Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Основные принципы и .уравнения релаксационной фильтрации. Особенности фильтрации с конечной скоростью распространения возмущений...
I. Уравнения сохранения импульса сил сопротивления и массы жидкости 17
2. Определяющие соотношения для импульса сил сопротивления и массы жидкости. Принципы линейной
релаксационной фильтрации
3. Поверхности разрыва основных гидродинамических параметров и их скачки. Уравнения линейной релаксационной фильтрации 31
Глава II. Особенности линейной релаксационной фильтрации.
I. Переходные процессы фильтрации. Корректность постановок краевых задач
2. Одномерная релаксационная фильтрация 58
3. Особенности одного класса моделей релаксационной фильтрации 68
4. Периодические процессы фильтрации. Их связь с переходными процессами 76
5. Автомодельные решения релаксационной фильтрации. 87
Глава III. Прикладные вопросы релаксационной фильтрации. Определение параметров пласта
I. Приближенные методы решения задач релаксационной фильтрации
2. Особенности фильтрации, описываемой простейшей моделью, .учитывающей конечную скорость распространения возмущений
Литератора 130
- Уравнения сохранения импульса сил сопротивления и массы жидкости
- Переходные процессы фильтрации. Корректность постановок краевых задач
- Приближенные методы решения задач релаксационной фильтрации
Введение к работе
Теория фильтрации - исследование движения жидкостей в пористой среде - имеет важное прикладное значение; она является тем фундаментом, на основе которого создаются и осуществляются на практике мероприятия по разработке подземных ресурсов нефти и газа.
Для описания нестационарных фильтрационных течений используются различные модели фильтрации, из которых наиболее широкое распространение получила модель классического упругого режима [21, 26, 95, 98];
Ш=-^с^1Р ^ (0в1) Wp- Wopo=p0(P-Po) , (0-2) ?oJU.vV5 ч- Ж^Р) _ Q . (0.3) здесь Р - давление, V5 - окорость фильтрации, К и > - соответственно коэффициенты проницаемости и упругоемкости, /4 -вязкость жидкости, Vn - пористость, р - плотность жидкости; Fo »Ро и ^о - соответственно давление, плотность жидкости и пористость в невозмущенных пластовых условиях. В основе этой модели лежит предположение о мгновенном соответствии между скоростью фильтрации и градиентом давления (0.1), количеством жидкости в единице объема пласта и давлением (0.2). Однако многочисленные промысловые и лабораторные исследования показывают, что отмеченное выше предположение может быть принято лишь тог- да, когда граничные или иные условия, определяющие движение жидкооти, медленно меняются во времени. Таким образом, можно очитать, что модель классического упругого режима описывает нестационарную "равновеонуго" фильтрацию.
Несоблюдение указанных "равновесных" уоловий может привести к неудовлетворительному гидродинамическому.опиоанию фильтрации. Это находит свое подтверждение в отклонении для шлых значений времени давления или обратного дебита (подробно см. 2 гл. Ш) от прямолинейной временной зависимости, обработанной согласно модели классического упругого режима в полулогарифмических координатах, когда на практике для определения параметров пластов резко меняют режим работы скважины и снимают кривую восстановления давления (КВД) или кривую падения дебита (КПД). Кроме этого, наблюдается частотная зависимость коэффициента пьезопроводности 3&=4ja~ ПРИ исследовании пластов с помощью периодических возмущений на различных частотах, и она тем заметнее, чем выше частота периодических возмущений [87"].
Отмеченные выше особенности быстрых фильтрационных процессов можно объяснить их "неравновесноотью", обязанной обменным перетокам жидкости в трещиновато-пористых и слоиотых средах; межфазному обмену при фильтрации неоднородных дисперсных сред различной природы (эмульсий, газированных жидкостей, растворов полимеров); упруго-вязким свойствам (реологии) жидкости и насыщенного порового коллектора.
Исследованию механизмов "неравновесной" фильтрации и ее математических моделей посвящено достаточно много работ. В теории фильтрации жидкостей в трещиновато-пористых оредах основополагающей является теория Г.И.Баренблатта, Ю.П.Желтова, И.Н.Кочиной [18],
Эта теория базируется на предположении о том, что скорость перетока жидкости между блоками и трещинами прямо-пропорциональна разности средних давлений в блоках и трещинах. Отмеченная теория позволила .установить механизм "неравновесной" фильтрации и получить линейное: релаксационное дифференциальное .уравнение в частных производных для давления в блоках и трещинах, В работах рассматриваемого направления [17,21,511 детально изучены гидродинамические свойства фильтрации в трещиновато-пористых средах, а также особенности постановок краевых задач.
Работа [28], в которой рассматривалась начальная стадия неустановившегося процесса, когда блоки можно рассматривать как полуограниченные тела, положила начало исследованиям моелей фильтрации в трещиновато-пористых средах, характеризующихся другими определяющими соотношениями, описывающими перетоки жидкости между блоками и трещинами. Так в работах [24,36,104 ] эти перетоки представляются в виде интегралов Дюамеля (типа свертки с определенными ядрами) от изменения давления в трещинах. Особенностью рассматриваемых моделей является то, что давление в трещинах описывается линейными интегро-дифференциальны-ми .уравнениями.
В отдельное направление можно выделить группу работ, посвященных исследованию фильтрации мелко-дисперсных систем (газ-нефть и др.). В работе [12} дано обобщение модели Л.С.Лейбен-зояа с учетом"неравновесных" эффектов растворения газа в нефти. Количество смеси нефти и газа в единице объема пласта может быть представлено в виде (т-Со\л^і) ^р-100ро=^Ро^(ехр(-^)(Р-Ро)с7Іг. .(0.4) где Т - время релаксации, ос - коэффициент сжимаемости системы. Получено интегро-дифференциальное уравнение нестационарной фильтрации газированной нефти. С позиций .двухфазной фильтрации в [13"] рассматривается нестационарное течение газожидкостной омеси в пористой среде. Учитывается неравновеоный характер связи растворимости газа в жидкости с давлением. Масоа омеси нефти и газа в единице объема пласта выражена интегралом наследственности (wi=cowvt ) тр- ро^ троа|р - \р(ь^л^ г, (0-5) ^ о J где F(t) - функция релаксации системы, опиоывающая запаздывающий характер растворимости газа в жидкости и подчиненная условиям F(t)>Oj2L±: В пооледнее время бурно развивается "реологичеокое" направление исследований неравновесной фильтрации - релаксацион- ная фильтрация. В работе [5*] .для учета неравновесного соответствия скорооти фильтрации и градиентадавления предложен следующий закон фильтрации V$ =-&- opad (р + ^^Л г (0-6) являющийоя аналогом поведения шксвелловой жидкооти [50"]. Там же,а также в работах [6,7,9,10,80"! рассмотрен ряд простейших нестационарных одномерных фильтрационных потоков и проведен некоторый гидродинамический анализ особенностей разработки залежей нефти, обладающей вязко-упругими свойствами. Далее в работах [4, 78"] предложено использовать аналог кельвино-макс-велловой жидкооти $+*,|S=_jl(^^+*;!pv (0.7) Следует отметить работу [41], в которой с позиций неравновесной термодинамики дается обоснование закона (0.7) и устанавливается неравенство ^р^Ц . В работах [1,2,55,57,58,60, 61,65,691 изучены одномерные и плоские фильтрационные течения, описывающиеся простейшими релаксационными моделями. Изучена проблема корректности постановок краевых задач, раоомот-рены решения основных модельных задач фильтрации и тщательно проведен их асимптотический анализ. В работах [82-84, 871 предложены модели релаксационно-сжимаемых сред, в основе которых лежит соотношение (0.8) где t^ ,1?и ,Xd /t^ - некоторые времена релакоации, $>0 -коэффициент сжимаемости среды. Дано детальное исследование моделей фильтрации в сжимаемой и релаксационно сжимаемой средах с законом фильтрации (0.7). Для учета объемной ползучести горных пород в [14] по аналогии о методами теории ползучеоти предложено обобщение закона (0.8) ,Ji 4- ^Ftt-'OlP-POd'e \ YY\=YY\0H 4- [Ftfc-tMP-P^dt V (-9) где F(t) - ядра ползучести, являющиеся характеристиками горной породы. Большое внимание уделялось моделям фильтрационного течения жидкости с учетом сил инерции, в основу которых полагался следующий закон фильтрации В работах [7,22,40,46,47,72,101] рассмотрены некоторые одномерные нестационарные течения, следующие законам (0.10). Из приведенного обзора видно, что для описания неравновесных процессов фильтрации было предложено много различных линейных моделей, обладающих тем общим свойством, что при фильтрации в условиях близких к , равновесным они практически совпадают с моделью классического упругого режима (0.1) - (0.3). Поэтому о методической точки зрения целесообразно рассматри- вать эти модели как элементы из класса линейных наследственных моделей фильтраций, являющихся естественным обобщением модели (0.1) - (0.3) на случай неравновесных эффектов гв =- -рг f&d \ P(x/t) А(-Ь-г)аг j (о.ш ** -оо Шр-ГПоЯ = , \(P-PoN)(x,t)E»(t-t)d'e, (0.12) (0.13) здесь точка над давлением означает обобщенную производную по времени, )( - вектор рассматриваемой точки пласта; A(t) и В(-Ь) - некоторые обобщенные функции времени, характеризующие память системы и удовлетворяющие условию затухания памяти (подробно см. 2 гл. I) -Ь-*Оо і*оо Г 1 ПРИ t ^0 А(« ~ B(W ~МО = | о при 4=<о . (0Л4) Несмотря на большое количество исследований конкретных моделей неравновесной фильтрации до сих пор не выяснены общие гидродинамические особенности фильтрации, описываемой системой (0.П) - (0.13). В частности, не решена проблема корректности постановок краевых задач при произвольных функциях А(і) и B(i) . Неизученнооть условий существования поверхностей разрыва давления и скорости фильтрации привела к потере корректности постановок краевых задач, рассмотренных в работах [7, 46, 47]. Авторы этих работ исходят не из интегральных, а из дифференциальных уравнений фильтрации. При таком подходе решение поставленных задач неединственно (для устранения неединственности необходимо привлечение законов сохранения гидродинамических величин на поверхности разрыва). К тому же построенные в работах [7,46,47] решения противоречат тем законам сохранения на поверхности разрыва, которые естественно было бы предположить в связи о используемыми дифференциальными уравнениями (см. 92 , с. 45). Не изучено асимптотическое поведение давления и скорости фильтрации вблизи поверхнооти разрыва. Нет классификации линейных наследственных моделей (0.11)-(0.13). Это говорит о необходимости систематического изучения наиболее общих свойств моделей релаксационной фильтрации(0.11)-(0.13) при произвольных функциях А(-Ь) и E>(i) . Вышесказанное определяет цель дис- . сертационной работы: методически обоснованно сформулировать основные принципы и исходную систему уравнений релаксационной фильтрации. В рамках полученной системы иоследовать особенности постановок краевых задач и наиболее общие основные гидродинамические эффекты. Развить и применить аналитические и численно-аналитические методы решения задач релаксационной фильтрации. Научная новизна результатов, полученных в диссертации, состоит в следующем. Сформулированы основные принципы и замкнутая система интегральных соотношений, описывающая релаксационную фильтрацию. Исследованы условия существования и особенности фильтрации с конечной скоростью распространения возмущения при произвольных функциях ЯД) и ВШ . Изучены особенности переходных и периодических процессов в зависимости от функций A(-t) и Ь(-Ь) . Дана классификация линейных наследственных моделей. Применены приближенные аналитические (Шепери и Тер-Хаара) и чиоленно-аналитичеокие (виддера) методы для решения задач релаксационной фильтрации. Объяснен эффект немонотонности (КВД) и (КПД) на основании простейшей модели, учитывающей конечную скорость распространения возмущений; предложены методики обработки немонотонных (КВД) и (КПД). Дисоертация соотоит из введения, трех глав и списка цитируемой литературы. Первая глава посвящена ооновным принципам и уравнениям релаксационной изотермической фильтрации. В первом параграфе записываются законы сохранения количества движения и массы жидкости в интегральной форме, причем используется гипотеза о равновесии сил приведенного пластового давления и сил сопротивления в условиях "ползущего" течения. Статичеокому равновесию отмеченных выше сил затем придается омысл закона сохранения импульса сил сопротивления. Во втором параграфе основные принципы механики переформулированы на языке фильтрации. На основе этих принципов вводятся линейные релаксационные определяющие соотношения для импульса сил сопротивления и масоы жидкости. В третьем параграфе рассматриваются поверхности разрыва гидродинамических параметров. Выводятся условия сохранения импульоа сил сопротивления и массы жидкости'на поверхности разрыва, а также определяются условия существования таких поверхностей. Для линейных наследственных моделей фильтрации найдены законы затухания скачков давления и скорости фильтрации вдоль характеристики. Общие результаты иллюстрируются на примерах некото- рых распространенных моделей неравновесной фильтрации. Дана более корректная формулировка замкнутой системы исходных уравнений фильтрации (0.11) - (0.13). Вторая глава посвящена исследованию гидродинамических особенностей линейных наследственных моделей фильтрации. В первом параграфе рассматриваются переходные процессы. Получена система уравнений фильтрации в изображениях Лапласа-Кареона; введены некоторые наиболее важные характеристики моделей неравновесной фильтрации. Исследована проблема корректности постановок краевых задач для любых линейных наследственных моделей. Во втором параграфе изучены особенности одномерной фильтрации. Решения основных модельных задач выписываются в общем виде; приводится их асимптотический анализ для малых и больших времен. В третьем параграфе обоуждаются особенности одного практически важного класса линейных наследственных моделей. На основе асимптотических свойств решений модельных задач при малых временах вводится классификация линейных наследственных моделей, которая позволяет ограничиться рассмотрением 7 типов моделей. В выводах даются рекомендации по выбору того или иного типа модели в зависимости от поведения экспериментальных данных о переходных процессах фильтрации. В четвертом параграфе изучаются особенности периодических процессов фильтрации. Выписано общее решение задачи о работе скважины с периодическим законом изменения давления для одномерной фильтрации и любой наследственной модели; проведено асимптотическое исследование этого решения при больших и малых частотах периодического возмущения. Установлена связь предельных характеристик переходных и периодических процессов. В выводах даются некоторые рекомендации по выбору типа модели в зависимости от поведения экспериментальных дан- ных о периодическом процессе. В пятом параграфе получено автомодельное решение нелинейного .уравнения релаксационной фильтрации специального вида. Третья глава посвящена прикладным вопросам теории линейной релаксационной фильтрации. В первом параграфе применяются приближенные аналитические (Шепери и Тер-Хаара) и численно-аналитический (Виддера) методы для решения краевых задач. Показана эффективность метода Виддера для задачи определения расхода при пуске скважины с постоянным забойным давлением.Отмеченные методы иллюстрируются на простейших примерах модели классического .упругого режима. Во втором параграфе решены задачи о пуске скважины с постоянным расходом и постоянной депрессией для простейшей модели, .учитывающей конечную скорость распространения возмущений. Выделены промежуточные асимптотики отмеченных решений и .установлена с их помощью возможность немонотонности (КВД) и (КПД). Предложены методики обработки немонотонных (КВД) и (КПД). Приводится иллюстрация методики обработки немонотонной (КПД) на примере определения параметров пласта в окрестности скважины 1724- Ромашкинского месторождения. На защиту выносятся следующие положения диссертационной работы: I. Развитие теории линейной релаксационной фильтрации, Исследование .условий существования и особенностей фильтрации с конечной скоростью распространения возмущений Изучение проблемы корректности постановок краевых задач в случае любых линейных наследственных моделей релаксационной фильтрации Исследование асимптотических свойств основных модельных задач переходных и периодических процессов фильтрации. 2. Разработка приближенных аналитических и численно-аналитических методов решения задач линейной релаксационной фильтрации. Конструктивное доказательство эффективности метода Вид-дера для задачи об определении расхода при пуске скважины с постоянным забойным давлением Решение задачи о пуске скважины с постоянной депрессией и постоянным расходом для простейшей модели, .учитывающей конечную скорость распространения возмущений. Обоснование возможности немонотонности (КВД) и (КПД); методики обработки немонотонных (КВД) и (КПД). Основные ре&ультаты, по мере их получения, докладывались: на УІ Всесоюзном семинаре по численным методам решения задач фильтрации многофазной несжимаемой жидкости (Фр.унзе-1982); на Республиканской конференции по механике сплошных сред (г.Наб. Челны (ныне г.Брежнев)-1982); на Всесоюзном семинаре "Пути повышения нефтеотдачи пластов и интенсификация разработки нефтяных месторождений путем совершенствования технологических процессов (г.Ухта,1983); на ежегодных (1979-1983 г.г.),итоговых отчетных научных конференциях Казанского университета; на городском научном семинаре по Подземной гидромеханике (г.Казань). Основное содержание диссертационной работы оаубликовано в 8 статьях [53,56,63,64,,66,68,80,99] и тезисах [70]. Из результатов, изложенных в диссертации, постановка задач глав I, П,Ш принадлежит Ю.М.Молоковичу. Глава I и 5 главы П возникли в результате творческого сотрудничества с Ю.М.Молоковичем и В.Ф.Шарафутдиновым, Главы П и Ш явились итогом обсуждений результатов с Ю.М.Молоковичем. -іб-Постоянное обсуждение результатов, внимание и помощь научного руководителя Ю.М .Молоковича, а также плодотворное сотрудничество с А.В.Костериным, В.Ф.Шарафутдиновым и поддержка сотрудников отдела подземной гидромеханики НИИММ им. Н.Г.Че -ботарева способствовали решению рассматриваемых в работе проблем. Предоставленные Н.Н.Непримеровым и А.В.Штаниным многочисленные экспериментальные промысловые материалы, а также постоянное обсуждение ряда теоретических и практических аспектов помогли выполнению диссертационной работы. Считаю своим приятным долгом выразить всем глубокую благодарность. Рассмотрим неустановившуюся изотермичеокую фильтрацию сжимаемой вязкой жидкоети в неподвижной изотропной и деформируемой пористой среде. По аналогии с выводом Н.Е.Жуковекого [95] дифференциальных уравнений движения теории фильтрации будем трактовать законы фильтрации как следствие закона сохранения количества движения идеальной жидкости. Для практических целей имеет смысл ограничиться рассмотрением "ползущих" течений, для которых вклад сил инерции жидкости в отмеченном за -коне сохранения пренебрежимо мал по сравнению с другими силами. В этом случае закон сохранения количества движения жидкости сводится к статическому равновесию сил пластового давления, с одной стороны, и сил тяжести и сопротивления - с другой, т.е. можно записать для слабосжимаемых жидкости (Р = Р0 ) и пористой среды (m Wo) где силы трения между жидкостью и твердыми частицами пористой среды трактуются как массовые силы сопротивления зависящие от скорости фильтрации; $0 и YY\0 - плотность жидкости и пористость в невозмущенных пластовых .условиях, Q - вектор сил тяжести, Рп - пластовое давление, ЛГ - произвольный фиксированный в пространстве объем, - поверхность его ограничивающая, Y\ - внешняя нормаль к поверхности $ . 1. При определении фильтрационных параметров импульсными гидродинамическими методами скважину либо мгновенно открывают, либо мгновенно закрывают. В первом случае снимают крив.ую падения дебита (КПД), во втором - крив.ую восстановления давления (КВД). Такое резкое изменение граничных .условий приводит к существенно нестационарной фильтрации в при скважинных областях; процесс фильтрации носит переходный характер, стремясь к квазистационарному Выберем в качестве начального момента времени -Ь=0 момент открытия или закрытия скважины. Еудем считать, что до этого момента времени в пласте .установились некоторые стационарные распределения полей: давления Pi(") , скорости фильтрации 4JJ4()T) , величин Ylt(x) и ІС ") . В силу ГОП эти распределения .удовлетворяют .уравнениям. Уравнения (2.1,2) и (2.1,3) вместе с теми или иными краевыми .условиями определяют конкретные стационарные распределения полей давления и скорости фильтрации. Далее поскольку последние не существенны при исследовании динамики линейных релаксационных процессов фильтрации, то в дальнейшем эти распределения исключаются из рассмотрения переходом к отклонениям. Переходя в .уравнениях (1.3.63) к величинам со штрихом (2.1.4) и опуская в дальнейшем штрих, запишем где ФІ и Ч а, - непрерывно-дифференцируемые функции времени и координат. Соотношения (2.1.9) показывают, что скачки величин Р и V5 в пространстве являются одновременно скачками во времени, когда речь идет о фиксированных в пространстве точках какой-либо координатной поверхности -(іошЛ . Поэтому сглаживающие свойства по времени преобразования Лапласа-Карсона при-водят к сглаживанию в пространстве, функции Р и VS б.удут непрерывными величинами в пространстве, тогда как их оригиналы имеют, согласно (2.1.9), разрыв первого рода. Это обстоятельство позволяет применить к поверхностным интегралам .уравнений (2,1.6) теорему Остроградского-Гаусса; в силу произвольности объема "\Г можно записать Остановимся подробнее на вопросе обращения соотношений (2.2.6),(2.2.7), Формальное обращение этих соотношений приводит к несобственным интегралам от выражений, зачастую содержащих специальные функции; окончательные формулы сложны не только для инженерных расчетов, но и для численной реализации. К тому же такие численные расчеты невозможны без предварительного изучения и выделения особенностей конкретного решения. Предлагаемый здесь приближенный метод решения задач линейной релаксационной фильтрации диктуется желанием, не .учитывая те или иные особенности конкретных задач, иметь единую процедуру получения аппроксимаций решений таких задач. Этот метод базируется на известной формуле Виддера [85,с.І87І которая выражает правосторонний оригинал 00 в форме, содержащей только значения изображения j- ($) на действительной неотрицательной полуоси ЗГП S = О . Рассматривая выражение Виддера для конечного а не для Jsj- -00 , мы получим последовательные приближения для (-Ь). Можно.ожидать, что чем больше значение , тем лучше приближение. Мы получаем следующие последовательные приближения и т.д. Первое из них дает точное значение 5("Ь) ПРИ Ъ= вследствие теорем Таубера. Приведенный выше метод позволяет организовать простую итерацию и вычислять с ее помощью решения краевых задач только тогда, когда .удается взять производную любого порядка от соответствующего изображения аналитически [42]. Покажем, что в случае пуска скважины в работу с постоянным забойным давлением $( )-5-(3)= ДР удается получить аналитическое выражение производной любого порядка от изображения расхода (см.форм. (2.2.7)).Уравнения сохранения импульса сил сопротивления и массы жидкости
Переходные процессы фильтрации. Корректность постановок краевых задач
Приближенные методы решения задач релаксационной фильтрации
Похожие диссертации на Исследование линейной релаксационной фильтрации
