвекции в полукруге со свободной границей 128
2.4.2 Микрокоішекция в кольцевой области со свободной границей 134
2.4.2.1 Постановка задачи 134
2.4.2.2 Схема численного исследования 137
2.4.2.3 Результаты численного исследования микроконвекции в кольце со свободной границей. 138
ГЛАВА 3 Математическое моделирование конвекции слабо сжимаемой жидкости 144
3.1 Исследование корректности начально-краевой задачи для уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости 145
3.2 Точные решения уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости в бесконечной полосе 167
3.2.1 Решение задачи (3.58), (3.60), (3.61) для температуры 172
3.2.2 Решение задачи (3.63)-(3.65) для скорости 174
3.2.3 Расчет траекторий 179
ГЛАВА 4 Метод расчета задач конвекции на основе расщепления по физическим процессам 187
4.1 Расщепление по физическим процессам для расчета двумерных задач конвекции 189
4.1.1 Постановка разностной задачи 190
4.1.2 Реализация этапа конвекции 192
4.1.3 Реализация этана диффузии с использованием про гонки с параметрами 195
4.1.4 Результаты численного анализа в двумерном случае 198
4.1.5 Тестирование алгоритма 199
4.2 Расщепление по физическим процессам для расчета трехмерных задач конвекции 205
4.2.1 Постановка разностной задачи 206
4.2.2 Реализация этапа конвекции 208
4.2.3 Реализация этапа диффузии 211
4.2.4 Результаты численного анализа в трехмерном случае 214
Заключение 218
Список литературы 222
- Гладкость обобщенного решения
- Результаты численного исследования микроконвекции в длинном прямоугольнике
- Точные решения уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости в бесконечной полосе
- Реализация этана диффузии с использованием про гонки с параметрами
Введение к работе
Изучению конвективных течений вязких теплопроводных жидкостей всегда уделялось много внимания в связи с важностью этих процессов для приложений. В последнее время интенсивное дальнейшее развитие теории и численных экспериментов но конвекции связано с активным изучением космического пространства и с развитием новых технологий, в том числе, и в наземных условиях. Стало особенно интересным предсказать поведение некоторых жидкостей в слабых гравитационных нолях, сравнить эти результаты с экспериментами, обнаружить влияние свободных или частично деформируемых границ на поведение жидкости. Потребностями современных технологий обусловлен интерес к конвективным явлениям в микромасштабах.
Вопросами математического моделирования движения жидкости в условиях действия массовых, поверхностных сил, а также под воздействием тепловых нагрузок занимались и занимаются многие ученые в России и за рубежом. Большой вклад в моделирование режимов конвекции и в исследование устойчивости внесли Г.З. Гершуни, Е.М. Жуховицкий, А.А.Непомнящий. Моделирование и численные методы для исследования динамики вязких жидкостей, в том числе, двумерной и трехмерной конвекции, развиваются в работах А.Ф. Воеводина, В.И. Полежаева, Е.Л. Та-рунина, Г.Г. Черных и их учеников. Развитие математических методов, используемых для исследования корректности постановок различных задач гидродинамики, сделано в работах О.А. Ладыженской, Л.В. Овсянникова, С.Н. Антоицева, А.В. Кажихова, В.Н. Монахова, В.А. Солоинико-ва. Построению точных решений уравнений конвекции посвящены работы
Р.В. Бириха, С.Н. Аристова, А.А. Родионова.
В работах В.И. Юдовича, В.В. Пухначёва, Д. Джозефа излагается анализ моделей, описывающих конвективные движения жидкостей, начиная с классиков этой науки Обербека (A. Oberbeck) и Буссинеска (J. Boussinesq) и заканчивая актуальными, современными проблемами, которыми занимаются К.А. Надолин, В.К. Андреев, Е.Б. Соболева и др. Одной из первых работ с обоснованием приближения Обербека — Буссинеска была статья Михаляна (J.M. Mihaljan) [143]. Аналогичный анализ был продолжен в работах Веларде (M.G. Velarde) [155, 156]. В статье Файфа (R. Fife) [134] с применением общих уравнений рассматривалась стационарная конвекция и исследовались вопросы о сходимости решений к стационарным решениям классической модели. Таким образом, к 1991 г. сформировался интерес к альтернативному моделированию конвективных движений, и В.В. Пухначёв предложил модель микроконвекции для исследования этих движений в условиях слабых гравитационных полей и в микроканалах. Несколько позже подобная модель, но для исследования концентрационной конвекции была предложена Перерой и Секеркой (P.S. Регега, R.F. Sekerka). Аналитические и численные исследования новых, уточненных, моделей для изотермически несжимаемых жидкостей (см. [2, 12, 89]), а также классических, но дополненных, например, отказом от постоянства коэффициентов переноса (см. [4, 119]), подтверждают наличие новых эффектов в движениях жидкостей.
Моделированию новых явлений в рамках механики сплошной среды и изучению движений обобщенных ньютоновских жидкостей посвящены недавние работы Ружички (М. Ruzicka) и его соавторов [149, 152]. В ра-
ботах Хагстрома (Т. Hagstrom), Лоренца (J. Lorenz) [135], Клайнермана (S. Klainerman), Майды (A. Majda) [139], В.Б. Мосеепкова [61], Э.Г. Шифри-на [113] осуществляется математическое моделирование для сжимаемых жидкостей и аналитическое исследование начально-краевых задач. Если для газов свойство сжимаемости или способность легко изменять плотность под действием изменений давления или температуры является естественным и даже определяющим свойством, то для жидкостей, как правило, оно выражено слабо. Вместе с тем, учет в том или ином виде слабой сжимаемости приводит к интересным результатам и призван выявить нсбуссинесковские эффекты.
Предметом исследования дайной работы являются математические модели, используемые для описания естественной конвекции жидкости в условиях пониженной гравитации прежде всего, но также применимые и в микромасштабах [137, 147].
Рассмотрим вязкую теплопроводную жидкость иод действием силы тяжести д, заполняющую замкнутый объем с твердой недеформируемой непроницаемой границей. Пусть жидкость считается двухпараметрической термодинамической средой, плотность которой р определяется уравнением состояния
p = R(T,p), (0.1)
где Т — абсолютная температура, р — давление. Предположим также, что реология жидкости задается законом Стокса. Искомые функции скорость V, давление р и температура Т удовлетворяют системе уравнений гидродинамики [2, 72, 95]
p-— = V(-p + Adivf?) + Div (2fiD(V)) + pg, (0.2)
^ + pdWV = 0, (0.3)
^І+Ш='Щкут)+чП {0A)
где d/dt = д/dt + V V — оператор полного дифференцирования по вре-мени, -D(K) — тензор скоростей деформаций, D{V) = -[VV + (VV)*], Ф(У) — диссипативная функция, Ф = A(divV)2 + 2\xD : D, ц, А — динамические коэффициенты первой и второй вязкости, к — коэффициент теплопроводности, Ср — теплоемкость при постоянном давлении, предполагаемая в дальнейшем положительной постоянной.
При задании уравнения состояния в виде зависимости плотности от температуры и давления мы предполагаем рассмотрение истинных жидкостей, для которых R есть неубывающая функция р, а кроме того, эта функция монотонно убывает с ростом Т. При рассмотрении течений, вызванных силами плавучести, зависимость плотности от температуры и давления предполагается линейной [39]. При этом, в отличие от газов, значительные вариации температуры и еще большие вариации давления приводят к малым изменениям плотности.
В случае, если жидкость изотермически несжимаема, т.е. р = р(Т), уравнение состояния вида
р = ро{1 - Р(Т - Т0)) (0.5)
приводит нас к аппроксимации Обербека — Буссинеска или классической модели конвекции [2, 39]. Здесь (3 — температурный коэффициент объ-
ємного расширения жидкости, а ро — некоторое относительное значение плотности, принимаемое жидкостью при Т = Tq. Считается, что в большинстве случаев изменение плотности жидкости возникает именно вследствие разностей температур, а не разностей давлений. Вызвать такое же изменение плотности, какое возникает при понижении температур в \С , можно, изменив давление примерно на 5 атмосфер. Данный факт дает основания считать зависимость плотности жидкости от давления более слабой, чем от температуры [39].
