Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор литературных источников 7
1. Численные методы: граничные условия для уравнения переноса... 7
2. Совместное течение двух жидкостей 12
3. Течения в каналах с препятствиями 14
Глава 2. Методология моделирования 15
1. Разностное представление уравнений 15
2, Граничные условия для уравнения переноса 27
Механические граничные условия 27
Условия периодического типа 33
Формулировка граничных условий при заданной мощности, затрачиваемой на прокачку жидкости 35
3. Методы решения разностных уравнений 38
4. Моделирование границы раздела между жидкостями 41
Глава 3. Решение конкретных задач 48
1. Течение в канале с препятствиями 48
Постановка задачи и математическая модель 48
Параметры расчета и численная схема 50
Результаты расчетов 51
Выводы по задаче 58
2. Периодическое двухфазное течение в канале с препятствиями 59
Постановка задачи и математическая модель 59
Численная схема 62
Результаты расчетов 63
Выводы по задаче 71
3. Периодическое двухфазное течение в рельефном канале 72
Постановка задачи и математическая модель 72
Численная схема 75
Результаты расчетов 76
Выводы по задаче 81
Заключение 82
Список литературы 84
- Совместное течение двух жидкостей
- Граничные условия для уравнения переноса
- Моделирование границы раздела между жидкостями
- Периодическое двухфазное течение в канале с препятствиями
Введение к работе
Проблемы проектирования технических устройств, как правило, основываются на теплофизических исследованиях протекающих в них процессов. В частности, это относится и к системам трубопроводов, используемых в разработке и эксплуатации нефтегазовых месторождений, при транспортировке газожидкостных смесей, к теплообменникам и другим промышленным аппаратам. Как следствие, повышенный интерес привлекают к себе задачи гидродинамики многофазных сред и конвективного теплообмена, где преобладают расчетные исследования, основанные на численном решении уравнений законов сохранения. При этом каждая из анализируемых задач обладает своей спецификой, в том числе и в части постановки граничных условий, которые обусловлены используемыми в расчете независимыми переменными. Течения, имеющие периодический характер устанавливаются при наличии на стенках канала или его внутренней полости равномерно распределенных выступов или других препятствий. В этом случае в поле полностью развитого течения выделяются подобласти, на границе которых могут быть заданы так называемые «периодические» граничные условия.
В общем случае вычислительный метод должен иметь возможность реализации основных типов граничных условий для каждой зависимой переменной. В настоящее время предложено огромное количество численных методов для решения задач гидродинамики, однако допустимые граничные условия ограничиваются наиболее распространенными. Поэтому постановка и численная реализация граничных условий в каждом случае требует отдельного рассмотрения.
Целью настоящего исследования является построение, верификация и последующее применение необходимых алгоритмов и схем счета к изучению следующих конкретных проблем вычислительной гидродинамики:
Исследование процессов гидродинамики и теплообмена в круглом канале с поверхностными интенсификаторами при постоянной мощности, затрачиваемой на перекачку теплоносителя.
Изучение влияния местных сопротивлений на характер периодического течения при совместном течении воды и нефти в плоском канале.
Исследование основных гидродинамических параметров совместного турбулентного течения воды и нефти в рельефном канале.
Научная новизна диссертационного исследования заключается в следующем:
Предложена процедура коррекции граничных условий, позволяющая поддерживать заданный уровень мощности, затрачиваемой на перекачку жидкости, как для периодических, так и для непериодических внутренних несжимаемых течений.
Изучено влияние препятствий, моделирующих различного рода регулирующие и запорные устройства, которые могут быть установлены в трубах, на характер течения двух жидкостей и его основные параметры.
Достоверность результатов диссертации обеспечивается использованием общих законов и уравнений механики сплошной среды и проведением тестовых расчетов.
Предложенные алгоритмы и методы могут быть использованы при численном исследовании задач интенсификации теплообмена, где актуальной является задача моделирования течений при заданной мощности, затрачиваемой на перекачку жидкостей, которая снимает проблему выбора критерия интенсификации.
Полученные результаты исследования могут быть использованы в практических расчетах по гидродинамике смесей, для проектирования гидродинамических процессов в системах трубопроводов, в теплообменниках и других промышленных аппаратах.
