Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Проблемы описания неравновесных процессов переноса 12
1.1. Стохастическая природа неравновесных процессов переноса 12
1.2. Замыкание уравнений баланса для неравновесных процессов 14
1.3. О микроскопическом обосновании феноменологических определяющих соотношений 16
1.4. Анализ и классификация подходов к обобщению уравнений гидродинамики 18
1.5. Строгие статистико-механические результаты 26
1.6. О выводе уравнений нелокальной гидродинамики методом неравновесного статистического оператора 29
ГЛАВА 2. Самосогласованные нелокально-гидродинамические модели квазистационарных неравновесных течений структурированных сред 36
2.1. Новый самосогласованный подход к построению нелокально-гидродинамических моделей неравновесных процессов переноса 36
2.2. Статистико-механическая основа описания неравновесных процессов переноса 39
2.3. Волновая природа неравновесного переноса импульса 43
2.4. О моделировании релаксационных ядер переноса 47
2.5. Специфика постановки граничных задач в нелокальных теориях 51
2.6. Построение пространственных зависимостей релаксационных ядер переноса для квазистационарных процессов 53
2.7. Физический и математический смысл параметров нелокальной модели 56
2.8. Трехмоментная модель пространственной корреляционной функции 60
2.9. Самосогласованное определение параметров нелокальной модели 63
2.10. Слабо нелокальное приближение 65
2.11. Сведение самосогласованной нелокальной формулировки граничных задач к нелинейной операторной системе 67
2.12. Математическая основа постановки и решения задач о неравновесных стационарных состояниях 71
ГЛАВА 3. Стационарное сдвиговое течение среды с учетом коллективного взаимодействия 77
3.1. Нелокальное обобщение задачи Куэтта 77
3.2. Спектры структуры стационарного сдвигового течения 81
3.3. Профили массовой скорости при стационарном сдвиге 84
3.4. Баланс внутреннего момента вращения при стационарном сдвиге 85
3.5. Скачки скорости на твердых границах 87
3.6. Нестационарное течение Куэтта 89
3.7. Мезофлуктуации или пульсации скорости 91
ГЛАВА 4. Задача о стационарном течении структурированной среды в плоском канале в самосогласованной нелокальной формулировке 102
4.1. Самосогласованная нелокальная формулировка задачи 103
4.2. Операторная формулировка задачи 105
4.3. Асимптотическое исследование задачи 106
4.4. Приближенное решение задачи 107
4.5. Анализ решения задачи в самосогласованной формулировке... 110
4.6. Эволюция профиля скорости вдоль течения 111
4.7. Решение задачи о входном участке канала 114
4.8. Анализ приближенных решений задачи о входном участке 117
4.9. Нелокальное описание течений многофазных сред 119
ГЛАВА 5. Нелокальная модель пограничного слоя 129
5.1. Явление турбулентности с точки зрения нелокально-гидродинамического подхода 130
5.2. Турбулентность и нелокальность как атрибуты неравновесного переноса 140
5.3. Вывод нелокальных уравнений пограничного слоя 142.
5.4. Критерии подобия для высокоскоростного обтекания 145
5.5. Самосогласованная формулировка смешанной задачи для нелокальных уравнений пограничного слоя 148
5.6. Квазиавтомодельные режимы в нелокальный теории погранслоя 149
5.7. Плоская свободная струя в затопленном пространстве 151
5.8. Стационарное обтекание плоской полубесконечной пластины... 153
5.9. Нелокальный пограничный слой в газе с примесью второй фазы 158
5.10. О нелокальном описании течений с ударными волнами 160
ГЛАВА 6. Нестационарные сдвиговые процессы 170
6.1. Эффекты памяти в сдвиговом течении 170
6.2. Нелокальные эффекты в сдвиговом течении 175
6.3. Торможение пластины за счет генерации стационарных структур 181
6.4. Движение пластины с околозвуковой скоростью 190
6.5. Динамика крупномасштабных флуктуации среды вблизи поверхности пластины 194
6.6. Роль крупномасштабных флуктуации в неравновесных процессах теплообмена 196
ГЛАВА 7 Пластические течения при высокоскоростном деформировании конденсированных сред 213
7.1. Специфические особенности импульсного нагружения твердых тел 213
7.2. Экспериментальные основания нелокального описания мезоструктуры в динамически деформируемом твердом теле...217
7.3. Релаксационная теория Максвелла 221
7.4. Распространение ударного импульса в конденсированной среде 224
7.5. Уравнения состояния конденсированной среды 225
7.6. Дисперсия массовой скорости и неравновесная температура .228
7.7. Константы среды или функционалы процесса? 230
7.8. Неравновесный макро-мезоэнергообмен при ударном нагружении твердых тел 231
7.9. Нелокальное автомодельное решение 232
ГЛАВА 8. Исследование неравновесных процессов методами кибернетической физики 240