Предполагая коэффициент теплопроводности постоянным, иногда следует учитывать зависимость вязкости от температуры, что подтверждается экспериментально для многих реальных жидкостей типа глицерина, жидкого стекла и даже воды. К примеру, для воды v — 1.006-Ю-2 см2/сек. при 20С, v = 0.568 Ю-2 см2/сек. при 50С, для глицерина v = 850 Ю-2 см2/сек. при 20С, v = 350 Ю-2 см2/сек. при 30С, для некоторых видов стекла v = 0.23 104 см2/сек. при 1000С, v = 0.0036 104 см2/сек. при 1400С ([25]). Здесь v - кинематическая вязкость v — ц/ро. Учет зависимости коэффициентов переноса, в частности, вязкости, от температуры является принципиально важным при решении задач гидродинамики при пониженной гравитации, что обосновывается также и в [20].
В качестве системы уравнений, описывающей конвективные движения, будем использовать уравнения, обобщающие уравнения Обербека — Бус-синеска на случай переменной вязкости,
Vt + {V- V)V = 2 Div (и(Т) D{VJ) - p~lVp' - рдТ, (0.6)
div V = 0, (0.7)
Tt -f V VT = х&Т. (0.8)
Здесь р' = р — род х — отклонение от гидростатического давления. Эти уравнения получаются в результате аппроксимации общих уравнений гидродинамики (0.2)-(0.4) и представляют собой линейное приближение последних при условии стремления к нулю числа Буссипеска є = @Т*, тогда как учет силы плавучести, пропорциональной числу Рэлея Ra = єг), предполагается обязательным в уравнении сохранения импульса (0.2). Здесь в качестве Т* обозначается характерная температура (или характерный температурный перепад). Классической моделью конвекции назовем уравнения (0.6)-(0.8) в случае постоянного коэффициента кинематической вязкости V.
Вопросам математического обоснования моделей динамики вязкой жидкости посвящено много работ. Различные аспекты теории уравнений вязкой несжимаемой жидкости, в том числе получение обобщенных решений, изложены в монографиях О.А. Ладыженской [53], Р. Темама [105] и в монографии С.Н. Антонцева, А.В. Кажихова, В.Н. Монахова [3], посвященной вопросам неоднородных жидкостей (см. также цитированную там литературу). В большинстве работ получены важные результаты в области математической теории течений вязкой несжимаемой жидкости в случае постоянного коэффициента вязкости. Исследование корректности начально-краевых задач для уравнений Навье — Стокса с вязкостью, зависящей от тензора скоростей деформаций, в частности, модели Ладыженской, проводится в работах Бейрао да Вейга (Н. Beirao da Veiga) [120, 121] (см. также [130]). В задачах гидродинамики и тепло- и массооб-
мена, возникающих при моделировании многих технологических процессов, существенным оказывается учет зависимости коэффициентов переноса от температуры. Актуальность рассмотрения математических моделей этих явлений подтверждается многочисленными приложениями, экспериментальными данными и численными исследованиями [45, 127, 148]. На изучение задач в случае зависимости от температуры коэффициентов переноса обращено внимание в работе Бема (М. Boehm) [122], где, видимо, впервые анонсирован результат о существовании но крайней мере одного обобщенного решения в некоторой модели неоднородной жидкости. Исследованию разрешимости некоторых краевых и начально-краевых задач и свойств решений системы уравнений, описывающей движение теплопроводной ньютоновской жидкости с учетом зависимости вязкости от температуры и диссипацией энергии, посвящены работы Т.Н. Шилкина [153, 154] (см. также работы [125, 126, 138, 150, 151]). В работах С.Н. Аристова и его соавторов [4, 97, 119] получены интересные примеры точных решение уравнений конвекции в случае зависимости от температуры коэффициента вязкости.
Учет зависимости от температуры коэффициентов переноса в теоретическом анализе математических моделей вызывает трудности, связанные с дополнительной нелинейностью уравнений. Изучению вопросов существования и единственности стационарных краевых задач для уравнений свободной конвекции в случае зависимости от температуры коэффициентов вязкости посвящены работы автора [158, 159]. В работе [160] доказано существование решения трехмерной нестационарной задачи для вышеназванных уравнений. Полученное решение представляет собой аналог сла-
бого решения Хопфа в классической задаче для уравнений Навье—Стокса.
Одним из центральных результатов в теории уравнений, описывающих течения вязкой несжимаемой жидкости, является нахождение класса, в котором может быть доказана единственность решения. Вопрос о единственности решения нестационарной краевой задачи для уравнений (0.6)-(0.8) является принципиальным, поскольку стандартными приемами, с помощью которых доказывается теорема единственности для изотермических движений, здесь не удается воспользоваться.
В данной работе в Главе 1, как и в теории уравнений Навье — Стокса, решаются сначала вопросы, связанные с повышением гладкости полученного решения. Показывается справедливость более сильных оценок для температуры, а затем осуществляется повышение гладкости скорости. Существенным моментом в проведении последнего анализа является использование разбиения векторного пространства L2 на сумму ортогональных подпространств.
Таким образом, вопросы корректности рассматриваемой математической модели конвективного движения жидкости с учетом зависимости от температуры коэффициента вязкости решаются в двумерном случае. При дополнительном условии на начальную скорость доказываются теоремы существования и единственности глобального по времени сильного решения, а затем и единственность исходного, слабого решения.
В.В. Пухначёвым было замечено (см. [85]), что модель Обербека — Бус-синеска непригодна к описанию конвекции, если параметр г\ достаточно мал г) < 1. Параметр т], названный параметром микроконвекции [2], опре-деляется следующим образом: г) = —, при этом / - характерный размер
области, х ~ коэффициент температуропроводности, х — ) 9 = \д\-
роСр
Значение данного параметра было выяснено в 1991 г. В.В. Пухначёвым, и с этого времени начинается математическое моделирование микроконвекции (см. [2, 85, 86]). Параметр микроконвекции г\ имеет простой физический смысл: он равен отношению порядков скоростей, порожденных объемным расширением жидкости и фактором плавучести. Термин "микроконвекция" был введен для описания конвекции жидкости при малой гравитации, в микромасштабах, а также для жидкостей, свойства которых обеспечивают большие значения произведения коэффициентов вязкости и температуропроводности. Вывод уравнений Обербека — Буссинеска из общих законов сохранения массы, импульса и энергии построен на упрощении этих законов на основе гипотезы об изотермической несжимаемости (0.5) и предположении о том, что движение жидкости подобно движению несжимаемой жидкости, когда иоле скоростей является соленоидальным (0.7). При этом в уравнении сохранения импульса малые отклонения плотности от среднего значения, вызванные неоднородностью температуры, учитываются лишь в силе плавучести. В уравнении сохранения энергии не учитывается действие диссипативных сил. Если же теперь исходить из точных уравнений сохранения массы и импульса (0.3), (0.2), но упрощенно, в виде (0.8), принимать уравнение сохранения энергии, предполагая постоянство всех коэффициентов переноса, то будет представлена для исследования модель микроконвекции. Эта модель характеризуется несоленоидальностыо поля скоростей. Используя зависимость плотности от температуры вида
' = Щт' (0-9)
можно записать модель микроконвекции с новой искомой скоростью W
W = V-(3XVT. (0.10)
—*
Эта модифицированная скорость обладает уже свойством divVK = 0. Заметим, что с физической точки зрения зависимости (0.5) и (0.9) практически эквивалентны, т.к. в реальных конвективных течениях значения @\Т\ не превышают Ю-2, Ю-3 [2, 39]. Зависимость (0.9) позволяет не только перейти к соленоидалыюму нолю модифицированной скорости. Теплоемкость при постоянном давлении ср изотермически несжимаемой жидкости не зависит от давления в том и только том случае, когда уравнение состояния имеет вид (0.9) (см. [88, 115]).