Основные результаты работы докладывались на 2nd International Conference on Heat Transfer, Fluid Mechanics, and Thermodynamics (Zambia,
2003), XLTI международной научной студенческой конференции "Студент и научно-технический прогресс" (Новосибирск, 2004), XXVII Сибирском теплофизическом семинаре (Новосибирск, 2004), Third М.І.Т. Conference on Computational Fluid and Solid Mechanics (USA, 2005), XVIII международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (Казань, 2005), XLVIII научной конференции МФТИ «Современные проблемы фундаментальных и прикладных наук» (Москва - Долгопрудный, ноябрь 2005 г.).
По теме диссертации опубликовано 10 работ.
Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 86 страницах, содержит 36 рисунков, 1 таблицу. Список литературы включает 72 источника.
В соответствии с целью настоящей диссертационной работы во введении проводится анализ литературных источников с точки зрения современного состояния и проблем в решении следующих задач:
Численные методы: граничные условия для уравнения переноса;
Совместные течения двух жидкостей;
Течения в канале с препятствиями.
Вторая глава содержит описание численных методов, используемых для моделирования рассматриваемых задач. В рамках используемого метода представлена численная реализация динамических граничных условий. Предложена формулировка и численная реализация граничных условий, когда задана мощность, затрачиваемая на прокачку жидкости.
В третьей главе на основе разработанных методов представлено решение трех частных задач, таких как, ламинарное течение и теплообмен однофазной среды в канале со вставками, периодическое ламинарное течение двух вязких несжимаемых несмешивающихся жидкостей в канале с препятствиями и развитое периодическое турбулентное течение в рельефном канале.
Совместное течение двух жидкостей
Течения нескольких несмешивающихся жидкостей возникают во многих промышленных установках, в частности в нефтехимической промышленности в процессе добычи и транспортировки нефти. Несмотря на практическую значимость, в литературе имеется весьма небольшое количество теоретических и экспериментальных работ, посвященных изучению совместного течения двух жидкостей, в частности воды и нефти, по сравнению с аналогичными исследованиями газожидкостных смесей. Система жидкость-газ представляет собой предельный случай течения нескольких жидкостей, и различные модели и результаты, соответствующие газ ожидкостным смесям не могут быть напрямую обобщены на случай течения двух жидкостей.
Первые публикации по рассматриваемой тематике датируются 1950-1960 годами и носят экспериментальный характер. Исследования проводятся в рамках задачи сокращения затрат при транспортировке вязкой нефти путем добавления в поток воды [23-26].
Для совместного течения нескольких жидкостей характерно наличие нескольких режимов течения, которым соответствуют качественно различные гидродинамические зависимости. Под режимом или формой течения понимаются характерные распределения поверхности раздела между жидкостями.
Наиболее подробная классификация возможных режимов течения и их диаграмм представлена в обзорной статье [27]. Согласно [27] можно выделить 4 основных режима течения: стратифгщировттое (разделенное, расслоенное) с гладкой или волнистой границей раздела, пробковое, дисперсное с мелкими каплями одной жидкости в другой и кольцевое, когда одна жидкость формирует ядро, а другая течет в кольце.
В работе [28] проведен анализ имеющихся экспериментальных работ для горизонтального течения воды и нефти. В данном случае наблюдается 3 из 13 возможных 4-х режимов течения: стратифицированное, дисперсное и кольцевое. Кроме этого, авторы приводят параметры, которые влияют на образование той или иной структуры течения. Наряду с расходом каждой из фаз, параметрами канала к ним относятся соотношение плотностей, вязкость нефти, материал из которого сделан канал, а именно, его смачивающие свойства.
В настоящее время наиболее подробное изучение и освещение получили стратифицированные течения, которые реализуется при движении с малыми скоростями в горизонтальных и слабо наклоненных к горизонту каналах. Имеющиеся экспериментальные [29-45] и теоретические работы [46-49] в принципе обеспечивают понимание физического существа процессов.
В случае ламинарного стратифицированного течения двух жидкостей возможно получить точное решение. Аналитическое исследование ламинарного разделенного течения между двумя параллельными пластинами представлено в работах [50-51], для канала круглого поперечного сечения - в работах [52-59].
