Содержание к диссертации
Введение
Численное решеьше уравнений навьестокса и реинольдса применительно к пространственным сверхзвуковым течениям газа 13
1.1. Постановка задачи 13
1.1.1. Дифференциальные уравнения НавьеСтокса 14
1.1.2. Граничные и начальные условия 16
1.2. Осредненные по Рейнольдсу уравнения НавьеСтокса 17
1.3. Аппроксимация уравнений 21
1.4. Решение нелинейных сеточных уравнений 25
1.5. Решение систем линейных алгебраических уравнений 26
1.6. Об эффективности численного решения сеточных уравнений 29
1.7. Построение расчетной сетки 30
Визуализация в современном научном исследовании 34
2.1. Обзор существующих методов визуализации данных 34
2.1.1. Графики зависимостей 34
2.1.2. Поля функций 35
2.1.3. Изолинии и линии специального вида 36
2.1.4. Траектории и линии тока 37
2.1.5. Векторные диаграммы и поля направлений 38
2.1.6. Поверхности в пространстве 40
2.1.7. Изоповерхности в пространстве 42
2.2. Использование графических библиотек 44
2.3. Базовые алгоритмы ; 45
2.3.1. Цветовые поля 45
2.3.2. Изолинии 46
2.3.3. Линии тока 48
2.3.4. Картины ПС 49
2.3.5. Предельные линии тока 52
2.3.6. Изоповерхности 53
2.4. Вспомогательные алгоритмы 54
2.4.1. Алгоритмы поиска и восполнения в 2D 54
2.4.2. Алгоритмы поиска и восполнения в 3D 55
2.5. Визуализация вихревых течений 57
2.6. Интерфейс программ визуализации 58
2.6.1. Элементы управления и базовые средства 58
2.6.2. Использование анимации 60
2.6.3. Скрипты и автоматизация выполнения и обработки 60
Острый круговой конус в сверхзвуковом потоке вязкого совершенного газа 62
3.1. Верификация численного алгоритма 64
3.2. Тонкий острый круговой конус при числе М = 4 72
3.2.1. Структура поля течения 73
3.2.2. Местные аэродинамические характеристики .75
3.2.3. Суммарные аэродинамические характеристики 83
3.3. Тонкий острый круговой конус при числе М = 5 87
3.3.1. Структура поля течения 87
3.3.2. Местные аэродинамические характеристики 103
3.3.3. Суммарные аэродинамические характеристики II1
3.4. Влияние числа Маха 113
Влияние формы поперечного сечения острого конуса на структуру поля течения и аэродинамические характеристики 122
4.1. Структура поля течения 123
4.2. Местные аэродинамические характеристики 135
4.2.1. Нулевой угол атаки 135
4.2.2. Ненулевой угол атаки 140
4.3. Суммарные аэродинамические характеристики 146
Выводы 151
Литература
- Дифференциальные уравнения НавьеСтокса
- Векторные диаграммы и поля направлений
- Суммарные аэродинамические характеристики
- Местные аэродинамические характеристики
Введение к работе
Численное решение газодинамических задач на основе полных уравнений Навье-Стокса или уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рейнольдсовых напряжениях является одним из основных направлений развития вычислительной аэродинамики. Однако широкое применение подобных расчетов в научных и промышленных целях до сих пор сдерживается высокой стоимостью, связанной с необходимыми для их выполнения огромными затратами вычислительных ресурсов. По этой причине поиск экономичных численных методов наряду с совершенствованием вычислительной техники, в частности персональных компьютеров (ПК), является необходимым условием развития вычислительной аэродинамики.
На данном этапе развития ПК речь может идти лишь о моделировании пространственного сверхзвукового обтекания тел относительно простой конфигурации, например, острых эллиптических конусов. Они образуют двухпараметрическое семейство тел. Этими параметрами являются коэффициент эллиптичности 5 = b/а, где а, Ъ - большая и малая полуоси эллипса, и угол 0к полураствора конуса в плоскости большой полуоси. Поверхность конических тел описывается аналитическими формулами, поэтому при численном анализе уравнений динамики вязкого газа не возникает особых проблем с вычислением метрических коэффициентов и построением расчетной сетки. Кроме того, острые эллиптические конуса часто используются в качестве элементов сверхзвуковых летательных аппаратов, поэтому исследование об-текания этих тел представляет не только научный, но и прикладной интерес. В силу сказанного неудивительно, что сверхзвуковое обтекание острых конусов изучено теоретически и экспериментально в достаточно широком диапазоне изменения определяющих параметров задачи. Результаты этих исследований обобщены, например, в [Башкин В.А., 1984], [Башкин В.А., Дубин Г.Н., 2000].