8.1. Кибернетическая физика 241
8.2. Метод скоростного градиента 244
8.3. Описание структурной эволюции системы 247
8.4. Метод скоростного градиента в задаче о распространении нестационарной волны в твердом теле 253
8.5. Проблема структурной устойчивости в неравновесном переносе 255
8.6. Эволюция структуры при квазистационарных процессах 257
8.7. Эволюция структуры при динамических сдвиговых процессах 262
Заключение 290
Список литературы 292
- О микроскопическом обосновании феноменологических определяющих соотношений
- Построение пространственных зависимостей релаксационных ядер переноса для квазистационарных процессов
- Квазиавтомодельные режимы в нелокальный теории погранслоя
- Динамика крупномасштабных флуктуации среды вблизи поверхности пластины
Введение к работе
Проблема теоретического описания неравновесных процессов переноса в настоящее время является чрезвычайно актуальной. Развитие современной науки и техники требует описания высокоскоростных и тонких переходных процессов, которые не описываются классической механикой сплошной среды. Возникает потребность обобщения концепции континуальной механики на структурированные среды и процессы, протекающие в открытых системах вдали от термодинамического равновесия. Под неравновесными процессами здесь понимаются такие процессы, которые сопровождаются существенным отклонением функций распределения по поступательным степеням свободы от локально равновесного вида. Когда говорится, что среда имеет внутреннюю структуру, это значит, что существуют масштабы длины и времени, характеризующие реакцию системы на внешнее воздействие, которые отличны от размеров и времени жизни самой системы и характерных параметров ее нагружения.
В течение последних десятилетий попыток такого обобщения делалось множество, но ни одной достаточно общей теории, позволяющей описывать динамические процессы в различных средах с единых позиций, так и не было разработано. Наибольшей степенью общности обладают результаты, полученные на строгой статистико-механической основе , которыми, однако, никто не мог воспользоваться, поскольку на макроскопическом уровне описания эти модели так и оставались незамкнутыми. Причиной принципиальной невозможности построения замкнутой кинетической теории неравновесных процессов являются эффекты коллективного взаимодействия, которые не могут быть включены в кинетические уравнения через потенциал. Между тем экспериментальные результаты, полученные в различных областях механики (гидродинамики турбулентных течений, многофазных сред, волновых процессах в твердых телах, живых системах) обнаруживают множество общих для всех этих процессов особенностей, которые проявляются тем ярче, чем выше скорости процессов и чем сложнее внутренняя структура среды. Эти особенности, характеризующие неклассическую реакцию среды на внешнее возмущение, заключаются в наблюдаемых эффектах самоорганизации и саморегуляции, которые всегда в той или иной степени сопровождают неравновесный перенос. Самоморганизация, проявляющаяся в реакции сложной системы на интенсивное внешнее воздействие, представляет собой процесс формирования многомасштабных вихре-волновых структур, не имеющих прямой связи с первичной структурой системы. Было отмечено, что тип и масштаб структур определяется скорее граничными условиями (режимом нагружения) и геометрией системы, чем веществом и фазовым состоянием среды. Саморегуляция или внутреннее управление на уровне структуры системы приводит к наблюдаемым неустойчивостям состояний частичного равновесия, к структурным переходам и переключению с одного режима на другой. На основе концепции механики сплошной среды эти эффекты невозможно описать корректно. Поэтому необходимо разработать принципиально новый подход к описанию неравновесных процессов переноса, который органично включал бы все эффекты, сопровождающие неравновесный перенос. Эта проблема и является целью представленной работы. Для создания нового подхода к проблеме неравновесного переноса требуется выйти за пределы классических представлений и переосмыслить базовые понятия континуального описания с различных точек зрения.
Самосогласованная нелокально-гидродинамическая теория неравновесных процессов переноса содержит общие принципы построения математических моделей неравновесных процессов и представляет собой новый гибкий аппарат макроскопического описания открытых систем вдали от равновесия, где нелокальные определяющие соотношения замыкаются через обратные связи со структурой системы, эволюционирующей на промежуточных между макро- и микроскопическим масштабных уровнях.
