Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Математические модели реагирующих потоков 14
1.1. Общий подход к математическому моделированию задач гидродинамики и химической кинетики 14
1.2. Состояние проблемы 17
ГЛАВА 2. Гидродинамический блок 34
2.1. Введение 34
2.2. Система уравнений для газообразной фазы 34
2.3. Модель турбулентности газовой фазы 36
2.4. Система уравнений для твердой фазы 37
2.5. Модель турбулентности твердой фазы 39
2.5.1. Диффузионная модель 39
2.5.2. Стохастическая модель 40
2.6. Модель взаимодействия фаз 41
2.7. Граничные условия 43
2.8. Выводы 44
ГЛАВА 3. Блок химического реагирования. турбулентное реагирование 45
3.1. Введение 45
3.2. Методы функции плотности вероятности 47
3.2.1. Система уравнений 47
3.2.2. Расчет источниковых членов 49
3.2.3. Метод функции плотности вероятности заданной формы 49
3.2.4. Методы вычисляемой ФПВ 54
3.2.4.1. Уравнение для ФПВ 55
3.2.4.2. Лагранжево описание 58
3.2.4.3. Детерминированные системы 59
3.2.4.4. Стохастические системы 61
3.2.4.5. ФПВ скалярной величины 64
3.2.4.6. ФПВ скорости 65
3.2.4.7. Совместная ФПВ скорости и состава 66
3.3. Скорость химических реакций 68
3.4. Функция смешения дополнительного газового потока 70
3.5. Выводы 72
ГЛАВА 4. Блоки химического реагирования и физико-химических свойств. кинетические схемы 74
4.1. Введение 74
4.2. Кинетика процесса разложения метана 74
4.2.1. Объемный механизм 74
4.2.2. Механизм разложения метана на поверхности 76
4.3. Кинетика процессов горения газообразного и твердого топлива 79
4.3.1. Приближение термодинамического равновесия 79
4.3.2. Конечная кинетика 79
4.3.2.1. Термическая деструкция 80
4.3.2.2. Гетерогенное реагирование 81
4.3.2.3. Газофазное реагирование 82
4.4. Образование N0 83
4.5. Выводы 86
ГЛАВА 5. Блок расчета свойств среды 87
5.1. Введение 87
5.2. Монодисперсная среда 88
5.2.1. Структурная модель 88
5.2.2. Химическое реагирование 92
5.3. Полидисперсная среда 97
5.3.1. Структурная модель 97
5.3.2. Решение уравнения для функции плотности вероятности распределения частиц по радиусам 97
5.3.3. Результаты расчетов 101
5.3.3.1. Монодисперсная среда 101
5.3.3.2. Равномерное распределение 102
5.3.3.3. Логарифмически нормальное распределение 103
5.3.3.4. Произвольное начальное распределение 105
5.3.3.5. Зависимость относительной реакционной поверхности от степени заполнения пор пористого каркаса 106
5.3.3.6. Общий случай 109
5.4. Рекурсивная модель 114
5.4.1. Уравнения мод ели 114
5.4.2. Схема решения 118
5.5. Выводы 118
ГЛАВА 6. Численные методы 120
6.1. Введение 120
6.2. Гидродинамический блок 121
6.2.1. Дискретизация уравнений для газовой фазы 121
6.2.2. Метод нижней релаксации 123
6.2.3. Решение разностных уравнений движения 125
6.2.3.1. Коэффициенты дискретных уравнений движения 125
6.2.3.2. Обзор алгоритмов решения уравнений движения в естественных переменных 128
6.2.4. Методы решения разностных уравнений 133
6.2.5. Метод расчета концентраций газовых компонентов 134
6.2.6. Решение уравнений для твердой фазы 136
6.3. Блок функции плотности вероятности 136
6.3.1. Дискретное представление 136
6.3.2. ФПВ заданной формы 138
6.3.3. Метод расщепления 139
6.4. Расчет излучения 141
6.4.1. Постановка задачи 141
6.4.2. Метод потоков 142
6.5. Выводы 146
ГЛАВА 7. Примеры реализации моделей и обсуждение результатов моделирования 147
7.1. Процессы реагирования в пористой среде 147
7.1.1. Моделирование процессов пиролиза метана в пористой среде, сформированной гранулами технического углерода 147
7.1.2. Моделирование процессов пиролиза метана в пористой среде, сформированной из карбонизированного органического сырья 151
7.2. Моделирование процессов горения 158
7.2.1. Газообразное турбулентное горение 158
7.2.2. Моделирование процессов образования полютантов при горении угольных частиц 170
7.3. Графические интерфейсы разработанных программных комплексов 178
7.3.1. Расчет процесса пиролиза метана в пористой среде 178
7.3.2. Расчет процессов гидродинамики и горения газообразных и твердых топлив в
спутном потоке 181
7.4. Выводы 182
Заключение 185
Основные работы по теме диссертации 187
Литература
- Модель турбулентности газовой фазы
- Метод функции плотности вероятности заданной формы
- Кинетика процессов горения газообразного и твердого топлива
- Решение уравнения для функции плотности вероятности распределения частиц по радиусам
Введение к работе
Уровень и высокие темпы развития вычислительной техники открыли новые возможности для фундаментальных исследований и их приложений в области моделирования физических процессов, управления техническими и социально-экономическими системами. Наряду с экспериментальными и теоретическими методами сформировался третий метод исследований - математическое моделирование. Работа не с самим объектом (явлением, процессом) исследования, а с его моделью, дает возможность относительно быстро, с достаточной полнотой и без существенных материальных затрат исследовать его свойства и поведение в различных ситуациях.
Активное использование математического моделирования в различных областях естествознания обусловлено многими факторами, основными из которых являются следующие:
1. Усложнение класса исследуемых задач, для изучения которых необходимо
создание новых дорогостоящих экспериментальных установок или модельных
объектов.
2. Большие финансовые затраты на обслуживание экспериментальных
установок и объектов.
Невозможность проведения физического моделирования в ряде областей исследования.
Возможность сокращения сроков исследования и получения результатов, а также их многократного и быстрого повторения или уточнения, хранения и т.д.
В первую очередь преимущества методов математического моделирования выявляются при решении технических задач, модернизации существующих и разработке новых технологий. Относительная доступность мощной вычислительной техники, наличие большого числа прикладных вычислительных программ, оптимальной для моделирования физико-химической гидромеханики среды программирования позволяют создавать компьютерные модели процессов и технологий с учетом основных факторов, влияющих на процесс. На основе таких моделей, протестированных на мелкомасштабных лабораторных установках, можно достаточно точно, по крайней мере, для инженерных целей, рассчитывать параметры процессов, геометрию элементов конструкции опытно-промышленных установок, проводить оптимизационные расчеты. Моделирование существующих технологий и аппаратов, которое современная вычислительная техника в большинстве случаев
позволяет проводить в режиме многократного ускорения, дает возможность оптимизировать процесс и повысить эффективность технологии, рассчитать большое количество вариантов реконструкции и выбрать оптимальный. Возможность проводить расчеты в режиме реального времени позволяет использовать разработанные модели аппаратов как основу для создания системы автоматизированного контроля и управления процессами.
Модель процесса (явления) состоит из собственно математической модели, отражающей в математической форме важнейшие его свойства, алгоритма для реализации модели на компьютере и программы, переводящей алгоритм на компьютерный язык.
Разработкой методов расчета и, особенно, созданием программ и комплексов программ для решения задач физико-химической гидродинамики занято большое число исследователей. Ввиду разнообразия решаемых задач при создании программ даже по одному алгоритму или численному методу неизбежен параллелизм в работе, когда исследователи вынуждены проделывать всю работу от начала до конца. Анализ показывает, что у различных программ имеются общие части, которые целесообразно один раз запрограммировать и в дальнейшем многократно использовать. С другой стороны, расширение класса задач требует создания большого числа программ одноразового, несерийного использования. Это обуславливает неоправданные затраты как людских ресурсов, так и машинного времени на создание и отладку программ. Кроме того, замедляется и сам процесс исследований.
Данные обстоятельства приводят к необходимости перехода на другой путь создания программ, а именно - создание пакетов программ, ориентированных на решение целых классов задач.
Во всем многообразии задач гидродинамики и химической кинетики можно найти общие черты и закономерности, а использование для создания моделей принципов объектно-ориентированного программирования позволяет создавать готовый набор программных заготовок для построения программ любой сложности.
Объектно-ориентированное программирование (ООП) - это совершенно новый подход к построению программ. Этот подход зародился в таких языках программирования как Ада, Smalltalk, C++, Borland Pascal. До появления ООП господствовало процедурное программирование: основой программ были процедуры и функции, т.е. действия. Программа представляла собой четкий алгоритм работы -
последовательность операций, начинающихся в какой-либо точке и заканчивающихся в одной или множестве других точек.