Итак, модель микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости состоит из системы дифференциальных уравнений
divW = 0, (0.11)
W + W-VW + /?х(VT VW - VW VT) + р2х2(АТ\/Т - V|VT|2/2) =
= (1+ (3T){-Vq + иШ) - /ЗТд, (0.12)
Tt + W VT + /?x|VT|2 = (1 + /?Г)ХАГ, (0.13)
а также начальных и граничных условий. Здесь q = р'/ро - (А/ро) divV - PX(v - х)АТ = р/р0 - РХ&Т(и + Х/Ро - *).
Пусть движение возникает из заданного начального состояния
У(х, 0) = 0, хвП, (0.14)
Т{х,0) = То(х), хеП, (0.15)
и рассматривается в замкнутой области Q с твердой непроницаемой границей dQ = Е, на которой выполняются условия прилипания
? = 0, х Є fi, і Є [0,**]. (0.16)
Тогда модифицированная скорость в начальный момент времени будет удовлетворять условиям
W(x,0) = W0(x), ібП, (0.17)
и вследствие условий прилипания граничные условия для W будут иметь следующий вид:
W = -PxVT, х Є Е, t Є [0, j. (0.18)
Заметим, что в результате именно уравнения состояния вида (0.9) и уравнения (0.11), требуется задавать на границе поток тепла
— = f(x,t), xGS, Є[0Л], (0.19)
при условии нулевого интегрального потока
f(x,t)dE = 0, Vte [0Л], (0.20)
что обеспечивает необходимое условие разрешимости задачи. Избежать данное ограничение можно при рассмотрении конвективных движений в области со свободной или упругой границей [115, 116]. Вместе с тем, стационарная задача для уравнений микроконвекции оказывается поставленной
корректно, как при температурном условии на границе области второго рода, так и при условии первого рода [87].
Изучению конвективных процессов в слабом гравитационном поле посвящено много работ, например, [78, 79, 27]. С точки зрения строгого математического обоснования альтернативные теории конвекции развивались в работах Михаляна (J.M. Mihaljan) [143], В.И. Юдовича [115], К.А. Надо-лина [G5, G6, 67]. Интерес к альтернативным моделям конвекции особенно стал заметным, начиная с 1995 г. Он вызван, в частности, необходимостью объяснить так называемые нсбуссинесковские явления, наблюдаемые в экспериментах, выполненных на борту орбитальной станции и не находящих, видимо, подтверждения с использованием классической теории [8, 9, 10, 11, 19, 20, 42]. Подобная (0.11) - (0.13) несоленоидальная модель для концентрационной конвекции несколько позже была получена Перерой и Секеркой (P.S. Регега, R.F. Sekerka) [145]. В работах В.К. Андреева и его учеников [2, 12, 40] проводятся исследования устойчивости решений в модели микроконвекции и исследования условий возникновения конвективных движений на основе модели микроконвекции. Групповой анализ уравнений микроконвекции был проведен А.А. Родионовым. Им же построен ряд точных решений уравнений микроконвекции [2, 89]. Интерес к математическому моделированию конвекции в условиях микрогравитации и в микромасштабах усилился в последние время. Эта тематика была широко представлена на международных конференциях "21-st International Congress of Theoretical and Applied Mechanics" (Warsaw, Poland, August 15-21, 2004) и "Second Conference on Interfacial Fluid Dynamics and Processes in Physico Chemical Systems" (Brussels, Belgium, July 14-17, 2004), а ее ак-
туальность отражена в обзорах Хомси (G.M. Homsy) и В.В. Пухначёва (см. [137, 147]).
В Главе 2 представлены начально-краевые задачи модели микроконвекции в областях с твердыми и свободными границами. Проведен сравнительный анализ обеих моделей при численном исследовании конвективных течений жидкостей в условиях кратковременной невесомости.
В параграфе 1 второй Главы демонстрируется применение модели микроконвекции для отыскания инвариантного решения в бесконечной полосе, занятой жидкостью, в случае, когда поток тепла на границе колеблется в противофазе. При использовании полученных ранее В.В. Пухначёвым выражений для компонент скорости [2] находятся траектории жидких частиц при различных значениях параметров течения. Графики траекторий позволяют сравнить решения, полученные в результате применения модели Обербека — Буссинеска и модели микроконвекции. Поскольку инвариантные решения представляют собой точные решения линеаризованной модели микроконвекции, проведен анализ нетривиальной составляющей движения на основании метода усреднения Крылова — Боголюбова [21, 60].
Использование модели микроконвекции порождает несколько нестандартных начально-краевых задач. В параграфе 2 Главы 2 исследуется их разрешимость. Одно из уравнений не является дифференциальным в обычном смысле. Уравнения подобного вида оригинально названы нагруженными [G8], а в [22] исследуются разностные методы решения начально-краевых задач для нагруженных дифференциальных и интегро-диффе-реициальных уравнений. Частный случай задачи с нагруженным уравие-
ниєм был рассмотрен в дипломной работе Н.Л Воронина [86].
В параграфе 3 Главы 2 численно исследованы нестационарные режимы микрокоивекции в кольцевых областях и длинном прямоугольнике, вытянутом по направлению силы тяжести, для жидкостей типа глицерина, расплавов кремния и стекла. Границы области считаются твердыми. В случае круговых областей ускорение силы тяжести совершает периодические но времени колебания. Конвекция в длинной прямоугольной области исследуется в условиях периодического потока тепла через длинные стороны. При этом суммарный поток равен нулю. Подтверждены количественные и качественные отличия в характеристиках течений, рассчитанных в рамках классической и новой моделей под действием микроускорений, достижимых на орбитальной станции. В частности, величины скоростей, рассчитанных по новой модели, могут на три порядка превышать те, что предписываются традиционной моделью. Кроме того, существенно различается структура течения, его топология, развитие во времени, а также траектории движения жидких частиц.
Модель микроконвекции применяется в первую очередь для исследования нестационарных задач. Учет несоленоидалыюсти в стационарных задачах микроконвекции в замкнутых областях ведет к поправкам порядка числа Буссинеска, что согласуется с теоретическими результатами [87].
В параграфе 4 Главы 2 проведено исследование стационарных конвективных процессов в областях со свободными границами, когда уже оба механизма конвекции играют существенную роль. Течение предполагается стационарным. Рассчитана гравитационно-капиллярная конвекция в кольцевых областях и полукруге. Одна из границ, по-прежнему, считается
твердой, а другая является свободной, подверженной действию термокапиллярного эффекта. В условиях невесомости и в случае, когда параметр, ответственный за деформацию свободной поверхности термокапиллярными силами (капиллярное число), довольно мал, рассмотрены недеформи-руемые свободные границы, приближенно определяемые как поверхности капиллярного равновесия. Поправка к свободной границе находится из динамического условия на свободной границе, подобно тому, как делается в [6, 157]. Расчеты проведены для различных значений чисел Прандтля, Марангони и Грасгофа, а также с учетом резко меняющегося граничного температурного режима. Исследована структура конвективных течений, проанализированы ситуации, когда топология течения существенно различается. Количественные же различия в величинах скоростей здесь значительно меньше, чем в нестационарном случае. Вместе с тем выявлены ситуации, когда даже в стационарных задачах микроконвекции различия в результатах, полученных с использованием классической модели и модели микроконвекции, проявляются довольно ярко. Эти ситуации предусматривают дополнительное моделирование больших градиентов в тепловом граничном режиме.
Соленоидалыюсть модифицированной скорости W позволяет ввести аналог функции тока для плоских и осесимметричных задач и выполнять расчеты конвективных течений в переменных "функция тока-вихрь". На соответствующих рисунках представлены для наглядности поля скоростей, линии тока, изотермы, графики траекторий жидких частиц.