В основу нового подхода положены полученные в неравновесной статистической механике обобщенные гидродинамические уравнения Д.Н. Зубарева. Методы математического моделирования позволили построить новый класс интегральных ядер, описывающих структурирование системы, с учетом общих принципов инвариантности, асимптотики и граничных эффектов. Методы теории нелинейных операторных систем специального вида использованы для корректной формулировки задачи на спектр масштабов внутренней структуры системы и разработки итерационных процедур для решения задач в самосогласованной формулировке. Эволюция структуры системы описывается с помощью кибернетических методов теории адаптивного управления. В частности динамические процессы описываются алгоритмом скоростного градиента, где в качестве функционала цели выбрана минимизация скорости интегрального производства энтропии в открытой системе.
Переход от дифференциальных уравнений баланса классической механики к интегро-дифференциальным позволил построить мягкую модель, с изменяющимся в ходе самого процесса типом уравнений, что обеспечивает описание смены механизмов переноса от волнового через структуры промежуточного масштаба до диффузионного в пределе классической гидродинамики. Появляется возможность описания процессов переноса с единых позиций как в твердых телах в виде упругих волн, так и диффузионного переноса в жидкости. При этом реакция любой среды на импульсное нагружение на начальной стадии будет упругой, а на последней стадии приближения к полному термодинамическому равновесию соответствовать гидродинамической реакции. Неравновесный процесс на промежуточной стадии тогда отвечает реакции некоторой многофазной среды. Такое представление вполне отвечает наблюдаемым эффектам, когда твердое тело при нагружении начинает проявлять свойства жидкости, а жидкость при ударе проявляет упругие свойства.
Структурирование неопределенности, содержащейся в неравновесных пространственно-временных корреляционных функциях, являющихся проекциями многочастичных функций распределения в конфигурационное пространство, позволило, как в квантовой механике, перейти к дискретным характеристикам фазового пространства системы на промежуточных между макро- и микро- масштабах. В рамках нелокальной теории установлена связь понятия структуры системы с первыми статистическими моментами неравновесной пространственно-временной корреляционной функции потоков. Кроме того, факт конечности скорости распространения возмущений в реальных средах естественным образом увязан с волновым характером процессов переноса вдали от равновесия. Важным шагом вперед можно считать строгую формулировку задач на спектр масштабов структуры, который определяется наложенными на систему граничными условиями, на основе теории нелинейных операторных систем специального вида.
Часть параметров структуры не определяется граничными условиями и эволюционирует самопроизвольно. В работе предложен принцип, согласно которому эволюция структуры системы всегда направлена в сторону уменьшения скорости производства энтропии в системе. Принцип сформулирован на основе понятий и методов теории адаптивного управления и неравновесной термодинамики. Появление обратных связей и внутреннего управления через структуры является неотъемлемым свойством неравновесного переноса и приводит к формулировке нового класса задач с частичным управлением. Именно привлечение кибернетических подходов позволило полностью замкнуть математическую задачу описания процессов неравновесного переноса с точностью до одной константы. Эта константа характеризует инерционные свойства структуры среды и может считаться эмпирической величиной. Эта величина может оставаться постоянной даже тогда, когда обычные константы среды (упругие модули, коэффициенты переноса) начинают меняться вместе с эволюцией ее структуры. Она теряет свой физический смысл только вместе с понятием структуры среды, признаком чего является появление ее зависимости от размера и геометрии системы.
Для поддержания баланса энергии а ранних стадиях процесса релаксации с учетом обменных процессов между промежуточными масштабными уровнями, протекающими почти без диссипации, потребовалось включить крупномасштабные флуктуации, которые не отвечают второму началу термодинамики. Роль температуры в неравновесных условиях играет дисперсии скорости, характеризующая упорядоченные флуктуации скорости на промежуточных масштабных уровнях. При дроблении масштабов флуктуации становятся хаотическими и спускаются на микоскопический уровень, переходя в тепловые флуктуации. Только на этой стадии неравновесного процесса понятие термодинамической температуры становится корректным.
Новая самосогласованная нелокальная теория была апробирована на ряде традиционных тестовых задач (течения Куэтта, Пуазейля, Рэлея), которые должны служить проверкой любой теории, в широком диапазоне условий для разных сред. Стационарные и динамические решения, полученные для этих задач, их анализ и качественное сравнение с известными экспериментальными результатами позволили сделать вывод, что новая теория адекватно описывает турбулентные течения жидкости, неньютоновских сред, дисперсных смесей, процессы волнообразования в конденсированных средах и пластические течения твердых сред.