Экспериментальные исследования охватывают преимущественно два интервала по числу Маха. Первый из них включает в себя околозвуковые и малые сверхзвуковые скорости движения (0,6 < Моо < 3), второй - гиперзвуковые скорости, при которых проявляются эффекты разреженного газа (М^ > 10). Типичным примером первого направления служат работы [Jorgensen L.H., 1957; Реаке D.J., Owen F.K., Higuchi К, 1978], второго - работа [Красильщиков А.П., Носов В.В., 1976]. Отметим, что первый интервал чисел Маха активно осваивался авиационной техникой, второй - космической. Экспериментальные исследования острых конических тел при больших числах Маха конечно также проводились, однако предпочтение отдавалось изучению затупленных конических тел по условиям аэродинамического нагревания.
Согласно этим исследованиям при больших числах Рейнольдса структура поля течения около тонкого кругового конуса с углом полураствора 8ь установленного под углом атаки а в сверхзвуковом потоке, определяется в основном углом атаки.
При малых углах атаки (oc/0k ^ 0,8) обтекание конуса является безотрывным и симметричным. При этом в плоскости симметрии течения на наветренной стороне конуса располагается линия растекания, а на подветренной стороне - линия стекания. На этих линиях в поперечном сечении конуса давление принимает экстремальные значения, и, следовательно, поперечное течение в пограничном слое направлено от линии растекания к линии стекания.
При умеренных и больших углах атаки (0,8 < сс/0к) на подветренной стороне конуса наблюдается поперечный отрыв пограничного слоя. Согласно эксперименту при числе Моо = 1,8 [Peake D.J., Owen F.K., Higuchi Н, 1978] наблюдается симметричный отрыв потока при углах атаки а/6к < 3,2, что обуславливает симметричность обтекания конуса, и несимметричный отрыв потока при углах атаки а/0к > 3,2, что вызывает несимметричность течения газа около конуса и появление боковой силы. При этом с ростом числа Маха предельное значение угла атаки увеличивается.
При проведении теоретических исследований по сверхзвуковому обтеканию острых конусов широко использовалась классическая асимптотическая постановка задачи - невязкое течение плюс невзаимодействующий пограничный слой.
В рамках классической постановки задачи невязкое течение около эллиптического конуса при малых и умеренных углах атаки является коническим, а решение уравнений пространственного ламинарного пограничного слоя при коническом внешнем течении является автомодельным и сводится к интегрированию системы двухмерных уравнений параболического типа. В турбулентном пограничном слое течение газа неавтомодельно, и решение задачи сохраняет существенно пространственный характер (см., например, [Алексин В.А., 2003]).
Поскольку классические уравнения пограничного слоя не позволяют корректно описать течение на подветренной стороне конуса, то для решения задачи часто используются модифицированные уравнения пограничного слоя, в которых учитываются влияния центробежных сил и диффузии в окружном направлении (см., например, [Lin Т.С., Rubin S.G., 1973]). Влияние этих дополнительных членов является малым на линии растекания и на наветренной стороне и становится существенным на подветренной стороне конуса, в особенности в окрестности точки отрыва пограничного слоя. Применение этого подхода позволяет получить корректное решение задачи при малых и умеренных углах атаки, а результаты расчетов достаточно хорошо согласуются с экспериментальными данными.
Однако в рамках асимптотического подхода определяются поля течения и местные аэродинамические характеристики лишь в области безотрывного обтекания тела. Как показывают результаты теоретических и экспериментальных исследований, в областях отрывного течения образуются мест- ные «пики» теплового потока, которые оказывают заметное влияние на аэродинамическое нагревание обтекаемой поверхности и знание которых представляет большой интерес для прикладных задач.