Одна из характерных особенностей задач рассматриваемого класса при теоретическом и численном исследовании это то, что граница раздела между жидкостями является частью искомого решения. Достаточно большое количество работ посвящено разработке новых и усовершенствованию существующих моделей и методов расчета таких течений, что в свою очередь послужило расширению класса рассматриваемых задач. В качестве примера можно привести работы [60-61] где рассматриваются задачи об истечении соответственно из горизонтального и наклонного подводного канала.
В случае однофазного течения дискретно установленные выступы - это один из способов интенсификации теплообмена. Интенсификация теплообмена неизбежно сопровождается повышением гидравлического сопротивления, которое в большинстве случаев опережает увеличение теплоотдачи. Научная литература, посвященная исследованию течения и теплообмена в каналах с поверхностными интенсификаторами весьма многочисленна и ее условно можно разделить на 2 группы. Для первой характерным является то, что исследователи находят увеличение коэффициента теплоотдачи до 200%, а представители второй группы не находят никакого увеличения, а выявляют даже некоторое уменьшение теплоотдачи по сравнению с неинтенсифицированными поверхностями. В работе [62] представлен анализ современных достижений в области интенсификации теплообмена и, как подчеркивает автор, оценка эффективности от интенсификации должна производиться при одинаковых мощностях, затрачиваемых на прокачку теплоносителя. Там же рассмотрен вопрос выбора критерия интенсификации при численных исследованиях. В работах [63-64] предложена формулировка граничных условий, позволяющих поддерживать заданный уровень мощности, затрачиваемой на перекачку жидкостей, которая снимает проблему выбора критерия интенсификации при численном моделировании.
Для двухфазного течения с помощью дискретно установленных выступов возможно моделировать различные запорные и регулирующие устройства (затворы, клапаны, задвижки, вентили), устанавливаемых в трубах. В научной литературе интерес к такой геометрии связан в первую очередь в рамках задачи сбора и транспорта газоконденсатной смеси [65-68].
Граничные условия для уравнения переноса
Численная реализация граничных условий рассматривается на примере одномерной стационарной задачи гидродинамики: d{pu). На рис. 2.1 изображена схема левого граничного контрольного объема. Индексами 1,2,3 показаны расчетные точки, в которых определяется давление, температура. В соответствии с численным методом, основанном на алгоритме SIMPLER, точки, в которых определяются скорости, смещены внутри области относительно узловых точек. Точка 1 соответствует физической границе рассматриваемой задачи. Контрольный объем (2-3) имеет такую же конфигурацию, как и внутренние контрольные объемы. К границе примыкает «половинный» контрольный объем, а для внутренней скорости иъ используется обычный регулярный объем. Т.к. интефирование проводится по обычному внутреннему контрольному объему, то в данном случае можно воспользоваться стандартной процедурой аппроксимации обобщенного конвективно-диффузионного потока J. Окончательный вид дискретного аналога для данного контрольного объема: {агръ + аіт3)щ -аїр3и4 + aim3u2 + р2 — ръ. (2.5)
Т.е. в случае граничного условия второго рода скорость на границе в систему уравнений явно не входит. Таким образом, система уравнений для определения поля скорости имеет классический трехдиагональный вид.
Уравнение (2.9) является первым уравнением в системе уравнений для определения поля давления, и давление на границе не входит в дискретный аналог. Это означает, что в расчетную процедуру фактически не входит давление на границе. Если это необходимо, то его можно найти, например, по значениям давления в соседних узлах с помощью экстраполяции, др учитывая, что на границе должно выполняться условие — = 0. Из (2.9) видно, что полученная система удовлетворяет классической системе трехточечных уравнений.