Более того, в рамках новой теории появляется возможность предсказать возникновение неравновесных резонансных структурных переходов в системе. До сих пор процессы бифуркации, характеризующие структурные переходы в системе, исследовались только для нелинейных динамических систем, где тип нелинейности, а значит и масштабные уровни, связанные с параметрами порядка, задаются изначально. В действительности, тип нелинейности, связанный с механизмами коллективного взаимодействия, количество параметров порядка вместе с масштабами структуры системы и ее эволюция в принципе не могут быть заданы заранее из-за влияния эффектов обратных связей. Именно обменные процессы между разными масштабными уровнями и их самосогласованность и определяют неравновесную реакцию системы на нагружение. В рамках предложенной теории структурная перестройка сопровождается изменением механизмов коллективного взаимодействия и, следовательно, механизмов переноса.
Все полученные результаты являются новыми, достоверными и имеют большое общетеоретическое значение для физической механики, биомеханики и кибернетической физики. Практические приложения новой теории чрезвычайно широки: от разработки новых высокоскоростных аппаратов, новых тонких информационных и биотехнологий, предсказания разномасштабных катастрофических явлений до медицины.
Основные результаты работы опубликованы более, чем в сотне печатных работ, среди которых статьи в центральных журналах и трудах международных конференций, докладывались на нескольких десятках международных конференций и семинарах, проводимых в нашей стране и за рубежом.
Работа состоит из введения, 8 глав, заключения и списка литературы, содержащего 218 наименований. Объем работы 311 стр. и 59 рисунков.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту;
1. новые принципы, необходимые для адекватного описания неравновесных процессов переноса в средах любой природы отказ от жестких математических моделей, нелокальность уравнений баланса, вводящая эффекты коллективного взаимодействия, учет волнового механизма переноса, отвечающего конечной скорости распространения возмущений, самосогласованность неравновесных корреляционных функций и граничных условий, влекущая за собой самоорганизацию, введение внутреннего управления посредством обратной связи между макроскопическим уровнем и уровнем внутренней структуры системы на основе теории адаптивного управления. новая математическая модель неравновесного переноса, основанная всех перечисленных выше принципах, итерационная процедура решения задач неравновесного переноса, разработанная на основе теории нелинейных операторных систем специального вида, работающая с учетом дискретизации масштабов и обратной связи квазистационарные и динамические модели одномерных турбулентных течений и течений дисперсных смесей, не приводящие к противоречиям со всей известной совокупностью экспериментальных данных, универсальная модель пограничного слоя и методика расчета, описывающая ламинарные, турбулентные течения, генерацию пульсаций, индуцирующих вторичный продольный градиент давления, процесс формирования ударных волн, отрыв слоя, модель и методика расчета формы фронта и скорости распространения нестационарных волн в конденсированных средах, новый подход к решению проблемы устойчивости состояний частичного равновесия на основе расчета времени жизни внутренней структуры системы, методика предсказания разномасштабных катастрофических явлений на основе разработанных математических моделей и вычислительных процедур.
О микроскопическом обосновании феноменологических определяющих соотношений
При высоких скоростях и больших деформациях среда начинает проявлять эффекты своей внутренней структуры, что подтверждается многими экспериментами. Это неравновесные процессы, для которых проблема определяющих соотношений между термодинамическими силами и потоками до сих пор не решена линейный масштаб неоднородности поля скорости или деформации одного порядка с размером внутренней структуры, в первую очередь возникает другая проблема - проблема определения макроскопической плотности в условиях, далеких от термодинамического равновесия. Классическое определение, базирующееся на понятиях механики сплошной среды, становится непригодным, и потому необходимо привлекать понятия теории вероятности и математической статистики. В частности, уравнения Навье-Стокса, относящиеся к параболическому типу, непригодны для течений с большими гидродинамическими градиентами, внутри тонких слоев около межфазных границ, а также вблизи начального момента времени. Последнее обстоятельство затрудняет постановку начальных и граничных условий для уравнений Навье-Стокса, так как приходится использовать фиктивные условия, отличающиеся от реальных на величину порядка толщины этих слоев [2]. Дело в том, что обычных коэффициентов переноса (вязкости, теплопроводности и др.) недостаточно для описания процессов переноса при высоких скоростях и больших пространственных неоднородностях, когда характерные масштабы процесса становятся соизмеримы с масштабами внутренней структуры. Поэтому в настоящее время актуальной проблемой является обобщение коэффициентов переноса в реальных средах на условия, далекие от термодинамического равновесия.