Рассмотрим теперь иную аппроксимацию уравнения состояния (0.1), а именно,
„ . 1+7(р-Ро) /П01ч
" = роі+0(т-тоу (0-21)
Выберем І в качестве характерного масштаба длины, v* = x/l ~ скорости, U — l/v* = 12/х — времени, р* = pov^Pr = Pqvx/12 — давления и Т* — температуры, и обозначим через Тир отклонения Т — То и р — ро от некоторых равновесных значений То, ро, соответственно (см. [88], ро = /э(Т(), А)))- Заметим, что введение подобной характерной скорости v* обеспечивает ее независимость от температурного граничного условия. Тогда уравнение состояния в безразмерной форме имеет вид
Р = ^, (0.22)
н l+єТ' v }
а система уравнений (0.2)-(0.4) в безразмерной форме записывается следующим образом:
1 + 5р dV ^ рт
1 + еТ dt ~
V(-p + Miv V) + AV +^(1 + ^)^0) ((Ш)
1 + Є1
dp є dT ,. -* ,Л Л „.
у + div У = 0, (0.24)
1 + 5р dt 1 + єТ dt
Sf-^f — (-)
Здесь для безразмерных функций оставлены прежние обозначения, 5 = 7Р* — параметр сжимаемости, є = рТ* — число Буссипеска, е\ = vv*/(lcpTi) = vx/l2cP%, е2 = єєіТо/Т; - PisXTo/(l2cpTJ, J = 1-K, = А/(д,і/) - отношение коэффициентов второй и первой вязкости, <7о = 9І9-, безразмерная диссипативная функция Ф определяется равенством
= (divV)2 + 2>:>.
Коэффициенты переноса /х, к предполагались постоянными, Рт = vjx ~ число Прандтля.
Для того, чтобы получить в дальнейшем разложения только по малому параметру сжимаемости, полагаем е\ = а\6, Є2 = 0^26, ai = 0(1), (г = 1,2) при 5 —> 0. Тогда уравнение (0.25) запишется следующим образом:
І + eTdt 1+єТ dt 1 к J
Таким образом, искомой системой уравнений для неизвестных функций
V, р, Т будут уравнения (0.23), (0.24), (0.26).
В [88] проводится анализ критериев подобия задачи и характерных величин процесса, в том числе, и характерных времен. При построении модели конвекции, справедливой в условиях микрогравитации, выбираются характерные внутренние времена t* (время релаксации температуры) и tu = 12/и (время релаксации вязких напряжений), которые имеют один порядок, вообще говоря, при Рт ~ 1, а также характерное время tj (время изменения функций, определяющих граничный тепловой режим). Условие Pr ~ 1 определяет достаточно широкий класс жидкостей, включая воду и газы, применяемые в космических экспериментах для изучения конвекции. Введение отношения С, = t*/tf в граничные температурные условия может позволить рассмотреть ситуации, когда эти характерные времена существенно различаются. Краевые условия для уравнений (0.23), (0.24), (0.26) запишем в форме
V = 0, жЄЕ, t>0, (0.27)
~ = f(x,(t), хвЕ, t>0, (0.28)
либо
T = h(x,Ct), хеЕ, t>0. (0.29)
Начальные условия для замыкания постановки задачи примем в виде
V = V0(x), хеП, t = 0, (0.30)
Т = Т0(х), хеП, t = 0, (0.31)
р = Ро(х), хеП, t = 0, (0.32)
Отметим, что моделирование конвекции для слабо сжимаемой жидкости в условиях микрогравитации предполагает автоматически малость параметра микроконвекции г] за счет значений g ~ Ю-2,10_3 (см/сек2) и I ~ 1 (см). Следующий безразмерный параметр, число Буссинеска, является величиной порядка 10~3, Ю-4 и даже Ю-5, благодаря малости коэффициента (3 даже при значительном, например, 50 К, перепаде температур. Параметр 5, пропорциональный изотермическому коэффициенту сжимаемости 7) будет величиной порядка 10_9-f Ю-11 и даже Ю-14, поскольку для обычных жидкостей 7 Є [Ю-9, 10~10] (см. [25, 39, 88]). Очень малыми по сравнению с є получаются и значения параметров е\, єг. Параметры єі, Є2 имеют тот же порядок, что и 5. Используя малость параметров 6, в\, в2, В.В. Пухначёв получил асимптотическое упрощение системы (0.22)-(0.24) [88].
Асимптотическое разложение решения системы (0.23), (0.24), (0.26) строится но параметру сжимаемости S —» 0 и при условии, что , Pr, , rj, а\, 0
сохраняют конечные значения. Другими словами, решение системы (0.23), (0.24), (0.26) ищется в виде формальных степенных рядов
V = J26kV(k\x,t), T = J26kT^k\x,t), p = f-W^ + J2skp(k\x,t).
к=0 к=0 А;=0
(0.33) Функция р имеет сингулярную составляющую, когда S —> 0, а величину (P(t) — l)S~l отождествляют со средним по области Q давлением жидкости. Если стенки полости неподвижны и непроницаемы, то масса заключенной в пей жидкости сохраняется. При отличном от нуля суммарном тепловом потоке через границу и конечному изменению вследствие этого средней но области температуры, мы наблюдаем в силу уравнения состояния (0.21) изменения среднего давления на величину порядка 5~1 при
Подстановка разложений (0.33) в уравнения (0.23), (0.24), (0.26) приведет к рекуррентной системе для функций У^к\ Т(к\ р^к\ к = 0,1,.... Разрешимость некоторой начально-краевой задачи исследуется в параграфе 1 Главы 3.
Главные члены разложений V^\T^\p^ удовлетворяют системе уравнений [88]
1 + єТ()
(yW + v
V(-p() + Idiv V<) + Д?<>] + j^^b, (0.34)
P 1 + єТ()
(т/0) + V VT()) + div V< = 0, (0.35)
(т/0) + ?(> VT()) - P a2 + ^] = AT, (0.36)
l+ffT()
которые называются уравнениями конвекции слабо сжимаемой жидкости. При этом Р= dP(t)/dt. Начально-краевая задача для системы (0.34)-(0.36) может быть сформулирована следующим образом. В начальный момент времени задаются вектор скорости и температура
V^{x,0) = V0{x), Т<(х,0) = То(х), хеП. (0.37)
Рассматриваются условия прилипания для вектора скорости и условия второго рода для температуры, задающие поток тепла на границе области Е:
у() = 0, —— = f(x,Ct), хЄЕ, t>0. (0.38)
Разрешимость этой задачи в классе гладких функций установлена в [88], а для нахождения функции P(t) выведено обыкновенное дифференциальное уравнение
рассматриваемое с начальным условием
Р(0) = 1, (0.40)
что согласуется с предположением о конечности значений функции ро(х) при <5 —> 0.
Заметим, что в предельном случае при є = 0 уравнения (0.34)-(0.36) превращаются в уравнения Навье — Стокса несжимаемой жидкости.
Корректность сформулированной начально-краевой задачи исследуется в [88], где показывается, что построенное приближенное решение может рассматриваться, как аппроксимация порядка 0(6) при —> 0 решения соответствующей начально-краевой задачи для исходной системы (0.23)-(0.26) на временах t > 1. Формальная асимптотика (0.33) не работает на малых временах, но для уравнений (0.23)-(0.26) может быть осуществлена линеаризация вблизи состояния изотермического равновесия. Так возникает для изучения линейная модель переходного процесса (см. [88]). Асимптотическое решение линейной задачи переходного процесса не имеет поточечного предела при 6 —» 0, но может быть рассмотрено в качестве главного члена внутреннего разложения линеаризованных уравнений движения (0.23)-(0.26), описывающего начальный этап конвекции. Переходный процесс сопровождается распространением нелинейных акустических волн высокой частоты. Подчеркнем, что высокочастотные акустические колебания "отфильтрованы" в результирующих уравнениях модели слабо сжимаемой жидкости, они учитываются лишь на начальном этапе движения. Характеристика осцилляции, их локализация изучаются в [88].
