Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Протекание газокинетических процессов в системе многоуровневых молекул
1. Возбуждение колебательных степеней свободы молекул СО в химической реакции 05+0-00(/^) 10
2. Колебательная кинетика 16
3. Аналитическое описание 24
4. Постановка задачи 29
Выводы 33
ГЛАВА II. Численный расчет газокинетическйх процессов в потоке реагирущей смеси С52+02
1. Структура плоского пламени бедных смесей С«S^+OQ наД пористой охлаждаемой горелкой 34
2. Основные стадии колебательной релаксации гипервозбужденных молекул 48
3. Влияние атомарного кислорода на колебательную кинетику молекул СО 57
4. Особенности колебательной релаксации гипервозбужденных молекул 62
Выводы 77
ГЛАВА III. Уравнение колебательной релаксации многоуровневых двухатомных молекул
I. Диффузионное приближение для условия сохранения числа частиц в газокинетической системе 79
2. Дифференциальное приближение для колебательно-колебательного V-V процесса 84
3. Дифференциальное приближение для колебательно-поступательного V - Т процесса. Механическая интерпретация процессов 91
4. Уравнения колебательной релаксации в диффузионном приближении 97
Выводы
ГЛАВА ІV. Постановка задач о колебательной релаксацш с использованием уравнения диффузионного приближения. начальные и граничные условия. равновесные условия .
I. Начальные и граничные условия 105
2. Состояния равновесия НО
3. Зависимость равновесных решении от параметров .114
4. Асимптотические варианты уравнения диффузионного приближения 121
Выводы 127
ГЛАВА V. Частные и приблженные решения. аналитическое релаксации молекул. классификация режимов колебательной релаксации многоуровневых двухатомных молекул
I. Приближенное решение задачи об эволюции локализованных начальных распределений 128
2. Автомодельные решения. Описание уширения распределений гипервозбужденных молекул по колебательному спектру 136
3. Стационарные решения. Приближенное решение задачи о релаксации гипервозбужденных моле кул в условиях колебательно-поступательного процесса 152
4. Классификация релшмов колебательной релаксации многоуровневых двухатомных молекул 162
Выводы 176
Заключение 179
Литература
- Аналитическое описание
- Основные стадии колебательной релаксации гипервозбужденных молекул
- Дифференциальное приближение для колебательно-поступательного V - Т процесса. Механическая интерпретация процессов
- Зависимость равновесных решении от параметров
Введение к работе
Интенсивное развитие лазерной техники, выяснение методов воздействия и поиск путей управления процессами, которые ответственны за образование активной среды лазеров, вызвало в последние годы интерес к изучению газовых систем, далеких от состояния термодинамического равновесия. В случае молекулярных лазеров изучение возможностей создания инверсной заселенности связано с анализом функций распределения молекул по колебательным уровням. Важное место среди молекулярных лазеров занимают химические лазеры на двухатомных молекулах, в которых в результате химической реакции происходит накачка энергии на верхний колебательный уровень молекулы. Одним из перспективных направлений в настоящее время представляется получение лазерного излучения от реагирующих газовых потоков смеси сероуглерода СЛп с кислородом Og, в которых образуются молекулы окиси углерода C0(/z.) с инверсной заселенностью на группе колебательных уровней гъ =6rf3.
Важным этапом теоретического изучения условий образования инверсной заселенности колебательных уровней СО(/г ) в реагирующем потоке С о+Ор является построение и анализ упрощенных моделей, определяющих химические и релаксационные процессы. Если характерное время образования возбужденных молекул СО {а) мало, а времена изменения других внешних параметров велики по сравнению с характерными временами переноса энергии в молекулярной системе, то возможно изолированное рассмотрение процессов химической наработки молекул СО( ) с учетом газодинамических и диффузионных процессов, происходящих: в реальных лазерных системах, и колебательной кинетики с мгновенным источником неравновесных молекул при постоянном составе и температуре. При этом особый интерес представляет исследование функций распределения аналитическими методами, позволяющими представить роль тех или иных релаксационных процессов, а также учесть наглядным образом влияние различных физических факторов (температуры, давления, концентраций отдельных компонент и т.д.). Если функция распределения заселенностей молекул плавно изменяется от уровня к уровню и вероятности колебательно-колебательного V V обмена быстро убывают с ростом разности состояний сталкивающихся молекул, то колебательную релаксацию удобно описывать уравнением в частных производных в непрерывном пространстве колебательных чисел (уравнением диффузионного приближения типа Фоккера-Бланка).
В настоящей работе развивается аналитический подход к описанию многоуровневых колебательно возбужденных молекул на примере молекулы С0(/г), образуемой в химической реакции С 3 +0 - -- -С0(/г)+ S . В основу описания процесса положено уравнение в частных производных - уравнение диффузионного приближения, справедливое во всем квантовом пространстве.
Диссертация состоит из пяти глав, заключения и списка цитируемой литературы. Каждая глава сопровождается списком основных результатов. Вводная глава I посвящена обзору литературных данных о газокинетических процессах, протекающих в системе молекул СО, и основных теоретических результатов, полученных щи изучении колебательной релаксации многоуровневых молекул. В § I излагаются данные о процессах накачки молекул СО на высокий колебательный уровень. В § 2 представлены данные о колебательной кинетике. В § 3 проводится обзор результатов аналитического исследования колебательной релаксации многоуровневых двухатомных молекул. В § 4 обсуждается постановка задачи исследования.
В главе П излагаются результаты численного расчета газокинетических процессов в потоке реагирующей смеси C-Sg+Og. В § I исследована структура плоского пламени бедных смесей 0Sn+09 над горелкой, используемой для получения непрерывного лазерного излучения. В § 2 приведены результаты расчета колебательной кинетики молекул СО для начального распределения, заданного в виде & -функции на 13 колебательном уровне, и проанализированы основные стадии процесса. В § 3 исследовано влияние аномально быстрой колебательно-поступательной V T релаксации при взаимодействии молекул СО с атомарным кислородом. В § 4 обсуждаются особенности колебательной релаксации гипервозбужденных двухатомных молекул.
В главе Ш приводится последовательный вывод уравнения в частных производных - уравнения диффузионного приближения. В § I получено интегральное условие сохранения числа частиц. В § 2, 3 приводится последовательный вывод членов дифференциального приближения для одноквантовых V"V и V"T процессов. В § 4 приводятся различные формы записи уравнения диффузионного приближения. Демонстрируются интегральные свойства газокинетической системы в рамках континуального описания колебательной релаксации.
В главе ІУ рассмотрена постановка задач колебательной релаксации с использованием полученного уравнения. В § I формулируются основные начальные и граничные условия для типичных задач колебательной релаксации. Анализируется вопрос о вырождении уравнения на нижней границе спектра. В § 2, 3 исследуются состояния равновесия системы. В § 4 на основе методов асимптотического анализа, типичных для исследования уравнений в частных производных, получены различные упрощенные варианты уравнения диффузионного приближения.
Глава У посвящена описанию колебательной релаксации гипервозбужденных двухатомных молекул с помощью частных и приближенных решений уравнения диффузионного приближения. В § I получено приближенное решение задачи о релаксации распределений, локализованных на узкой группе высоких колебательных уровней. В § 2 исследуются автомодельные решения упрощенного варианта уравнения. Описывается уширение распределений по колебательным уровням в случае релаксации гипервозбужденных молекул. В § 3 получено приближенное решение задачи о колебательной релаксации типе рво з бужде иных молекул в условиях колебательно-поступательного У"Т процесса. В § 4 проводится качественный анализ колебательной релаксации изолированной системы при импульсном возбуждении. Получены критерии протекания режимов колебательной релаксации в случаях сильно и гипервозбужденных систем двухатомных молекул.
В заключении диссертации формулируются основные полученные результаты.
Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:
1. Быстрова Т.В., Либрович В.Б. Структура плоского пламени бедных смесей CS9-O9 наД пористой охлаждаемой горелкой. - ФГВ, 1977, В 4, с.512-521.
2. Быстрова Т.В., Сафарян М.Н. О влиянии атомарного кислорода на колебательную релаксацию в системе 0 2+ Письма в ЖТФ, 1978, т.4, с.984-988.
3. Быстрова Т.В. Особенности релаксации сильно возбужденных двухатомных молекул. - Тезисы докл. УІ Всесоюзн. конф. по динамике разреж. газов, Новосибирск, 1979, с.123.
4. Быстрова Т.В. Колебательная релаксация в системе сверхвозбужденных двухатомных молекул. - ФГВ, 1980, № 3, с.78-81.
5. Быстрова Т.В. К диффузионному описанию колебательной релаксации двухатомных молекул. - Тезисы докладов на Ш Всесоюзн. симп. по лазерной химии, Звенигород, 1982, с.28.
6. Быстрова Т.В. Автомодельные режимы "расплывания" колебательной функции распределения двухатомных молекул. - Хим. физика, 1983, № 8, C.I0I5-I0I7.
7. Быстрова Т.В. Приближенное решение задачи о функции распределения, локализованной в узкой области колебательных чисел двухатомных молекул. - Хим. физика, 1984, т.З, № 9, с.1333-1335.
8. Быстрова Т.В. К континуальному описанию колебательной релаксации многоуровневых двухатомных молекул. - М., 1984, 52 с. (Препринт/Институт проблем механики АН СССР, № 238).
Аналитическое описание
Для описания колебательной кинетики многоуровневых двухатомных молекул наряду с численными расчетами газокинетической системы применяются также приближенные аналитические методы построения и анализа упрощенных моделей определяющих релаксационных процессов. В основе их лежит аналитическая теория колебательной релаксации двухатомных молекул, моделируемых ангармоническими осцилляторами, развитая в работах /66, 68, 70-74/ и подробно изложенная в диссертации Гордиеца Б.Ф. /75/. Оказалось, что для процессов, протекающих в существенно неравновесных условиях, традиционные методы на основе модели гармонических осцилляторов недостаточны, и необходимо учитывать реально существующий энгармонизм колебаний молекул. Особенно важна роль энгармонизма в заселении высоко возбужденных состоянии. Впервые функция распределения с учетом энгармонизма была получена в работе /66/ в предположении о доминирующей роли одно-квантовых V" V процессов для стационарной системы уравнений:
Эта функция (названная триноровской в честь одного из авторов работы) имеет вид: где .л - заселенность первого колебательного уровня, /" -неизвестная константа, которая может быть выражена через эффективную колебательную температуру первого уровня 7 = иг -. Значения А и у (или 7", ) могут быть определены из условий сохранения числа частиц и среднего запаса квантов являющегося, как и число частиц, сумматорным инвариантом оператора одноквантового V "V обмена /26/. Триноровское распределение, как легко видеть, обращает в нуль каждую скобку правой части (I.3.I). Это соответствует равенству потоков частиц для любой пары прямого и обратного переходов, и поэтому распределение является еще и равновесным по отношению к V"V процессу.
Как легко видеть, характер зависимости (1.3.2) отличается от аналогичного равновесного распределения для гармонических осцилляторов ( Л L =0), представляющего собой больцмановское распределение с колебательной температурой / :
Появившаяся зависимость от 7" в формуле (1.3.2) объясняется тем, что в ангармоническом осцилляторе V V процессы являются нерезонансными, и поэтому в результате их происходит обмен энергией с поступательными степенями свободы, то есть колебательная система является незамкнутой. При Т = Т, , то есть в состоянии термодинамического равновесия со средой, триноровское распределение совпадает с больцмановским; при 71 Т из-за возрастающей роли второго слагаемого в показателе экспоненты верхние уровни сильно перезаселяются, образуя область отрицательных колебательных температур (абсолютную инверсную заселенность уровней). Образование стационарных состояний с отрицательной температурой связано с существованием верхнего предела энергии системы осциллятора Морзе и конечным числом уровней в ней. Реально распределение (1.3.2) достигнуто быть не может, например, из-за возрастания роли процессов V T дезактивации или диссоциации на верхних колебательных уровнях молекулы. Поэтому при отыскании распределения, которое правильно описывало бы весь колебательный спектр, принципиален учет как V V , так и У Т процессов, а для излучающих молекул необходим еще и учет радиационного излучения.
Если колебательная энергия системы велика, так что U - Г , то становится значительной роль резонансных обменов квантами на высоких колебательных уровнях. В этих условиях для функций распределения свойственно плавное изменение от уровня к уровню. Это дает возможность вводить непрерывную величину - плотность распределения молекул и поставить в соответствие системе газокинетических уравнений интегро-дифференциалъные уравнения в непрерывном пространстве энергий или колебательных чисел (уравнения диффузионного приближения фоккер-планковского типа). Такие уравнения для V V и V Т процессов были получены в работах /67-69/ на основе формализма классической диффузионной теории и содержали в виде кинетических коэффициентов сложные интегральные функции, зависящие от вероятностей обмена. Так как ингегро-дифференциальные уравнения носят самый общий характер, то это дает возможность на основе расчета и анализа кинетических коэффициентов делать выводы о характере и области влияния тех или иных процессов /67/. С друтой стороны, поскольку такие уравнения достаточно сложны, то это затрудняет нахождение решений собственно кинетических задач и позволяет находить лишь равновесные или стационарные решения /68, 69/.
В работе /70/ основное уравнение колебательной релаксации было получено, исходя из системы газокинетических уравнений с учетом V V , V Т процессов и радиационного излучения. При этом зависимости вероятностей переходов от номера уровня были взяты в наиболее простом виде, сохраняющем лишь характерную зависимость от номера уровня, что позволило получить уравнение диффузионного приближения в виде уравнения в частных производных. В основе вывода дифференциальных выражений для потоков частиц между уровнями, которые учитывают локальные свойства заселенности континуума колебательных чисел, лежит быстрое убывание вероятности V V обмена с ростом дефекта энергий сталкивающихся молекул. При выводе члена уравнения, описывающего дезактивацию, предполагалось, что существенны только односторонние V I переходы, что справедливо для случая низких поступательных температур газа.
Основные стадии колебательной релаксации гипервозбужденных молекул
Для описания действия химических лазеров обычно проводится совместное рассмотрение химической и колебательной кинетики в многокомпонентной смеси с учетом соответствующих газодинамических условий. Совокупность процессов, протекающих в лазерах, обычно очень сложна, что не позволяет, как правило, на основе полученных численных данных однозначно определять механизм образования инверсной заселенности. Другим подходом к проблеме описания химических лазеров является последовательное рассмотрение различных кинетических процессов и анализ вклада каждого отдельного процесса в колебательную кинетику рассматриваемой системы. Как было отмечено выше, большое число теоретических работ посвящено релаксации в системе двухатомных молекул с запасом колебательной энергии, существенно превышающим равновесное значение, соответствующее поступательной температуре газа. Полученные результаты основаны на введении квазиравновесной функции распределения и относятся к случаю, когда запас колебательной энергии системы в основном определяется нижними колебательными уровнями. В связи с использованием химического СО лазера на горении сероуглерода представляет интерес противоположный случай, когда почти вся энергия сосредоточена в верхних колебательных состояниях. При высокой скорости химической накачки, которая может быть обеспечена подачей необходжлого числа активных центров в реагирующую смесь, можно рассматривать релаксацию колебательной энергии и заселенностей колебательных уровней при мгновенном источнике, то есть чисто колебательную кинетику. Оценки характерных времен химического образования возбужденных молекул СО и характерных времен релаксационных процессов (см. I) дают основание рассматривать колебательную релаксацию при мгновенном источнике.
Исследование колебательной кинетики будем проводить путем численного интегрирования уравнений баланса для заселенностей колебательных уровней молекул СО с начальным распределением в виде -функции на 13-ом колебательном уровне. Дудут учитываться одноквантовый и двухквантовый колебательно-колебательные обмены, колебательно-поступательный обмен и радиационное излучение. Для констант скоростей процессов используются формулы, данные в I главе.
Проведенный анализ решения нестационарной задачи показывает, что в процессе релаксации можно выделить четыре характерных временных интервала: время, за которое образуется экспериментально получаемое инверсное распределение X (п). Распределения, показывающие значительные заселенности колебательных состояний при/г 5, здесь исключены из рассмотрения, так как они являются продуктом побочных химических реакций, протекающих параллельно с основной реакцией накачки (І.І.І); Ґсі время существования абсолютной инверсии на верхних колебательных уровнях; Т - время уширения распределения по спектру и абсолютная инверсия на нижних колебательных уровнях; Х3 - время установления квазиравновесного распределения с плато на верхних колебательных уровнях, типичного для сильно возбужденных систем. Расчеты показывают, что существует широкий диапазон условий, реализуемых в химических лазерах на горении смеси С & g+Oo, когда Тэ « Т « Tz « Т3
На рис.2.6 показана картина изменения распределения заселенностей в расчете на одну молекулу СО Хп = СО (/г) / СО в моменты времени до исчезновения инверсности, а на рис.2.7 эволюция распределения для t tz ( Т =300К, [со] = ТА я =2.5 10 1/см ). Релаксация происходит следующим образом. В ранние моменты времени t T9— 5 10 с (Тэ - 1/(13) (СО]) за счет быстрого резонансного V" V обмена между высоковозбужденными молекулами происходит размывание начального распределения к функцииХ0( п), полученной графическим усреднением экспериментальных точек (на рис.2.6 она отмечена звездочками). Из сравнения этих распределений можно сделать вывод, что для отсутствует принципиальное отличие между о -образным и наблюдаемым в эксперименте начальным распределением. Следует заметить, что при глубоком охлаждении газа ( 7" 200К) вследствие роста Л за счет дальнодействующей части потенциала межмолекулярного взаимодействия скорость процесса релаксации высоковозбужденных молекул начинает значительно превышать скорость их возникновения, и постановка задачи с мгновенным источником оказывается несправедливой.
В следующие моменты времени происходит дальнейшее размывание распределения заселенностей и уменьшение максимума инверсности за счет возбуждения все более высоких колебательных уровней. На этом этапе из-за существенных заселенностей высоких уровней доминирующая роль опять принадлежит резонансному V" V обмену. Распределение на этом временном интервале имеет все более несимметричную форму, обусловленную уменьшением скорости процесса обмена с уменьшением п и увеличением ее при возрастании /г . Видно, что для этой стадии, соответствующей
Дифференциальное приближение для колебательно-поступательного V - Т процесса. Механическая интерпретация процессов
Как видно из разложения (3.2.16), следующий член ряда определяется значением Z =4, а соответствующая высшая производная функции -f по координате И будет пятого порядка. При этом уравнение диффузионного приближения (3.1.II) будет представлять собой уравнение в частных производных шестого порядка. Высокий порядок уравнения создает большие трудности при его исследовании, и поэтому использование высших приближений представляется нецесообразным.
Дифференциальное приближение для колебательно-поступательного 1/-7" процесса. Механическая интерпретация процессов
Для единообразия рассмотрим в той же последовательности, что и для 1/ 1/ обмена, переход от дискретной модели У Т обмена к континуальной.
Скорость изменения заселенности колебательных уровней вследствие У "1 обмена при дискретном рассмотрении описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений (см. формулу (3.1.I)):
Эти уравнения, в отличие от уравнений для V V обмена, являются линейными относительно искомых фуніщий Аа и носят "локальный" характер по взаимодействию с остальными колебательными уровнями, т.е. значение функции Хп определяется ее взаимодействием с соедними функциями Х„+; и Хп_у и не зависит от более далеко расположенных функций X; .
Вводя, как и раньше, плотность распределения заселеннос-тей j(n)dn - Хп и используя определения для констант равно весия: В силу произвольного выбора а и п введем понятие потока частиц в произвольной точке п . При этом учтем, что интервал [п, п +l] мал, и выпишем значение интеграла для потока как значение подынтегральной функции в точке
Таким образом, для решения конкретных задач необходимо задаваться видом Р (п) и равновесной функции jp . Для ангармонического осциллятора Морзе, в простейшем варианте, учитывающего сильную экспоненциальную часть зависимости, имеем /26/: Здесь О - коэффициент, характеризующий рост V T обмена с увеличением колебательного квантового числа. Подстановка дает:
Прежде, чем приступить к обсуждению методов исследования уравнения диффузионного приближения и решению конкретных задач, целесообразно дать механическую интерпретацию процесса колебательной релаксации, соответствующую континуальному рассмотрению явления. Уравнение (3.1.II) означает условие сохранения определенной величины -плотности частиц в координатном пространстве П : п =0 N . Для одномерной задачи величину 7 можно трактовать как вектор потока частиц, направление которого совпадает с направлением движения, а его абсолютная величина определяет количество частиц, протекающих в единицу времени через площадку единичного поперечного сечения. Другими словами, в континуальном приближении колебательная релаксация ангармонических осцилляторов Морзе обладает свойствами движения на координатном отрезке ( 0,/VJ, где Л/ = - с является верхней границей колебательного спектра молекулы.
Первое слагаемое представляет собой смещение частиц в простран-стве со скоростью V - -Ра Є vT п , имеющей резкую экспоненциальную зависимость от координаты, с характерной шириной интервала ZvT =1/дуТ . Так как величины, входящие в выражение для скорости, положительны, то смещение частіщ происходит всегда в сторону нижних колебательных уровней, а сама величина потока пропорциональна плотности частиц в данной точке.
Вклад второго слагаемого в поток / _. определяется характерным параметром S , смысл которого можно прояснить, если обратиться к квантовомеханическому описанию V T обмена. Как следует из (3.3.II), величина характеризует роль обратных переходов в V J процессе; чем больше эта величина, тем эффективнее эти переходы. Поэтому второе слагаемое в (3.3.15) можно интерпретировать как составляющую потока частиц / , соответствующую обратным переходам (диффузионную составляющую потока частиц). Соответственно, первое слагаемое можно тракто-вать как составляющую і , соответствующую прямым переходам (кинетическую составляющую потока)
Поток зависит от значения производной функции плотности 4 ив силу положительности коэффициента Р0 5 направлен всегда в сторону ее убывания.
Характеристические величины Р и S , вообще говоря, зависят от координаты п . Однако, учитывая наличие экспоненци о ального множителя в VT при обоих членах в (3.3.15), молено найти условия, при которых этой зависимостью можно пренебречь. Пусть окрестность точки определяет вклад процесса в эволюцию распределения. Тогда в окрестности этой точки имеем:
Зависимость равновесных решении от параметров
1. Сформулированы основные начальные и граничные условия к выведенному уравнению в частных производных четвертого порядка. Проанализирован вопрос о вырождении граничных условий на нулевом колебательном уровне. Показано, что тождествеиному обращению в нуль потоков частиц и колебательной энергии (потен -циала Ф ) соответствует конкретный локальный вид функции распределения, зависящий от отношения характерного времени изменения заселенности нулевого уровня ко времени распространения возмущений в рассматриваемом V Т или V-V процессе.
2. Показано,что стационарное решение уравнения для изолированной области соответствует равновесным распределениям систем двухатомных молекул в термостате,вытекающим из дискретного рассмотрения.Исследованы зависимости этих решений от параметров.
3. Получены различные упрощенные варианты уравнения диффузионного приближения. Для больших квантовых чисел и плавных функций распределения в областях, где не существенен I/-7 обмен, справедливо уравнение типа нелинейной диффузии; при включении У -J обмена распределения описываются уравнением типа нелинейной диффузии, дополненным членом, который обусловлен кинетической составляющей потока за счет V процесса, и справедливым внутри узкого слоя (колебательно-поступательного погранслоя); при резком возрастании логарифма функции распределения справедливо стационарное уравнение второго порядка, учитывающее полный поток за счет V -V обмена; при резком уменьшении логарифма функции справедливо уравнение первого порядка; при степенном изменении функции вблизи нижней границы спектра образуется колебательно-колебательный погранслой, в котором справедливо уравнение четвертого порядка, обусловленное диффузионной составляющей за счет /-/ процесса.
В настоящем параграфе будет исследоваться релаксация распределений, локализованных в узкой области колебательного спектра при больших значениях п . Такая ситуация реализуется, например, на начальной стадии процесса релаксации в системе возбужденных молекул СО, образуемых в результате мощной селективной накачки высоких колебательных состояний в химической реакции С 5 +0 - -со+ S .
В континуальном приближении колебательная релаксация многоуровневых двухатомных молекул в области больших квантовых чисел описывается уравнением типа нелинейной диффузии (4.4.14):
Функция плотности f (nyt) предполагается нормированной на единицу, Ма - полное число молекул СО. Условиями применимости являются: плавное изменение функции при длине n vpTf и пренебрежение колебательно-поступательной V - Т релаксацией. Пусть в начальный момент времени распределение заселенно-стей по колебательным уровням имеет вид очень крутого "горба" с максимумом в точке п - п0 . При таком распределении можно пренебречь влиянием как области больших п , где имеет место возникновение V Т дезактивации, так и области нижней границы спектра, где заселенности уровней пренебрежимо малы; тогда для
Задачу (5.1.1)-(5.1.3) не удается решить точными методами. Однако, если интересоваться интегральными характеристиками процесса, то эффективным оказывается метод интегральных соотношений, впервые примененный к уравнениям такого типа Г.И.Барен-блаттом /89/. Идея метода заключается в следующем. Строится функция, удовлетворяющая системе интегральных законов сохранения, которые следуют из дифференциального уравнения, начальных и граничных условий. Так, если уравнение (5.I.I) умножить на систему функция I, п ,/1,..., п и проинтегрировать по а в пределах от нуля до бесконечности, положив потоки на границах равными нулю, то получится следующая система интегральных равенств:
