Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Плоские кавитационные вихри в идеальной жидкости 19
1. Полый вихрь вблизи прямолинейной стенки 21
2. Полый вихрь в струе жидкости вблизи стенки 33
3. Полый вихрь в канале с прямолинейными стенками 42
4. Система периодических полых вихрей в струе жидкости вблизи стенки 47
5. Дорожка Кармана с полыми вихрями 51
ГЛАВА 2. Численный метод определения свободных границ 57
6. Постановка осесимметричных задач 59
7. Метод граничных элементов 60
8. Вычисление элементов матриц для плоской и осесимметричной задач 65
9. Численный алгоритм нахождения свободной границы
течения 71
ГЛАВА 3. Применение метода определения свободных границ к некоторым задачам гидродинамики 78
10. Натекание струи на плоскость. Случай тяжелой жидкости 79
11. Натекание струи на бесконечный конус 84
12. Безотрывное осесимметричное струйное обтекание тел вращения 86
13. Истечение струи из круговой воронки 93
ЗАКЛЮЧЕНИЕ 97
ЛИТЕРАТУРА 99
- Полый вихрь вблизи прямолинейной стенки
- Метод граничных элементов
- Натекание струи на плоскость. Случай тяжелой жидкости
Введение к работе
Течения жидкости со свободными границами охватывают широкий круг задач механики, важность которых требует их исследования. Результаты этих исследований находят многочисленные технические приложения, например, при конструировании средств передвижения в воде с большими скоростями, при проектировании плотин, водосливов, струйных аппаратов и аппаратов на воздушной подушке, в вопросах оптимизации профилей крыльев по заданным гидродинамическим характеристикам, конструировании гидрозатворов, стенок рабочих участков гидродинамических труб, проектировании форм диффузоров и др [12, 44, 49, 52, 60, 74].
Свободные поверхности или поверхности струй служат поверхностями раздела двух сред - жидкости и газа, вдоль которых давление принимается постоянным. В данной работе все задачи рассматриваются в рамках установившихся потенциальных движений несжимаемой жидкости. Форма свободных поверхностей заранее неизвестна, она определяется в процессе решения задачи.
Основное внимание в данной работе уделено частным случаям течений со свободными поверхностями - это циркуляционное обтекание кавитационнои полости внутри жидкости с постоянным внутренним давлением в рамках плоской потенциальной задачи идеальной жидкости и ряд задач осесимметричных струйных течений.
Теория плоскопараллельных движений несжимаемой жидкости и газа представляет собой весьма обширный и разработанный отдел гидромеханики [44, 50, 51, 52, 68]. В рамках плоскопараллельных потенциальных течений несжимаемой жидкости исследован большой круг задач [17, 29, 68]. Простота постановок стационарных задач со свободными границами для потенциальных течений идеальной жидкости, изящество применяемого аппарата исследования, возможность построения решения в аналитическом виде для большего числа задач и несомнен- ная важность соответствующих практических проблем вызвала большое внимание к этим вопросам многих исследователей, что и объясняет значительное число публикаций в этой области [16, 17, 29, 49, 68, 81].
Основы теории потенциальных течений идеальной жидкости со свободными границами заложены в работах Г.Гельмгольца и Г.Кирхгофа, которые впервые применили в гидродинамике методы теории функций комплексного переменного [48]. Аппарат аналитических функций позволяет во многих случаях находить полное решение в простом и эффективном виде, удобном для установления характерных качественных свойств и количественных соотношений для общих классов течений несжимаемой жидкости. Можно с уверенностью сказать, что выяснение физической сущности многих основных гидро-аэродинамических явлений получено путем математического исследования с помощью эффективных методов, основанных на приложении теории функции комплексного переменного.
Существенный вклад в развитие методов решений задач о плоских струйных течениях идеальной жидкости на основе аппарата аналитических функций внесли работы Н.Е.Жуковского, С.А.Чаплыгина, Т.Ле-ви-Чивиты, А.И.Некрасова, Вилла, М.В.Келдыша, Л.И.Седова, М.А.Лаврентьева, Г.Бирхгофа, М.И.Гуревича, Д.Рябушинского, Г.Ю.Степанова, А.В.Кузнецова, А.Г.Терентьева, И.И.Ефремова, О.М.Киселева, Л.М.Котляра, П.М.Белоцерковского, Л.И.Гузевского, В.П.Житникова, Д.В.Ма-клакова, К.Е.Афанасьева, А.В.Галанина, В.Н.Васильева и др.
Жидкости, встречающиеся в природе и применяемые в технике, содержат взвешенные твердые частицы и растворенные газы [51, 52]. В большинстве случаев такие жидкости неспособны воспринимать растягивающие усилия (отрицательные давления). В особых случаях удается наблюдать течения, при которых возникают растягивающие напряжения в движущейся жидкости, но обычно давление р в потоке не может стать ниже некоторой положительной величины pd - давление насыщен- ных паров жидкости (кипящая жидкость). В точках потока жидкости, в которых давление падает до этого значения происходит нарушение сплошности течения и образуется область, заполненная парами жидкости или газами. Это явление называется кавитацией [69, 29].
В настоящее время в связи с возрастающим значением проблемы движения тел в воде с большими скоростями исследование явления кавитации становится весьма важным, особенно при обтекании водяных винтов, турбин, насосов и других гидравлических машин.
При возникновении кавитации на поверхности тела образуются пузырьки, заполненные паром с давлением, близким к нулю. Попадая в область повышенных давлений эти пузырьки всхлопываются, вызывая явления ударного характера, что создает увеличение местного давления в несколько десятков раз и, вследствие возникновения кавитационной эрозии, служит причиной быстрого износа техники.
При развитом кавитационном обтекании тела образуются резко выраженные границы между жидкостью и парами и газами, заполняющими каверну. Вдоль поверхности раздела давление является постоянным Pd = const. Поэтому эти границы жидкости можно рассматривать как свободные поверхности (струи жидкости). Более того, следует заметить, что при установившемся движении траектории частиц жидкости на границе каверны совпадают с самой границей, которая должна представлять собой выпуклую кривую, обращенную выпуклостью к основному потоку жидкости [68].
Вблизи твердых поверхностей могут возникнуть и замкнутые кави-тационные полости (далее полые вихри) также вызывающие кавитаци-онную эрозию в зонах их устойчивого положения [13]. Для объяснения механизма появления полых и точечных вихрей необходимо привлекать достаточно сложные модели течений, учитывающие вязкость жидкости и отрыв пограничного слоя. Такие исследования в полном объеме еще не сделаны.
Полый вихрь, или циркуляционное обтекание замкнутой области постоянного давления, был рассмотрен как чисто теоретическая задача еще в конце прошлого века Мичеллом [108]. Им были даны постановка и общее решение задачи о полом вихре в канале и в замкнутом многоугольнике. Отдельные задачи с полыми кавернами рассматривались также Поклингтоном, Гринхиллом и др. [9, 29].
Задача обтекания плоского полого вихря вблизи стенки была решена Кокс и Клайденом [100], а также А.Е. Хоперсковым [92]. Но в данных работах не приведены полные числовые расчеты границы полого вихря и не исследована зависимость формы полой каверны от числа кавитации. Более полное исследование задачи дано А.Г. Терентьевым [81], в которой автор подробно рассмотрел полый вихрь вблизи стенки, но основное внимание уделил равновесному точечному вихрю при натекании струи на жидкость.
В работе [81] доказана лишь теоретическая возможность существования полых и точечных вихрей вблизи твердой границы, показано, что в пределе полый вихрь вырождается в точечный. Проведено исследование о равновесном положении точечного вихря при струйном натекании
На рис. 1 представлена фотография области кавитационной эрозии на плоской поверхности, заимствован ная из работы [110]. Эрозия на по верхности получается при натека- \.. -.-.' нии струи радиуса Ілім в результате
,;'-^*д образования кавитационных пузырь-
Рис. 1. ков в зоне возможного устойчивого положения кольцевого полого вихря - в кольце радиусами Змм и 12мм как видно на рис. 1. Результаты работы [81] для точечного вихря вполне согласуются с данной картиной течения, но тем не менее, данные расчеты не могут однозначно дать модель физической картины. Более того, скорость в точке вихря V = оо, что физически невыполнимо. Поэтому есть необходимость дальнейшего исследования задачи образования полого вихря вблизи твердой стенки. Теоретически возможны течения с произвольным (в том числе бесконечным) числом вихрей. Какой из них реализуется в реальных течениях - это можно выяснить лишь экспериментально.
В данной работе рассматривается ряд плоских задач о равновесном полом вихре вблизи твердой поверхности в безграничном потоке, в струе и в канале; исследована плоская задача о системе периодических полых вихрей в струе и в безграничном потоке. В ряде случаев из полученных решений, путем предельного перехода, найдены решения некоторых более простых задач.
При отрывном обтекании неподвижного тела струя, сошедшая с его поверхности, может возвратиться в некотором месте обратно к телу, или встретиться с другой струей. Наблюдения свидетельствуют, что из области замыкания периодически отделяются завихренные клокочущие массы жидкости, уплывающие вместе с потоком назад и создающие движение типа вихревых дорожек. Явления, происходящие в области замыкания струй, ограничивающих каверну, носят ярко выраженный нестационарный характер, поэтому вполне не изучены и вызывают большой интерес у исследователей.
В 1911-1912 гг. Карман предложил, ставшую теперь классической, теорию периодических следов из точечных вихрей в бесконечном потоке [9, 44]. Такие течения могут образовываться, например, при обтекании цилиндра. Предложенная Карманом схема была впоследствии названа идеальной вихревой дорожкой или дорожкой Кармана. Такая модель определяется тремя произвольными параметрами: интенсивностью Г каждого вихря и геометрическими параметрами вихревой дорожки: шагом Ь и шириной h. В случае устойчивой вихревой дорожки было показано [44], что циркуляция (интенсивность) на линиях вихрей должна быть одинаковой по величине, но разной по направлению.
В невязкой жидкости идеальная вихревая дорожка находиться в равновесии, причем система вихрей перемещается против направления по-тока на бесконечности со скоростью Агtanh(7rh/b). Карманом был проведен анализ устойчивости системы двух параллельных периодических цепочек вихрей и установлено, что она имеет неустойчивость первого порядка (т.е. смещение вихрей от первоначального положения растут по экспоненте), за исключением случая h/b = 0.281. Однако в эксперименте наблюдаются устойчивые конфигурации дорожек в диапазоне 0.28 < h/b < 0.5 [9], что объясняется несколькими факторами: относительно малой скоростью завихренности, наличием вязкости и отсутствия сконцентрированности завихренности в отдельных точках, а также колебаниями вихревого следа [68].
Звук, создаваемый пропеллером и лопастями в воде, связывают с периодическим распадом следа. Несмотря на недостаточную изученность этих явлений, ясно, что они могут быть причиной возникновения сильных вибраций. Если интенсивность вибраций достаточно велика, то кавитация может возникнуть в полоске, параллельной выходной кроме, что может быть объяснением к возникновению следа в виде дорожки Кармана с полыми вихрями. Таким образом, существует необходимость подробного исследования возможного существования вихревой дорожки с полыми вихрями.
В данной работе исследуются задачи о системе периодических полых вихрей в струе и безграничном потоке. Для вихревой дорожки Кармана с полыми вихрями получено два возможных решения: симметричное расположение вихрей и в шахматном порядке, представлены решения для формы каверн в зависимости от числа кавитации и циркуляции скорости.
Для выяснения области кавитационной эрозии (рис. 1) и более полно- го изучения проблемы кавитации требуется дальнейшее исследование пространственных, и в частности - осесимметричных, струйных течений.
С использованием классического аппарата метода теории функций комплексного переменного при решении плоских стационарных задач о потенциальных течениях со свободными границами удается построить решение задач в аналитическом виде в тех случаях, когда заданные участки состоят из прямолинейных стенок, а жидкость является несжимаемой, невесомой и не подверженной влиянию сил поверхностного натяжения. Отказ от любого из этих условий приводит к необходимости в общем случае построения приближенных решений соответствующих нелинейных краевых задач. Отсутствие столь эффективного и удобного аппарата при решении пространственных задач также приводит к необходимости разработки численных методов решения задач. Несмотря на более чем столетнюю историю течений струй идеальной жидкости, лишь в последние годы было достигнуто значительное продвижение в вопросах расчета осесимметричных течений.
Существенно меньшее число работ, посвященных осесимметричным течениям со свободными поверхностями по сравнению с плоскими, объясняется большими математическими трудностями при решении этих задач.
Первая серьезная попытка произвести теоретический расчет осесим-метричного струйного течения принадлежит Трефцу [29]. Основная идея метода Трефца состоит в последовательном подборе приближении искомой границы области течения через определение потенциала на границе. Однако предложенный Трефцем метод не указывает рационального метода получения последовательных приближений. Более того, сведение интегрального уравнения в цилиндрических координатах к эллиптическим интегралам первого рода и дальнейшее разложение их в окрестностях некоторых точек в ряды делало очень громоздким вычислительную часть. Данный метод Трефц применил на задаче об истечении струи из круглого отверстия вертикальной плоскости и показал, что коэффициент сжатия струи лежит между 0,6 и 0,62.
Несколько упростил анализ Трефца немецкий ученый Шах [111], решивший задачу об ударе круглой струи о плоскость непосредственно рассматривая течения, образованные кольцами источников и диполей. В работе Д. Саламатова [67] об истечении струи из воронки на свободных поверхностях распределялись не кольцевые источники, а кольцевые вихри. При этом пользовались функцией тока, т.к для кольца вихрей неоднозначен потенциал скоростей. Д. Саламатов решал задачу методом последовательных приближений, сводя решение интегральных уравнений к решению системы линейных уравнений. Им был рассчитан случай для угла наклона стенки воронки /3 = it/4 и получен коэффициент сжатия струи 0.75, мало отличающийся от соответствующей плоской задачи 0.747 [29].
Некоторые авторы (Роуз и Абуль-Фету, Леклерк [29]) использовали электрогидродинамическую аналогию, позволяющую исследовать гидродинамические задачи с помощью измерений в электролитической ванне. Так, Роуз и Абуль-Фету изучали истечение круглой струи из бесконечно длинного сосуда кругового сечения. Ими были рассчитаны распределение давления на стенках сосуда, коэффициенты сжатия и форма струи и проведены сравнительные анализы с работами Трефца, Саусвелла и Вейси, Кречмера, Вейсбаха и др.
Попытка получения точного решения струйных задач была предпринята Гарабедяном [103], который записал уравнение для функции тока ф симметричного течения для комплексной переменной z: д2ф 1 дф 1 дф _ dz&z 2(z — z) dz 2(z — z~)dz С помощью функции Римана Гарабедян построил решение последнего уравнения, которое обладало тем свойством, что дуга произвольной кривой является свободной линией тока в меридиональной плоскости.
Однако в этой работе не удалось построить физически интересные примеры, в которых область течения имела бы правильный вид в целом.
Существенный прогресс достигнут в выяснении вопросов существования и единственности решения об осесимметричных струйных течениях. Гилбарг и Серрин [29] развили идеи М.А. Лаврентьева в теории конформных отображений, применив их для доказательства однозначной разрешимости основных задач о струйных осесимметричных течениях. Краткие основы этой теории можно найти в монографии Бир-кгофа и Сарантонелло [9]. В работе Гарабедяна, Леви и Шиффера [104] доказана теорема существования осесимметричных течений типа Ря-бушинского. Из доказанной теоремы, в качестве предельного случая, следует существование решения задачи об обтекании осесимметричного тела с бесконечной каверной (течения типа Кирхгофа).
Дальнейший прогресс в точном расчете осесимметричных (а в перспективе и пространственных) струйных течений обусловлен развитием вычислительной техники и связан с применением усовершенствованных численных методов, использующих специальные преобразования переменных, различные итерационные схемы, вариационные подходы и
Важные результаты в разработке методов численного решения в точной нелинейной постановке осесимметричных течений со свободными границами получены в работах Э.Л.Амромина [1], Брен-нена, К.Варсамова, П.Гарабедяна [103], Л.Г.Гузевского [24, 26, 27], А.Н.Иванова, Саусвелла [29], Д.Саламатова [67], Е.Треффтца [29], Л.А.Кожуро. Значительное число работ связано с асимптотическими методами в задачах кавитационных течений. Среди многих авторов следует отметить работы С.С.Григоряна [22], Г.В.Логвиновича [50], В.П.Карликова [36, 37], Накатани, В.В.Серебрякова [70, 71], Ю.Л.Якимова [94, 42].
Значительный вклад в изучении осесимметричных задач оказали введенные впервые Г.Н.Положием [64] и разработанные затем другими исследователями [20, 65, 80, 41] методы теории ^-аналитических функций. Для ^-аналитических функций установлены аналоги теоремы Ко-ши и формулы Коши, построена классификация особых точек и нулей, теория вычетов. Так, в работе О.Г. Гомана [20] показано, что в рамках теории тонкого тела решение любой осесимметричной задачи обтекания тела вращения может быть получено с помощью преобразования Положего из решения задачи обтекания профиля, эквивалентного телу вращения.
Наиболее широкое использование ^-аналитической функции в гидродинамике осесимметричных течений нашло в работах А.Г.Терентьева [80]. Им получены и применены к ряду задач гидродинамики интегральные преобразования для ^-аналитических функций с характеристикой р = ук. Им же, совместно с В.П.Житниковым [33], были успешно реализованы методы теории ^-аналитических функций к целому ряду задач, среди которых задачи безотрывного обтекания гибких оболочек безграничным и ограниченным потоком идеальной жидкости, задача об обтекании осесимметричного газового пузыря [34]. Н.А. Димитрие-ва [31] теорию р-аналитических функций применила к решению задач о кавитационном обтекании криволинейных осесимметричных тел (сферы и эллипсоида вращения). Д.А. Троешестова [90] методами теории ^-аналитических функций исследовала осесимметричные задачи о потенциальных течениях в трубах переменного радиуса.
С другой стороны, развитие вычислительной техники дало мощный толчок к развитию и использованию численных методов, которые широко применяются сегодня в самых разных областях гидродинамики [2, 21, 66, 79, 84, 96, 101, 117]. Многие проблемы, теоретическое исследование которых ранее было затруднительным, получили решение благодаря реализации численных методов - метода граничных интегральных уравнений [54, 59], метода конечных элементов (МКЭ) [5, 43, 83, 99, 107], метода граничных элементов (МГЭ) [8, 10, 83, 98], метода комплексных граничных элементов (МКГЭ) [23] др. В ряде работ, авторы используют метод вихревых колец, непрерывно распределенных по границам течения, или метод вихревого слоя для определения свободной поверхности [21, 89, 93, 97].
Данные численные методы успешно используются для решения широкого круга задач гидродинамики [7, 38, 42, 43, 46, 65, 71, 76, 79, 98, 101], например, в задачах о волнах [6, 74, 90, 107] и др.
В последнее время в различных областях механики сплошных сред широко применяется метод граничных элементов. Уже само название выделяет характерную особенность МГЭ: возможность решения задачи с использованием дискретизации лишь границы области (в отличие от методов конечных элементов и методов конечных разностей, применение которых требует дискретизации всей области). Исторически методу граничных элементов предшествовали родственный ему метод конечных элементов и теория интегральных уравнений. Интегральное уравнение теории потенциала вывел Г.Грин.
Подробно сам метод и область его применения изложены в монографиях П. Бенерджи и Р. Баттерфилда [8], К. Бреббиа, Ж. Теллеса и Л. Вро-убела [10], в учебном пособии А.Г. Терентьева и К.Е. Афанасьева [83]. Применительно к задачам гидродинамики МГЭ был использован в ряде работ [3, 5, 76, 85, 113, 115, 116].
Так, А.Г. Терентьевым [79, 83, 85] было проведено исследование многих задачи гидродинамики с помощью МГЭ. Этот метод А.Г.Терентьев обобщил на случай безграничных течений, а также показал целесообразность введения корректирующей функции для учета особенностей функции потенциала [79].
Численные исследования обтекания системы произвольных профилей с помощью МГЭ были проведены А.Г. Терентьевым совместно с Т.В. Картузовой [85, 84, 39]. МГЭ нашел применение и в реализации численного конформного отображения [88]. В.К. Краснов и Ю.В. Кузнецов [46], Г.И. Субхангулов и А.Н. Хомяков [76], Н.Н. Ясько [95], L.C. Wrobel [115] применили МГЭ к исследованию осесимметрично-го кавитационного обтекания тел. В работах К.Е. Афанасьева [2]-[5] при помощи МГЭ и МКЭ моделируется свободная граница в стационарных [2, 4] и нестационарных [3, 5] плоских задачах гидродинамики идеальной жидкости. Совместно с А.Г. Терентьевым [83] методом граничных элементов им была решена задача стационарного течения над неровным дном. Д.А. Троешестова [90] использовала МГЭ для численного исследования течений в плоском криволинейном канале, нестационарной задачи о генерации волн на свободной поверхности жидкости при импульсивном смещении дна. Большое количество работ по течениям со свободными границами опубликовано у К.Е. Афанасьева [2]-[6]. Это и задача деформации свободной границы при движении твердых тел, деформация пузырей в жидкости, нелинейные задачи моделирования уединенных волн (солитон) над ровным дном и дном с препятствиями, неустановившиеся волновые течения, вызванные движущимися телами, задачи о вертикальном движении цилиндра и сферы под свободной поверхностью и др.
Существует две формулировки МГЭ: прямая и непрямая [10, 95]. В непрямой формулировке вводятся формальные функции плотности источника, которые обычно не имеют отношения к физическому смыслу задачи. Это неудобство можно преодолеть, воспользовавшись прямой формулировкой метода граничных элементов, где значения неизвестной функции ip и ее производных на границе Г области D играют роль плотностей источников, определяющих (р внутри D. К этой формулировке можно прийти, используя, например, метод взвешенных невязок [10], преимущество которого состоит в универсальности: его можно непосредственно распространить на решение более сложных уравнений в частных производных и применить для получения других численных подходов (таких, как метод конечных элементов).
В данной работе МГЭ применяется для определения свободных границ в течениях идеальной жидкости и используется прямая формулировка.
Целью диссертационной работы является: исследование ряда плоских задач течений идеальной жидкости с равновесным положением полых вихрей, давление внутри которых постоянно; исследование системы периодических полых вихрей в струе и в безграничном потоке; построение численного алгоритма нахождения формы свободной поверхности в задачах гидродинамики на основе МГЭ; применение построенного алгоритма к исследованию плоских и осесимметричных задач со свободными поверхностями.
Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы.
В первой главе исследуются плоские задачи об обтекании полых вихрей с постоянным давлением на границе. Жидкость предполагается идеальной, несжимаемой и невесомой, а течение - потенциальным. Решение поставленных задач получено в параметрическом виде, при помощи методов конформного отображения.
В 1 представлено решение задачи обтекания полого вихря безграничным потоком вблизи горизонтальной прямолинейной стенки. Данная задача полностью определяется одним безразмерным параметром -числом кавитации. При численной реализации встречаются интегралы от функций, имеющих интегрируемые особенности на концах интервала. Представлено преобразование данных интегралов к виду, подынтегральная функция которых не имеет особенностей и является непрерывной на всем, включая и концы, интервале. Представлены расчеты границы полого вихря в зависимости от числа кавитации К. Получе- ны частные случаи данной задачи - точечный вихрь вблизи стенки и кумулятивная струя.
Решение задачи струйного обтекания полого вихря рассматривается в 2. Данная задача эквивалентна задаче о равновесной системе двух симметричных полых вихрей с циркуляцией, равной по величине, но противоположно направленной. Предельным переходом получены частные решения задачи - точечный вихрь в струе и встречное течение струй разной ширины.
В 3 рассмотрено решение задачи о полом вихре в канале. Получены два возможных решения - обтекание полого вихря в канале и течение, индуцируемое полым вихрем. Также представлено асимптотическое решение - кумулятивная струя в канале.
В 4 показано решение обтекания струей конечной ширины периодически расположенных равновесных полых вихрей. Задача эквивалентна дорожке Кармана с полыми вихрями в струе конечной ширины.
В 1-4 решение задач получено единым подходом - выбором в качестве параметрической области верхней полуплоскости. Полученные асимптотические решения позволяют сравнить решение поставленных задач с ранее известными частными случаями.
В 5 представлено решение задачи об обтекании периодической дорожки полых вихрей (аналог дорожки Кармана). Здесь решение построено путем конформного отображения на параметрический прямоугольник. Исследованы два возможных случая расположения вихрей -симметричное и шахматное. Представлены результаты расчета формы полых вихрей и некоторых других параметров течения в зависимости от числа кавитации и циркуляции скорости.
Вторая глава посвящена описанию численного алгоритма построения свободной поверхности при помощи МГЭ. В б описана гидродинамическая постановка плоских и осесимметричных задач со свободными границами, указаны краевые условия на твердой и свободной границах.
В 7 излагается суть МГЭ и его применение для плоскопараллельных и осесимметричных задач. Формулы вычисления элементов матриц, получаемых при реализации МГЭ и задания краевых условий представлены в 8. В 9 описывается метод численного определения свободной поверхности основанный на МГЭ. Предложены два способа построения свободных границ основанные на "балансе" расхода жидкости. Разработан алгоритм построения свободной границы для установившихся плоских и осесимметричных течений.
В третьей главе представлены решения некоторых плоских и осесимметричных течений со свободными поверхностями на основе метода, описанного в предыдущей главе. В 10 показано решение плоской и осесимметричной задачи натекания струи на перпендикулярную ей плоскость. Проведен анализ учета силы тяжести на форму свободной поверхности. В 11 представлено решение более общей задачи - натекания круглой струи на соосный конус. Также получены решения и для весомой жидкости. В 12 исследуется задача безотрывного осесиммет-ричного струйного обтекания различных тел вращения. Определению коэффициента сжатия струи при ее истечении из круглой воронки посвящен 13.
В заключении подведены итоги проведенных исследований, указана перспектива дальнейшего применения к исследованию других задач.
Таким образом, в диссертационной работе исследованы аналитические и численные методы расчета плоских и осесимметричных течений со свободными границами. Изучены задачи определения формы ка-витационных каверн постоянного давления в безграничном потоке, в струе, в канале, а также формы каверн в периодических течениях. Для данных задач построены аналитические решения. Приведен алгоритм численного построения форм свободных границ на основе МГЭ. Численно исследованы ряд осесимметричных задач - натекания струи на плоскость и на конические поверхности с учетом силы тяжести, безот- рывного обтекания тел вращения, и истечения струи из воронки. На защиту выносятся следующие основные результаты:
Аналитическое решение задачи о равновесном полом вихре в безграничном потоке жидкости, в струе и в канале.
Аналитическое решение обтекания системы периодических полых вихрей в струе и в безграничном потоке (аналог дорожки Кармана).
Численный метод определения свободной поверхности для плоских и осесимметричных задач гидродинамики идеальной жидкости.
Численное решение осесимметричных задач натекания струи на коническую поверхность, безотрывного обтекания тел вращения, истечение струи из воронки.
Основные результаты диссертационной работы по мере их получения докладывались и обсуждались: на Втором Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных задач" (Казань, 1998), на Всероссийской научной конференции "Краевые задачи и их приложения" (Казань, 1999), на Третьем Всероссийском семинаре "Теория сеточных методов для нелинейных задач" (Казань, 2000), на научных семинарах "Взаимодействие сплошных сред" под руководством профессора А.Г. Терентьева в Чувашском государственном университете (1997-2000 гг.).
Основное содержание диссертации изложено в пяти работах, две из которых написаны совместно с А.Г. Терентьевым [86, 87], одна с В.К. Красновым [57].
Полый вихрь вблизи прямолинейной стенки
Циркуляционное обтекание замкнутой области постоянного давления (далее полого вихря), было рассмотрено как чисто теоретическая задача еще в конце прошлого века Мичеллом [108]. Им были даны постановка и общее решение задачи о полом вихре в канале и в замкнутом многоугольнике. Отдельные задачи рассматривались также Поклингтоном, Гринхиллом и др. [29, 9].
Наблюдения показывают, что с концов лопастей скоростных винтов, а также с боковых кромок подводных крыльев при их движении с большими скоростями срываются вихри, которые образуют след в виде двух шнуровых полых вихрей. Два полых вихря образуются также за осе-симметричной каверной [100] и при натекании струи жидкости на стенку. Экспериментальные исследования показывают, что при натекании жидкости кавитационная эрозия твердой поверхности имеет кольцевой характер [НО]. Возможно именно образование и разрушение кольцевых вихрей являются причиной такой кавитационной эрозии. Поэтому, изучение обтекания полых вихрей имеет практическое значение.
Поскольку давления в каверне постоянное, то на границе каверны не могут быть критические точки. Замкнутые каверны возможны только при циркуляционном обтекании, когда критическая точка переходит во внутреннюю точку жидкости. Но на любое изолированное тело при циркуляционном обтекании действует сила Жуковского. Однако, поскольку внутри полой каверны давление постоянно, на нее не должны действовать никакие аэродинамические силы. Поэтому, на полые вихри должны накладываться определенные условия для их равновесного положения. Прежде всего, равновесные полые вихри могут быть только в системе, когда в некоторой области, содержащей полые вихри, течение будет чисто циркуляционным, а циркуляция скорости вдоль границы этой области будет равна нулю. Одним из примеров возможного существования полых вихрей является симметричное расположение двух вихрей или эквивалентное им расположение одного вихря вблизи стенки.
Задача обтекания плоского полого вихря вблизи стенки была решена Кокс и Клайденом [100], а также А.Е. Хоперсковым [92]. Более полное исследование задачи дано А.Г. Терентьевым [81], в которой автор основное внимание уделил равновесному точечному вихрю при натекании струи на жидкость.
В данной главе исследуются полые вихри вблизи твердых и свободных границ, а также система периодических полых вихрей. Жидкость предполагается идеальной несжимаемой и невесомой, а течение - плоским, потенциальным и симметричным относительно оси ординат.
Метод граничных элементов
К настоящему времени установлено, что метод граничных элементов (МГЭ) является важным подходом к исследованию в механике сплошных сред. К наиболее важным областям его применения относится решение задач гидродинамики, электростатики и многих других задач, в которых используется функция потенциала и классические уравнения Лапласа или Пуассона для них являются разрешающими. В основе метода заложено использование интегральных соотношений Грина, которые для гидродинамических задач сводятся к интегральным уравнениям на границе течения.
Суть метода состоит в преобразовании дифференциального уравнения в частных производных, описывающего поведение неизвестной функции внутри и на границе области, в интегральное уравнение, определяющее только граничные значения, и затем отыскании численного решения этого уравнения [10]. Если требуется найти значения потенциала во внутренних точках области, то их можно вычислить, используя известные решения на границе. Поскольку все обусловленные численными расчетами приближения связаны только с границей, размерность задачи уменьшается на единицу и получаемая система уравнений оказывается меньшей по сравнению с исходной системой дифференциальных уравнений.
Реализация метода граничных элементов состоит из нескольких этапов.
1. Граница Г области D разбивается на ряд элементов, внутри которых предполагается, что потенциал скоростей и его нормальная производная изменяются в соответствии с выбранными интерполирующими функциями. Эти элементы можно образовывать с помощью прямых линий, круговых дуг, парабол и т.п.
2. Используется метод кол локаций, согласно которому для отдельных узловых точек, распределенных внутри каждого элемента, записывается дискретная форма уравнения, связывающего значение потенциала и его нормальных производных в каждом узле.
3. Интегралы по каждому элементу вычисляются с помощью одной из схем численного интегрирования или аналитически.
4. Путем наложения заданных граничных условий получается система линейных алгебраических уравнений, которая может быть решена с помощью прямого или итерационного методов. Решение системы дает остальные значения неизвестной функции на границе.
При необходимости значения потенциала ср в произвольной внутренней точке могут быть найдены с использованием известных решений на границе Г.
Натекание струи на плоскость. Случай тяжелой жидкости
Первые точные решения плоских задач о струйных течениях жидкости, находящейся под действием сил тяжести, были получены Н. Е. Жуковским в 1891 г. при помощи предложенных им двух методов под-бора(один для тяжелой некапиллярной жидкости, второй- невесомой капиллярной). Суть этих методов достаточно подробно изложена в монографии М. И. Гуревича [29].
В дальнейшем, точные решения различных плоских задач о струйных течениях тяжелой некапиллярной жидкости были построены в работах Сотро, Н. Берви, М. Рудского, Вилла, А. Ричардсона, и др. Ими использовались методы подбора,в той или иной мере близкие к методам Н. Е. Жуковского. Подробные сведения о работах выше названных авторов можно найти в книгах Л. Н. Сретенского [74], Милн-Томсона [60].
При решении задач гидродинамики численными методами, и в частности МГЭ, необходимо определить потенциал на свободной поверхности струй. Учитывая, что скорость Vs = - , изменение потенциала определяется как dip = Vsds, где ds-элемент касательной на свободной границе.
В качестве тестовой задачи, на которой проведена апробация метода построения свободных границ, были выбраны плоская и осесимметрич-ная задача натекания струи конечной ширины на перпендикулярную ей плоскость. Поставленные задачи решаются методом граничных элемен-тов(МГЭ), с последующим поиском свободной поверхности течения по ранее описанному методу (9). Данная задача была решена совместно с В. К. Красновым [57].
Постановка задачи. В плоскости меридионального сечения ABCDE (рис. 10.1) задаются следующие краевые условия для гармонической функции ср - потенциала течения.