Следует заметить, что процедура фильтрации звука в уравнениях конвекции осуществлялась и в работах [56, 70, 123, 144]. (См. также [71, 157].) Процедура фильтрации звука в уравнениях конвекции впервые была осуществлена S. Paolucci [144] и независимо А.Е. Кузнецовым и М.Х. Стрельцом [50]. В [99, 100] излагается модель сплошной среды, применимая для существенно дозвуковых течений. Гидродинамическое приближение с "фильтрацией акустики" используется для описания околокритических
явлений. В указанных работах речь шла о конвекции в газах, где предположение о слабой сжимаемости среды не является столь естественным, как для жидкостей. В.Б. Мосеенков [61] называет неоднородной жидкость с уравнением состояния вида (0.1) и рассматривает слабо сжимаемые жидкости, как жидкости с малыми коэффициентом теплового расширения и параметром сжимаемости, выступающими множителями при температуре и давлении, соответственно, на этапе формулировки термодинамического уравнения состояния. Им проведено математическое моделирование, носящее асимптотически обобщающий характер для классической модели Обербека — Буссинеска, исследована разрешимость некоторых осесим-метрических и общих трехмерных задач, а также вопросы устойчивости решений.
В первом параграфе Главы 3 исследуется корректность начально-краевой задачи для уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости с граничным условием третьего рода для температуры вместо условия (0.38). При выполнении естественных условий гладкости и согласования начальных и граничных функций доказывается теорема существования гладкого решения. Эта теорема относится к так называемым локальным теоремам существования и выполняется в условиях малости числа Буссинеска. Доказательство основано на построении решения задачи в виде рядов по степеням малого параметра є (числа Буссинеска) и доказательству разрешимости получаемых рекуррентных задач. Последовательно решаются третья начально-краевая задача для линейного неоднородного уравнения теплопроводности, задача Коши для обыкновенного дифференциального уравнения и первая начально-краевая задача для нестационарной системы
Стокса. Используются известные результаты В.А. Солонникова по разрешимости в классах функций Гсльдера вышеназванных задач [51, 101]. Принципиальным моментом является использование представления скорости (для каждого приближения) в виде суммы солеиоидалыюй и градиентной части и нахождение потенциала (для каждого приближения), как решения задачи Неймана для уравнения Пуассона. Сходимость выбранных разложений по степеням параметра є устанавливается в подходящих гельдеровских нормах при малых значениях є.
Определенное представление о характере движения может быть получено при изучении линейной модели (0.34)-(0.36). В частности, замечено, что линеаризованные уравнения конвекции слабо сжимаемой жидкости допускают группу с прибавлением к давлению произвольной функции времени. В параграфе 2 Главы 3 рассматриваются точные решения конвекции в вертикальном слое, когда поток тепла на границе колеблется в фазе, а не в противофазе, как было для уравнений микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости.
Обширный раздел гидродинамики вязкой жидкости представляет собой вычислительная гидродинамика. В этой области развиваются численные методы применительно к различным задачам конвекции, обосновываются различные подходы к созданию вычислительных алгоритмов, проводится апробация последних на тестовых задачах, а также численно моделируются различные конвективные движения. Уравнения Навье — Стокса, составляющие основу классических уравнений конвекции, обладают рядом специфических особенностей, которые необходимо учитывать при их численной реализации. Эти особенности, а также преодоление сложнос-
той, возникающих при расчетах задач конвекции, изложены в известных работах и монографиях Д. Андерсона, А.Ф. Воеводина, В.И. Полежаева, П. Роуча, Е.Л. Тарунина и их соавторов (см., например, [1, 29, 77, 78, 79, 90, 103, 104]).
Для численного решения уравнений Навье — Стокса в приближении Обербека — Буссинеска в данной работе применяются методы, развиваемые в работах [28, 29, 30, 32, 34, 35, 1С9, 171], прежде всего для исследования конвекции в замкнутых объемах. Они связаны с введением для двумерных задач функции тока ф и вихря скорости и и преобразованием исходной системы уравнений к системе уравнений относительно ф, си. При таком подходе нет необходимости заботиться о солепоидалыю-сти вектора скорости, так как это условие выполняется автоматически. Известным фактом являются трудности, возникающие при задании граничного условия для вихря па границе с прилипанием. Среди численных методов и алгоритмов, разработанных применительно к системе уравнений, записанных в переменных "функция тока-вихрь", следует отметить работы [5, 17, 24, 34, 35, 58, 90, 103]. Эти методы отличаются друг от друга выбором разностной схемы, видом граничных условий, способом решения уравнения Пуассона и т.д. Для большинства использующихся па практике алгоритмов характерно раздельное решение разностных уравнений для и) и ф [17, 103]. Такой способ организации вычислений ещё называют двухнолевым методом [103]. Типичным в большинстве вычислительных алгоритмов является прием, когда в уравнении и граничных условиях для вихря функция тока ф берётся с нижнего временного слоя. Полученное уравнение относительно значений uj на верхнем слое решается методом
переменных направлений, а затем при помощи эффективных итерационных или прямых методов решения уравнения Пуассона вычисляется функция ф на верхнем слое. Однако, при использовании подобных алгоритмов возникают довольно жесткие ограничения на шаг по времени. Обнаружено также, что устойчивость вычислительного процесса существенным образом зависит от способа вычисления вихря на твердой границе. В ряде работ решаются вопросы снятия ограничений на временной шаг, усовершенствования двухиолевого метода решения и улучшения сходимости (см. [24, 78, 81, 103]). Большое внимание уделено тестированию вычислительных алгоритмов, построенных в том числе и с использованием переменной "функция тока", в работах Г.Г. Черных и соавторов [62, 109, 124], где рассмотрены тесты для трехмерной мантийной конвекции. Трехмерная конвекция численно моделируется в переменных "векторный потенциал-ротор скорости" в работе [112], там же предлагаются граничные условия для новых искомых функций и тестируются вычислительные алгоритмы. Будем рассматривать классические уравнения конвекции (0.6)-(0.8) с постоянной вязкостью. Так называемые конвективный и диффузионый переносы естественным образом выделяются как в уравнениях движения, так и в уравнении переноса тепла. Тогда вполне обосновано применение идеи расщепления по физическим процессам в уравнениях на каждом временном слое. Идея метода расщепления по физическим процессам базируется на методе слабой аппроксимации [117] и аддитивности этих процессов для достаточно малых шагов по времени. С математической точки зрения расщепление разностного уравнения на составляющие, а затем обоснование аддитивности процессов, описываемых отдельными частями, рассмат-
ривается в [91] и проводится доказательство суммарной аппроксимации исходного уравнения вследствие расщепления.
Общая теория расщепления наиболее полно изложена в [59]. Основополагающими работами в этом направлении являются работы Дугласа (J. Douglas), Г.И. Марчука, Рэчфорда (Н.Н. Rachford), А.А. Самарского, Н.Н. Яненко (см. также [26, 131, 132, 47, 48, 57, 59, 93, 105, 117] и цитированную там литературу). Явная схема расщепления по физическим факторам используется в работах О.М. Белоцерковского, В.А.Гущина, В.В. Щенникова [14, 15, 16] и заключается в трехшаговой реализации, включающей расчет давления. Физическая интерпретация расщепления приводится в [16].
В параграфе 1 четвертой Главы предлагается численный метод исследования конвективных движений жидкости в замкнутых двумерных областях, обладающий свойством энергетической нейтральности поля скоростей, благодаря кососимметричности конвективного оператора и сохранении этого качества при конечно-разностной аппроксимации. Свойство энергетической нейтральности поля скоростей заключается с математической точки зрения в сохранении среднеквадратичной нормы скорости при переходе со слоя на слой [81, 34]. Сохранение энергии в скоростях, а не в вихре является преимуществом такого расщепления. Расщепление на два этапа (конвективный и диффузионный переносы) проводится для уравнений конвекции, записанных в исходных, физических, переменных. Следовательно, этап конвекции реализуется для вектора скорости и состоит в вычислении "конвективной" скорости. На этапе диффузии осуществляется уже переход к новым искомым функциям: вихрю и функции тока
для так называемой "диффузионной" скорости. В этом подходе проявляется основное отличие от метода расщепления по физическим процессам, развиваемом активно в работах Т.В. Протопоповой [34, 35, 81].
Поскольку этап конвекции реализуется для переменной типа "вектор скорости", то за ней и оставляется условное название "конвективной" скорости. "Конвективная" скорость является лишь вспомогательной функцией. Особенность реализации этапа конвекции в замкнутых областях с твердыми непроницаемыми границами состоит в том, что из условий прилипания и гиперболичности системы следует, что граничные условия на этапе конвекции являются следствием уравнений. На этапе диффузии осуществляется переход к вихрю и функции тока, что позволяет, во-первых, исключить расчет градиента давления для определения поля скоростей и, во-вторых, обеспечить соленоидалыюсть вектора скорости, при этом "диффузионная" скорость и принимается, в итоге, в качестве искомой, истинной. В дальнейшем будем опускать кавычки в терминах конвективная или диффузионная скорость. Тестирование метода проводится на известной задаче о свободной конвекции в квадратной полости при подогреве сбоку.
Во втором параграфе четвертой Главы численный метод, основанный на идее расщепления но физическим процессам, предлагается для исследования конвективных движений жидкости в трехмерных областях с твердыми непроницаемыми границами. Этап конвекции, по-прежнему, реализуется для компонент скорости, а на этапе диффузии осуществляется переход к новым искомым функциям. Для трехмерных задач эти функции являются ротором скорости и векторным потенциалом скорости. Заме-
тим, что этап диффузии представляет возможность расщепления но направлениям, которое является типичным для всех компонент, что, в свою очередь, дает возможность организовать экономичный алгоритм параллельных вычислений.
Поскольку вычисляемыми функциями являются, как компоненты скорости, так и новые искомые функции, то принципиальным моментом в организации расчета является введение смещенных сеток (см., например, [13]). Смещенные сетки позволяют проследить за автоматическим выполнением условия несжимаемости ноля скоростей и организовать восстановление скорости через векторный потенциал. Для трехмерных задач еще большей проблемой становится запись условий прилипания на границе в терминах новых искомых функций. Эти трудности обсуждаются в [13, 43, 90], варианты граничных условий для векторного потенциала и завихренности предлагаются в [18, 112], а сами условия являются чаще следствием условий непротекания и идеального проскальзывания [43]. В данном параграфе на твердых непроницаемых границах используются условия, выражающие равенство нулю касательных составляющих векторного потенциала и производной по нормали его нормальной составляющей. Тестирование метода расщепления по физическим процессам в трехмерных задачах проводится на известных задачах о свободной конвекции в кубической полости или параллелепипеде при подогреве одной грани [18, 142].
Другой отличительной особенностью вычислительного алгоритма является организация прогонки с параметрами в двумерном случае. Оригинальный алгоритм метода прогонки с параметрами применяется для
реализации условий прилипания и имеет целью точно реализовать эти условия [28, 29, 34, 30]. Прогонка с параметрами, предложенная А.Ф. Воеводиным, получила недавно достаточно строгое математическое обоснование, благодаря результатам Т.В. Протопоповой [81], и может быть реализована также и в трехмерном случае. Метод расщепления по физическим процессам может быть эффективно применен для численного исследования конвекции с учетом зависимости вязкости от температуры, а также в произвольной области с достаточно гладкой границей.
Таким образом, тема диссертации является актуальной как с точки зрения математического моделирования конвективных процессов, так и с точки зрения численного моделирования движений в слабых силовых полях и построения численных алгоритмов для исследования задач конвекции.
Диссертация состоит из Введения, четырех Глав, Заключения и Списка литературы и изложена на 243 страницах. В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [161]-[174].
Достоверность результатов исследований подтверждается точностью применяемых методов, сравнением аналитических результатов и данных численных расчетов автора с результатами других авторов, полученных путем экспериментов, численных и аналитических исследований.
Исследования, проводимые автором по теме диссертации, в разные годы поддерживались грантами Российского Фонда Фундаментальных Исследований, программой Комплексных Интеграционных Проектов СО РАН, грантами Президента Российской Федерации поддержки ведущих
научных школ РФ, Фондом Гумбольдта. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих семинарах и конференциях:
Международная конференция Ninth European Symposium "Gravity-dependent phenomena in physical sciences" (Berlin, Germany, May 2-5, 1995),
Международная конференция Second European Symposium "Fluids in Space" (Naples, Italy, April 22-26, 199G),
Международная школа-семинар International workshop "Free Boundaries in Viscous Flows" (St. Petersburg, September 3-5, 199G),
Международная конференция Joint Xth European and Vlth Russian Symposium on Physical Sciences in Microgravity (St. Petersburg, June 15-21, 1997),
XVI Международная школа-семинар по численным методам механики вязкой жидкости "Вычислительные технологии 98" (Новосибирск, 13-18 сентября, 1998 г.),
Зимняя школа по механике сплошных сред (двенадцатая) (Пермь, 25-31 января 1999 г.),
VII Российский симпозиум "Механика невесомости. Итоги и перспективы фундаментальных исследований гравитационно - чувствительных систем", (Москва, 11-14 апреля 2000 г.),
Международная конференция "Математические модели и методы их исследования" (Красноярск, 18-24 августа 1999 г.),
V Международная конференция "Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике" (Новосибирск, 18-22 сентября 2000 г.),
Международная конференция "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика", посвященной 80-летию академика Н.Н. Яненко (Новосибирск, 24-29 июня 2001 г.),
VIII Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике (Пермь, 23-29 августа 2001 г.),
Международная конференция First Conference of the International Marangoni Association "On Interfacial Fluid Dynamics and Processes in Physico Chemical Systems", (Giessen, Germany, September 12-16, 2001),
Всероссийская школа "Задачи со свободными границами. Теория и приложения" (Вийск, 2-6 июля 2002 г.),
Международная конференция но вычислительной математике МКБМ-2004 (Новосибирск, 21-25 июня 2004 г.),
Международная конференция International Marangoni Association Congress 2004 "Second Conference on Interfacial Fluid Dynamics and Processes in Physico Chemical Systems", (Brussels, Belgium, July 14-17, 2004),
Международная конференция 21st International Congress on Theoretical and Applied Mechanics, (Warsaw, Poland, August 15-21, 2004),
объединенный семинар ИВТ CO РАН, НГУ, НГТУ "Информационно-вычислительные технологии" под руководством Ю.И. Шокина, В.М. Ковени,
семинар ИГиЛ СО РАН "Механика неоднородных сред" под руководством В.Ю. Ляпидевского, В.М. Тешукова,
семинар ИГиЛ СО РАН "Математические проблемы механики сплошной среды" иод руководством В.Н. Монахова, П.И. Плотникова,
семинар ИГиЛ СО РАН "Прикладная гидродинамика" под руководством В.В. Пухначёва,
научный семинар ИМСС УрО РАН,
Пермский городской гидродинамический семинар им. Г.З. Гершуни и Е.М. Жуховицкого,
научный семинар кафедры дифференциальных уравнений Алтайского госуниверситета.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю члену-корреспонденту РАН, д.ф.-м.н., профессору В.В. Пухпачёву за обсуждение постановок задач, результатов и стимулирующие к работе дискуссии. Автор искренне признателен д.ф.-м.н., профессору А.Ф. Воеводину за внимание к работе, ценные советы и поддержку при проведении численных исследований.
Гладкость обобщенного решения
Актуальность рассмотрения математических моделей этих явлений подтверждается многочисленными приложениями, экспериментальными данными и численными исследованиями [45, 127, 148]. На изучение задач в случае зависимости от температуры коэффициентов переноса обращено внимание в работе Бема (М. Boehm) [122], где, видимо, впервые анонсирован результат о существовании но крайней мере одного обобщенного решения в некоторой модели неоднородной жидкости. Исследованию разрешимости некоторых краевых и начально-краевых задач и свойств решений системы уравнений, описывающей движение теплопроводной ньютоновской жидкости с учетом зависимости вязкости от температуры и диссипацией энергии, посвящены работы Т.Н. Шилкина [153, 154] (см. также работы [125, 126, 138, 150, 151]). В работах С.Н. Аристова и его соавторов [4, 97, 119] получены интересные примеры точных решение уравнений конвекции в случае зависимости от температуры коэффициента вязкости.
Учет зависимости от температуры коэффициентов переноса в теоретическом анализе математических моделей вызывает трудности, связанные с дополнительной нелинейностью уравнений. Изучению вопросов существования и единственности стационарных краевых задач для уравнений свободной конвекции в случае зависимости от температуры коэффициентов вязкости посвящены работы автора [158, 159]. В работе [160] доказано существование решения трехмерной нестационарной задачи для вышеназванных уравнений. Полученное решение представляет собой аналог слабого решения Хопфа в классической задаче для уравнений Навье—Стокса.
Одним из центральных результатов в теории уравнений, описывающих течения вязкой несжимаемой жидкости, является нахождение класса, в котором может быть доказана единственность решения. Вопрос о единственности решения нестационарной краевой задачи для уравнений (0.6)-(0.8) является принципиальным, поскольку стандартными приемами, с помощью которых доказывается теорема единственности для изотермических движений, здесь не удается воспользоваться.
В данной работе в Главе 1, как и в теории уравнений Навье — Стокса, решаются сначала вопросы, связанные с повышением гладкости полученного решения. Показывается справедливость более сильных оценок для температуры, а затем осуществляется повышение гладкости скорости. Существенным моментом в проведении последнего анализа является использование разбиения векторного пространства L2 на сумму ортогональных подпространств.
Таким образом, вопросы корректности рассматриваемой математической модели конвективного движения жидкости с учетом зависимости от температуры коэффициента вязкости решаются в двумерном случае. При дополнительном условии на начальную скорость доказываются теоремы существования и единственности глобального по времени сильного решения, а затем и единственность исходного, слабого решения.
В.В. Пухначёвым было замечено (см. [85]), что модель Обербека — Бус-синеска непригодна к описанию конвекции, если параметр г\ достаточно мал г) 1. Параметр т], названный параметром микроконвекции [2], опре-деляется следующим образом: г) = —, при этом / - характерный размер области, х коэффициент температуропроводности, х — ) 9 = \д\ роСр
Значение данного параметра было выяснено в 1991 г. В.В. Пухначёвым, и с этого времени начинается математическое моделирование микроконвекции (см. [2, 85, 86]). Параметр микроконвекции г\ имеет простой физический смысл: он равен отношению порядков скоростей, порожденных объемным расширением жидкости и фактором плавучести. Термин "микроконвекция" был введен для описания конвекции жидкости при малой гравитации, в микромасштабах, а также для жидкостей, свойства которых обеспечивают большие значения произведения коэффициентов вязкости и температуропроводности. Вывод уравнений Обербека — Буссинеска из общих законов сохранения массы, импульса и энергии построен на упрощении этих законов на основе гипотезы об изотермической несжимаемости (0.5) и предположении о том, что движение жидкости подобно движению несжимаемой жидкости, когда иоле скоростей является соленоидальным (0.7). При этом в уравнении сохранения импульса малые отклонения плотности от среднего значения, вызванные неоднородностью температуры, учитываются лишь в силе плавучести. В уравнении сохранения энергии не учитывается действие диссипативных сил. Если же теперь исходить из точных уравнений сохранения массы и импульса (0.3), (0.2), но упрощенно, в виде (0.8), принимать уравнение сохранения энергии, предполагая постоянство всех коэффициентов переноса, то будет представлена для исследования модель микроконвекции. Эта модель характеризуется несоленоидальностыо поля скоростей.
Результаты численного исследования микроконвекции в длинном прямоугольнике
Определенное представление о характере движения может быть получено при изучении линейной модели (0.34)-(0.36). В частности, замечено, что линеаризованные уравнения конвекции слабо сжимаемой жидкости допускают группу с прибавлением к давлению произвольной функции времени. В параграфе 2 Главы 3 рассматриваются точные решения конвекции в вертикальном слое, когда поток тепла на границе колеблется в фазе, а не в противофазе, как было для уравнений микроконвекции изотермически несжимаемой жидкости.
Обширный раздел гидродинамики вязкой жидкости представляет собой вычислительная гидродинамика. В этой области развиваются численные методы применительно к различным задачам конвекции, обосновываются различные подходы к созданию вычислительных алгоритмов, проводится апробация последних на тестовых задачах, а также численно моделируются различные конвективные движения. Уравнения Навье — Стокса, составляющие основу классических уравнений конвекции, обладают рядом специфических особенностей, которые необходимо учитывать при их численной реализации. Эти особенности, а также преодоление сложностой, возникающих при расчетах задач конвекции, изложены в известных работах и монографиях Д. Андерсона, А.Ф. Воеводина, В.И. Полежаева, П. Роуча, Е.Л. Тарунина и их соавторов (см., например, [1, 29, 77, 78, 79, 90, 103, 104]).
Для численного решения уравнений Навье — Стокса в приближении Обербека — Буссинеска в данной работе применяются методы, развиваемые в работах [28, 29, 30, 32, 34, 35, 1С9, 171], прежде всего для исследования конвекции в замкнутых объемах. Они связаны с введением для двумерных задач функции тока ф и вихря скорости и и преобразованием исходной системы уравнений к системе уравнений относительно ф, си. При таком подходе нет необходимости заботиться о солепоидалыю-сти вектора скорости, так как это условие выполняется автоматически. Известным фактом являются трудности, возникающие при задании граничного условия для вихря па границе с прилипанием. Среди численных методов и алгоритмов, разработанных применительно к системе уравнений, записанных в переменных "функция тока-вихрь", следует отметить работы [5, 17, 24, 34, 35, 58, 90, 103]. Эти методы отличаются друг от друга выбором разностной схемы, видом граничных условий, способом решения уравнения Пуассона и т.д. Для большинства использующихся па практике алгоритмов характерно раздельное решение разностных уравнений для и) и ф [17, 103]. Такой способ организации вычислений ещё называют двухнолевым методом [103]. Типичным в большинстве вычислительных алгоритмов является прием, когда в уравнении и граничных условиях для вихря функция тока ф берётся с нижнего временного слоя. Полученное уравнение относительно значений UJ на верхнем слое решается методом переменных направлений, а затем при помощи эффективных итерационных или прямых методов решения уравнения Пуассона вычисляется функция ф на верхнем слое. Однако, при использовании подобных алгоритмов возникают довольно жесткие ограничения на шаг по времени. Обнаружено также, что устойчивость вычислительного процесса существенным образом зависит от способа вычисления вихря на твердой границе. В ряде работ решаются вопросы снятия ограничений на временной шаг, усовершенствования двухиолевого метода решения и улучшения сходимости (см. [24, 78, 81, 103]). Большое внимание уделено тестированию вычислительных алгоритмов, построенных в том числе и с использованием переменной "функция тока", в работах Г.Г. Черных и соавторов [62, 109, 124], где рассмотрены тесты для трехмерной мантийной конвекции. Трехмерная конвекция численно моделируется в переменных "векторный потенциал-ротор скорости" в работе [112], там же предлагаются граничные условия для новых искомых функций и тестируются вычислительные алгоритмы. Будем рассматривать классические уравнения конвекции (0.6)-(0.8) с постоянной вязкостью. Так называемые конвективный и диффузионый переносы естественным образом выделяются как в уравнениях движения, так и в уравнении переноса тепла. Тогда вполне обосновано применение идеи расщепления по физическим процессам в уравнениях на каждом временном слое. Идея метода расщепления по физическим процессам базируется на методе слабой аппроксимации [117] и аддитивности этих процессов для достаточно малых шагов по времени. С математической точки зрения расщепление разностного уравнения на составляющие, а затем обоснование аддитивности процессов, описываемых отдельными частями, рассмат ривается в [91] и проводится доказательство суммарной аппроксимации исходного уравнения вследствие расщепления.