В связи с этим необходимо решение задачи на основе полных уравнений динамики вязкого газа.
Ряд теоретических исследований по сверхзвуковому обтеканию конических тел выполнено в предположении о коническом характере течения вязкого газа, благодаря которому численное интегрирование нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса или Рейнольдса сводится к решению нестационарной двухмерной задачи (см., например, [McRae D.S., Hus-saini M.Y., 1978]). Результаты расчетов с использованием такого приближенного подхода достаточно хорошо согласуются с соответствующими экспериментальными данными. Число работ, посвященных численному моделированию сверхзвукового обтекания острых конусов на основе полных уравнений динамики вязкого газа, сравнительно невелико, и в них, как правило, речь идет об апробации численного алгоритма.
В настоящее время авиационная и космическая техника начинают осваивать большие сверхзвуковые скорости, и возникает потребность в изучении обтекания острых тонких конусов сверхзвуковым потоком при больших числах Маха под углом атаки на основе уравнений динамики вязкого газа, что и является одной из целей диссертации.
В рамках вычислительной аэродинамики разработано много различных подходов к численному решению уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса. Среди них - метод, основанный на неявной конечно-разностной схеме Бима и Ворминга [Beam R., Warming R.F., 1978], и его дальнейшая модификация [Steger J.L., 1978; Hollanders #., Devezeaux de Lavergne D., 1987]. В этой схеме вводятся нефизические сглаживающие члены, содержащие вторые и четвертые производные от зависимых переменных и служащие для подавления осцилляции сеточных функций. Оригинальный подход к аппроксимации уравнений Навье-Стокса предложен в работах Толстыха А.И. [см., например, Толстых А.И., 1981]. Он основан на применении разностной схемы третьего порядка точности на компактном шаблоне. Однако эти и многие другие методы не гарантируют от осцилляции сеточных функций в областях резкого изменения газодинамических величин.
К наиболее надежному классу разностных схем для решения уравнений Эйлера методом сквозного счета относится монотонная схема Годунова [Годунов С.К. 1959]. Применение ее для решения уравнений Навье-Стокса долго сдерживалось невысокой точностью (первым порядком аппроксимации). В 80-е годы были созданы эффективные разностные схемы, сохраняющие свойство монотонности при повышении порядка аппроксимации [Федо-ренко Р.П., 1962; Колган В.П., 1972; Гущин В.А., Щенников В.В., 1974; Ча-краварти СР., Жем К.Й., 1987] и получившие название TVD [Chakravarthy S.R., Osher S., 1983; Harten A., 1983]. Это позволило существенно расширить класс решаемых задач в рамках уравнений Эйлера, а также распространить эти схемы на решение задач газовой динамики с учетом вязкости и теплопроводности. Так, например, в работе [Иванов М.Я., Крупа ВТ., Нигматул-лин Р.З., 1989] с применением такой схемы получены результаты численного моделирования околозвуковых режимов обтекания в рамках уравнений Навье-Стокса. Дальнейшее развитие этой схемы для решения параболизован-ных уравнений Навье-Стокса предложено Копченовым В.И. и Ласкиным И.Н. [1996]. Подобная разностная схема использована также для решения задачи взаимодействия ударной волны с турбулентным пограничным слоем [Fedorova N.N., Fedorchenko LA., Schulein E., 2001].
С вычислительной точки зрения наиболее трудоемкой частью алгоритмов решения полных уравнений газовой динамики является итерационный процесс получения стационарного решения. Эта трудоемкость в явных методах установления связана с ограничением на временной шаг по числу Куранта, в неявных методах — с выполнением матричных операций. Для неявных методов чаще других используются различные варианты метода приближенной факторизации и метод Гаусса - Зейделя, опирающийся на диагональное доминирование линейного оператора. Большое распространение получили неявные схемы переменных направлений [Douglas J., GunnJ.E., 1964]. Дальнейшим развитием этого направления явились неявные разностные схемы, основанные на линеаризации уравнений для приращений искомых функций и приближенной факторизации (расщепления) [Белоцерковский ОМ., Гущин В.А., [Ценников ВЛ, 1975; Ковеня В.М., Яненко Н.Н., 1981; Толстых А.И., 1981].
Наиболее законченным в математическом смысле можно считать применение неявных разностных схем с последующей линеаризацией и решением системы сеточных уравнений по методу Ньютона [Егоров КВ., Зайцев О.Л., 1991]. Этот подход был разработан для численного интегрирования нестационарных двухмерных уравнений Навье-Стокса и уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рейнольдсовых напряжениях с использованием двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности и реализован в комплексе программ применительно к персональным компьютерам (ПК). Затем он интенсивно использовался для решения ряда сверхзвуковых задач внешней и внутренней аэродинамики: круговой цилиндр, сфера, плоский и осесимметричный каналы [Башкин ВЛ., Егоров КВ., КвановД.В., 1998]. Развитие ПК, повышение их быстродействия и оперативной памяти позволяет ставить вопрос об обобщении указанного подхода на моделирование пространственных сверхзвуковых течений на основе нестационарных трехмерных уравнений динамики вязкого газа, что и является одной из целей данной диссертационной работы.
При переходе от двухмерных задач к решению трехмерных задач резко возрастает объем получаемого расчетного материала и остро встает вопрос о создании программного обеспечения по обработке, анализу и визуализации результатов расчетов. В настоящее время имеется достаточно много публи- каций, посвященных разработке методов визуализации; поэтому важно отобрать наиболее эффективные подходы, модифицировать их и реализовать в комплексе программ применительно к используемому классу ПК. Создание такого комплекса сервизных программ также является одной из целей диссертационной работы.
Диссертационная работа связана с актуальным направлением вычислительной аэродинамики - численным моделированием на основе уравнений динамики вязкого газа - и ставит следующие цели:
Обобщить подход, показавший свою эффективность при исследовании двухмерных аэродинамических задач, на численное моделирование пространственных сверхзвуковых течений вязкого газа на основе нестационарных трехмерных уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса и реализовать его на персональных компьютерах.
Создать программный комплекс по визуализации и анализу расчетных данных, получаемых при решении двух- и трехмерных аэродинамических задач.
В предположении о симметрии течения исследовать структуру поля течения и аэродинамические характеристики тонких острых эллиптических конусов, обтекаемых сверхзвуковым потоком вязкого газа под углом атаки, и изучить влияние на них определяющих параметров задачи.
Работа состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы, включающего 66 наименований.
Во введении освещена роль вычисленной аэродинамики на современном этапе научных исследований, сформулирована цель диссертационной работы и приведена краткая аннотация ее глав.
Первая глава посвящена описанию постановки задачи по трехмерным течениям вязкого газа и численному моделированию на основе уравнений
Навье-Стокса и уравнений Рейнольдса в предположении Буссинеска о рей-нольдсовых напряжениях с использованием двухпараметрической дифференциальной модели турбулентности.
Во второй главе проведен обзор современных методов визуализации при численном исследованиях. Описаны некоторые алгоритмы, используемые в программах визуализации и анализа двух- и трехмерных течений.
Третья глава посвящена моделированию обтекания острых круговых конусов, установленных в сверхзвуковом потоке под малыми и умеренными углами атаки. Проведена верификация численного моделирования путем сопоставления результатов расчета с экспериментальными данными. Проанализирован обширный расчетный материал по влиянию определяющих параметров задачи на структуру поля течения, местные и суммарные аэродинамические характеристика конуса.
В четвертой глава рассматривается обтекание острых эллиптический конусов сверхзвуковым потоком вязкого совершенного газа. Исследовано влияние формы поперечного сечения тела, угла атаки, чисел Рейнольдса и Маха на структуру поля течения, местные и суммарные аэродинамические характеристики.
В заключении кратко сформулированы основные выводы, вытекающие из опыта практического применения разработанного метода численного моделирования сверхзвуковых отрывных течений вязкого газа.
Дифференциальные уравнения НавьеСтокса
При теоретическом анализе газодинамических задач все большую роль играет численное моделирование на основе интегрирования уравнений Навье-Стокса (ламинарное течение) или осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье-Стокса (ламинарное, ламинарно-турбулентное и развитое турбулентное течение).
Метод численного решения уравнений Навье-Стокса, разработанный ранее [Башкж В.А., Егоров И.В., Иванов Д.В., 1997] для исследования ламинарного и турбулентных сверхзвукового обтекания плоских и осесиммет-ричных тел (двухмерная задача), был распространен на решение трехмерных сверхзвуковых ламинарных и ламинарно-турбулентных течений газа.
В рамках механики сплошной среды движение газообразной среды в общем случае описывается нестационарными трехмерными уравнениями Навье-Стокса, которые служат основой для прямого численного моделирования турбулентного течения.
Для изучения прикладных задач широко применяются уравнения Рейнольдса, которые выводятся из уравнений Навье-Стокса, с использованием гипотезы Буссинеска относительно напряжений Рейнольдса. Эти уравнения являются основой настоящего метода численного моделирования.
Система уравнений (1.1) замыкается уравнением состояния и зависимостями коэффициентов переноса от температуры и давления, вид которых зависит от модели движущейся среды. В случае модели совершенного газа с уравнением состояния p=pR.T/M, где R - универсальная газовая постоянная, М - молярный вес газа, молекулярный коэффициент вязкости зависит только от температуры и вычисляется согласно степенному (jj//jeo=(T/Te)at 0.5 со 1), а число Прандтля Pr=jiCp/X принимается постоянным.
При обезразмеривании уравнений Навье-Стокса и Рейнольдса декартовы координаты x — xL, y — yL, z — zL отнесены к характерному линейному размеру L, время t — tLIV - к характерному времени L/Vm, компоненты вектора скорости u u-V , v — V V , w=w-V00 - к модулю вектора скорости набегающего потока Voo, давление р = Р\Р«У х ) - к удвоенному скоростному напору набегающего потока, остальные газодинамические переменные - к их значениям в набегающем потоке. Верхняя черта над симво лом означает то, что данная переменная является безразмерной, а символ оо обозначает значение данной переменной в невозмущенном потоке.
При таком обезразмеривании в уравнениях Навье-Стокса и Рейнольдса появляются основные параметры подобия: у= с/ cv - показатель адиабаты, M VJa - число Маха набегающего потока (а - скорость звука), Re CpooKoL)/ - число Рейнольдса, Рг- число Прандтля. Обезразмеренные таким образом уравнения Навье-Стокса и Рейнольдса использовались при численном интегрировании.
Большая часть расчетных данных приводится в безразмерных переменных, а верхняя черта для простоты опускается.
На границе расчетной области, совпадающей с твердой поверхностью, ставились граничные условия: условия прилипания и = 0, v = 0, w = 0; условие адиабатичности (dTJdn=0) или изотермичности ( r const) обтекаемой поверхности, либо какое-либо условие теплового баланса.
На внешней, по отношению к поверхности тела, границе задавались условия излучения, соответствующие расходящейся волне. Эти граничные условия, записанные в инвариантах Римана, имеют вид ах. ду ск А определяющих направление распространения возмущений относительно r=const. При ХІ 0 ("входная граница") соответствующий инвариант на входной границе вычислялся по значениям газодинамических переменных набегающего потока, при A,j 0 использовалась линейная экстраполяция а; по значениям газодинамических переменных, соответствующих внутренним точкам расчетной области.
В качестве начального приближения можно использовать условие однородного набегающего потока с последующим развитием поля течения в процессе решения нестационарной задачи. При этом по мере формирования картины поля течения шаг по времени постепенно увеличивался, что в итоге делало возможным решение стационарной задачи. Очень эффективным оказался метод расчета, при котором задача на первом этапе решалась описанным выше способом на достаточно грубой сетке (21x21x21), а затем это поле использовалось (после применения интерполяции) в качестве начального приближения для более мелкой сетки.
При проведении систематических расчетов по числам Маха и Рей-нольдса в качестве начального приближения использовались ранее полученные варианты с наиболее близкими к необходимым значениями изменяющихся параметров.
Векторные диаграммы и поля направлений
В разложении по значениям выбирается некоторое пороговое значение є величины возникающих элементов и элементы, меньшие этого порогового значения, отбрасываются. Эта стратегия более универсальна, так как путем понижения порогового значения и тем самым увеличения заполнения сомножителей можно сколь угодно близко подойти к точному !/-разложению, т. е. ценой удорожания метода удается добиться сходимости на сколь угодно плохих матрицах. Однако разложение по значениям имеет существенные недостатки. Первый из них состоит в том, что при уменьшении є цена переобусловливания как по памяти, так и по числу арифметических операций может катастрофически возрасти. Второй заключается в сложности выбора самого значения є, для которого не существует какой-либо хорошо обоснованной методики. В то же время разложение по позициям крайне просто реализуется программно, дешево с точки зрения памяти и числа операций и в большинстве случаев работает вполне удовлетворительно. По этой причине в данной работе использовалось именно неполное разложение по позициям.
Объем требуемой оперативной памяти и времени CPU, затрачиваемый на решение системы линейных алгебраических уравнений на итерации по нелинейности (5F/aX)koAXIV]=-F(Xlkl), существенно зависит от степени разреженности матрицы (dF/ЭХ). Предварительные расчеты показали, что сходимость итерационного процесса по не линейности существенно зависит от точек в шаблоне аппроксимации, используемых для конвективной составляющей, а также для прямых производных диссипативной составляющей уравнений Навье-Стокса. Использование «угловых» точек в шаблоне аппроксимации для смешанных производных диссипативной составляющей уравнений Навье-Стокса оказывает слабое влияние на сходимость итераций по нелинейности. Вследствие этого, а также для сокращения, примерно в два раза оперативной памяти и общего числа арифметических операций на итерации по нелинейности, в операторе (д/дХ) опущены диагонали, соответствующие смешанным производным. В результате оператор д/дХ для пространственного случая имеет разреженную блочную 13-ти диагональную структуру.
Основной выигрыш во времени CPU достигается для случая, когда матрица Якоби формируется на усеченном шаблоне. Этот выигрыш очень велик и с избытком компенсирует некоторое ухудшение сходимости при реализации итерационного метода. Наличие или отсутствие смешанных производных практически не влияет на сходимость, однако приводит к некоторому уменьшению используемой памяти (на 4-25%) и времени CPU (на 6-40%) из-за более разреженной структуры матрицы системы. Этот выигрыш относительно выше при использовании усеченного шаблона.
Для построения расчетных сеток могут быть использованы различные методы [Лисейкин В.Д., 1996]. К наиболее простым можно отнести алгебраические методы. Они достаточно эффективны при рассмотрении простых топологий расчетной области. В настоящей работе большая часть расчетных исследований обтекания тел простой конфигурации проведена на сетках, построенных с помощью алгебраических преобразований.
Для сгущения узлов расчетной сетки вблизи твердой поверхности особых поверхностей (твердая поверхность, след за телом и т.д.) применен алгоритм, основанный на алгебраическом преобразовании. Рассмотрим этот алгоритм для одномерного случая. Пусть на отрезке [ai, aN] выделено несколько зон [ah я,+і], /-1,...JV-l, а сетка содержит М узлов. Требуется распределить узлы по зонам так, чтобы в каждой из них оказалась заданная доля pt от общего числа узлов (/?,=1). Непрерывный аналог этой дискретной задачи формулируется так: найти строго возрастающую функциюД), которая без ограничения общности считается заданной на отрезке [0,1] и принимает в точках 0 и 1 значения а\ и а соответственно, а в точках ,+І/2=(І+І+І)/2 - значения (а,н-аІ+і)/2, /=1,...Д-1, ы где i=0, & Y Pk Причем функцияД) должна быть достаточно гладкой. к=\
Решение подобной задачи не является единственным. Одно из возможных решений строится следующим образом. Рассмотрим функцию h{Q=dfld%, которая в непрерывной формулировке задачи будет аналогом шага расчетной сетки. Введем понятие характерного шага /-й зоны: Ъг{.Щ+\ -аЬЧ&+]-&) /=1,...,ЛМ. Если проинтегрировать кусочно-непрерывную функцию / .() {h {fr=hi для є[,+, ,], /=1,...JV-l), то получится функция/»(), удовлетворяющая условиям задачи, но не являющаяся достаточно гладкой: в точках & ее производная терпит разрыв первого рода.
Суммарные аэродинамические характеристики
В плоскости симметрии на наветренной и подветренной сторонах конуса окружной компонент обращается в нуль и отличным от нуля является радиальный компонент (фиг. 3.17). На наветренной стороне, где располагается линия растекания, радиальный компонент cfr монотонно уменьшается вдоль образующей конуса примерно обратно пропорционально корню квадратному из продольной координаты, как это имеет место в ламинарном пограничном слое. Увеличение угла атаки и уменьшение числа Re приводят к монотонному возрастанию с/г; изменение температурного фактора оказывает незначительное влияние на рассматриваемую величину. На подветренной стороне конуса влияние угла атаки и числа Re на распределение радиального компонента с/г носит более сложный характер, обусловленный появлением поперечного отрыва потока и образованием линии растекания вместо линии отекания; здесь и влияние температурного фактора проявляется заметным образом.
Распределения радиального cfr и окружного с/д компонентов коэффициента сопротивления трения в поперечных сечениях конуса при фиксированных значениях числа Re и угла атаки проявляют типичный характер поведения и отражают особенности в изменении структуры поля течения, обусловленные углом атаки.
При нулевом угле атаки задача является осесимметричной и в поперечном сечении конуса с/д= О и сЛ= const. Решение осесимметричной задачи как
трехмерной приводит к следующему результату: окружной компонент коэффициента сопротивления трения очень близок к нулю, хотя и не равен ему тождественно; радиальный компонент несколько отличается от постоянного значения, имея локальный максимум в плоскости угла атаки и локальный минимум в плоскости, ортогональной плоскости угла атаки.
В качестве примера рассмотрим сечение х = 0,255, расположенное вблизи вершины конуса. При наименьшем числе Re = 1,69-104, когда наблюдается сильное вязко-невязкое взаимодействие, согласно поведению окружного компонента с/0 при всех рассмотренных углах атаки течение является безотрывным (фиг. 3.18,я). При этом компонент с/д является знакопостоянной функцией и принимает нулевые значения в плоскости симметрии, т. е. на линиях растекания и стекания. Распределение радиального компонента cfi при всех углах атаки является монотонным с экстремумами в плоскости симметрии - максимум на наветренной и минимум на подветренной стороне конуса (фиг. 3.19, а).
При числе Re = 1,69-105 во многом имеем схожую картину в поведении компонентов коэффициента сопротивления трения, но есть и принципиальные отличия. Прежде всего, из-за уменьшения силы трения при угле атаки а = 8 на подветренной стороне конуса наблюдается поперечный отрыв потока и появляется зона отрывного течения. При наличии отрывного течения изменяется характер распределения радиального и окружного компонентов коэффициента сопротивления трения. Распределение радиального компонента из монотонно убывающего становится немонотонным с локальными максимумами в плоскости симметрии и локальным минимумом в окрестности точки отрыва (фиг. 3.19,6). Окружной компонент с1встановится знакопеременной функцией и обращается в нуль в трех точках: в плоскости симметрии на наветренной и подветренной сторонах конуса и в точке поперечного отрыва на подветренной стороне (фиг. 3.18,6).
При наибольшем числе Re = 1,69-106 (фиг. 3.18,в и 3.19,в) по сравнению с предыдущим случаем произошли в основном количественные изменения, связанные с появлением поперечного отрыва при меньших углах атаки: на подветренной стороне конуса увеличилась зона отрывного течения и возросли локальные максимумы радиального компонента, которые стали сравнимы с локальными максимумами на наветренной стороне. Далее отметим, что при этом числе Re зависимости становятся менее гладкими, что, по-видимому, указывает на начальную стадию неустойчивости ламинарного течения.
Изменение температурного фактора обтекаемой поверхности наиболее заметным образом влияет на окружной компонент сопротивления трения, значение которого уменьшается по мере охлаждения поверхности; поведение радиального компонента сопротивления трения в целом мало чувствительно к изменению температурного фактора.
В остальных поперечных сечениях, расположенных вниз по потоку от рассмотренного, наблюдается сходная картина по влиянию определяющих параметров задачи на распределения компонентов местного коэффициента сопротивления трения, и эти изменения носят в основном количественный характер.
В заключение отметим, что для изотермической поверхности важной локальной аэродинамической характеристикой является местный относительный тепловой поток ?„ =qll{p„VwH„) где //«з - энтальпия торможения невозмущенного потока. Его поведение в зависимости от определяющих параметров в качественном отношении полностью аналогично поведению радиального компонента местного коэффициента сопротивления трения из-за приближенного выполнения аналогии Рейнольдса, поэтому тепловые характеристики конуса здесь не рассматриваются.
Местные аэродинамические характеристики
При нулевом угле атаки из-за симметрии картины обтекания достаточно рассмотреть только одну четвертую часть конуса, для определенности подветренную.
В этом случае при 8 1 на поверхности тела в плоскости большой полуоси располагается линия растекания, а в плоскости малой полуоси - линия стекания. На этих линиях местные коэффициенты сопротивления трения cfr
и теплопередачи qw для всех конусов монотонно уменьшаются по мере отхода от вершины тела вниз по потоку (фиг. 4.17). При этом уменьшение параметра 8 приводит к увеличению местных значений рассматриваемых величин на линии растекания из-за возрастания интенсивности поперечного растекания и к снижению их значений на линии стекания. Отметим, что рассматриваемые величины имеют схожий характер поведения из-за прибли женного Поскольку обтекание конусов происходит безотрывно, то в каждом сечении х = const распределения коэффициентов сопротивления трения и теплопередачи являются однотипными. Поэтому ограничимся рассмотрением их поведения в донном срезе тела (фиг. 4.18). Так как форма поперечного сечения тела является переменной, то результаты расчетов удобно представить в виде зависимости рассматриваемых величин по координате z = z/zmax. (Здесь z - декартова координата, направленная по размаху крыла и расположенная в плоскости большой полуоси.) Поведение окружного компонента напряжения трения (фиг. 4.186) четко указывает на безотрывный характер течения в -5=1
в) окрестности линии стекания. Как и в рамках классической постановки задачи, результаты расчетов местного коэффициента теплопередачи (фиг. 4.18в) показывают, что острый круговой конус является оптимальным с точки зрения равномерности распределения qw в поперечном сечении тела и с точки зрения минимума qwmax в поперечном сечении тела.
Изменение числа Re оказывает существенное влияние на поведение местных коэффициентов сопротивления трения и теплопередачи как на линиях растекания и стекания, так и в поперечном сечении тела. В качестве примера на фиг. 4.19 и 4.20 приведены соответствующие результаты расчетов для числа Re = 107, для которого характерно ламинарно-турбулентное обтекание конуса.
Из приведенных результатов следует, что ламинарно-турбулентное обтекание конусов также происходит без поперечного отрыва потока. Следовательно качественное изменение в поведении местных аэродинамических ха рактеристик связано с положением точки начала ламинарно-турбулентного перехода на обтекаемой поверхности. За основу принимаем круговой конус, на поверхности которого развитие течения в окружном направлении происходит при нулевом градиенте давления.
На линии растекания (фиг. 4.19 а,б) конуса с 8=1/2 точка начала ламинарно-турбулентного перехода смещается вверх по потоку относительно ее положения на поверхности кругового конуса из-за дестабилизирующего влияния слабого градиента давления. На конусе с 5=1/4 она уже смещена заметно вниз по потоку из-за стабилизирующего влияния сильного градиента давления. При последующем уменьшении коэффициента эллиптичности 5<1/4 возрастает поперечный градиент давления, наблюдается полная стабилизация течения в пограничном слое и на линии растекания устанавливается ламинарный режим течения (8=1/16 и 5=1/32).
На линии стекания (фиг. 4.19 в,г) для конусов с 8<1 точка начала лами-нарно-турбулентного перехода смещена вниз по потоку относительно ее положения на круговом конусе, что обусловлено возрастанием числа Маха на внешней границе пограничного слоя. Изменение параметра 8 практически не влияет на положение точки перехода, но воздействует на длину области переходного течения.