В объектно-ориентированном программировании главной отправной точкой является не процедура, не действие, а объект. Прикладная программа, построенная по принципам ООП - это совокупность объектов и способов их взаимодействия. Типы объектов оформляются в виде классов. Каждый класс является самодостаточным для решения конкретной задачи. Любой класс может быть порожден от другого класса, автоматически наследует все его свойства и методы и может добавлять новые свойства. Принцип наследования приводит к созданию ветвящегося дерева классов, постепенно разрастающегося, причем каждый потомок дополняет возможности своего родителя и, в свою очередь, передает их своим потомкам. Все это позволяет использовать при расчетах по сути одну универсальную математическую модель, адаптированную к конкретному процессу или аппарату с помощью соответствующих классов.
Так как все созданные вновь классы являются потомками классов объектно-ориентированного языка (Object Pascal, Си++ и т. д.), то разработанная модель легко интегрируется со средой разработчика и графическим интерфейсом.
При создании программ (пакетов программ) необходимо учитывать как дальнейшее развитие ЭВМ - увеличение их быстродействия, объема памяти и сервиса, так и дальнейший прогресс в развитии математических моделей и численных методов. Это позволяет сформулировать основные требования к создаваемым программам и пакетам программ: открытость пакета, дающая возможность путем наращивания модулей расширить классы решаемых задач за счет усложнения математических моделей, вследствие модифицирования или изменения методов численного решения уравнений, изменением геометрии расчетных областей; возможность доступа к пакету программ широкого круга пользователей, не знакомых детально с алгоритмами решения и программированием; экономичность и эффективность применяемых методов с целью получения численных результатов за разумное время; надежность и достаточная точность полученных численных результатов.
Химические реакции с фазовыми превращениями характерны для широкого круга процессов, которые связаны с взаимодействием компонентов, находящихся в различных агрегатных состояниях. Эти процессы лежат в основе современных способов сжигания жидких и твердых топлив, характерны для энергетики,
авиационной и ракетной техники, химических технологий и т.д. Подобные процессы отличаются рядом специфических особенностей, связанных с протеканием химических реакций в условиях динамического и теплового взаимодействия реагентов, интенсивного массопереноса при фазовых и химических превращениях, а также зависимостью параметров процесса как от термодинамического состояния среды, так и от ее структурных характеристик.
Многообразие указанных факторов создает известные трудности при разработке теории и рациональных инженерных методов расчета. Существенные результаты в описании физико-химических процессов в двухфазных средах могут быть получены на основе последовательного приложения методов математического моделирования и механики гетерогенных систем.
Вышесказанное определяет круг вопросов, рассмотренных в диссертации.
Цель работы
Анализ математических моделей, систематизация и выявление классов общих моделей для описания комплекса проблем гидродинамики и химической кинетики.
Теоретическое исследование процессов пиролиза и горения.
Создание математических моделей и пакетов программ, описывающих процессы одно- и двухфазного химического реагирования на основе объектно-ориентированного программирования.
Научная новизна диссертационной работы заключается в следующем:
Разработана гибкая математическая модель для описания гидродинамики, теплопереноса и химической кинетики (на примере пиролиза углеводородов, горения газообразных и твердых топлив) в криволинейной системе координат.
Разработаны теоретические основы единого подхода к описанию процессов химического реагирования в изменяющейся во времени структуре пористой среды, как для монодисперсных, так и для полидисперсных сред. Получены новые критериальные зависимости времени процесса от структуры пористой среды.
Разработана рекурсивная модель пористой среды, предполагающая, что каркас пористой макрочастицы состоит из системы более мелких пористых частиц (микрочастиц), каждая из которых в свою очередь также состоит из системы пористых микрочастиц следующего уровня и т.д., причем пористая структура микрочастиц каждого уровня описывается моделью хаотично расположенных сфер.
Разработана математическая модель реагирования в пористой среде с представлением скорости подвода реагента к реакционной поверхности как функции внутренней структуры частицы с учетом диффузионного сопротивления.
Созданы программные комплексы, позволяющие проводить расчеты всей совокупности физико-химических процессов, протекающих в реагирующих потоках технологических аппаратов. В программных комплексах математическая модель реализована в виде пяти разработанных классов-моделей: гидродинамический блок, структурный блок, блок расчета температуры, блок физико-химических свойств и блок химического реагирования. Каждый из блоков является самодостаточным для решения конкретных задач. Внутри блоков представлены различные математические модели, оформленные в виде отдельных модулей, которые также самодостаточны для решения соответствующих задач.
Научная и практическая ценность работы заключается в создании гибких математических моделей и разработке на их основе программных комплексов для проведения научных исследований различных процессов гидродинамики и химической кинетики (пиролиз, горение, газификация и др.). Благодаря модульности программного обеспечения на основе разработанных моделей могут быть созданы модели других процессов.
Реализация данного подхода позволяет решать задачи любой сложности с использованием уже созданных математических моделей и программных средств (модулей) путем их модификации или разработки дополнительных блоков.
Разработанные модели и программные средства могут быть использованы инженерами и конструкторами при проектировании новых и модифицировании действующих технологических установок, позволяют проводить экспертные оценки эффективности различных технологий, выбирать оптимальные схемы.
На защиту выносятся следующие положения:
Новые теоретические результаты, полученные при исследовании процессов химического реагирования в пористых средах.
Результаты моделирования задач физико-химической гидромеханики (пиролиз метана, горение газообразных и твердых топлив).
3. Разработанные программные комплексы для моделирования течений реагирующих потоков с использованием принципов объектно-ориентированного программирования.
Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на международных и отечественных конференциях:
International Symposium on Advanced in Computational Heat Transfer, Turkey, 1997; Second Trabzon International Energy and Environment Symposium, Turkey, 1998; Twelfth International Heat Transfer Conference, Grenoble, France, 2002; II Международном симпозиуме по физике и химии углеродных материалов, Алматы, 2002; III Российской национальной конференции по теплообмену, Москва, 2002; XVIII, XIX, XX Международных конференциях «Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество», Эльбрус, 2003; 2004, 2005; II Международной конференции «Углерод: фундаментальные проблемы науки, материаловедение, технология», Москва, 2003; III Международном симпозиуме по физике и химии углеродных материалов, Алматы, 2004; Международной конференции «Фундаментальные проблемы разработки нефтегазовых месторождений, добычи и транспортировки углеводородного сырья», Москва, 2004; Fourth International Conference on Heat Transfer, Fluid Mechanics & Thermodynamics HEFAT 2005, Cairo, Egypt, 2005; XI Российской конференции по теплофизическим свойствам веществ, Санкт-Петербург; 2005, II Международном семинаре по теплофизическим свойствам веществ, Нальчик, 2006.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 7 глав, заключения и 1 приложения; содержит 220 страниц, 80 рисунков, 22 таблицы, список литературы из 201 наименования.
Во введении обоснована актуальность работы, определена цель исследования, сформулированы основные положения диссертации, выносимые на защиту.
В первой главе даны общие принципы построения математических моделей, приведена блок-схема модулей математической модели, дан обзор работ по математическому моделированию задач гидродинамики и химической кинетики.
Вторая глава посвящена описанию гидродинамического блока. Он является базовым блоком при разработке моделей различной сложности и детализации процессов гидродинамики и химической кинетики.
Блок представлен в наиболее общей форме с введением в систему уравнений сохранения источниковых членов, вид которых определяется решаемой задачей и конкретизируется в следующих главах. В минимальном объеме гидродинамический блок позволяет решать задачи гидродинамики: однофазные, двухфазные, ламинарные и турбулентные течения. В главе дано обобщенное уравнение сохранения для обобщенной переменной ф, описана используемая А;-є-модель турбулентности и модель турбулентности твердой фазы, приведена система уравнений для твердой фазы в рамках лагранжева описания, приведены источниковые члены, описывающие межфазное взаимодействие.
Третья глава посвящена методам расчета средней величины источникового члена, описывающего производство массы в химических реакциях, с использованием функции плотности вероятности (ФПВ). В главе рассматривается два подхода к решению проблемы. В первом используется ФПВ заданной формы, т.е. считается заданным распределение функции с параметрами, имеющими первый и второй моменты соответственно. Получены два дополнительных транспортных уравнения для расчета первого и второго моментов ФПВ в поле течения. Проведено обобщение метода на случай трех газовых потоков. Получены ограничения применения метода ФПВ заданной формы. Рассмотрен второй путь получения средних величин источниковых членов, учитывающих производство массы, состоящий в решении эволюционного уравнения для ФПВ. В главе рассмотрены три вида ФПВ: ФПВ состава, совместная ФПВ скорости и состава, совместная ФПВ скорости, механической диссипации и состава. Последовательно получены эволюционные уравнения для соответствующих ФПВ, приведены дополнительные замыкающие соотношения.
В четвертой главе приведены кинетические схемы, используемые при моделировании процессов переработки углеводородных материалов, включая пиролиз в пористой среде, горение газообразных и твердых топлив, образование оксидов азота.
В пятой главе представлены разработанные структурные модели для монодисперсной и полидисперсной сред.
Для описания динамики полидисперсной системы частиц в процессе пиролиза используется кинетическое уравнение для функции плотности вероятности распределения частиц по радиусам. Получено общее выражение, связывающее зависимость изменения внутренней реакционной поверхности от степени заполнения
(разрушения) пористого каркаса для произвольного начального распределения частиц по размерам с обобщением модели хаотично расположенных сфер для полидисперсной среды.
Разработана рекурсивная модель пористой среды, предполагающая, что каркас пористой макрочастицы состоит из системы более мелких пористых частиц (микрочастиц), каждая из которых в свою очередь также состоит из системы пористых микрочастиц следующего уровня и т.д., причем пористая структура микрочастиц каждого уровня описывается моделью хаотично расположенных сфер.
Разработана математическая модель реагирования в пористой среде с представлением скорости подвода реагента к реакционной поверхности как функции внутренней структуры частицы с учетом диффузионного сопротивления.
В шестой главе приведены численные методы решения полученных в предыдущих главах дифференциальных уравнений. Получены коэффициенты дискретных аналогов. Во многих задачах гидродинамический блок является определяющим с точки зрения эффективности всего алгоритма, поэтому основное внимание уделено алгоритмам решения уравнений движения в естественных переменных в криволинейных координатах. Построены численные алгоритмы решения дифференциальных уравнений всех блоков, которые отличаются по методу дискретизации и методу решения дискретных уравнений. Для основной обобщенной переменной ср при получении дискретных уравнений используется метод контрольного объема: а) полный - в случае решения стационарных и нестационарных задач с размерностью два и выше, б) частичный - в случае решения нестационарных задач с размерностью единица. Использован прямой метод решения уравнений для концентраций молекулярных компонентов и энтальпии, что связано с сильной нелинейностью уравнений. Разработан метод решения эволюционного уравнения для ФПВ, состоящий в расщеплении исходного оператора по физическим процессам. Для учета излучения в уравнении сохранения энергии использован метод шести потоков. Для потоков излучения получены соответствующие уравнения и коэффициенты дискретных аналогов.
Описанные в предыдущих главах подходы к созданию математических моделей, алгоритмов и программ расчета позволили решить ряд задач, имеющих научное и прикладное значение. В первой части седьмой главы представлены результаты исследований процессов термического разложения природного газа при его фильтрации через пористую среду, сформированную гранулами технического
углерода или карбонизированным органическим сырьем. Во второй части главы представлены результаты моделирования процессов горения газообразных (водорода, метана) и твердых (угля) топлив и образования полютантов. Расчеты проводились как в предположении термодинамического равновесия, так и с учетом конечной кинетики.
Полученные результаты моделирования процессов термического разложения метана, горения водорода, метана и угля в целом удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными.
В приложении изложены общие подходы к построению расчетных комплексов с использованием принципов объектно-ориентированного программирования. Дана структура разработанных классов-моделей, классов и компонентов для визуализации полученных результатов, приведены примеры программных комплексов.
Модель турбулентности газовой фазы
При описании турбулентности газового потока в рамках к-г - модели наряду с обычной вязкостью вводится турбулентная вязкость. Для связи турбулентной вязкости с рассчитанными средними свойствами газовой среды используется обобщенная гипотеза Прандтля-Колмогорова [140], [141]; эффективная турбулентная вязкость вводится по аналогии с ламинарной вязкостью // как коэффициент пропорциональности между корреляционным турбулентным членом и градиентом средней скорости потока: Турбулентная вязкость связана с кинетической энергией турбулентных пульсаций и ее диссипацией: щ = С р /е. (2.4)
Турбулентная кинетическая энергия k=0,5Y, Va является мерой интенсивности турбулентных флуктуации. Допуская равенство характерных масштабов флуктуации скорости в различных направлениях, приходим к выражению k=3/2 Va .
Скорость изменения к определяется конвективным переносом осредненного потока, диффузионным переносом турбулентного движения, производством энергии, а также диссипацией
В отличие от газовой фазы частицы топлива не являются непрерывной средой, располагаются локально в соответствии со своей траекторией, обусловленной предысторией движения в газовой среде. Поэтому, в отличие от газовой фазы, где свойства среды в каждой конкретной точке являются функциями времени и определяются интегрированием исходных уравнений по всему полю потока, для описания твердой фазы используется лагранжев подход (метод частиц в ячейках [88] - [90]). Система уравнений дополняется уравнением неразрывности для частицы где в правой части стоит источник массы, обусловленный химическими превращениями.
Теоретические основы диффузионной модели турбулентного движения частиц представлены в работах [144], [145]. В этом подходе полагается, что скорость частицы отличается от локальной скорости газовой среды, и ее среднее значение может быть представлено как сумма средних конвективной и диффузионной скоростей: v=vc +v /.
Средняя конвективная скорость vc представляет собой скорость частицы в отсутствие турбулентности, определяется средней скоростью газа и вычисляется интегрированием уравнения (2.6) вдоль траектории частицы, причем используются осредненные по времени параметры газового потока.
Коэффициент турбулентной диффузии Dp может быть выражен через кинематическую турбулентную вязкость vp, учитывающую степень турбулентности потока и меру ее влияния на частицы, и турбулентное число Шмидта ор частицы: Dp=vp 1 5р. Для связи кинематических коэффициентов вязкости для частицы и газа используется выражение, предложенное в работе [145] — (2-15) VP= t 1+ U Для определения концентраций п используется смешанный подход с использованием трактовки Эйлера, которая предлагает рассматривать частицы как «газ» и решать уравнение для объемной концентрации частиц, сходное по виду с системой основных гидродинамических уравнений (2.1), в которых вместо скоростей частиц фигурируют соответствующие скорости газа:
Данный подход имеет ряд недостатков. Под влиянием молекулярного движения в жидкости взвешенные в ней частицы совершают беспорядочное броуновское движение со своим коэффициентом диффузии, связанным с подвижностью частиц [146]. Связь с турбулентными пульсациями газовой фазы в приведенном подходе учитывается введением коэффициента турбулентной диффузии с учетом эмпирического соотношения для характерных времен и с константой модели -турбулентным числом Шмидта, величина которого варьируется от 0,3 до 0,8. Это справедливо в двух предельных случаях: очень маленьких частиц, когда vp = V, и крупных частиц, когда vp = 0, что связано с двумя разными условиями течения.
В первом случае пренебрегается конвективным движением частиц относительно газа и лагранжево рассмотрение переходит в эйлерово. Во втором случае рассматривается только конвективное движение частиц.
Для учета влияния турбулентных пульсаций газового потока на движение частицы предположим, что флуктуирующая составляющая скорости частицы и имеет гауссово распределение со средним равным нулю и дисперсией (2Ш) 5 [145]. Мгновенная скорость частицы в произвольной точке траектории представима в виде суммы усредненной и флуктуирующей составляющих "р= йр +йр (2Л7) Время взаимодействия частицы с турбулентными вихрями газового потока определяется из условия минимума двух времен: времени жизни вихря, определяемого характеристиками турбулентного потока, и времени прохождения частицей вихря. При этом предполагается, что характеристики газового потока остаются постоянными.
Метод функции плотности вероятности заданной формы
В этом случае становится необходимым использование статистических методов. Поскольку начальные и граничные условия не удается задавать достаточно точно для получения единственного решения, можно предположить, что эти условия задаются только в вероятностном смысле. Решения уравнений становятся при этом вероятностными величинами, и турбулентное течение с химическими реакциями рассматривается как случайный процесс. Тогда основная задача будет состоять в получении вероятностных характеристик решений.
Для большинства типов течений более простой и легко воспринимаемый вид статистического осреднения можно получить исходя из идеи осреднения по времени. Принято представлять различные величины в виде средних и пульсационньгх составляющих.
Наиболее простое описание турбулентных потоков с химическими реакциями основано на использовании низших моментов одноточечных одновременных функций плотности вероятности.
Уравнения сохранения для этих моментов можно получить обычным осреднением уравнений (3.1). Применяя осреднение по Фавру [141], система (3.1) в стационарном случае переходит в систему уравнений
В каждом их этих уравнений имеется член, содержащий плотность турбулентного потока, представляющий перенос соответствующей характеристики потока турбулентными пульсациями, и с этими членами связана проблема замыкания.
Простейшее решение проблемы замыкания состоит в предположении о градиентном характере турбулентного переноса. Для плотности потока скалярной величины g предположение о градиентном характере означает (puV = -(p)v, -. (3.5)
Для компоненты скорости плотность потока может быть представлена в виде (3.6)
Возможность использования приближений о градиентном характере переноса связана с предположением о том, что линейные масштабы турбулентных пульсаций малы по сравнению с линейными размерами осредненного течения [142].
Введение турбулентной вязкости наряду с обычной вязкостью в виде (2.4) приводит к &-є-модели турбулентности [140]. В настоящий момент это наиболее апробированная модель. Основной недостаток модели - предположение об изотропности турбулентности и, как следствие, неприменимость к расчету закрученных потоков.
В большинстве задач химической кинетики особое внимание заслуживают проблемы, связанные с расчетом средней величины источникового члена, описывающего производство массы в химических реакциях.
Для того, чтобы решить уравнение для { р(х,ф, необходимо определить (S(/x,tj). Предположение (Sa(x,t))= Sc{((p(x,t))) может привести к значительным ошибкам. Информация, необходимая для определения \Sa(x,t)), может быть получена при помощи одноточечной функции плотности вероятности состава f (\\f;x,f). И средняя скорость химических реакций выразится в виде: где у - пространство возможных значений ф.
Существует два подхода к использованию (3.7) при осреднении источниковых членов. В первом используется предполагаемая ФПВ, т.е. считается заданным распределение/(\J/;JC,0 с параметрами, имеющими первый и второй моменты (т ) и \т т ) соответственно (см. параграф 3.2.3). Второй путь состоит в решении эволюционного уравнения для ФПВ (см. параграф 3.2.4).
Существенной особенностью многих, имеющих практический интерес задач является ограничение скорости химических реакций скоростью смешения реагентов. В таких задачах реагенты попадают в область взаимодействия двумя потоками, имеющими различный, но постоянный химический состав.
Если принять предположение о равенстве коэффициентов диффузии всех компонентов между собой, можно показать, что характер смешения однозначно определяется одной консервативной скалярной переменной, что приводит к значительному упрощению решения задачи и анализа течения.
При взаимодействии двух потоков разного состава в пределе больших скоростей химических реакций концентрации молекулярных компонентов в каждый момент времени связаны с консервативной скалярной величиной, например, функцией смешения / и статистические характеристики переменных могут быть получены из статистических характеристик данной скалярной величины.
Кинетика процессов горения газообразного и твердого топлива
Из (3.88) следует, что при малых значениях квадратичных пульсаций концентрации т осредненная с использованием ФПВ скорость гомогенной химической реакции совпадает с ее выражением для квазиламинарного приближения, т.е. реагирование обусловлено химической кинетикой, определяемой по осредненным значениям концентрации и температуры.
В случае больших значений параметра g можно показать [19], что осредненная скорость гомогенной реакции не зависит от химической кинетики, а лимитируется процессом диссипации пульсаций концентраций (температуры) Выражение (3.89) согласно [159] можно представить в виде ( «(/)) = Ул&р (3.90) где у- эмпирическая константа, значение которой близко к единице. Формула (3.90) совпадает с выражением для скорости горения гомогенной смеси, предложенной в работе [160] на основе модели дробления турбулентных вихрей.
Скорость гомогенной химической реакции невозможно однозначно определить во всей области турбулентного потока, характеризуемого различным уровнем пульсационной энергии. В соответствии с этим общее выражение для осредненной скорости бимолекулярной реакции записывается в виде
Для описания реагирования (в частности диффузионного горения) неперемешанных и частично перемешанных газов получила распространение модель, игнорирующая роль химической кинетики [56]. В рамках этой модели предполагается, что лимитирующей стадией является процесс турбулентного смешения газов до молекулярного уровня, описание которого осуществляется на основе модели дробления турбулентных вихрей. Для неперемешанных газов скорость записывается в виде: где индексы «fuel», «ох» и «prod» относятся к топливу, окислителю и продуктам реакции, / - стехиометрический коэффициент реакции, А и В - эмпирические постоянные. Следуя [56] значения констант могут быть принятыми равными двум.
Аналогично газовой функции смешения / целесообразно ввести функцию смешения Г для потока газа, вышедшего из угольных частиц в процессе сушки, пиролиза и гетерогенного реагирования Л = (3.94) Gl+G2+G3
Консервативная величина / в терминах локальных потоков первичной (Gi), вторичной (Gi) масс и потока, вышедшего из угольных частиц (Gj), представима как / = (3.95) Gl+G2 + G3
Так как угольный газ может рассматриваться, как простой компонент гомогенной газовой фазы, то для функции Т справедливо уравнение в стандартной форме (2.1) с источниковым членом Smp.
По функциям смешения/и Г рассчитывается элементный состав и энтальпия газовой фазы в данной ячейке Аналогично дисперсии g функции смешения/вводится дисперсия gn функции смешения Г) газа, вышедшего из угля. Величины gA и Г используются для получения средних величин концентраций и температуры как и в случае чисто газового реагирования.
В главе построена иерархическая цепочка моделей для расчета средних величин источниковых членов, описывающих производство массы в химических реакциях и входящих в гидродинамический блок.
В зависимости о решаемой задачи можно применять разработанные модели с использованием метода ФПВ заданной формы или эволюционного уравнения одноточечной ФПВ.
В методе ФПВ заданной формы получены транспортные уравнения для функции смешения и ее дисперсии. Уравнения могут решаться тем же численным методом, что и уравнения для обобщенной переменной (р.
При использовании методов вычисляемой ФПВ необходимо решение эволюционного уравнения для ФПВ, которое отличается по виду от обобщенного уравнения (2.1), и требуется разработка специальных численных алгоритмов решения полученных эволюционных уравнений для ФПВ состава, совместной ФПВ скорости и состава и совместной ФПВ скорости, механической диссипации и состава. Подробнее эти методы изложены в главе 6.
Следует отметить тесную связь гидродинамического блока с блоком химического реагирования через модель турбулентности газовой фазы, так как (за исключением совместной ФПВ скорости, механической диссипации и состава) через нее определяются среднее поле скоростей и турбулентные характеристики потока.
Решение уравнения для функции плотности вероятности распределения частиц по радиусам
Получены безразмерные критериальные соотношения и номограммы для расчета характерного времени реакций как функции структурного параметра и степени заполнения пор пористого каркаса. Полученные критериальные зависимости могут использоваться для проведения оценок основных характеристик физико-химических процессов в пористых средах в присутствии гетерогенных реакций как при проведении экспериментальных исследований, так при оценке эффективности работы технологических установок.
Получено общее выражение, связывающее зависимость изменения внутренней реакционной поверхности от степени заполнения пор пористого каркаса для произвольного начального распределения частиц по размерам с обобщением модели хаотично расположенных сфер для полидисперсной среды.
Проведено сравнение зависимостей степени заполнения пор пористого каркаса от безразмерного времени для различных начальных распределений: монодисперсного, равномерного и нормального логарифмического с различной дисперсией. Минимальное время заполнения пор наблюдается у монодисперсной среды.
Показано, что полидисперсная среда может быть описана эффективным структурным параметром, величина которого всегда больше аналогичного параметра для монодисперсной среды, что соответствует более рыхлой структуре и меньшей начальной поверхности реагирования.
Показано, что время заполнения пор зависит от эффективного коэффициента диффузии в порах, и замена его средним значением приводит к завышенным временам даже для монодисперсной среды.
Показано, что для полидисперсной среды при учете внешнего и внутреннего диффузионных сопротивлений скорость заполнения пор существенно различна на частицах различных радиусов, и определяющим фактором, влияющим на время заполнения пор, является дисперсия частиц.
Разработана рекурсивная математическая модель, предполагающая, что каждая макрочастица пористого каркаса состоит из системы более мелких частиц (микрочастиц), каждая из которых в свою очередь также состоит из системы частиц следующего уровня и т.д.
В главе приведены численные методы решения полученных в предыдущих главах дифференциальных уравнений. Дискретизация транспортных уравнений вида (2.1) проводится методом контрольного объема. Приведены коэффициенты полученных дискретных аналогов.
Во многих задачах гидродинамический блок является определяющим с точки зрения эффективности всего алгоритма, поэтому основное внимание уделено алгоритмам решения уравнений движения в естественных переменных.
Приведен прямой метод решения уравнений для концентраций молекулярных компонентов и энтальпии, что связано с сильной нелинейностью уравнений.
Разработан метод решения для эволюционного уравнения для ФПВ, состоящий в расщеплении исходного оператора по физическим процессам.
В последнем параграфе приведен метод шести потоков для учета излучения в уравнении сохранения энергии. Для потоков излучения получены уравнения вида (2.1) и коэффициенты дискретных аналогов.
В основном для численного решения моделей процессов химического превращения в условиях турбулентного смешения применяют разностные методы, разработанные в работах [1], [78]-[94], [183]. В этом случае физическое пространство, в котором протекает процесс, аппроксимируется разностной сеткой, являющейся дискретным аналогом этого пространства, а дифференциальные уравнения в частных производных заменяются разностной схемой, т.е. системой алгебраических уравнений, в общем случае нелинейных.
Для решения одной и той же системы дифференциальных уравнений можно построить множество различных разностных схем.
Следует отметить, что в настоящее время наряду с разностными методами существуют и другие численные методы: вариационные (Ритца, Галеркина и др.), метод характеристик, метод "крупных частиц" и др. [78]-[94].
Основной вопрос, который возникает при численном решении задачи, это выбор метода для решения полученной системы алгебраических нелинейных уравнений. Наибольшее применение находят просто реализуемые итерационные методы, обеспечивающие сходимость и устойчивость решений.
При выборе численных методов решения целесообразно определить блоки моделей, представленных однотипными уравнениями, с целью разработки для них единого численного алгоритма.
Приведенный выше анализ моделей показывает естественное разделение на два блока численных методов: гидродинамический и блок расчета с использованием функции плотности вероятности (блок ФПВ).
Дискретизацию дифференциальных уравнений (2.1) можно осуществить различными способами. Один из наиболее распространенных методов - метод контрольного объема [8]. Разобьем расчетную область на некоторое число непересекающихся контрольных объемов таким образом, чтобы каждая узловая точка содержалась в одном контрольном объеме.