Общая теория расщепления наиболее полно изложена в [59]. Основополагающими работами в этом направлении являются работы Дугласа (J. Douglas), Г.И. Марчука, Рэчфорда (Н.Н. Rachford), А.А. Самарского, Н.Н. Яненко (см. также [26, 131, 132, 47, 48, 57, 59, 93, 105, 117] и цитированную там литературу). Явная схема расщепления по физическим факторам используется в работах О.М. Белоцерковского, В.А.Гущина, В.В. Щенникова [14, 15, 16] и заключается в трехшаговой реализации, включающей расчет давления. Физическая интерпретация расщепления приводится в [16].
Точные решения уравнений конвекции слабо сжимаемой жидкости в бесконечной полосе
Начальная скорость uo(x) и начальная температура TQ(X) — известные функции. Величина Тх, пропорциональная тепловому потоку на границе жидкости и твердого тела, также полагается заданной. Тогда можно считать заданной и функцию U(t). Независимость теплового потока на границах слоя х — ±а от координаты у диктуется структурой инвариантного решения. Если задача для температуры решена, то коэффициенты линейного относительно v уравнения известны, а при заданной (p(t) становится известным и его свободный член. Для этого уравнения естественной является первая начально-краевая задача с условиями, являющимися условиями прилипания для исходной физической скорости.
Отыскание инвариантного решения задачи о конвекции в вертикальной полосе сводится к решению второй краевой задачи для нелинейного уравнения теплопроводности (2.13) и последующему решению первой краевой задачи для линейного уравнений (2.12). Отметим, что уравнение (2.12) не является дифференциальным в обычном смысле.
Для построения асимптотики решения выбираем в качестве малого параметра число Буссиисска є (Т = max То). Заметим, что при построении траекторий жидких частиц по модели Обербска — Буссипеска следует взять v\ = 0, в то время как выражение для 1)2-0 Іїе меняется. Кроме того, приведенная зависимость v2 от х, t будет уже не приближенной, а точной. Проекции интегральных кривых системы (2.16) на плоскость х, у при значениях параметров є = 0.01; 0.02 и 7 = 0.5; 2 сек.-1 приведены в работе [86] и демострируют спиралеобразное (основной виток — эллипс) периодическое движение жидкой частицы. Как отмечено в [86], анализ поведения траектории представляется делом весьма трудоемким ввиду многообразия безразмерных параметров, от которых зависит решение задачи Коши (2.16), (2.17). Однако можно предположить, что в условиях применимости модели микроконвекции интенсивность периодического движения и дрейфа частицы определяется в первую очередь значениями угловой частоты у, параметром Буссинеска є и, конечно, положением точки (хо, Уо) относительно боковых границ области. При очень малых є и 7? сравнимых с 1, может быть сделан вывод о типичности режима микроконвекции с медленным дрейфом жидких частиц в вертикальном направлении. Подтверждает этот факт и анализ нетривиальной составляющей движения, проведенный на основании метода усреднения Крылова — Боголюбова [21]. Условимся обозначать через но приведет к тривиальному результату ввиду нулевого среднего для COS jt sin 7 - Для получения нетривиального результата можно выписать систему уравнений для второго приближения [21], соответствующую системе (2.16). Так, для первого уравнения системы (2.16) уравнение второго приближения будет получено следующим способом: где , удовлетворяют системе уравнений второго приближения. Данные соотношения уже позволяют говорить об эллиптической траектории и о ее трансформации, как во времени, так и в пространстве. При этом следует заметить, что вопрос о близости решений усредненной и исходной систем является достаточно тонким, так как уже (х, у) зависит от t посредством et (медленного времени). Согласно [GO], близость решений при минимальных предположениях о гладкости правой части, обеспечивающих разрешимость задачи (2.16), можно гарантировать на некотором промежутке изменения t вида [0,te], где t = г/Ьєу/п, г —расстояние начальной точки от границы области, L — оценка максимума модуля правой части, п — размерность пространства.
Реализация этана диффузии с использованием про гонки с параметрами
С использованием двух математических моделей численно исследуется стационарная двумерная гравитационно-термокапиллярная конвекция в полукруге и кольцевой области со свободной границей. При этом одна из границ по-прежнему считается твердой и непроницаемой. В случае полукруга твердой (фиксированной) границей является полуокружность, при рассмотрении конвекции в кольцевой области твердой границей будет одна из окружностей. Другая граница рассматривается свободной, подверженной действию термокапиллярного эффекта. В условиях невесомости и в случае, когда параметр, ответственный за деформацию свободной поверхности термокапиллярными силами (капиллярное число), довольно мал, рассматриваются недеформируемые свободные границы, приближенно определяемые как поверхности капиллярного равновесия. Подобно тому, как делается в [G, 157], из динамического условия на свободной границе находится поправка к свободной границе. Обе задачи со свободными границами являются модельными; в физических экспериментах, скорее, может быть реализована термокапиллярная конвекция в полукруге. Численные эксперименты проведены для различных значений чисел Прандтля Рг, Мараигони Ма и Рэлея Ra, а также с учетом резко меняющегося граничного температурного режима в случае полукруга. Из теоретических исследований известно, что учет песоленоидальности при моделировании стационарной конвекции ведет к поправкам порядка числа Бусси песка [87].
В данном разделе численно исследуется структура конвективных течений, анализируются ситуации, когда топология течения все же может существенно различаться. Эти ситуации предусматривают дополнительное моделирование больших градиентов в тепловом граничном режиме. Количественные же различия в величинах скоростей здесь менее заметны, чем в нестационарном случае. Расчеты проводятся с использованием методики, апробированной при изучении свободной конвекции и микроконвекции жидкости в областях с фиксированными границами. При этом свойство соленоидалыюсти вектора скорости позволяет ввести функцию тока для уравнений Обербека — Буссинеска и аналог функции тока для уравнений микроконвекции. Вторая искомая функция или вихрь скорости будет представлять собой физический, а не модифицированный вихрь и для модели микроконвекции.
Запишем классические уравнения Обербека — Буссинеска в безразмерном виде, используя для обезразмеривания в качестве характерных величин задачи характерный размер /, характерное время процесса , характерную скорость v (так что / = г; ), характерное давление р (р = PQVI). Тогда система уравнений (2.6)-(2.8) в безразмерном виде будет выглядеть следующим образом: є v — вторая вязкость, W = V — _ _ VT — безразмерная модифициро НеРг ванная соленоидальная скорость. Для постановки задачи воспользуемся обычными обозначениями для введения полярных координат: г — радиальная координата, (р — угловая координата. Если ш — вихрь скорости, а ф — функция тока либо модифицированная функция тока, то v — —— радиальная компонента скорости, и = — тангенциальная компонента скорости.Стационарная гравитациоино-термокаииллярная конвекция изучается в полукруге Для того, чтобы реализовать быстропеременные температурные ноля, моделируется локальная особенность теплового потока как через свободную, так и через твердую границу. В связи с этим рассматриваются три вида граничных условий для обеих моделей. Обозначим их условно: Вариант II — особенность Гауссова типа в тепловом граничном режиме на свободной границе; Вариант III — локальная особенность в тепловом граничном режиме на твердой границе. Для сравнения будет рассмотрен и основной Вариант I, когда "всплески" (особенности) отсутствуют.
Дополнительно может рассматривается различное изменение температурного режима на твердой границе, что отражено в граничном условии для температуры, а именно:
