Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Модифицированный метод Энскога-Чепмена для многоатомных газов с быстрыми и медленными процессами
1.1. Структура и колебательная энергия молекул СО2 и N2 11
1.2. Обмены колебательной энергией в смесях CO2/N2 16
1.3. Характерные времена релаксации 18
1.4. Кинетические уравнения в безразмерном виде 21
1.5. Макропараметры и потоковые члены 24
1.6. Функция распределения нулевого приближения 27
1.7. Уравнения переноса для макропараметров 32
1.8. Удельные теплоемкости 36
1.9. Функция распределения первого приближения 45
1.10. Интегральные уравнения и условия их разрешимости 49
1.11. Потоковые члены 50
1.12. 4-температурное приближение 53
Выводы главы 1 57
Глава 2. Расчет коэффициентов переноса в смеси CO2/N2
2.1. Разложение по полиномам Сопина и Вальдмаыа-Трубенбахера 58
2.2. Системы уравнений для коэффициентов разложений 62
2.3. Интегральные скобки 67
2,4. П-интегралы 72
2.5. Коэффициенты переноса 75
Выводы главы 2 84
Глава 3. Приложение к течению смеси CO2/N2 за ударной волной
3,1. Система уравнений для макропараметров в 4-температурном приближении 85
3.2, Колебательная кинетика смеси CO2/N2 за ударной волной 90
3.3. Перенос тепла 98
Выводы главы 3 104
Заключение 105
Литература 108
Список публикаций 115
- Структура и колебательная энергия молекул СО2 и N2
- Разложение по полиномам Сопина и Вальдмаыа-Трубенбахера
- Система уравнений для макропараметров в 4-температурном приближении
Введение к работе
1. Общая характеристика работы
Диссертация посвящена исследованию неравновесной колебательной кинетики и процессов переноса в смеси углекислого газа и азота с помощью методов кинетической теории. Учитывается сложная структура молекул СОг, ангармоничность колебаний, разные скорости энергообменов. Течение газа рассматривается при условии, когда внутримодовые обмены колебательной энергией происходят значительно чаще, чем межмодовые обмены и колебательно-поступательные переходы. В этом случае каждая колебательная мода характеризуется собственной колебательной температурой. На основании модифицированного метода Энскога-Чепмена для многоатомных газов с быстрыми и медленными процессами строится 5-температурная модель, дающая замкнутое описание течения смеси CO2/N2, учитывающая разные скорости обменов колебательной энергией внутри колебательных мод и между ними. Рассматриваются модифицированные удельные теплоемкости колебательных степеней свободы углекислого газа и азота для различных распределений молекул но колебательным уровням, изучено влияние ангармоничности и возбуждения колебательных мод на теплоемкости. Строится процедура расчета коэффициентов переноса в 5-температурном приближении для смеси углекислого газа и азота. Производится расчет коэффициентов теплопроводности, вязкости, диффузии и термодиффузии как функций состава смеси, температуры газа и температур колебательных мод. Дается оценка влияния ангармоничности колебаний, неравновесности, состава смеси на коэффициенты переноса. Исследуется кинетика и перенос тепла в 4-температурном приближении при течении смеси CO2/N2 в релаксационной зоне за фронтом ударной волны. Оценивается влияние межмодовых обменов колебательной энергией на распределение газодинамических параметров и вклад различных процессов в поток тепла за ударной волной.
Актуальность темы. Исследование колебательной кинетики и процессов переноса в многоатомных газах связано со многими актуальными задачами современной неравновесной газовой динамики. Это развитие аэрокосмической техники, физики лазеров, плазмохимии, химических техноло- гий, физики атмосферы. Изучение кинетики и переноса в смесях, содержащих молекулы углекислого газа, необходимо для моделирования явлений, происходящих в атмосфере Марса, Титана, конструирования летательных аппаратов и исследовательских зондов, входящих в атмосферы этих планет. Процессы, протекающие в смесях CO2/N2, важны для создания и совершенствования газодинамических лазеров, для решения экологических проблем и развития новых химических технологий,
Цель работы:
Построение замкнутого описания течения смеси CO2/N2 в сильнонеравновесных условиях, учитывающего реальные свойства многоатомных молекул., ангармоничность колебаний и различные скорости обменов колебательной энергией.
Разработка алгоритмов расчета коэффициентов переноса в многотемпературных смесях СОг/Л^.
Расчет коэффициентов диффузии, термодиффузии, вязкости и теплопроводности в смеси CO2/N2 в 5-температурпом приближении.
Исследование колебательной кинетики и переноса тепла при течении смеси CO2/N2 в релаксационной зоне за фронтом ударной волны в 4-температурном приближении.
Методика исследования основана на развитии кинетической теории газов. Неравновесные течения многоатомных газов описываются с помощью од-ночастичпых функций распределения молекул по скоростям и дискретным уровням внутренней энергии. Используется модифицированный метод Энскога-Чепмена для многоатомных газов с быстрыми и медленными процессами для построения функций распределения нулевого и первого приближений, записи уравнений для макропараметров, вывода выражений для потоковых и релаксационных членов и расчета коэффициентов теплопроводности, вязкости, диффузии и термодиффузии. Для моделирования течений многоатомных газов за ударными волнами применяется численный метод решения системы обыкновенных дифференциальных уравнений — метод Гира для жестких систем.
Достоверность результатов определяется, во-первых, использованием методов строгой кинетической теории, подробно разработанных многими авторами и хорошо зарекомендовавших себя при решении различных проблем динамики разреженного газа. Во-вторых, сравнение коэффициентов переноса, рассчитанных по разработанной в диссертации методике, показало хорошее согласие с существующими экспериментальными данными. В-третьих, при расчете параметров за фронтом ударной волны, использо- вались достоверные экспериментальные данные по коэффициентам скоростей обменов колебательной энергией.
Научная новизна. Создание математических моделей кинетики и процессов переноса в смесях многоатомных газов, учитывающих реальные свойства многоатомных молекул и различные скорости обменов колебательной энергией внутри колебательных мод, между разными модами и между молекулами разных сортов, в настоящее время является новым направлением в развитии кинетической теории. Новыми являются результаты, полученные при расчете коэффициентов переноса в сильнонеравновеслых условиях., оценка влияния возбуждения различных колебательных мод на удельные теплоемкости и коэффициенты теплопроводности азота и углекислого газа, исследование роли различных микроскопических процессов на теплоперенос за ударной волной.
Научная и практическая ценность работы состоит в построении замкнутой кинетической модели для широкого класса задач, связанных с изучением силыюнеравновесных процессов в смесях многоатомных газов. Получена схема расчета коэффициентов вязкости, теплопроводности, диффузии и термодиффузии в 5-температурном приближении для смеси углекислого газа и азота, что имеет значение для практической реализации этого подхода. Оценена роль ангармоничности колебаний молекул COi и _/V2, показано, что ангармоничность слабо влияет на кинетику я перенос тепла за ударными волнами. Полученные результаты могут найти практическое применение в аэротермохимии, неравновесной газовой динамике, лазерной физике, плазмохимии, физике атмосферы.
Положения, выносимые на защиту
Замкнутая кинетическая модель течения смеси CO2/-/V2, учитывающая сильные отклонения от равновесия, наличие в многоатомных молекулах нескольких колебательных мод, внутри- и межмодовое взаимодействие, существование различных механизмов релаксации, диссоциацию, ангармоничность колебаний.
Алгоритм вычисления коэффициентов переноса в 5-температурном приближении для смеси CO2/N2 с учетом ангармоничности колебаний.
Результаты расчета модифицированных удельных теплоємкостей С02 и А^, коэффициентов теплопроводности, вязкости, диффузии и термодиффузии в смеси CO2/N2 в широком диапазоне условий. Оценка влияния ангармоничности, возбуждения различных колебательных мод и состава смеси на теплоемкости и коэффициенты переноса.
Исследование неравновесной кинетики и теплопереноса за ударными волнами в 4-температурном приближении в смеси CO2/N2, анализ влия- ния межмодовых обменов на распределение макропараметров за фронтом ударной волны, изучение вклада различных диссипативных процессов в общий поток тепла.
Апробация результатов. Результаты, включенные в диссертацию, докладывались на XX юбилейном международном семинаре по струйным, отрывным и нестационарным течениям (Санкт-Петербург. 2004);
Международной научной конференции по механике "Четвертые Поля-ховские Чтения" (Санкт-Петербург, 2006);
25 международном симпозиуме по динамике разреженного газа (Санкт-Петербург, 2006);
Семинаре кафедры гидроаэромеханики Санкт-Петербургского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в журнале "Вестник Санкт-Петербургского университета11, сборнике "Аэродинамика", в тезисах международных конференций [1*|-[5*]. В работах [1*, 2*] Е.В. Кустовой была поставлена задача; автору диссертации принадлежит исследование и расчет модифицированных удельных теплоємкостей СО2, оценка влияния числа возбужденных колебательных уровней, неравновесности и ангармоничности на эти коэффициенты. В работах [3*, 4*] соавтором был предложен выбор модели, основанной на реальных соотношениях характерных времен. Диссертантом построена 5-температурная модель, дающая замкнутое описание течения смеси CO2/N2. Выписаны функции распределения нулевого и первого приближений метода Энскога-Чепмена, замкнутая система уравнений для макропараметров и выражения для коэффициентов переноса. Построен алгоритм вычислений и проведен расчет коэффициентов переноса. В работе [5*] соавтору принадлежит расчет макропараметров за фронтом ударной волны. Диссертантом изучено неравновесное течение смеси CO2/N2 за фронтом ударной волны в 4-температурном приближении. Оценено влияние обменов колебательной энергией, ангармоничности и состава смеси на изменение температуры газа, температур первых колебательных уровней и поток тепла.
2. Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы. Каждая глава начинается с краткой аннотации, в конце главы формулируются основные выводы. Диссертация изложена на 115 страницах текста. Библиография — 86 наименований, Рисунков — 50. Таблиц — 6.
Во введении приводятся общие сведения о работе, обосновывается актуальность темы, достоверность и новизна. Описана структура диссертации и ее объем. В первой главе па основании модифицированного метода Энскога-Чепмена для многоатомных газов с быстрыми и медленными процессами строятся 5- и 4-температурная модели неравновесных течений многоатомных газов. Во второй главе подробно излагается процедура расчета коэффициентов переноса для бинарной смеси CO2/N2. В третьей главе построенная 4-температурная математическая модель применяется для исследования колебательной кинетики и теплопереноса при течении смеси CO'ijNi в релаксационной зоне за фронтом ударной волны.
3. Основные направления развития кинетической теории неравновесных процессов
Начало развития точной кинетической теории было положено работами английского физика Дж. Максвелла (1831-1879) и австрийского физика-теоретика Л. Больцмана (1844-1906), установивших основные уравнения для процессов переноса. Общее решение этих уравнений впервые было дано лишь спустя 40 лет, когда примерно в течении года (1916-1917) Чепмен и Энског независимо получили решения, пользуясь совершенно различными как по существу, так и в деталях методами, приводящими, однако, к одинаковым результатам [47, 48. 52].
Первоначально фундаментальные принципы кинетической теории, основанной на уравнении Больцмана, были разработаны для одноатомного газа. В результате сформировалась классическая теория процессов переноса в одноатомных газах и их смесях. Обобщение уравнения Больцмана для газов с внутренними степенями свободы и химическими реакциями в работах Л. Вальдмана [84], Ванг Чанг и Дж. Уленбека [85], СВ. Валланде-ра [4] определило новый этап развития кинетической теории и значительно обогатило ее физическое содержание. На дальнейшие исследования в этой области в нашей стране заметное влияние оказали идеи СВ. Вал-лаидера о применении кинетического подхода к задачам аэродинамики и описанию релаксационных процессов в газах.
Особенностью развития кинетической теории газов в последние три десятилетия стала необходимость решения вставших перед ней новых физических проблем. Одной из таких проблем является моделирование течений газов в условиях сильных отклонений от термодинамического равновесия. Подобные условия возникают, например, у поверхности космических аппаратов многоразового использования при входе в атмосферу Земли, при выполнении экспериментов на высокоэнтальпийных установках, при сверхзвуковом течении газа в соплах и струях, при исследовании процессов в активной среде молекулярных лазеров, при очистке загрязненной атмосферы и др.
В большинстве работ 60-90 годов XX века при исследовании процессов переноса в газах рассматривались слабые отклонения от локального термодинамического равновесия. В современной теории релаксационных процессов в молекулярных газах необходимо учитывать, что при протекании многих газодинамических явлений (сверхзвуковое обтекание тел, релаксация за фронтом ударной волны, процессы в электрических зарядах, газовых лазерах, системах с оптической накачкой и т.п.) состояние газа значительно отклоняется от равновесного, т.е. часть обменов энергией и химических реакций протекает в макроскопическом масштабе времени, одновременно с изменением газодинамических параметров. Поскольку в реагирующих смесях существует широкий спектр времен релаксации, появляется возможность построения иерархии характерных времен, заметно различающихся по порядку. Существование иерархии времен позволяет обобщить метод Энскога-Чепмена на случай смеси газов с быстрыми и медленными процессами. Общая идея модификации состоит в представлении правой части кинетического уравнения в виде суммы слагаемых различного порядка, в которых выделяется ведущий интегральный оператор, отвечающий наиболее частым столкновениям. Для выделенной группы столкновений предполагается существование дополнительных законов сохранения или, что то же самое, дополнительных аддитивных инвариантов столкновений. В каждом приближении модифицированного метода Эпскога-Чепмена выводятся уравнения релаксационной газодинамики для неоднородного газа, соответствующие приближениям Эйлера. Навье-Стокса и т.д. Указанное направление развивалось в работах В.Н. Жигулева [13]-[16], В.М. Кузнецова [17]-[20], Е.А. Нагнибеда [26], М.А. Рыда-левской [31], Р. Брена [43]; несколько иная модификация метода Энскога-Чепмена предложена в работах B.C. Галкина, М.Н. Когана, Н.К. Макашева [5, 6]. Различие в скоростях процессов при построении моментных методов принималось в расчет в работах В.М. Жданова [11, 12].
В результате обобщения метода Энскога-Чепмена для силы-ганеравно-весных условий было показано, что в таких условиях уравнения переноса необходимо рассматривать совместно с уравнениями релаксации. Понимание этой особенности моделирования течений газов с быстрыми и медленными процессами привело к значительному сближению идей и методов кинетической теории и физической кинетики. Последняя изучает сильнонеравновесные процессы, но до недавнего времени кинетика неравновесных процессов рассматривалась в пространственно однородных газа.х вне связи с газодинамикой. Методы кинетической теории позволили учесть опыт, накопленный физической кинетикой, при решении задач неравновесной газодинамики. Дальнейшее развитие получила теория квазистационарных распределений, которые были использованы при моделировании течений неравновесных газов и процессов переноса.
Первыми моделями, учитывающими сильную неравповесность по колебательным степеням свободы, были двухтемпературные и многотемпературные модели переноса и релаксации, развитые В.Н. Жигулевым, В.М. Кузнецовым и другими авторами. Эти модели, предполагающие существование неравновесного больцмановского распределения молекул по колебательным энергиям с колебательной температурой, отличной от температуры газа, нашли широкое применение при описании неравновесных течений за ударными волнами, в соплах, в пограничном слое и в других потоках вязкого газа. Тем не менее, область применимости моделей, основанных па больцмановских распределениях, ограничена. Известно, что распределение Больцмаиа в колебательных модах устанавливается только при условии, что системы поступательных и колебательных степеней свободы являются полностью изолированными. Это условие выполняется в газах, состоящих из молекул — гармонических осцилляторов. Для молекул — ангармонических осцилляторов обмены колебательной энергией не являются резонансными, и часть колебательной энергии переходит в другие виды внутренней энергии. Квазистационарное распределение, принимающее в расчет реальные свойства молекул и обмен энергией между поступательными и колебательными степенями свободы, было впервые получено в работе [80] на основе решения уравнений для заселениостей колебательных уровней. Распределение Тринора [80] и его обобщение на случай сильно возбужденного газа сыграли важную роль в теории колебательной релаксации.
Теория процессов переноса, основанная на небольцмановских квазистационарных решениях кинетических уравнений, развита в работах Е.А. Нагнибеда и Е.В. Кустовой [61, 62, 63, 65, 22, 27] как для однокомпонентного газа, так и для смесей газов с химическими реакциями, Построенные в этих работах эффективные алгоритмы для вычисления кинетических коэффициентов позволили не только качественно, но и количественно оценить эффекты реального газа и влияние небольцмановских распределений на диссипативпые свойства сильнонеравновесных газов.
Новым важным направлением развития кинетической теории является исследование колебательно-химической кинетики и процессов переноса в многоатомных газах. В частности, изучение кинетики и переноса в смесях, содержащих молекулы С02, необходимо для расчета параметров течения и тепловых потоков у аппаратов, входящих в атмосферу Марса и Венеры. Смеси СОч и Ni используются во многих газодинамических лазерах, поэтому особенности их колебательной кинетики представляют значительный интерес в лазерных технологиях. Кроме того, исследование многоатомных молекул необходимо для развития ллазмохимии, химических технологий, физики атмосферы.
Построение моделей кинетики и процессов переноса в многоатомных газах в условиях сильных отклонений от равновесия связано со значительными трудностями. Во-первых, недостаток сведений о скоростях обменов колебательной энергией, а также огромное число колебательных уровней, существующих в многоатомных молекулах, не позволяют применять поуровневое описание течений. Во-вторых, наличие многих каналов релаксации и разных скоростей соответствующих процессов затрудняют выбор адекватного многотемпературного описания. В-третьих, для молекулы СО'2 ангармоничность важна уже на нижних уровнях и, следовательно, область применения простой модели гармонического осциллятора имеет серьезные ограничения. В связи с этим возникает необходимость построения квазистационарных моделей, принимающих в расчет ангармоничность колебаний и различные скорости обменов колебательной энергией. В работах [23, 29, 30. 46. 50, 64, 66, 70] получено несколько колебательных распределений в молекулах СОч-, учитывающих реальные свойства многоатомных газов. Кинетика диссоциации колебательно возбужденных молекул СО2 рассматривалась в [53, 54, 56, 68], экспериментальные данные о неравновесной диссоциации СО% приводятся в работах [44, 54. 55, 60]. Процессы переноса в смесях, содержащих СОъ, также исследованы недостаточно. Коэффициенты теплопроводности (7( в слабонеравновесных условиях при низких температурах рассмотрены в [39], коэффициенты переноса в высокотемпературных смесях (7( в условиях термического равновесия рассчитывались в [77]. Влияние сильной колебательной неравновесности на коэффициенты теплопроводности изучалось в [79, 42], однако в этих работах не учитывалась внутренняя структура молекул (70г и вводилась лишь одна колебательная температура, общая для всех мод. Кинетические модели процессов переноса в (702, учитывающие разные скорости колебательной релаксации в различных модах, были построены сначала для гармонических осцилляторов [76], а затем и с учетом ангармоничности [50, 61, 67].
Настоящая диссертация посвящена моделированию кинетики и переноса в смесях CO2/N2 с сильной колебательной перавиовесностыо.
Структура и колебательная энергия молекул СО2 и N2
Молекула углекислого газа является линейной трехатомной молекулой, которая имеет в основном электронном состоянии три колебательные моды [8. 2], схематически показанные на рис.1.1. Первая мода представляет собой симметричные колебания вдоль оси. соединяющей атомы, — симметричная валентная мода с основной частотой этих колебаний v\. Вторая мода представляет собой деформационные колебания, причем изгиб может совершаться в двух перпендикулярных плоскостях; в этом смысле вторая мода фактически представляет собой две колебательные моды с одной и той же частотой -- дважды вырожденная деформационная мода с частотой щ. Третья мода характеризует антисимметричные колебания вдоль межъядерной оси — антисимметричная валентная мода с основной частотой р%. Молекула азота, также показанная на рис. 1.1, является двухатомной молекулой; она обладает единственной модой колебаний с характеристической частотой v .
Каждая мода колебаний имеет свой собственный набор квантовых энергетических уровней, поэтому при описании молекулы (702 обычно используется набор из четырех чисел {цл г- }, где іі; І2, із — колебательные квантовые числа, соответствующие симметричной, деформационной и антисимметричной модам, I — дополнительное квантовое число, описывающее проекцию момента деформационных колебаний на ось молекулы (далее для краткости записи многих формул будем обозначать этот набор индексов одной буквой, т. е. г = {hi h) или наоборот, для наглядности выписывать эти индексы, но тогда будем опускать индекс „CCV ). Для описания молекулы Л используется одно колебательное квантовое число, которое обозначим через ц.
Будем считать, что внутренняя энергия молекулы сорта с. находящейся на г-м колебательном и j-м вращательном уровнях представляет собой сумму є г,с — колебательной и ,,ст — вращательной энергий
Строение молекул и свойства их энергетических уровней проявляются в молекулярных спектрах — спектрах излучения (поглощения), возникающих при квантовых переходах между уровнями энергии молекул. Спектр внутренней энергии молекул определяется как набор собственных значений уравнения Шредиигера при заданном потенциале внутримолекулярного взаимодействия. Простейшей моделью вращательного движения двухатомной молекулы является модель жесткого ротатора, предполагающая независимость вращательной: и колебательной энергии. При этом квантовая механика приписывает молекуле следующие вращательные уровни.
Разложение по полиномам Сопина и Вальдмаыа-Трубенбахера
Для решения линейных интегральных уравнений (1.182)-(1.189) функции ACjj, А , Вс;,-, D - раскладывают в ряды по системам ортогональных полиномов Сонина и Вальдмана-Трубенбахера. Полиномы Сонина определяют следующим образом [36, 9, 34]:
Эти полипомы удовлетворяю ! соотношениям нормировки и ортогональности
В частности, при любых
Полиномы Вальдмана-Трубенбахера для дискретных уровней энергии задаются рекуррентным соотношением [84, 85]
где угловые скобки означают операцию осреднения. В кинетической теории газов обычно проводится осреднение по внутренней энергии с учетом функции распределения нулевого приближения. Так, в случае слабых отклонений от термического равновесия вводится операция осреднения по полной внутренней энергии:
В силыюнеравиовесном газе с быстрыми и медленными процессами функция распределения нулевого приближения соответствует равновесному распределению лишь по некоторым степеням свободы, что приводит к модификации операции осреднения (2.1). Так. в многотемпературном приближении функция распределения нулевого приближения /с-. имеет вид (1.81) и описывает равновесное распределение по скоростям и вращательным уровням и неравновесное распределение по уровням колебательной энергии. С этим связаны особенности выбора полиномов в данном случае. В частности, для аппроксимации зависимости искомых функций от внутренней энергии выбираются полиномы Вальдмана-Трубенбахера от вращательной и колебательной энергии, определенные с помощью операций осреднения по вращательному спектру (1.177) и колебательному
Система уравнений для макропараметров в 4-температурном приближении
Система уравнений (1.213)-(1.218), дающая замкнутое описание течения смеси CO2/N2 в 4-температурном кв аз и стадион ар ном приближении, в нулевом приближении метода Энскога-Чепмена при отсутствии химических реакций принимает следующий вид что соответствует максвелл-больцмановскому распределению по поступательным и вращательным степеням свободы и сильной колебательной неравновесности.
Запишем систему уравнений (3.1)-(3.7) в одномерной стационарной постановке для случая невязкого нетсплопроводпого газа [69, 53]. В этом случае уравнения сохранения интегрируются в квадратурах, а уравнения кинетики представляют собой обыкновенные дифференциальные уравнения. Течение смеси CO2/N2 будем рассматривать с VT- и VV-переходами колебательной энергии и без учета химических реакций. При сделанных предположениях система уравнений для числовых плотностей rico2- nN2-, макроскопической скорости v. чисел колебательных квантов W12, W3, VV4, зависящих от температуры газа Т и температур первых колебательных уровней 7І2, Хз, Т4.