До 70-х г. ХХ-го века основные усилия были направлены на микроскопическое обоснование феноменологических законов и вычисление коэффициентов переноса в линейных соотношениях термодинамики необратимых процессов переноса. Еще в 1940-х гг. Н.Н.Боголюбов [14] заложил основы динамической теории кинетических явлений, позволяющей последовательно получать локальные кинетические уравнения или непосредственно уравнения гидродинамики «из первых принципов». Для этого им были математически сформулирована гипотеза затухания пространственно-временных корреляций в системе, которая связана с представлением о последовательных стадиях процесса релаксации - стремления системы к термодинамическому равновесию, каждая из которых характеризуется своими временными масштабами и способами сокращенного описания неравновесных систем. Боголюбов предложил метод разложения по параметру плотности, где А:-й член разложения содержит вклад (к+1)-частичного взаимодействия, и получил бесконечную цепочку уравнений для функций распределения - цепочку Боголюбова. Аналогичные результаты, полученные зарубежными авторами, называют цепочкой БГТКИ по первым буквам имен авторов, внесших вклад в развитие этой теории. В первом приближении по малому параметру из этой цепочки получается локальное уравнение Больцмана, которое лежит в основе кинетической теории газов. При дальнейшем сокращении описания из уравнения Больцмана получаются локальные уравнения классической гидродинамики. Однако, коэффициенты переноса в высших приближениях не являются аналитическими функциями параметра плотности, и вблизи гидродинамического предела появляется расходимость коэффициентов переноса. Причина появления такой расходимости заключается в дальнодействующих корреляциях между частицами, которые обусловлены их взаимодействием посредством слабо затухающих и дальнодействующих гидродинамических мод - коллективными эффектами. Такие корреляции возникают даже в средах простейшей структуры, состоящих из твердых сферических частиц одинакового размера. Такого же характера дальнодействующие корреляции играют основную роль в динамике плазмы. Учет уже двухчастичных корреляций и самосогласованности поля приводит к нелокальному кинетическому уравнению для одночастичной функции распределения и далее к нелокальным уравнениям гидродинамики. Даже вблизи полного термодинамического равновесия Эрнст и Дорфман (См. [14] с.243) обнаружили эффект нелокальности в форме неаналитической зависимости гидродинамических частот от волнового вектора в коротковолновом пределе. Причем в этой области была обнаружена точка ветвления решений, из-за которой появляются особенности. Переход к разложениям по градиентам гидродинамических величин не улучшает ситуацию. Уже в приближении Барнетта, а для двумерных задач уже в приближении Навье-Стокса, получается неаналитическая зависимость вязкости от градиента скорости. При этом учет дальнодействующих гидродинамических мод приводит к расходимости коэффициента вязкости. Таким образом, с ростом градиентов и скоростей процессов классические уравнения Навье-Стокса становятся непригодными. Выход за рамки классической гидродинамики должен осуществляться путем последовательного построения обобщенной гидродинамики. Учет высших порядков по плотности, неоднородности или градиентам, связанный с учетом дальнодействующих корреляций, должен приводить к нелокальным в пространстве и времени гидродинамическим уравнениям, содержащим неаналитическую зависимость коэффициентов от градиентов гидродинамических величин. А это значит, что описание реальных неравновесных процессов потребует принципиального изменения всего математического аппарата и переосмысления концепции сплошной среды.
Построение пространственных зависимостей релаксационных ядер переноса для квазистационарных процессов
Предложен самосогласованный нелокально-гидродинамический подход, который является принципиально новым, универсальным и экономичным способом описания неравновесных процессов переноса в открытых системах [127, 136-138, 143, 150, 152, 187-195]. Новый подход базируется на нелокальных и запаздывающих уравнениях переноса, полученных методами неравновесной статистической механики [56-57]. Для релаксационных ядер переноса, входящих в нелокальные уравнения, используются методы математического моделирования. При замыкании модельных уравнений применяются методы, разработанные в механике резонансных систем и теории нелинейных операторных систем специального вида [21-22, 213-216], а также кибернетические методы управления адаптивными системами через обратную связь [131-132, 180]. Только такой синтетический подход на стыке механики, физики и кибернетики приводит к замкнутой самосогласованной формулировке граничных задач теории неравновесных процессов переноса в открытых системах и позволяет параллельно описать процесс динамического образования новой внутренней структуры среды и ее эволюцию.
Это новое направление в теории необратимых процессов переноса возникло в результате многолетних исследований автора [127, 136-138, 143, 150, 152, 187-195] и может быть отнесено к третьей группе обобщений, поскольку моделирование осуществляется непосредственно на макроскопическом уровне описания. При этом важно отметить, что граничные эффекты, связанные с взаимодействием открытой системы со своим окружением и приводящие к образованию новых структур, могут быть включены в модель релаксационных ядер переноса как дополнительный элемент моделирования.
В неравновесной статистической механике получены результаты [15, 56-57], которые показывают, что неравновесные статистические распределения в фазовом пространстве проектируются в конфигурационное пространство и время, порождая пространственно-временные корреляционные функции. В рамках нового подхода введены теоретически обоснованные принципы структурирования неопределенности, связанной с видом этих функций, которые в свою очередь можно рассматривать как статистические распределения по времени и пространству, моменты которых, имеющие размерность длины и времени, вводят в систему дополнительные пространственно-временные масштабы. Дисперсия пространственного распределения определяет характерную длину пространственной корреляции, тогда как для временной корреляционной функции она определяет характерное время релаксации на данном масштабном уровне.
Принципиальным шагом вперед в область существенной неравновесности можно считать выявление взаимосвязи между неравновесными корреляционными функциями и понятием внутренней структуры среды, ее поляризации и внутренних вращений. Этот чрезвычайно содержательный результат позволяет физически обосновать современную тенденцию в математике к дискретизации и построить адекватные вычислительные алгоритмы.. Установлен факт, что неравновесное статистическое распределение порождает вектор, характеризующий новые масштабы внутренней структуры среды и направление ее поляризации. Показано, что эффект поляризации возникает только для термодинамически открытых систем и порождается взаимодействием среды с межфазными границами. Вдали от границ, среднее значение вектора поляризации стремится к нулю. Это обстоятельство объясняет тот факт, что при рассмотрении безграничных систем эти эффекты не были обнаружены даже при использовании языка корреляционных функций, поведение которых никак не связывалось с влиянием границ. Об этом свидетельствуют, например, попытки построения моделей однородной и изотропной турбулентности. Сейчас известно, что турбулентность генерируется непосредственным высокоскоростным взаимодействием среды с межфазной границей, поэтому физически бессмысленно строить безграничные модели турбулентности.
С другой стороны, элементы среды конечного размера, помещенные в неоднородное поле скоростей или напряжений, начинают вращаться. В среде появляется внутренний момент вращения, включаются новые степени свободы. Можно сказать, что для элемента среды конечного размера центр инерции сдвинут относительно геометрического центра, то есть неравновесность порождает эксцентрическую структуру среды. Здесь уместно вспомнить известные методы осреднения, используемые для описания турбулентных течений и основанные на осреднении по конечному объему. Ясно, что без введения эксцентричности для этих объемов такое осреднение в принципе не может давать реальных результатов. Вот почему все методики огрубленного описания не приводят к нужному результату. Поэтому вихреватость среды обусловлена ее поляризацией, которая определяется степенью неравновесности процесса и заранее неизвестна, так как может быстро меняться в процессе релаксации статистического распределения к локально-равновесному.
Итак, было установлено, что для корректного описания неравновесных процессов переноса массы, импульса и энергии в открытой термодинамической системе необходимо учитывать структурирование и поляризацию среды около границы, которые и порождаются самими процессами переноса.
С точки зрения неравновесной статистической механики общие уравнения баланса в условиях существенной неравновесности полностью не локализуются [15, 56-57]. Наиболее глубокий и общий результат, полученный в рамках неравновесной статистической механики, принадлежит Д.Н.Зубареву [56-57]. Методом неравновесного статистического оператора ему удалось получить наиболее общие определяющие соотношения между сопряженными термодинамическими потоками J и силами G (градиентами макроскопических переменных), которые справедливы без ограничений на степень неравновесности системы. Пренебрегая для простоты перекрестными членами, не вводя различий между двумя типами нелокальности и обозначая релаксационное ядро переноса буквой 5R, перепишем соотношение (1.6.19) в виде
Квазиавтомодельные режимы в нелокальный теории погранслоя
Вблизи термодинамического равновесия коэффициент переноса импульса SR0 соответствует коэффициенту вязкости среды, который является постоянной характеристикой среды с данными молекулярными свойствами, а обобщенное уравнение баланса импульса с определяющими соотношениями (2.3.4) сводится к уравнениям Навье-Стокса в классической гидродинамике.
Таким образом, даже само фазовое состояние среды может быть выражено в терминах, связанных с неравновесной корреляционной функцией. Эффекты нелокальности и памяти - это плата за неизбежную неполноту описания процесса в неравновесных условиях, когда в процессе участвуют сразу несколько масштабных уровней, обмен между которыми неизвестен. Получается, что в процессе релаксации уравнения баланса импульса меняют свой тип от гиперболического, через интегро-дифференциальные до параболического. При этом соотношение (2.2.2) в зависимости от траектории процесса могут описывать как необратимые процессы переноса импульса (2.3.4), так и обратимые процессы, когда система возвращается в исходное состояние почти без потерь на диссипацию (2.3.1).
Помимо памяти о начальных состояниях в плотных средах при динамических процессах наблюдаются эффекты структурообразования: в течениях возникают новые пристеночные слои, крупномасштабные пульсации, вихревые структуры, локализованные неоднородности, которые также относятся к эффектам коллективного взаимодействия и выражаются в форме пространственно-временных корреляций.
Проблема заключается в том, что неравновесная корреляционная функция в общем случае на макроскопическом уровне описания представляет собой неизвестный нелинейный функционал макроскопических градиентов, для которого не было получено никаких нетривиальных приближений, позволяющих замкнуть нелокальные гидродинамические уравнения. Попытки строить эмпирические модели интегральных ядер приводили к очень грубым моделям даже по сравнению с классической гидродинамикой и не позволяли удовлетворить естественным граничным условиям, наложенным на систему. Это обстоятельство несколько десятилетий препятствовало использованию нелокально-гидродинамических уравнений в практических задачах.
Принципиальная трудность заключается в том, что в общем случае вид неравновесной пространственно-временной корреляционной функции неизвестен. Практически не существует даже нетривиальных моделей неравновесной математической статистики. В рамках неравновесной статистической механики было показано, что эти функции сами являются некоторыми неизвестными нелинейными функционалами макроскопических градиентов G, в частности скоростей деформации [15]. Если бы интегральные ядра в соотношениях (2.2.1) были бы выражены через макроскопические градиенты, то интегро-дифференциальные уравнения баланса были бы замкнуты и полностью описывали бы процессы неравновесного переноса массы, импульса и энергии. Тогда становится понятно, что любые вычисления релаксационных ядер переноса, как и временных корреляционных функций, требуют одновременного решения системы обобщенных гидродинамических уравнений и динамической системы уравнений движения частиц, из которых состоит среда. При этом если ядра переноса или корреляционные функции рассматриваются как заданные пространственно-временные зависимости, полная система уравнений расщепляется, уравнения динамики отпадают как ненужные, а обобщенные уравнения гидродинамики становятся замкнутыми. Но поскольку в общем случае это сделать нельзя, единственно возможным путем подхода к решению этой фундаментальной проблемы является использование элементов математического моделирования на основе общих принципов инвариантности и знания асимптотического поведения системы в предельных ситуациях. Изначально предполагалось, что, выбирая разные выражения для ядер переноса, можно получить определяющие соотношения для сред с различными свойствами и в различных условиях и построить подходящие модели, пригодные для решения практических задач. Однако все попытки ввести нелокальную гидродинамику как статистико-механическую основу в обиход вычислительной гидродинамики и прикладной механики вплоть до настоящего времени не приводили к успеху по причине слишком большого различия в понимании макроскопического уровня описания в классических и статистических подходах, а также в методах решения задач. Однако главная причина заключалась в том, что интегральные ядра переноса представляют собой неизвестные функционалы гидродинамических градиентов, но для их задания не было никакой теоретической основы. Дело в том, что подстановка простых пространственно-временных зависимостей в качестве корреляционных ядер не позволяют адекватно описать реальный процесс и удовлетворить естественным граничным условиям, наложенным на систему. Несколько десятилетий это обстоятельство являлось непреодолимой преградой на пути использования нелокальных моделей для описания неравновесных процессов переноса. Действительно, из анализа соотношений (2.2.1), полученных в неравновесной статистической механике, следует, что необходимо включать в модель зависимость от макроскопических градиентов G, в частности от градиента скорости. Характер этой зависимости должен определяться опять же самой реакцией среды на внешнее нагружение системы. Таким образом, замыкание модели принципиально невозможно без учета обратной связи между макроскопической реакцией среды и динамикой корреляций в ней.
Рассмотрим, какие модели пространственно-временных корреляций использовались в качестве интегральных ядер переноса, и какова их область применимости. Если корреляции малы, то пространственно-временные нелокальные эффекты можно разделить и ввести в релаксационные ядра через простые пространственно-временные зависимости.
Динамика крупномасштабных флуктуации среды вблизи поверхности пластины
При этом порядок предельного перехода при Х-Я) фиксирован: переход при у- 0 осуществляется после перехода при Х- 0. Это обстоятельство связано с граничными эффектами при наличии пространственной нелокальности. При наличии эффектов памяти в уравнениях гидродинамики появляются члены, связанные с влиянием начальных условий. Для сред с затухающей памятью эти члены затухают за время порядка времени релаксации.
Сравнительно простые экспоненциальные или гауссовы модели релаксационных ядер могут быть использованы для описания сред с достаточно малыми временами релаксации. В общем случае требуются более сложные модели. При этом невозможно получить модели, одинаково пригодные для различных сред, поскольку сами релаксационные ядра определяются свойствами среды. Более того, при моделировании разных режимов течения одной и той же среды необходимо использовать различные модели ядер переноса. В конечном счете пригодность тех или иных моделей должна определяться с помощью решения тестовых задач. Использование слишком простых пространственно-временных зависимостей для ядер переноса может привести к нефизическим результатам. Поэтому многие предпочитают иметь дело с моделями первого типа для того, чтобы иметь дело с дифференциальными уравнениями вместо интегро-дифференциальных.
Итак, первоочередной интерес для нелокальных теорий представляет построение моделей релаксационных ядер переноса, приводящих к принципиально другим результатам по сравнению с градиентными теориями и базирующихся на кинетическом описании, а также соответствующим экспериментальным данным.
Следует подчеркнуть одно очень важное обстоятельство. Все развитые методы, как и метод неравновесного статистического оператора, исходящие из уравнения Лиувилля, пригодны только для изолированных систем. Однако, именно неравновесные стационарные состояния, которые поддерживаются наложенными на систему граничными условиями, представляют наибольший интерес для практики. Эволюция открытых систем, активно взаимодействующих с окружением, в рамках неравновесной статистической механики исследована очень слабо. Вся проблема, как оказалось, именно в этом и заключается. Реальные механические задачи формулируются обычно для ограниченных пространственных областей, и постановка граничных условий при этом играет принципиальную роль. Физики же ставят задачи, как правило, для безграничных областей, когда систему фактически можно считать изолированной. Но нагружение среды осуществляется именно через границу пространственной области, а значит, граничные условия, и формируют реакцию среды на импульсное нагружение. Это означает, что построение корреляционных функций не может рассматриваться в отрыве от формулировки граничной задачи в целом. Вот именно по этой причине понятие корреляционной функции не прижилось как раз там, где без него обойтись невозможно. Отсюда становится понятно, почему физики, получив обобщенную гидродинамику, не смогли воспользоваться этими результатами -они не привыкли строить физические модели систем вместе с граничными условиями.
Характерной особенностью нового подхода является сохранение в обобщенных гидродинамических уравнениях интегральной информации о системе при описании ее локальных свойств. Это обстоятельство коренным образом изменяет постановку граничных задач в нелокальной теории.
Рассмотрим две различные среды, заполняющие области D/, D2 , разделенные границей Г. В результате взаимодействия друг с другом обе среды находятся в неравновесном состоянии, причем в зависимости от их внутренней структуры влияние одной среды на другую через границу будет различно. Таким образом, в обеих средах возникают две приграничные области Dn, Dn, взаимодействующие друг с другом и влияющие на остальные невозмущенные части сред Doi, D02 через границы Г\ Г2, разделяющие возмущенные и невозмущенные части каждой среды. В общем случае невозмущенных областей может и не быть, если возмущением охвачена вся область, занимаемая средой. Если они существуют, то в них будут корректны уравнения классической механики сплошной среды. В неравновесных областях Dn, Dn классическая механика не работает, необходимо либо опускаться на микроскопический уровень описания, либо, сохраняя макроскопическое описание, отказаться от дифференциального математического аппарата классической механики. Если толщина одной из приграничных областях мала по сравнению с характерным размером невозмущенной части этой среды, то толщиной приграничной области можно пренебречь, а ее влияние учесть посредством введения новых эффективных граничных условий для уравнений классической механики в невозмущенной области. Такая процедура имеет смысл только для достаточно тонких приграничных областей в условиях слабого отклонения состояния системы в целом от локального равновесия. В общем случае неравновесного состояния вместо границы Г возникают приграничные области конечного размера Dn, Dn , само существование которых требует пересмотра понятия граничных условий. Если отказаться от использования уравнений классической механики и перейти к обобщенным нелокальным уравнениям, справедливым в неравновесных приграничных областях, то последние должны непосредственно содержать граничные эффекты как дополнительный элемент моделирования. Тогда в отличие от континуальных моделей градиентного типа нелокальные модельные уравнения будут равномерно справедливы по всей области, занимаемой средой, вплоть до границ. При этом решения этих обобщенных уравнений будут удовлетворять реальным граничным условиям на границах ( в том числе и межфазных) - условиям неразрывности макроскопических полей. Любые скачки макроскопических величин на границах относятся за счет степени приближенности решений обобщенных уравнений. Например, условия скачка температуры и скорость скольжения на твердой границе в неравновесных течений газа возникают за счет неучтенных в самих уравнениях граничных эффектов вблизи твердой поверхности. Таким образом, в рамках предлагаемого подхода модели релаксационных ядер переноса должны содержать параметры, связанные с граничными условиями, наложенными на систему.