В (2.10) в случае граничных условий первого рода известно aim3 u3, аФ„ ] u„ а в случае второго рода а\тъ = 0, сгір = 0. В (2.11) в соответствии с (2.9) aim2 =0,aipn_l =0. Система (2.10) и (2.11) замкнутая и разрешается обычным образом. Динамические граничные условия В этом случае граничное условие имеет вид: РІ длибоІр-ц— Вначале рассмотрим первый вариант задания граничных условий данного типа. По условию задачи, на левой границе задано давление р,. Тогда появляется новая неизвестная и2, для определения которой необходимо еще зо одно уравнение. С этой целью уравнение движения (2.2) интегрируется по половинному контрольному объему 1-2: 2 2 і , /- , \ Udx = —\—-dx = pl-p2,3RQCb J-— рии-ц— 1 JWv Й&С /v dbc Й& і і T.o.J2 Jx=Pl p2. (2.13) Обобщенный поток J через грань 2 можно аппроксимировать, пользуясь любым методом (например, схемой степенного закона). При аппроксимации потока через грань 1 возникает вопрос с диффузионным членом на границе ц du dx , который неизвестен. Аппроксимируя этот член по 3 точкам Й2,«3И«4, получим: du dx = Ці 4щ - 3w2 — н4 2Д + о(Д2), (2.14) Таким образом, получается разностное соотношение (здесь для наглядности конвективный поток через грань 2 аппроксимирован центральными разностями): 2Ц, «4 + гл , А 2 2 2Д J 2А А 2 А і"3+(Рі"Р2)- (2Л5) Здесь F = pu. Уравнение неразрывности (2.1) интегрируется по этому же контрольному объему 1-2: dx J—(pu)dx F2 -F{=0 (2.16) Далее уравнение (2.16) умножается на щ, и, полученное соотношение вычитается из (2.15): ар2и2 = шт2и4 + aip2u3 + (р] -p2) + b2, (2.17) здесь Зд, , 2ц, ц, , 2А 2 А 3 2А 4 ар2 - aim2 + aip2, aim2 = О, aip2 = —, b2 = -и2 где и2, щ, и4- значения с предыдущей итерации. Разделив (2.17) на ар2, получаем: u2=Q2 + d2{p,-p2), aim, и. +aip, и,+b7 , 1 ГДЄ U2 = — - i.f d2 = , ap2 ap2 Интегрируя уравнение неразрывности (2.1) по 1-е, имеем: \— {pu)dx = peii3-plU2=0. (2.18) (2.19) Из (2.18) и (2.19) получаем : ар2р2 = aim2p1 + aip2p2 +b2, Ъ2 p,w2 - рем3. (2.20) Т.к. на левой границе задано давление, то оно входит в уравнение давления (2.18) и (2.20), а скорость на границе итеративно изменяется согласно формуле (2.17), таким образом, нет необходимости в задании скорости на границе (она задается лишь как первое приближение), если задано давление.
Изменение давления по длине трубы носит двоякий характер. С одной стороны, направленный характер течения обусловливает в среднем линейное падение давления по длине, с другой стороны, эллиптические свойства течения в пределах периодического модуля приводят к изменению давления в направлении у.
Основное преимущество предложенной трактовки граничных условий - это реализация периодических граничных условий для всех зависимых переменных: декартовых составляющих вектора скорости и периодических составляющих давления. На входной и выходной границе расчетного модуля выделяются по два ряда фиктивных ячеек, в которые на каждой итерации переносятся значения из соответствующих ячеек внутри расчетной области, причем из передних приграничных расчетных ячеек величины зависимых переменных пересылаются в задние фиктивные ячейки и, наоборот, из рядов расчетных ячеек, примыкающих к выходной границе, величины зависимых переменных переводятся в фиктивные ячейки перед входной границей. Для решения системы линейных алгебраических уравнений используется алгоритм циклической прогонки.
Возможен и другой подход к реализации периодических граничных условий. Если не использовать какие-либо преобразования функции давления, и далее, исходных уравнений, и для решения системы линейных алгебраических уравнений применяется алгоритм циклической прогонки, модифицированный под граничные условия вида P(L,y)- Р(0,у)- АР.
Моделирование границы раздела между жидкостями
Для совместного течения нескольких жидкостей характерно наличие нескольких режимов течения, которым соответствуют качественно различные гидродинамические зависимости. Пусть жидкости являются несмешивающимися, и в процессе движения между ними существует четкая и устойчивая граница раздела. Это так называемое разделенное или расслоенное течение.
Особенностью задач рассматриваемого класса является то, что граница раздела между жидкостями является частью искомого решения. С целью определения положения границы раздела жидкостей вводится функция fi(x,y), значение которой задает объемную долю жидкости в контрольном объеме. Пусть значение fi(x,y) = \ будет соответствовать контрольному объему, полностью занятому жидкостью 1, а значение $(х,у) = 0 - контрольному объему, целиком заполненному жидкостью 2. Схема контрольного объема. Типичный контрольный объем представлен на рис. 4.1. Здесь показано, где определяются компоненты вектора скорости и функция ${х,у). Также изображены вспомогательные геометрические характеристики у(х,_у), используемые при расчете р(х,у). Технология расчета функции Р(х, )зависит от конкретной решаемой задачи. Рассмотрим, например, вынужденное течение двух вязких несжимаемых жидкостей в плоском горизонтальном канале [69, 70].
В предположении, что жидкости являются несжимаемыми, количество любой жидкости, проходящей через любое сечение канала, равно жидкости, поступающей в канал, количество которой можно определить из граничных условий. Пусть Qx и Q2 объемные расходы жидкостей 1 и 2 соответственно.
По определению, = Уд-Ау,. Рассмотрим сечение капала j между двумя любыми соседними контрольными объемами / и 7 + 1. Считаем количество жидкости 1 снизу вверх, проходящей через сечение: Q\— Щ+хj&yj В процессе суммирования по j после j прибавления каждого слагаемого сравниваем Q} и Q{. Пусть для некоторого/ Qx Qy, следовательно, через последний контрольный объем проходит граница раздела жидкостей, и соответствующий ему номер по j обозначим как jb(i)- Из уравнения определяется y(i,jb{i)) Если j jb(i), то полагают y(i,j)=0 и y(i,j)=l при условии j jb(i).
Рассмотрим в увеличенном виде контрольные объемы первого столбца, через которые проходит граница. Тогда из рис. 4.2 следует, что =у(г-1,Л(г -1)), a 2=7( (0) + (0- -1) Далее из уравнения прямой находятся все пересечения границы раздела жидкостей с гранями контрольных объемов. Все геометрические параметры известны, поэтому вычисление площадей не составляет особой трудности. Все выше приведенные рассуждения можно провести и для третьего случая, когда граница по j сместилась вниз. В качестве тестового расчета была поставлена и решена задача о течении двух жидкостей в плоском горизонтальном канале.
В плоский канал сечения Я слева со скорость и0 поступают две жидкости с разной плотностью и вязкостью, так, что более тяжёлая поступает снизу слоем Н{. Предполагается, что в процессе движения между жидкостями существует четкая и устойчивая граница раздела, определяющая расслоенную структуру.
Для поставленной задачи за пределами начального гидродинамического участка можно найти точный профиль скорости по аналогии с профилем Пуазейля, то есть, полагая, что скорость U зависит только от координаты Y, поперечная составляющая скорости равна нулю.
Профиля скорости и перепад давления, полученные в результате разрешения указанной системы уравнений, сравнивались с результатами численного решения исходных уравнений для канала с безразмерной длиной 20. Для определения границы раздела между жидкостями, использовался алгоритм, описанный выше.
Периодическое двухфазное течение в канале с препятствиями
Рассматривается ламинарное стационарное полностью развитое совместное течение двух несмешивающихся несжимаемых вязких жидкостей в плоском канале со вставками, находящемся в поле силы тяжести [71]. В рамках исследуемой задачи рассматривается два случая расположения вставок (Рис.2.1). Расстояние между вставками, их высота и ширина есть фиксированные величины, что обусловливает периодический характер течения и позволяет проводить исследование на участке длины в один период. Вязкости и плотности жидкостей различны, при этом плотность нижней жидкости (далее жидкость 1) больше, чем плотность верхней жидкости (далее жидкость 2).
В рамках данной работы изучение ограничивается случаем разделенного течения, когда в процессе движения между жидкостями существует четкая и устойчивая граница раздела. Модель поставленной задачи включает в себя алгоритм определения положения границы раздела между жидкостями и уравнения закона сохранения массы и количества движения с соответствующими граничными условиями.
С целью определения положения границы раздела жидкостей, вводится функция p(jc,j ), задающая объемную концентрацию жидкостей в контрольном объеме. Пусть (3(л:,у) = 1 соответствует контрольному объему, целиком заполненному жидкостью 1, соответственно значение $(х,у) = 0 определяет контрольный объем, полностью занятый жидкостью 2. Основные идеи алгоритма расчета значений функции fi(x,y) изложены в пункте 2.4 второй главы. м По известному полю значений Р(х, -) пересчитываются значения вязкости и плотности для всей расчетной области: р = р2(1 -Р) + р,р, Ц,Ц2 , что позволяет описать совместное движение обеих ц,(1-Р) + ц2р жидкостей в рамках одной системы дифференциальных уравнений, где вязкость и плотность есть известные функции координат. Данный подход позволяет применить так называемый «сквозной» метод счета, и в отличие от традиционного, не требует решения уравнений отдельно для каждой фазы и последующей склейки решений на границе раздела.
Здесь и далее Г- поверхность, включающая боковую поверхность канала и поверхность препятствий. Величина перепада давления АР согласно п.2 второй главы задается из условия поддержания заданного уровня мощности, затрачиваемой на перекачку жидкостей.
В качестве параметров поставленной задачи выступают критерий Фруда Fr = v 2/gH, представляющий собой отношение инерционных сил к силе тяжести, число Реинольдса смеси, определенное по средней плотности и средней вязкости: Re - v pHJ\i , характеризующее отношение силы инерции к силе трения, расходная объемная концентрация: 8](2) =——, представляющая собой отношение объемного расхода рассматриваемой жидкости к общему объемному расходу смеси.
При выбранном обезразмеривании мощность, затрачиваемая на перекачку жидкостей, не входит в число параметров задачи, однако в качестве составляющей входит в определение числа Реинольдса. Численная схема Расчетная сетка составила 500x50 контрольных объемов по продольной и поперечной координатам соответственно. Оценка точности полученных результатов проводилась обычными в практике численного эксперимента способами, в частности, путем увеличения числа расчетных точек. Погрешность полагалась приемлемой, когда изменение отношения величин переменных к их максимальным значениям в расчетной области меньше значения 10"4. Стационарное решение было получено методом релаксаций. Процедура численного решения поставленной задачи включает в себя следующие этапы: 1. Задается начальное распределение скорости. 2. По этому предположительному полю скоростей определяется расход жидкостей и вычисляется перепад давления. 3. Определяется положение границы раздела между жидкостями - для каждого контрольного объема определяется значение функции $(х,у). 4. По известному полю значений р\ в области пересчитываются значения плотности и вязкости. 5. В рамках алгоритма SIMPLER численно решаются уравнения гидродинамики. Далее происходит возврат на шаг 2, и вычисления продолжается до достижения сходимости.
Расчеты были выполнены для модуля длиной 10 и высотой 1, безразмерные высота и ширина вставки равны 0.3 и 0.6 соответственно. Величины вязкости и плотности жидкостей соответствуют случаю воды и нефти, в безразмерных переменных: р, =1.117, р2 = 0.883, ц, =0.784, Д2 = 1.216. Число Рейнольдса равнялось 100. Результаты расчетов В качестве искомых параметров решения рассматриваются расходные данные, потери давления, трение на верхней и нижней стенке канала. Первая серия численных расчетов была проведена при фиксированном соотношении расходов жидкостей (8, = 0.4) и некоторых чисел Фруда.
Различного вида местные сопротивления, искусственно вносимые на поверхность канала, в частности вставки, являются источниками возмущения и вихреобразования. На рис. 2.2 представлены функция тока и положение границы раздела при Fr=0.0I, Fr=0.05 и Fr=1020 для верхнего и нижнего положения вставки. При обтекании вставок потоком жидкости у основания вставок образуются области вихревых течений. С постепенным уменьшением числа Фруда, и, следовательно, с увеличением влияния гравитационных сил сначала наблюдается существенное искривление границы раздела и уменьшение продольных размеров вихря. При дальнейшем уменьшении данного параметра, граница раздела сглаживается, область рециркуляционного течения расширяется. На рисунках 2.3 - 2.6 для нижнего и верхнего положения вставки и нескольких чисел Фруда показано безразмерное трение на стенках канала. Можно выделить несколько характерных диапазонов изменения критерия Фруда, па которых происходит смена функциональной связи трения на стенке канала по длине. При Fre[0.005;0.l]u[l;1020) функция имеет один четко выраженный минимум в области расположения вихря; для Fr є [ 0.1; і] с постепенным уменьшением Фруда появляются еще несколько локальных максимумов и минимумов. Аналогично и для кривой зависимости трения на стенке без вставки.
